2019年郑州高三二模考试理数

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【解析版】2019河南省郑州市高三第二次质量预测数学理科试卷

2019年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷【试卷综述】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度也稍偏大，区分度不是十分明显。

客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，结构稳定。

整套试卷的题型设置，试题总体结构、考点分布、题型题量、赋分权重等方面均与历年考题保持一致，充分体现了稳定的特点。

试题紧紧围绕教材选材，注重基础知识和基本能力的检测。

考查了必要数学基础知识、基本技能、基本数学思想；考查基本的数学能力，以及数学的应用意识、创新意识、科学态度和理性精神等要求落到实处，模拟试卷有模仿性，即紧跟上一年高考试卷的命题，又有预见性，能够预测当年试卷的些微变化，具有一定的前瞻性，对学生有所启发，提高学生的应试备考能力，提升得分。

【题文】第I卷【题文】一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．【题文】1、设i是虚数单位，复数21izi=+，则｜z｜＝A.1B. 2C.3D. 2【知识点】复数代数形式的乘除运算L1【答案】【解析】B 解析：复数z====1+i，则|z|=．故选B．【思路点拨】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【题文】2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x∈Z｝x2一5x+4<0｝，则C u(AUB)＝A. { 0，1，3，4}B.｛1，2，3｝C.｛0，4｝D. { 0｝【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案】【解析】C 解析：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．【思路点拨】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【题文】3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值mn＝A.1B.13 C.29 D.38全品网【知识点】茎叶图．I2【答案】【解析】D 解析：根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．【思路点拨】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可.【题文】4．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A. 3种B. 6种C. 9种D.18种【知识点】计数原理的应用．J1【答案】【解析】C 解析：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C【思路点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.【题文】5.如图y= f (x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g' (x）是g(x)的导函数，则g'（3）＝A. －1B. 0C. 2D. 4【知识点】利用导数研究函数的单调性．B11【答案】【解析】B 解析：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故选：B．【思路点拨】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．【题文】6.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny =>x+y= 或x=y，其中真命题是A. p1，p3B. p2，p3C.p1，p4D. p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案】【解析】D 解析：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx﹣cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．【思路点拨】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．【题文】7.若实数x、y 满足，且x=2x+y的最小值为4，则实数b的值为A.1B. 2C. 52 D. 3【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】D 解析：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z 的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D【思路点拨】作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．【题文】8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8πB. 16πC. 32πD. 64π【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C【思路点拨】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【题文】 9.已知函数f （x ）＝23,63,x x a x x x a +>⎧⎨++≤⎩，函数g(x) = f (x ）一2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.［一1，3)B.〔-3，一1〕C.［-3，3）D.［一1，1) 【知识点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．B9【答案】【解析】A 解析：∵f （x ）=，∴g （x ）=f （x ）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；若函数g （x ）=f （x ）﹣2x 恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a ＜3实数a 的取值范围是[﹣1，3）．故选：A ．【思路点拨】化简g （x ）=f （x ）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；从而可得，从而解得．【题文】10.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin （B 十A ）＋sin （B －A ）＝3sin2A ，且7,3c C π==，则△ABC 的面积是【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．C5 C8【答案】【解析】D 解析：在△ABC 中，3C π=,22,233B A B A A ππ∴=--=-,()()sin sin 2sin 2B A B A A ++-=,2sin sin 22sin 23C A Aπ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,33sin 2sin 62A C π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭,1sin 262A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得6A π=或2π,当6A π=时,2B π=,7tan 3c C a a ===,解得213a =, 所以11217372236ABCSac ==⨯⨯=;当2A π=,6B π=,同理可得334ABCS=;故选D.【思路点拨】依题意，可求得223B A A π-=-，利用两角差的正弦可求得1sin 262A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可求得6A π=或2π,分类讨论即可求得△ABC 的面积．【题文】11.如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A1DE.若M 为线段A1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A.｜BM ｜是定值 B ．点M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A1 CD.存在某个位置，使MB//平面A1DE 【知识点】平面与平面之间的位置关系．G3 【答案】【解析】C 解析：取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA1，BF ∥DE ，∴平面MBF ∥平面A1DE ，∴MB ∥平面A1DE ，故D 正确由∠A1DE=∠MNB ，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos ∠MNB ，所以MB 是定值，故A 正确． ∵B 是定点，∴M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故B 正确， ∵A1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直， ∴存在某个位置，使DE ⊥A1C 不正确．故选：C ．【思路点拨】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB 为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．【题文】12.已知双曲线()22221x ya ba b-=>0,>0的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、75B、43C、2D、103【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】A 解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．【题文】第II卷【题文】本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题．考生根据要求作答．【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量AB在AC方向上的投影为．【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】2解析：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．【思路点拨】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【题文】14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为【知识点】抛物线的简单性质．H7【答案】【解析】)161,0(±解析：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=﹣4，则，即2p=，，焦点坐标为) 161,0(±．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：)161,0(±．故答案为：)161,0(±．【思路点拨】由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=﹣4求得抛物线的焦点坐标．【题文】15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】212--解析：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos =；n=2，n≥2019？，否，s=+cos =；n=3，n≥2019？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2019？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2019？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2019？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2019？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2019？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2019？，否，s=0+cos =；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2019=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=212--．故答案为：212--．【思路点拨】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos +cos +cos +cos +…+cos的值，由此求出结果即可.【题文】16.已知偶函数y= f (x)对于任意的x[0,)2π∈满足f'(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f'(x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案】【解析】(2) (3) (4) 解析：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=＞0，∴x ∈[0，），g （x ）=是单调递增，且是偶函数，∴g （﹣）=g （），g （﹣）=g （），∵g （）＜g （），∴，即f （＞f （），（1）化简得出f （﹣）=f （）＜f （），所以（1）不正确．（2）化简f （﹣）＞f （﹣），得出f （）＞f （），所以（2）正确．又根据g （x ）单调性可知：g （）＞g （0），∴＞，∴f （0）＜f （），∵偶函数y=f （x ）∴即f （0）＜f （﹣），所以（3）正确．∵根据g （x ）单调性可知g （）＞g （），∴，f （）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）【思路点拨】运用g′（x ）=＞0，构造函数g （x ）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出f （＞f （），可以分析（1），（2），根据单调性得出g （）＞g （0），g （）＞g （），判断（3）（4）．【题文】三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝的各项均为正数，1a =1，且34115,,2a a a 成等比数列．（I ）求na 的通项公式，（II ）设11n n n b a a +=，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn.【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案】【解析】(Ⅰ)213-=n a n ;（Ⅱ）232n n T n =+. 解析：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知0>d ，因为1143,25,a a a +成等比数列，所以11324)25(a a a =+， )101)(21()327(2d d d ++=+∴，即,04536442=+-d d 所以),2215(23舍去-==d d ……… 4分所以213-=n a n . ……… 6分（Ⅱ）)231131(34)23)(13(411+--=+-==+n n n n a a b n n n ， ……… 8分所以41111112().32558313232n nT n n n =-+-++-=-++. ……… 12分【思路点拨】（Ⅰ）由题意知11324)25(a a a =+，从而可得公差32d =，所以213-=n a n ；（Ⅱ）将4(31)(32)n b n n =-+列项为411()33132n n --+，求和即得Tn 的值．【题文】 18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900. （I ）求证:A1B ⊥AC1（II ）已知点E 是AB 的中点，BC=AC ，求直线EC1与平面平ABB1A1所成的角的正弦值。

2019年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)

