平方根 知识讲解
七年级数学平方根知识点复习
平方根是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
所以理解和掌握平方根成为学习数学的关键。
以下是七年级数学平方根知识点的复习，详细介绍了关于平方根的概念、性质和运算等内容。
一、平方根的概念1.平方根的定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么称x是a的平方根。
2.平方根的符号：x的平方根用符号√a表示，读作“根号a”，也可以简写为√a=x。
3.平方根的记法：如果a的平方根是一个整数，那么a就是一个完全平方数。
4.平方根的求解：为了求一个数a的平方根x，可以通过不断试探的方法，找出一个数x，使得x的平方与a尽可能接近。
二、平方根的性质1.平方根的非负性质：任何实数的平方根都是非负数，即√a≥0。
2.平方根的非负性质的逆命题：如果x≥0，那么x的平方是非负数。
3.平方根的唯一性质：对于任何非负实数a，其平方根是唯一的。
4.平方根与乘法的关系：(√a)²=a，即一个数的平方根的平方等于该数。
5.平方根与除法的关系：√(a/b)=√a/√b，即一个数的商的平方根等于该数的平方根之商。
三、平方根的运算1.简化平方根：将一个平方数的平方根记作一个整数，如√25=52.估算平方根：根据平方根的性质，可以通过估算找到一个接近实数的平方根。
3.混合运算：在进行数学运算时，可以使用平方根来简化计算，如√(a²b³)=a√(b³)。
四、平方根的应用1.平方根的图像：平方根函数的图像是一条抛物线，开口向上，图像通过原点。
2.长方形的对角线：对于一个长方形，它的对角线的长度等于两个边长的平方根的平方根，即d=√(a²+b²)。
3.直角三角形的斜边：对于一个直角三角形，斜边的长度等于两条直角边长的平方根的平方，即c²=a²+b²。
以上是七年级数学平方根知识点的复习，希望能够帮助你理解和掌握平方根的概念、性质和运算等内容。
平方根ppt课件
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
平方根的概念和计算
平方根的概念和计算平方根是数学中一种重要的概念，用来求解一个数的平方根。
平方根是指一个数的平方等于另一个数的运算。
在数学表达中，平方根用符号√ 表示。
一、平方根的定义平方根的定义是：对于一个非负实数 a ，如果存在一个非负实数 x使得 x 的平方等于 a ，则称 x 为 a 的平方根。
其中，非负实数 a 被称为被开方数，非负实数 x 被称为平方根。
二、平方根的计算方法计算平方根的方法有多种，比如试探法、牛顿迭代法、二分法等。
在实际应用中，我们通常使用计算器或电脑软件来求解平方根，快速而准确。
1. 试探法试探法是一种较为简单直观的平方根计算方法。
具体步骤如下：（1）选择一个与被开方数相近的数作为初始值。
（2）以初始值为基础，通过逐步试探不断逼近被开方数的平方根。
（3）最后得到的数即为被开方数的近似平方根。
例如，要求解16的平方根，我们可以从初始值4开始试探。
4的平方为16，与被开方数相等，因此4就是16的平方根。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种迭代逼近方法，通过不断逼近被开方数的平方根。
具体步骤如下：（1）选择一个初始的近似值 x0 ，通常选择被开方数的一半作为初始值，即 x0 = a / 2 。
（2）计算 x = (x0 + a/x0) / 2 ，其中 a 为被开方数。
（3）将计算得到的 x 作为新的近似值，不断迭代计算直至满足所需的精度。
例如，要求解16的平方根，我们可以选择初始值 x0 = 16 / 2 = 8 。
经过迭代计算可得到 x = 4 ，4也是16的平方根。
3. 二分法二分法是一种通过不断二分范围的方式逼近平方根的计算方法。
具体步骤如下：（1）确定被开方数 a 的区间范围，初始时，左边界为0，右边界为a 。
（2）计算区间的中点 m ，并判断 m 的平方与被开方数的大小关系。
（3）如果 m 的平方小于 a ，则将 m 划定为新的左边界，否则划定为新的右边界。
（4）通过不断二分范围，直至左边界与右边界足够接近。
平方根的概念与计算
平方根的概念与计算平方根是数学中常见的一个概念，用来描述一个数的平方等于这个数的运算。
在数学中，平方根的计算是一项基础的运算，我们可以用不同的方法求解平方根，包括手工计算和使用计算器等工具。
一、平方根的概念和表示方法平方根的概念是指某个数的平方等于给定数的过程。
对于一个非负的实数a，如果存在一个非负的实数x，使得 x² = a，则我们称x为a的平方根。
平方根通常有两个解，一个是正根，另一个是负根。
例如，对于数9来说，它的平方根可以是3或者-3，因为3²=9，(-3)²=9。
平方根可以用符号√来表示。
当我们表示一个正数的平方根时，通常省略正号。
例如，√9可以表示为3，表示正根；√9也可以表示为-3，表示负根。
二、用手工计算求平方根1. 近似求解法：这是一种常见的手工计算平方根的方法。
它通过逼近的方式，利用不断调整猜测值来逼近平方根的值。
一般可以使用牛顿迭代法、二分法等方法进行计算。
2. 借助公式求解：在某些特定情况下，我们可以利用数学公式来计算平方根。
例如，对于非负实数a，其中a≥0，我们有√a = a^(1/2)。
三、使用计算器求解平方根在现代科技的帮助下，我们可以利用计算器或者电脑软件来计算平方根，这大大简化了计算的过程。
大部分计算器都内置了求平方根的功能，我们只需要输入待计算的数，然后按下相应的按钮，即可获得结果。
四、平方根的应用领域平方根在数学和其他学科中有着广泛的应用。
在数学中，平方根被广泛应用于代数、几何、概率论等领域。
在物理学和工程学中，平方根也有重要的应用，常用于计算电流、压力、速度等物理量。
