材料力学笔记

作者简介：郭志明，现在就读天津大学固体力学专业
绪论
基本概念
材料力学的任务：
载荷，弹性变形，塑性变形
设计构件需要满足以下三个方面的要求：强度，刚度，稳定性
强度：构件抵抗破坏的能力
刚度：构件抵抗变形的能力
稳定性：构件维持其原有平衡形式的能力
基本假设：连续均匀性，各项同性，小变形
研究对象及变形形式：
杆：构件的某一方向的尺寸远大于其他两个方面的尺寸
平板，壳，块体
变形形式：拉伸（压缩），剪切，扭转，弯曲
基本概念
内力：构件内部相邻两部分之间由此产生的相互作用
截面法：假象切开，建立平衡方程，求截面内力
第一章：轴向拉伸，压缩和剪切
基本概念
轴力：截面内力FN及FN’的作用线与轴线重合，称为内力轴
力图：表示轴力随横截面位置的变化
应力：轴力FN均匀分布在杆的横截面上
F
A
圣维南原理
斜截面上的应力:P cos
拉压杆的变形：F NE l（弹性范围内）
A l
EA称为杆件的抗拉（压）刚度
泊松比：弹性范围内。

横向应变和纵向应变之比的绝对值
工程材料的力学性能：材料在外力作用下在强度和变形方面表现出的性能。

Eg：应力极限值，弹性模量，泊松比等。

力学性能决定于材料的成分和结构组织，与应力状态，温度和加载方式
相关，力学性能，需要通过实验方法获得。

弹性变形：
塑性变形：
低碳钢拉伸实验
四个阶段：弹性，屈服，强化，颈缩
屈服：应力在应力-应变曲线上第一次出现下降，而后几乎不变，此时的应变却显著增加，这
种现象叫做屈服
冷作硬化：常温下经过塑性变形后材料强度提高，塑性降低的现象
ln(1)，l/l0（工程应变）
真应力应变：
t
其他材料的拉伸实验
温度，时间及加载速率对材料力学性能的影响
蠕滑现象：
松弛现象：
冲击韧性：材料抵抗冲击载荷的能力（可以通过冲击实验测定）
许用应力：对于某种材料，应力的增长是有限的，超过这一限度，材料就要破坏，应力可能达到的这个限度称为材料的极限应力。

通常把材料的极限应力/n作为许用应力[σ],[]u
强度条件：杆内的最大工作应力max(FN)[]
n u
A n
节点位移计算
集中应力：由于试件截面尺寸急剧改变而引起的应力局部增大的现象
应力集中系数：K max/n，σn是指同一截面上认为应力均匀分布时的应力值
超静定问题：未知力的数目超过独立的平衡方程的数目，因此只由平衡方程不能求出全部未知
力，这类问题成为超静定问题。

超静定结构具有多余约束，解决这类问题需要考虑力学，几何
和物理三方面
温度应力：温度变化时杆件会伸长或者缩短，在静定结构中，杆能自由变形，所以杆内不会产
生应力。

在超静定结构中，具有多余约束，温度变化将使杆内产生应力，即温度应力。

杆的变
形包括由温度引起的变形和由力引起的变形。

第二章：扭转
基本概念
轴：以扭转变形为主的杆件
受力特点：垂直于杆件轴线的两个相隔平面内作用有反向等值力偶
变形特点：任两个相邻横截面绕杆轴线发生相对转动
力偶矩：使杆件发生扭转变形的力偶矩Me等于杆件承受的外力对杆轴的力矩，有时也称Me 为转矩。

P=Mexω（相当于P=FxV）
扭矩：作用在横截面内的这一内力偶矩称为该截面的扭矩，T（相当于拉压时候的轴力）
扭矩图：表示扭矩随截面位置的变化
薄壁筒扭转
扭转角?：右端面相对左端面转动的角度，它表示杆的扭转变形
切应变γ：由于错动而形成的直角改变量
切应力互等定理：单元体中互相垂直的两个面上，垂直于公共棱边的切应力数值相等，它们的
方向指向公共棱边或背离公共棱边。

