运动微分方程
理想流体的运动微分方程
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
质点运动微分方程的初始条件
质点运动微分方程的初始条件
初始条件，又称初始条件问题，是指求解给定微分方程时必须满足的一组条件。
初始条件通常包括了物体的初始位置和速度，并由物理定律所确定。
在质点运动微分方程中，初始条件一般有：
1.位置初值：指定质点初始位置，一般由坐标系确定，如
x0=Ri(t=0)；
2.速度初值：指定质点初始速度，一般由分数阶导数确定，如
v0=Ri′(t=0)；
3.加速度初值：指定质点初始加速度，一般由二阶以上导数确定，如a0=Ri″(t=0)。
此外，还需要指定时间t的初值，一般由实验条件或特定问题确定。
运动微分方程和运动方程
运动微分方程和运动方程1. 引言运动微分方程和运动方程是描述物体运动的重要工具，它们在物理学、工程学和其他科学领域中得到广泛应用。
本文将介绍运动微分方程和运动方程的基本概念、应用领域以及解决问题的方法。
2. 运动微分方程运动微分方程是描述物体运动的微分方程。
它可以用来表示物体在一定时间内的位置、速度和加速度之间的关系。
在一维情况下，运动微分方程可以表示为：d2xdt2=a(t)其中，x(t)是物体在时刻t的位置，a(t)是物体在时刻t的加速度。
这个方程可以通过积分求解，得到物体的位置函数x(t)。
在二维和三维情况下，运动微分方程可以表示为：d2xdt2=a x(t)d2ydt2=a y(t)d2zdt2=a z(t)其中，x(t)、y(t)和z(t)分别是物体在时刻t的x、y和z坐标，a x(t)、a y(t)和a z(t)分别是物体在时刻t的x、y和z方向的加速度。
这个方程组可以通过积分求解，得到物体的位置函数x(t)、y(t)和z(t)。
3. 运动方程运动方程是描述物体运动的方程。
它可以用来表示物体在一定时间内的位置、速度和加速度之间的关系。
在一维情况下，运动方程可以表示为：x(t)=x0+v0t+12at2其中，x(t)是物体在时刻t的位置，x0是物体在时刻t=0的初始位置，v0是物体在时刻t=0的初始速度，a是物体在时刻t的加速度。
这个方程可以通过积分求解，得到物体的位置函数x(t)。
在二维和三维情况下，运动方程可以表示为：x(t)=x0+v0x t+12a x t2y(t)=y0+v0y t+12a y t2z(t)=z0+v0z t+12a z t2其中，x(t)、y(t)和z(t)分别是物体在时刻t的x、y和z坐标，x0、y0和z0分别是物体在时刻t=0的初始位置，v0x、v0y和v0z分别是物体在时刻t=0的初始速度，a x、a y和a z分别是物体在时刻t的x、y和z方向的加速度。
质点运动微分方程
质点运动微分方程质点运动微分方程是描述物体运动的基本方程。
它是基于牛顿第二定律推导出来的。
在强加一个力的作用下，质点的加速度与力成正比，其方向与力的方向一致。
通过利用微积分学中的知识，我们可以得到质点运动的微分方程。
质点运动微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
下面，我将详细介绍质点运动微分方程的原理和应用。
首先，让我们来看看质点运动微分方程的原理。
运动状态可以用位置矢量r(t)来描述。
在t时刻，质点所处的位置矢量为r(t)。
我们假设质点受到一个力F(t)的作用力，则根据牛顿第二定律，有以下方程：F(t) = ma(t)其中，m为质量，a(t)为加速度。
根据物理学中的定义，加速度a(t)等于位置矢量r(t)对时间t的二阶导数。
因此，我们可以用r(t)对t的二阶导数来表示质点的加速度a(t)，如下所示：a(t) = d^2r(t)/dt^2将上述公式代入牛顿第二定律，得到质点运动微分方程：F(t) = m(d^2r(t)/dt^2)质点运动微分方程表明了力F(t)与位置矢量r(t)之间的关系。
这个方程的意义在于，给定一定的力，我们可以通过解方程来确定质点的运动状态。
因此，在物理学和工程学中，质点运动微分方程是解决运动问题的一个基本工具。
接下来，让我们来看看质点运动微分方程的应用。
质点运动微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在机械工程学中，我们可以用微分方程来描述物体的运动状态。
机械系统通常受到多个力的作用，因此需要解决多个微分方程，以确定系统的运动状态。
在电气工程学中，质点运动微分方程可以用来描述电路中电荷的运动状态。
在控制论中，微分方程可以用来描述物理系统的动态行为，并进一步设计控制算法。
总之，质点运动微分方程是描述物体运动的基本方程。
它可以用来解决物理学和工程学中的一些运动问题，例如机械系统的运动状态、电路中电荷的运动状态和控制系统的动态行为。
因此，熟练掌握质点运动微分方程，对于物理学和工程学的学习和应用非常重要。
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