此外，平方根还被应用于金融、统计学以及计算机科学等领域。
例如，在金融学中，平方根广泛应用于计算风险值和波动率；在计算机科学中，平方根被用来优化算法和进行数据压缩等方面。
总结：平方根是数学中基础的运算之一。
我们可以通过手工计算或者使用计算器等工具来求解平方根。
平方根在数学和其他学科中有着广泛的应用，是解决各种实际问题的基础。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1•算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作■. a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即>0，a >0.2•平方根的定义如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a（a > 0）的平方根的符号表达为_-、a（a_O），其中,a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1•区别：（i）定义不同；（2）结果不同：和a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写岀它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，62500 =250，、、宓=25，,625 =2.5，0.062^0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m —4与3m —1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m —4=—（3m —1），解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2 m —4 = —（3m —1 ），解得m = 1；••• m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2a —1与一a + 2是m的平方根，求m的值.【答案】2a —1与—a + 2是m的平方根，所以2 a —1与—a + 2相等或互为相反数.2 2解：①当2a —1 = —a + 2时，a = 1,所以m =(2a —1) =(2x 1 —1)=1②当2 a —1+(—a + 2)= 0时，a =—1，2 2 2所以m =(2a—1 ) =[2x(—1)—1]2=(七)=92、X为何值时，下列各式有意义？(1)X2; (2)、X 一4 ; (3)、、X • 1 • ■ 1 一X ; (4) ― 1 -x —3【答案与解析】解：(1)因为X2_0，所以当X取任何值时，X2都有意义.(2)由题意可知：x-4亠0，所以x亠4时，x-4有意义.「x+1^0 >(3)由题意可知：解得：一1乞X岂1 •所以「1冬X岂1时•• X • 1 • 1 - X有意义.J -x X0「x—1 兰0(4)由题意可知：，解得X _ 1且X = 3 .x -3 式0:(X -1所以当X _1且x=3时，有意义.x —3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：【变式】已知b =4. 3a -2 2 . 2 -3a 2，a b【答案】^3a—2 二0 2113 1解：根据题意，得'则a ，所以b = 2，二2，2-3^0.3 a b 2 21 1二的算术平方根为a b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.1 ___________ 1 ____ -、.话 - .900.3 5【思路点拨】 (1)首先要弄清楚每个符号表示的意义 •( 2)注意运算顺序.【答案与解析】解：⑴、.252 -242 LI 「32 42 二「49 L 一无=7 5 = 35 ； ⑵，201 一1预一 1「81 一〕0.6 一〕30 =9—0.2 一6 —1.7 . ^43 5 V 4 3 5 2【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行. (2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据Ja 2=a(a .0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 X .2 2(1) x -361 =0; (2) x 1 289 ；(3) 9(3x+2 f —64 =0 【答案与解析】 解：(1)丁 x 2 -361 =0••• x 2 =361••• x = 一 361 = 192(2)丁(x +1 ) =289 • x 1 二.289 • x + 1 = ± 17x = 16 或 x =- 18.K{ A 2(3)••• 9(3x+2 丫-64 = 064• 3x 2 2二98•- 3x 2 = 32十149 9【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2) ( 3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的X :(1 )若X2=1.21，则x = ________ ；(2) X2=169，则x = __________ ；2 2 2(3)若X ,则X = ___________ ；(4)若X 2 ，贝U X = ____________ .43【答案】(1 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3) ； ( 4)± 2.2类型四、平方根的综合应用5、已知a、b 是实数，且..2a 6 |b _=0，解关于X的方程(a • 2)x • b2二a _ 1 .