2019年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．（5分）若复数2b ii++为纯虚数，则实数b 等于( ) A ．3B ．12-C ．13D ．1-2．（5分）已知全集U R =，2{|(1)}A x y ln x ==-，2{|4}x B y y -==，则()(R A B =⋂ð)A ．(1,0)-B ．[0，1)C ．(0,1)D ．(1-，0]3．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知20182017()2019201821f x x x x =++⋯++，程序框图设计的是()f x 的值，在M 处应填的执行语句是( )A ．n i =B ．2019n i =-C ．1n i =+D ．2018n i =-4．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:?(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=…，(22)0.9545P X μσμσ-<+=…．)A ．906B ．2718C ．1359D ．34135．（5分）将函数()2sin f x x =的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，下面四个结论正确的是( ) A ．函数()g x 在[π，2]π上的最大值为1 B ．将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点(,0)3π是函数()g x 图象的一个对称中心D ．函数()g x 在区间2[0,]3π上为增函数 6．（5分）设变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则目标函数31()3x y z +=的最大值为( )A ．111()3B ．31()3C ．3D ．47．（5分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CB =，4CA =，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP 的最小值为( ) A ．12-B ．0C ．4D ．1-8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为( )ABC． D．9．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数123()12x x f x ++=+，则函数[()]y f x =的值域为( )A ．1(,3)2B ．(0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线上存在点P 使1221sin 2sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) Ae <B．2e <<C．1e < D．2e <<11．（5分）在ABC ∆中，已知AB =BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围是( ) A．(0,B．C．D．12．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(5,0)T ，则(AOB S ∆=)A．BCD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为．14．（5分）已知cos()cos 3παα-+=，则cos()6πα-= ．15．（5分）二项式6(ax +的展开式中5x 0=⎰ ．16．（5分）已知函数21()(,)2x f x ae x b a b R =--∈，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且212x x …，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若*n a N=∈，且2)n …．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2n a n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，等腰直角ABC ∆中，90B ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=︒，//AF BE ．（Ⅰ）求证：BC BF ⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的正弦值．19．（12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%把握认为选历史是否与性别有关？（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量0,21,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案不同名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点满足OM AM ON +=，设动点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-，求||OT 的取值范围．21．（12分）已知函数21()()f x x x ln ax x =+-，322()(1)23g x x a x ax b =+--+，a ，b R ∈．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若()()f x g x …恒成立，求2b a -的最小值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，直线l的参数方程为2(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）若点P 的极坐标为(2,)π，求||||PM PN 的值；（Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1|||(0)f x ax x a a =++->，2()g x x x =-．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()()g x f x …的解集；（Ⅱ）已知()2f x …恒成立，求a 的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．（5分）若复数2b ii++为纯虚数，则实数b 等于( ) A ．3 B ．12- C ．13D ．1-【解答】解：()(2)2122(2)(2)55b i b i i b bi i i i ++-+-==+++-为纯虚数， ∴21020b b +=⎧⎨-≠⎩，即12b =-．故选：B ．2．（5分）已知全集U R =，2{|(1)}A x y ln x ==-，2{|4}x B y y -==，则()(R A B =⋂ð)A ．(1,0)-B ．[0，1)C ．(0,1)D ．(1-，0]【解答】解：{|11}A x x =-<<，{|0}B y y =>；{|0}R B y y ∴=…ð； ()(1R A B ∴=-⋂ð，0]．故选：D ．3．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知20182017()2019201821f x x x x =++⋯++，程序框图设计的是()f x 的值，在M 处应填的执行语句是( )A ．n i =B ．2019n i =-C ．1n i =+D ．2018n i =-【解答】解：由题意，n 的值为多项式的系数，由2019，2018，2017⋯直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入2019n i =-．故选：B ．4．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:?(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=…，(22)0.9545P X μσμσ-<+=…．)A ．906B ．2718C ．1359D ．3413【解答】解：~(2,4)X N -，∴阴影部分的面积(02)S P X =剟11[(62)(40)](0.95450.6827)0.135922P x P x =---=-=剟剟， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.13591359⨯=．故选：C ．5．（5分）将函数()2sin f x x =的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，下面四个结论正确的是( ) A ．函数()g x 在[π，2]π上的最大值为1 B ．将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点(,0)3π是函数()g x 图象的一个对称中心D ．函数()g x 在区间2[0,]3π上为增函数【解答】解：将函数()2sin f x x =的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，可得2sin()6y x π=+的图象，再把横坐标变为原来的2倍，得到1()2sin()26g x x π=+的图象，在[π，2]π上，2[263x ππ+∈，7]6π，1()2sin()26g x x π=+A 错误；将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应函数的解析式为12sin()212y x π=+，它不是奇函数，图象不关于原点对称，故B 错误；当3x π=时，()0g x =≠，故点(,0)3π不是函数()g x 图象的一个对称中心，故C 错误；在区间2[0,]3π上，[266x ππ+∈，]2π，故函数()g x 在区间2[0,]3π上为增函数，故D 正确，故选：D ．6．（5分）设变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则目标函数31()3x y z +=的最大值为( ) A ．111()3B ．31()3C ．3D ．4【解答】解：作出变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………对应的平面区域如图，目标函数31()3x y z +=的最大值，就是求解3u x y =+，得3y x u =-+，平移直线3y x u =-+，由图象可知当直线3y x u =-+，经过点A 时，直线3y x u =-+的截距最小，此时u 最小．由21y x y =⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A -，此时z 的最大值3111()()333x y z +-===．故选：C ．7．（5分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CB =，4CA =，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP 的最小值为( ) A ．12-B ．0C ．4D ．1-【解答】解：由题意，画图如下：可设BP BD λ=，BD CD CB =-，||2,||2CD CB ==，,0COS CD CB <>=． ∴()BP BD CD CB λλ==-，()(1)CP CB BP CB CD CB CD CB λλλ=+=+-=+-． ∴[(1)]()CP BP CD CB CD CB λλλ=+--222||(1)||CD CB λλλ=--244(1)λλλ=--284λλ=-．由二次函数的性质，可知：当14λ=时，CP BP 取得最小值12-．故选：A ．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为( )A B C ． D ．【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示；其中AC AB ==，6BC =，AC AB ∴⊥；三棱锥P ABC -的外接球即为以AB 、AC 、AP 为共顶点的长方体的外接球，则该外接球的直径为2222(2)1818945R AB AC AP =++=++=，R ∴=，∴外接球的体积为3435()3V π=．故选：A ．9．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数123()12x x f x ++=+，则函数[()]y f x =的值域为( )A ．1(,3)2B ．(0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：因为123()12x x f x ++=+，所以11112615()(1)212212x x x f x ++++==+++，又112(1,)x ++∈+∞，所以1()(2f x ∈，3)，由高斯函数的定义可得：函数[()]y f x =的值域为0,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故选：C ．10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线上存在点P 使1221sin 2sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) Ae <B．2e <<C．1e < D．2e <<【解答】解：不妨设P 在双曲线右支上运动，并设0(P x ，0)y ，则0x a > 由正弦定理可122211sin ||2sin ||PF F PF aPF F PF c∠==∠，由双曲线的第二定义可得10||PF a ex =+，得20||PF ex a =- ∴002ex a aex a c-=+，解得2022a acx a ce ae+=>-，22a c ce ae ∴+>-，两边同除以a ，可得222e e e +>-，即2320e e --<，解得1e <<，又20ce ae ->，解得2e >，故2e <<故选：D ．11．（5分）在ABC ∆中，已知AB =BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围是( )A ．(0,B ．C ．D ．【解答】解：将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -，且点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，如图2，AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥，过M 作MN BD ⊥，连接AN ，则AN BD ⊥，因此，折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ．在图1中，过A 作1AM BC ⊥于1M ，运动点D ，当D 点与C 点无限接近时，折痕BD 接近BC ，此时M 与点1M 无限接近；在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，BM 是直角边，BM AB ∴<．由此可得：1BM BM AB <<，ABC ∆中，AB =BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理可得AC =1BM ∴=∴BM <<，由BM x =可得x 的取值范围为．故选：C ．12．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(5,0)T ，则(AOB S ∆=)A ．B CD ．【解答】解：如图所示，(1,0)F ．设直线l 的方程为：(1)y k x =-，(0)k ≠，1(A x ，1)y ， 2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(E x ，0)y ．线段AB 的垂直平分线的方程为：1(5)y x k =--．