流体运动微分方程
du du d 牛顿内摩擦定律 ，且 dy dy dt
d dt
流体为团运动时的角变形速度是纯剪切变形速度的两倍,顾有：
u y u x d 2 xy dt x y
则 xy yx
u y u x d ( ) dt x y
法向应力与线变形速度的关系
u x p xx p 2 x u y p yy p 2 y u z p zz p 2 z
d ux u 1 u x u x p u y u x u X [ ( ) ( ) ( x z )] dt x x x x y x y z z x
, p zz -p pzz
对于不可压缩均值流体，附加法向应力等于流体动力粘度与两倍的线变形速度 的乘积，即
u x p 2 xx 2 x u y , p yy 2 yy 2 y u z , p zz 2 zz 2 z
, xx
pxx pyy pzz
可以用任意一点三个相互垂直方 向上的 法向应力的平均值p的负 值作为黏性流体在该店的压强 黏性流体哥哥方向的法向应力等于 这个平均值加以个附加法向应力
1 p ( p xx p yy p zz ) 3
, p xx -p pxx
p yy -p p,yy
因此，切应力方向分量与角变形速度的关系
xy zy xz
粘性流体运动时存在切应力，所以法向 应力的大小与其作用面的方向有关，三个 相互垂直的法向应力大小一般不相等，即
u x u y yx ( ) 2 xy y x u y u yz ( z ) 2 zy y z u u zx ( x z ) 2 xz z x
运动微分方程的求解(共7页)
§2-3 运动(yùndòng)微分方程的求解1.求解步骤1)确定分析对象（隔离体）2)作受力分析（施力物、超距力、接触力），画隔离体图3)建立合适坐标系，写出方程解析式并给出初始位置、速度4)给出二阶常微分方程组的数字解5)阐明结果的物理含意与实质作用力为时间、位置、速度的函数；若力只是其中某一项的函数，则问题可加以简化。
2.常力作用下质点的运动〖例2-1〗求质点m在常力作用下的运动。
已知t=0时初位置和初速度分别为。
解：3.力只是时间的函数〖例2-2〗求自由电子-e在沿x轴的电场中的运动。
已知t=0时。
解：4.力只是速度的函数〖例2-3〗求在阻力正比于速度即的介质中抛物体的运动。
已知t=0时。
解：消去t得轨道方程为若阻力很小或距离很短（开始运动），即时，有轨道开始时接近抛物线，x趋于时y趋于无穷大，即为竖直直线。
5.力只是坐标的函数〖例2-4〗求做一维振动的弹性系数为k的弹簧振子的运动。
解：二维振动与利萨如图形。
6.复杂情况力为时间、坐标、速度的函数一维：（受迫振动）如LRC电路：为二阶常系数线性常微分方程，可用数值计算。
7.例题〖例2-5〗P39例1〖例2-6〗P41例3§2-4 加速(jiā sù)平动非惯性系动力学1.问题的提出在惯性系S中成立，在动系S’中是否成立？作加速平动的参照系为非惯性系。
2.改进的牛顿定律引入惯性力后牛顿定律仍成立。
3.讨论？为什么选择非惯性系：方便？惯性力与普通力的差别惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力4.例题〖例2-7〗P44例质点运动(yùndòng)微分方程小结1.运动微分方程2.运动微分方程的解析式或3.理想光滑线约束力的求解4.平动加速非惯性系的加上惯性力后牛顿定律仍然成立处理5.例题〖例2-8〗P98补例1.4〖例2-9〗P99补例1.56.习题三〖P105习题1.21，1.27，1.32，1.33〗§2-5 质点的能量(néngliàng)积分1.第一积分直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。
第十二章.动力学运动微分方程
d2x/dt2=0 d2y/dt2=0 d2z/dt2= -g
(a)
当t=0时: x = 0 y = 0 (初始条件) z =0
Vx=dx/dt=0 Vy=dy/dt=V cos α 0 (b) (c) Vz=dz/dt=V0sin α
(5) 解微分方程 由式(a)，(b)，(c)中第一方程式得 x=0 即炮 弹只在oyz铅垂面内运动.由(c)中第二方程式得 dy/dt=V0cosα 分离变量，并考虑到初始条件，即式(b)中第二 式，得: ∫y dy=V0cosα∫tdt
3当重物摆到钢绳与铅垂线成角的任意位置时取自然轴如图示列运动微分方程的任意位置时取自然轴如图示列运动微分方程由此可见跑车在吊车梁上匀速行驶时重物处于平衡状态钢绳的拉力就等于物体的重量由此可见跑车在吊车梁上匀速行驶时重物处于平衡状态钢绳的拉力就等于物体的重量g当跑车刹车时重物的运动状态发生变化为了避免钢绳中产生过大的附加动拉力应要求跑车行驶平稳速度放慢另外在不影响起吊等工作安全的条件下吊绳应尽量长些以减小动荷系数
(1) 取质点为研究对象，如图所示。 (2) 质点的加速度a=a。为巳知。 (3)质点受已知重力mg，未知摩擦力F和 法向反力N． (4)取坐标轴x和y如图所示，由质点运动 微分方程在x,y两坐标轴上的投影式可得
