初中数学,巧添辅助线解证几何题
初中几何添辅助线方法
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初中几何添辅助线方法初中几何学中,添辅助线是解题的常用方法之一。
通过巧妙地引入辅助线,可以简化问题,帮助我们更好地理解和解决几何问题。
本文将介绍几种常见的初中几何添辅助线方法。
一、三角形的辅助线方法1. 垂心和垂足当我们遇到一个三角形,需要证明某条线段平行于另一条线段时,可以考虑引入垂心和垂足。
通过引入垂心和垂足,我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形,从而简化证明过程。
2. 中位线中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
在解决三角形问题时,可以考虑引入中位线。
中位线将三角形分成两个全等的三角形,从而简化问题。
3. 角平分线角平分线将一个角分成两个相等的角。
在解决三角形问题时,可以考虑引入角平分线。
通过引入角平分线,我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形,从而简化证明过程。
二、四边形的辅助线方法1. 对角线对角线是四边形两个非相邻顶点之间的线段。
在解决四边形问题时,可以考虑引入对角线。
通过引入对角线,我们可以将四边形分成两个全等的三角形,从而简化问题。
2. 中线中线是连接四边形两个相邻顶点中点的线段。
在解决四边形问题时,可以考虑引入中线。
中线将四边形分成两个全等的三角形,从而简化问题。
三、圆的辅助线方法1. 半径和切线在解决圆的问题时,可以考虑引入半径和切线。
通过引入半径和切线,我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形,从而简化证明过程。
2. 弦和切线在解决圆的问题时,可以考虑引入弦和切线。
通过引入弦和切线,我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形,从而简化证明过程。
四、其他几何图形的辅助线方法1. 高和底边在解决梯形或三角形问题时,可以考虑引入高和底边。
通过引入高和底边,我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形,从而简化证明过程。
2. 中线在解决平行四边形问题时,可以考虑引入中线。
中线将平行四边形分成两个全等的三角形,从而简化问题。
初中几何学中的添辅助线方法是解题的重要手段之一。
通过巧妙地引入辅助线,我们可以简化问题,帮助我们更好地理解和解决几何问题。
巧添辅助线解证几何题
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巧添辅助线解证几何题
作者:倪小芳
来源:《数理化学习·初中版》2013年第06期
在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的问题加以解决.值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关.下面我们分别举例加以说明.
一、倍角问题
二、中点问题
三、线段的和差问题
四、垂线段问题
五、梯形问题
[江苏省金坛市第五中学(213200)]。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
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三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题,是初中几何部分的基础,也是重点和难点,不管是在中考还是平时的考试中,都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条,很容易掌握,但是一般考试中的题目,不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程,很多时候都要经过分析思考,添加辅助线,才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形(等边三角形)相关题目时,用三线合一性质,很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题:
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候,通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点,使所延长部分与该中线相等,并连接该点与这一条边的一个顶点,得到两个三角形全等。
如图所示,点D为△ABC边BC的中点.延长AD至点E,使得DE=AD,并连接BE,则△ADC≌△EDB(SAS)。
我们来看一个例题:
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线,做双垂直,必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线,也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中,关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧!
四、作平行线法
在几何题的证明中,作平行线的方法也非常实用,一般来讲,在等腰、等边这类特殊的三解形中,作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时,考虑截长补短法;截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
巧添辅助线解几何题(辅导练习题目)
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巧添辅助线解几何题(辅导练习题目)(答题时间:25分钟)1. 如图,求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数。
AB EOC D2. 如图,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F 。
求证:AF=EF 。
AFEB D C3. 已知E 是正方形ABCD 边CD 上的中点,点F 在BC 上,且∠DAE=∠FAE 。
求证:AF=AD +CF 。
A DEB F C4. 已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,BE 平分∠ABC ,CE ⊥BE 。
求证:CE=12BD 。
AEB C D【试题答案】1. 解:连结CDAB EOC D∵∠ECD+∠BDC=∠B+∠E=180°-∠BOE=180°-∠COD∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ECD+∠BDC+∠ACE+∠ADB=∠A+(∠ECD+∠ACE)+(∠BDC+∠ADB)=∠A+∠ACD+∠ADC=180°2. 证明:延长AD至G,使DG=AD,连结BGAFEB D CG∵BD=DC,∠BDG=∠ADC∴△BGD≌△CAD∴BG=AC=BE,∠G=∠CAD∴∠G=∠BEG=∠AEF∴∠AEF=∠CAD ∴AF=EF3. 过E作EG⊥AF于GA DEGB F C∵∠D=90°,∠AGE=90°AE平分∠DAF ∴ED=EG∵ED=EC ∴EG=EC∵∠EGF=∠C=90°EF=EF∴△EGF ≌△ECF (HL ) ∴GF=FC ∵ED=EG ,AE=AE ,∠D=∠AGE=90° ∴△ADE ≌△AGE (HL ) ∴AD=AG ∴AF=AG +GF=AD +FC即AF=AD +FC4. 证明:延长BA 交CE 的延长线于FFD AE B C∵BE 平分∠ABC ,CE ⊥BE∴CE=12CF又∵AB=AC ,∠BAC=∠CAF=90°∠ACF=∠ABD=90°-∠F∴△ACF ≌△ABD ∴CF=BD∴CE=12CF BD。
