三、弹性力学有限元法基本原理(二)

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有限元第2讲有限元法基本理论

•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
•基本假设是学科的研究基础。 •超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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弹性力学的基本假设 1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
第2章有限元法基本理论
张洪伟
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内容提要
1
弹性力学问题基本描述
弹性问题参量原理
2
3 4
有限元分析基本步骤
有限元解的误差分析
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弹性力学问题的基本描述
基本假设的必要性 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。
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弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。 ——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
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弹性力学的基本假设
4. 完全弹性假设
•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。 •完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。 •研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
符号规定：
应力的概念
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为 y ,沿y轴的正向为正,其下

9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元

v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零（如图 2-5）。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x

有限元法的基本原理

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

有限元法基本原理及应用第2章重庆大学龙雪峰

有限元原理及应用
第二章弹性力学基本理论
3．完全弹性假设。假设除去引起物体变形的外力之后，物体形状能够完全恢复，而没有任何残余变形并且假定材料服从胡克定律，即应力与应变成正比，这样物体在任意瞬时，应变完全取决于该瞬时所受外力，而与它之前加载的历史无关，与外力施加顺序也无关。由材料力学知，物体所受应力未达到比例极限之前，可近似看作完全弹性体。
有限元原理及应用
第二章弹性力学基本理论
2．均匀性假设。假设物体内各处材料的力学性能完全相同，即从物体中任意取出一个微元体进行分析，都可以使用同一组材料常数。实际上，物体是由颗粒组成的，不可能是完全均匀的，但只要颗粒的尺寸远远小于物体的尺寸并且均匀分布，将物体性能看作各组成部分性能的统计平均量是没问题的。这里的均匀性假设并不妨碍弹性力学处理由不同材料组成的弹性体，只要在每一部分都满足均匀性假设即可。
有限元原理及应用
• 2.2.7 主应变 • 由单元体六个应变分量：
第二章弹性力学基本理论
• 可以求出过该点任意方向线应变和任意两线段之间角度的改变：
2.7 2.8
式中l、m、n 为过物体内一点P 的线段PN 的方向余弦， l1、m1、 n1为过P 点与PN 成θ 角的线段PN1 的方向余弦，θ’ 为物体受力变形后线段PN 与PN1 的夹角, 如图2.5 所示。
有限元原理及应用
第二章弹性力学基本理论
• 这个极限矢量p 就是物体在截面mn 上的、在P 点所受内力的集度，即P 点的应力。因为ΔA 是标量，所以p 的方向就是ΔF 的极限方向。 • 对于应力，通常沿截面的法向和切向将应力分解为正应力σ 和切应力τ，如图2.3 所示。应力及其分量的因次是[力][长度]-2。 • 在物体内的同一点，不同方向的截面上的应力是不同的。过一点，各截面上应力的大小和方向的总和称为一点的应力状态。

弹性力学与有限元完整版ppt课件

E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量：平衡方程——2个物理方程——3个几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}

四、弹性力学有限元法基本原理(三)

该单元位移模式及其形函数的构造可采用根据形函数性质直接
构造插值函数的方法。或从对应的二维单元进行推广，再用形
函数性质进行验证。 • 为了突破这类单元几何上的限制，得到实用的单元，必须引
入等参变换。
第二节等参单元
• 问题的提出
从前面介绍的各种二、三维单元看出，这些单元可能有两个方面的约束：第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元；第二是单元几何上的限制。单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。所有上述单元
n
n
n
n
•
显然，只要形函数满足性质满足。
N
i 1
n
i
1 ，等参单元的完备性就得到
六、等参单元力学特性分析
• 等参单元特性分析的所有公式的导出原理与前面介绍的其它单元相同。
•
等参单元的形函数矩阵、应变矩阵、应力矩阵均用自然坐标描述。应变矩阵中涉及到形函数对总体x,y,z坐标求导数时，须进行坐标变换。
•
该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次式的不完全三次多项式。
插值基函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号，8个节点形函数为：
1 (1 i )(1 i )( i i 1)(i 1,2,3,4) 4 1 N i (1 2 )(1 i )( i 5,6) 2 1 N i (1 2 )(1 i )(i 7,8) 2 Ni
一、等参单元的概念
• 图4-3为一个4节点任意四边形单元（Q4），单元有8个自由度。将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。 • 但在建立单元位移模式时产生了新的问题：