纯剪切状态：四个侧面上只有切应力而没有正应力的作用的应力状态。

剪切胡克定律：G ，G为切变模量
圆轴扭转时的应力与变形
几何方程： d ，θυ
ρ=d
，半径为ρ，切应变为γ/d
x
dx
物理方程：横截面上任一半径为 ρ处点的切应力为 G
G
d dx
静力学关系： 极惯性矩：IP 2
dA （圆截面对轴心 O 的极惯性矩）
A
抗扭截面系数： 抗扭刚度：
圆轴扭转的强度与刚度计算
强度条件： max (Tmax
) []
W P
刚度条件：
T
max 180
[]，θ是单位长度扭转角，许用扭转角[θ] GI P
弹簧的应力
非圆截面杆扭转：矩形，开口薄壁截面（角形，工字型，槽型），闭口薄壁截面
第三章弯曲内力 基本概念
弯曲：轴线由直变弯或曲率发生变化的变形 梁：以弯曲变形为主的杆件。

有直梁和曲梁
平面弯曲：直梁的横截面具有对称轴，全梁有纵向对称面，所有外力都位于该对称面内，梁的轴线由直线弯成位于位于该对称面内的一条平面曲线 支座的简化：固定铰链，活动铰链，固支端
梁的分类（根据约束）：简支梁（一端固定铰链，另一端为活动铰链），外伸梁，悬臂梁超静定梁：一个梁设置较多的支座
弯曲内力：剪力和弯矩（垂直于横截面的内力的合力偶矩）
方向：顺时针错动时剪力为正，反之为负。

完成下凸时弯矩为正
剪力图和弯矩图：为了作梁的强度和刚度计算，有必要知道沿梁轴线不同截面上剪力和弯矩的变化规律。

剪力方程：表示剪力 Fs 随截面位置 x 的变化规律
弯矩方程：表示弯矩随截面位置 x 的变化规律 弯矩，剪力和分布载荷集度之间的关系 微分关系：dM
FS ，
d 2
M q
dx
dx 2
积分关系：F s (x 2) x 2
x 2
F s (x 1) qdx ，M(x 2)M(x 1)F x dx
x
1
x 1
平面钢架内力图
钢架：由刚性结点连接杆件所组成的架构
平面钢架：如果钢架的各杆轴线位于同一平面内，且载荷也作用在此平面内，约束力也必将在此平面内
组合梁和平面曲杆的内力
第四章弯曲应力
基本概念
弯矩：横截面上只有与正应力σ有关的法向内力元素dF N=σdA合成剪力：
横街面上只有与正应力τ有关的切向内力元素dF S=τdA合成弯矩M和剪
力Fs分别与横截面上的正应力和切应力相关
纯弯曲：平面弯曲梁的内力只有弯矩没有剪力
横力弯曲：平面弯曲梁的内力既有弯矩又有剪力
平面的弯曲的正应力
中性层：既不伸长，也不缩短的材料层
中性轴：中性层和横截面的交线
推导纯弯曲时梁横截面上的正应力
几何关系：
物理关系：
静力学关系：
截面对z轴的静矩
横截面的惯性积
横截面对中性轴z的惯性矩
[]
弯曲正应力的强度条件：max
M max
W z
三类问题：校核强度，设计截面，计算许可载荷
弯曲切应力与强度条件
梁弯曲时横截面上切应力的分布
矩形截面梁的弯曲切应力
圆形截面梁的弯曲切应力
薄壁截面梁的弯曲切应力（工字型截面，其他薄壁截面）
梁切应力强度条件：max[]
弯曲问题中，梁既要满足正应力强度条件，还要满足切应力强度条件
梁的合理截面与合理受力
一般情况下，梁横截面上既有正应力，也有切应力，而梁的强度主要由正应力控制。

理想截面：较少的截面面积，较大的抗弯截面系数
等强度梁：梁上每个截面上的最大正应力都等于许用应力[σ]梁和
合理受力：改变约束方式，改变加载方式
非对称弯曲：
剪切中心（弯曲中心，剪心）：剪心的位置仅与截面的形状和尺寸相关，为了避免产生扭转，必须使外力的作用线通过剪心。

双向弯曲，弯曲与拉压的组合
斜弯曲：当横向力通过剪心，但不与形心主轴平行，构件将发生斜弯曲。

截面核心：围绕截面形心的一个区域，当偏心力作用点位于截面核心之内时，中性轴不穿过截
面，当偏心力加于截面核心的边界上时，中性轴刚好与截面的周边相切
异质材料叠层梁
中性层穿过横截面的形心
大曲率杆：
第五章弯曲变形
基本概念
实际工程中，除强度要求外，对构件还有刚度要求，即不允许产生过大的弹性变形。