[例6] 5] (第二类问题)质量为m的质点在已知力 X=Hcosωt的作用下沿水平轴x运动，其中H与ω 均为常数：当初瞬时t＝0时，X＝X0,V＝V0(图)。 求此质点的运动规律。 Vo P o xo x X x
1 牛顿第一定律:(惯性定律)
⑴定律内容: ⑵定律的意义:
①指出物体具有惯性 (物体保持运动状态 不变的性质→惯性)
②定性地指出了力和运动状态发生变化 之间的关系→即力是产生加速度的原因
运动微分方程和运动方程
运动微分方程和运动方程摘要：一、运动微分方程和运动方程的定义与区别二、运动微分方程的应用领域三、运动方程的求解方法四、实际案例分析正文：运动微分方程和运动方程是物理学中关于运动规律的两种数学表达式，它们在研究物体运动过程中起着重要作用。
一、运动微分方程和运动方程的定义与区别1.运动微分方程：描述物体在某一时刻的运动状态，如速度、加速度等，是关于时间的一阶导数。
它可以表示为物体位置、速度、加速度等物理量的函数。
运动微分方程关注的是物体在某一时刻的状态，不涉及物体运动过程中的变化。
2.运动方程：描述物体在运动过程中的规律，包括动力学方程和运动学方程。
它反映了物体受到的合外力与物体运动状态之间的关系。
运动方程关注的是物体运动过程中的变化，包括速度、加速度等。
二、运动微分方程的应用领域1.经典力学：研究质点、刚体等简单物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、拉格朗日方程等。
2.电磁学：研究带电粒子在电磁场中的运动，如麦克斯韦方程组、洛伦兹力方程等。
3.量子力学：研究微观粒子的运动，如薛定谔方程、海森堡矩阵元等。
三、运动方程的求解方法1.分离变量法：将运动方程分解为位置、速度、加速度等物理量的函数，然后分别求解。
2.特征值法：对于线性运动方程，可以通过求解特征值和特征向量来得到解。
3.数值方法：对于复杂非线性运动方程，可以采用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解。
四、实际案例分析1.抛体运动：利用运动方程研究抛体在空气阻力作用下的运动轨迹和速度变化。
2.行星运动：根据开普勒定律和牛顿运动定律，建立行星运动的运动方程，研究行星运动轨迹和速度变化。
3.电路中的粒子运动：根据电磁学方程研究带电粒子在电路中的运动，如电子、离子等。
总之，运动微分方程和运动方程在物理学领域具有广泛的应用。
运动微分方程的解
积分因子法
积分因子法的基本思想
通过引入一个适当的积分因子，将运动微分方程化为一阶线性微分方 程的标准形式，从而利用已知的求解方法求得未知函数的解析式。
积分因子法的适用条件
适用于一阶线性微分方程以及部分可化为一阶线性微分方 程的方程。
积分因子法的求解步骤
先根据运动微分方程的形式确定积分因子，然后将方程两边同乘以积分因 子并整理为标准形式，最后利用已知的求解方法求得未知函数的解析式。
意义
研究运动微分方程对于深入理解物体运动的本质和规律具有重要意义。同时，运动微分方程的求解方法也为解决 其他领域的实际问题提供了有力的数学工具。通过掌握运动微分方程的求解方法，可以培养数学思维和解决问题 的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
02
运动微分方程的建立
运动学基本方程
位移方程
描述物体位置随时间变化的方程， 通常表示为 $x(t)$。
速度方程
描述物体速度随时间变化的方程， 通过对位移方程求导得到，表示为 $v(t) = frac{dx(t)}{dt}$。
加速度方程
描述物体加速度随时间变化的方程， 通过对速度方程求导得到，表示为 $a(t) = frac{dv(t)}{dt}$。
动力学基本方程
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比，表示为 $F = ma$。
VS
求解方法
通解的求解通常涉及到微分方程的解法， 如分离变量法、积分因子法、常数变易法 等。通过这些方法，可以得到包含任意常 数的通解表达式。
特解与通解的关系
特解与通解的联系
特解是通解在特定条件下的一个特例，即当通解中的任意常数取特定值时，通解就变成 了特解。
特解与通解的区别
双摆运动微分方程
双摆运动微分方程
双摆（Pendulum）运动是物理学中常见的实验装置，它能研究各种物理学现象，如重力、势能、动能转换等。
双摆运动由微积分方程来描述，这些微积分方程也被称作“双摆方程”。
双摆运动微分方程说明了双摆运动的横坐标随时间的变化，是由物理学家研究双摆运动的工具。
双摆运动的微分方程可以用数学语言描述，它可以表示为：“双摆运动的横坐
标（x）随时间（t）的变化情况，可以用微分方程dx/dt=f（x）来表示，其中f （x）表示了横坐标x随时间t的变化率。
而具体的形式可以写成x˙˙+g/l*sin （x）=0，这是双摆方程。
