全概率公式和贝叶斯公式练习题
全概率公式和贝叶斯公式的选择题
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式，在概率论和统计学中有着广泛的应用。
在选择题中，我们经常会遇到涉及到这两个公式的问题，因此了解和掌握这两个公式对于解题至关重要。
全概率公式是概率论中的一个重要概念，它是指在一组互斥事件中，事件A的概率可以表示为所有事件发生的概率之和。
数学表达式为：P(A) = ∑ P(A|B_i) * P(B_i)，其中B_i为一组互斥事件。
在选择题中，当我们需要计算某个事件的概率时，如果已知它与一组互斥事件的条件概率，就可以通过全概率公式来求解。
贝叶斯公式是一种根据先验概率和新的证据来更新概率的方法。
它在概率统计和机器学习中有着广泛的应用，尤其是在分类和预测问题中。
贝叶斯公式的数学表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
在选择题中，当我们需要根据新的证据来更新某个事件的概率时，就可以使用贝叶斯公式来计算。
在选择题中，我们在使用全概率公式和贝叶斯公式时要注意以下几点：1. 确定互斥事件：在使用全概率公式时，要确保所选取的一组事件是互斥的，即它们之间没有交集。
这样才能保证全概率公式的有效使用。
2. 先验概率的选择：在使用贝叶斯公式时，要根据具体问题选择合适的先验概率。
先验概率是在获得新的证据之前，对事件概率的估计值，它的选择对于结果的准确性有着重要影响。
3. 结果解释：在计算出最终的概率后，要对结果进行合理的解释和分析。
这样才能确保我们对问题的理解和计算没有偏差。
全概率公式和贝叶斯公式在选择题中有着重要的应用价值，通过合理的运用这两个公式，我们可以更准确地计算和预测事件的概率，从而在选择题中取得更好的成绩。
个人观点和理解：全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要工具，在选择题中的运用可以帮助我们更深入地理解和解决问题。
通过不断的练习和思考，我们可以在实际的选择题中游刃有余地应用这两个公式，提高我们的解题能力和逻辑思维。
概率统计常见题型及方法总结
常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题 全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jjj P A B P A P B A P A P BA ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分则b a aB P +=)(1，2分 111++++++++=b a a b a b b a a b a a b a a+=2分 依次类推2分二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。
现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。
在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。
（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。
解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”，B 表示“任取一件产品是正品”，则()96100P B =，()4100P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =（1）由全概率公式得（2）这批产品被检验为合格品的概率为四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
1.5全概率公式与贝叶斯公式
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计 、检验、判别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们 掌握的先验知识来推断后验概率
用某种诊断法诊断癌症,记 A {判断被检验者患有癌症 } C { 被检验者患有癌症 } 已知 P( A | C ) 0.95, P( A | C ) 0.90,又设人群中 P(C ) 0.0004 现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可 能性有多大？ 由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为
B1 B2 ,
B1 B2 S .
甲
乙
解:记 B1为在甲箱中抽到有奖票的事件，
B2为在甲箱中抽到无奖票的事件， 由全概率公式得 A 为最后抽到有奖票的事件。
则
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 12
2
1 3 2 P A | B2 ; P B1 ; P A | B1 ; P B2 ; 6 5( B ) P5 ( A B1 ) P( B1 )6 P( A B2 ) P 2
P ( A B ) 0.1, P ( A B ) 0.5
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎 （A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为 （用贝叶斯公式）
P( B) P( A B) P ( B A) P( B) P( A B) P( B ) P( A B )
0.8 0.1 0.444 0.8 0.1 0.2 0.5
分析：记 Bi ={球取自 i 号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1 2 3
至多一个发生
1
有且仅有一个发生
2
至少一个发生
本科概率1-全概,习题课(白底)
概率统计第一章习题课
习题一
4. 从一副扑克牌的 张黑桃 中，有放回抽三次 ， 13 求取出的三张牌中: (1)没有同号的概率 ； (2)有同号的概率.
