高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式课时作业新人教A版

第一课时数列的概念与通项公式

[选题明细表]

知识点、方法题号

数列的有关概念及分类1,5

数列的通项公式2,6,8,9

数列通项公式的应用3,4,7,10,11,12

基础巩固

1.下列叙述正确的是( C )

(A)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

(B)数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列

(C)数列{}的第k项是1+

(D)数列0,2,4,6,8,…可表示为a n=2n(n∈N*)

解析:对于A,{1,3,5,7}是集合;对于B,是两个不同的数列,排列顺序不同;对于C,a k==1+;对于D,a n=2(n-1)(n∈N*).故选C.

2.数列0,,,,,…的一个通项公式是( C )

(A)a n=(B)a n=

(C)a n=(D)a n=

解析:已知数列可化为0,,,,,…,故a n=.故选C.

3.(2019·青岛高二检测)已知数列{a n}的通项公式a n=,则a n a n+1a n+2等于( B )

(A)(B)(C)(D)

解析:因为a n=,所以a n a n+1a n+2=··=.故选B.

4.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的( C )

(A)第100项 (B)第12项

(C)第10项(D)第8项

解析:因为a n=,令=0.08,解得n=10或n=(舍去).故选C.

5.(2019·宿州高二检测)已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是( A )

(A)递增数列 (B)递减数列

(C)常数列(D)摆动数列

解析:a n==1-,所以当n越大,越小,则a n越大,故该数列是递增数列.故选A.

6.已知数列{a n},a n=a n+m(a<0,n∈N*),满足a1=2,a2=4,则a3= .

解析:

所以a2-a=2,

所以a=2或a=-1,又a<0,所以a=-1.

又a+m=2,所以m=3,

所以a n=(-1)n+3,所以a3=(-1)3+3=2.

答案:2

7.数列{a n}的通项公式是a n=(n∈N*).

(1)0和1是不是数列{a n}中的项?如果是,那么是第几项?

(2)数列{a n}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?

解:(1)令a n=0得n2-21n=0,

所以n=21或n=0(舍去).

所以0是数列{a n}中的第21项.

令a n=1得=1.

而该方程无正整数解.

所以1不是数列{a n}中的项.

(2)假设存在连续且相等的两项为a n=a n+1.

则有=,解得n=10.

所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.

能力提升

8.(2019·聊城高二检测)如图所示的各图形中星星的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )

(A)a n=n2-n+1 (B)a n=

(C)a n=(D)a n=

解析:法一星星的个数依次为1,3,6,10,代入验证可知选C.

法二观察星星个数的增加趋势可以发现,a1=,a2=,a3=,a4=,所以猜想a n=.故选C.

9.(2019·宁波高二检测)图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:

通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为( C )

(A)3n-1 (B)3n

(C)3n+1 (D)3(n+1)

解析:通过观察,第1个图形中,火柴棒有4根;第2个图形中,火柴棒有(4+3)根;第3个图形中,

火柴棒有4+3+3=(4+3×2)根;第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=(4+3×3)根;第5个图形中,火柴棒有4+3+3+3+3=(4+3×4)根,…,可以发现,从第二项起,每一项与前一项的差都等于3,即a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,a5-a4=3,…,a n-a n-1=3(n≥2),把上面的式子累加,则可得第n个图形中,a n=4+3(n-1)=(3n+1)根.故选C.

10.(2019·福州高二检测)已知数列{a n}的通项公式是a n=n2-8n+12,那么该数列中为负数的项一共有项.

解析:令a n=n2-8n+12<0,解得2

答案:3

11.已知数列{a n}的通项公式a n=.

(1)求a10;

(2)是否是这个数列中的项?

(3)这个数列中有多少整数项?

(4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由.

解:(1)a10==.

(2)令=,得n=100,

故是这个数列的第100项.

(3)因为a n=1+,

所以当n=1,2,3,6时,a n为整数,

故这个数列中有4项是整数项.

(4)令=n得n2-n-6=0,

解得n=3或n=-2(舍),

故该数列中有等于序号的项,即a3=3.

探究创新

12.(2019·常州模拟)数列{a n}的通项a n=n2+(4λ-6)n-2λ+5.是否存在k∈N*,使得n≥k时,a n ≥0对任意实数λ∈[0,1]恒成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,说明理由.

解:令f(λ)=(4n-2)λ+n2-6n+5.

要使f(λ)≥0对任意实数λ∈[0,1]恒成立,只需化简得

解得n≤1或n≥5.

所以满足条件的k存在,k的最小值为5.