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2440ky y k --=，124y y k∴+=，124y y =-， 01212()2y y y k ∴=+=，002211y x k k=+=+，把2(E k ，221)k+代入线段AB 的垂直平分线的方程：1(5)y x k =--．可得：2212(15)k k k=-+-，解得：21k =．1211||2OAB S y y ∆=⨯⨯-== 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为 16 ．【解答】解：等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，22a =，37S =， ∴213132(1)71a a q a q S q ==⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得11a =，2q =，44511216a a q ∴==⨯=．故答案为：16．14．（5分）已知cos()cos 3παα-+=，则cos()6πα-= 45 ．【解答】解：cos()cos 3παα-+=，可得cos cossin sincos 33ππααα++=即：3cos 2αα+=cos()6πα-=，4cos()65πα-=．故答案为：45． 15．（5分）二项式6(ax +的展开式中5x0=⎰23．【解答】解：二项式6(ax +的展开式中5x 的系数为15633C a =1a∴=，∴312022|33x ===⎰⎰，故答案为：23． 16．（5分）已知函数21()(,)2x f x ae x b a b R =--∈，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且212x x …，则实数a 的取值范围是 (0，2]2ln ．【解答】解：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，()x f x ae x ∴'=-有两个极值点1x ，2x ，()0x f x ae x ∴'=-=有两个零点1x ，2x ， ∴11x ae x =，22x ae x =，两式作比，得221121x x x x x e e x e-==，令21x x t -=，①，则21t x e x =，② ∴21t x x e =，代入①，得：11t tx e =-，由②，得212t x e x =…，2t ln ∴…，令()1t t g t e =-，2t ln …，则21()(1)t tte te g t e --'=-，令()1t t h t e te =--，则()0t h t te '=-<，()h t ∴单调递减，()(2)1220h t h ln ln ∴=-<…， ()g t ∴单调递减，()(2)2g t g ln ln ∴=…，即12x ln …，11x x a e =，令()x x x e μ=，则1()0x xx e μ-'=>，()x μ∴在2x ln …上单调递增，2()2ln x μ∴…，22ln a ∴…， ()x f x ae x '=-有两个零点1x ，2x ，()x μ在R 上与y a =有两个交点，1()xxx e μ-'=，在(,1)-∞上，()0x μ'>，()x μ单调递增，在(1,)+∞上，()0x μ'<，()x μ单调递减，()x μ∴的最大值为μ（1）1e=，大致图象为：10a e∴<<，10.368e ≈，20.3472ln ≈， 202ln a ∴<…．∴实数a 的取值范围是(0，2]2ln ．故答案为：(0，2]2ln ．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若*n a N=∈，且2)n …．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2n a n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）数列{}n a 中，1n n n a S S -=-，①n a =②①÷②1，则数列1=为首项，公差为1的等差数列，1(1)n n =+-=，则2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n …时，121n n n a S S n -=-=-， 11a =也符合该式，则21n a n =-；（Ⅱ）有（Ⅰ）的结论，21n a n =-，则21(21)2n n C n -=-⨯；则3521123252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⨯，③；则357214123252(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⨯，④； ③-④可得：35212121105322(222)(21)2(2)233n n n n T n n -++-=+++⋯⋯+--⨯=-+-⨯，变形可得：21(65)2109n n n T +-⨯+=．18．（12分）如图，等腰直角ABC ∆中，90B ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=︒，//AF BE ．（Ⅰ）求证：BC BF ⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的正弦值．【解答】证明：（1）等腰直角ABC ∆中，90B ∠=︒，BC AB ∴⊥，平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ⋂平面ABC AB =， BC ∴⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，BC BF ∴⊥．解：（2）由（1）知BC ⊥平面ABEF ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设22AF AB BE ===，60FAB ∠=︒，//AF BE ．(0B ∴，0，0)，(0C ，2，0)，3(2F ，(1E -，0，(1EC =，2，，5(,0,2EF =，(0BC =，2，0)，设平面CEF 的一个法向量(n x =，y ，)z ，则00n EC n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20502x y x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =(3,2n =，5)，设平面BCE 的一个法向量(m x =，y ，)z ，则0m EC m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2020x y y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，取x =(3,0,1)m =，设二面角F CE B --的平面角为θ．则|cos |||||||22m n m n θ===⨯，sin θ∴ ∴二面角F CE B --．19．（12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%把握认为选历史是否与性别有关？（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量0,21,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案不同名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有28368403923660⨯⨯=人．（Ⅱ）列联表为：由列联表中数据得2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22236(441216)361611108910.8910.8282016201620162016100⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以由99%的把握认为选历史与性别有关．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物：有4人选择物理、化学和历史：有2人选择物理、化学和地理：有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0，1．222284222163(1)10C C C C P C ξ+++===，7(0)1(1)10P P ξξ==-==，（或1111118844222167(0))10C C C C C C P C ξ++=== 所以的分布列为73301101010E ξ=⨯+⨯=． 20．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点满足OM AM ON +=，设动点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-，求||OT 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，0(A x ，0)y ，由于ANx ⊥轴于点N ， 0(N x ∴，0)，又圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+ 2r ∴=，则圆221:4C x y +=．由题意，OM AM ON +=，得(x ，0)(y x x +-，00)(y y x -=，0)， ∴000220x x x y y -=⎧⎨-=⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩，又点A 为圆1C 上的动点，2244x y ∴+=，即2214x y +=；（Ⅱ）当PQ 的斜率不存在时，设直线1:2OP y x =，不妨取点P ，则Q ，T ，||OT ∴= 当PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y kx m =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=． ∴122814kmx x k -+=+，21224414m x x k -=+．1214k k =-，121240y y x x ∴+=．22121212124()()(14)4()4kx m kx m x x k x x km x x m ∴+++=++++2222232444014k m m m k =--+=+．化简得：22214m k =+，∴212m …．△2222222644(41)(44)16(41)160k m k m k m m =-+-=+-=>．设3(T x ，3)y ，则12322x x k x m +-==，3312y kx m m=+=． ∴2222332224131||2[442k OT x y m m m =+=+=-∈，2)，||OT ∴∈．综上，||OT 的取值范围是． 21．（12分）已知函数21()()f x x x ln ax x =+-，322()(1)23g x x a x ax b =+--+，a ，b R ∈．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若()()f x g x …恒成立，求2b a -的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是R ，()(22)()g x x x a '=+-，令()0g x '=，解得：1x =-或x a =，①1a <-时，令()0g x '>，解得：1x >-或x a <，令()0g x '<，解得：1a x <<-，故()g x 在(,)a -∞递增，在(,1)a -递减，在(1,)-+∞递增， ②1a =-时，()0g x '…，()g x 在R 递增，③当1a >-时，令()0g x '>，解得：x a >或1x <-，令()0g x '<，解得：1x a -<<故()g x 在(,1)-∞-递增，在(1,)a -递减，在(,)a +∞递增；（Ⅱ）()()()()0f x g x g x f x ⇔-剠，设()()()F x g x f x =-，则221()(21)()22(1)(21)(1)F x x lnx x x x a x a x lnx x a x'=+++++--=+++-，(0,)x ∈+∞，令()0F x '=，得10lnx x a ++-=，设()1h x lnx x a =++-，由于()h x 在(0,)+∞递增，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞，故存在唯一0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x =，即001a x lnx =++，当00x x <<时，()0F x '<，故()F x 在0(0,)x 递减，当0x x >时，()0F x '>，()F x 在0(x ，)+∞递增，当(0,)x ∈+∞时，23200000002()()()(1)3min F x F x x x lnx x a x ax b ==+++--+23200000000002()()(1)3x x lnx x x lnx x x lnx x b =+++---+++ 3200013x x x b =---+， ()()f x g x …恒成立，故320001()03min F x x x x b =---+…，即3200013b x x x ++…，故3232000000011222233b a x x x a x x x lnx -++-=+---…，设321()223h x x x x lnx =+---，(0,)x ∈+∞，则2(1)(32)()x x x h x x-++'=，令()0h x '=，解得：1x =，故()h x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，故()min h x h =（1）2=-，故01x =即0012a x lnx =++=，320001733b x x x =++=时，5(2)3min b a -=-．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，直线l的参数方程为2(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）若点P 的极坐标为(2,)π，求||||PM PN 的值；（Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，转换为直角坐标方程为：221124x y +=．点P 的极坐标为(2,)π，转换为直角坐标为(2,0)-．把直线l的参数方程为2(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．代入椭圆的方程为：2140(t t -=和2t 为A 、B 对应的参数）所以：124t t =-．故：12||||||4PM PN t t ==（Ⅱ）由椭圆的直角坐标方程转换为,2sin )θθ，所以：以A为顶点的内接矩形的周长为2sin )16sin()(0)32ππθθθθ+=+<<所以：当6πθ=时，周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1|||(0)f x ax x a a =++->，2()g x x x =-．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()()g x f x …的解集；（Ⅱ）已知()2f x …恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，21()()11x g x f x x x x x -⎧⇔⎨----+⎩………或2112x x x -<<⎧⎨-⎩…或2111x x x x x ⎧⎨-++-⎩……，解得1x -…或3x …，所以原不等式的解集为{|1x x -…或3}x … （2）1(1)1,1()(1)1,(1)1,a x a x a f x a x a x a a a x a x a ⎧-+-+-⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪++-⎪⎪⎩……，当01a <…时，()min f x f =（a ）212a =+…，1a =；当1a >时，11()()2max f x f a a a=-=+…，1a >，综上：[1a ∈，)+∞。

