高考常考的超越函数 双曲函数

x 1 ln x
x (x 1)2
，
再令 v(x)
x 1 ln x
x ，则 v(x)
1 x2
1 x
1 x x2
．
当 x 1时，有 v(x) 0 ， v(x) v(1) 0 ． u(x) 0 ．
所以 u(x) ln x 在 x 1时，为减函数． x 1
当 e e1 a e 时， ln a ln e ，即 ae1 ea1 ；
在 (0,) 上单调增函数；
奇偶性：偶函数； 最小值：1．
3．双曲正切函数 tanh x e x ex 的图象和基本性质 ex ex
定义域： R ； 值域： (1,1) ；
单调性：增函数； 奇偶性：奇函数；
反函数： tanh1 x 1 ln 1 x 2 1 x
三．重要关系
1．商数关系： tanh x sinh x ； cosh x
⑦
x
f (x) bg(x) (1 b) 等价于 f (x) bxg(x) (1 b)x
⑧
x
设函数 h(x) f (x) cxg(x) (1 c)x ，
由⑤⑥，有 h(x) f (x) cxg(x) cg(x) (1 c)
g(x) cxf (x) cg(x) (1 c) (1 c)[g(x) 1] cxf (x) ， 当 x 0时， （1）若 c 0 ，由③④，得 h(x) 0 ，故 h(x) 在[0,) 上为增函数，从而 h(x) h(0) 0 ， 即 f (x) cxg(x) (1 c)x ，故⑦成立 （2）若 c 1，由③④，得 h(x) 0 ，故 h(x) 在[0,) 上为减函数，从而 h(x) h(0) 0 ， 即 f (x) cxg(x) (1 c)x ，故⑧成立 ag(x) (1 a) f (x) bg(x) (1 b)
余弦函数满足 ch(x y) chxchy shxshy ． 请你类比此关系式，写出关于双曲正、余弦
பைடு நூலகம்
函数的一个新关系式
．
【解析】这是一道类比推理题．考生可以有很多新关系式可以填，例如
sh(x y) shx chy chx shy ，
当然要保证符号不错，考生用类比的方法找到关系式后，需要简单的证明．
f (x) g(x) ex
①
得： f (x) g(x) ex
②
联立①②解得 f (x) 1 (e x ex ) ， g(x) 1 (e x ex )
2
2
当 x 0 时， e x 1 ， 0 ex 1，故 f (x) 0
③
又由基本不等式，有 g(x) 1 (e x ex ) e xex 1，即 g(x) 1 ④ 2
2
a 1 e 1
当 a e 时， ae1 ea1 ； 当 a e 时， ln a ln e ，即 ae1 ea1 ．
a 1 e 1
【命题立意】本题所给函数 f (x) e x ex 正是双曲余弦函数的 2 倍．涉及双曲函数的奇
偶性、单调性和导数的应用，也是一道综合性较强的试题．
此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．
查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切
函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．
例 2.【 2015 年新课标Ⅰ第 13 题】若函数 f (x) x ln(x a x2 ) 为偶函数，则 a 【解析】因为函数 f (x) x ln( x a x2 ) 为偶函数，
tanh 2x 2 tanh x 1 tanh2 x
四．导数性质
1． (sinh x) cosh x ；
2． (cosh x) sinh x
3． (tanh x) 1 tanh2 x
五．高考试卷中的双曲函数
例 1.【
2009 年山东理科第 6 题】函数 y
ex ex
ex ex
的图像大致为
t(x) (6x)(ex ex ) (3x2 3)(ex ex )
(3x2 3)(e x ex ) (x3 3x)(e x ex )
(x3 9x)(e x ex ) ．
在 x [1,) 上， (x3 9x)(ex ex ) 存在零点 x 3 ．
当1 x 3 时， t(x) 0，此时 t(x) t(1) 0 ， h(x) 0 ，
x 综合⑦⑧，得 ag(x) (1 a) f (x) bg(x) (1 b) .
x
【命题立意】本题正是一道较全面研究双曲正弦函数和双曲余弦函数的试题．涉及双曲函数 的奇偶性、单调性、值域和导数性质，是一道综合性较强的试题．
例 4.【 2014 年江苏第 19 题】已知函数 f (x) e x ex ，其中 e 为自然对数的底数．
高考常考的超越函数—双曲函数
戴又发
双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学 教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生 研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考 数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.
