高中平面向量测试题及答案

平面向量

一、选择题

1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

2．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →

⊥a ，则实数k 的值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

3．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )

A ．－3

B ．2

C ．－1

7

4．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →

分别为a 、

b ，则AH →

＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45

b

5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 6．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →

)( )

A ．最大值为8

B ．是定值6

C ．最小值为2

D ．与P 的位置有关

7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝5

2

，则a 与c 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋y 2

－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，

1≤y ≤2，

则OA →·OB

→

取得最大值时，点B 的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．无数

10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →

＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )

A ．λ1＝λ2＝－1

B ．λ1＝λ2＝1

C ．λ1·λ2＋1＝0

D ．λ1λ2－1＝0 11．如图，在矩形OACB 中，

E 和

F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →

＝

λOE →＋μOF →

其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )

D ．1

12．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12

，则△ABC 的形状为( )

A ．等腰非等边三角形

B ．等边三角形

C ．三边均不相等的三角形

D ．直角三角形

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题

13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.

14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．

16.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m

＝________. 三、解答题

17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．

18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．

(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→

＝0.

19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(

π

4

＋B

2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．

20．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x

2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a

＋b |；

(2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．

21．已知OA →＝(2a sin 2

x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →

＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；

(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π

2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．