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 133
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 1 − P( A) = 1 − 133
5.某城市有A, B, C三种报纸.在居民中, 订A报的占 45%, 订B报的占35%, 订C报的占30%,同时订A与 B报的占10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与 C报的占5%,同时订A, B与C报的占3%, 求下列概率：
P ( A3 ) = P ( H1H2 H3 )
加法公式 独立性
P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14. P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 × 即飞机被击落的概率为0.458. 即飞机被击落的概率为
P( (1)只订A报的； AB C ) = P( A) − P( AB) − P( AC) + P( ABC ) = 0.3
(2)只订A与B报的； P( ABC ) = P( AB) − P( ABC ) = 0.07 (3)只订一种报的； P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.73 (4)恰好订两种报的；P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.14
∑ P( A ) P( B｜A )
k =1 k k
3
将这里得到的公式一般化， 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．
由贝叶斯公式得P ( A1 | B) P (B | A1 ) P ( A1 )
P ( A ) P (B | A )
i 1 i i
3
其中 P(Ｂ|Ａ1)=2/3, P(Ｂ|Ａ2 )=3/4, P(Ｂ|Ａ3 )=1/2, P(Ａi)=1/3, i=1,2,3． 代入数据计算得： P ( A1 | B) 0.348
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
0.005 0.95 0.087 0.005 0.95 0.995 0.05
1.5.2 贝叶斯公式
本题的结果表明，虽然 P ( B A) 0.95,
P ( B A ) 0.95 这两个概率都很高．但是，即试验
1.5.2 贝叶斯公式
特别有：
设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 A
是一个完备事件组，若P(A) > 0， ( A) 0， P
P(B) > 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为
P ( A B)
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这 一点，将 P( B A) 和 P( A B) 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果．
1.5.2 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1， 2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 P ( Ai | B), i 1,2,...,n
由全概率公式得
P ( B1 B2 ) P ( Ai )P ( B1 B2 Ai )
概率论与数理统计复习题
1
x1
8
1
x2
8
1
p j
6
1
5
[ 答案：
Y
X
y1 y2 y3 pi
1111 x1 24 8 12 4
1 31 3
x2
]
8844
111
p j
1 623
六、协差矩阵
记住以下公式： D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)
D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)
cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)
；
³ ³ （3）P (X ,Y ) D
1
dx
33x
4 12e3x4 ydy
1 4e3
0
0
五、二维离散型随机向量
设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合
分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值
填入表中的空白处。
Y
X
y1 y2 y3 pi
2y
7
七、最大似然估计
例：设总体 X 的概率密度为 f (x) ®(T 1)xT , 0 x 1
¯ 0 , 其他
其中未知参数T ! 1， X1, X 2 ," X n 是取自总体的简单随机样本，用极大似然估 计法求T 的估计量。
n
解：设似然函数 L(T )
(T 1)xiT ( 0 xi 1; i 1,2,", n)
练习：设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
全概率公式与贝叶斯公式
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
第4节 全概率公式与贝叶斯公式
例6 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌 引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概 率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率 误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出 呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？
解 记 A " 检验呈阳性 "
B1 " 检验者患此疾病 " B2 " 检验者不患此疾病 " 且已知 P ( B1 ) 0.005 P( B2 ) 0.995
0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 0.41 ,
P( B3 ) P( A1 A2 A3 ) 0.4 0.5 0.7 0.14 ,
由贝叶斯公式有 P ( B 3 ) P (C | B 3 ) 0.14 P ( B3 | C ) 3 0.306 . 0.458 P ( B i ) P (C | B i )
a ， 这 体 现 了 抽 签 好坏与先后次序无关的公平性. ab
——抽签与顺序无关——
2
定理1.1 全概率公式
如果事件A1 , A2 ,, An构成一个完备事件组，
而且P( Ai ) 0, i 1, 2,, n. 则对任何一个事件B有，