【答案与解析】解：••• a、b 是实数，.2a 6 |b —|=0，2a 6 _ 0, |b-辽|_0,••• 2a 6 = 0 , b「.2 二0 .a = — 3，b = •. 2 .把a =—3, b-2 代入(a+2)x+b2= a-1，得—X + 2 = —4,二X = 6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求岀a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若X2—1 •y 1 =0，求X2011- y2012的值.【答案】解：由x2「1y • 1 = 0，得x2「1 = 0 , y T = 0，即X= 1 , y = -1 .2011 2012 ,2011 / 八2012①当X = 1, y =—1 时，X y =1 (—1) =2 .②当X =—1, y =—1 时，X y =(一1) (一1) =0 .2 26、小丽想用一块面积为400 cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X ( X >0) cm，则宽为2 X cm，依题意得3X 2X =300.6X2-300 .x2=50.X >0,x 二空50.长方形纸片的长为3, 50 cm .•/ 50 > 49,/• .50 7.••• 3・.50 .21,即长方形纸片的长大于20cm .2由正方形纸片的面积为400 cm ,可知其边长为20 cm ,•长方形的纸片长大于正方形纸片的边长答：小丽不能用这块纸片裁岀符合要求的长方形纸片20 cm的正方形纸片裁【总结升华】本题需根据平方根的定义计算岀长方形的长和宽，再判断能否用边长为岀长方形纸片.。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点平方根是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，特别是在代数、几何和物理中。
掌握平方根的概念和相关的知识，对于初中学生来说至关重要。
以下是初二上册数学《平方根》的一些重要知识点：一、什么是平方根1.定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x使得x²=a，那么x就是数a的平方根。
2.平方根的表示方法：√a，读作"a的平方根"。
3.平方根的性质：非负实数a的平方根是存在且唯一的。
二、平方根的运算1.平方根的加减法：√a±√b=√(a±b)2. 平方根的乘法：√a× √b = √(ab)3.平方根的除法：√a/√b=√(a/b)，其中b≠04.平方根与混合数的乘法：√(a×b)=√a×√b5.平方根的开方法则：√(a^m)=a^(m/2)，其中a≥0，m为正整数三、平方运算与平方根1.平方运算和平方根的逆运算关系：√(a²)=，a，即任意实数a的平方根的平方等于a的绝对值。
2.平方根与平方运算的运算规律：a)(√a)²=a，即平方根的平方等于原来的数。
b)√(a×b)=√a×√b，即两个数的乘积的平方根等于各个因数的平方根的乘积。
c)√(a/b)=√a/√b，即两个数的商的平方根等于各个因数的平方根的商。
四、平方根的应用1.平方根的几何意义：平方根表示直角三角形的边长关系。
2.平方根的估算：使用近似值计算平方根，例如使用奇数的平方根进行估算。
3.平方根的图像表示：绘制平方根函数的图像，了解其随着自变量的变化而变化的规律。
4.平方根在实际问题中的应用：例如计算长方形的对角线长度、计算三角形的边长等。
总而言之，初二上册数学《平方根》主要包括平方根的定义、运算法则以及平方根与平方运算的逆运算关系等知识点。
掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解和应用平方根，在解决实际问题时有更好的思路和方法。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
平方根的概念及性质及运算
平方根的概念及性质及运算平方根是数学中一个重要的概念，它是指一个数的正平方根或负平方根。
具体来说，如果一个数的平方等于给定的数，那么该数就被称为该给定数的平方根。
在数学符号中，平方根通常表示为√，如√4表示4的平方根。
平方根具有以下一些性质：1. 非负数的平方根为正数，如√9=3。
这是因为一个数的平方是非负的，所以其平方根也要是非负的。
2. 负数的平方根是虚数，如√-4=2i。
这是因为任何实数的平方都是非负的，所以不存在一个实数的平方等于负数。
3. 特殊情况下，0的平方根是0，因为0乘以自己等于0。
4. 称为二次根式的平方根可以写成简化形式，如√4=2，√16=4。
这是因为平方根是指一个正数，所以我们通常写成最简形式。
5. 平方根具有乘法法则，即√(ab)=√a ×√b。
这意味着当我们将一个数的平方根乘以另一个数的平方根时，等于这两个数的乘积的平方根。
6. 平方根也具有乘法逆元的概念，即(√a) ×(√a) = a，这意味着一个数的平方根乘以自己等于该数本身。
7. 平方根具有指数法则，即(√a)^n = (√a) ×(√a) × ... ×(√a) (共n个√a)，这意味着一个数的平方根的n次幂等于该数的n次方根。
平方根的运算是数学中的一个重要内容，其中最常用的运算是开方运算。
开方运算是指找到一个数的平方根的过程。
一种常用的方法是通过试错法，我们可以逐个尝试不同的数，直到找到一个数的平方等于给定的数。
另一种方法是使用计算器或数表等工具来求得一个数的平方根。
除了常见的开方运算，还有一些其他与平方根有关的运算，如平方根的加法、减法和除法。