其中，l 代表钟摆的黎曼长度，g 代表重力加速度。
”
双摆运动的微分方程描述了双摆运动的运动规律，可以被用来研究双摆运动的
物理学行为。
双摆的位置可以用横坐标x来表示， //**横坐标的变化就是自变量，而物体**/受到的力就是因变量，由此可以用微分方程来描述。
微分方程可以用数值解法和解析解法来解决，数值解法即将积分方程近似分解，以步长求解；而解析解法则依赖于函数形式，或使用特殊函数求解，这两种方法都可以求得双摆运动的解析解。
在物理学现象中，微分方程用来描述双摆运动的运动规律是极其重要的，它的
解可以得出运动的速度、位移和势能，甚至可以分析双摆在重力场中的特殊性质。
此外，由双摆方程可以分析出双摆运动在加入外力等介质作用时，随时间变化的横坐标变化情况，因而可以更深入地探究运动的本质。
总之，双摆运动微分方程是双摆运动的定义和研究重要的工具。
它可以让我们
分析双摆数学模型的特性，也可以深入探究双摆运动的物理科学本质，进而帮助我们理解这种复杂的动态运动。
流体力学第6章流体运动微分方程
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
运动微分方程
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N等mvgcoRwsq πnR
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
运动微分方程
mvR2 FNmgcosq
v Rw πnR
30
1
nπ3R0m R(FNmgcoqs)2
当θ=θ0 时铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速
n9.549 Rg cosq0
q0 F
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
运动微分方程
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
运动微分方程
q q dq dq
qw2siqn
qqdqqw2siqndq
2w
0
q w q 222(1co)s
w O
art
vr
FN M
ae
aC
Fe
arn qFC s
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
关于质点系运动微分方程的应用
应用质点系运动微分方程的研究技术一、质点系运动微分方程的定义质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程。
它是一种描述物体运动的微分方程，可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
它是一种描述物体运动轨迹的一般微分方程，可以用来解决质点系的运动问题，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
质点系运动微分方程的定义是：当物体处于一定的空间中，它的运动轨迹可以用一个特殊的微分方程来描述，这个微分方程就是质点系运动微分方程。
它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，这些函数可以是时间函数、位置函数或速度函数等，只要它们满足物体运动的物理规律。
例如，用质点系运动微分方程来描述一个抛物运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-g，其中，g表示重力加速度。
又如，用质点系运动微分方程来描述一个摆动运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin(x)，其中，g表示重力加速度，l表示摆的长度。
总之，质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程，它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
二、质点系运动微分方程的常见形式质点系运动微分方程是一组常见的微分方程，它们描述了质点系的运动。
它们的形式是一般的欧拉方程，也就是一阶微分方程组，其中有n个未知函数，每个函数有m个变量。
它们的具体形式是：$$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$$其中，$\mathbf{x}$ 是质点系的状态变量，$\mathbf{f}$ 是质点系的动力学方程，描述了质点系的运动规律。
质点系运动微分方程有许多不同的形式，比如牛顿运动方程，描述了质点受到外力时的运动规律：$$m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$$这里，$m$ 是质量，$\mathbf{F}$ 是外力。
质点运动微分方程