河南省郑州市2019年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题(含答案)

B. [O, 1)
C. ( 0 , 1)
•7* 3. rw*fi~~~ JLfilf:t£«fl-=trtL• »q:i !fl 1:11 (l{J~ nfilf ~
* -4'-1J3¾ $Jg{ J:\ ffi Lt tlt 5'6 i! (l{J 1f. 1*, B ~ / ( x) = + 2019x 2018
* 2018x2011 +·.. +2x + 1. fiLJ'Hm 00 fit it (l{J ~ f Cxo) ~ ffi, :t£ M
D. (-1, O]
~illJJ{ (l{j ~fi ii1iJ¾
A. n=2018-i
B. n=2019-i
C. n=i+l
D. n=i+2
4. ::t£ ~1100 mm (l{J IE1J% i:r MIm19JJ$ 10000 -t- l!. ,!l!tl m:
-~:l!~~fii El ~Jj(t(..J. )
1. ~~fi~t!1-.1~1,!Ht,!l!U~fl b ~r
A. 3
B. -
1 2
C.
1
3
D. -1
2. B~1t- U=R,A= _{xl y=ln(l-x2 )}' B= {y ly=4x- 2 } ,!l!tl An ( CRB)=
A. (-1, 0)
AirulfSl31tCi!H~ C 1-JIE~1t;(Ji N(-2,4)~\!.\llt!ill~) (l{J lU'f,'J 1-fl (l{J #i itffi1-J
(UJ': X....., N(µ,a2 )) ,9!1j P(µ-a<X<,µ+a) =O. 6827,

河南省郑州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(Word版)