这些运算可以通过将数的平方根转换成指数形式来进行，然后进行相应的运算。
总之，平方根是数学中一个重要的概念，它具有一些特性和性质，包括非负数的平方根为正数、负数的平方根为虚数、平方根的乘法法则和乘法逆元等。
平方根的运算可以通过开方运算来求得，也可以使用其他方法进行。
平方根的运算
平方根的运算在数学中，平方根是一个非常重要的概念，它是指一个数的平方根，也就是能够乘以自身得到这个数的数值。
平方根的运算涉及到许多数学知识和技巧，本文将从不同角度探讨平方根的运算。
一、平方根的定义平方根的定义非常简单，即一个数的平方根就是能够乘以自身得到这个数的数值。
比如，4的平方根就是2，因为2乘以2等于4。
同样地，9的平方根就是3，因为3乘以3等于9。
二、平方根的求解方法平方根的求解方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
1. 直接开方法直接开方法就是直接使用计算器等工具进行开方运算。
这种方法非常简单，但是需要注意的是，当被开方数较大时，计算器可能会出现误差。
2. 试除法试除法是一种比较简单的方法，它通过不断试除来逼近平方根的值。
具体步骤如下：（1）将被开方数分解成质因数的乘积；（2）将每个质因数的指数除以2，得到的商相乘，即为平方根的值。
比如，对于16来说，它的质因数分解为2的4次方，因此平方根的值为2的2次方，即4。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种非常高效的求解平方根的方法，它的基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解平方根的值。
具体步骤如下：（1）设被开方数为a，求解方程f(x)=x^2-a的零点；（2）设初始值x0，通过公式xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)来逐步逼近零点。
其中，f'(x)表示f(x)的导数。
三、平方根的性质平方根具有许多特殊的性质，下面介绍几个常见的性质。
1. 平方根的值为正数一个数的平方根的值必须为正数，因为一个数的平方总是大于等于0。
2. 平方根的值为无理数大部分数的平方根都是无理数，这是因为一个有理数的平方根只有在它是另一个有理数的平方时才是有理数。
3. 平方根的运算具有不可逆性平方根的运算具有不可逆性，即一个数的平方根不能唯一确定这个数本身。
比如，4的平方根可以是2或者-2。
四、平方根的应用平方根的应用非常广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
平方根的性质总结
平方根的性质总结平方根是数学中一个重要的概念，它与数学运算密切相关，具有一些独特的性质。
在本文中，我们将总结平方根的性质，并探讨其应用。
一、平方根的定义及表示形式平方根是指一个数的平方等于该数的根。
对于一个非负实数a，它的平方根的表示形式有两种：正平方根和负平方根。
1. 正平方根：一个非负实数a的正平方根是指一个非负实数x，满足x²=a。
正平方根用符号"√"表示，如√2代表2的正平方根。
2. 负平方根：一个非负实数a的负平方根是指一个负实数x，满足x²=a。
负平方根用符号"-√"表示，如-√2代表2的负平方根。
二、平方根的基本性质平方根具有以下几个基本性质，对于任意非负实数a和b成立：1. 非负性：平方根是非负的。
即√a ≥ 0，-√a ≤ 0。
2. 平方根的平方：平方根的平方等于原数，即(√a)² = a， (-√a)² = a。
3. 唯一性：非负实数a的正平方根存在且唯一。
但是，非负实数a的负平方根在实数范围内是不存在的。
4. 乘法与除法性质：对于任意非负实数a和b，有以下性质成立：a) √(a * b) = √a * √bb) √(a / b) = √a / √b5. 平方根的大小关系：对于任意非负实数a和b，如果a < b，则√a < √b。
三、平方根的应用平方根的性质广泛应用于各个领域，包括科学、工程和金融等。
以下是几个具体的例子：1. 几何学中，平方根的概念经常被用来求解两点之间的距离，尤其是在直角三角形中的勾股定理中。
2. 物理学中，平方根的性质应用于求解速度、加速度和力等相关问题，比如质点在重力作用下的自由落体问题。
3. 工程学中，平方根的概念被广泛用于测量和计算各种物理量，如电路中的电压、电流和阻抗等。
4. 金融领域中，平方根的性质应用于计算复利和利率，以及对投资组合风险的评估等。
总结：平方根是数学中一个重要的概念，具有自身的定义和表示形式。
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
平方根和开平方(基础)知识讲解学习资料
平方根和开平方（基础）知识讲解平方根和开平方（基础）【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果X2 a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“,a”表示，其中,a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；.a表示a的负平方根，读作“负根号a ” .要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即,.a > 0，a > 0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：■•一a和' a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•要点三、平方根的性质a a 0a2 | a | 0 a 0a a 0、a a a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位•例如：62500 250，. 