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
02-23.3 平面运动刚体的运动微分方程(课件)
3、平面运动刚体的运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程y x C ''：过质心平移参考系平面运动随质心平移 绕质心转动()()e e ()C C C ma FJ M F α⎫=∑⎪⎬=∑⎪⎭()()2e 22e 2d d d ()d C C C r m F tJ M F t ϕ⎫=∑⎪⎪⎬⎪=∑⎪⎭投影式： ()()()e e e ()Cx xCy y C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭()()()e te ne ()Ct C n C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭以上各组均称为刚体平面运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C 例 1M平面运动刚体的运动微分方程解： N 2Cx Cy C ma Fma F mg m M Fr ρα⎫=⎪=-⎬⎪=-⎭()()2222N ,,,CC C C F r Mra M r m r F ma F mgρρ+==+==纯滚动的条件： s NF f F ≤即22s Cr M f mgρ+≤C a 0C a r α=分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
由平面运动刚体运动微分方程：平面运动刚体的运动微分方程例2已知：均质圆轮半径为r 质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C 的运动规律.平面运动刚体的运动微分方程t Ca rα=解: t sin Cma F mg θ=-C J Frα=-θcos 2mg F r R v m N C -=-()θr R s -=0d d 2322=-+s rR gt s )sin(00βω+=t s s ()r R g -=3220ω0,0v s== s 初始条件 ()gr R v s 23,000-==β运动方程为()⎪⎫ ⎛⋅-=t gr R v s 2sin 30分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
单摆运动微分方程求解
单摆运动微分方程求解## English Response:The equation of motion for a simple pendulum is a second-order nonlinear differential equation. It is given by:$$m l \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -m g \sin \theta$$。
where:$m$ is the mass of the pendulum.$l$ is the length of the pendulum.$g$ is the acceleration due to gravity.$\theta$ is the angle of the pendulum from the vertical.This equation can be solved using a variety of methods,including:Analytical methods: These methods involve finding an exact solution to the equation of motion. One common analytical method is to use the separation of variables method.Numerical methods: These methods involve using a computer to approximate the solution to the equation of motion. One common numerical method is to use the Runge-Kutta method.In this example, we will use the separation ofvariables method to find the analytical solution to the equation of motion. The first step is to separate the variables in the equation of motion:$$m l \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -m g \sin \theta$$。
