第2课时单摆受迫振动

第二课时单摆受迫振动第一关：基础关展望高考基础知识一、单摆知识讲解1.单摆:在一条不可伸长的\,忽略质量的细线下端拴一质点,上端固定构成的装置.2.单摆振动可看作简谐运动的条件:α≤10°.3.周期公式:T=2πlg,式中摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力加速度.4.单摆的等时性:在小振幅摆动时,单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系.5.应用:①测重力加速度g=224lT;②计时器.6.能量转化关系:在不计阻力的情况下,单摆在运动中摆球的动能和重力势能相互转化,总能量不变.活学活用1.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置的速度减小为原来的12,则单摆振动的()A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅改变C.频率改变,振幅改变D.频率改变,振幅不变解析:摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减小,由T=2πlg,可得单摆的周期与摆球的质量和振幅无关,故B正确.答案:B二、受迫振动和共振知识讲解如果振动系统不受外力作用,此时的振动叫做固有振动,其振动的频率称为固有频率.(1)阻尼振动振动系统振动过程中受阻尼的作用,系统克服阻尼做功,消耗机械能,因而振幅减小.这种振幅减小的振动叫做阻尼振动.[来源:Z*xx*k.]说明:物体做阻尼振动时,振幅不断减小,但振动的频率仍由自身结构决定,并不会随振幅的减小而变化.用力敲锣,锣受空气阻尼的作用,振幅越来越小,锣声减弱,但音调不变.(2)受迫振动振动系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动叫做受迫振动.说明:物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关.（3）共振①定义:驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫做共振.②条件:驱动力的频率等于系统的固有频率.③共振曲线:直观地反映物体做受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系,即当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时,受迫振动的振幅A较小;当驱动力频率f等于固有频率f0时,受迫振动的振幅A最大.如图所示.活学活用2.如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇柄,曲轴可以带动弹簧振子上下振动,开始时不转动摇柄,让振子上下自由振动,测得振动频率为 2 Hz,然后匀速转动摇柄,转速为240 r/min,当振子振动稳定后,它的振动周期是()[来源:ZXXK]A.0.5 sB.0.25 s[来源:]C.2 sD.4 s解析:转动摇柄,则弹簧振子做受迫振动,振动周期等于转动(驱动力)的周期T=60240s=0.25 s.答案:B第二关：技法关解读高考解 题 技 法一、对单摆周期公式的理解技法讲解 对周期公式T=2πl g中的摆长l 和重力加速度g 分析如下： 1.周期公式中的摆长l摆长l 是指摆球摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，它不一定等于摆线的长度.对于某些特殊情况的单摆，应求出等效摆长.等效摆长：①在图中，两段细绳l 下系一密度均匀、质量为m 的小球，小球直径为d,则此双线摆的等效摆长：L=l ·sin α+d 2，做简谐运动时的周期为：T=d lsin 22g απ+.②在下图中，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d.l 2、l 3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1处，故等效摆长为（l 1+d 2），周期T 1=1d 2l /g 2π+（）；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为（l 1+l 2sin α+d 2）， 周期T 2=2π12dl l sin /g.2α++（）2.等效重力加速度：公式中的g 由单摆所在的空间位置决定. 由2M G R =g 知,g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2.典例剖析例1一单摆在大山脚下时，一定时间内振动了N 次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N-1)次，则此山高度约为地球半径的多少倍？解析：以g 1、g 2分别表示山脚与山顶处的重力加速度，则此单摆在山顶处的振动周期为 1212l l T 2T 2g g ππ== 依题意，在相同时间内，此单摆在山脚下振动N 次，而在山顶上振动（N-1)次，有 ()121l 2N 2N 1g g ππ=- 所以12g N N 1g =- ①又设山脚离地心距离为R 1,山顶离地心距离为R 2,以M 表示地球的质量，根据万有引力定律，有g 1=21GM R g 2=22GM R 得212221g R g R = ② 由①②式得R 2=N N 1- R 1 故此山的高度h=R 2-R 1=11R N 1- 答案：1N 1-[来源:Z_xx_k.][来源:Zxxk.] 