你会几种?5种常用三角形全等辅助线添加方法,有5道例题详解
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你会几种?5种常用三角形全等辅助线添加方法,有5道例题详解三角形全等,是初中几何的重点和基础。
不管是平时考试,还是中考数学,三角形全等更是高频出现各类题型当中。
一般考试题目中,不会直接出一个简单的三角形全等明摆在那里,一般都是需要添加辅助线,然后再得到三角形全等。
那么三角形全等有关的常用辅助线有哪些?方老师列举了以下5种,抛转引玉,希望大家喜欢。
点一下上方的关注。
方法一、遇到等腰三角形,三线合一性质,很实用很常用。
主要思维模式,就是利用三角形全等变换中的对折。
等腰三角形的三线合一的性质,在三角形的辅助线添加中应用非常广泛,同学们可以多多总结。
方法二、有三角形中线,倍长中线,构造三角形全等。
这个方法,是基本方法,屡试屡爽。
是利用三角形全等转换中的旋转。
本来有中点,两线段相等。
再倍长中线,得两线段相等。
再对顶角相等。
所以,三角形全等秒出。
方法三、遇见角平分线,做双垂直,必出三角形全等。
可以从角平分线上的点向两边做垂直,也可以过角平分线上的点做角平分线的垂直与角的两边相交。
这个方法,利用了三角形全等变换中的对折性质。
在很多综合几何题当中,角平分线的这个辅助线添加方法也很实用。
方法四。
根据题意,做平行线,比如例4中,过点E做EG∥AC。
此刻,这个问题,就迎刃而解了。
做平行线的方法也特别实用,主要利用了三角形全等变换中的平移,或者翻转折叠思想。
同学平时多总结类似的题型,和解题方法。
五。
截长补短法,得三角形全等。
这个方法,之前方老师还发过一个关于截长不补短发的专题内容。
一般来说,遇见求证一条线段等于两条线段之后的时候,多需用到截长或补短法,来添加辅助线。
关于三角形全等的知识归纳,请大家有好的想法,评论区留言。
北京数学中考添加辅助线题型解题方法
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北京数学中考添加辅助线题型解题方法
北京数学中考中,添加辅助线是一种常见的解题方法。
通过添加辅助线,可以将复杂的几何图形转化为更简单的图形,从而更容易找到解题思路。
以下是一些常见的添加辅助线的解题方法:
1. 连接两点:如果两个点与另一个点或线段有关联,可以考虑连接这两点,从而将问题转化为三角形或平行四边形的问题。
2. 作平行线:如果需要证明两条直线平行,可以考虑作一条与这两条直线都平行的线段,从而利用平行线的性质来证明。
3. 作垂线:如果需要证明一条直线与另一条直线垂直,可以考虑作一条与这两条直线都垂直的线段,从而利用垂直线的性质来证明。
4. 延长线段:如果需要证明一条线段的长度等于另一条线段的长度,可以考虑延长这条线段,从而利用全等三角形的性质来证明。
5. 构造中点:如果需要证明一条线段是另一条线段的一半,可以考虑构造一个中点,从而利用中点的性质来证明。
在添加辅助线时,需要注意以下几点:
1. 辅助线不是任意画的,需要符合题目的条件和要求。
2. 辅助线的作用是帮助解题,而不是增加难度。
因此,在添加辅助线时要考虑其作用和目的。
3. 在添加辅助线时,需要考虑其与已知条件和要求的关系,从而找到正确的解题思路。
总之,添加辅助线是解决几何问题的一种有效方法。
通过掌握常见的添加辅助线的解题方法,可以更好地解决几何问题。
初中几何做辅助线的方法及试题
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常见辅助线的方法:(最常见的就是连接特殊两点,作垂线和平行线(中位线)等)1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
2)遇到三角形的中点或中线,可作中位线或倍长中线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
必要时也可直接旋转。
3)遇到角平分线,可以在角平分线上一点像角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4)截长补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定的线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的相关性质加以说明。
这种方法适合于证明线段的和,差,倍,分等类的题目。
5)等面积法:利用三角形(或其他图形)面积不同求法来解决线段之间的问题。
6)遇到线段的垂直平分线,连接线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
7)遇到直角三角形,作直角三角形斜边上的中线。
8)在有特殊角的情况下,考虑作等边三角形。
一.倍长中线造全等1.(“希望杯”试题)已知,如图ΔABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是___________。
2.如图,ΔABC中,E,F分别在AB,AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小。
3.如图,在ΔABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE。
4.(09崇文二模)以ΔABC的两边AB,AC为腰分别向外作等腰RtΔABD和等腰RtΔACE,∠BAD=∠CAE=90°,连接DE,M和N分别是BC和DE的中点,探究:AM与DE的位置关系与数量关系。
(1).如图1,当ΔABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是___________,线段AM与DE的数量关系是___________。
(2).将图1中的等腰RtΔABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°(0<θ<90)后,如图2所示,(1)问中的两个结论是否发生改变?说明理由。
中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)
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专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题,在解答试题过程中,我们发现当题设条件不够,必须添加辅助线,把分散条件集中,建立已知和未知的桥梁,结合学过的知识,采用一定的数学方法,把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧,是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。
含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。
方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。
方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:(1)连对角线或平移对角线:(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形;(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线;(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题