河南省郑州市2019届高三第二次模拟考试理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150 分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数2b ii＋＋为纯虚数，则实数b 等于 A ．3 B ．12－C ．13D ．－1 2．已知全集U ＝R ，A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}，B ＝{y ｜y ＝4x －2}，则A ∩（C R B ）＝ A ．（－1，0） B ．[0，1）C ．（0，1）D ．（－1，0]3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f （x ）＝2019x 2018＋2018x 2017＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是求f （x 0）的值，在M 处应填的执行语句是 A ．n ＝2018－i B ．n ＝2019－i C ．n ＝i ＋1 D ．n ＝i ＋24．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （－2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为(附：X ～N （μ，σ2）)，则P （μ－σ＜X ≤μ＋σ）＝0．6827， P （μ－2σ＜X ≤μ＋2σ）＝0．9545．） A ．906 B ．2718 C ．1359 D ．3413 5．将函数f （x ）＝2sinx 的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g （x ）的图象，下面四个结论正确的是 A ．函数g （x ）在[π，2π]上的最大值为1 B ．将函数g （x ）的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点（3π，0）是函数g （x ）图象的一个对称中心 D ．函数g （x ）在区间[0，23π ]上为增函数 6．设变量x ，y 满足约束条件1y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≤2，＋≥1，－≤，则目标函数313x y ＋z ＝（）的最大值为A ．1113（） B ． 313（） C ．3 D ．4 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则 CP BP ⋅uu r uu r的最小值为 A ．12－B ．0C ．4D ．－18．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体三视图，则此几何体的外接球的体积为 A ．4552π B ．13552πC ．1805πD ．905π9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，y ＝[x]称为高斯函数．例如：[－2．1]＝－3，[3．1]＝3，已知函数12312x x f x ＋＋（）＝＋，则函数y ＝[f （x ）]的值域为A ．（12，3） B ．（0，2] C ．{0，1，2} D ．{0，1，2，3} 10．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P 使1221sin 2sin F aF c∠PF ＝∠PF ，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．31731722e －＋＜＜B ．372e ＋2＜＜ C ．3172e ＋1＜＜D ．3172e ＋2＜＜ 11．在△ABC 中，已知AB ＝23 ，BC ＝26，∠ABC ＝45°，D 是边AC 上的一点，将△ABC 沿BD 折叠，得到三棱锥A －BCD ，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M在线段BC 上，设BM ＝x ，则x 的取值范围是A ．（0，23）B ．（3，6）C ．（6，23）D ．（ 23，26） 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T （5，0），则 S △AOB ＝A ． 22B ．3C ．6D ．36第Ⅱ卷（主观题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．已知等比数列{n a }为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为__________． 14．已知cos （α－3π ）＋cos α＝435，则cos （6π－α）＝__________．15．二项式（ax ＋36）6的展开式中x 5的系数为3，则0a xdx ⎰＝__________．16．已知函数f （x ）＝ae x －12x 2－b ，（a ，b ∈R ），若函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且212xx ≥，实数a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{n a }中，a 1＝1，n a ＞0，前n 项和为n S ，若n a ＝n S ＋n 1S －（n ∈N *，且n ≥2）．（Ⅰ）数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）记n c ＝n a ·2n a，求数列{n c }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，平面 ABEF ⊥平面ABC ，2AF ＝AB ＝BE ，∠FAB ＝60°， AF ∥BE ．（Ⅰ）求证：BC ⊥BF ；（Ⅱ）求二面角F －CE －B 的正弦值． 19．（本小题满分12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99．9％把握认为选历史是否与性别有关?（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ＝⎧⎨⎩0，2名男生选考方案不同1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）与直线l 0：y ＝x ＋22相切，点A 为圆C 1上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，且动点满足OM AM ON ＋＝uuu r uuu r uuu r，设动点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝14－，求｜OT ｜取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（x2＋x）ln 1x－ax，g（x）＝23x3＋（1－a）x2－2ax＋b，a，b∈R．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）恒成立，求b－2a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l 的参数方程为22222x ty t⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＋，＝（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求｜PM｜·｜PN｜的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）＝｜ax+l｜＋｜x－a｜（a＞0），g（x）＝x2－x．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：BDBCD CAACD CA 一、填空题：13.16； 14.;5415.;32 16.ln 2(0,].2三、解答题： 17.解：（1）在数列中，①∵②且，∴①式÷②式得：，∴数列以111==a S 为首项，公差为1的等差数列，∴.n S ,n )1n (1S 2n n =∴=-+=……3分当时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ，当时，11=a ，也满足上式，∴数列的通项公式为12-=n a n . ……6分（2）由（1）知，122)12(12-⋅-=∴-=n n n n c n a ，，则12532)12(252321-⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n T ①12127532)12(2)32(2523214+-⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ②①-②得，12221212532)12(41)21(8222)12()222(223+-+-----+=--++++=-n n n n n n n T122)235(310+-+-=n n .9102)5n 6(T 1n 2n +-=∴+……12分18.解：（1）证明：等腰直角中 90=∠B ，即，又，，，，又，. ……4分（2）由（1）知,ABEF BC 平面⊥故建立如图所示空间直角坐标系，设，则由已知可得，，，，，，)0,2,0(=BC ，设平面的一个法向量为，则有⇒令，则，即.设平面BCE 的一个法向量),,(111z y x m =，则有11111113,0,0203200z x y y z y x BC m EC m ==∴⎪⎩⎪⎨⎧==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙，令)1,0,3(,31==m x 则，设二面角B CE F --的平面角为θ，则515sin ,510102253cos =∴=⨯+=∙=θθnm n m ，所以二面角B CE F --的的正弦值为515. ……12分 19.解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有39284060363628=⨯⨯人．……2分（Ⅱ）选历史不选历史总计选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生 16 4 20 总计201636由列联表可得，828.1089.1010010891620162011163616201620)161244(362222>==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，所以有99.9%把握认为选历史与性别有关. ……6分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为0,1．）（或107)0(107)1(1)0(,103)1(21612121414181821622222428=++====-===+++==C C C C C C C P P P C C C C C P ξξξξ所以的分布列为所以10310311070)(=⨯+⨯=ξE ． ……12分 20.解：（1）设动点，由于轴于点又圆与直线22:0+=x y l 即022=+-y x 相切，ξ0 1P1071032222==∴r ，∴圆4:221=+y x C由题意，ON AM OM =+，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=-∴=--+y y xx y y x x x x y y x x y x 2022)0,(),(),(0000000，即，又点为圆上一动点，4422=+∴y x所以曲线的方程为1422=+y x . ……5分（2）当PQ 的斜率不存在时，设直线OP 的方程为：x y 21=，不妨取点)22,2(P ，则)22,2(-Q ，)0,2(T ，2=∴OT . 当PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为：m kx y +=，()()2211,,,y x Q y x P由⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y 可得()044841222=-+++m kmx x k ， 22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+∴.∵1214k k =-，∴042121=+x x y y . ()()()()0441324444144222222212122121=++--=++++=+++∴m km k m m x x km x x k x x m kx m kx化简得：21,412222≥∴+=m k m . ()()()016141644144642222222>=-+=-+-=∆m m k m k m k ，设()00,y x T ，则m k k km x x x 241422210-=+-=+=，mm kx y 2100=+=. )2,2143241422222022⎢⎣⎡∈-=+=+=∴m m m k y x OT ，⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∈∴222，OT .综上，OT 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22． ……12分 21.解：（1）函数定义域为(,).-∞+∞2()22(1)2(22)(),g x x a x a x x a '=+--=+- 由()01,,g x x x a '=⇒=-=或①当1a <- 时，(,),()0,()(,)(,1),()0,()(,1)(1,),()0,()(1,)x a g x g x a x a g x g x a x g x g x '∈-∞>-∞'∈-<-'∈-+∞>-+∞在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.②当1a =-时，(,),()0,()(,)x g x g x '∈-∞+∞≥-∞+∞在上为增函数，③当1a >-时，(,1),()0,()(,1)(1,),()0,()(,1)(,),()0,()(,)x g x g x x a g x g x a x a g x g x a '∈-∞->-∞-'∈-<-'∈+∞>+∞在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.……5分（2）()()f x g x ≤⇔ ()()0g x f x -≥ ，设()()()F x g x f x =-则 )1(l n 12)1(221)(ln 12)(22a x x x a x a x xx x x x x F -+++=--+++++='）（）（，因为()0,x ∈+∞，令()'0F x =，得ln +10x x a +-=. 设()ln +1h x x x a =+-，由于()h x 在()0,+∞上单递增，当0x →时， ()h x →-∞；当x →+∞时， ()h x →+∞，所以存在唯一()00,x ∈+∞，使得()00h x =，即00l +1n a x x =+ . 当00x x <<时， ()'0F x <，所以()F x 在()00,x 上单调递减；当0x x >时， ()'0F x >，所以()F x 在()0,x +∞上单调递增. 当()0,x ∈+∞时，()()()()23200000m i n2l n 13F x F x x x xxax =+=++--+ ()()()23200000000002ln ln ln 13x x x x x x x x x x b =+++---+++ 3200013x x x b =---+.因为()()f x g x ≤恒成立，所以()32000min 103F x x x x b =---+≥，即 3200013b x x x ≥++. 32320000000112222ln 33b a x x x a x x x x -≥++-=---+ . 设()()32000012ln ,0,32x x x x x x ϕ=+-∈--+∞，则()()()23221322+22'21x x x x x x x x x x x xϕ-++--=+--==当01x <<时， ()'0x ϕ<，所以()x ϕ在()0,1上单调递减；当1x >时， ()'0x ϕ>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 当()0,x ∈+∞时， ()()min '12x ϕϕ==-. 所以当01x =，即3200000171+ln 2,33a x x b x x x =+==++=时，()min 523b a -=- (12)分22.解（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，P 的坐标为()2,0-，将直线l 的参数方程22222x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的标准方程221124x y +=联立，得2240t t --=，则12||||||4PA PB t t ⋅==. ----------------5分(2)由曲线C 的标准方程为221124x y +=，可设曲线C 上的动点(23cos ,2sin )A θθ，则以A 为顶点的内接矩形周长为4(23cos 2sin )16sin()3πθθθ+=+，02πθ<<.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当6πθ=时等号成立.------------10分23.解（1）当1a =时，1x ≤- ()2,1,112,11,2,1,x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩当1x ≤-，22, 1.x x x x -≥-≤-当11x -<<，22,12x x x x -≥≤-≥或，舍去.当1x ≥，22, 3.x x x x -≥≥综上，原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或 . ----------------5分（2）()1(1)1,,11(1)1,,(1)1,,a x a x a f x ax x a a x a x a a a x a x a ⎧-+-+≤-⎪⎪⎪=++-=-++-<<⎨⎪++-≥⎪⎪⎩当01a <≤时，2min ()()12,1f x f a a a ==+≥=；当1a >时，min 11()()2,1f x f a a a a=-=+≥>；综上，[1,)a ∈+∞ . ----------------10分。

2019年河南省郑州第二次质量预测理科数学(学大解析版)

2019年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学题1】学大教育铁路局校区鲁孟洁若复数2b i i++为纯虚数，则实数b 等于 A. 3 B. 12- C. 13 D. 1- 【答案】B 【解析】()(2i)2122(2)(2)55b i b i b b i i i i ++-+-==+++-,因为该复数为纯虚数，所以210b +=,即12b =-,故选项B 正确. 2.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学题2】学大教育铁路局校区鲁孟洁已知全集{}{}22,A ln(1),B 4x U R x y x y y -===-==,则()R A C B =A. ()1,0-B. [)0,1C. ()0,1D. (]1,0-【答案】D 【解析】{}A 11x x =-<<{}B 0y y =>,故C R B={}0y y ≤, 故()R A C B =(]1,0-.3.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学题3】学大教育铁路局校区鲁孟洁南宋数学家秦九韶在（数学九章）中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知20192018()2019201821f x x x x =++++，程序框图设计的是求0()f x 的值，在M 处应填的执行语句是A. 2018n i =-B. 2019n i =-C. 1n i =+D. 2n i =+【答案】B【解析】由题意知正整数n 的值为多项式的系数，所以M 处应填入的执行语句是“2019n i =- ”，故选项B 正确。