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
显然 A1 B, A2 B,, An B 也两两互不相容，
A3 A1 A2 A5 A6 B A4
Ω
A7
A8
4
设 A1 , A2 ,, An 为 一 个 完 备 事 件 组,对任一事件 B,有
B B ( A1 A2 An )B
A1 B A2 B An B ,
1-4条件概率全概率公式贝叶斯公式
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
下 回
停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
AB 包含的样本点数 P (AB )= . B 包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A= “ 3个中至少有一个女孩” ,
A= “ 3个全是男孩” ,
1 1 P (A )= 3 = , 2 8
17 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
A= “ 3 个小孩中至少有一个女 孩” ,
再设 B = “ 3 个小孩中至少有一个男 孩” , 17 则 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88 设A “有一个男孩两个女孩 ” , 1=
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
全概率公式和贝叶斯公式选择题
全概率公式（法）和贝叶斯公式是概率论中重要的公式，在统计学和机器学习等领域有着广泛的应用。
本文将从理论基础、适用场景、公式推导和实际应用等方面对全概率公式和贝叶斯公式进行深入分析，希望能帮助读者更好地理解和运用这两个公式。
一、全概率公式全概率公式是概率论中的重要定理，它可以将条件概率转化为无条件概率。
全概率公式的数学表达式如下：P(A) = Σ P(A|B_i)P(B_i)其中，P(A)代表事件A的概率，P(B_i)代表一组互斥事件B_i的概率，P(A|B_i)代表在事件B_i发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式的应用场景非常广泛，例如在医学诊断中，我们可以通过已知的症状和疾病发生的概率，利用全概率公式计算出某种疾病发生的概率；在工程项目管理中，我们可以通过不同的风险事件发生的概率，利用全概率公式计算出整体风险的概率。
二、贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中的另一项重要定理，它可以根据先验概率和条件概率计算出后验概率。
贝叶斯公式的数学表达式如下：P(B|A) = P(A|B)P(B) / P(A)其中，P(B|A)代表在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)代表在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别代表事件B和事件A的无条件概率。
贝叶斯公式的应用也非常广泛，例如在垃圾邮件过滤中，我们可以通过已知的正常邮件和垃圾邮件的发生概率，利用贝叶斯公式计算出收件箱中某封邮件是垃圾邮件的概率；在金融风险管理中，我们可以通过历史数据和市场变化的概率，利用贝叶斯公式计算出未来风险的概率。
三、全概率公式和贝叶斯公式的通联与区别全概率公式和贝叶斯公式在概率论中有着密切的通联，它们都是基于条件概率和无条件概率的转化关系。
全概率公式是将事件A的概率表示为在一组互斥事件B_i的条件下的概率之和，而贝叶斯公式则是根据条件概率和先验概率计算出后验概率。
在实际应用中，全概率公式和贝叶斯公式常常结合使用，通过递归地应用贝叶斯公式，可以不断更新先验概率，得到更加准确的后验概率。
全概率公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记A i ={球取自i 号箱},i =1,2,3;B ={取得红球}即B= A 1B+A 2B+A 3B ，且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3 之一同时发生，P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )∑==31i i i A B P A P B P )()()(｜代入数据计算得：P (B )=8/15∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜全概率公式:则设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，即ni iA B 1=⊂设S 为随机试验的样本空间，A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i =1,2,…,n ,∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜全概率公式:称满足上述条件的A 1,A 2,…,A n 为完备事件组.,1S A ni i== 则对任一事件B ，有在较复杂情况下直接计算P (B )不易,但B 总是伴随着某个A i 出现，适当地去构造这一组A i 往往可以简化计算.∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜全概率公式的来由, 不难由上式看出:“全”部概率P (B )被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=P (A i )P (B |A i )全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.设B ={飞机被击落}A i ={飞机被i 人击中}, i =1,2,3由全概率公式P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2)+ P (A 3)P (B |A 3)则B=A 1B+A 2B+A 3B解:依题意，P (B |A 1)=0.2, P (B |A 2)=0.6,P (B|A 3)=1可求得:为求P (A i ) ,设H i ={飞机被第i 人击中}, i =1,2,3 )()(3213213211H H H H H H H H H P A P ++=)()(3213213212H H H H H H H H H P A P ++=)()(3213H H H P A P =将数据代入计算得:P (A 1)=0.36; P (A 2)=0.41; P (A 3)=0.14.于是P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1=0.458即飞机被击落的概率为0.458.