第2章弹性力学基本理论

x

u
z

z
z 0
0

0

z

u v

0

w

y

x
3、物理方程（应力与应变之间的关系）
x

1 E
x y z
y

1 E
y z x
•微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。
弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约束或温度改变而产生的。
向或负面上的应力沿坐
x
图1－7
标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。
Oz
x
y
注意：
弹性力学
材料力学图1-8
（3）注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的。在图1－8中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的符号是不同的，顺时针转动为正。

弹性力学有限元法详解

x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节点空间等参元，二十节点等参元等。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称为轴对称问题，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2

有限元法的理论基础

有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。

能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。

下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。

1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。

反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。

可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。

所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。

虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。

2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。

根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。

最小势能原理仅适用于弹性力学问题。

2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。

2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。

对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。

2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。

有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)

u 1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4
u 3 1 2 3 4
u 4 1 2 3 4
有限单元法
土木工程学院
P-9/44
解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式（2-4-4），经整理得：
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-6/44
二、结点位移列阵和结点力列阵
每个结点2个位移分量，共８个位移分量，设结点位移和结点力列阵分别为：
d u v u v u v u v
e
2 4 2 e T F X Y X Y X Y X Y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3
有限单元法
土木工程学院
P-18/44
第2章弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充
有限单元法
土木工程学院
3

1
2
(1 ,1 )
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-11/44
如果引进参数: ξ0=ξiξ, η0=ηiη(i=1, 2, 3, 4), (ξi, ηi)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(ξi, ηi)的坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入上式，则可将上式简记成：
Ai Li A
Lj Aj A
Am Lm A
i
m
Aj

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)

存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

有限元法理论基础弹力变分原理教学内容

ij
Dijkl kl
W
ij
ij
Cijkl kl
➢ 对于线弹性材料，有：
其中：
Cijkl
D1 ijkl
W W ijij2
7
有限元法理论基础
应变能和应变余能
➢ 互余关系：
W W ijij
全功
➢ 对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分别表示为应变和应力的二次齐函数： W 12Dijkl ijkl
W 12Cijkl ijkl
8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理：
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。
15
有限元法理论基础
虚应力原理
➢ 虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分（微小的变化）。
➢ 虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：
uipidS ijijdV
➢ 按力法建立有限元方Su 程的基V本方程。
➢ 几何方程和位ij移12边(u界i,j 条u件j,i)
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 几何方程：
ij 12(ui,j uj,i)
➢ 将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积分形式，得到等效积分形式：
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
➢ 上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。

有限元法基本原理

有限元法基本原理
有限元法是最先应用于航空工程结构的矩阵分析方法，主要用来解决复杂结构中力与位移的关系。

有限元法的基本思想:将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度、且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元)，即将连续体假想划分为数目有限的离散单元，而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结，用离散单元的集合体代替原来的连续体。

一般情况下，有限元方程是一组以节点位移为未知量的线性方程组，解次方程组可得到连续体上有限个节点上的位移，进而可求得各单元上的应力分布规律。

有限元方法求解问题主要分为以下几步:（1）结构的离散化
将已连续体线性沦为单元组合体；（2）挑选加速度模式
即假定单元中位移分布是坐标的某种函数，位移模式一般选为多项式的函数；
（3）单元力学特性分析
利用弹性力学的平衡方程、几何方程、物理方程和虚功原理得到单元节点力和节点位移之间的力学关系，即建立单元刚度矩阵；
（4）排序耦合节点力根据机械功成正比原则，用耦合节点Courtomer替代所有促进作用于单元边界或单元内部的载荷；
（5）建立整个结构的所有节点载荷与节点位移之间的关系（整体结构平衡方程），即建立结构的的总体刚度矩阵；
（6）边界条件
排除结构发生整体刚性位移的可能性。