4.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学题4】学大教育铁路局校区鲁孟洁在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布~(2,4)X N -的密度曲线）的点的个数的估计值为(附：2(,)X N μσ)，则P()0.6827X μσμσ-<≤+=,P(22)0.9545X μσμσ-<≤+=)A. 906B. 2718C. 1359D. 3413【答案】C【解析】由于曲线C 为正态分布~(2,4)X N -的密度曲线，2,2μσ=-=，故()()()022220P X P X P X <≤=-<≤--<≤()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+=()10.95450.68272-=0.1359，在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10000*0.1359=1359个点，故选项C 正确。

河南省郑州市2019年高三第二次质量检测理科数学(解析版)

设 CBD ，则 A1BD ABD 45 ，显然 CBD A1BD ，所以 0 22.5 ，
BE 2 3 cos(45 )
BE A1B cos(45 ) 2
3 cos(45 ), BM
cos
cos
6(1 tan ) ，
2 tan 22.5
由 tan 45
1 ，解得 tan 22.5 2 1 ，因为 0 22.5 ，所以 0 tan 2 1，
径，即 2R
(3
2)2 (3
2)2 32 3
3 5,R
5 ，外接球的体积V 4 R3 45
5
．
2
3
2
A
B
D
C
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯
函数”为：设 x R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y [x] 称为高斯函数．例如：[2.1] 3 ，
．
13．答案：16
解析：设 {an } 的公比为
q
，则
a2 S3
a1q 2 a1(1 q
q2)
7
，所以
2q2
5q
2
0
，解得
q
2
或
q
1 2
，又
因为{an}是单调递增数列，所以 q 2 ， a5 a2q3 16 ．
43
14．已知 cos
3
cos
5
，则
cos
6
．
4
14．答案：
5
2x 3
[3.1] 3 ，已知函数 f (x)
，则函数 y [ f (x)]的值域为（
）
1 2x1

河南省郑州市2019届高三第二次质量预测数学(理)试卷

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】若复数ii b ++2为纯虚数，则实数b 等于（）（A ）3 （B ）21-（C ）31 （D ）1- 【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A R （）（A ）)01(，- （B ）)10[，（C ）)10(，（D ）]01(，-【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：X ⁓),(2σμN ，则68.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。

）（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413 【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（）（A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称（C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（）（A ）11)31( （B ）3)31( （C ）3 （D ）4【7】在ABC ∆Rt 中， 90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为（）（A ）21- （B ）0 （C ）4 （D ）1-【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（）（A ）2545π （B ）25135π （C ）π5180 （D ）π590 【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A．416B．432C．448D．464 4．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．7B．6C．5D．45．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z＝|x﹣y﹣4|的最大值为（）A．B．C．D．68．（5分）函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．9．（5分）设实数a，b，c分别满足，blnb＝1，3c3+c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c10．（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（）A．﹣2B．C．0D．113．（5分）已知tan（x）＝2，x是第三象限角，则cos x＝．14．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．15．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0．（1）求的值；（2）若cos C，求sin B的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△P AB为等边三角形，平面P AB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ﹣3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E 交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）为曲线y＝f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l 的倾斜角．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（D）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的虚部为（B）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（A）A．416B．432C．448D．4644．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（B）A．7B．6C．5D．45．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（A）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在6．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（D）A．﹣14B．﹣9C．9D．147．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z＝|x﹣y﹣4|的最大值为（D）A．B．C．D．68．（5分）函数f（x）的大致图象为（C）A．B．C．D．9．（5分）设实数a，b，c分别满足，blnb＝1，3c3+c＝1，则a，b，c的大小关系为（B）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解；因为，所以a，又因为blnb＝1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，又因为f（x）＝3x3+x﹣1在R上为增函数，又f（1）＝3＞0，f（）1＜0，又f（c）＝0，由函数零点定理可得：＜＜，即b＞c＞a，10．（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（C）A．B．C．D．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP的方程为：y（x﹣a），x＝0时，y，E（0，），A（﹣a，0），则AE的方程为：y（x+a），则M（﹣c，），M是线段QF的中点，可得2•（），即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e．故选：C．11．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则（C）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n＝a m+a n+mn，则：a2＝a1+a1+1×1＝3＝1+2，a3＝a1+a2+1×2＝6＝1+2+3，a n＝1+2+3+…+n，所以：，所以：，＝2（），．12．（5分）已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（B）A．﹣2B．C．0D．1【解答】解：由题意得直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1＝π；x2，f′（x）＝2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3﹣π）cos2x3＝2sin2x3，，而（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（x3）tan（2x3）（π﹣2x3）cot2x3．13．（5分）已知tan（x）＝2，x是第三象限角，则cos x＝．14．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率．【解答】解：从八卦中任取两卦，共有28种取法，若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法．当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有3×3＝9种取法．所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9＝10种．则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P，15．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是．【解答】解：连接HF，因为点M在抛物线y2＝4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|＝|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（﹣1，，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为．16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为24．【解答】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E＝D1F＝2，BG＝CH＝1，三视图所对应的几何体是多面体AEG﹣DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积：V＝V E﹣AGHD+V H﹣EFD．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0．（1）求的值；（2）若cos C，求sin B的值．【解答】解：（1）因为sin2A+sin A sin B﹣6sin2B＝0，sin B≠0，所以（）26＝0，得2或3（舍去）．由正弦定理得2．（2）由余弦定理得cos C．①将2，即a＝2b代入①，得5b2﹣c2＝3b2，得c b．由余弦定理cos B，得：cos B，则sin B．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△P AB为等边三角形，平面P AB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面P AB⊥平面ABCD，且平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面P AB，（1分）又AQ⊂平面P AB，所以BC⊥AQ，（2分）因为Q为PB中点，且△P AB为等边三角形，所以PB⊥AQ，（3分）又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．（4分）解：（2）取AB中点为O，连接PO，因为△P AB为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面P AB⊥平面ABCD，因为PO⊂平面P AB，所以PO⊥平面ABCD，（5分）所以PO⊥OD，由AB＝2BC＝2CD＝4，∠ABC＝90°，可知OD∥BC，所以OD⊥AB．以AB中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（6分）所以A（0，﹣2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），则（2，2，0），（﹣2，0，2），（0，﹣2，0），因为Q为PB中点，所以Q（0，1，），由（1）知，平面PBC的一个法向量为（0，3，），（7分）设平面PCD的法向量为（x，y，z），由，取z＝1，得（，，），（9分）由cos＜，＞．（11分）因为二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．（12分）9．为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ﹣3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．【解答】解：（1）p（m﹣s＜X＜m+s）＝p（82.8＜X＜87.2）＝0.8＞0.6826p（m﹣2s＜X＜m+2s）＝p（80.6＜X＜89.4）＝0.94＜0.9544p（m﹣3s＜X＜m+3s）＝p（78.4＜X＜91.6）＝0.98＜0.9974，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，“突变品”个数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），可得ξ的分布列：EY＝012．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E 交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，联立消去y得．＞，，，所以，，，．四边形当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．21．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）为曲线y＝f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a＝e m（2m+1），又n＝am﹣a＝e m（2m﹣1），解方程可得，a＝1或4；22．在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l 的倾斜角．【解答】解：（1）∵，代入y2＝4x，∴ρsin2θ﹣4cosθ＝0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α﹣4cosα•t﹣8＝0，∴△＝16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2，t1t2，则|AB|＝|t1﹣t2|4，∴，∴或．。

