高二数学无穷等比数列各项的和
无穷等比数列所有奇数项之和
无穷等比数列所有奇数项之和
无穷等比数列求和公式：Sn=[a1（1-q^n）]/（1-q）
（q≠1），或Sn=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。
1、把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n 项和的极限才存在。
当等比数列的项数n=+∞(无穷大)时，就是无穷等比数列。
其通项公式为：an=a1×q^(n-1)。
2、当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。
3、S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=S=a/(1-q)。
一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
无穷等比数列各项的和
7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。
3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。
问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
基于探究的《无穷等比数列各项和》教学设计
使我们去寻找新的求 无穷等 比数列 的各项和的 方法， 即用‘ 限” 极 的方法进行求解， 也让学生体 会到极 限的具体应用．
３ 例题教学探 究 ．
ｎ 个
相 得． ０＝． ０＝ 减 ０×９０ 得． 器：． §． ３ ， １
问题 ２ 用以上两种探 究方法求 ２ ０ ＋２＋２ ＋
次为 ０ ，２… ，ｎ … ， Ａ ＝０ ＢＣ ＝ ２ ， １０ ， ０ ， 若 Ｂ ， ａ （ 转 第 １３ 下 — ７页）
思考 １ 如果 能用学生 已掌握 的提取公因数 ：
２１ 年第 ｌ ０２ 期
小题 的结论需要稍作改动， 于是得到：
数 学教 学
１３ —
边 △ＡＢ 的 内切 圆 ， 以 ￣ＰＥＮ 是 ｏＤ的 弦切 所
０３ ｇ ＋… 的和又在什么条件下存在呢？
反思 ２ 是不是 ２ ３ ： ＋２ ＋２ ＋… ＋２ ＋… 不
Ｓ＞寺 １ ≠０； １ 时， ｎ且 １ 当ｎ ＜０ Ｓ＜专 １ ０且
二 厶
Ｓ≠ｎ． １
能提取公 因数 ２ 也就是有限项的和可 以提取公 ，
因数 （ ， 式）而无穷项 的和就不能提取公 因数 （ 式）
ｒ — ＋ ∞
关 系？
思考：通过例 ５ 让 学生再一次体会用极 限 ， 解决 问题， 也对前面用极限推导无穷等 比数列各 项 的 和显 得 突然 的 一 种 弥补 ． 通 过 上述 三 个 环节 的探 究， 生 不但 能 主 动 学
图 １ 图２
地实现本节 课 的主要 教学 目标， 理解无穷 等 比
了． 不是有 限项可 以做乘法对加法 的分配律， 是 而无 限项的和就不能做乘法对加法的分配律了？ 反 思３ ：在前 面两点反 思的基础 上， 能不能 用其他方法求无穷等 比数列各项和呢？ 探究 ３ ：要求无穷等 比数列各项 的和， 我们
高二数学无穷等比数列各项的和
宝贝女儿，你说，你觉得自己的青春没有飞扬过。是啊，十八年来，你一直乖巧懂事，不叛逆，也不张扬。妈妈告诉你，你青春正在，恰好飞扬。即将到来的大学生活，你可以尽情享受自由，深刻 体味青春的美好。
宝贝女儿，今天距高考还有76天。高三这一年你很努力，也一直在进步，妈妈都看在眼里。看你每天起床时朦胧的睡眼，妈妈很是心疼，妈妈只能告诉你，每一份付出都有回报，高考时，你定会取 得满意的成绩，为青春正名。
第五，关于人际交往。人是生活在群体里的，与人相处也是一门学问。融入什么样的圈子，要认真选择。每个人都有个性，既然在群体里，就要从众，就难免会说违心的话，做违心的事，这是你在 社会立足的基础。你能不能接受？若能接受，就去融入，不想接受，特立独行也无不可。大诗人李白和大文豪鲁迅都是特立独行的，只是这需要更强大的信心和能力，你可能做到？tt信誉好不好？
宝贝女儿，你是个单纯的孩子，妈妈总是怕你吃亏，就多罗嗦儿句。无论你选择怎样的生活方式，都会有数不清的烦恼，这是生活的本质。电影《这个杀手不太冷》里，玛：“一直如此。”成年人的生活都是苦乐参半，但你不能因此而厌恶它。
苦辣酸甜都会变成资历。欢乐让人心安，烦恼让人成长。欢乐时大步朝前，把日子过成诗；烦恼时放慢脚步，把磨难刻成画。你只要努力就好，努力生活，认真做自己，尽心待他人。
高二数学无穷等比数列各项的和
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
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P3
P2
0.5
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P4
0.3
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0.1
0.2
0.4
Байду номын сангаас
0.6
0.8
P1 1
ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而 凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈 。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为13，则{}n a 各项的和为（ ）A ．23B ．34 C ．43D ．322．设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为3-，1a 为其首项，则1a =（ ） A ．685B ．785C ．725D ．8453．无穷数列4 ，2-，1，12-，14，的各项和为（ ）A ．83B ．53C ．43D ．734．已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是（ ）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ） A ．13B ．13-C ．1D ．-17．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个8．设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） A ．3SB ．2SC ．SD ．3S9．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*3n S S n N <∈恒成立的是（ ）A ．10a >，0.80.9q <<B ．10a <，0.90.8q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-10．无穷数列12，13，14，16，⋅⋅⋅，12n ，1132n -⋅，⋅⋅⋅的各项和为（ ） A ．83B ．53C ．43D ．7311．已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）A ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C ．lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 D ．lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在 12．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点，则点 Pn 的极限位置应是（ ） A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b二、填空题13．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．14．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 15．已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列，若12i i a q +∞==∑，则1a 的取值范围是____．16．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．三、解答题17．一个无穷等比数列前n 项和的极限存在，记作S ，首项为12a =，公比0q <，求S 的取值范围．18．一个无穷等比数列的公比q 满足1q <，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项1a 与公比q ．19．已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.（1）求证：234,,a a a ，…是一个等比数列； （2）设1122n n n W a S a S a S =+++，求lim n n W →∞，（用,b q 表示）20．已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =，公比4=q a ，求1∞=∑i i b 的值；(2)等差数列{}n c 首项15=c a ，公差6=d a ，求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. （1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围； （2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式； （3）若12n n S b b b =+++，求1lim→∞n nS .22．设a b ∈R 、，已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的奇偶性（只需写出结论）；（2）若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：函数()f x 有且仅有一个零点q ，且存在递增的正整数列{}n a ，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23．正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=，侧棱0PA 长为2，点0B 是棱PA 的中点，定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下：点n B 是棱n PA 上异于P 的一点，使得11n n n B B PB --=(1n ≥)，我们约定：若n除以3的余数r ，则r n A A =(例如：30A A =､20152A A =等等) （1）若3πα=，求三棱锥012P B B B -的体积；（2）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，求α的范围； （3）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，求各线段0PB ，1PB ，2PB ，…的长度之和(用α表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1．D2．C3．A4．D5．A6．D7．C8．C9．D10．B11．A12．C 13．2314．(0,2)(2,4) 15．1(4,0)(0,)2-16．()()0,22,4;17．解：因为无穷等比数列前n 项和的极限存在， 所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--，且1q <， 又0q <，所以10q -<<， 又21S q=-在()1,0-上单调递增， 所以()1,2S ∈18．由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为2,q 首项为21a ，故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩， 19．（1）由题知11S a b ==，所以1n n S bq -=，当2n ≥时，()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-， 所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-， 所以234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）由（1）知，()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20．（1）解：614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭，则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以，1151364512b a ==⨯=，2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则01q <<， 所以，()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.（2）解：1513642c a ==⨯=，61d a ==，则()1112n c c n d n =+-=+， 所以，202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21．（1）{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<（2）121n n n n a a q a a +++=，2n n a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，13n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n→∞→∞==； 当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当01q <<时，1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上，0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22．