二次函数图象的几何变换经典例题讲解
二次函数图象的几何变换(图文运用)
二次函数图象的几何变换知识点拨一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称例题精讲【例12】 如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．DCBAO【例13】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例14】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例15】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例16】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++【例17】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例18】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例19】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例20】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．yxO A B My x O A B MMNBAO x y⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例21】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．Oyxh(x)=(x -2)2。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
二次函数知识点及典型例题
二次函数一、二次函数的几何变换二、二次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求二次函数的解析式1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。
2、顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。
4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2。
5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2+c 。
6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2h x a y -=。
7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。
四、抛物线的对称性1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=2x x 21+。
2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2nm +。
3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(ab-, c)。
五、二次函数与一元二次方程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。
要分三种情况：1、 判别式△=b 2-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个不同的交点（ab 24acb -2+，0）（a b 24ac b --2，0）。
有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=ac 。
2、 判别式△=b 2-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（ab 2-，0）。
3、 判别式△=b 2-4ac=0⇔抛物线与x 轴无交点。
六、二次函数与一元二次不等式的关系1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。
中考专题 二次函数图象的几何变换 考点分析 例题 变式 解析
内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题1． 理解各个解析式图象之间的联系及性质； 2． 掌握二次函数平移的性质；3． 理解平移前后的解析式与平移变换之间的关系； 4． 掌握二次函数的对称变换的性质； 5． 会写出二次函数关于直线对称后的解析式； 6． 会写出二次函数关于点成中心对称后的解析式； 7． 掌握函数图象旋转前后的性质。
你知道“函数”的来历吗？现行数学教科书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成函数的．课前预习重难点中考要求二次函数图象的几何变换中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．模块一二次函数的平移1.几种二次函数解析式之间的平移关系：①函数2y ax k=+的图象可以看做是由函数2axy=的图象向上或向下平移||k个单位得到的；k>时，向上平移；0k<时，向下平移。
②函数()2y a x h=-的图象可以看做是由函数2axy=的图象向左或向右平移||h个单位得到的；h>时，向右平移；0h<时，向左平移。
③函数()2y a x h k=-+的图象可以看做是由函数2axy=的图象先向左或向右平移||h个单位，再向上或向下平移||k个单位得到的；当0h>时，向右平移，当0h<时，向左平移；0k>时，向上平移，0k<时，向下平移。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
二次函数几何变换
注意问题：
1.是否可取等号问题 2.解析式是否发生变化 3.是否考虑全面
练1.二次函数 y = x2 + bx + c 的顶点坐标为M（1，-4）.
（1）求二次函数的解析式 （2）将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答： 当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围
△△△ >0 =0 <0 21无 个个交 交交点 点点
3 与非平行于坐标轴的直线交点
y
y=kx+b
x
基础练习
(1)判断直线y x 1
y 与x抛2 物3x线 1
交点情况？
如果有交点，请求y 出交x 点1 坐标。 解：联立 y x2 3x 1
x2 2x 0
得
△ =4 >0
所以有两个交点，交点坐标为（0，1）和（2，-1）
平移后的抛物线与 直线联立，根据判 别式来进行确定。
n=0
解题思路：
1 列出平移后的函数 解析式。 y=4x+6+n B(-1-n,0) C(3-n,0)
二次函数 几何变换与交点问题
新东方初中数学组 张志安
平移 旋转 翻折
一 平移
抛物线平移问题
例1.将抛物线 y = 2x2 + 4x - 3 向右平移3个单位， 再向上平移5个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
方法一：顶点平移
y = 2x2 + 4x - 3 = 2(x +1)2 - 5
顶点坐标为（－1，－5）
y 2x2 - 4x - 2
练1：
第8讲 二次函数的解析式和图象变换(学生版)
知识导航经典例题1在平面直角坐标系中，抛物线2已知二次函数的图象以3已知抛物线4在平面直角坐标系中，二次函数5若二次函数知识导航经典例题1如果将抛物线2如果将某一抛物线向右平移3将抛物线4已知抛物线知识导航经典例题1将二次函数2抛物线3将二次函数4先作二次函数1在平面直角坐标系中，抛物线2如图，已知抛物线帝通过数来统治宇宙。