2019届河南六市高三第二次联考数学(理)试卷【含答案及解析】

2019届河南六市高三第二次联考数学（理）试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级________________ 分数___________、选择题1. 集合討=&」+2 0 }丘=* 5、,；，则£=（）A 一: _________________________________________B ■ ： . -: __________________C. 砂> 1 ________________ D • 紬M 0 }£7 十2/2. 已知 ----- ..■■.八，其中i为虚数单位，则门二（）A • -1B • 1 __________________________C. 2 ____________________________ D • 33. 下列函数中既是奇函数又在区间[-1,1]上单调递减的是（）A •v =莓丘1 x__________B • V11 _____________ C• 『=1 口-―—' 1' ?+ r_________ D •24. 下列说法错误的是（）A •自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B •在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C •在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D•在回归分析中，为0.98的模型比厂为0.80的模型拟合的效果好5. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍，共有381盏灯，塔顶有几盏灯?（）A. 5B. 6C. 4D. 3x=2，则输出y 的值为C. 5 ____________________ D . 22 27. 双曲线 — -.的左、右焦点分别是；-厂，过厂作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于 M 点，若昱我：垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A . ----------------------------------B . .1 -------------------------------------C . - ]--------------------------- D .x+i 1 —4 兰 0,E炜8. 已知实数x,y 满足贝【J 二=此的最大值是（）I mvA .丄B . 1C . 3D . 9*9. 已知某几何体的三视图如下图所示（图中数据单位：cm ），则这个几何体的体积为（）B . 116. 执行如图所示的程序框图，若输入.厂 ——:■ ： . |” ，则点P 的轨迹于直线AB, AC 所围成的封闭区域的面（）L -11.AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C,则K 所形成轨迹的长度为（） 12. 已知函数：| 丄：--i 存在极小值，且对于 b 的所有可能取值，f （x ）的极小值恒大于0,贝IJ a 的最小值为（）10. 在厶 AB （中, BC=7■ '■'.若动点P 满足7积为 A . C.如图，在长方体 ABCD 中，平—二九,E 为线段DC 上一动点，现将 AED 沿 D .A .C.-A .一甘！________________________ B.一店2_____________ C . £______________ D.二、填空题13. 将函数••；」■ : | - 的图象向左平移一个单位后的图形关于原点对称，贝【J函数，(工|在［Q冷］上的最小值为____ .14. 若g-丄~山2)的展开式中存在常数项，则常数项为___________________ .XV15. 已知等差数列. 的公差，且，，成等比数列，若二-' ,牛T 4为数列和｝的前n项和，则一“ r 的最小值为____________ .16. 已知抛物线- = 1 ■:,过其焦点F作直线交抛物线于A, B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，伽I “⑷ =£，贝V \AE\-_________ .三、解答题17. 已知△ AB中，内角A, B, C的对边分别为a,b,c.(1)若，且】,；.1. ■...：.「：：：—，求角C 大小;r.nfi J cast JI 2(2 )若厶ABC为锐角三角形，且二二:川=..，求△ ABC面积的取值范围.418. 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：徹信控非微信控男性262斗50302050ait56 J轴100（1 ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3 ）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3 人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列与数学期望.参考公式：；_____________ : _____ : ________ ，其中n=a+b+c+d.（a + +参考数据：0・500.400 . 25Q ■ 050 ” 0250.0100 ・4550 ・7081 . 3211乳840 5 ” 024 6.63519. 在四棱柱•「'：.■-中，底面ABCD是菱形，且一匚上上.丄育•亠门■：：.（1 ）求证：平面平面，：；（2）若.汽—宀丸"■: = ；■，求二面角用—撚—二的大小.20. 已知椭圆.：■■-, 的左、右焦点分别为庄；—d VD，P为椭圆C上任意一点，且'；-.：＞■ /；"最小值为0.（1 ）求曲线C的方程；（2 ）若动直线- 均与椭圆C相切，且. ，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到一的距离之积恒为1?若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由•21. 设函数（1 ）当a=2时，判断函数；在定义域内的单调性； 2 ）当时，」■ 恒成立，求实数a 的取值范围22. 选修4-1 :几何证明选讲自圆0外一点P 引圆0的两条割线PAB 和PDC 如图所示，其中割线 PDC 过圆心0,.23. （本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程fr — COSCT , 亠厶比5©为参数)I y = sin/r（1 ）求曲线• 的参数方程；（2 ）若点M 在曲线上运动，试求出 M 到曲线C 的距离d 的取值范围24. 选修4-5:不等式选讲已知函数 y (.x} = |x-5|-|r + fl| .当a=3时，不等式「的解集不是R,求k 的取值范围;若不等式.：的解集为求a 的值.已知曲线C 的极坐标方程为 I , - ■''，将曲线（1 ）求的大小；（2 ）分别求线段BC 和PA 的长度. 经过伸缩变换参考答案及解析第1题【答案】【解析】试题分析:A = {x\x^ 0或x<~l} ,所次川月二舐31］，故选c.第2题【答案】pI［解析】/TT + 丹试题分析；一；一=2-ai = b^i > 所iyw = T* = 2 }所汰”+£> = 1 f 故选B.i第3题【答案】C【解析】试題井析：A. ?=皿A 是奇團数，但在区间［-口］上是单调递増函数‘ B. v = -|-v+ 1|既不是奇函数 L 也不是偶函数，C.尸加召二三的定臾域是(Q2),并且1R Z±± =-/G),所以函 2 -F x 2 — x 数是奇国数，并且设買=巴 =_° +丄"4二_1 + 丄、的数在区间卜L1］是;庙函数「D. 2-F rx + 2X + 2|v=l^+2'r)的定义域为氏苗足/(-rh/tx),所以函数是偶函数，故选C.第4题【答案】【解析】狭窄，其模型拟合的精度越高，正确，6回归分析中，用相关系数护刻画回归效果时‘衣的值越大 ,说明模型的拟合姒果趣子，J3-为0-師的模型比炉为0.的的模型挝合的孔IE 确.第5题【答案】b!E ^HB ^4i nu 3TX mfi匹伸皐差qj/on ■$iic 1; 可E.- 祁yT-fis薛®目回据暮疋詈JVi sw亠斷艮賈土匚机【解析】试题分析：由题意可矩挂的灯数从上到下依衣构成比差数列』公比为2 ,设顶层的灯数为珂』则叫* :)=函(2丁_1> =127码=381，解之得9二$，故选。

2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2019年河南省六市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={（x，y）|y=x+1，x∈Z}，集合B={y|y=2x，x∈Z}，则集合A∩B等于（）A. B. C. D.2.若复数z满足（3-4i）z=|3-4i|，则z的虚部为（）A. B. C. 4 D.3.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A. 416B. 432C. 448D. 4644.若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A. 7B. 6C. 5D. 45.设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在6.已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A. B. C. 9 D. 147.设变量x，y满足不等式组，则z=|x-y-4|的最大值为（）A. B. C. D. 68.函数f（x）=的大致图象为（）A.B.C.D.9.设实数a，b，c分别满足，b lnb=1，3c3+c=1，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF 的中点，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 11.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sin2x的图象与直线2kx-2y-kπ=0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1-x2）tan（x2-2x3）=（）A. B. C. 0 D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan（x+）=2，x是第三象限角，则cos x=______．14.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率______．15.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，2）作直线l的垂线，垂足H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin A sin B-6sin2B=0．（1）求的值；（2）若cos C=，求sin B的值．18.如图，四棱锥P-ABCD，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=2BC=2CD=4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-D的余弦值．19.为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ-σ＜X＜μ+σ）≥0.6826；②p（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≥0.9544；③p（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断M设备的性能等级．（2）将直径小于等于μ-2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”，将直径小于等于μ-3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数ξ的数学期望．20.已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2=4x．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x-1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m=2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x-3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题可得：集合A是点集，集合B是数集，所以A∩B=∅．故选：D．由题可得：集合A是点集，集合B是数集，由交集概念即可得解．本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵（3-4i）z=|3-4i|，∴z==．∴z的虚部为：．故选：B．整理（3-4i）z=|3-4i|得：z=，由复数的基本概念得答案．本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：样本间隔为2400÷30=80，设首个号码为x，则第三．第四个号码为x+160，x+240，则x+160+x+240=2x+400=432，得2x=32，x=16，则第6组抽到的号码为16+80×5=400+16=416，故选：A．先求出样本间隔，设出首个号码x，建立方程组求出x，利用系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，根据样本间隔，结合条件求出首个号码是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{a n}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=-11，a n=a1+（n-1）d=-11+2（n-1）=2n-13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．故选：B．由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选：A．设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，即可得出结论．本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6.【答案】D【解析】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值．考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．7.【答案】D【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线l：x-y-4=0，当l往上平移时，x-y-4变小，当直线l经过点B（，）时，x-y-4最大，当直线l经过点C（1，3）时，x-y-4最小．即：1-3-4≤x-y-4≤，所以-6≤x-y-4≤-，所以，所以z=|x-y-4|的最大值为6．故选：D．作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求得-6≤x-y-4≤-，问题得解．本题主要考查了利用线性规划知识求目标函数的最值，考查了数形结合思想及转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：函数f（x）=，当x=0时，y=-3，排除选项A，B，D．即可判断选项C正确，故选：C．利用特殊值对应点的坐标排除选项，判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.【答案】B【解析】解；因为，所以a=，又因为blnb=1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，又因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f （）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，即b＞c＞a，故选：B．由对数不等式得求法得：blnb=1＞0，所以lnb＞0，所以b＞1，由函数的零点定理得：因为f（x）=3x3+x-1在R上为增函数，又f（1）=3＞0，f（）=-1＜0，又f（c）=0，由函数零点定理可得：，得解．本题考查了解对数不等式及函数的零点定理，属中档题．10.【答案】C【解析】解：可令F（-c，0），由x=-c，可得y=±b =±，由题意可设P（-c，），B（a，0），可得BP的方程为：y=-（x-a），x=0时，y=，E（0，），A（-a，0），则AE的方程为：y=（x+a），则M（-c，-），M是线段QF的中点，可得2•（-）=，即2a-2c=a+c，即a=3c，可得e==．故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则：a2=a1+a1+1×1=3=1+2，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，…，a n=1+2+3+…+n=，所以：，所以：=，=2（），=，=．故选：C．首先利用赋值法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：由题意得直线2kx-2y-kπ=0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1=π；x2=，f′（x）=2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3-π）cos2x3=2sin2x3，，而（x1-x2）tan（x2-2x3）=（-x3）tan （-2x3）=（π-2x3）cot2x3=-．故选：B．求出直线恒过的定点，利用函数的导数求出切线方程，转化求解表达式的值即可．直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点．本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构．13.【答案】【解析】解：因为tan（x+）=2，所以=2，解得：tanx=，即：sinx=cosx，又sin2x+cos2x=1，所以cos2x=，又x是第三象限角，所以cosx=-．故答案为：-．由两角和的正切公式即可求得tanx=，结合sin2x+cos2x=1，即可求得cos2x=，问题得解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：从八卦中任取两卦，共有=28种取法，若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法．当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有3×3=9种取法．所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10种．则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P=，故答案为：由图可得：三根都是阳线的有一卦，三根都是阴线的有一卦，两根阳线一根阴线的有三卦，两根阴线一根阳线的有三卦，利用组合数可得基本事件总数，分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个，问题得解．本题主要考查了组合计数及分类思想，考查古典概型概率计算公式，属于中档题．15.【答案】【解析】解：连接HF，因为点M在抛物线y2=4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|=|MF|，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F（1，0），H（-1，），所以HF的中点为（0，），所以∠FMH的角平分线的斜率为=．故答案为：．由抛物线定义可知|MH|=|MF|，进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论．在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用．抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|=d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．16.【答案】24【解析】解：由三视图还原原几何体如图所示，在长宽高分别为6，3，4的长方体中，A1E=D1F=2，BG=CH=1，三视图所对应的几何体是多面体AEG-DHF，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积： V=V E-AGHD +V H-EFD=．故答案为：24．首先确定几何体的空间结构特征，然后将其分割之后求解其体积即可．本题考查求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，训练了利用分割补形法求解多面体的体积，是中档题． 17.【答案】解：（1）因为sin 2A +sin A sin B -6sin 2B =0，sin B ≠0，所以（）2+ -6=0，得 =2或=-3（舍去）．由正弦定理得 ==2．（2）由余弦定理得cos C ==．① 将=2，即a =2b 代入①，得5b 2-c 2=3b 2，得c = b ．由余弦定理cos B =，得：cos B ==，则sin B = =．【解析】（1）由已知可得（）2+-6=0，解方程可得=2，由正弦定理得=2．（2）由已知及余弦定理可求c=b ，进而可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）因为AB ∥CD ，∠BCD =90°，所以AB ⊥BC ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD =AB ，所以BC ⊥平面PAB ，（1分）又AQ ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AQ ，（2分）因为Q 为PB 中点，且△PAB 为等边三角形，所以PB ⊥AQ ，（3分）又PB ∩BC =B ，所以AQ ⊥平面PBC ．（4分）解：（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为△PAB 为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，（5分）所以PO ⊥OD ，由AB =2BC =2CD =4，∠ABC =90°，可知OD ∥BC ，所以OD ⊥AB ．以AB 中点O 为坐标原点，分别以OD ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．（6分）所以A （0，-2，0），D （2，0，0），C （2，2，0），P （0，0，2 ），B （0，2，0），则 =（2，2，0）， =（-2，0，2 ）， =（0，-2，0），因为Q 为PB 中点，所以Q （0，1，），由（1）知，平面PBC 的一个法向量为 =（0，3，），（7分）设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，取z =1，得 =（，，），（9分）由cos ＜，＞=== ．（11分）因为二面角B -PC -D 为钝角，所以，二面角B -PC -D 的余弦值为．（12分）【解析】（1）推导出AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC ⊥AQ ，再求出PB ⊥AQ ，由此能证明AQ ⊥平面PBC ．（2）取AB 中点为O ，连接PO ，推导出PO ⊥AB ，PO ⊥平面ABCD ，OD ⊥AB ．以AB 中点O 为坐标原点，分别以OD ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，利用向量法能求出二面角B-PC-D 的余弦值．该题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】解：（1）p （m -s ＜X ＜m +s ）=p （82.8＜X ＜87.2）=0.8＞0.6826p （m -2s ＜X ＜m +2s ）=p （80.6＜X ＜89.4）=0.94＜0.9544p （m -3s ＜X ＜m +3s ）=p （78.4＜X ＜91.6）=0.98＜0.9974，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．（ 2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，可得ξ的分布列：EY =0×+1×+2×=．【解析】（1）利用正态分布列的概率计算公式即可得出．（ 2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数ξ的可能取值为 0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出ξ的分布列与数学期望．本题考查了正态分布列的概率计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．△ ＞，△，△，所以，，，四边形==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【解析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x（2x-1）+2e x=e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a=e m（2m+1），又n=am-a=e m（2m-1），解方程可得，a=1或4；（2）函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a由题意知存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax-a的下方，∵f′（x）=e x（2x-1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜-时，f′（x）＜0，当x＞-时，f′（x）＞0，∴当x=-时，f（x）取最小值-2，当x=0时，f（0）=-1，当x=1时，f（1）=e＞0，直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，故-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e-1≥-a-a，解得≤a＜1．【解析】（1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e m（2m+1），又n=am-a=e m（2m-1），解方程可得a的值；（2）函数f（x）=e x（2x-1），g（x）=ax-a，问题转化为存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e-1≥-a-a，解关于k的不等式组可得．本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．22.【答案】解：（1）∵ ，代入y2=4x，∴ρsin2θ-4cosθ=0（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l的参数方程代入抛物线方程得：t2sin2α-4cosα•t-8=0，∴△=16cos2α+32sin2α＞0，∴t1+t2=，t1t2=-，则|AB|=|t1-t2|==4，∴，∴或．【解析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；（2）不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，根据弦长公式，即可求解．本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）若m=2时，|x-1|+|2x+2|≤3，当x≤-1时，原不等式可化为-x+1-2x-2≤3解得x≥-，所以，当-1＜x＜1时，原不等式可化为1-x+2x+2≤3得x≤0，所以-1＜x≤0，当x≥1时，原不等式可化为x-1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，综上述：不等式的解集为；（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x，即|2x+m|≤2-x，故x-2≤2x+m≤2-x得-x-2≤m≤2-3x，又由题意知：（-x-2）min≤m≤（2-3x）max，即-3≤m≤2，故m的范围为[-3，2]．【解析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．（2）已知条件转化为即|2x+m|≤2-x，即-x-2≤m≤2-3x，即可求解实数m的取值范围．本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．。