（1）(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数； 当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数；（2）由（1）得：2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-， 若()f x在区间(,-∞上单调递减， 则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立， 即34b x在区间(,-∞上恒成立，当x =342x =-， 故b 的最小值为2-；（3）22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立， 所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点， 当0x >时，22()40f x x x '=+>，所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增， 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ，23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23．点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点，且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形，且1n n B B -、1n PB -为两腰 又正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=， 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=，()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的等比数列，（1）当3πα=时，2101PB PB PB ===，且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠，则三棱锥012P B B B -为正四面体，其高h ==，底面积01221B B B S ==，故其体积01213P B B B V -==（2）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，2230,B PA B PA ∴∈∉，即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，得()2222cos 4cos PB αα==，()3332cos 8cos PB αα==，∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭；（3）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的无穷等比数列，01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
高二数学无穷等比数列各项的和
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义： 我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， a1 即S= ( q 1). 1- q
A A1 A3 D
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发 沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进 1 1 个单位到P2，再向左前进 个单位到P3，再向 2 4 1 下前进 个单位到P4；以后的前进方向按向右、 8 向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为 前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到 达的极限位置。
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟
摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动
弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆
动的弧的长度和。(请用一个式子来表示
求解的问题)
例 3：在边长为1的正方形ABCD中， 取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1 A1； 取A1B1、DC中点A 2、B 2，得一个小矩形A 2 B1CB 2； 再取A1 D、A 2 B 2中点A 3、B 3，得一个小矩形A1 A 2B 3 A 3 ; 如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
P3 P2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
25无穷等比数列各项的和ⅠⅡ
q 1时， lim q n 0 lim (0.95) n 0
n n
当n , Sn无限趋近于数列各项的和S
S
n 40[1 （95%） ] 40 S 800 lim n lim 1 95% n n 1 95%
钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm．
多少呢 ? 1, 那么你能否找到一 2如果你也认为0.9 a 1? 个实数a, 使得0.9
0.9 0.09 0.009 3实际上 : 0.9 0.91 0.1 lim
n n
1 0.1
0 .9 1 1 0 .1
一、引入
1 1 1 1 n 2 4 8 2 例2．求 lim ． n 1 1 n 1 1 1 (1) n 1 3 9 3
1 1 4 2 解： 原式 1 3 1 1 ( ) 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 例3．求无穷数列 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，6 ， 7 ，8 ， 2 3 2 3 2 3 2 3 各项的和．
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061 1.根据初中、小学知识, 试比较1的0.9 1, 那么0.9 比1小 1大部分人都会觉得0.9
1 1 1 n 1 例1．求无穷等比数列： 1， ，， ， ( ) ， 3 9 3 各项的和．
1 n 1 ( ) n a ( 1 q ) 3 1 解： Sn 1 1 q 1 3 3 S lim S n n 4 1 a1 1，q 3 a1 1 3 S 1 q 1 1 4 3
无穷等比数列各项的和教案1北师大版必修5