这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。
他们很重视数学，企图用数来解释一切。
宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。
他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。
这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。
但是，他们同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为'万物皆数'，'数是万物的本质'，是'存在由之构成的原则'，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。
毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。
毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。
这定理早已为巴比伦人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。
他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理。
这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．【毕达哥拉斯定理】毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了'三角形内角之和等于两个直角'的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
【黄金分割】然而，最让毕达哥拉斯学派出名的却是他们中的一个'叛逆者'--希帕索斯，正是他发现了第一个无理数根号2的存在，从而在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
2019备战中考数学专题-二次函数图像的几何变换(含解析)
2019备战中考数学专题-二次函数图像的几何变换（含解析）一、单选题1.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. y=3（x+2）2+3B. y=3（x﹣2）2+3C. y=3（x+2）2﹣3D. y=3（x﹣2）2﹣32.如图，将函数y= （x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A. B. C.D.3.将抛物线y=3x2先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）A. y=3（x+1）2+1B. y=3（x+1）2﹣1C. y=3（x﹣1）2+1D. y=3（x﹣1）2﹣14.抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（）A. ±1B. 0C. 1D. -15.将抛物线y=3x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A. y=3(x-2)2+1B. y=3(x-2)2-1C. y=3(x+2)2+1D. y=3(x+2)2-16.将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，所得函数表达式为（）A. y=（x+1）2+2B. y=（x﹣1）2+2C. y=（x﹣1）2﹣2D. y=（x+1）2﹣27.抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A. y=3（x﹣1）2﹣2B. y=3（x+1）2﹣2C. y=3（x+1）2+2D. y=3（x﹣1）2+28.抛物线y=3x2﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）A. y=3x2﹣5B. y=3x2﹣4C. y=3x2+3D. y=3x2+49.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A. y=（x+2）2+2B. y=（x-2）2-2C. y=（x-2）2+2D. y=（x+2）2-210.将抛物线y=2x2向右平移2个单位，能得到的抛物线是（）A. y=2x2+2B. y=2x2﹣2C. y=2（x+2）2D. y=2（x﹣2）211.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（）A. B. C.D.二、填空题12.已知二次函数y=2x2向左平移3个单位，再向下平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式为________．13.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（35，m）在此“波浪线”上，则m的值为________．14.把抛物线y=﹣x2向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是________．15.抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为________16.如图，将二次函数y=（x﹣）2﹣2的图象向上平移m个单位得到二次函数y2的图象，且与二次函数y1=（x+2）2﹣4的图象相交于A，过A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B，C，当AC= BA时，m的值是________．17.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为________三、解答题18.已知点（3，0）在抛物线y=﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．四、综合题19.已知二次函数y= x2，根据下列平移条件求平移后的函数关系式．（1）向右平移，使图象过点（1，3）；（2）上下平移，使图象过直线y= x+2与x轴的交点．20.已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）在给出的直角坐标系中画出它的示意图；（2）观察图象填空：①当x________时，y随x的增大而减小；②使x2﹣4x+3＜0的x的取值范围是________；③将图象向左平移1个单位再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为________．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．（1）若函数y=x2+m的图象过点C，求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过A点．（2）若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．2.【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】∵函数y= （x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m= （1-2）2+1=1 ，n= （4-2）2+1=3，∴A（1，），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），∴AC=4-1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y= （x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y= （x-2）2+4．故答案为：D．【分析】阴影部分为不规则图形，但是可通过割补法将图形割补成一个平行四边形，从而根据面积得到平移的距离，从而写出平移后的函数解析式。
