二矩阵乘法的性质

矩阵A的第1行的行向 量与矩阵B的第1列的 列向量的数量积
c21 a21 b11 a22 b21 a23 b31 c22 a21 b12 a22 b22 a23 b32
矩阵A的第2行的行向 量与矩阵B的第1列的 列向量的数量积
那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作C=AB。


2 1
33,
D


1 2
55
求：(1)AB和BA；(2)AC和AD；(3)(BA)C和B(AC)
(4)A(C+D)和AC+AD；
解：(1)
AB


0 0
00
BA


3 3
3 3

(2)
AC


3 3
00
AD


3 3
2. 定义的推广 一般地，设A是mk阶矩阵，B是kn阶矩阵，
设C为mn矩阵。
a11 a12 a1k b11 b12 b1n c11 c12 c1n
C

AB

a21

am1
a22
am2

a2k b21
amk

乙同学的语文总评成绩为 900.3+700.3+800.4=80
丙同学的语文总评成绩为 600.3+800.3+900.4=78
75
C 80

78
我们还可以利用矩阵某种运算得到上述 总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。
1. 矩阵乘法的定义
A


a11 a21

c1 c2
用矩阵的乘法运算来表示。
解：用矩阵乘法运算来表示：

a1 a2
b1 b2

x y



c1 c2

2、
已知矩阵
A


0 1
1 0

，矩阵
B


1 2
，求AB。
解： AB


2 1

向量

12
经过矩阵A变换为向量
1、必做题：练习册P47/3(2)(3)，P48/5(2)，P49/2 2、思考题：(A)练习册P50/4
(B)如果AB=BA，矩阵B就称为与A可交换，
设A


1 0
11，求所有与A可交换的矩阵B。
3、选做题：用数学归纳法证明：
1 1n 1 n 0 1 0 1 (n N*)


6 6
0 0

AC

AD


3 3
00


3 3
00


6 6
00
（1）两矩阵可乘的条件： 矩阵A的列数与矩阵B的行数是相等的。
（2）在数乘中，ab=0a=0或b=0； 在矩阵中，AB=0 A=0或B=0
（3）在数乘中，ab=ba；
bk1
b22
bk 2

b2n
bkn



c21
cm1
c22
cm2

c2n
cmn

如果矩阵C中第i行第j列元素cij是矩阵A第i个行 向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩
阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB
cij ai1 b1 j ai2 b2 j aik bkj (i 1,2，m; j 1,2,n)
在矩阵中， 一般情况下，AB BA
（4）在数的乘法中，ab=ac且a0b=c； 在矩阵乘法中，AB=AC且A0 B=C
5. 进一步有
分配律 结合律
AB+AC=A(B+C) (A+B)C=AC+BC (AB)C=A(BC)
1、
将二元一次方程组aa12xx

b1 y b2 y
a12 a22
a13 a23
,
B


b11 b21 b31
b12
b22
b32

C


c11 c21
c12 c22

如果 c11 a11 b11 a12 b21 a13 b31
c12 a11 b12 a12 b22 a13 b32
00
(3)
(BA)C


3 3
3 3

2 1
33


9 9
00
B(
AC
)


2 2
11
3 3
00


9 9
00
(4)
A(C

D)

1 1
Байду номын сангаас
11
3 3
2 2

思考问题的另解
80 70 75
0.3
A 90 70 80 B 0.3

60
80
90

0.4

75
C AB 80

78
例1:设
A


1 1
11,
B


2 2
11, C
思考问题： 记甲、乙、丙三位同学的语文平时、期中、期末 成绩为矩阵A，平时、期中、期末成绩的所占比例为 矩阵B，这三位同学的语文总评成绩用矩阵C表示。
80 70 75
A 90 70 80

60
80
90
0.3
B 0.3

0.4

解：甲同学的语文总评成绩为 800.3+700.3+750.4=75
，

2 1

。
变换后的向量和原向量关于 直线y=x 对称。
1． 当矩阵A 的列数与矩阵B的行数相同时， 两矩阵可以相乘。
2． 若C=AB，则矩阵C中第i行第j列元素cij 是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个 列向量的数量积。
3． 矩阵的乘法满足结合律和乘法对加法的分配律。
4． 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律。