人教版A版高中数学高二版选修1-1 第三章教材解读【素材】

第三章教材解读
重点热点：
求函数的最值问题（这既是高中教材的重点，也是高考的热点）。

思想方法：
1．由有限到无限、逐步逼近的思想。

2．数形结合思想，利用导数的几何意义研究曲线的变化规律。

3．函数方程和转化的方法意识，能将实际问题转化为数学问题，从而解决问题。

教材解读：
1．定义法解题
例1 已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，则022
0x x 0
[f(x)][f(x )]lim x x →--＝ 。

分析：对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和△x →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形。

解：∵00x x 0
f(x)f(x )lim x x →--＝f ＇(x 0)。

∴0220x x 0[f(x)][f(x )]lim x x →--＝000x x 0
[f(x)f(x )][f(x)f(x )]lim x x →+-- ＝00x x lim [f(x)f(x )]→+·00x x 0
f(x)f(x )lim x x →--＝2f (x 0)·f ＇(x 0)。

2．最优解问题
例2 用半径为R 的圆形铁皮，剪一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形的漏斗（如图所示）。

问圆心角α取什么值时，漏斗容积最大？
分析：解实际问题时，要注意两个量之间的转化。

就本题来说，截得的圆铁皮的弧长是圆锥的底面的圆
周长，这是列出相关函数关系式的关键。

解：设圆锥形漏斗的底面半径为r ，高为h ，容积
为V ，那么：r 2＋h 2＝R 2。

容积V ＝13πr 2h ＝13π(R 2－h 2)h ＝13πR 2h －1
3
π
h 3，其中0＜h ＜R 。

所以V ＇＝1πR 2－πh 2。

令V ＇＝0，得h 3R 。

当0＜h 3R 时，V ＇＞03R ＜h ＜R 时，V ＇＜0。

∴当h ＝33R 时，V 取得极大值，并且这个极大值也是最大值，此时r 22R h -
R 。

由弧长公式R α＝2πr ，得α＝
3
π。

此时漏斗容积最大。

3．应用导数解决相关数学问题 例3 求证：lnx ＋
1x －12(x －1)2≥1－23
(1－x )3。

分析：可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意x ＞0这一隐含条件。

解：设f(x )＝lnx ＋1x －12(x －1)2－[1－23
(1－x )3]， 则f ＇(x )＝1x －21x －(x －1)＋2(x －1)2＝2x 1x
-＋(x －1)[2(x －1)－1] ＝2x 1x -[1＋x 2(2x －3)]＝2x 1x -[2x 3－3x 2＋1]＝2x 1x
-[(2x 3－2x 2)－(x 2－1)] ＝22(x 1)x -(2x 2－x －1)＝22(x 1)x -(2x ＋1)(x －1)＝3
2
(x 1)x -(2x ＋1)。

令f ＇(x )＝0，得x ＝1 或x ＝－12
（函数定义域x ＞0，故应舍去）。

在x ＝1附近，f ＇(x )的符号先负后正。

∴当x ＝1时，f(x )取得极小值，同时它也是最小值。

此最小值为f(1)＝0。

∴当x ＞0时，f(x )≥0，即lnx ＋1x －12(x －1)2≥1－23
(1－x )3。

4．探索性问题
例4 已知函数f(x )＝x 2＋c ，且f[f(x )]＝f(x 2＋1)。

⑴设函数g(x )＝f[f(x )]，求g(x )的解析式；
⑵设函数Φ(x )＝g(x )－λf(x )，试问：是否存在实数λ，使Φ(x )在(－∞，－1)内为减函数，且在(－1，0)内为增函数。

分析：若f (x )在区间D 上是增函数（或减函数），则f ＇(x)≥0（或≤0）在区间D 上恒成立（其中使f ＇(x)＝0的点是不连续的）。

解：⑴由f[f(x )]＝f(x 2＋1)得(x 2＋c) 2＋c ＝(x 2＋1) 2＋c ，
整理得2cx 2＋c 2＝2x 2＋1，即c ＝1。

∴g(x )＝f[f(x )]＝f(x 2＋1)＝(x 2＋1) 2＋1＝x 4＋2x 2＋2。

⑵Φ(x )＝g(x )－λf(x )＝x 4＋(2－λ)x 2＋2(2－λ)，
∴Φ＇(x )＝4x 3＋2(2－λ)x 。

若Φ(x )在(－∞，－1)内为减函数，则4x 3＋2(2－λ)x ＜0对于x ∈(－∞，－1)恒成立。

故2－λ＞－2x 2，对于x ∈(－∞，－1)恒成立。

因为当x ∈(－∞，－1)时，－2x 2＜－2。

所以2－λ≥－2，即λ≤4。

若Φ(x )在(－1，0)内为增函数，则4x 3＋2(2－λ)x ＞0对于x ∈(－1，0)恒成立。

故2－λ＜－2x 2，对于x ∈(－1，0)恒成立。

因为当x ∈(－1，0)时，－2＜－2x 2＜0。

所以2－λ≤－2，即λ≥4。

综合上述知，当λ＝4时，Φ(x )在(－∞，－1)内为减函数，且在(－1，0)内为增函数。

5．解决与其他学科相关的优化问题
例5 对某个量进行n 次测量，得到n 个测量结果x 1，x 2，…，x n 。

如果用x 作为这个量的近似值，当x 取什么值时，(x －x 1)2＋(x －x 2)2＋…＋(x －x n )2最小？
分析：首先要明确表达式中的x 1，x 2，…，x n 都是常量，只有x 是变量，就是说这是关于x 的二次函数，利用导数就可以求出这个极值。

解：设f(x )＝(x －x 1)2＋(x －x 2)2＋…＋(x －x n )2 ＝n x 2－2(x 1＋x 2＋…＋x n ) x ＋(x 12＋x 22＋…＋x n 2) 故f ＇(x )＝2n x －2(x 1＋x 2＋…＋x n )。

令f ＇(x )＝0，得x ＝
11n x x x n +++。

因为f(x )为二次函数，只有一个极值，且此极值也是最值。

所以，当x ＝
11n x x x n +++时，(x －x 1)2＋(x －x 2)2＋…＋(x －x n )2最小。