二次函数之图形的变换问题.doc
二次函数之图形的变换题型一：平移问题1．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝2112x +、y ＝2112x -所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位．2．已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。
⑴ 求a 和b 的值；⑵ C B A '''∆与ABC ∆开始时完全重合，然后让ABC ∆固定不动，将C B A '''∆以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动。
① 设x 秒后C B A '''∆与ABC ∆的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围； ② 几秒后重叠部分的面积等于83平方厘米？ABCMA'B'C'y xB'A'D'C'NG(M)DBCO(A)Iy xB'A'D'C'NM DBCG O(A)I yxNMDBCO(A)3． 如图1，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A 在坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，经过B 、C 、D 三点的抛物线c 1交x 轴于点M 、N(M 在N 的左边). (1)求抛物线c 1的解析式及点M 、N 的坐标；(2)如图2，另一个边长为22的正方形////D C B A 的中心G 在点M 上，/B 、/D 在x 轴的负半轴上(/D 在/B 的左边)，点/A 在第三象限，当点G 沿着抛物线c 1从点M 移到点N ，正方形随之移动，移动中//D B 始终与x 轴平行.①直接写出点/A 、/B 移动路线形成的抛物线/)(c A 、/)(c B 的函数关系式；②如图3，当正方形////D C B A 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时，求点G 的坐标．24．如图，已知经过原点的抛物线y=-2x 2+4x 与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m (m >0)个单位，所得抛物线与x 轴交与C 、D 两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式。
二次函数图象的平移和对称变换
2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一 、 平 移 。
例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。
例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。
法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。
22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
专题03 二次函数背景下的图形变换(解析版)
【方法综述】本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。
因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。
二次函数背景下的图形变换主要分成两类：一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。
另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。
对于此类问题首先要掌握每一种图形变换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。
【典例示范】例1：（2018年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.（2）∵,，∴，，可得旋转后点的坐标为，当时，由得，可知抛物线过点，∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点，则平移后的抛物线解析式为：；（3）∵点在上，可设点坐标为，将配方得，∴其对称轴为，①当时，如图①，∵，∴，∵，此时，∴点的坐标为；针对训练1．（山东济南模拟）如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣x﹣对称．（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：（3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣，0），B（，0）；抛物线解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）∵直线y=﹣x﹣与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣x﹣对称，∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣，∴D（﹣，﹣3），∴﹣3=m﹣m﹣m，∴m=，∴抛物线解析式y=x2+x﹣；根据对称性可得PQ=P'Q ，PE=EP'=P'E'， ∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，∴当D ，Q ，E'三点共线时，DQ+PQ+PE 值最小， 即DQ+PQ+PE 最小值为DE'， ∵D （﹣，﹣3），E'（，3），∴DE'=12，∴DQ+PQ+PE 最小值为12；∵A（﹣，0），M（3，3），∴E（3﹣3，3+），∴直线AE解析式：y=x+，∴F（0，），若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，同理可得：F（0，﹣）.2.（云南腾冲期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，O求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．【答案】（1）y=（2）y=x（3）M（，0）、A（0，2）、（0，-2）、（，0）依题意,可得且直线过原点，设直线的解析式为y=kx,则解得所以直线l的解析式为可证均为等边三角形，可求得：①所以点的坐标为②点与点A重合,所以点的坐标为(0,2)，③点与点A关于x轴对称,所以点的坐标为(0,−2)，④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，且所以点的坐标为综合所述，到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：3．（陕西省西安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（–3，0）、B（1，0）．(1)求平移后的抛物线的表达式．(2)设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？(3)若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D 为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．