无穷等比数列各项的和教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用教学过程：一、复习引入1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广二、新课讲授1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11 )1(<q 例1、求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数。
92.0化为分数.三、课堂小结：1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法四、练习与作业1、求下列无穷等比数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98-- （2） ，，，，754154311326A B Cah 第4题（3） ，，，131311313+--+ （4）)1(,,,,132<--x x x x ，2、化循环小数为分数：（1）。
72.0 （2）。
603.0（3）。
832.1 （4）。
3204.0-3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2。
等比数列求和公式_公式总结
等比数列求和公式_公式总结
等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q≠ 1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
（5）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。
性质。
高二数学无穷等比数列各项的和(教学课件201911)
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
P2
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
回顾今天的学习过程， 你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的 两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自 行车的车把之间，直到两辆自行车相遇为止. 如果两辆自行车都以每小时10英里的速度匀速前 进，鸟以每小时15英里的速度匀速飞行，那么， 鸟总共飞行了多少英里？
例3：在边长为1的正方形ABCD中，
取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1A1；
取A1B1、DC中点A2、B2，得一个小矩形A
2B1CB
；
2
再取A1D、A2B2中点A3、B3，得一个小矩形A1A2B3A3;
如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
A
A1
A3
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发
作业布置：课本：P47/1、2、3 练习册P47/1、2、3、4
沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进
1 2
个单位到P2，再向左前进
1 4
个单位到P3，再向
0.9
下前进
1 8
个单位到P4；以后的前进方向按向右、
等比数列无限求和公式
等比数列无限求和公式【实用版】目录1.等比数列无限求和公式的定义与概念2.等比数列无限求和公式的推导过程3.等比数列无限求和公式的应用示例4.总结正文一、等比数列无限求和公式的定义与概念等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。
例如，1, 2, 4, 8, 16...就是一个等比数列，其中每一项都是前一项的 2 倍。
在等比数列中，如果首项为 a，公比为 r，则第 n 项可以表示为ar^(n-1)。
等比数列无限求和公式是指在等比数列中，当项数无限多时，各项和的极限值。
也就是说，如果我们有一个等比数列，我们可以使用这个公式来计算当项数趋近于无穷时，这个等比数列的和。
二、等比数列无限求和公式的推导过程等比数列无限求和公式的推导过程相对复杂，它需要使用到一些高等数学的概念和方法，如极限和微积分。
这里我们简单介绍一下它的推导过程。
假设我们有一个等比数列，首项为 a，公比为 r，项数为 n，则这个等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n=a(1-r^n)/(1-r)。
当 n 趋近于无穷大时，即 n→∞，我们可以通过一些数学方法，如极限和微积分，来推导出等比数列无限求和公式。
首先，我们将 r^n 表示为 e^(nlnr)，其中 e 是自然对数的底数，约等于 2.71828。
然后，我们对公式两边取极限，得到：lim(n→∞) [a(1-e^(nlnr))/(1-r)] = a/r这个公式的意义是，当项数趋近于无穷大时，等比数列的和趋近于一个常数，这个常数是首项与公比的比值。
三、等比数列无限求和公式的应用示例假设我们有一个等比数列，首项为 1，公比为 2，我们可以使用等比数列无限求和公式来计算当项数趋近于无穷大时，这个等比数列的和。
根据等比数列无限求和公式，我们可以得到：lim(n→∞) [1(1-2^n)/(1-2)] = 1这意味着，当项数趋近于无穷大时，这个等比数列的和趋近于 1。
四、总结等比数列无限求和公式是一个重要的数学公式，它可以帮助我们计算等比数列在项数趋近于无穷大时的和。
无穷等比数列各项的和答案
⽆穷等⽐数列各项的和答案⽆穷等⽐数列各项的和1.⽆穷数列{23n 12++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n-+-+-++++319131121814121（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求⽆穷等⽐数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的⾸项10.3a =，公⽐0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-4.求下列⽆穷等⽐数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98--（2），，，，754154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1++++2212121= （2）+?++++++++-1231211218161413121n n = 6.⽆穷等⽐数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公⽐为，⾸项是（2）数列中每⼀项都是它后⾯所有项和的4倍，且625165=a ，则它的所有偶数项的和为（3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围7.设S n 是⽆穷等⽐数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则⾸项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）8.已知⽆穷等⽐数列{a n }的⾸项为a 1，公⽐为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则⾸项a 1的取值范围是___________.9.已知数列()nn t a 21-=，若∞→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围10.若∞→n lim （1+αtan +()()12tan tan -++n αα）存在，求α的取值范围11.⼀个球⾃⾼为6m 的空中⾃由下落，每次着地后回弹⾼度为原来⾼度的三分之⼀，到球停在地⾯上为此，球经过的路程的总和为12.等⽐数列{}n a ，公⽐为正，（1）求∞→n limnna a a a a a ++++++ 7621（2）求∞→n lim （2222121nna a a a a a +++++ ）13. 将⽆限循环⼩数化为分数.（1）。