该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.?1红4白123某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11B P B A P B A P =记A i ={球取自i 号箱}, i =1,2,3;B ={取得红球}求P (A 1|B ).∑==3111k kk A B P A P A B P A P )()()|()(｜将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?∑==nj jj i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ，它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，则ni ,,, 21=贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.例3某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.C CC已知P (C )=0.005,P ( )=0.995,P (A |C )=0.95, P (A | )=0.04解:设C ={抽查的人患有癌症}，A ={试验结果是阳性}，求P (C |A ).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(C A P C P C A P C P C A P C P A C P +=代入数据计算得:P (C ｜A )= 0.10662. 检出阳性是否一定患有癌症?1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)= 0.1066从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.2. 检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式∑==nj ii i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜在贝叶斯公式中，P (A i )和P (A i |B )分别称为原因的验前概率和验后概率.贝叶斯公式P(A i)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
§1.5 全概率公式与贝叶斯公式
（2） P ( B j A)
P ( AB j ) P ( A)
P(B j )P( A B j ) P ( A)
n P ( Bi ) P ( A Bi )
i 1
P(B j )P( A B j )
由此公式算得： P ( B1 A) 23.1% P ( B2 A) 24.6%
P ( B3 A) 27.7% ห้องสมุดไป่ตู้ ( B4 A) 21.5%
个黑球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一 球，求此球为白球的概率。 2白 1黑
任取一球 1白 2黑 取一球 乙
P（白）=？
甲
解： 设
A=“最后取出的求为白球” B=“从甲袋中取出的是白球”
由全概率公式：P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B )
答案
补充练习
2 伊索寓言“孩子与狼” 讲的是一个小孩每天到
山上放羊,山里有狼出没。
第一天，他在山上喊： “狼来了，狼来了！”山
下的村民闻声便去打狼
，可到山上，发现狼并 没来，第二天，仍是如 此；第三天狼真的来了 ，可无论小孩怎么喊叫 ，也没有人来救他。现在请你用Bayes公式来分析此寓言中村民对小孩的可 信程度是如何下降的。
0.5% 95% 99.5% 1% 1.47%
P( AB) 0.5% 95% P( B A) 32.3% P( A) 1.47%
例5 一道考题有m个答案，要求学生将其中的一个正确答案选
择出来。某考生知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为1-p， 在乱猜时，m个答案都有机会被他选择，如果他答对了，问确 实知道正确答案的概率是多少？
1-5全概率公式、贝叶斯公式
P( A1 B), P( A1 B), , P( An B),
称为后验概率．
贝叶斯公式可以分为两个步骤， 第一步：先用全概率公式求出 P ( B ) ； 第二步：计算 P( Aj B)
P ( Aj ) P( B A j ) P( B)
j 1, 2,, n, ．
【分子为图 1.6 中的第 j 行左右两个概率相乘】
§5 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式
定义 5.1 如果事件组 A1 , A2 ,, An , 两两互 不相容，且 就称事件组 A1 , A2 ,, An , 构成样 A1 A2 An ， 本空间 的一个完备事件组，简称完备组（见图 1.5） ．
A1
A2
P( A1 ) P( A2 ) P( An )
A 1 A2
An
图 1.6
P( B A1 ) P( B A2 )
P( B An )
B
推论 5.1
n
设事件组 A1 , A2 ,, An 为样本空间 的一个完备
事件组，且 P( Ai ) 0 ， i 1, 2,, n ，则对任何事件 B ，有
0.90 0.80 0.10 0.30 0.80 0.01
P( Ai ) P( B Ai )
0.009 0.040 0.004 0.030 0.080 0.007
P( Ai B)
0.05 0.24 0.02 0.18 0.47 0.04 1.00
P( B) 0.170
由最后一列可见，人员配合不好 A5 是影响测流质量的主要因 素，其次绕道设施有误差 A2 是影响测流质量的次要因素．
i 3i C3 C3 i 1 P( B) P( Ai ) P( B Ai ) ． 3 C6 6 4 i 0 i 0 3 3
全概率公式与贝叶斯公式
P(A|B0)1
P(A|B1)4/5 P(A|B2)12/19
得P( B0 A) 0.851
k 0
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二、贝叶斯公式
定理2 设 为试验 E 的样本空间，B1 , B2 , Bn
P(Bi ) 0, i 1,2, , n ;
为 的一个划分，且
则对任意事件A （P(A)>0)，
P( Bi A)
P( Bi ) P( A Bi )
P( B ) P( A B )
i 1 i i
n
(i 1, 2,, n)
则有
P A P Bk P A Bk .
k 1
n
AB1
AB2
…...
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结束
P( A) P( ABi ) P( Bi ) P( A ｜Bi )
i 1 i 1
n
n
注 （1)A的 “全”部概率P(A)被分解成了许多 部分概率P(ABi）（i=1,2，…，n）之和.
