概率论 大数定律与强大数定理
概率论中的极限定理研究
概率论中的极限定理研究概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件及其规律性的数学理论。
而概率论中的极限定理则是研究随机过程中随机变量序列的极限行为，对于理解概率分布的特性以及实际问题的分析具有重要意义。
本文将介绍概率论中的几个著名极限定理，并探讨其数学原理及应用。
一、大数定律大数定律是概率论中最基本的极限定理之一，它研究随机事件频率的稳定性。
大数定律表明，当独立随机变量序列满足一定条件时，随着观测次数的增加，样本均值将以极高的概率收敛到其期望值。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律是指对于独立同分布的随机变量序列，样本均值以概率1收敛到其期望值。
而强大数定律则要求随机变量序列满足更高的条件，如独立同分布序列满足狄利克雷条件时，样本均值几乎处处收敛到其期望值。
大数定律的应用广泛，例如在统计学和金融领域中，可以通过大数定律来评估样本的稳定性和收敛性，从而进行有效的决策和预测。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中最重要的极限定理之一，它研究随机变量序列的和的极限行为。
中心极限定理表明，随机变量序列的和在适当条件下将以正态分布为极限。
中心极限定理包括林德伯格-列维定理、棣莫弗-拉普拉斯定理等。
其中林德伯格-列维定理是最常用的中心极限定理，它要求随机变量序列服从独立同分布，并满足一定的矩条件，如只有有限的前几阶矩存在时，随着样本容量的增加，随机变量序列的和以正态分布为极限。
中心极限定理的应用广泛，例如在统计学中，可以通过中心极限定理来构建置信区间和进行假设检验，从而对总体的性质进行推断和判断。
三、大数定理与中心极限定理的关系大数定理和中心极限定理是概率论中的两个重要极限定理，它们之间存在着一定的联系和区别。
大数定律研究的是随机变量序列的平均值在大样本情况下的极限行为，强调的是随机变量的稳定性和收敛性。
而中心极限定理研究的是随机变量序列的和在适当条件下的极限行为，重点在于极限分布的形态。
此外，大数定律更强调样本容量的增加对结果的影响，而中心极限定理则关注随机变量累加的过程。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
lln大数定律
LLN大数定律1. 引言LLN（Law of Large Numbers，大数定律）是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的平均值在样本数量趋于无穷时趋于稳定的现象。
LLN是概率论和统计学中最基本的结果之一，被广泛应用于各个领域，包括金融、经济学、生物学和工程学等。
在本文中，我们将介绍LLN的基本概念、原理和应用。
首先，我们将讨论什么是随机变量以及如何定义平均值。
接着，我们将详细介绍LLN的两个主要版本：弱大数定律和强大数定律。
最后，我们将探讨LLN在实际问题中的应用，并给出一些例子。
2. 随机变量与平均值在概率论中，随机变量是一个函数，它将样本空间映射到实数集上。
随机变量可以是离散型的（取有限或可数无穷个值），也可以是连续型的（取无穷多个可能值）。
对于一个随机变量X，其平均值（或期望值）E(X)表示了该随机变量取值的平均水平。
对于一个离散型随机变量X，其期望值可以通过以下公式计算：P(X=x)E(X)=∑xx其中，x表示随机变量可能取的值，P(X=x)表示该值出现的概率。
对于一个连续型随机变量X，其期望值可以通过以下公式计算：∞E(X)=∫xf(x)dx−∞其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。
3. 弱大数定律弱大数定律是LLN的一种形式，它陈述了当样本数量增加时，样本均值趋于总体均值的现象。
具体来说，如果我们有一个独立同分布（i.i.d.）的随机变量序列X1,X2,...,X n，且这些随机变量具有相同的期望值μ和方差σ2，那么根据弱大数定律：limP(|X‾n−μ|<ϵ)=1n→∞其中，X‾n=1n ∑X ini=1表示样本均值。
换句话说，在样本数量趋于无穷时，样本均值接近总体均值的概率趋于1。
弱大数定律的证明需要使用切比雪夫不等式和独立性假设。
切比雪夫不等式提供了随机变量在其期望值附近取值的概率上限。
通过将切比雪夫不等式应用于样本均值，我们可以得到弱大数定律的结果。
4. 强大数定律强大数定律是LLN的另一种形式，它更加严格地描述了样本均值收敛到总体均值的现象。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。
下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。
弱大数定律的代表是辛钦大数定律。
具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。
那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。
2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。
强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。
伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
大数定律在概率论中的应用
大数定律在概率论中的应用概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象和概率规律。