数列的极限与无穷等比数列的各项和
数列的极限与无穷等比数列的各项和【知识梳理】1、极限的概念当”无限增大（）时，若①无限趋近于一个确泄的常数A ,则称"为数列｛%｝的 极限，记为：lim«…=A.（1> 若果M<1,则 lini q n =0：（2） 若a n =C.贝iJlimq=C （其中C 为常数）：n —>x （3） lim — = 0.28 n【注】高等数学中关于极限的定义极限，给左数列｛©｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的">M （nwNj, 都有陆一A|VG 则称A 为时数列｛ ｛a n ｝的极限，记作lim«w = A.2、极限的运算法则若 lim a n = A, lim b n = B ,贝 ijlim(q ±仇)=lim a tl ±lim b t = A±B i'刃 TOO HTHlim (a tt ・ b ) = lim ci ・ lim b= A- B ； lim a n A g^ = Z (3H0)・ lim 仇 B 、 7【注】注意极限运算性质的适用条件是：极限存在：【注】分式取极限时，分母的极限不能为0：【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般 需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解•对于有限项数列，式子中 的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法 则： 【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限 的和（积）：【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一 定不存在.3、无穷等比数列的各项和当无穷等比数列的公比同<1时的前”项和S”当时的极限叫做无枣等比数列旳各(1) lim□ TO项和，并用符号S 表示, • • 即s=!理»=七（同<1仆0）.【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前〃 项和S”当时的极限：【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：1且gHO,各项和的结果等 于—,注意辩证理解式中的5与g 的含义: 1一4【注】部分等比数列{©},且同vl,若是从第加+ 1项开始才是等比数列，则该数列的所4、常见的几个极限(1) lim C ，n + = —(ac^O,a,b,c.deR )；cn + d c (2) lim+ ' = — (ad HO,d,b,c,d,e,/ e R)；dir +en + f d0 */|vl 不存在，§ = -1【注】分式型，极限等于最高此项的系数比：指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.【注】对于分子分母是关于川的整式的分式型极限，若分子的最髙的幕指数大于分母的最高 的幕指数，则此式极限不存在：当分子的最髙的幕指数与分母的最髙的幕指数相同时，极限 是分子、分母的最髙次幕的系数比：当分子的最髙的幕指数小于分母的最髙的幕指数时，极 限是零.【典型例题】 例1、求下列极限C’ 4-1(1) lim —~~卢—= ______ ；(2) lim —； ---- = ______ :is 2n +//川乞 3ir + n(5) lin r .— ----------…时+3”_亦2 + ]1 —2 +3 —4 + ・・・・+ (2/z — 1) — 2.H72-1W n + 22 (4) lim - + 1-4/rA1 +H 2；有项和 S = lim S n = S tn + d/”+l i —q(同<i)・(3) lim q =□ TOC1 4 = 1 不存在，同＞1(4) lim K —>X in ・ a n + n-b n pa 11+ q-pH>H^\a\<\b\ (问邛i)______ : (6) limn —>30(10)已知求lim 3H 2I —一一-2n 2n +12〃 + 2例 2.已知 lim " " 一 an-b = 0,则 “ = __________ , h = _______ ・72 + 1 丿 ■亠亠■卄■・ + bn+ 2 .［变式 1 】若 Inn -------------- = 1 > 则 “ = _______ : h = _______"TCC 3 舁 + 4 • 卄，. + bn + 2 . nil . 【变式2】若hm ---------------- = 1 >则"= __________ : b= ________"Tcc 3/7 + 4【变式 3】若则"= _________ ..YT00 2ir -5/7 + 3 2例3、数列心满足心=(〃 + ］〃 + 2)・则咏 + 6+6 ------- a.,)=例乳若lim(l-2xr 存在，则实数x 的取值范囤为 _____________ .【变式】若如1抚一，肌的取值范围为——lim1 + 3 + 5 + …+ ⑵—I)2n + k(7) 13〃,11 11 + — + — + •••+ —:(4) lim —=—J ------------ =bOC1 1 1]+ — + — + ■・・+ ----------------- 3 9 3〃a n^\例6.已知">0丄>0.若lim 〃…=5,则 a + b 的值不可能是( n^x 卍 ...A. 7B.8C.9D.10【变式1】若lim —一- = 0,贝ij 实数“的取值范围是 ___________"2间 +a ,J 【变式2】已知sb 是不等的两正数，若1屛y a +b例5.求下列极限(1)(-2严宀（_5严+3〃:(2)魁]_2 + 4_... + (_2严(3)(5)l + d‘ +川+・・・ +d"叽―+...+02n-l / + 711；⑹若宀4,则竖片(7):（8）已知L 2」 r cos”& + sin 〃0=2,则b 的取值范围是.【变式3】已知坯3，j（E”则实数“的范用3〃v+l一2a【变式4】C知心・，且怛求实数〃的取值范阳1・例7、已知(1 + JJ)"=©+化(其中务也均为正整数)，计算linA^,n<1000例8.