【精品高考数学试卷】2019年河南省郑州高考数学二模试卷(理科)+答案

2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知集合2{|450}A x x x =--<，集合{|22}B x x =-<<．则(A B =I ) A ．{|12}x x -<< B ．{|22}x x -<< C ．{|25}x x << D ．{|12}x x <<2．（5分）已知复数21((1)iz i i -=+为虚数单位），则(z = ) A ．1122i --B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i + 3．（5分）已知命题p ：方程221ax by +=表示双曲线；命题:0q b a <<．命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{}n a 各项均为正数，12312a a a ++=，12348a a a =g g ，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n B ．2n +C ．32n -D ．n5．（5分）函数21x y +=的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若12||||PF PF 的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．12C 6D 27．（5分）如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．2log 6B ．2log 7C ．3D ．2log 98．（5分）已知函数2,1()1,11log x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪-⎩…，则不等式()1f x „的解集为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，0](1⋃，2]C ．[0，2]D ．(-∞，0][1U ，2]9．（5分）将曲线22||||x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ，曲线221x y +=围成的区域记为Ⅱ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，则( ) A ．121p p +>B ．121p p +<C ．121p p +=D ．12p p =10．（5分）第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有( ) A ．150B ．126C ．90D ．5411．（5分）若关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解，则实数a 的值()A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一12．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( ) A．B ．12C．D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 13．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件21210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„……，则23x y -的最小值为．14．（5分）已知||1a =r，b =r ，|3|2a b +=r r ，则b r 在a r方向上的投影为．15．（5分）将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，得到cos y x =的图象，则ϕ的最小值为． 16．（5分）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001)，将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =，)，记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)(21)f f f f +++++⋯+-=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数211()sin sin 222x f x x =+-，ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）求f （A ）的取值范围；（2）若C A >，f （A ）0=，且2sin sin A B =ABC ∆的面积为2，求b 的值． 18．（12分）如图所示，在多面体BC AEFD -中，矩形BCFE 所在平面与直角梯形AEFD 所在平面垂直，//AE DF ，AE EF ⊥，G 为CD 的中点，且1AE BE BC ===，2DF =．（1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）求直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值．19．（12分）某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．)20．（12分）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM AN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数2()()2ax f x xlnx a x a R =-+-∈．（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，k N ∈，2()22g x x x =--，且当2x >时不等式(2)()()k x g x f x -+<恒成立，试求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(4x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数），以原点O 为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 0a ρρθ-+=．（1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线1C 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，点P 在曲线2C 运动，当曲线1C 与曲线2C 相切时，求PAB ∆面积的最大值． 23．已知函数()|21||1|f x x x =++-．（1）解不等式()2f x >；（2）记函数()()()g x f x f x =+-，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，求实数k 的取值范围．2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．【解答】解：{|15}A x x =-<<； {|12}A B x x ∴=-<<I ．故选：A ．【解答】解：21(1)iz i -=+Q ， 2(1)1z i i ∴+=-， 21zi i ∴=-，则2(1)1z i i i -=-=+， 1122z i ∴=--，则1122z i =-+．故选：C ．【解答】解：方程221ax by +=表示双曲线等价于0ab <，即命题:0p ab <，由0ab <推不出0b a <<，充分性不具备，由0b a <<能推出0ab <，必要性具备，故命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选：B ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由12312a a a ++=，可得：2312a =，解得24a =，又12348a a a =g g ，1312a a ∴=g ，又138a a +=，1a ∴，3a 是方程28120x x -+=的两根，又等差数列{}n a 各项均为正数， 12a ∴=，36a =，2d ∴=故数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=．故选：A ．【解答】解：由()f x 的解析式得()()0f x f x -+=， ()f x ∴是奇函数图象关于原点对称，当1x =时，f （1）1=<，排除A ，当0x >时，()f x ==，函数在(0,)+∞上单调递减，故可排除B ，D 故选：C ．【解答】解：P 到椭圆C 焦点的最大距离为a c +，最小距离为a c -，又12||||PF PF 的最大值为3， ∴3a c a c +=-，12e ∴=．故选：B ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯值，由于2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 234567899log 923456782lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==．故选：D ．【解答】解：当1x …时，()1f x „即为：2log 1x „ 解得12x 剟当1x <时，()1f x „，即为：111x-„ 解得0x „．综上可得，原不等式的解集为(-∞，0][1U ，2] 故选：D ．【解答】解：由方程22||||x y x y +=+，得：22111()()2220,0x y x y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩厖，或者22111()()2220,0x y x y ⎧++-=⎪⎨⎪⎩剠，或者22111()()2220,0x y x y ⎧+++=⎪⎨⎪⎩剟，或者22111()()2220,0x y x y ⎧-++=⎪⎨⎪⎩厔，曲线22||||x y x y +=+围成的区域Ⅰ、曲线221x y +=围成的区域Ⅱ、四边形ABCD 围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为222()2ABCD S ππ+=+正方形；区域Ⅱ的面积为21ππ⨯=；区域Ⅲ的面积2(2)2=；∴由几何概率公式得：12p ππ=+，222p π=+，故121p p +=．故选：C ．【解答】解：选一名男记者参加“负重扛机”，剩余的4人分为(2，1，1)一组，再分配另三项工作，故有123343108C C A ⨯⨯=种，选两名男记者参加“负重扛机”，剩余的3分配另三项工作，故有233318C A ⨯=种，由分类计数原理，可得共有10818126+=种，故选：B ．【解答】解：令1t x =-，则关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解等价于关于t 的方程||2019sin 0t a t a ++=只有一个实数解，若0a …，则由sin 1t -…及2019x y =为增函数，得：||02019sin 201910t a t a a a ++-+=>…，方程无解，故0a <，令||()2019t f t a =+，()sin g t a t =，则()y f t =在0t =时取最小值1a +，又函数()y g t =的图象关于点(0,0)对称，当1a =-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有且只有一个交点，此而满足题意，当1a <-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有两个交点，此而不合题意，当10a -<<时，两函数()y f t =、()y g t =的图象没有交点，此而不合题意，所以1a =-为所求，故选：A ．【解答】解：为三棱柱111ABC A B C -的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a ，高为h ，截面圆的半径为r ，球半径为R ，Q 球O 的面积为20π，2420R ππ=，解得5R =，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴222()()()223a h +=，∴3a h =，①又Q 222()()23h R +=，②由①②得23a =，2h =，三棱柱的体积为23(23)263V =⨯⨯=．故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令23z x y =-，则2133y x z =-，作出直线2:3l y x =，平移直线l ，由图可得，当直线经过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时23z x y =-取得最小值，由2121x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31(,)55C ，23z x y ∴=- 的最小值是21323555⨯-⨯=．故答案为：35．【解答】解：||1a =rQ，b =r，||b =r|3|2a b +=r r，∴22694a a b b ++=rrrr g ，∴12a b =-r r g∴则b r 在a r方向上的投影为：1||2a b a =-r r g r故答案为：12-．【解答】解：将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，可得sin()6y x πϕ=--的图象；又因为得到cos sin()2y x x π==+的图象，sin()sin()26x x ππϕ∴+=--，∴226k πππϕ=--，k Z ∈，223k πϕπ∴=-，则当1k =时，ϕ取得最小值为43π，故答案为：43π．【解答】解：依题意201820182017201602120202022018a =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2018选择0，20182018(2)2f ∴=，2018201820171021120202122017a +=⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2017选择0，20182017(21)2f ∴+=，根据计数原理，在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20172共有20172018C 个，同理在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20162的共有20162018C 个，⋯⋯在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于02的有02018C 个．所以201820182018201900112018201820182018201820182018(2)(21)(22)(21)222(12)3f f f f C C C +++++⋯+-=⨯+⨯+⋯⋯+⨯=+=．故填：20183．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解答】解：（1）2111cos sin 1()sin sin )2222224x x x f x x x π-=+-=+-=-．由题意0A π<<，则(44A ππ-∈-，3)4π，可得：sin()(4A π-∈，1]．可得：f （A ）的取值范围为1(2-．（2)04A π-=， 4A k ππ∴-=，k Z ∈， 4A k ππ∴=+，k Z ∈．又A Q 为锐角， 4A π∴=．由余弦定理及三角形的面积得：22221sin 224cos 42a b bc b c a bc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪=⎩，解得2b =．方法二：32sin sin()44C C ππ=-+，且C A >，可得2C π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，由于：2122b =，所以：2b =．【解答】（1）证明：取CF 的中点H ，连结EH ．H Q 是CF 的中点，G 是CD 的中点．//GH FD ∴，12GH FD =．又//AE DF ，12AE DF =． //AE GH ∴，AE GH =．∴四边形AGHE 是平行四边形，//AG EH ∴．又AG ⊂/Q 平面EFCB ，EH ⊂平面EFCB ． //AG ∴平面EFCB ．（2）Q 平面BEFC ⊥平面AEFD ，CF EF ⊥，平面AEFD ⋂平面EFCB EF =， CF ∴⊥平面AEFD ．CF EF ∴⊥，CF FD ⊥． //AE DF Q ，AE EF ⊥，EF DF ∴⊥．以F 为原点，分别以FE 、FD 、FC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，则(1E ，0，0)，(0F ，0，0)，(0D ，2，0)，(0C ，0，1)，(1A ，1，0)，(1B ，0，1)，(0G ，1，1)2，∴(1AG =-u u u r ，0，1)2，(0AE =u u u r ，1-，0)．设平面AGE 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ，则00n AG n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令2z =，得(1n =r ，00，2)．又(0AB =u u u r ，1-，1)，10cos ,52n AB ∴<>==⨯u u ur r ． ∴直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值为10．【解答】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率12p >．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是： “甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：2212(1)p p p p =+-，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-．而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--． 12p >Q ，21p p ∴>，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大． ∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解答】解：（1）法1：抛物线2:4C x y =的准线为:1l y =-，故可设点(,1)G a -，由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．因为点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线C 上，所以22112211,44y x y x ==．所以直线GA 的方程为211111()42y x x x x -=-．因为点(,1)G a -，在直线GA 上，所以2111111()42x x a x --=-，即211240x ax --=．同理，可知222240x ax --=．所以1x ，2x 是方程2240x ax --=的两个根，所以124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值．法2：设过点(,1)G a -，且与抛物线C 相切的切线方程为1()y k x a +=-，由21(),4,y k x a x y +=-⎧⎨=⎩，消去y 得24440x kx ka -++=，由△2164(44)0k ak =-+=，化简得210k ak --=，所以121k k =-．由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．直线GB 的斜率为2212k x =．所以12114x x =-，即124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值．（2）存在，由（1）知2212124x x x x =-=-=-．不妨设12x x <，则12x =-，22x =，即(2,1)A -，(2,1)B ．设设(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ．则2112244M x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得111()()4()M M M x x x x y y -+=-，所以直线AM 的斜率为1244M M AM x x x k +-==，同理可得24N AN x k -=，因为AM MN ⊥，所以22144N M AM AN x x k k --==-g g ，整理得2()200M N M N x x x x -++=g ，又，①又因为因为224,4M M NN x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得()()4()M N M N M N x x x x y y -+=-，从而可得直线MN 的斜率为4M NMN x x k +=，所以直线MN 的方程为2()44M N MM x x x y x x +-=-，化简可得4()M N M N y x x x x x =+-，将①代入上式得4()2()20M N M N y x x x x x =+-++，整理得4(5)()(2)M N y x x x -=+-．所以直线MN 过定点(2,5)，即P 点的坐标为(2,5)．【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x lnx ax '=-，令()0f x '=，可得0lnx ax -=，lnx a x∴=，令()lnxh x x =，则由题可知直线y a =与函数()h x 的图象有两个不同的交点， 21()lnxh x x -'=，令()0h x '=，得x e =，可知()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()max h x h =（e ）1e=，当x 趋向于+∞时，()h x 趋向于零，故实数a 的取值范围为1(0,)e．（2）当2a =时，2()2f x xlnx x x =-+-， (2)()()k x g x f x -+<，即(2)k x xlnx x -<+，因为2x >，所以2xlnx xk x +<-，令()(2)2xlnx xF x x x +=>-，则242()(2)x lnxF x x --'=-，令()42(2)m x x lnx x =-->，则2()10m x x'=->，所以()m x 在(2,)+∞上单调递增，m （8）242840ln lne =-<-=，3(10)6210620m ln lne =->-=，故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ，即00420x lnx --=，故当02x x <<时，()0m x <，即()0F x '<，当0x x <时，()0F x '>，所以0000000004(1)2()()222x x x lnx x x F x min F x x x -++====--，所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈，所以k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．【解答】解（1）曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，是一条直线，对于曲线2C ：由cos x ρθ=及222x y ρ+=代入曲线2C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2220x y x a +-+=，即为22(1)1x y a -+=-．当1a <，曲线2C 是以(1,0)当1a =，曲线2C 表示一点(1,0)．当1a >，曲线2C 不存在．（2）由（1）知曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，令0x =，3y =-；0y =，3x =-，所以(3,0)A -，(0,3)B -，又由题可知1a <，曲线222:(1)1C x y a -+=-，=解得7a =-，此时222:(1)8C x y -+=，所以11()||221222PAB max S AB R ∆==⨯⨯=g ，所以PAB ∆面积的最大值为12．【解答】解：（1）依题意得13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，于是得1232x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩„或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或132x x ⎧⎨>⎩…；解得23x <-，或0x >；即不等式()2f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >；（2）()()()|1||1|(|21||21|)|(1)(1)||(21)(21)|4g x f x f x x x x x x x x x =+-=-+++++---+++--=…，当且仅当(1)(1)0(21)(21)0x x x x -+⎧⎨-+⎩„„，即1[2x ∈-，1]2时取等号，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，则|1|()4min k g x -<=，所以414k -<-<，解得35k -<<，即实数k 的取值范围为(3,5)-．。

河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测(理数)

河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数iib ++2为纯虚数，则实数b 等于 A ．3 B ．21- C ．31D ．1-2．已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A RA ．)01(，-B ．)10[，C ．)10(，D ．]01(，-3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是A ．i n -=2018B ．i n -=2019C ．1+=i nD ．2+=i n4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：X ⁓),(2σμN ，则6827.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。

）A ．906B ．2718C ．1359D ．34135．将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是A ．函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1B ．将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心D ．函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上为增函数6．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为A ．11)31( B ．3)31( C ．3 D ．4 7．在ABC ∆Rt 中，90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则⋅的最小值为A ．21-B ．0C ．4D ．1-8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为 A ．2545πB ．25135πC ．π5180D ．π5909．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。