二、摆钟快慢的分析方法技法讲解摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的,若摆钟周期T 大于其准确钟的周期T s ,则为慢钟,若摆钟周期T 小于其准确钟的周期T s ,则为快钟.分析时应注意:(1)由摆钟的机械构造所决定,无论准确与否的钟摆每完成一个全振动,摆钟所显示的时间为一定值,也就是走时准确的摆钟的周期T s .(2)在摆钟机械构造不变的前提下,走时快的摆钟,在给定时间内全振动的次数多,周期小,钟面上显示的时间多.走时慢的摆钟,在给定时间内全振动的次数少,周期大,钟面上显示的时间就少.因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期T s ,即t 显=N\5T s ,所以在同一时间t 内,钟面指示时间之比等于摆动次数之比.(3)无论摆钟走时是否准确,钟面上显示的时间t 显=N\5T s ，式中T s 为走时准确摆钟的周期,N 为全振动的次数.对于走时不准确的摆钟,要计算其全振动的次数,不能用钟面上显示的时间除以其周期,而应以准确时间除以其周期,即N=t/T 非.(T 非即非准确时钟的振动周期)典例剖析例2在高山下一座摆钟走时准确,移到高山上,它是快了还是慢了？一昼夜相差多少?已知山下的重力加速度为g 0,山上的重力加速度为g ′,一昼夜时间用t 0表示.解析：由摆钟周期T=2πl g知,在山上重力加速度减小,周期变大,因而时钟会走慢,不准确了.由于摆钟计时是由振子振动带动指针跳动来指示时间刻度值的,在山下振动一次指针指示的时间为T 0,则在山上振动一次时,指针指示的时间也为T 0,因此,测量时间t 与振动次数N 成正比.在一段确定的时间t 0内,振动次数应与周期成反比,即t 0=N 0T 0=N ′T ′.山下摆钟一昼夜指示的时间为t 0=N 0T 0,山上摆钟一昼夜指示的时间为t ′=N ′T 0(N ′为山上摆钟摆动的次数),而N ′=t 0/T ′,故一昼夜两摆钟指示的时间相差Δt=t 0-t ′=(N 0-N ′)T 0=(000t t T T -').T 0=t 0(1-0T T ')=t 0(1-0g /g '). 答案：慢了t 0(1-0g /g '）第三关：训练关笑对高考随 堂 训 练1.一个壁厚均匀的空心球壳用一根长线把它悬挂起来，先让空腔中充满水，然后让水从球底部的小孔慢慢地流出来，如果让球摆动，那么在水流出过程中振动周期的变化情况是（）A.变大B.变小C.先变大后变小D.先变小后变大解析：本题主要考查摆长概念，由悬点到重心的距离，水流出过程中，重心应先降后升，故l 先变长后变短，T 先变大再变小，C 正确.答案：C2.有一秒摆，摆球带负电，在如图所示的匀强磁场中做简谐振动，则（）Ａ振动周期Ｔ０＝２ｓ Ｂ振动周期Ｔ０＞２ｓ Ｃ振动周期Ｔ０＜２ｓ Ｄ无法确定其周期大小解析：秒摆的周期为2 s ，加上磁场后，摆球在运动过程中受到洛伦兹力作用，但洛伦兹力始终沿绳子方向，与摆球运动方向垂直.因此对摆球做简谐振动不起作用，所以摆球的周期不变.应选A 项.若在悬点O 放一带负电的点电荷时，T 不变.答案：A ３有一摆长为ｌ的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点Ｍ至左边最高点Ｎ运动过程的闪光照片，如图所示（悬点和小钉未被摄入）．Ｐ为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为Ａｌ／４ Ｂｌ／２ Ｃ３ｌ／４ Ｄ无法确定[来源:学。

科。

Z 。

X 。

X 。

K]解析：由题意可知T 1=2T 2，T 1=1l 2g π，T 2=2l 2g π，l 2=14l 1，故选C. 答案：C4.一洗衣机正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是（）①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大[来源:ZXXK] ②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小 ③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率A.只有①B.③C.①④D.②④解析：洗衣机运行时，波轮的频率远大于洗衣机的频率，所以不会发生共振，当频率降低到与洗衣机的频率相同时，发生共振，振动最剧烈.答案：C5.在2008年发生的汶川地震中，测得其地震波的频率为50 Hz.设钢筋混凝土结构建筑物的固有频率与其高度的平方成正比，比例系数为0.5，在这次地震中多高的钢混建筑物振动最厉害？解析：设建筑物高度为h ，其固有频率为f ，二者关系式为f=0.5 h 2,即50=0.5 h 2,解得h=10 m.答案：10 m课时作业二十六单摆受迫振动1.如图所示的单摆，摆球a 向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的黏性小球b 发生碰撞，并黏接在一起，且摆动平面不变.已知碰撞前a 球摆动的最高点与最低点的高度差为h ，摆动的周期为T ，a 球质量是b 球质量的5倍，碰撞前a 球在最低点的速度是b 球速度的一半.则碰撞后 ()A.摆动的周期为 5T 6B.摆动的周期为6T 5 C.摆球的最高点与最低点的高度差为0.3 hD.摆球的最高点与最低点的高度差为0.25 h解析:单摆周期T=2πl g 与摆球质量和摆角无关，故A 、B 都错.