在概率论的发展过程中，大数定律是一个十分重要的概念。
大数定律指出，当试验次数足够多时，随机事件的频率将接近于其概率。
本文将重点探讨大数定律在概率论中的应用，并展示它在实际问题中的重要性。
一、大数定律概述大数定律是概率论的核心内容之一，它主要研究随机试验次数足够多时，事件发生频率的稳定性。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两类，其中弱大数定律是指事件发生频率的期望值可以逼近其概率值，而强大数定律则是指事件发生频率的几乎必然收敛于其概率值。
二、大数定律的应用1. 投资收益率大数定律在金融领域中有广泛的应用。
比如，当投资者进行大量投资时，根据大数定律，投资收益率的均值将逐渐接近投资组合的期望收益率。
这对于评估投资风险和预测未来收益具有重要意义。
2. 统计调查在统计调查中，大数定律可以保证样本的代表性和可信度。
通过采集足够多的样本，可以使样本统计量接近总体参数，从而得到对总体的准确推断。
这在社会调查、市场研究等领域中具有重要应用价值。
3. 数字模拟数字模拟是一种通过计算机模拟随机实验的方法，用于分析复杂系统的行为。
大数定律在数字模拟中扮演着重要的角色，通过大量的模拟实验，可以得到收敛准确的近似解。
这在工程设计、风险评估等领域中被广泛使用。
4. 股票市场分析大数定律在股票市场分析中有着重要的应用。
通过分析历史数据并进行足够多的交易，可以根据大数定律，得到股票价格的趋势和波动范围，从而指导投资决策。
5. 生物统计学在生物统计学中，大数定律可用于描述生物学实验结果的稳定性。
通过重复实验并取得足够多的样本，可以保证实验结果的可靠性，为疾病治疗、药品研发等提供科学依据。
三、大数定律的重要性大数定律在概率论中的应用广泛且重要。
它为我们理解和分析随机事件提供了可靠的数学基础，有助于我们从大量试验中总结规律，并为实际问题的解决提供准确的依据。
大数定律与中心极限定理知识点整理
大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
下面将对它们的主要知识点进行整理。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。
它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。
具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。
这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。
与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。
二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。
它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。
3. 样本量越大，越接近正态分布。
总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。
大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。
它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。
大数定律弱大数定律强大数定律
大数定律弱大数定律强大数定律大数定律是概率论中的重要定理之一，用来描述随机试验中样本均值的收敛性质。
弱大数定律和强大数定律是大数定律的两种形式，它们分别适用于不同条件下的样本均值收敛情况。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍大数定律和它们的区别。
一、大数定律的概念大数定律是概率论的基础定理之一，它描述了当样本容量逐渐增大时，样本均值将会接近于总体均值的现象。
换句话说，大数定律说明了随机事件的平均结果会趋于稳定。
大数定律是统计学中非常重要的理论基础，对于判断样本均值是否能够代表总体均值具有重要意义。
二、弱大数定律的表述与证明弱大数定律也被称为伯努利定律或辛钦大数定律，它是大数定律的一种形式。
弱大数定律的表述是：对于独立同分布的随机变量序列，样本均值收敛于总体均值的概率为1。
换句话说，无论样本容量多大，样本均值与总体均值之间的差异都会在概率上趋于0。
弱大数定律的证明通常使用切尔诺夫辩证法。
根据独立同分布的条件，可以通过计算随机变量序列的方差和协方差来推导出样本均值的极限分布。
经过一系列推导，可以得到样本均值与总体均值之间的差异的概率极限为0，从而证明了弱大数定律。
三、强大数定律的表述与证明强大数定律也被称为布尔查诺夫大数定律，它是大数定律的另一种形式。
强大数定律的表述是：对于满足一定条件的随机变量序列，样本均值几乎处处收敛于总体均值。
与弱大数定律不同的是，强大数定律要求随机变量序列满足更严格的条件，如独立同分布序列的方差有界等。
强大数定律的证明比较困难，常采用盖希尔定理、泛函不等式等方法。
通过引入随机变量序列的独立性和方差有界性等条件，可以推导出样本均值的收敛性。
强大数定律表明，样本均值几乎必然收敛于总体均值，这是一种强收敛性的结果。
四、大数定律的应用大数定律在实际应用中具有广泛的意义。
首先，大数定律为统计推断提供了理论基础，使得我们能够根据样本均值对总体均值进行有力的估计。
其次，在金融和经济领域，大数定律被广泛用于建立风险模型和评估投资回报率。
简述大数定律的内容
简述大数定律的内容