（7）求解线性方程组
方程组存有唯一求解，即为获得结构中各节点的加速度，单元内部加速度通过插值获得。

（8）后处理与计算结果评价。

弹性力学平面问题有限元法

度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
z
C
τ zx +
∂τ zx dz ∂z ∂τ yz σx ∂τ xz dy τ yz + τ xz + dx ∂y ∂x fz τxy τyx ∂σ y fy fx σy + dy ∂τ xy τxz σy ∂y τ xy + dx ∂τ yx ∂x ∂σ x τ yx + dy σx + dx ∂y ∂x τ B
yz
σz +
∂σz dz ∂z ∂τ zy dz τ zy + ∂z
P
τzy
τzx
A
σz
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P 经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别为： PA = ∆x, PB = ∆y, PC = ∆z。将每个面上的应力分解为一个正应力和两个切应力。解为一个正应力和两个切应力。正应力用 σ 表表示。示，切应力用 τ 表示。应力下标的含意：应力下标的含意：
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
τxy 1 εx = σx −v(σy +σz ) γ xy = E G τ yz 1 ε y = σy − v(σx +σz γ yz = E G τxz 1 εz = σz −v(σx +σy ) γ xz = E G
σx =λθ +2Gεx τxy =Gγxy σy =λθ +2Gεy τyz =Gγ yz σz =λθ +2Gεz τxz =Gγxz
θ = εx + ε y + εz

弹性力学有限元法基本原理(二)

x x0 a y y0 b
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
1 ~ 8为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函数，由
于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式，则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。
根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
• 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数，即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二种情况。
• 该单元要求两个边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界，这是矩形单元的固有缺点。可以同3节点三角形单元结合使用。
• 如果突破这个几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元，便成为很实用的单元。增加三角形单元节点数也是提高精度的有效途径。
2、六节点三角形单元
（1）单元概述
• 三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图3-2所示6节点三角形单元，单元每个边上设一个节点，单元有12个自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)

第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。

一、结点位移和结点力列阵设图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。

在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。

即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。

构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。

以位移(u i ,v i ,…u m v m 3)为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。

在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)12u u x y x yααα+46y ==+ 5(,)v v x y x ααα+==+ (2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。

将13个结点坐标(x i,3iy y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程: 12i i u x ααα+3=+12j j j x y u αα=+α+3m y (a)12m m u x ααα=++46i y和5i i v x αα=+α+465j j j x y v αα=+α+46m y (b)5m m v x ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :211A Aα=22A 3A Aα=3Aα=式中行列式:2111i i 1i i i j m j j m m u x y A u x y u x y =j jm mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A 2111i i j j m mAx y A x y x y x u x u ===A为△ijm 的面积,只要A不为0,则可由上式解出:112i i j j a u a u ()m m a u A α=++21(2i ij j bu b u )m m b u A α=++ （C）312i i j j c u c u ()m mc u A α=++i j a x y =−j i y x y =−m i j j i y x y 式中:m m j x y a x a x m m i =−y m y y =−m i j y ym i j b y =− b b j i =− （d）3c m i j x x =− j i c m x x =−m j i c x x =−m iy x y =−m为了书写方便，可将上式记为: a xm i j b i jy y =−(,,) i u j m uu u ruuu u r i jc m x x =−(,,)i j m uuu u r uuu u r)m m N x y u N x y u N x y u =++)m x y v 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。

有限元法基本原理与应用

有限元法基本原理与应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。

它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。

有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤：1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。

模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。

2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。

有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。

整个问题区域被划分为许多单元。

3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。

有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。

4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。

常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。

5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。

这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。

6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。

常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。

7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。

这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。

有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。

它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。

在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。

在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。

有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。

它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。

同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。