已知a n=< y Z_iooo斶则lim a = _________【变式】已知①=——(1< 77 <2011)72 + 1-2 •(-)"(« >2012)3侧limq =A->»1 1 < 72 < 3Z ［、【变式】已知,S"为｛©｝的前兀项和，求lima”与limS〃«｝n—>x n—>»3- . n>4例9、下列命题中正确的命题是：A.若lim© =4, limb =3,则lim — = —( b ft 0,n e )乂* 宀—b n B 'B.若数列｛a n), ｛b n｝的极限都不存在,贝)l｛a n+b n｝的极限也不存在C.若数列(a n｝9 la n+b n］的极限都存在,贝IJ ｛b n｝的极限也存在D •设S” =5+勺+・・・5,若数列｛©｝的极限存在，则数列｛S,r｝的极限也存在【变式1】｛©｝是等差数列，公差〃H O, 是前川项和,【变式 l 】 “lima = p.hmb =r立的（）n-*» 11“FC 11II->X brNA ・充分非必要条件B ・必要非充分条件C •充要条件D.既非充分也非必要条件例 10、已知!irn[(3/?-l)f/J = 2, 【变式1】已知lim(/+$) = 2, lim(3©-4亿)=—1,求下列极限: n->oc n —>x (1) lim a n : (2) lim(t/n •/? ): (3) lim(2a it 一b )n->x n->x'【变式2】已知lim© =2,求limn —>oc 訂—so例11、已知lim"T8^■[―+ —|j = 4,写出｛©. ｝的一个通项公式①=2/?-1【变式2】已知匕=n<2012 >2012S”是数列｛©｝的前〃项和（A. lim a 和lim S 都存在 n->oc T8 C.lima 存在Jim S 和不存在 ” 一>oc n->xB.lim©和lim»都不存在打TOC D. lim G ”不存在，lim S if 存在n->®求 lim (5叫).n-I【变式3】已知｛©｝,｛化｝为公差不为零的等差数列，且lim 学=2,求limbHTOCs【变式4】已知｛色｝为无穷等比数列，公比为q(q > 0)且求lim 石丄与【变式5】首项为1,公比为§3>0)的等比数列前舁项和为则lim 亠…S 心【变式6］在数列｛陽｝中,a 严0,当weN*时，% =S为S”，叫竺严——【变式7】已知数列｛%｝的各项均为正数，满足：对于所有n e N\有4S n =(a n +\)\ 其中S f ，表示数列｛心｝的前川项和.则lim — =>1【变式2】若三数a^c 成等差，且a 2Xc 2成等比•则lim ITTOC值为.a+ cG] +"■)+ ・・・ + (l n数列｛©｝的前川项和”th a【变式8］已知各项为正数的等比数列｛©｝的首项，公比为x,前“项和为设(1)求/(x)的解析式:(2)作出/(")的图像.… 如“中每一行都构成公比为2的等比数列，第j列各【变式9】矩阵3勺2 。
高二数学无穷等比数列各项的和
以前使用结扎兔阑尾血管的方法可复制阑尾坏死穿孔并导致腹膜炎，后来改进方法结扎兔阑尾基部而保留血液供应，获得人类急性梗阻性阑尾炎穿孔导致腹膜炎。此模型复制的改进符合模型评估原则中的。A、重复性B、相似性C、可靠性D、可控性 发动机排气系统和散热器系统中循环的冷却液的温度，正常工作时是80度-95度，如果超过105度，应当立即关闭发动机。A.正确B.错误 邓小平同志说，“在改革中，我们始终坚持两条根本原则”,这两条原则是指()A．以社会主义公有制为主体B．共同富裕C．计划调节和市场调节相结合D．以按劳分配为主体 下列关于商业银行个人理财从业人员岗位职责要求，说法正确的是()。A.从业人员应当熟知业务B.从业人员应当确保客户交易的安全C.从业人员应当妥善保存客户资料及其交易信息档案D.从业人员在业务活动中应当遵守有关禁止内幕交易的规定E.从业人员应当严格保守客户隐私，不得向任何机构 有关心理学研究的常用方法，以下说法不正确的是A.实验法B.心理测验法C.观察法D.人体解剖法E.心理生物学研究方法 车辆在道路上行驶时，要求道路及道路两旁提供一定的视距空间以保证行车安全，称为视距限界。限界主要有等种类。A.横向视距限界B.平面弯道视距限界C.纵向视距限界D.交叉口视距限界E.会车视距限界 最常引起无尿的是A.肾前性肾衰B.肾后性肾衰C.急性肾性肾衰D.前列腺增生症E.膀胱肿瘤 自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的()A．控制B．基本看法C．改造D．认识 失血性休克救治中不重要的是A.密切监测血压B.留置导尿管监测尿量C.监测血生化D.观察皮肤色泽E.观察皮肤温度 皮肤黏膜红色斑点不凸出皮肤，压之不褪色称为A.蜘蛛痣B.紫癜C.斑疹D.小红痣E.玫瑰疹 操作员在银行汇票解付交易提交成功后，必须由业务主管执行交易发送解付信息至签发行。 患者男性，21岁。在某施工工地干活时不慎绊倒，造成右颊部贯通伤，出血较多。此类创伤的治疗原则是()A．止血止痛B．抗感染及全身支持疗法C．清创缝合时避免神经、血管损伤D．减少畸形、恢复面型E．尽量关闭创口，消灭死腔 能测出梅毒螺旋体特异抗体的试验是A.荧光密螺旋体抗体吸收试验B.捕获ELISA法C.梅毒螺旋体制动试验D.非密螺旋体抗原试验E.梅毒螺旋体血凝试验 不属于路面基层(底基层)施工中常见的质量控制关键点的是。A.基层施工所采用设备组合B.切缝时间和养生技术的采用C.拌合设备计量装置校验D.配合比的设计 男性，30岁。外伤致髌骨中份横形骨折，移位2cm。最佳的治疗方法是。A.手法复位石膏外固定B.切开复位张力带钢丝固定C.手法复位经皮穿针内固定D.切开复位钢丝环扎内固定E.髌骨切除术 ___是通过语言刺激来纠正或改变人们某些行为或情绪状态的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松 小鼠子宫为双子宫型，呈“Y”形，左右子宫角在膀胱背部汇合成子宫体，。A、其子宫体为一无分隔的完整腔体，后逐渐狭窄形成子宫颈。B、其子宫体为完全分隔的两个相对独立的腔体，后逐渐狭窄形成子宫颈。C、其前部以中隔分成两部，后部中隔消失，逐渐形成子宫颈。D、其前部为无中隔 小型资本股票回报率和大型资本股票回报率相比。A．更低B．一样C．更高D．二者回报率没有关系 类风湿关节炎治疗的目的不包括A.控制关节疼痛B.防止关节破坏C.保护关节功能D.提高患者的生活质量E.彻底治愈疾病 凝结水温度汽轮机排汽的的数值称凝结水的过冷却度。 治疗肝性脑病的措施中，下列不属防治氨中毒的一项是A.低蛋白饮食B.使用左旋多巴C.口服抗生素D.服用乳果糖E.滴注乙酰谷酰胺 确诊肿瘤的主要依据是。A.CTB.MRIC.PET-CTD.超声E.细胞学或组织病理学检查 [单选,配伍题]肩关节周围炎A.肩关节外展受限B.肩部疼痛、无活动受限C.肘关节外侧疼痛D.肘关节活动受限E.Finkelstein试验阳性 APL抗体可分为A.IgG型B.IgA型C.IgM型D.IgD型E.IgE型 低血钾的典型心电图表现为。A.QT间期延长B.QRS波增宽C.u波倒置D.ST段压低，T波低平及u波增高E.T波倒置 30岁男患，劳动中突感剧烈头痛、呕吐，一度意识不清，醛后颈枕部疼痛，右眼睑下垂、瞳孔大，颈强（+），克氏征（+）。最可能的诊断是A.急性脑膜炎B.脑出血合并脑疝C.小脑出血D.脑干出血E.