第2课时单摆受迫振动

第二课时单摆受迫振动

第一关：基础关展望高考

基础知识

一、单摆

知识讲解

1.单摆:在一条不可伸长的\,忽略质量的细线下端拴一质点,上端固定构成的装置.

2.单摆振动可看作简谐运动的条件:α≤10°.

3.周期公式:T=2πl

g

,式中摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力

加速度.

4.单摆的等时性:在小振幅摆动时,单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系.

5.应用:①测重力加速度g=

2

2

4l

T

;②计时器.

6.能量转化关系:在不计阻力的情况下,单摆在运动中摆球的动能和重力势能相互转化,总能量不变.

活学活用

1.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置的速度减小为

原来的1

2

,则单摆振动的()

A.频率不变,振幅不变

B.频率不变,振幅改变

C.频率改变,振幅改变

D.频率改变,振幅不变解析:

摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减小,由T=2πl

g

,可得单摆的周期与摆

球的质量和振幅无关,故B正确.

答案:B

二、受迫振动和共振

知识讲解

如果振动系统不受外力作用,此时的振动叫做固有振动,其振动的频率称为固有频率.

(1)阻尼振动

振动系统振动过程中受阻尼的作用,系统克服阻尼做功,消耗机械能,因而振幅减小.这种振幅减小的振动叫做阻尼振动.[来源:Z*xx*k.]

说明:物体做阻尼振动时,振幅不断减小,但振动的频率仍由自身结构决定,并不会随振幅的减小而变化.用力敲锣,锣受空气阻尼的作用,振幅越来越小,锣声减弱,但音调不变.

(2)受迫振动

振动系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动叫做受迫振动.

说明:物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关.

（3）共振

①定义:驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫做共振.

②条件:驱动力的频率等于系统的固有频率.

③共振曲线:直观地反映物体做受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系,即当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时,受迫振动的振幅A较小;当驱动力频率f等于固有频率f0时,受迫振动的振幅A最大.如图所示.

活学活用

2.

如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇柄,曲轴可以带动弹簧振子上下振动,开始时不转动摇柄,让振子上下自由振动,测得振动频率为 2 Hz,然后匀速转动摇柄,转速为240 r/min,当振子振动稳定后,它的振动周期是()

[来源:ZXXK]

A.0.5 s

B.0.25 s[来源:]

C.2 s

D.4 s

解析:转动摇柄,则弹簧振子做受迫振动,振动周期等于转动(驱动力)的周期T=60240

s=0.25 s.

答案:B

第二关：技法关解读高考

解 题 技 法

一、对单摆周期公式的理解

技法讲解 对周期公式T=2πl g

中的摆长l 和重力加速度g 分析如下： 1.周期公式中的摆长l

摆长l 是指摆球摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，它不一定等于摆线的长度.对于某些特殊情况的单摆，应求出等效摆长.

等效摆长：①在图中，两段细绳l 下系一密度均匀、质量为m 的小球，小球直径为d,则此双线摆的等效摆长：

L=l ·sin α+d 2，做简谐运动时的周期为：T=d lsin 22g απ+.

②在下图中，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d.l 2、l 3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1

处，故等效摆长为（l 1+d 2），周期T 1=1d 2l /g 2π+（）

；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为

（l 1+l 2sin α+d 2

）， 周期T 2=2π12d

l l sin /g.2α++（）

2.等效重力加速度：公式中的g 由单摆所在的空间位置决定. 由2

M G R =g 知,g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2.

典例剖析

例1

一单摆在大山脚下时，一定时间内振动了N 次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N-1)次，则此山高度约为地球半径的多少倍？

解析：

以g 1、g 2分别表示山脚与山顶处的重力加速度，则此单摆在山顶处的振动周期为 1212

l l T 2T 2g g ππ== 依题意，在相同时间内，此单摆在山脚下振动N 次，而在山顶上振动（N-1)次，有 ()12

1l 2N 2N 1g g ππ=- 所以12

g N N 1g =- ①

又设山脚离地心距离为R 1,山顶离地心距离为R 2,以M 表示地球的质量，根据万有引力定律，有

g 1=21GM R g 2=2

2

GM R 得212221

g R g R = ② 由①②式得R 2=N N 1

- R 1 故此山的高度h=R 2-R 1=

11R N 1- 答案：1N 1

-[来源:Z_xx_k.][来源:Zxxk.] 二、摆钟快慢的分析方法

技法讲解

摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的,若摆钟周期T 大于其准确钟的周期T s ,则为慢钟,若摆钟周期T 小于其准确钟的周期T s ,则为快钟.分析时应注意:

(1)由摆钟的机械构造所决定,无论准确与否的钟摆每完成一个全振动,摆钟所显示的时间

为一定值,也就是走时准确的摆钟的周期T s .

(2)在摆钟机械构造不变的前提下,走时快的摆钟,在给定时间内全振动的次数多,周期小,钟面上显示的时间多.走时慢的摆钟,在给定时间内全振动的次数少,周期大,钟面上显示的时间就少.因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期T s ,即t 显=N\5T s ,所以在同一时间t 内,钟面指示时间之比等于摆动次数之比.

(3)无论摆钟走时是否准确,钟面上显示的时间t 显=N\5T s ，式中T s 为走时准确摆钟的周期,N 为全振动的次数.对于走时不准确的摆钟,要计算其全振动的次数,不能用钟面上显示的时间除以其周期,而应以准确时间除以其周期,即N=t/T 非.(T 非即非准确时钟的振动周期)

典例剖析

例2

在高山下一座摆钟走时准确,移到高山上,它是快了还是慢了？一昼夜相差多少?已知山下的重力加速度为g 0,山上的重力加速度为g ′,一昼夜时间用t 0表示.

解析：

由摆钟周期T=2πl g

知,在山上重力加速度减小,周期变大,因而时钟会走慢,不准确