弹性曲线或挠曲线：弯曲后的轴线
挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向的位移
截面转角：当梁变形时，每个横截面将转动一个角度θ
挠曲线的近似微分方程
''M(x)
EI
积分法求梁变形
求转角和挠度的表达式
叠加法求梁变形
弯曲刚度问题
max []，max[]
提高梁的刚度的措施：减小梁跨长，超静定梁，增大惯性矩，合理安排载荷施加方式和支座位
置，合理选择材料（尽量选择弹性模量高的）
剪力对梁变形的影响
梁挠曲线的初参数方程
第六章：应力状态与强度理论
基本概念
组合变形：在小变形情况下，可以将这种复杂变形视为几种基本变形的叠加，此时，构件横截
面的某点处可能既有正应力，又有切应力。

这种情况下，不能分别对正应力和切应力建立独立
的强度条件进行强度计算。

强度理论：有关材料破坏原因的学说。

应力状态与强度理论为研究杆在复杂变形时的强度问题
提供了理论基础
应力状态：构件内过一点处沿着不同方向斜截面上的应力情况。

不是所有的破坏都发生在横截
面上，有的破坏就发生在斜截面上。

研究一点处的应力状态，通常取单元体作为研究对象
原始单元体：从构件内一点处取出单元体，其各侧面上应力均已知
两点应力状态的解析法
平面应力状态（两向应力状态）：单元体的六个侧面中，四个面上有应力作用，且应力作用线
位移同一平面内，另外两个面上没有应力作用，此单元各侧面上的应力σx,σy,τx,τy称为坐标应力。

斜截面上的应力：
xy xy cos2 x sin2
2 2
x 2 y
sin2 x cos2
过单元体的两个相互垂直的截面上的正应力之和是一个常量
α
是α的函数。

σ
x y ( x y22 xy ( x y22
max 2 2 ) x
min 2 2 )
x
从受力构件内的某一点处，取出一个单元体，一般说来，其侧面既有正应力，也有切应力，但是可以证明，在该点处以不同方位截取的诸单元体中，有一个特殊的单元体，在这个单元体的侧面上只有正应力而无切应力。

这样的单元体称为该点处的主单元体。

主单元体的侧面称为主平面。

（主平面上不存在切应力）
主应力：主平面上的正应力，是正应力的极值，主平面的法线方向叫主方向
一般情况，过一点所取主单元体的六个侧面上有三对主应力，也就是通过受力物体的一点可以找出三个主应力，这三个主应力用σ1，σ2，σ3表示，且按大小排列σ1>σ2>σ3
三向应力状态：如果某点的主单元体上的三个主应力皆不为零，该点的应力状态为三向应力状态。

如果有两个主应力不为零，该点的应力状态称为两向应力状态，如果只有一个主应力不为零，则属于单向应力状态。

两向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。

面内最大切应力
( x y22 ， ( x y 2 2 ，其称为主切应力，这两个主切应力作用面
max 2 ) x min ) x
2 相互垂直。

两向应力状态的图解法
-莫尔圆
应力圆（莫尔应力圆）：在以 σ为横坐标，τ为纵坐标的坐标系中，方程 x y 2 2 xy 2 2 中两个变量，即对于不同方位角的斜截面上的正应力和切 ( ) ( ) 2 2 x
应力满足圆方程。

单向拉伸（压缩）应力状态下的应力圆 纯剪切应力状态下的应力圆
三向应力状态的应力圆 广义胡克定律
两向应力状态的电测实验应力分析
三向应力状态的应变能：在三向应力状态下，弹性体应变能与外力所做的功在数值上仍然相等。

强度理论
材料处于单向应力状态时，其应力极限可以利用拉伸或者压缩实验测定。

但模拟复杂应力状态下的实验比较困难。

所以研究材料在复杂应力状态下的破坏和失效规律极为必要。

材料在静载荷作用下破坏形式主要有：断裂，屈服 应力状态虽然各式各样，但是破坏形式却是有限的
衡量受力和变形程度的参量有应力，应变和应变能，对于同一种破坏形式，可能存在相同的破坏原因。

（应力，应变和应变能等因素） 基本强度理论：
1.最大拉应力理论： 1 [ ]
1
是危险点处的最大拉应力， b ， 是该种材料在轴向拉伸时的强度极限
2.最大拉应变理论：1(2
n b
3)[]
[ ]是单向拉伸时材料的许用应力
相对于第一强度理论，第二强度理论考虑了三个主应力对材料破坏的影响，从形式上更加完美
了。