【来源】陕西省西安市西安铁一2017-2018学年九年级下第五次模拟考试数学试卷（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），如图1，连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，则，解得，所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，OD=，∵BO=1，∴BD=，∵∠BOD=135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD=∠ODM=135°，∴当或时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，①若，则，解得DM=2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若，则，解得DM=1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．4．（聊城市2018年中考）如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点.矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点，.当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为.（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当时，求的值；（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？【答案】（1）y=-x2+2x．（2）．（3）S=-t2+t-，当t=时，S有最大值，最大值是．（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN•OB=．（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），∴点M的坐标为（t，-t2+2t），点N的坐标为（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）•AB=×1×[-t2+2t-（t+1）2+2（t+1）]，=-t2+t+，=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=4时，S取最大值，最大值为；∴S=（5-t）（-t2+2t+5）+（t-4）[5-（t+1）2+2（t+1）]，=（t3-3t2+5t+25）+（-t3+t2+t-），=-t2+t-，=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵=＜，∴当t=时，S有最大值，最大值是．5．（南充市期末）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点．【答案】（1）y=x2﹣1；（2））△ABM为直角三角形，理由详见解析；（3）当m＜时，平移后的抛物线总有两个不动点．解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），∴AM=，AB=，BM=，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；6．（沈阳市沈河区2018年中考二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（1，0），与y轴交于C，直线l1经过点C且平行于x轴，与抛物线的另一个交点为D，将直线l1向下平移t个单位得到直线l2，l2与抛物线交于A、B两点．（1）求抛物线解析式及点C的坐标；（2）当t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点M（m，0）在x轴上自由运动，过M作MN⊥x轴，交直线BC于P，交抛物线于N，若三个点M、N、P中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重合除外），则称M、N、P三点为“共谐点”，请直接写出使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值．【答案】（1）点C的坐标为（0，﹣1）；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析；（3）使得M、P、N三点为“共谐点”的m 的值为或或或．（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵t=2，直线l1：y=﹣1，∴直线l2：y=﹣3．当y=﹣3时，﹣x2+x﹣1=﹣3，解得：x1=﹣1，x2=4，∴点A的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（4，﹣3）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴AC=，BC=，AB=5．∵AC2+BC2=25=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．（3）设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），将B（4，﹣3）、C（0，﹣1）代入y=kx+d，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣1．∵点M的坐标为（m，0），∴点N的坐标为（m，﹣m2+m﹣1），点P的坐标为（m，﹣m﹣1）．②当点N为中点时，有0﹣（﹣m2+m﹣1）=﹣m2+m﹣1﹣（﹣m﹣1），整理得：2m2﹣7m+2=0，解得：m1=，m2=；③当点P为中点时，有0﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣1﹣（﹣m2+m﹣1），整理得：m2﹣5m﹣2=0，解得：m3=，m4=．综上所述：使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为或或或．7．（2018培优提高单元检测）如图，、两点在一次函数与二次函数图象上．求的值和二次函数的解析式．请直接写出使时，自变量的取值范围．说出所求的抛物线可由抛物线如何平移得到？【来源】2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上_第1-2章_二次函数和简单事件的概率_培优提高单元检测试题【答案】；当时，；所求抛物线可由抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位而得到．∴；∵，抛物线开口向上，∴，∴当时，；∵抛物线，∴所求抛物线可由抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位而得到．8．（2018年河南省商丘市中考数学一模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴的交点为A，抛物线的顶点为B（1，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）点P为x轴上一点，当三角形PAB的周长最小时，求出点P的坐标；（3）水平移动抛物线，新抛物线的顶点为C，两抛物线的交点为D，当O，C，D在一条直线上时，请直接写出平移的距离．