大数定律是概率论中的一个重要理论，描述了随着样本数量的增加，随机变量的平均值将趋近于其数学期望。
大数定律可分为两种形式：弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律（也称为大数定律的辛钦版本）指出，对于独立同分布的随机变量序列，它们的平均值将以概率1收敛于数学期望。
换句话说，当样本数量足够大时，随机变量的平均值与其数学期望之间的差距将会非常小。
强大数定律（也称为大数定律的伯努利版本）则更加严格，它要求随机变量序列必须满足独立同分布的条件，并且序列的方差有限。
在这种情况下，随机变量的平均值将以概率1收敛于其数学期望。
这意味着，随着样本数量的增加，随机变量的平均值将无限接近于其数学期望。
大数定律的重要性在于它提供了理论基础，支持我们在实践中使用样本平均值来估计总体平均值。
例如，当我们进行市场调查或者进行统计抽样时，我们往往只能获取到一部分样本数据，而无法获得整个总体的数据。
通过大数定律，我们可以确信，随着样本数量的增加，我们得到的样本平均值将越来越接近总体平均值。
除了在统计学中的应用，大数定律还在金融、经济学等领域有重要的应用。
例如，股票市场的波动性可以用大数定律来解释，即当交易者数量足够大时，市场价格将趋于公允价格。
此外，大数定律还可以应用于风险管理，通过对大量的风险数据进行分析，可以帮助我们更好地评估和控制风险。
总之，大数定律是概率论中的一个基本理论，它描述了随机变量序列的平均值在样本数量增加时趋于稳定的性质。
该定律在统计学和其他学科中有广泛的应用，为我们提供了在有限的样本数据中进行推断和预测的理论依据。
概率论中的大数定理证明技巧探讨
概率论中的大数定理证明技巧探讨概率论中的大数定理是概率论的基本理论之一，它描述了随机事件在重复试验中的统计规律。
本文将探讨概率论中的大数定理证明技巧，帮助读者更好地理解并应用于实际问题中。
一、大数定理概述大数定理是概率论中研究随机过程的重要理论，在统计学和概率论的应用中具有广泛的实际意义。
大数定理主要分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
弱大数定律指出，对于一组独立同分布的随机变量序列，其算术平均值将以概率1收敛于该随机变量的数学期望。
强大数定律则更为严格，在一定条件下，随机变量的算术平均值不仅以概率1收敛于期望，还以1的速度收敛。
二、证明技巧探讨1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是大数定理证明中常用的一种技巧。
它将随机变量与其数学期望的距离与方差之间建立了关系。
根据切比雪夫不等式，可以通过控制方差的大小来得到收敛性的证明。
2. 独立性和同分布性大数定理的证明通常基于随机变量序列的独立性和同分布性。
通过独立同分布的假设，可以简化问题，使问题的分析更加容易。
在证明时，通常需要使用一些统计学中的基本理论，如数学期望的线性性质和方差的加性性质等。
3. 极限定理的应用极限定理是大数定理证明中重要的工具。
中心极限定理和大数定理之间存在内在的联系，通过中心极限定理可以推导出大数定理。
中心极限定理指出，对于一组独立同分布的随机变量序列，其标准化后的和服从标准正态分布。
三、实例分析为了更好地理解大数定理证明技巧，下面以掷硬币为例进行实例分析。
假设我们重复掷硬币1000次，出现正面朝上的次数记为X。
根据大数定理，当试验次数趋于无穷大时，X的频率将接近于0.5。
我们可以使用切比雪夫不等式来证明这个结论。
假设硬币正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为q=1-p。
由于硬币是均匀的，p=q=0.5。
根据切比雪夫不等式，我们有：P(|X/n-0.5| ≥ ε) ≤ (p(1-p))/(nε^2)其中，X/n表示正面朝上出现的频率，ε为我们期望的误差范围。
大数定律公式了解大数定律的数学表达式
大数定律公式了解大数定律的数学表达式大数定律是由概率论中的大数定理推导而来的数学定律。
它的核心思想是指当独立随机事件重复多次时，随着试验次数的增加，事件发生频率趋于某个常数的概率趋近于1。
大数定律的数学表达式有多种形式，下面将介绍其中两种常用表达式：大数定律之弱大数定律和大数定律之强大数定律。
1. 弱大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的弱大数定律表达式，对于任意正数ε，有：lim (n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| < ε) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ的差异小于任意给定的正数ε的概率趋近于1。
2. 强大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的强大数定律表达式，有：P(lim (n→∞) (X1+X2+...+Xn)/n = μ) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ完全相等的概率趋近于1。
弱大数定律告诉我们，随着实验次数的增加，样本均值与总体均值的差异会越来越小，但并不能保证它们完全相等。
而强大数定律则告诉我们，当实验次数足够多时，样本均值将会无限接近于总体均值。
大数定律是概率论中的重要定理，广泛应用于统计学、金融学、经济学等领域。
它帮助我们理解了随机现象的规律性，为科学实验和统计分析提供了依据。