（2）因为 x (0,) 时， f (x) ex ex 2 exex 2 ， 原不等式可变为 m[ f (x) 1] ex 1，即 m[ex ex 1] ex 1，
命题转化为：关于
x
的不等式
m
ex
ex 1 ex 1
在
(0,)
上恒成立．
令
g(x)
ex 1 ex ex 1
，
则 g(x) 1 ex
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) 1 (e x ex ) ， g(x) 1 (e x ex )
2
2
f (x) 1 (e x ex ) g(x) ， ⑤ 2
g(x) 1 (e x ex ) f (x) ， ⑥ 2
当 x 0时， f (x) ag(x) (1 a) 等价于 f (x) axg(x) (1 a)x ，
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y tanh(x y) tanh x tanh y
1 tanh x tanh y 5．二倍数公式： sinh 2x 2sinh x cosh x
cosh 2x cosh2 x sinh 2 x 2cosh2 x 1 2sinh2 x 1
由 f (x) f (x) x ln(x a x2 ) [x ln(x a x2 )] 0 ， 得 ln(x a x2 ) ln(x a x2 ) 0 ，
ln(a x2 x2） ln a 0 ．所以 a 1 ． 【命题立意】本题已知函数 f (x) x ln( x a x2 ) 为偶函数，能得到函数 g(x) ln(x a x2 ) 应为奇函数，而函数 ln(x 1 x2 ) 正是双曲正弦函数 e x ex
2．平方关系： cosh2 x sinh 2 x 1 3．加法公式： sinh(x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y tanh(x y) tanh x tanh y
1 tanh x tanh y 4．减法公式： sinh(x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
定义域： R ； 值域： R ；
单调性：增函数； 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；
零点： x 0；
反函数： sinh 1 x ln(x 1 x2 ) ．
2．双曲余弦函数 cosh x e x ex 的图象和基本性质 2
定义域： R ； 值域：[1,) ；
单调性：在 (,0) 上单调减函数；
1
ex
，
ex ex 1
(ex 1)2 3
24
当 x ln 2 时， g(x) 取得最小值 1 ， 3
所以实数 m 的取值范围为 m 1 ． 3
（3）要比较 ea1 与 ae1 的大小，需先找到正数 a 的范围．
将
f
(x0 )
a(x03
3x0
)
化为
1 a
x03 3x0 e x0 e x0
h( x) m
a
x
h(1)
e
2 e1
．
当 x 3 时， h(x) 0 ，
所以 1 a
h(x)max
2 e e1
，即 a
e e1 2
．
要比较两正数 ea1 与 ae1 的大小，只需比较 (a 1) ln e 与 (e 1) ln a 的大小．
作函数 u(x)
ln x x 1
，则
u
(
x)
（1）证明： f (x) 是 R 上的偶函数；
（2）若关于 x 的不等式 mf (x) ex m 1在 (0,) 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
（3）已知正数 a 满足：存在 x0 [1,) ，使得 f (x0 ) a(x03 3x0 ) 成立，试比较 ea1 与
ae1 的大小，并证明你的结论． 【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 R ，又 f (x) ex ex f (x) ， 所以， f (x) 是 R 上的偶函数．
y
y
y
1
O1
x
1 O1 x
1 O1 x
y
1
O1
x
D
A
B
C
【解析】函数有意义，需使 ex ex 0 ，其定义域为x | x 0，排除 C，D，又因为
y
ex ex
ex ex
e2x e2x
1 1 1
e2
2 x
1
，所以当
x
0 时函数为减函数，故选
A．
答案：A．
【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考
一．定义
我们定义函数 sinh x e x ex 为双曲正弦函数．函数 cosh x e x ex 为双曲余弦
2
2
函数．函数
tanh x
ex ex
ex ex
为双曲正切函数．
并将它们统称为双曲函数．
二．双曲函数的图象与基本性质
1．双曲正弦函数 sinh x e x ex 的图象和基本性质 2
例 5. 在 工 程 技 术 中 ， 常 常 用 到 双 曲 正 弦 函 数 s h x e x ex 和 双 曲 余 弦 函 数 2
c h x e x ex ，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相 2
类似，比如关于正、余弦函数有 cos(x y) cos x cos y sin xsin y 成立．而关于双曲正、
2 的反函数，且为奇函数，故 a 1 ．本题的根仍为双曲函数．
例 3. 【 2015 年湖北文科卷 21】
设 函 数 f (x) ， g(x) 的 定 义 域 均 为 R ， 且 f (x) 是 奇 函 数 ， g(x) 是 偶 函 数 ，
f (x) g(x) ex ，其中 e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）求 f (x) ， g(x) 的解析式，并证明：当 x 0 x 0 时， f (x) 0 ， g(x) 1；
（Ⅱ）设 a 0 ， b 1 ，证明：当 x 0 时， ag(x) (1 a) f (x) bg(x) (1 b) . x
【解析】（Ⅰ）由 f (x) ， g(x) 的奇偶性及
其实考生可以利用双曲正、余弦函数的奇偶性，在所给关系式中用 y 代替 y ，得到
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y
也可以将替 y 换成 x ，得到 cosh 2x cosh 2 x sinh 2 x 等等．
双曲函数是初等函数，也是高考试卷中常出现的一类超越函数．针对学有余力的考生， 适当的引导他们寻找一部分高考试题的根，系统研究一下双曲函数，对发展思维，提高能力， 搞定那些雷人的高考题是非常必要的．
．
令
h(x)
x3 3x ex ex
，
x [1,)
，条件等价于
1 a
h( x) max
．
由 h(x) (3x2 3)(e x ex ) (x3 3x)(e x ex ) ， (e x ex )2
再令 t(x) (3x2 3)(ex ex ) (x3 3x)(ex ex ) ．