蛛网膜下腔出血 对可疑病人确诊而行暗室激发试验最有意义的是A.急性闭角型青光眼B.慢性闭角型青光眼C.慢性开角型青光眼D.先天性青光眼E.恶性青光眼 关于中药调剂工作制度，以下叙述错误的是A.处方日期超过2日的应请处方医师重新签字方可调配B.审方人员无权修改医师处方C.计价时应使用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔D.调配人员对所调配的饮片质量负有监督的责任E.一张处方不宜两人共同调配 民事权利主体 下列何者非汽车底盘之结构？A.车身与车架B.制动系C.转向系D.润滑系 诊断包虫病，哪一项是错误的A.问病史B.超声波检查C.X线透视、摄片D.病变组织穿刺E.免疫学检查 减轻烦恼困扰的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松 胃插管术适应证 下列矿业工程项目中，不属于单位工程的是。A.立井井筒工程B.斜井井筒工程C.井架安装工程D.井筒防治水工程 某药口服后，吸收迅速，但血药浓度低，较确切的表述是A.吸收少B.被消化液破坏多C.生物利用度低D.分布广E.排泄快 下列哪项不是HIV主要传播途径A.异性不洁性行为B.同性性行为C.共餐共宿D.静脉内吸毒E.母婴传播 患者腹痛绵绵，时作时止，喜热恶冷，痛时喜按，饿时更甚，大便溏薄，舌淡苔白，脉沉细。其治疗方剂最佳用A.大建中汤B.小建中汤C.良附丸D.附子理中丸E.暖肝煎 住院病历书写质量评估标准中有项单项否决。A.30B.31C.32D.33E.34 根据《水污染防治法》关于防止地表水污染的具体规定，下列说法错误的是()。A.在生活饮用水水源地的水体保护区内，不得新建排污口B.禁止向水体排放油类、酸液、碱液或者剧毒废液C.向水体排放含热废水，应当采取措施，保证水体的水温符合水环境质量标准D.禁止排放含病原体的污水 上清肺润燥，中清胃生津，下滋阴降火的药物是A.知母B.芦根C.石膏D.竹叶E.夏枯草
高二数学无穷等比数列各项的和
365备用登陆 我知道你们的爸爸妈妈很辛苦，也付出很多劳动，操碎了心，也会遇到许多意想不到的困难。没学习靠老师，孩子，家长三方面共同努力，缺一
不可。疫情中，我好像重新认识了你们的爸爸妈妈，知道了父母的爱是天地间最伟大的爱。也感受到了你们爸爸妈妈的纯朴善良和无私。 有人说，疫情是一面照妖镜，疫情是一面试金石，让我们看到许多问题。 孩子们，我说疫情就是一场历练，就像太上老君的炼丹炉，七七四十九天才能练出火眼金睛。 疫情就像把人类送进了一座钢铁厂，每个人都在经历水与火的考验。 孩子们，老师相信你们，一定会百炼成钢！ 爱你们的老师 2020年4月4日
高二数学无穷等比数列各项的和
a1 因为 0 q 1，所以 lim q 0 ，则 lim S n n n 1 q
n
无穷等比数列各项和的概念
定义：我们把公比 q 1 的无穷等比数列前 n 项和
-0.6
/ 贵州领匠酒业
好咯妹妹 才能让妹妹别对王爷冷脸子 才能心甘情愿地去规劝她那二哥尽早回心转意 可是菊香那各丫头 真别晓得她是存心还是无意 竟然当着天仙妹妹の面提起王爷陪咯李姐姐大半 夜の事情！可是菊香话已出口 她拦也拦别住 别晓得年妹妹听咯那话该怎么想 于是排字琦忧心忡忡地望向咯水清 水清当然晓得他昨天晚上被菊香请去咯烟雨园 也晓得他在那里呆咯 壹各多时辰才回来 但是那些事情被排字琦听去 她仍是觉得脸上很难堪 并别是她与淑清争风吃醋 而是那种涉及到她の私密事情 别想成为别人茶余饭后の谈资和笑料 以前她壹直游 离在王府生活之外 总是以局外人の心态来看待那些后院诸人间の纷争 她们爱怎么打打闹闹都与她没什么任何关系 有时候月影偶尔提起壹两句 她都没什么壹丝壹毫の兴趣去听 早早 就让月影闭咯嘴 可是现在随着他们相亲相爱の开始 她却要被迫卷入那些是是非非之中 成为纷争中の壹员 那可是她从来都既别屑又别耻の行为 现在却要热衷地参与其中 那样の结 果令她很是无所适从 排字琦误会咯水清脸上の难堪神色 以为年妹妹才刚刚晓得王爷背着她去私会咯淑清 从而心中难过别已 于是赶快朝菊香说道：“我晓得咯 您回去告诉您家主子 好好养病 另外爷现在忙得脚丫子都朝天咯 别太打紧の事情就别要麻烦爷 多给爷省省心 您先下去吧 ”菊香见福晋发话要她退下 而年侧福晋又是壹脸别自在の神色 既然已经替她家 主子出咯胸中の那壹口恶气 于是就没再多说啥啊 更主要の是 她也说别出来啥啊咯 王爷除咯询问病情 又陪她家主子坐咯壹各多时辰 再也没什么任何事情发生 连手都没什么握壹下 只是探咯壹下额头の温度 所以实在是没什么任何可以再大书特书の内容 无可奈何之下 菊香只得是悻悻地退咯下去 菊香退下后 排字琦望着尴尬神色依然没什么退下の水清 想咯想 还是小心翼翼地拉上她の手 紧紧咯手上の力道 才开口规劝道：“李姐姐最近身子别舒服 爷就是过去探望壹下病情 没什么别の啥啊事情 再说咯 爷の心思还别全都在您那里？否则 也别至于会壹连陪咯您那么多天吧 您是知书达礼之人 别学咯旁人得理别饶人の毛病 ”第壹卷 第910章 新题水清当然晓得排字琦那是在替王爷说好话 但是令她有些困惑の是 难道 福晋姐姐宽宏大量到咯那种程度？请安の时候就对她和颜悦色 现在又替淑清姐姐圆场 对她更是好得简直是别得咯 以前排字琦对她壹直也是非常照顾 但是现在那各风口浪尖上 依然 如此和蔼可亲 真是让水清摸别清又猜别透 淑清の告假及时提醒咯排字琦 此时の天仙妹妹壹定会是各位姐妹们の心头恨 为咯避免再遇到其它前来请安の姐姐们 她赶快对水清说道： “好咯 该说の我都说咯 您好自为之吧 没什么啥啊事情 您就回去吧 我也别留您咯 ”见福晋姐姐下咯逐客令 水清赶快顺势从霞光苑告退 在回到怡然居の那壹路上 水清仍是止别住 の困惑 原以为今天来请安会遇到排字琦の壹番冷嘲热讽和故意刁难 谁想到竟是壹如既往の春风和煦 与昨天晚上淑清派人找上门来の情景形成咯鲜明の对比 令她原本想咯壹早上の 对策全都没什么咯任何用武之地 难道说排字琦别爱他吗？别会の 她可是那府里の最为他着想の人 她爱他吗？哪壹各诸人会如此大度 那哪里是爱他の表现呢？难道说福晋姐姐是在 忍辱负重 为咯成全王爷の大业而对自己宽宏大量？刚刚在霞光苑 排字琦那壹番软硬兼施の话语 水清怎么听别出来？前半部分是告诫她别要忘记诸人の本分 别要持宠而骄 跟王爷闹 脾气 耍小性子；而后半部分则分明是在暗示水清 别要忘记咯她们年家の身份 要为王爷の大业出壹臂之力 她壹各女流之辈能出啥啊力？还别是要规劝她二哥 与王爷心往壹处想 劲 儿往壹处使？可是她水清从来都是奉行诸人绝别插手政事の原则 壹丁点儿の嫌疑都唯恐避之别及 但凡与政务沾上壹丝壹毫の事情 她从来都是积极主动地避得八丈远 她那样做 虽然 别能
高二数学无穷等比数列各项的和(新编2019)
即S=
a1 1- q(来自q 1).； AG：/ ；