【来源】【全国市级联考】2018年河南省商丘市中考数学一模试卷【答案】(1) y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2 (2) P（，0）(3) 平移距离为2或3（2）∵A（0，﹣2），B（1，﹣3），∴AB=，∵△ABP的周长=PA+PB+AB=PA+PB+，∴当PA+PB最小时，△ABP的周长最小;作A点关于x轴的对称点A'（0，2），连接A'B,设直线A'B解析式y=kx+b,根据题意得：,解得：k=﹣5，b=2∴直线A'B的解析式y=﹣5x+2；当y=0时，x=，∴P（，0）；∵C（1+m，﹣3，），O（0，0），∴直线CO解析式y=x，∵O，C，D三点共线，∴=，解得：m1=0（不合题意舍去），m2=﹣3，m3=2；∴向右平移2个单位长度，或向左平移3个单位长度，O，C，D三点共线．∴平移距离为2或3.9．（吉林长春二模）已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．（1）求tan∠OPQ的值；（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．①求抛物线C′的解析式；②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．【答案】（1）1；（2）①y=x2﹣2x+，；②A（，）．．②方法一：设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+①，过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，连接FP，∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，∵A（x0，y0），F（1，），∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+=x02﹣2x0++y02﹣y0=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0，②∵y0=x02﹣2x0+①，将①右边整体代换②得，AF2=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02，∵y0＞0，∴AF=y0，∴y0=y0﹣n，∴n=0，∴N（x0，0），将x0=代入y0=x2﹣2x0+，∴y0=，∴A（，）．方法二：由①有，Q'（0，），F（1，），P（1，0），∴直线FQ'的解析式为y=x+,①∵FQ'⊥PK，P（1，0），∴直线PK的解析式为y=x﹣，②联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（，），∵点P，K关于直线FQ'对称，∴K（，），∵F（1，），∴直线FK的解析式为y=x+③，∵射线FK与抛物线C′：y=x2﹣2x+④相交于点A，∴联立③④得，，,或（舍）,∴A（，）．10．（人教版数学九年级（上)第22章二次函数压轴题专项训练）已知抛物线L：y＝x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A 在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2，顶点D的坐标为（，﹣）；(2)△ABC是直角三角形，△ABC的面积是5；(3)所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝．(2)当y＝0时，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1＝﹣1，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，则点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣2），∴AB＝5，AC＝，BC＝2，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是：＝5；(3)∵抛物线向左或向右平移，∴平移后A′B′与平移前的AB的长度相等，∴只要平移后过（0，﹣2）或过（0，2）即满足条件，当向右平移时，令y＝，当x＝0时，y＝＝2，得a＝，此时y＝＝，当向左平移时，令y＝，当x＝0时，y＝＝±2，得m＝或m＝3，当m＝时，y＝，当m＝3时，y＝﹣2，由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝﹣2．类型二、二次函数为背景的折叠变换例2．（吉林省长春市朝阳区东北师大附中2018年中考模拟）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数图象上一点，过点M作轴，如果二次函数的图象与关于l成轴对称，则称是关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点M是二次函数图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数是关于点M的伴随函数．若，求的函数表达式．点，在二次函数的图象上，若，a的取值范围为______．过点M作轴，如果，线段MN与的图象交于点P，且MP：：3，求m的值．如图3，二次函数的图象在MN上方的部分记为，剩余的部分沿MN翻折得到，由和所组成的图象记为.以、为顶点在x轴上方作正方形直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．【答案】的函数表达式为，；或，当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．轴，MP：：3，∴，当时，，，当时，，，故或；分析图象可知：当时，可知C1和G的对称轴关于直线对称，的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，当时，G与正方形ABCD有三个公共点，当时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，当1＜m＜时，G与正方形ABCD有五个公共点，当m＝时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，当＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，当时，G过点且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，故当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．针对训练1．（辽宁省本溪市2018年中考数学试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．【答案】（1）顶点D的坐标为(1，4)；（2）当时，S取得最大值，最大值为；（3）把P′坐标（）代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，得解得，∴直线解析式为，，∴，，∴当时，取得最大值，最大值为；（3）当取得最大值，，，∴，∴四边形是矩形，作点关于直线的对称点，连接，，解得，∵，∴，由，可得，，∴，∴坐标；法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为，易证，∴，设，则，∴，，2．（江西省赣州市2018届中考模拟）如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L1上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L1沿直线l翻折得到抛物线L2，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．