总结起来，大数定律的数学表达式包括弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律表达了样本均值与总体均值的差异在无限实验中趋近于0的概率趋近于1，而强大数定律表达了样本均值与总体均值完全相等的概率趋近于1。
这些公式的推导和证明都是基于概率论的数学推理，通过它们的应用，我们可以更好地理解随机过程中的规律性。
概率论中的若干强大数定律
概率论中的若干强大数定律
概率论中有许多强大的定理，如高斯小波定理、大数定律、中心极限定理等。
这些定理对于理解和分析随机现象具有重要意义。
高斯小波定理，又称为波尔定理，它指出了在一定条件下，连续的随机变量的和的分布逼近于高斯分布。
大数定理，又称为比较定理，它告诉我们随机变量的平均值收敛于期望值，当样本量越大时误差越小。
中心极限定理，又称为大数中心定理，它告诉我们，当样本量足够大时，任意连续分布的和都会收敛于高斯分布。
这些定理在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
高斯小波定理指出，如果X1，X2，...,Xn是独立且具有相同分布的连续随机变量，则：
X1 + X2 + ... + Xn ~ N(n E(X),n D(X))
其中E(X)和D(X)分别是X的期望值和方差，~ 表示“类似于”。
大数定理告诉我们，当样本量足够大时，样本平均值收敛于总体平均值。
这意味着，对于任意给定的置信水平和误差限制，随着样本量的增加，样本平均值的
误差会减小。
中心极限定理告诉我们，当样本量足够大时，不管总体分布是什么样的，样本的均值都会收敛于高斯分布。
这意味着，如果我们取足够多的样本，那么样本的均值分布就会像高斯分布一样。
这个定理对于理解和分析随机现象具有重要意义。
这些定理是概率论中的基本定理，在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
概率论大数定律与强大数定理
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设X1, X2,, Xn ,是随机变量序列 ,
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这样一个常数序列a1, a2 ,, an ,,
对任意的ε 0,恒有
lim
n
P
Yn
an
ε
0
lim
n
P
1 n
i
n 1
X
i
1 n
n i 1
EX i
ε 0
或者lim n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
EX i
1
【证】因为Xn两两不相关, 故
D
1 n
n i 1
Xi
1 n2
n i 1
DXi
C n
再由车贝晓夫不等式得到
0
P
1 n
i
n 1
X
i
1 n
n i 1
EX i
ε
D
1n
n i1 ε2
Xi
C nε2
于是，当 n 时，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1 n
或者lim P n
Yn an
1
则称随机变量序列 X n 服从大数定律.
【定律】马尔可夫大数定律
数学专业河南省考研复习资料数理统计重要定理梳理
数学专业河南省考研复习资料数理统计重要定理梳理一、概率论中的重要定理1. 大数定律大数定律是概率论中的一大核心定理，分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
弱大数定律指出，随着试验次数的增加，随机变量的平均值逐渐收敛于其数学期望；而强大数定律则进一步指出，几乎所有的样本路径都满足该收敛性质。
2. 中心极限定理中心极限定理是统计学中的重要定理之一，包括李雅普诺夫中心极限定理、独立同分布中心极限定理和林德伯格-列维中心极限定理。
这些定理都表明，在一定条件下，独立随机变量的和近似服从正态分布。
二、统计推断中的重要定理1. 极大似然估计极大似然估计是统计推断中常用的一种方法，通过最大化样本的似然函数来估计未知参数的值。
极大似然估计具有无偏性和渐进正态性等性质，且在一定条件下具有最优性。
2. 置信区间置信区间是统计推断中用来估计未知参数的范围。
其思想是通过对样本数据的分析，给出一个区间，使得该区间包含未知参数的真值的概率达到预定水平。
置信区间的计算方法有多种，包括常用的正态分布置信区间和Bootstrap置信区间等。
3. 假设检验假设检验是统计推断中用来考察两个或多个统计量差异是否显著的方法。
其基本步骤包括建立原假设和备择假设、选择适当的检验统计量、计算p值和做出决策等。
常用的假设检验方法有Z检验、T检验、卡方检验和F检验等。
三、多元统计分析中的重要定理1. 主成分分析主成分分析是多元统计分析中常用的一种降维技术，通过线性变换将原始变量转化为一组互相不相关的主成分，以解释原始数据的大部分方差。
主成分分析可用于数据降维、探索变量间的相关关系和分类等。
2. 因子分析因子分析是一种用来研究变量间潜在关系的统计方法。
通过分析变量之间的协方差矩阵或相关矩阵，将原始变量转化为一组较少的不相关因子，以解释原始数据的方差-协方差结构。
3. 判别分析判别分析是多元统计中的一种重要方法，主要用于提取变量信息以实现分类的目的。
其原理是通过构造判别函数，实现将样本分为不同类别的目标。
概率论大数定律与强大数定理
lim
n
P
1 n
n k 1
X
2 k
2
1.
内容小结
马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 泊松大数定律 辛钦大数定律
贝努里(Jacob Bernoulli)
1654-1705
瑞士人, 贝努里家族的三大 杰出的数学家之一.
首先发展无穷小分析, 1960 年提出悬连线问题,首创积分 “integral”这一术语.