625 25，一625 2.5，.0.0625 0.25 .【典型例题】【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为'、25 = 5，所以本说法正确；B.因为±"二±1,所以I是I的一个平方根说法正确;C.因为±..4 2=±、、16 = ±4，所以本说法错误；D.因为'一0 = 0，■ 0 = 0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题.举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正:(1)9没有平方根•()A.5是25的算术平方根B.I2C. 4的平方根是一 4D.0是I的一个平方根的平方根与算术平方根都是类型一、平方根和算术平方根的概念(2).16 4 .( )1 1(3)( —)2的平方根是一.( )1010(4)| 2是暮的算术平方根.( )【答案】V ；x； V； x,提示：(2)皿4;(4)§是善的算术平方根. 仇、填空：(1)_________ 4是的负平方根.(2)_____________ 16表示 __________________ 的算术平方根，、.16 -(3)______________________ ；的算术平方根为 .(4)___________________ 若3，则x ____________ ，若7 3，则x .【思路点拨】(3) 1就是丄的算术平方根二-，此题求的是-的算术平方V81 81 9 9根•1 1 1【答案与解析】(1)16 ;⑵ 一；—(3)-⑷9 ; ±316 4 3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:【变式1】下列说法中正确的有( )：①3是9的平方根. ②9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④8是64的负的平方根.A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】B;提示：①④是正确的•【变式2】(2015?凉山州)材苟的平方根是_____________ .【答案】土 3.解：因为 -=9, 9的平方根是土3,所以答案为土 3.03、使代数式屮灯〒有意义的x的取值范围是 __________________ .【答案】x > 1 ;【解析】x + 1>0,解得x > 1.【总结升华】当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 a >0, a >0.举一反三:【变式】代数式y二x 3有意义，则x的取值范围是______________________ 【答案】x 3.类型二、利用平方根解方程(2015春?鄂州校级期中)求下列各式中的x值,2(1)169x =1442(2)( x - 2) - 36=0 .【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解;(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】2解:( 1) 169x =144,2 144x =169x= 144 ■169，12x= 一13 .2(2)( x - 2) - 36=0,2(x - 2) =36,x - 2= 36 ,x - 2=±6,••• x=8 或x= - 4.【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用C5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米•求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x・3 X = 13233 x =1323x 21x = - 21（舍去）答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数。
平方根的概念与性质
平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。
在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。
在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。
在数学中，平方根通常用符号√来表示。
例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。
而√9则表示9的平方根，它的值为3。
在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。
在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。
1. 非负性：平方根是非负数。
根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。
因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。
2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。
对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。
例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。
