上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(2)

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．AB BC CA ++=______.
2．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
的増广矩阵是_____________. 3．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB 同向的单位向量为________________.
4．三阶行列式123
456789
的元素4的代数余子式是___________.
5．函数sin 4cos )31(x x
f x =的最大值为_____________.
6．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE 可以用a 和b 表示为____________.
7．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
________. 8．设(2,7),(,3)p q x ==-，若p 与q 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 9．在ABC ∆中，若B C BA BC A A =⋅⋅，则ABC ∆的形状为__________.
10．若向量(1,2)n a =是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.
11．在ABC ∆中，14
AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．
12．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.
二、单选题
13．已知(,),(5,0)a m n b ==-且向量a 在向量b 方向上的投影是2-，则（ ）
A ．2,2m n ==-
B ．2,2m n =-=
C ．2m =，n 取任意实数
D ．2m =-，n 取任意实数
14．设a 、b 是非零向量，命题甲：//a b 且||a b |=|，命题乙：a b =，则命题甲是命题乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
15．设a 、b 、c 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论： （1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=
（3）||||||a b a b -<- （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
16．已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上的一个定点，满足014P B AB =
，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（ ） A ．2B π
= B ．2A π
= C ．AB AC = D ．AC BC =
三、解答题
17．已知O 为原点，(3,1)OA =，(1,2)OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求OC 的坐标.
18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角.
19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩
，并对解的情况进行讨论.
20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．
（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且
CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49
，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点
,P Q ，设,AP x AB AQ y AC ==，记()y f x =
（1）求函数()y f x =的表达式；
（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围
参考答案1．0
【分析】
根据向量加法的法则即可化简求值.
【详解】
因为AB BC AC，
所以+0
AB BC CA AC CA
++==.
故答案为：0
【点睛】
本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.
2．
116 312⎛⎫ ⎪
--⎝⎭
【分析】
先将方程组转化成
6
32
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩
阵.
【详解】
因为方程组
60
320
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
等价于
6
32
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
，
所以系数矩阵为
11
31
⎛⎫ ⎪
-
⎝⎭
，
所以増广矩阵是
116 312⎛⎫ ⎪
--
⎝⎭
.
故答案为：
116 312⎛⎫ ⎪
--
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.
3．
512
, 1313⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
可求出(5,12)AB =，从而得出与AB 方向相同的单位向量为(,)|5121313
|AB AB =． 【详解】
因为(5,12)AB =； 所以与AB 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313
|AB AB =． 故答案为：512,1313⎛⎫
⎪⎝
⎭． 【点睛】 本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB 方向相同．
4．2389
- 【分析】
利用代数余子式定义直接求解．
【详解】
在三阶行列式123456789
中，
元素4的代数余子式的为：323
23
(1)8989-=-． ∴元素4的代数余子式的为2389
-． 故答案为2389
-
． 【点睛】 本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．
5．5
【分析】
先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.
【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x x
f x x x x θ==-=-，其中4
tan 3
θ=， 当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.
6．12BE b a =-
【分析】
利用平面向量基本定理，取a 和b 为基底，将BE 用基向量表示出即可．
【详解】 如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+
-=-． 故答案为：12
BE b a =-.
【点睛】
考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．
7．881820⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】 由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的
第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.
【详解】
由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：
所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故答案为：881820⎛⎫
⎪⎝⎭. 【点睛】
本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题.
8．6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∪ 【分析】
利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.
【详解】
p 与q 的夹角为钝角，
∴0p q ⋅<，即2210x -<，解得212
x <. 当p 与q 方向相反时，设p q λ=且0λ<，
(2,7)∴(,3)x λλ=-，
∴273x λλ
=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x 的范围为212x <且67
x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】
本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．
9．等腰三角形
由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.
【详解】
作CD AB ⊥交AB 于D ，
因为AB AC BA BC ⋅=⋅
所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=，
所以AD BD =，则D 为AB 的中点，
由三角形底边AB 中线与高合一，
所以ABC ∆为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.
10．34
-或0 【分析】
由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+，利用0n v ⋅=可求得a 的值.
【详解】
取(,21)v a a =+为直线l 的一个方向向量，
所以0n v ⋅=4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-
或0a =. 故答案为：34
-或0.
本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 11．304m <<
【详解】 试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4
DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =
时，M E =，所以304
m <<. 考点：向量加法的几何意义
12． 【分析】
先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值．
【详解】
3OB =，2OC =，3OB OC ⋅=，
60BOC ∴∠=︒，
BC ∴==
设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得1132222
h =⋅⋅⋅，
7
h ∴=，
ABC ∆∴面积的最大值为1(4)27+=
故答案为：． 【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，
O 到BC 的距离是关键．
13．C 【分析】
由向量a 在向量b 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||
a b
a a
b b ⋅-=<>=，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系. 【详解】
由向量a 在向量b 方向上的投影定义得：2||cos ,||
a b
a a
b b ⋅-=<>=
， 所以5225
m
m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.