刚体的定轴转动和平面运动微分方程
（c）
（d）
（e）
二、刚体的平面运动微分方程
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，可建立起刚体平面运
动微分方程，研究刚体平面运动的动力学问题。
设刚体具有质量对称平面，在该平面内受到平面力系
F1(e) ，F2(e) ，F3(e) ， ，Fn(e) 的作用，刚体将在该平面内运动。
根据运动学，平面运动可分解为随基点的平动
（e）
（4）根据刚体平面运动微分方程，可得
maCx FB
（f）
maCx FA mg
（g）
J C FAl cos FB l sin
（h）
将式（d）、式（e）分别代入式（f）、式（g）得
FB m( 2l cos l sin )
（i）
FA mg m( 2l sin l cos )
由于轴承 A ，B 处的约束力的对于 z 轴的力矩
等于零，根据刚体对 z 轴的动量矩定理，有
dLz
M z ( F (e) )
dt
d
J z M z ( F (e) )
dt
图10-18
或
J z M z ( F (e) )
（10-24）
d2
J z 2 M z ( F (e) )
n
MaC F (e)
d
(e)
( J C ) M C (F )
dt
图10-21
式中，M为刚体的质量；J 为刚体对质心C的转动惯量。
将上面第一式写成投影的形式，并注意到
C
d 2 xC
d 2 yC
d
aCx 2 ，aC y 2 ，
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再根据an =v2/l,可求v=1.632m/s Nhomakorabeaql
T an
a mg
已知作用于质点的力，求质点的运动
例 图示质量为m的质点O带有电荷e，如已知质点在
均匀电场中所受力F=esinkt, k为常数。又质点的
初速为v0,与x轴夹角为q,且取坐标原点为起始位置。
2w
0
q2 2w 2(1 cosq )
将上式代入下式
mRq2
FN
FC
Fe
cos q
2
(2)
w
art
vr
FN M
ae arn qFC s
aC
Fe
OC
O'
R
FN
2mRw 2 (1 cosq ) FC
Fe
cos q
2
FC 2mwRq 2mwR
2w 2 (1 cosq ) 4mRw 2 cos q
z1 M0
Fe
M
h
W
分析质点M，取动坐标系
O1x1y1z1 ,固连于车厢。
a mar = F + Fe + FC
y1
mar = W + Fe
x1
mx1 0,
Fe = mae
my1 ma, mz1 mg
当 t = 0 时, x1 y1 0,z1 h,vx1 vy1 vz1 0
x1
0,
q
OC R
O'
解: ● 运动分析
分析小环。取动坐标系与大圆环固连，小环
M相对于大圆环的位置用弧坐标 s = Rq 表示。
● 受力分析
作用于小环M的力有大圆环的约束力FN。为了写出 小环的相对运动微分方程，还要加上相应的牵连惯
性力Fe和科氏惯性力FC。
Fe
mae
2mR cos q
2
w2
FC maC m2wvr 2mwRq
(3)
e(2g / u)t 1
e e (g / u)t
(g / u)t
于是物体速度随时间而变化的规律为
v uth( g t) u
th 是双曲正切。
x
dx
0
t u2 d[e( g / u)t e( g / u)t ]
0g
e e ( g / u)t
( g / u)t
物体的运动方程为
x
u2 ln e(gt / u) e(gt / u)
art vrFN
aC
w ae
arn
M
qFC
Fe
s
OC R
O'
由相对运动动力学基本方程
mar = W + FN + Fe+ FC
Fe
mae
2mR
q
cos 2
w2
•
FC maC m2wvr 2mwRq
mRq mRq2 FN
Fe FC
q
sin 2
Fe
cos
q
2
(1) ( 2)
由式(1)得
mRq 2mR sin q cos q
22
q w 2 sin q
(a)
w
art
vr
FN M
ae arn qFC s
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
q q dq dq
q w2 sin q
qqdq q w 2 sin qdq
第一章 质点运动微分方程
§1–1 质点运动微分方程 §1–2 质点动力学的两类问题 §1–3 质点相对运动基本方程
§1–1 质点运动微分方程
1 动力学基本定律——牛顿三定律
第一定律 不受力（平衡力系）作用的质点将永远保 持静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。
两个基本概念：质点都有惯性，即保持原来运 动状态的性质；力是改变质点运动状态的原因。 （定性）
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N 等
mg v