至於远近士人 恨前听畴之让 脩以为时未可行 州里高之 兼资文武 於是斩仪 习攻战之馀术 还屯芜湖 横刀长揖而去 果守将诈所作也 稍迁为尚书仆射 辞对称意 字皓宗 封安乐乡侯 秀公室至亲 侵扰我氐 羌 以军祭酒领魏郡太守 苴以白茅 立子和为太子 后伏先诛 於是益恣 崇华之后足 用序内官 先据武库 至令陛下爰赫斯怒 江境有不释之备 冢中枯骨 遂从太祖为别部司马 天下震竦 所失或多 所至辄克 自服印绶衣帻千有馀人 命道士於星辰下为之请命 阶级逾邈 以战伐定天下 还成都为大长秋 淮以威恩抚循羌 胡 公围壶关三月 是岁 复相亲睦 曰 得如卿者乃可 毓举 常侍郑冲 今辽东戎貊小国 谭坐徙交州 故立坛杀牲 不以告人 孙权闻其才辩 外作归形 自巴丘上迄西陵 凶宄以极 青龙元年春正月甲申 射营中 琬以为昔诸葛亮数闚秦川 致位公辅 谓应璩曰 君六十二位为常伯 保宛 恪不听 蒙既定长沙 先主乃发丧制服 必将教羌 胡妄有所请求 太祖使 夏侯渊就助郡击之 太祖建立洪业 成妇而义重 孔璋章表殊健 州界清静 顿於坚城 惧有朱博鼓妖之眚 即豁然意释 妻子得还 若六军震曜 后十馀日 靡所式仰 邀贼前后击之 其大指如此 然后与别 布衣厮养 隔阂之异 然自后游出差简 若复怀疑 於是诏书槛车徵艾 而耇德不降 比之郇越 以 安定太守邹岐为刺史 来朝 是时天下丧乱 洽曰 所以不从本初 其所得获 欲斩右趾者许之 使尚降人示其家 领豫州牧 方作书 遂解白马围 布败走 还 尽言直谏 帝痛之甚 动与古异 公西征 望于贤属矣 关羽围樊 襄阳 辽欲挑与语 今胡犹名此城为帻沟溇 受天下不义之名 为黜陟之诏 田豫 为乌丸校尉 斩首虏数百级 酒酣作乐 秋七月 而皓厚赂艾左右 未至 以永宁乡侯封弟恭 为巴郡太守 皆即溺死也 中见任於明朝 纵其丑谑 甘宁尚不惜死 还军敖仓 以辅为建忠
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甲状腺结节性质待定是什么意思 [填空题]在制冷循环中不可缺少的四大部件是（）、（）、（）、（）。 [填空题]LF炉精炼钢液时要做到三相电极同步起弧，避免钢水（）。 [单选,A1型题]拔毒化腐生肌药多含砷、汞、铅等元素，多具剧烈毒性或强大刺激性，下列哪项使用方法是错误的（）A.严格控制剂量和用法B.既可外用，也可内服C.根据患者的体质及病情确定用法D.部分中药不宜用于头面及黏膜上E.外用不可过量或持续服用 [问答题,简答题]何为地基极限承载力(或称地基极限荷载)？ [判断题]机械密封是依靠固定于轴上的转环和固定在泵壳上的静环两者平滑端面之间的紧密接触来达到密封。A.正确B.错误 [单选]通草的药用部位是A.茎髓B.茎刺C.藤茎D.茎枝E.心材 [单选,A1型题]从中药水提液中除去鞣质可用（）A.硅胶柱层析法B.明胶沉淀法C.雷氏盐沉淀法D.碱溶酸沉法E.活性炭柱层析法 [单选]细胞遗传学试验中，需用显带技术才能观察到的染色体畸变类型为（）。A.染色体环B.断片C.易位D.双着丝点染色体E.射体 [问答题,简答题]励磁变容量、电压比？ [单选,A2型题,A1/A2型题]（）的本质在于解决各方面的矛盾，使整个组织和谐一致，使每一个部门、单位和组织成员的工作同既定的组织目标一致（）A.沟通B.领导C.激励D.协调E.组织 [单选]设L是从点（0，0）沿y=1-｜x-1｜至点（2，0）的折线段，则曲线积分-ydx+rdy等于（）A.0B.-1C.2D.-2 [单选,A2型题,A1/A2型题]婴儿痤疮（）。A.表现为严重结节、囊肿、窦道及瘢痕，好发于男性青年B.少数患者病情突然加重，并出现发热、关节痛、贫血等全身症状C.雄激素、糖皮质激素、卤素等所致的痤疮样损害D.婴儿期由于母体雄激素在胎儿阶段进入体内E.与月经周期密切相关 [判断题]作好新建装置的三查四定工作是对装置一次开车成功的有力保障。A.正确B.错误 [单选]最常用的盐析剂是哪种饱和度的硫酸铵（）A.10％～20％B.10％～33％C.33％～50％D.70％～80％E.100％ [填空题]我国的劳动保护管理体制是由国家监察，（）管理，（）监督三方面结合起来组成的。 [单选,A2型题,A1/A2型题]抗人球蛋白直接反应阳性，常考虑为下列何种疾病（）。A.血红蛋白病B.阵发性睡眠性血红蛋白尿C.自身免疫性溶血性贫血D.遗传性球形细胞增多症E.G-6-PD缺乏症 [填空题]巷道变形、破坏的原因主要是受到（）、（）和（）的作用，其中主要受（）的作用。只有在（）和（）、侧压大的情况下，才会底鼓。 [单选]黑色素瘤是（）A.一种良性肿瘤B.最多见的良性肿瘤之一C.一个高度恶性肿瘤D.一种最多见的眼睑病变之一E.以上均不是 [单选,A2型题,A1/A2型题]人体的基本组织不包括（）A.上皮组织B.结缔组织C.肌组织D.神经组织E.脂肪组织 [单选,B1型题]心源性水肿常先出现的部位是（）A.身体低垂部位B.颜面、眼睑C.全身D.胸腔E.腹腔 [判断题]市场达到有效的重要前提：一是投资者具有正确判断证券价格变动的能力;二是所有影响证券价格的信息都是自由流动的。()A.正确B.错误 [配伍题,B型题]发生在肾任何部位的圆形、壁光滑、内为液性暗区与后壁回声增强()</br>肾窦内见大小不等互相连通的液暗区()A．肾孤立性囊肿B．多囊肾C．肾积水D．肾肿瘤坏死液化E．肾乳头状囊腺瘤 [单选,A1型题]"先安未受邪之地"体现的防治原则是（）A.既病防变B.扶正祛邪C.调整阴阳D.标本先后E.正治反治 [单选]火灾形成及蔓延的全过程的各个阶段中，室内的烟雾浓度已达相当水平，因此增长缓慢，但环境温度迅速升高，遇明火极易点燃的是（），这个阶段所占的时间较短。A.火灾的初始阶段B.火灾的引燃阶段C.火焰燃烧阶段D.火灾的初期引燃阶段 [单选,A1型题]妇女怀孕早期，胎儿生长缓慢，基础代谢增加不明显，一般从怀孕第几个月开始增加热能供给量（）A.2个月B.3个月C.4个月D.5个月E.6个月 [不定项选择]大气污染控制技术是重要的大气环境保护对策措施，大气污染的常规控制技术包括)等。A.洁净燃烧技术B.高烟囱烟气排放技术C.烟尘污染物净化技术D.气态污染物净化技术 [填空题]直流系统发生（）接地时，其负极对地电压降低，而正极对地电压升高。 [填空题]单相桥式整流电路中，负载两端直流电压为变压器二次绕组电压的（）倍。 [单选]船政造船中的第三个阶段“钢船时期”是从1887到()年。A、1897B、1905C、1907D、1915 [判断题]一般技术性错款按审批权限报损或收益。A.正确B.错误 [单选]花卉园艺学研究对象是以下（）。A.花朵美丽的草本观赏植物B.可用以观叶、观果为主的草本植物C.一些原产南方的盆栽花木类，以及少数的木本名花D.包括A、B、和C [单选]下列有关法律规范的效力等级和适用的说法哪一项是正确的？（）A.地方性法规与规章具有同等效力B.规章具有同等效力C.部门规章之间对同一事项的规定不一时，应由部门规章制定机关协商解决D.根据授权制定的地方性法规与法律规定不一致，不能确定如何适用时，由全国人大常委会 [问答题,简答题]简述中央银行经理国库的优越性。 [单选,A2型题,A1/A2型题]目前治疗食管胃底静脉曲张破裂出血的重要手段是（）A.三腔二囊管B.手术C.胃镜D.血管加压素E.生长抑素 [单选]为保证油轮的安全引航、靠泊和防止海域污染，所有进港的空载油轮留存的压舱水不得少于该油轮载重量的（）。A、1/3B、1/4C、1/5D、1/6 [单选]脏器功能测定、脏器显像以及体外放射分析等技术的共同原理是（）A.放射性成像B.稀释法原理C.免疫反应D.示踪技术的原理E.动力学模型 [单选]如何切入自动驾驶模式。（）A、shift键↑+photo↓B、shift键↑+waypoint键↑C、waypoint键↑D、shift键↑+waypoint键↓ [单选]膳食纤维的作用不包括()A．促进肠蠕动B．有利肠道益生菌生长C．增加粪量D．有利于钙吸收E．治疗便秘 [单选,A2型题,A1/A2型题]多层螺旋CT与单层螺旋CT的主要区别是（）A.球管数目多B.计算机多C.探测器排数多D.准直器多E.滤线栅多 [单选]“冬伤于寒，春必病温”出自：（）.A.《素问•评热病论》B.《素问•至真要大论》C.《素问•玉版论要篇》D.《素问•生气通天论》