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初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学:几何题型,辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中,D是BC中点,DE⊥DF,需要判断BE+CF与EF的大小关系,并证明结论。
思路点拨:利用倍长中线法,倍长过中点的线段DF使DG=DF,再证明△XXX≌△EDF,△FDC≌△GDB,将BE、CF与EF线段转化到△BEG中,利用两边之和大于第三边证明。
解析:连接BG、EG,因为D是BC中点,所以BD=CD。
又因为DE⊥DF,在△XXX和△EDF中,ED=ED,∠XXX∠EDF,DG=DF,因此△XXX≌△EDF(SAS),所以EG=EF。
在△XXX与△GDB中,CD=BD,∠1=∠2,DF=DG,因此△FDC≌△GDB(SAS),所以CF=BG。
因为BG+BE>EG,所以BE+CF>EF。
结论得证。
总结升华:有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段)。
变式:已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,需要证明CD=2CE。
解析:连接BF,延长CE至F使EF=CE。
因为EC为中线,所以AE=BE。
在△AEC与△BEF中,AE=BE,∠AEC =∠BEF,CE=EF,因此△AEC≌△BEF(SAS)。
所以AC =BF,∠A=∠FBE。
又因为∠ACB=∠ABC,∠XXX∠ACB+∠A,∠XXX∠ABC+∠A,所以AC=AB,∠XXX∠XXX。
因此AB=BF,BC为△ADC的中线,所以AB=BD,即BF=BD。
在△FCB与△DCB中,∠XXX∠DBC,BC=BC,因此△FCB≌△DCB(SAS),所以CF=CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,需要证明XXX。
解析:在AB上截取AE=AC,连接CE,作角ACE的平分线交AB于D,连接CD。
因为∠C=2∠B,所以∠ACE=∠XXX∠B,∠XXX∠A=∠1=∠2,所以△AED≌△ACD (SAS),因此ED=CD。
初中数学几何证明题画辅助线的技巧
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.初中数学几何证明题画辅助线的技巧在初中数学几何学习中,如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题,许多同学常因辅助线的添加方法不当,造成解题困难。
以下是常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀。
人人都说几何难,难就难在辅助线。
辅助线,如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。
图中有角平分线,可向两边作垂线。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
半径与弦长计算,弦心距来中间站。
圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。
弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。
内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。
辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
基本作图很关键,平时掌握要熟练。
解题还要多心眼,经常总结方法显。
切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。
分析综合方法选,困难再多也会减。
虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。
如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!精品。
初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全
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人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
初中数学_巧添辅助线__解证几何题
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巧添辅助线解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中.经常需要添加必要的辅助线.它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线.使图形的性质由隐蔽得以显现.从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线.使分散的条件得以集中.从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
一、倍角问题研究∠α=2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。
倍角问题分两种情形:1、∠α与∠β在两个三角形中.常作∠α的平分线.得∠1=12∠α.然后证明∠1=∠β;或把∠β翻折.得∠2=2∠β.然后证明∠2=∠α(如图一)2、∠α与∠β在同一个三角形中.这样的三角形常称为倍角三角形。
倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线(如图二)[例题解析]例1:如图1.在△ABC中.AB=AC,BD⊥AC于D。
求证:∠DBC=12∠BAC.分析:∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C.可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。
证法一:∵在△ABC中.AB=AC.∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC)=90°-12∠BAC。
∵BD⊥AC于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)=12∠BAC即∠DBC= 12∠BAC分析二:∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中.由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC”中含有角的倍、半关系.因此.可以做∠A的平分线.利用等腰三角形三线合一的性质.把½∠A 放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。
证法二:如图2.作AE⊥BC于E.则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC(同角的余角相等)即∠DBC=12∠BAC。
巧添辅助线解决二倍角问题
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因为 D /A , 以 L5= L , E = 1, E/ C 所 4
所 以 L5 = E, 以 A =,E 所 D A .