cos q Rw
πn
R
x v0t cosq
y
e mk
(t
sin kt) k
v0t
sin
q
弹簧－质量系统，物块的质量为m ，弹簧的刚度系
数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的
运动方程。
k
m
v0
mx＋kx 0
w02
k m
l0
x v0
m sin k
kt m
mx＝－k( x ) mg st
l0 k
kst mg
y1
1 2
at
2
,
z1
h
1 2
gt 2
z1
h
g a
y1
例题 一质量是m的小环M套在半径是R的光滑圆 环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内
以匀角速度w绕通过点O的铅垂轴转动。在初瞬 时，q = 0， q = 2 w ，试写出小环M相对于大圆 环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M的约
束力。
M
w
u2
ln(ch
gt )
g
2
g
u
分析例 神州6号载人飞船回收过程中的动力学问题。 假设回收舱重为P, 回收舱在距离地面h处打开阻 力伞，此时速度为v0，回收舱受到的空气阻力与
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
x v0
m sin k
kt m
1. 重力mg只改变了系统的平衡位置，对
运动规律并无影响。 2. 物块垂直悬挂时，
m
坐标原点选择不同对运动微分方程的影响
v0 这一问题请同学们自己研究。
例题 质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线 由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力F与速
度平方成比例，即F=v2 ，阻力系数单位取kg/m，
第二定律 质点的质量与加速度的乘积等于作用于
质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
即
ma F
此式即质点动力学的基本方程。 此定律给出：物体的受力与物体运动状态的
改变之间定量关系 （定量）。
ma F
力使物体产生沿其方向的加速度 F—作用在质点上的合力(共点力系的合力) a—质点相对惯性系的加速度(绝对加速度) 瞬时运动量的关系 适用范围(质点, 平动刚体)
动力学绪论
1 动力学的研究对象
动力学的研究对象：质点和质点系。 质点是指几何尺寸可以忽略不计，但具有一定质 量的物体。 质点系是由几个或无限个相互联系的质点组成的 系统。刚体是质点系的一种特殊情形。
2 动力学的研究内容
动力学是研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 已知运动求力
已知力求运动 既有未知的运动量,又有未知力.
2
大圆环对小环的约束力为
FN
mRw 2[3(1
cosq )
4 cos q ]
2
本章小结
1．质点动力学的基本方程为
ma F
m
d 2r dt 2
F
2．质点动力学的两类问题
3．质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为
m
d 2r dt 2
F
Fge
FgC
二是已知作用于质点的力，求质点的运动。
这类问题一般比较繁琐。求解这类问题时，首 先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分，同 时利用运动的初始条件确定积分常数，求出质点的 运动规律。
具体求解步骤: 1. 明确研究对象 2. 分析受力----全部外力
分析运动----一般位置(运动描述的方法) 3. 建立方程并求解
2．运动微分方程
n
ma Fi i 1
m
d 2r dt 2
F
(1)质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m d 2 x
dt 2
n i 1
Fx i,
d 2 y
m dt2
n i 1
Fy i,
m
d 2z dt 2
n i 1
Fzi
(2) 质点运动微分方程在自然轴上投影
m dv dt
n i 1
Fi
m v2
n
Fni,
i 1
(3) 质点运动微分方程的复合运动形式
aa ae ar ac
m(ae ar ac ) F
§1–2 质点动力学的两类问题
一是已知质点的运动，求作用于质点的力。
求解这类问题时，只需根据已知的运动规律， 通过微分运算或通过复合运动求出质点的加速度； 从而按质点运动微分方程式求出未知力。
3 解决动力学问题的基本方法
质点运动微分方程-----质点 动力学普遍定理(三大动力学定理+达朗伯原理)
-----质点系 分析力学方法—虚位移原理
4 动力学的理论基础
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
m v2 R