（1）当L1与L2重合时，求点P的坐标；（2）当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出L1与L2中，y均随x的增大而减小时的x的取值范围；（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n=m时，求△PMB的面积．【答案】（1）P（1，4）；（2）x≥5；（3）△PMB的面积为或3（2）在抛物线L1中，令y=0，即-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3当点P与点B重合时，此时P（3，0）∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称∴抛物线L2的顶点为（5，4）∵由抛物线对称性可知，抛物线L1和L2开口方向和大小相同．∴抛物线L2和的解析式为y=-（x-5）2+4=-x2+10x-21∴结合图象可知，当x≥5时，抛物线L1与抛物线L2中，y均随x的增大而减小（3）当n=m时，-m2+2m+3=m解得m1=-，m2=2∴点P坐标为（-，-）或（2，3）①如图1，当点P坐标为（-，-）时，点D的坐标为坐标为（-，0）∴DB=3-（-）=∴MB=2BD=2×=9∴S△PMB=•MB•PD＝×9×＝∴S△PMB=•MB•PD＝×2×3＝3综上所述当点n=m时，△PMB的面积为或3.3．（2018赤峰市模拟）已知抛物线与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），其对称轴是x=3，该函数有最小值是﹣2．（1）求二次函数解析式；（2）在图1上作平行于x轴的直线，交抛物线于C（x3，y3），D（x4，y4），求x3+x4的值；（3）将（1）中函数的部分图象（x＞x2）向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，如图2，在（2）中平行于x轴的直线取点E（x5，y5）、（x4＜x5），结合函数图象求x3+x4+x5的取值范围．【答案】(1) y=（x﹣3）2﹣2．（2）x3+x4=6．（3）11＜x3+x4+x5＜9+2．（2）由二次函数图象的对称性质得出当纵坐标相等时，x3+x4=6．（3）由已知条件可知直线与图象“G”要有3个交点．①当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数图象的轴对称性质可求x3+x4+x5＞11．②当直线经过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2．令﹣（x﹣3）2+2=﹣2时，解得：x=3±2，其中x=3﹣2（舍去），∴x3+x4+x5＜9+2．综上所述：11＜x3+x4+x5＜9+2．4．（2018-2019学年度第一学期人教版五四制九年级数学第28章二次函数单元测试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．求这个二次函数的表达式．连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为，四边形的面积的最大值为．【解析】解：将、两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：；∵，∴，又∵，∴∴；∴解得，（不合题意，舍去），∴点的坐标为过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设，设直线的解析式为：，则，解得：∴直线的解析式为，则点的坐标为；当，5．（扬州市广陵区2018年中考数学模拟）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x=3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C （x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣2；（2）11＜x3+x4+x5＜9+2．（2）如图所示：由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4=6，∴x3+x4+x5＞11，当直线过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2，∴令（x﹣3）2+2=﹣2时，解得x=3+2或x=3﹣2（舍去）∴x3+x4+x5＜9+2．综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．6．（北京市海淀区2018届九年级二模数学试题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．（1）写出函数的限减系数；（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．【答案】（1）2；（2）（3）【解析】解：（1）函数的限减系数是2；∴，与函数的限减系数不符.∴．若，（，）和（，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，∵，且，∴，当时，等号成立，故函数的限减系数．∴的取值范围是．（3）．7．（九年级数学北师大版下册同步测试题）已知关于x一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根（1）求k取值范围；（2）当k最小的整数时，求抛物线y= x2-2(k+1)x+k2-2k-3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m值．【答案】(1) k＞-1;(2) 顶点坐标为（1，-4）, x轴相交于点（-1，0）和点（3，0）;(3) m=1或m=(2)∵k>−1，且k取最小的整数，∴k=0.∴(3)翻折后所得新图象如图所示，平移直线y=x+m知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，①当直线位于时,此时过点A(−1,0)，∴0=−1+m，即m=1.②∵当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点∴方程即有两个相等实根，∴△=1−4(m−3)=0,即综上所述,m的值为1或类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题例3：（无锡市惠山区锡山高中2018年中考数学一模）如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+m交x轴于点A，二次函数y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D，已知CD与x轴平行，且S△ACD：S△ABD=3：5．（1）求点A的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转α°（0°＜α°＜360°）得到线段A'C'（点A，A'是对应点，点C，C'是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax2﹣3ax+c的图象上？若存在，请直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) A（﹣1，0）;(2) y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2;(3)见解析.【解析】解：（1）∵S△ACD：S△ABD=3：5．且△ACD和△ABD是等高的.∴.∴AB=5.∵直线y=x+m与x轴交于A点，∴A（﹣2m，0）.∵点A，点B关于对称轴x=对称.∴2×[﹣（﹣2m）]=5.∴m=.∴A（﹣1，0），且AB=5.∴B（4，0）.（3）∵点A在直线l上，旋转后A'点落在直线l上，∴点A与点A'重合，或者点A绕着点P旋转180°.