题, 感觉难度很大, 无从下手 .其实 , 这类问题添加辅助线 是有一定技巧和规律的, 可归纳总结为以下四种方法 :
1做 大 角 的平 分线 ; . 2 以小 角 的 顶 点 、 角 的 一 边 为 一 边 , 小 角 的 外 . 小 在 部 做 一个 与 小角 相 等 的角 ; 3 反 向延 长 三 角 形 大 角 的 一 个 边 , 另 外 一 边 相 . 与
求证 :B A +B ・ B :A C A C.
A
B
D
C
图3ห้องสมุดไป่ตู้
证明 延长 C B到 E, B =B 连结 A , 使 E A, E 则 E
1
= L3=÷ A c : C, A =A . 日 所以 E C
图 1
又 LA DE = C+ L2, A = L3+ 1 所 以 LD E , LA E = LD E, 以A =DE, 以 B :DE—B = D A 所 E 所 D E
巧 添辅 助 线 解 决 二 倍 角 问题
山 东省 即墨 市鳌 山卫 中学
平面 几何 中常 出现 “ 三角 形 的一 个 内角 为另一 个 内 角 的二倍 ”即 “ 二倍 角 ” 件 的 问题 , 生 遇 到这 样 的 问 条 学
2 6 3 6 27
周 义展
又 L2 = B D, 以 BD =A =A A 所 D
AC D = ADC .
因 为 1 :L2: 3=1: 2:
4, 以 LAC = 1 + L2 = 所 D
3/ 1 .
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巧添辅助线 解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
下面我们分别举例加以说明。
[例题解析]一、倍角问题 例1:如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 。
求证:∠DBC=12∠BAC.分析:∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。
证法一:∵在△ABC 中,AB=AC , ∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC )=90°-12∠BAC 。
∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二:∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。
证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E ,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC (同角的余角相等)即∠DBC=12∠BAC 。
证法三:如图3,在AD 上取一点E ,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明:例1也可以取BC 中点为E ,连接DE ,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。
同学们不妨试一试。
例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证:BC 2=AC 2+AC •AB分析:由BC 2=AC 2+AC •AB= AC (AC+AB ),启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形。
证明:延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA∵∠BAC 是△ABD 的一个外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= AC (AC+AB )=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D ,在AC 的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点。
求证:BD=CE分析:由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。
由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE移动一下位置,从而使问题得解。
证明:证法一:过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G (如上图) ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE∵AB=AC ∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中, ∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CE证法二:如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明:本题信息特征是“线段中点”。
也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G ,仿照证法二求解。
例4.如图,已知AB ∥CD ,AE 平分∠BAD ,且E 是BC 的中点A B CEG DFCABAB CD HEF求证:AD=AB+CD证法一:延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中 ∴△ABE ≌△CEF∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB∴AD=AB+DC证法二:取AD 中点F ,连接EF ∵AB ∥CD ,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12(AB+CD )∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 (AB+CD)= 12AD∴AD=AB+CD三.角平分线问题 例5.如图(1),OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题。
(1) 如图(2),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系。
(2) 如图(3),在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
A B C EFDA B CEF∴△AEF ≌△AGF∴EF=GF, ∠EFA=∠GFA由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线 可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中 ∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明:学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力。
抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。
解法二:(2)答(1)中的结论EF=FD 仍然成立。
理由:作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中∴EFG ≌△DFM∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由。
分析:判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析:在CM 上截取MQ=PD ,得□PQMD,再证明CQ=PE 答:PD+PE=CM证法一:在CM 上截取MQ=PD ,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴四边形PQMD 为平行四边形∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中 ∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2:延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,再证明PN=PE证法2:延长DF 到N ,使DN=CM ,连接CN同证法一得平行四边形DNCM ,及△PNC ≌△PEC∴PN=PE∴PD+PE=CM分析3:本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM , 且PABPACABCSSS+=证法三:连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明:当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解。
五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证:AB PF BC PE=分析:将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE •=, 即△PAB 与△PBC 证明:连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=CO同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥例8求证:三角形三条边上的中线相交于一点。
分析:这是一个文字叙述的命题。
要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证。
已知:△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线。
求证:AF 、BD 、CG 相交于一点。
分析:要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。
证明:设BD 、CE 相交于点G ,连接AG ,并延长交BC 于点F ,.作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 ∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线 又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合 即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点。