故选：C. 【点睛】
本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题. 14．B 【分析】
由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案. 【详解】
因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙， 所以充分性不成立；
反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立， 所以必要性成立. 故选：B. 【点睛】
本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 15．C
【分析】
对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律. 【详解】
对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅错误，故（1）错误； 对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，故（2）正确；
对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确； 对（4），由数量积运算的分配律得：2
2
22(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-， 故（4）正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题. 16．D 【分析】
如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设AB 4=根据00PB PC P B P C ⋅≥⋅得到()()()
110m m x --+≥，即0x =得到答案. 【详解】
如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.
设AB 4=，则()2,0B ，()01
,0P ，设(),C x y ，()(),0,22P m m -≤≤ 00PB PC P B P C ⋅≥⋅
即()()()()()2
2,0,1,01,210m x m y x y m x m x -⋅-≥⋅-∴-+++≥ 恒成立
()()()110m m x --+≥恒成立，故0x = 即C 在AB 的垂直平分线上，CA CB =
故选：D
【点睛】
本题考查了向量的恒成立问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键. 17．(14,7). 【分析】
设C 为(),x y ,则(),OC x y =,故BC OC OB =-,由题可得0OC OB ⋅=,BC 与OA 平行,进而求出点C 坐标即可 【详解】
由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =,所以()1,2BC OC OB x y =-=+- 因为OC 与OB 垂直,则0OC OB ⋅=,即20x y -+=①, 又因为BC 与OA 平行,则
12
31
x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =, 所以OC 的坐标为()14,7 【点睛】
本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力
18．π-【分析】
利用向量的夹角公式cos ,||||
b c
b c b c ⋅<>=
，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅三个值算出，再代
入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】
因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-， 因为(2,2)c =-，所以||22c =，
所以cos ,16||||42b c b c b c ⋅
<>=
==-⋅，
因为,[0,]b c π<>∈，
所以,arccos 16
b c π<>=-. 【点睛】
本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.
19．当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组
有唯一解21
41m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩
【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】
系数矩阵对应的行列式221233
m D m m m
-=
=--，
当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，
1621m m m m x D m -----==+，62341
m m m y m D m ----==
--+．
2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．
当3m =时，原方程为3
339
x y x y +=-⎧⎨
+=-⎩无数个解，
当1m =-时，原方程组为31
33x y x y -+=⎧⎨-=-⎩
无解．
【点睛】
本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．（1）370x y -+=；（2）1133
y x =+或1
33y x =+.
【分析】
（1）作出图形，可得出CDE
ABC ∆∆，根据面积比为4
9
得出
23CD AC =，从而得出2CD DA =，
设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；
（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式. 【详解】 （1）
//l AB ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆，且
2
49CDE
ABC
CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
， 2CD DA ∴=，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--，()1,2DA m n =--，
()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩
，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴.
直线AB 的斜率为211
123AB k -=
=+，//l AB ，则直线l 的斜率为13
. 因此，直线l 的方程为()1
323
y x -=-，即370x y -+=；
（2）直线AB 的方程为()1
213
y x -=
-，即350x y -+=，
AB =
=
设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆
的面积为11
222ABC S AB d d ∆=
⋅=
=， 得d =
，另一方面，由点到直线的距离公式得
d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =
+或1
33y x =+.
因此，y 关于x 的函数关系式为1133
y x =+或1
33y x =+.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；
（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2
141
x S xy x ==-，1
(1)3x ≤≤，利用导
数法，求出函数的值域，可得答案．
【详解】 （1）如图所示：
D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，
∴111111
()222244
AM AD AB AC AB AC =
=+=+， 又
PQM 三点共线，
故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-，
故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=
⎪⎩
，
故
11144x y
+=， 即()41x y f x x ==
-，1
(1)3
x ≤≤. （2）设ABC ∆的面积为21S =，
则APQ ∆的面积2
141
x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤
故2'1
2
42(41)x x
S x -=-，
当11
32x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112
x <≤时，'
10S >，函数为增函数， 故当12
x =时，1S 取最小值1
4，
当1
3x =，或1x =时，1S 取最大值13
，
故
1211[,]43
S S ∈， 因为12APQ ABC
S S k S S ∆∆=
=
，所以11
[,]43
k ∈
【点睛】
本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。