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[例5] 设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率 为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病 的概率为0.002，据统计吸烟者患肺结核的概率为0.01. 若从该城市烟民中随机地选出一人，通过胸透被诊断 为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率。
解： 设A表示“胸透诊断为肺结核” ，C表示“检查者患有肺结核” 由题意得：
概率论例题与详解
例题1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯（1）由全概率公式()()()94.01.01.018.042041842041920≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式85.0)()()()(000≈=B P A P A B P B A P2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件（1）由全概率公式4.02130********)()()()()(111=⨯+⨯=+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有 )()()(12112A P A A P A A P =4856.0)2129173018214995010(25=⨯⨯+⨯⨯= 3.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为163.03.07.03.07.03.054452335≈+⋅+⋅C C（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为353.07.03.07.03.07.0152276177≈⋅+⋅--C C4.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，i B 表示有)3,2,1(=i i 个人击中飞机=)(1B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==)(2B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.05.04.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==)(3B P )(321A A A P)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=由全概率公式)()()(11B B P B P B P =)()(22B B P B P +)()(33B B P B P +458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯=5.随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率. 解：以D 表示半圆220x ax y -<<，由题设，点),y x （应该落在如图的阴影部分G ，G 的面积为（在极坐标系中计算）θθπθθπd r rdr d G S a a ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==40cos 202cos 204021)( θθπd a ⎰=4022cos 22402214)2cos 1(a d a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰πθθπ（或G 的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上41个圆的面积）故πππ12121214)()()(22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a a D S G S A P 6.设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，证明：B A 、独立⇔1)|()|(=+B A P B A P . 证明：1)|()|(=+B A P B A P ⇔)()|(1)|(B A P B A P B A P =-= ⇔)(1)()()(B P B A P B P AB P -=⇔)()()()()(B A P B P AB P B P AB P =- ⇔)()()]()()[()(A P B P B A P AB P B P AB P =+=⇔B A 、独立7. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i B ={随机地取3件乐器，其中有i 件是音色不纯的}（3,2,1,0=i ）A={这批乐器被接收}30)99.0()(=B A P ，05.0)99.0()(21⋅=B A P ，22)05.0(99.0)(⋅=B A P33)05.0()(=B A P31003960)(C C B P =，3100142961)(C C C B P =，3100241962)(C C C B P =，3100343)(C C B P = 故由全概率公式有8629.0)()()(30==∑=i i i B P B A P A P8.一 猎人用猎枪射击野兔，第一枪距离200米，如果未击中就追到150米处第二次射击，如果仍未击中，再追到100米处第三次射击，此时击中的概率为0.5，如果猎人的命中率始终与距离的平方成反比，求猎人击中野兔的概率。
全概率公式(原卷版)
知识点一全概率公式(1)P(B)＝；(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③P(A i)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BA n，且P(B)＝＝.知识点二贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝P(A)P(B|A)P(B)＝.(2)定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③1＞P(A i)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(A j|B)＝P(A j)P(B|A j)P(B)＝.探究一全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．【练习1】号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？探究二贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【练习2】某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？探究三全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：试问当一个具有S资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【练习3】同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？基础自测1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为( )A ．0.65B ．0.075C ．0.145D ．02．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )A ．0.21B ．0.06C ．0.94D ．0.953．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.844．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 55．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.1256．一道考题有4个【答案】，要求学生将其中的一个正确【答案】选择出来．某考生知道正确【答案】的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个【答案】都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确【答案】的概率是( )A.13B.23C.34D.147．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．8．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．9．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)10．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．11．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 12．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．13．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．14．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．。
全概率公式和贝叶斯公式练习题
1.设某工场有两个车间临盆同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混杂堆放在一个仓库,假设第1,2车间临盆的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品及格的概率.解：设B={从仓库中随机提出的一台是及格品}A i ={提出的一台是第i 车间临盆的},i=1,2则有分化B=A 1B ∪A 2B由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.2. 盒中有a 个红球,b 个黑球,今随机地从中掏出一个,不雅察其色彩后放回,并加上同色球c 个,再从盒中第二次抽取一球,求第二次抽出的是黑球的概率.解：设A={第一次抽出的是黑球},B={第二次抽出的是黑球},则B AB AB =+, 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+, 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b +=+=+++++++3. 设某公路上经由的货车与客车的数目之比为2:1,货车半途泊车补缀的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车半途泊车补缀,求该汽车是货车的概率.解：设B={半途泊车补缀},A1={经由的是货车},A2={经由的是客车},则B=A 1B ∪A 2B,由贝叶斯公式有4．已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球.求下列事宜的概率：(1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球;(2) 归并两只袋,从中随机取一球,该球是红球.解 (1) 记=B {该球是红球},=1A {取自甲袋},=2A {取自乙袋},已知10/6)|(1=A B P ,14/8)|(2=A B P ,所以 (2) 1272414)(==B P。
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例题讲解:
例题 1.市场上某产品由三家厂家提供，根据以往的记录，这三个厂家的次品率分别为，0.020.,0.01,0.03，三个厂家生产的产品所占的市场份额分别0.15,0.8,0.05.产品出厂后运到仓库，见面后再进入市场，设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合
（1）在仓库中随机的取一个产品，求它的次品的概率。
（2）在仓库中随机的取一个产品，发现为次品，如果你是管理者，该如何追究三个厂家的责任？
例题2
保险公司把被保险人分成三类”谨慎的”,”一般的”和”冒险的”，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为，0. 5. 0.15. 和0.30. 如果”谨慎的”被保险人占20%”一般的”，被保险人占50%，”冒失的”被保险人占30%，确认一个被保险人在一年内出事故的概率。
练习:
1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}
A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2
则有分解B=A 1B ∪A 2B
由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88
由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.
2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。
解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b
+=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有
111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133
P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以
70411482110621)|()()|()()(2211=⨯+⨯=
+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
72414)(==
B P。