3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。
一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。
例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。
4. 代数性：平方根具有代数性质。
对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。
- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。
- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。
在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。
在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。
加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。
通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。
在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。
平方根运算基本公式
平方根运算基本公式平方根运算，这可是数学里的一个重要知识点哦！咱先来说说啥是平方根。
比如说，一个数的平方等于 9 ，那这个数就是 9 的平方根。
因为 3 的平方是 9 ， -3 的平方也是 9 ，所以 9 的平方根就是 ±3 。
平方根运算有个基本公式，那就是：若 x² = a ，则x = ±√a 。
这里要注意啦， a 必须是非负数，也就是大于等于 0 。
就拿个简单的例子来说吧，咱算 16 的平方根。
因为 4 的平方是 16 ，-4 的平方也是 16 ，所以 16 的平方根就是 ±4 。
用公式表示就是：因为4² = 16 ，所以±√16 = ±4 。
我记得之前教过一个学生小李，他刚开始学平方根的时候，总是搞不清楚正负号的问题。
有一次做作业，题目是求 25 的平方根，他居然只写了 5 。
我就问他：“小李啊，你想想， (-5) 的平方是不是也等于 25 呀？”他恍然大悟，拍着脑袋说：“哎呀老师，我怎么给忘了！”从那以后，每次做平方根的题目，他都会特别注意正负号的问题。
再来说说平方根的一些性质。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0 ；负数没有平方根。
这就好比正数有两个“好伙伴”， 0 自己跟自己玩儿，负数连个“伙伴”都没有。
咱来做几道题练练手。
比如说求 100 的平方根，那就是 ±10 。
再比如求 0.09 的平方根，因为 0.3 的平方是 0.09 ， -0.3 的平方也是 0.09 ，所以 0.09 的平方根就是 ±0.3 。
在实际生活中，平方根的运算也有不少用处呢。
比如说，要计算一个正方形的边长，已知它的面积是 49 平方米，那边长就是 7 米，因为7 是 49 的平方根呀。
学习平方根运算的时候，可别嫌麻烦，多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就熟练啦。
就像骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快。
平方根的概念与性质
平方根的概念与性质平方根是数学中重要的概念之一，它涉及到数的运算和性质。
在本文中，我们将讨论平方根的概念以及它的性质，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、平方根的概念平方根是指一个数的平方等于给定数的根。
在数学符号表示中，平方根可以用符号√来表示。
例如，√9表示9的平方根，读作“根号9”，其结果为3。
平方根的概念最初由古代数学家引入，被广泛应用于各个数学领域。
二、平方根的性质1. 正平方根和负平方根：对于任何非负实数x，其正平方根表示为√x，结果是一个非负数。
而负平方根表示为-√x，结果是一个负数。
例如，√9 = 3，而-√9 = -3。
2. 平方根的存在性：对于非负实数x，它的平方根存在当且仅当x 非负。
即，如果x大于等于0，则存在一个非负实数y，使得y的平方等于x。
3. 平方根的唯一性：对于非负实数x，它的平方根是唯一确定的。
也就是说，给定一个非负实数x，只有一个非负实数y满足y的平方等于x。
4. 平方根的运算性质：平方根具有以下运算性质：a. 对于任意非负实数x和y，√(xy) = √x * √y。
这意味着两个非负实数的乘积的平方根等于每个实数的平方根的乘积。
b. 对于任意非负实数x和y，√(x/y) = √x / √y。
这意味着两个非负实数的商的平方根等于每个实数的平方根的商。
c. 对于任意非负实数x，y和正整数n，(x/y)^n = (x^n) / (y^n)。
这意味着两个非负实数的商的整数幂等于每个实数的整数幂的商。
5. 平方根的应用：平方根广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
例如，在几何学中，平方根可用于计算三角形的边长和面积。
在物理学中，平方根可用于计算速度、加速度和能量等。
在工程学中，平方根可用于设计曲线、计算电压和电流等。
总结：平方根是数学中重要的概念，它的概念和性质对于数学的学习和实际应用至关重要。
通过理解平方根的概念和运算性质，我们可以更好地解决各种实际问题，并在数学领域中进行更深入的研究和探索。
平方根个算术平方根知识点