【定律】（泊松大数定律）
如果在一个独立试验序列中,事件 A 在第k次试验 中发生的概率是pk ,以n 记在前n次试验中事件A出现 的次数, 则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
n n
1n
n
pk
k 1
0
或
lim
n
P
n n
1n
n
k 1
pk
1 n
i
n 1
X
i
1 n
i
n 1
EX
i
ε
0
【定律】车贝晓夫大数定律
设X1, X 2 , , X n , 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
DX1 C, DX2 C,, DXn C,
则对任意的 ε 0,恒有
E
X
i
.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设X1, X 2 , , X n , 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
三个大数定律的条件和结论
三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。
在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。
我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。
2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。
它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。
如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。
3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。
3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。
在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。
4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。
强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。
这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。
5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。
5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。
5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。
这意味着方差不能趋近于无穷大。
在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。
6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。
概率论中的大数定理及应用
概率论中的大数定理及应用概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件发生的规律和概率分布。
大数定理是概率论中的基本理论之一，用来描述随机事件的长期平均性质。
本文将简要介绍大数定理的基本原理，并阐述其在实际应用中的重要性。
一、大数定理的基本原理大数定理是概率论中的一组定理，主要描述了当随机事件重复进行多次时，其平均结果逐渐逼近其期望值的现象。
大数定理可以分为弱大数定理和强大数定理两种形式。
1. 弱大数定理弱大数定理也叫伯努利大数定理，是大数定理的一种弱形式。
它指出，对于一系列相互独立的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，接近于其期望值。
简单来说，弱大数定理表明随着试验次数的增加，事件产生的频率将逐渐接近其概率。
2. 强大数定理强大数定理也叫辛钦大数定理，是大数定理的一种强形式。
它指出，对于一系列相互独立同分布的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，几乎必然收敛于其期望值。
强大数定理更加严格，要求样本之间不仅是独立的，还要具有同分布的性质。
二、大数定理的应用大数定理在实际应用中具有广泛的意义，涉及到多个领域。
1. 统计学在统计学中，大数定理为我们提供了从有限样本中推断总体性质的理论基础。
通过采样和测量，我们可以利用大数定理来估计总体参数，并评估估计的准确性。
例如，在民意调查中，通过抽取一定数量的样本进行调查，利用大数定理可以推断出全体人口的某一属性的概率。
2. 金融学在金融学中，大数定理被广泛应用于风险管理和投资决策。
通过收集大量的历史数据，可以利用大数定理计算出某种金融工具的预期收益和风险。
基于大数定理，投资者可以对市场行为进行合理预期，从而更好地进行投资决策。
3. 信号处理在信号处理领域，大数定理用于解决噪声问题。
通过多次观测同一信号，并对观测结果进行平均处理，可以去除随机噪声的影响，提取出真实信号。
大数定理保证了平均处理的结果逐渐趋近于真实信号，从而提高了信号处理的准确性和稳定性。
大数定律和强大数定律的推广
