三、 弹性力学有限元法基本原理(二)

• 当单元尺寸趋于零时，单元中的位移和应变应该就是结构中该点 上的刚体位移和基本常应变。因此，只有满足准则1才能使有限元 解具有上述特性，收敛到真正解。
• 准则2的协调性要求是连续体力学问题的必然要求。它是最小势能 原理和里兹法的前提条件。有限元法作为里兹法的特殊形式必然要 满足这个要求。有限元的协调性要求在整个弹性体区域上的体现就 是试探位移场必须满足的连续性条件。事实上，如果单元尺寸趋于 零时，单元交界面上位移不连续，则有限元模型模拟的就不可能是 原来的连续结构，获得的有限元解就不可能收敛到问题的真正解。
• 由有限元模型的离散总势能表达式和最小势能原理可以推出： 有限元近似解的应变能小于真正解的应变能，因此有限元位移 解总体上不大于真正位移，即有限元位移解具有下限性质。
• 可以在物理上作出如下分析：连续弹性体具有无限多个自由度， 应用有限元位移法后，在单元上假定了具有有限自由度的位移 模式，这种假定位移场对单元实际的变形进行了约束，使单元 刚化，弹性体的整体刚度随之增加，因此求得的位移总体上小 于精确解。
• 在有限元法中，一般在粗网格下单元要满足协调性要求。如果某单 元在粗网格下不满足协调性，但随着单元尺寸减小，不协调性趋于 消失，同时满足完备性，则该单元也能收敛。
• 不难证明，3节点三角形单元满足完备性准则和协调性准则。
3、收敛速度、精度及其意义
▪ 如果单元位移模式满足完备性和协调性，则当单元尺寸趋于零时， 有限元解趋于精确解。
（3）利用收敛速度的量级估计精确解。有限元解是单调收敛的，对
3节点三角形单元，设第一次网格的位移解是u1，单元尺寸减半后
的网格的位移解是u2，收敛速度是O(h2 ) ，则可由下式预测精确
解：
u1 u2
u u
O(h2 ) O((h / 2)2 )
4
由此式得：
u
1 3
(4u2
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u1 )
4、有限元位移法解的下限性质
对弹性力学问题，单元位移模式必须包含一次完全 多项式。
满足上述要求的单元称为完备单元。
除了完备性，位移模式还有连续性的要求。采用多项式作为 位移函数，单元内部的连续性自然得到满足，因此，要求位移在 相邻单元边界上满足连续性，这导致另一个收敛准则。
➢ 准则2 ：协调性要求 对弹性力学问题，位移试探函数在单元交界面上必须
• 对于有限元法，解的收敛除了里兹法意义上的收敛外，显然，当 单元尺寸趋于零（h→ 0)时，有限元解应该趋于问题的精确解。 这就是通常意义上有限元解收敛的涵义（h-收敛）。
• 事实上，有限元位移法中，在一个单元内用完全多项式 逼近实际位移场，当单元尺寸趋于零时，如果整体位移 试探函数还满足连续性要求，那么在满足最小势能原理 的情况下，整个系统的势能泛函将趋于它的精确值—— 最小值。在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值 （常数），有限元解就趋于精确解，即解是收敛的。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。 根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的 低阶成分，而忽略的高阶成分就是误差。设单元直径是h，单元位 移模式包含p阶完全多项式，则它可以在单元上拟合实际位移Taylor
n 关于有限元解的收敛性和收敛准则，数学家已经给出严格的证 明。下面以弹性力学问题为例从物理概念上进行理解。
• 准则1中的完备性要求，就是要求单元位移模式具有描述单元刚体 位移和常应变的能力。
• 如果位移模式没有包含完全一次多项式，单元就不可能出现刚体 位移和常应变位移状态。对于正常的有限元解，一个单元内部位 移场是在相邻的其它单元位移——刚体位移基础上，迭加本单元 弹性变形产生的位移场组成。同时一个单元内的应变场是由当地 的某个“基本常应变”值迭加本单元内部应变的变化组成。
• 根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解 收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满 足下列要求：
➢ 每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。
➢ 位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。
➢ 单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应 该具有一致的均匀值。
• 上述要求可以概括为两个收敛准则： ➢ 准则1 ：完备性要求
收敛速度是 O(h) 量级。
• 实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题， 可采取下列办法：
（1）用相近的有已知解析解的问题做有限元误差估计，单元类型相同， 网格划分相似。则某种网格下其有限元解与解析解的具体误差可以作 为实际问题的误差。
（2）根据收敛的含义，可以对网格进行连续多次细化，当两次网格的 解相差不大时，可以认为得到的解答足够精确。
第三单元 弹性力学有限元法基本原理（二）
第一节 有限元解的性质和收敛准则
1、有限元解的收敛准则
• 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊 形式，即采用分片试探函数（假定位移场）的里兹法。前面通过 受轴向力杆的里兹法求解，已经指出里兹解收敛必须满足的条件： 除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即 包含完全的低阶多项式。
展开中的前p阶。因此有限元位移解的误差是 O(h p1) ，这只是一
种量级的估计，不反映误差的绝对数值，但可以反映收敛速度。
▪ 例如，3节点三角形单元，位移模式是线性的，所以位移的误差估 计是 O(h2 ) ，也可以说该单元的收敛速度是 O(h2 ) 量级。即， 如果把有限元网格细化，单元尺寸减半，则有限元位移解的误差 大约是前一种网格的(1/2)2 = 1/4。显然，该单元应变、应力解的
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收 敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式 的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
n 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式 多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数， 即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况。