当点A与点A'重合时，A'（﹣1，0）.当点A绕着点P旋转180°得到A'，点C绕着点P旋转180°得到C' ∴AP=A'P，CP=CP'.如图2:设C'（a，﹣a2+a+2）.∵C（0，2），CP=CP'.∴P（a，﹣a2+a+2）.∵点P在直线l上，∴﹣a2+a+2=a+.∴P（，）.∵AP=AP'.∴A'（2﹣，）.综上所述A'（2﹣，），（2+，），（﹣1，0）.针对训练1.（208宁波市江北中学）已知直线，抛物线．当，时，求直线与抛物线的交点坐标；当，时，将直线绕原点逆时针旋转后与抛物线交于，两点（点在点的左侧），求，两点的坐标；若将中的条件“”去掉，其他条件不变，且，求的取值范围．【答案】(1) 直线与抛物线的交点坐标是或；(2) ，；(3)．∴旋转后的直线的解析式为，解得或，∴，；2．（广西玉林市2018届九年级中考三模）如图，抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，3），点D是x轴上一动点，连接CD，将线段CD绕点D旋转得到DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l 于F，连接DF．（1）求抛物线解析式；（2）若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到，求线段DF的长；（3）若线段DE是CD绕点D旋转90°得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标．【答案】(1) 抛物线解析式为y=﹣；(2) DF=3；(3) 点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣，﹣）或E3（，﹣）或E4（，﹣）．（3）如图2，设点D的坐标为（t，0）．∵点E恰好在抛物线上，且EH=OD，∠DHE=90°，∴由（2）知，△COD≌△DHE，∴DH=OC，EH=OD，分两种情况讨论：综上所述：点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣，﹣）或E3（，﹣）或E4（，﹣）．3．（华东师大版九年级数学下册第26章二次函数单元检测试卷）如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，﹣2），点D的横坐标为，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A．（1）图中，∠OCE等于∠_____；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=S△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）BCD；（2）y=x2﹣x﹣；（3）存在；（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．∵CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2，CB2=（1﹣m）2+22，DE2=（2﹣）2+n2，∴（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22，（2﹣）2+n2=m2，∴m=3，n=﹣，∴B（3，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣x﹣；解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，﹣1）或（1﹣，1）；综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．4．（2018年浙江省温州市苍南县中考一模）如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．（1）求点A，B，C的坐标．（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．①求MN的长．②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为（直接写出答案即可）【答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②（2）由（1）知，抛物线的顶点C（2，1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵A（1，0）在抛物线上，∴a（1﹣2）2+1=0，∴a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，①该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，∵D（0，1），∴﹣（﹣2）2+1+m=1，∴m=4，∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，令y=0，∴0=﹣（x﹣2）2+5，∴x=2±，∴M（2+，0），N（2﹣，0），∴MN=2；∴Q3（0，﹣），∴点Q3在直线Q1Q2上，∴点Q的运动轨迹是直线Q1Q2，∴当OQ⊥Q1Q2时，OD最短，∵Q1Q3=2∴OD最小==，故答案为．5．（北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过，，顶点为．求该抛物线的表达方式及点的坐标；将中求得的抛物线沿轴向上平移个单位，所得新抛物线与轴的交点记为点．当时等腰三角形时，求点的坐标；若点在中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点逆时针转得到线段，若点恰好落在中求得的抛物线上，求点的坐标．【答案】（1）；顶点坐标为；（2）坐标为；（3）的坐标为，．【解析】将，坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴顶点坐标为；设，如图所示，过作轴，交轴于点，过作，垂足为，易得，，，∴，∴，，∵四边形为矩形，∴，①当时，，代入抛物线解析式得：，解得：或（舍去）；②当时，，代入抛物线解析式得：，解得：（舍去）或，综上①②得到或，则的坐标为，．6．（河南省2018届九年级中考数学二模）如图，直线AB的解析式为，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．求抛物线的解析式；如图，当点P在第一象限内的抛物线上时，求面积的最大值，并求此时点P的坐标；过点A作直线轴，过点P作于点H，将绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为；（2）当时，面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为；（3）P点坐标为或；抛物线解析式为；在中，，当点落在x轴上，如图2，绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x轴上，，，，∽，：：OB，即：：3，，，，解得，舍去，此时P点坐标为；当点落在y轴上，如图3，7．（成都市郫都区2017-2018学年九年级下第二次诊断性检测数学）如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【答案】(1) y=x2﹣x；（2）点P坐标为（0，）或（0，）；（3）.将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2-x；（2）如图，（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．∵，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，∴，∴E′Q=BE′，∴AE′+BE′=AE′+QE′，∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为．。