大数定律和强大数定律的推广1 引言大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理．2 大数定律2．1 大数定律的叙述定义2．1．1 设｛X n ｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果n1∑=-nk k kX E X1)]([−→−p0，则称｛X n ｝满足大数定律．定理2．1．1 （马尔可夫大数定律）设｛X n ｝是方差有限的随机变量列，如果有)(112→∑=nk n X D n则｛X n ｝满足大数定律．推论2．1．2（切贝谢夫大数定律） 若序列｛X n ｝两两不相关且方差有界：D(X n )≤C(n ≥1)，则｛X n ｝满足大数定律．推论2．1．3（伯努利大数定律） 设n μ为n 重伯努利试验中成功次数，则当n →∞时有nnμ−→−pp ．定理2．1．4（辛钦大数定律） 对于独立同分布随机变量列｛X n ｝，大数定律成立的充分必要条件是E(n ξ)=a 有限．证明 必要性是大数定律的定义所要求的．只需证明充分性．假定｛X n ｝之共同的特征函数为f(t)，则由引理2．8（《概率论》杨振明 科学出版社 P213）知t 0→时有f(t)＝1+iat+o(t) 从而∑=nk kXn11的特征函数为nn n t o n tiantf )](1[)]([++= 运用如下分析事实：对复数列｛c n ｝而言c n c →蕴含(1+nc n )n c e →，便可得证iatn n n n e nt o n iat n n t f =∙++=)])([11(lim )]([lim ．根据连续性定理1．10（《概率论》杨振明 科学出版社 P204）及定理1．6（《概率论》杨振明 科学出版社 P141）便得∑=nk kXn11依概率收敛到a ．事实上该定理证明用到了概率论中弱收敛和特征函数收敛之间的等价关系，而几种收敛性之间的互推关系是一个重要的内容，这将在本文的最后一节加以阐述．2． 2 大数定律的推广2．2．1 大数定律定义的推广首先介绍几个引理．定义 称r ．v ．'s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝是尾列等价的，若 P(X n ≠Y n ，i ．o ．)＝0称r ．v ．'s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝是收敛等价的，若它们的收敛点集只相差一个零测集．引理1 （等价性引理）设r ．v ．’s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝满足∞<≠∑∞=1)(n n n Y X P ，则下列叙述成立．(1) ｛X n ｝和｛Y n ｝是尾列等价的； (2)｛X n ｝和｛Y n ｝是收敛等价的；(3)若b n ∞↑，则｛b 1-n∑=nk kX1｝和｛b1-n∑=nk kY 1｝是收敛等价的，且在公共收敛点上，它们的极限相同．证 P(X n n Y ≠，i ．o ．)＝∞→n lim P( n k k k Y X ≥≠)()∑≥≠≤nk k kY XP )(lim=0，故(1)成立，而(2)和(3)的成立是显然的．定义2．2．1 设{ X n }为一列r ．v ．序列，如果存在常数列｛A n ｝和正常数序列｛B n ｝,其中B n ∞→，使nb B S －A n −→−p则称{ X n }服从弱大数定律（简称大数定律）．定义2．2．1是定义2．1．1的推广，但事实上我们所主要讨论的仍然是独立r ．v ．列以及B n =n 这种形式．2．2．2 ｛X n ｝为任意r ．v ．列．定理2．2．1 （格涅坚科定理） 对随机变量序列｛i X ｝，若记Sn=n1(X1+X2+．．．+Xn)，a n =)(121n EX EX EX n+++ ，则｛X n ｝服从大数定律的充要条件是})(1)({lim 22n n n n n a S a S E -+-∞→＝0证 （充分性）令n η＝S n －a n =)(1n n ES S n -＝∑=-nk k kEX Xn1)(1，设其分布函数为F n (x)，则P(()ε≥-∑=nk kkEXXn11)=P(εη≥n )=⎰≥εx n x dF )(⎰≥++≤εεεx n x dF xx)(112222=⎰≥++εεεx n x dF xx)(112222⎰∞+∞-++≤)(112222x dF xxn εε=⎪⎭⎫ ⎝⎛++222211n n E ηηεε0→ 故｛X n ｝服从弱大数定律．（必要性） ｛X n ｝服从大数定律，所以0>∀ε))(1(lim 1ε≥-∑=∞→nk k kn EX X nP =))(1(lim ε≥-∞→n n n ES S nP=0)(lim =≥∞→εηn n P (*)P(εη≥n )=⎰≥εx n x dF )(=222222222)1()(1)(1)(1εηηεε-+≥+-+=+⎰⎰⎰<∞+∞-≥nnx n n x n E x dF xxx dF xxx dF xx令n ∞→ 由(*)及ε的任意性可得 })(1)({lim 22n n n n n a S a S E -+-∞→＝0定理2．2．2 （伯恩斯坦定理）已知随机变量序列｛X n ｝的方差有界：DX n C ≤，并且当∞→-j i 时，相关系数r ij 0→，则｛n X ｝满足大数定律．证 因当∞→-j i 时，r ij 0)()()cov(→-=j i j i X D X D X X ，且D(X n )C ≤故)()(),c o v (),c o v (→≤j i j i j i X D X D X X CX X 当∞→-j i 时所以对于任意0>ε，),cov(j i X X εC ≤．εnn nC X XX D n X D nnnj i j in k k nk k 1)),cov(2)((1)(1,11212-+≤+=∑∑∑≤≤== 又由ε的任意性可知01)(112→-+≤∑=εnn nC XD nnk k n ∞→时由定理2．1．1可知｛X n ｝符合大数定律．2．2．3 {X n }为独立r ．v ．列定理2．2．3 设{ X n }为一列独立的r ．v ．序列，则nS n −→−p0的充分必要条件是(i)∑=≥nk kn XP 1)(→0；(ii)21n∑=<nk n X kk I XD 1)(][→0；(iii)n1∑=<nk X kn IXE k1][→0；证 令Y k =X k I )(n Xk<充分性 由Chebushev 不等式，独立性条件(ii)，对ε∀>0，我们有P(n1∑=-nk k kEY Y1)(ε≥)≤2-εn2-∑=nk kYVar 1)(→因而有n1∑=-nk k kEY Y1)(−→−p由条件(iii)有n1∑=nk kY1)(−→−p0 (2．1)由条件(i)，｛X n ｝和｛Y n ｝尾列等价，由引理1得∑=-nk kn YnnS 11−→−p再由(2．