平方根 知识讲解

平方根

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．

2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.

要点诠释：一个正数a

a的负平方根用“

”表示；因

此，一个正数a

”表示，其中a叫做被开方数.

2.算术平方根的定义

正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）

.

要点诠释：

a

0，a≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

(0)

||0(0)

(0)

a a

a a

a a

>

⎧

⎪

===

⎨

⎪-<

⎩

()

2

a a

=≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

250

=

25

=

2.5

=

0.25

=. 【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（ ）

A.5是25的算术平方根

B.l 是l 的一个平方根

C.()24-的平方根是－4

D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C ；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.因为25＝5，所以本说法正确；

B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；

C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；

D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）9-没有平方根．（ ）

（2）164=±．（ ）

（3）21()10-的平方根是110

±．（ ） （4）25--

是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，

提示：（2）164=；（4）25是425

的算术平方根． 2、（2015•前郭县二模）观察下列各式：

=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n≥1）个等式写出来______________________________.

【思路点拨】根据所给式子，找规律．

【答案】

．

【解析】

解：=（1+1）

=2， =（2+1）

=3， =（3+1）=4，

…

， 故答案为：．

【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．

举一反三：

【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：

根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是 ．

【答案】7．

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值． 2222252434-+；111200.36900435 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：22

22252434-+49257535==⨯=； 1118111200.369000.630435435=⨯-⨯90.26 1.72

=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根2(0)a a a =>来解．

举一反三：

【变式】求下列各式的值：

（1）25 （28136（30.040.25（440.36121

【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）

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类型三、平方根的应用

4、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求

长和宽各是多少米？

【答案与解析】

解：设宽为x，长为3x，

由题意得，x·3x＝1323

32x＝1323

x=±

21

x＝－21(舍去)

答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.