设a 球碰撞前速率为v a ,碰后a 、b 共同速度为v ，上升最大高度为h ′，由机械能定守恒得m a gh=2a a 1m v 2, 由碰撞过程中动量守恒得m a v a -mb(2v a )=(m a +m b )v,又（m a +m b ）gh ′=12(m a +m b )v 2， 及ma=5m b ，联立解得h ′=0.25h ，故D 对.答案:D2.如图所示，AC 是一段半径为2 m 的光滑圆弧轨道，圆弧与水平面切于A 点，BC=7 cm.现将一个小球先后从曲面的顶端C 和圆弧中点D 由静止开始释放，到达底端时的速度分别为v 1和v 2，所用时间分别为t 1和t 2，则 ()A.v 1＞v 2,t 1=t 2B.v 1＜v 2,t 1=t 2C.v 1＞v 2,t 1＞t 2D.v 1=v 2,t 1=t 2 解析:小球两次运动均可看成类单摆运动.虽然释放的高度不同，但所用时间均为T l 42gπ=，故t 1=t 2.根据机械能守恒知，由C 下滑至A 点的高度差大，故由C 运动到A 点时的速度大，即v 1＞v 2.答案:A3.如图所示，单摆 甲放在空气中，悬点处固定一带正电小球，摆球亦带正电，周期为T 甲；单摆乙放在加速度a 向下加速运动的电梯中，周期为T 乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B 中，周期为T 丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E 中，周期为T 丁.若四个单摆摆长均相等，那么()A.T甲＞T乙＞T丁＞T丙B.T乙＞T甲＞T丙＞T丁C.T丙＞T甲＞T丁＞T乙D.T乙＞T甲=T丙＞T丁解析:甲摆所受库仑力和丙摆受的洛伦兹力总是沿半径方向，不影响回复力，则T甲=T丙=2πlg.根据等效重力加速度的求法，平衡位置处对乙有mg-F乙=ma，F乙=m·(g-a)，即T乙=l2;g aπ-对丁有：F丁=mg+qE=m(g+qEm)即T丁=l2qEgmπ+.[来源:ZXXK]答案:D4.一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是()A.t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小B.t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C.t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析:由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为0，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为0，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确.答案:D5.[来源:Z_xx_k.]一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速动的速度就可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，码砝便做简谐运动，振动图线如图乙所示. 当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则()A.由图表可知T0=4 sB.由图线可知T0=8 sC.当T在4 s附近时，Y显著增大，当T比4 s小得多或大得多时，Y很小D.当T在8 s附近时，Y显著增大，当T比8 s小得多或大得多时，Y很小解析:由图乙可知弹簧振子的固有周期T0=4 s，故A选项正确，B选项错误.根据受迫振动的特点：驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振，振幅最大；当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多，受迫振动物体振动稳定后的振幅越小.故C选项正确，D选项错误.答案:AC6.如图所示，单摆的摆线是绝缘的，摆长为L，摆球带正电，摆悬挂于O点，在AD间摆动，当它摆过竖直线OC时便进入磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场方向垂直于单摆的摆动平面向里，下列说法正确的是（）A.A 与D 处于同一水平面B.单摆的周期T=2πL g[来源:学_科_Z_X_X_K] C.单摆的振动周期T ＞2πL g D.单摆向右或向左摆过同一点C 时摆线的张力一样大解析:若不考虑带电摆球在磁场中的涡流现象，由洛伦兹力与绳的拉力不会对摆球做功可知摆球的机械能守恒，摆球到达的左、右两边最高点应处于同一水平面，A 对；既然机械能守恒，摆球在任何位置的动能与没有磁场作用时一样，即单摆的周期不受影响，B 对C 错；摆球向左与向右经过C 点时，由牛顿第二定律分别可得：T 1-f 洛-mg=2mv L ，T 2+f 洛-mg=2mv L ，可知向左摆过C 点时摆线的张力较大，D 错.答案:AB7.图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置.当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙，在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线.