1)式即得0−→−pnnS ．必要性 设0−→−pn nS ，以k μ表示r ．v ．X k 的中位数，f k 表示X k 的c ．f ．，g n (t)为nS n 的c ．f ，，则由完全收敛性准则g n (t)=∏=→nk k ntf 11)(．设c>1，由命题5．12（）知在每个有限区间［－c ，c ］上g n (t)一致收敛，因此当n 充分大时log )(t g n →0，故由弱对称化不等式及c ．f ．性质6的第二个不等式有21∑∑==≥≤≥-nk nk k kk cnX P cnX P 112)1()1(μ⎰-≤cn du u g c2)(log 7→0 (n ∞→) (2．2)又因为nX n＝111-⋅---n S n n nS n n 0−→−p所以0→nnμ，注意到c<1，由(2．2)式即得(i)．由c ．f ．的性质8的第一个不等式及g n (t)→1，当n 充分大时2∑=nk k nY Var 1)(=∑=nk sknY Var 1)(≤∑=-nk k en f R12)])1((1[3≤－3∑=nk k n f 12)1(log=－3log 2)1(ng n →0 (2．3)因此(iii)成立．由于0−→−pn nS ，由(i)和引理1有∑=−→−nk pkY n11，有chebushev不等式和(2．3)式，P(ε≥-∑=nk k kEY Yn1)(1)∑=→≤nk k nY Var 120)(1ε故0)(11−→−-∑=pnk k kEY Y n从而∑=nk kEY n 11＝0)(11→-∑=nk k kEY Y n即(i)成立．2．2．4 ｛X n ｝为独立同分布r ．v ．序列．推论2．2．2 若｛X n ｝为独立同分布r ．v ．序列（简记为i ．i ．d ．序列），则0−→−pn nS 的充分必要条件是(i)＇ nP(n X >1)0→ (ii)＇ EX 1I )(1n X<0→证 我们只要证明(i)能推出定理中的条件(ii)即可．由于｛X n ｝为i ．i ．d ，条件(ii)等价于)(1)(11n X I X D n <→0 (2．4)事实上，我们由(i)＇可推出1)(211→<n X I EXn (2．5)这是由于EX )(211n XI <=∑=≤≤-nj j X j I EX 1)1(211∑=<≤-≤nj j X j P j 112)1(∑∑==<≤-≤nj ji j X j iP 111)1(2=2∑∑==<≤-ni nj j X j P i 111)1(=2∑=<≤-ni n X i iP 11)1(∑∑==≥+≤-≥≤ni n i i X ip i X ip 1111)(22)1(2 (2．6)注意到如果a n →0，则∑=nk kan110→这一事实，由条件(i)＇和(2．6)式即知(2．5)式成立，从而(ii)成立．如果EX 1存在有限，则EX 1I )(1n X >0→，由Chebyshev 不等式知nP(n X ≥1)≤E[X 1I )(1n X≥]0→，因此我们可以得到．推论2．2．3 如果｛X n ｝为i ．i ．d ．r ．v ．序列，则1EX nS pn −→−的充分必要条件是EX 1有限．事实上推论2．2．3就是我们所熟悉的辛钦大数定律．上面我们对于推广后大数定律的结论的讨论是遵循一定顺序的，主要是按照随机序列所满足条件的严格性的变化来讨论的，很明显，首先是在任意随机序列的基础上添加一定条件得到格捏坚科定理和伯恩斯坦定理，然后要求随机序列依次满足独立条件和独立同分布条件，得到大数定律的充分条件和充分必要条件．2．3 大数定律的进一步推广定义2．3．1 称r ．v ．序列｛X n ；n 1≥｝是弱稳定的，如果存在常数序列｛a n ｝和｛b n ｝，0<a n ∞↑，使得n n nb Y a -10−→−p(2．3．1)定义2．3．2 称r ．v ．序列｛X n ；n 1≥｝服从大数定律，如果{S n }是弱稳定的，这里S n =∑=nk k X 1．若记X nk =nka X，引入组列｛X nk ；k=1，2，．．．，n ，n ＝1，2，．．．｝，可用组列的概念定义大数定律，并且推广一些定理．定义2．3．3 称r ．v ．组列｛X nk ；k=1，2，．．．，k n ，n ＝1，2，．．．｝服从大数定律，如果存在常数列｛b n ｝，使得0−→−-∑pn knkb X换言之，｛X nk ｝服从大数定律，当且仅当存在常数列｛b n ｝，使得nknk b X -∑的分布弱收敛于退化分布D(x)=⎩⎨⎧><0,10,0x x 若 若引入组列的概念后，就可以给出定理2．2．1的更一般的形式．即下述定理．定理2．3．1 独立r ．v ．组列｛X nk ｝满足无穷小条件且0−→−∑pknkX的充要条件是对任给的0>ε和某个0>τ∑→≥knkXP 0}{ε．∑<knk nkX I XE )}({τ0→． ∑<knk nkX I XD )}({τ0→．我们可把“对任给0>ε和某个0>τ”换作“任给的0>ε和任给0>τ”． 证：3 强大数定律3．1 强大数定律的叙述定义3．1．1 设｛X n ｝为随机变量列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果−→−-∑=..1)]([1s a nk k kX E Xn则称｛X n ｝满足强大数定律．在独立情形下讨论强大数定律．定理3．1．1 柯尔莫戈洛夫强大数定律 设｛X n ｝是独立随机变量序列，满足∑∞=+∞<12)(k k kD ξ则强大数定律成立．证明可查看由杨振明编著的《概率论》的P221，本定理的证明用到了概率论中非常重要的截尾法。
三个大数定律的区别与联系
大数定律是概率论中的一类重要定理，描述了随机变量序列的算术平均值在一定条件下向其数学期望收敛的性质。
通常提到的大数定律有三种主要类型：弱大数定律、强大数定律和伯努利大数定律。
这三种大数定律的区别与联系如下：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN）：-也称为“依概率收敛”(convergence in probability)。
-声明对于任意给定的正数ε，当样本数量趋于无穷时，随机变量序列的算术平均值与真实均值之间的差距小于ε的概率趋近于1。
