平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算

知识点一：向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

⑵运算律：①；②；③．

⑶坐标运算：设，则．

知识点二：向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，

使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

知识点三：平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向

量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不

共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

知识点四：分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别

是，，当时，点的坐标是．（当

知识点五：平面向量的数量积：

⑴．零向量与任一向量的数量积为．

⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．

⑶运算律：①；②；③．

⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或．设，，则．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

数学 平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】

一、选择题.

1.下列各向量中，与=(3,2)垂直的向量是( )

A. =(3,-2)

B. =(2,3)

C. =(-4,6)

D. =(-3,2)

2.若=(2,3), =(-4,7),则在方向上的投影为( )

A. B. C. D.

3.已知向量=(3,-2), =(m+1,1-m)，若⊥，则m的值为( )

A. B.- C.-1 D.1

4.已知向量｜｜=5,且=(3,x-1),x∈N,与向量垂直的单位向量是(

)

A.(，-)

B.(-，)

C.(- ，)或(，-)

D.(

，-)或(-，)

5.若=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ)，则( )

A. ⊥

B. ∥

C.( +)⊥(-)

D.(

+)∥(-)

6.已知=(1, ), =(+1, -1),则与的夹角为( )

A. B. C.

D.

7.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角

形 D.等腰三角形或直角三角形

8.已知=(-2,-1), =(λ,1).若与的夹角为钝角，则λ的取值范围

是( )

A.(- ，+∞)

B.(2，+∞)

C.(- ，

+∞) D.(-∞,- )

9.已知=(x1,y1),=(x2,y2)，则在下列各结论中为·=0的充要条件的

是( )

①=或=或⊥ ②⊥ ③x1y1+x2y2=0 ④x1x2+y1y2=0

A.①③

B.②③

C.③④

D.①④

10.已知与的夹角的余弦为-，则，的坐标可以为( )

A.(4，3)，(-12，5)

B.(3，4)，(5，12)

C.(-3，

4)，(5，-12) D.(-3，4)，(-5，12)

二、填空题

1.已知=(4,3), =(-1,2)，则与的夹角为 .

2.已知=(3,-5), =(-4,-2),则·= .

3.顺次连接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四边形是 .

4.以原点和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，则

向量为 .

5.已知向量=(1,2), =(x,1),分别求出当+2与2-平行和垂直时实数x

的值 .

6.已知=(2,1),=(-1,-1), =+k,=+,与的夹角是，则实数k的值

.

三、解答题

1.已知=(1,-2), =(4,3)

求(1) 2 (2) 2 (3) ·

(4)(3+2)·(-3) (5) 与的夹角

(6) 在上的投影

2.已知：点A(0，3)，B(6，3)，AD⊥OB，垂足为D，求点D的坐标.

3.已知A(-2，3)，正方形OABC，求点C、点B的坐标.

【素质优化训练】

1.已知=(-1,0), =(1,1), =λ+μ(λ、μ∈R)，若⊥，且｜｜=2,试求λ、μ的值及向量c的坐标.

2.若=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ)，用｜k+｜=｜-k｜(k∈R，k≠0),试用k表示·.

3.已知=(-3,-2), =(-4,k),若(5-)·(-3)=-55,求实数k的值.

4.求与向量=(,-1)和=(1, )的夹角相等，且模为的向量的坐标.

5.已知矩形ABCD的相对顶点A(0，-1)，C(2，5)，且顶点B到两坐标轴的距离相等，求顶点D的坐标.

【生活实际运用】

如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明

(1)PA=EF (2)PA⊥EF

证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜｜=λ,则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)

∴=(-λ,1-λ), =(λ-1,- λ)

(1)｜｜2=(-λ)2+(1-λ)2=λ2-λ+1

｜｜2=( λ-1)2+(-λ)2=λ2-λ+1

∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF

(2) ·=(-λ)( λ-1)+(1-λ)(- λ)=0

∴⊥ ∴PA⊥EF.

【知识探究学习】

已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使

∠ACB最大，并求出最大值.

解，设C(x,0)(x＞0)

则=(-x,a), =(-x,b)

则·=x2+ab.

cos∠ACB=