已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s ，图乙所示的一段木板的长度为0.60 m,则这次实验沙摆的摆长大约为（取g=π2） （）A.0.56 mB.0.65 mC.1.00 mD.2.25 m解析:把木板拉出时间t=s/v=3 s，沙摆振动周期T=t/2=1.5 s，由单摆周期公式T=L2gπ，沙摆摆长L=22T g4π=0.56 m,选项A正确.答案:A8.如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止释放，摆球运动到最低点B时的速度大小为v，不计空气阻力，则()A.摆球从A运动到B的过程中，重力做的功为12mv2B.摆球从A运动到B的过程中，重力做的功的平均功率为2 2mv TC.摆球运动到B时重力的瞬时功率为mgvD.摆球从A运动到B的过程中合力的冲量大小为mv解析：从A到B，由动能定理W G=12mv2，A对；运动时间t=14T，则平均功率为P=2GW2mvt T=,B对；摆球在最低点时，重力方向的速度为零，故重力的瞬时功率为P瞬=0，C错；由动量定理，合力的冲量I=mv，D对.答案：ABD9.如图所示，为同一个单摆分别在地球和月球上做受迫振动的共振曲线，则图线______表示的是在地球上单摆的共振曲线，可以求得该单摆的摆长为_____m，月球表面的重力加速度约为____ m/s2.解析:当驱动力的频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大.由图像可知，此单摆在两星球上自由振动的固有频率分别为0.2 Hz 与0.5 Hz,由f 固=1l2g π，f 固∝g ，地球表面的重力加速度大于月球表面的重力加速度，所以图线Ⅱ为单摆在地球上的共振曲线，且2πl g =1f 固，得2222g 9.8l 4f 4 3.140.5π==⨯⨯固≈1 m. 又22f l 1g 0.22,g 9.81.6?/.g f g f 0.5m s π⎛⎫''⎛⎫===⨯≈ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭固固固则，固 答案:Ⅱ1 m1.6 m/s 210.有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度.已知该单摆在海平面处的周期是T 0.当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h.把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体.解析:根据单摆周期公式T 0=0l 2g π T=l 2gπ 其中l 是单摆长度，g 0和g 分别是两地点的重力加速度.根据万有引力公式得g 0=2M G Rg=G ()2MR h +其中G 是引力常数，M 是地球质量.由以上各式解得0T h 1R T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.答案:0T h 1R T ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 11.将一根一端固定的钢锯条自由端挨着圆盘踞的边缘，圆盘上均匀分布着50个齿，求：（1）当它以10 r/s 的转速转动时，钢锯条的振动周期为多少？（2）当它以6 r/s 的转速旋转时，发现钢锯条的振幅最大，可知钢锯条的固有频率是多少？（假定圆盘锯齿始终不脱离钢锯条）解析:(1)当圆盘锯以10 r/s 的转速转动时，转运1个齿所用的时间设为t,有:n 1=10 r/s, 圆盘锯转动周期T 1=11n =0.1 s,t=1T 50=2×10-3s. 它即为圆盘锯提供的驱动力周期，所以钢锯条做受迫振动的周期T ′1=t=2×10-3s.(2)当n 2=6 r/s 时，圆盘锯的转动周期：T 2=211 s n 6= 圆盘锯提供的驱动力周期T ′2=2T 150300= s 驱动力频率f 2=21T '=300 Hz, 因此时钢锯条振幅最大，即发生共振，所以其固体频率f 固=f 2=300 Hz答案:（1）2×10-3s(2)300 Hz12.如图所示，两个光滑的定滑轮的半径很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的倾角为θ=30°.用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体，把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使悬线拉直且偏离竖直方向α=60°.现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内振动，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动.已知乙物体的质量为m=1 kg，若取重力加速度g=10 m/s2.求：甲物体的质量及斜面对甲物体的最大静摩擦力.解析:设甲物体的质量为M，所受的最大静摩擦力为f，则当乙物体运动到最高点时，绳子上的弹力最小，设为T1,对乙：T1=mgcosα此时甲物体恰好不下滑，有Mgsinθ=f+T1得Mgsinθ=f+mgcosα当乙物体运动到最低点时，设绳子上的弹力最大，设为T2为乙物体由动能定理：mgl(1-cosα)= 12mv2又由牛顿第二定律：T2-mg=m2 v l此时甲物体恰好不上滑，则有Mgsinθ+f=T2得Mgsinθ+f=mg(3-1cosα)可解得M=m(3cos)2sinαθ-=2.5 kgf=32mg(1-cosα)=7.5 N答案：2.5 kg,7.5 N。