-这意味着当我们取样足够多时，算术平均值几乎总是在真实均值附近。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）：-也称为“几乎确定收敛”(almost sure convergence)或“以概率为1收敛”、“几乎处处收敛”。
-强调的是随着样本数量趋于无穷，算术平均值等于真实均值的事件发生的概率为1。
-这比弱大数定律更强，因为它表明了在无限次重复试验下，算术平均值收敛到真实均值几乎是必然的。
3. 伯努利大数定律（Bernoulli's Law of Large Numbers）：-是最早的大数定律，由雅各布·伯努利提出。
-描述了一组独立同分布的伯努利实验在大量重复后，成功次数的比例接近于成功的先验概率。
三者的关系在于它们都涉及到随机变量序列的算术平均值与真实均值之间的关系，但强度不同。
弱大数定律是最弱的形式，它只保证了算术平均值以某种概率接近真实均值；强大数定律则更强，它保证了在几乎所有可能的实验结果中，算术平均值会收敛到真实均值；而伯努利大数定律是一个特例，针对的是特定类型的随机变量序列。
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n 1 n 1 0 P X i EX i ε n i 1 n i 1
1 n D X i n C i 1 ε2 nε 2
于是，当
n 时，有
1 n 1 n lim P X i EX i 0 n n i 1 n i 1
1 n 1 n 或者 lim P X i EX i 1 n n i 1 n i 1
【证】因为 X n 两两不相关, 故
1 n 1 n C D X i D X i n n2 n i 1 i 1
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设X1 , X 2 ,, X n ,是随机变量序列,
即
n 1 P X E X i n i 1
注 4
车贝晓夫大数定律与马尔可夫大数定律的 区别与联系
车贝晓夫大数定理显然可由马尔可夫大数
定理推出，而马尔可夫大数定理没有任何关于 不相关的假设。
例：设X1, X2,, Xn 是独立同分布的随机变量
序列, E ( X i ) μ, D( X i ) σ 2 均存在, 证明
例： 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立 , 具有如下分布律: X n na 0 na 1 1 1 P 1 2 2 2n n 2n 2 检验是否有 问是否满足车贝晓夫大数定律的条件 数学期望 ? 解 由题意可知随机变量彼此不相关条件满足 . 1 1 1 E ( X n ) na 2 0 1 2 na 2 0, n 2n 2n
【定律】车贝晓夫大数定律
设X1 , X 2 , , Xn , 是两两不相关的随机变量序列,
每一随机变量都有有限 的方差, 并有公共的上界
D X1 C , D X 2 C ,, D X n C , 则对任意的ε 0, 恒有
n n 1 1 lim P X i EX i ε 0 n i 1 n n i 1
4
n2 n 1
2 i D X i 2 i 1
n
4σ 2
n2 n 1
2 i 2 i 1
n
4nn 12n 1 σ 2 6n2 n 12
22n 1 σ 2 3nn 1
从而对任意给定的 0, 由车贝晓夫不等式得 DYn 0 P{| Yn μ | ε } ε2 22n 1 σ 2 0 n 2 3nn 1ε P 因此 Yn .
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
所以 E
2 Xn
D X n E
1 na 2 a 2 n
2
2 Xn
检验是否 有有限方 差
2
E X n
a2
因此, 随机变量 X n n 1, 2, 公共上界.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设X1 , X 2 , , Xn , 是两两不相关的随机变量序列,
每一随机变量都有有限 的方差, 并有公共的上界
D X1 C , D X 2 C ,, D X n C ,
1 n 1 n 则序列 X X i 依概率收敛于 E X i , n i 1 n i 1
n 2 Yn iX i nn 1 i 1
依概率收敛到 .
解
n 2 因为 E Yn E iX i nn 1 i 1
n n 2 2 iE X i i nn 1 i 1 nn 1 i 1
DYnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注1 车贝晓夫大数定律的条件：Xi 之间彼此不相关，
每一个E(X i )都存在，方差D(X i )有限，且有公 共的上界
注2 当 n 很大时, 随机变量 X 1 , X 2 , , X n 的
1 n 算术 平均值 X i 接近于它们的数学期望 的 n i 1 1 n 算术平均值 E X i . n i 1
设X1 , X 2 , , X n , 是随机变量序列, 如果下式成立 n 1 D( X i ) 0 ( n ) 2 n i 1
则对任意的ε 0, 恒有
n n 1 1 lim P X i EX i ε 0 n i 1 n n i 1
主要内容 问题提出 马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律
泊松大数定律
辛钦大数定律
一、问题的引入
概率论是研究随机现象统计规律性的学 科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是 说，要从随机现象中去寻求统计规律，应该 研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限理论进行研究. 极 限理论的内容很广泛，其中最重要的两种 是: 大数定律 与 中心极限定理
1 令 Yn X i n i 1
n
如果存在这样一个常数 序列a1, a2 ,, an ,,
对任意的ε 0, 恒有
或者 lim P Yn an 1
n
n
lim P Yn an ε 0
则称随机变量序列 X n 服从大数定律.
【定律】马尔可夫大数定律