平方根个算术平方根知识点一、知识概述《平方根和算术平方根》①基本定义：- 平方根呢，就是假如有一个数x，它的平方等于a，那x就叫做a 的平方根。
比如说，2的平方等于4，- 2的平方也等于4，所以2和- 2都是4的平方根。
- 算术平方根有点特别，它是一个数的平方根里正的那个。
还是拿4来说，4的平方根是2和- 2，但4的算术平方根就是2。
②重要程度：- 在数学里那可很重要的。
在代数里解方程的时候常常要用到，像求二次方程的解呀，没有平方根和算术平方根的知识可不行。
在几何里算一些图形的边长，有时候也会用到。
③前置知识：- 得先知道乘方运算，就是一个数乘它自己几次那种。
比如说3的2次方就是3乘以3等于9。
了解正数、负数和0的概念也是很必要的。
④应用价值：- 实际生活中不少地方有用。
比如说盖房子的时候算正方形的面积如果知道了面积，就能用平方根算出边长。
计算一些工程的用料，根据面积或者体积，可能就需要用到平方根和算术平方根的知识。
二、知识体系①知识图谱：- 在数学里它是属于数与代数这一板块的基础知识点。
下连二次方程这些，往上是为更高层的数学知识打基础。
②关联知识：- 与乘方反着来的，和二次方程、函数等知识点联系可密切了。
③重难点分析：- 重点就是要明白平方根有两个值（一正一负），算术平方根只有正的那个。
难点在于刚开始很容易搞混这两个概念，而且有时候涉及到字母表示数的时候，对于取值范围的确定也会有点难。
④考点分析：- 在考试里，经常会直接出那种让你求一个数的平方根或者算术平方根的题。
也会夹杂在方程或者函数题里面，要先求出平方根或者算术平方根才能进行下面的解题步骤。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 平方根的准确含义就是刚才说的，对于数a，如果有x²=a，那x 就是a的平方根。
这x可以是正数、负数或者0。
而算术平方根就是这个数的正的平方根（a是非负数的时候才有算术平方根）。
比如说9，因为3²= 9，(- 3)²= 9，所以3和- 3都是9的平方根，而3就是9的算术平方根。
知识卡片-算术平方根
算术平方根能量储备通关宝典★ 基础方法点方法点1：求一个正数的算术平方根与求这个算术平方根的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个正数的算术平方根可以转化为求一个正数的平方运算． 熟记1～30的平方数有助于快速解题．例：求下列各数的算术平方根： (1)49；(2)0.25；(3)1681；(4)179.解：(1)因为72＝49，所以49的算术平方根是7，即49＝7；(2)因为0.52＝0.25，所以0.25的算术平方根是0.5，即0.25＝0.5； (3)因为⎝⎛⎭⎫492＝1681，所以1681的算术平方根是49，即 1681＝49； (4)因为179＝169＝⎝⎛⎭⎫432，所以179的算术平方根是43，即179＝43. 方法点2：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小，如此在精确度范围内逐步确定出正数的算术平方根的取值范围，这种方法称为夹逼法．例：估算7的近似值(精确到0.01)．分析：先用夹逼法估算7的取值范围，再按照精确度确定结果．解：因为22＝4，32＝9，所以2<7<3.因为2.62＝6.76，2.72＝7.29，所以2.6<7<2.7.因为2.642＝6.969 6，2.652＝7.022 5，所以2.64<7<2.65.因为2.6452＝6.996 025，2.6462＝7.001 316，所以2.645<7<2.646.因为要求精确到0.01，所以7≈2.65.方法点3：若干个非负数之和为0，则每个非负数均为0.例：已知三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足|a－3|＋(2b－6)2＋√3−c＝0，试判断三角形ABC的形状．解：∵|a－3|≥0，(2b－6)2≥0，√3−c≥0，且|a－3|＋(2b－6)2＋√3−c＝0，∴|a－3|＝0，(2b－6)2＝0，√3−c＝0.∴a－3＝0，2b－6＝0，3－c＝0.∴a＝3，b＝3，c＝3.∴a＝b＝c.∴三角形ABC为等边三角形．★★易混易误点易混易误点1: 算术平方根与平方根的区别与联系例：判断下列各式是否正确，说明理由．(1)（－8）2＝－8；(2)（－8）2＝±8；(3)±（－8）2＝8.解：因为（－8）2＝8，所以(1)(2)中式子均不正确；因为±（－8）2＝±8，所以(3)中式子不正确．易混易误点2：审题不认真，被题目表面现象迷糊例：求4的平方根．误区分析：误将求4的平方根，当成求4的平方根而导致错误．解：∵4＝2，∴2的平方根是± 2.蓄势待发考前攻略考查利用算术平方根的定义求一个正数的算术平方根．题型以填空题、选择题为主．题目多是求100以内的正数(完全平方数)的算术平方根．完胜关卡。
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个基本概念，它在初中数学中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对初中数学中关于平方根的知识点进行整理。
1. 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。
例如，数a的平方根可以记作√a，即√a² = a。
如果一个数是正数，那么它有两个平方根，一个是正数，另一个是负数。
如果一个数是负数，那么它没有实数平方根。
2. 求平方根的方法有几种方法可以求解一个数的平方根：- 利用因数分解方法，将一个数分解成两个相同的因数，其中一个因数就是这个数的平方根。
- 使用开方运算符√，将数写成√a的形式，其中a是一个平方数。
- 使用近似方法，通过不断逼近一个数的平方根，直到所得结果与给定数的误差在可接受范围内。
