一般周期的函数的傅里叶级数(精)

E cos( n 1) t cos( n 1) t d t 2 0
E sin 2 t t 2 2 0
n>1时
E sin(n 1) t sin(n 1) t bn 0 2 (n 1) (n 1) 0
y
o 2
x

2 0

4 n
2 2
(1)
n
1

1 (2k 1) x cos f ( x) x 1 2 2 2 k 1 (2k 1) (0 x2) 8
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1 (2k 1) x ( 0 x 2 ) f ( x) x 1 2 cos 2 2 k 1 (2k 1) 8
,它在 的周期是 2
2

o

2
t
上的表达式为
an E sin t cos n t d t 0

0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t
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0


sin 2
(n 1, 2 ,)
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证明: 令 z
令
x
l lz f ( x) f ( ) , 则
,则
变成

F ( z 2 ) f ( f(
所以
l ( z 2 ) lz

)
) f(
lz

2l )
是以 2 为周期的周期函数 , 且它满足收敛

定理条件, 将它展成傅里叶级数:
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为
其中
(在 f (x) 的连续点处)
1 l n x an f ( x) cos d x (n 0 , 1, 2 ,) l l l 1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
( 在 F(z) 的连续点处 )
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其中
1 an

F ( z ) cos nz d z
(n 0 , 1, 2 ,) (n 1, 2 , 3 ,)
1 bn F ( z ) sin nz d z

令z
x
l
1 l n x an f ( x) cos d x (n 0 , 1, 2 ,) l l l 1 l n x bn f ( x) sin d x (n 1, 2 , 3 ,) l l l
tdt

0
0
n 1时 E an sin(n 1) t sin(n 1) t d t 2 0 1 1 E cos( n 1) t cos( n 1) t (n 1) 0 2 (n 1)
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由于半波整流函数 f ( t )
由收 收敛定理可得
f (t )
2

o

2
t
E 2E 1 f (t ) sin t cos 2k t 2 2 k 11 4k E
直流部分
交流部分
说明: 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,
E (1) n 1 (1) n 1 1 2 n 1 n 1 n 1 n 1
(1) n 1 1 E
(n 1)
2

2E , n 2k 2 (1 4k )
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b1 E sin t sin t d t 0
n x d x ( n 0 , 1, 2 , ) 其中 an f ( x) cos l 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 交wk.baidu.com电压
经半波整流后负压消
f (t )
失,试求半波整流函数的
傅里叶级数.
解: 这个半波整流函数
因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.
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例2. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
n x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 n x 2 x cos n 2 n 4 cos n n 4 (1) n 1 n x f ( x) sin n 1 n 2
( 在 f (x) 的 连续点处 )
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证毕
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
n x 其中 bn f ( x) sin dx l 如果 f (x) 为偶函数, 则有
( n 1, 2 , )
(在 f (x) 的连续点处)
说明: 此式对


也成立,
y
据此有
1 2 (2k 1) 2 8 k 1
第八节
第十一章
一般周期的函数的傅里叶级数
一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式
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一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x) 变量代换 z
x
l
周期为 2 函数 F(z)
将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式
o 2
x
2 0

2
n x sin 2

(0 x 2)
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(2) 将 作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 n x an x cos dx 2 0 2 2 n x 2 2 n x cos x sin n 2 n 2