对于塑性屈服破坏形式，有以下两种主要的强度理论 3.最大切应力理论： 1 3 [ ]
[ ]表示许用应力，即简单拉伸下出现屈服时的最大的切应力 /n ；最大切应力理论与实验结果
比较接近，因此在工程上得到广泛应用。

但缺点是没有考虑主应力 2
对材料屈服的影响，事
实上，其对材料屈服是有一定影响的。

4.畸变能理论（形状改变比能理论）： 强度理论的应用
扭弯组合与扭弯拉压组合变形 问题与研究
两向应变分析与应边圆 复合材料的应力应变关系
含裂纹或缺陷构件的强度分析
第七章：压杆稳定 基本概念
对于某一弹性杆件，在铅垂载荷F 作用下，杆件在竖直位置保持平衡，现在，给以外界干扰使其从平衡位置发生微小偏离，撤去干扰后，如果系统能回到其原始位置，则称其原始位置的平衡是稳定的，否则，称其原始位置的平衡是不稳定的。

一些缺陷（材料，载荷等）起到干扰作用，极易使压杆过渡到侧弯曲状态，这种状态称为屈曲或者失稳。

压杆失稳后常伴随着大变形，所以工程上的薄壁杆件，壳体和高粱等，必须考虑它们的稳定性问题。

细长压杆的临界力
使压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力，称为临界力。

临界载荷的欧拉公式：
F
cr 2
EI
l 2 对于压杆两端约束的 更复杂情况须从挠曲线微分方程发出求其临界力。

临界应力总图
欧拉公式的适用范围
分析压杆在临界状态时横截面上的应力。

引入惯性半径的概念（
i I/A ）,而(l)/ I/A 成为
长细比或者柔度。

因为欧拉公式是从弹性挠度曲线导出的，所以临界应力公式只能用于弹性范围，即要求
cr 不
超过比例极限
临界应力的经验公式
在工程实际中，绝大多数压杆不是大柔度杆，对于柔度小于p的压杆，其临界应力通常采用
基于试验和分析的经验公式进行计算。

直线型公式
抛物线型公式
压杆稳定条件与合理设计
压杆稳定条件：为了保证实际受压杆件在工作压力F作用下不失稳，必须满足稳定条件为
F F cr/n st，nst是稳定安全因素，不同钢制压杆稳定安全因素不同
稳定因素法：
1
[]
提高压杆稳定性的措施
尽量减小压杆长度和加强约束的牢固性
合理选择截面
合理选择材料
切变模量理论
纵横弯曲
第八章：疲劳强度
基本概念
在工程中，有些构件内的应力随时间交替变化。

Eg：Fad sint
2I
金属材料在交变应力下的疲劳破坏不同于静载荷下的破坏：
金属在所承受的交变应力最大值远小于其在静载下的强度极限时，就可能发生破坏。

即使是塑性材料，在疲劳破坏前也没有显著的塑性变形。

金属疲劳破坏时，其断口上呈现光滑区与粗糙区两个区域。

材料的疲劳极限
构件在交变应力作用下，应力每重复变化一次，称为一个应力循环，重复变化的次数称为循环
次数。

最小应力和最大应力之比称为交变应力的循环特征或应力比。

r min
max
最大应力与最小应力的代数平均值称为平均应力m
最大应力与最小应力的代数差之半称为应力幅值 a
所以，构件承受的交变应力可以通过（max，min）或（m，a）表示
对称循环：max min，r=-1
非对称循环：r 1
脉动载荷：在非对称循环中，0
静应力：
min
max
min
金属材料在交变应力下的强度常用S-N曲线（应力寿命曲线）或疲劳极限来衡量
表示材料的疲劳强度和静强度方法不同：表示静强度只用强度极限即可，而表示疲劳强度则需
同时指明max及其对应的寿命N，即（max，N）。

在不同应力比下得到的S-N曲线也不同。

所以，全面地反映材料在交变应力下的疲劳强度，需作出不同r值下的S-N曲线。

疲劳极限图：
构件的疲劳极限
光滑小试件测出来的称为材料的疲劳极限，材料的疲劳极限尚不能直接用于实际构件。

构件的外形，尺寸及表面加工情况都不同于标准的光滑小试件。

构件外形的影响
构件尺寸的影响
构件表面质量的影响
疲劳破坏
在工程实践中，疲劳破坏是机械、结构失效的最常见的形式。

提高构件疲劳强度的措施：
缓和应力集中
提高构件表层的强度
无限寿命与安全寿命设计的概念
第九章：能量方法
基本概念
待续⋯
编辑于澳大利亚昆士兰大学
2016-05-27。