- 利用平方根的性质，如平方根的乘法法则和平方根的整数性质，来简化计算过程。
3. 平方根的性质平方根具有以下几个重要的性质：- 平方根的乘法法则：√(a × b) = √a × √b。
即两个数的积的平方根等于每个数的平方根的乘积。
- 平方根的整数性质：如果一个数a的平方根是整数b，那么a是一个完全平方数。
- 平方根的递减性：如果a和b是两个正数，且a > b，那么√a > √b。
- 平方根的递增性：如果a和b是两个正数，且a > b，那么√a + √b > 2√ab。
4. 平方根的运算在进行平方根的运算时，需要注意以下几点：- 平方根具有数学运算优先级，即先进行平方根运算，再进行其他运算。
- 求解平方根时，结果可以是一个实数或虚数。
如果一个数的平方根是一个虚数，那么这个数是负数。
- 平方根和指数运算可以相互抵消。
例如，(a^b)^(1/b) = a，其中a和b是任意实数。
5. 平方根的应用平方根的概念和性质在数学和实际生活中都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 几何学中，平方根被用于计算物体的面积和体积。
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平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．
2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
要点诠释：一个正数a
a的负平方根用“
”表示；因
此，一个正数a
”表示，其中a叫做被开方数.
2.算术平方根的定义
正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）
.
要点诠释：
a
0，a≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2
）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
(0)
||0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
()
2
a a
=≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
250
=
25
=
2.5
=
0.25
=. 【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（ ）
A.5是25的算术平方根
B.l 是l 的一个平方根
C.()24-的平方根是－4
D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C ；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为25＝5，所以本说法正确；
B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；
D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）9-没有平方根．（ ）
（2）164=±．（ ）
（3）21()10-的平方根是110
±．（ ） （4）25--
是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）164=；（4）25是425
的算术平方根． 2、（2015•前郭县二模）观察下列各式：
=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n≥1）个等式写出来______________________________.
【思路点拨】根据所给式子，找规律．
【答案】
．
【解析】
解：=（1+1）
=2， =（2+1）
=3， =（3+1）=4，
…
， 故答案为：．
【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．
举一反三：
【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是 ．
【答案】7．
类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值． 2222252434-+；111200.36900435 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：22
22252434-+49257535==⨯=； 1118111200.369000.630435435=⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根2(0)a a a =>来解．
举一反三：
【变式】求下列各式的值：
（1）25 （28136（30.040.25（440.36121
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
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类型三、平方根的应用
4、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求
长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为x，长为3x，
由题意得，x·3x＝1323
32x＝1323
x=±
21
x＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。