【中考数学压轴题专题突破04】二次函数中的几何变换问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a＞0）的图象经过点A（3，6），并与x轴相交于B、C两点（点B在点C右侧），且S△ABC＝12，∠ACB＝45°．（1）求二次函数的解析式；（2）若D是线段AC上一点，且以D、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）设直线y＝1为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．（1）求A、B两点的坐标；（2）若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，Q（m，0）是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC 交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象是经过y轴上点C（0，2）的一条抛物线，顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A 下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．（1）求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；（2）当∠ACB＝45°时，求点P的坐标；（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB，问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．4．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y＝﹣x2+3x﹣2可知，a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据：a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2、b2、c2，就能确定这函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2018；（3）已知函数y＝﹣的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝﹣互为“旋转函数”．5．如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和x轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）求直线BD的表达式．（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．6．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移3个单位长度，再沿x轴向左平移1个单位长度后，得抛物线M，其顶点恰好落在y轴上点（0，﹣1）．【解决问题】请直接写出抛物线M的函数表达式，并求b、c的值．【探索研究】小明在抛物线M上任意找了一个点P（m，n），以点P为圆心，OP长为半径画圆，他观察发现所画出的圆与过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线相切，请判断他的发现是否正确？并说明理由．【理解应用】将抛物线M的图象绕原点O顺时针旋转90°得抛物线N，C为抛物线N上一动点，点Q 的坐标为（1，﹣1）、直接写出△OCQ周长的最小值．【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题参考答案与试题解析1．解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E．∵A（3.6），S△ABC＝12，∴×BC×6＝12，∴BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴CE＝AE＝6，∴BE＝2，∴B（1，0），C（﹣3，0），∵二次函数经过A、B、C三点，∴解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．（2）如图2中，由（1）可知B（1，0），C（﹣3，0），A（3，6）∴BC＝4，AC＝6，①当△DOC∽△ABC时，有＝，即＝，∴DC＝，过D作DM⊥x轴于M，则△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE＝，OE＝，∴D（，）．②当△ODC∽△ABC时，有＝，即＝，∴CD＝，同理可得D（﹣2，1），综上所述点D坐标为（﹣2，1）或（，）．（3）如图3中，∵直线AC的解析式为y＝x+3，设所求直线的解析式为y＝x+m，①设直线l：y＝1与抛物线的左边的交点为P，则过P平行AC的直线与新图象有3个不同公共点，令y＝1，则x2+x﹣＝1，交点x＝﹣1，∴P（﹣1﹣，1），代入y＝x+m得m＝2+，∴y＝x+2+．②设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与AC平行且和L相切的直线也符合条件，∵L的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，∴由消去y得x2+4x+2m﹣7＝0，由题意△＝0，∴16﹣4（2m﹣7）＝0，∴m＝，∴直线为y＝x+，综上所述返回条件的直线的解析式为y＝x+2+或y＝x+．2．解：（1）由题意画出草图，如图1，在二次函数y＝ax2﹣2ax+c中，对称轴为直线x＝﹣＝1，则OH＝1，∵FH∥OC，∴＝＝，∴HB＝3，∴B（4，0），由抛物线的对称性知A（﹣2，0），∴A（﹣2，0），B（4，0）；（2）如图2，△COB的内心I在对称轴上，∵对称轴为x＝1，∴I（1，1），过点I作IM⊥OC于M，作IN⊥BC于N，则∠IMC＝∠INC＝90°，IM＝IN，∵IC＝IC，∴△CMI≌△CNI（HL），∴CN＝CM＝c﹣1，同理，△BIH≌△BIN（HL），∴BN＝BH＝3，∴BC＝CN+BN＝c+2，在Rt△OCB中，OC2+OB2＝BC2，即c2+42＝（c+2）2，解得，c＝3，将点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得，16a﹣8a+3＝0，解得，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+3；（3）如图3，点M'落在y轴上时，过点M作MH⊥y轴于H，则HM∥OB，∴△CHM∽△COB，∴＝＝，由翻折可知，MC＝M'C，∠M'CN＝∠MCN，∵MN∥y轴，∴∠M'CN＝∠MNC，∴∠MCN＝∠MNC，∴MC＝MN，将B（4，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣，∴yBC＝﹣x+3，∵Q（m，0），∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），①当点N在点M上方时，CM＝NM＝﹣m2+m，HM＝m，∵＝，∴＝，解得，m1＝0（舍去），m2＝，∴Q（，0）；②当点N在点M下方时，CM＝NM＝﹣（﹣m2+m），HM＝m，∵＝，∴﹣＝，解得，m1＝0（舍去），m2＝，∴Q（，0）；综上所述，Q的坐标为（，0）或（，0）．3．解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点（0，2）和点（4，2），则，解得，∴y＝﹣x2+4x+2，∴当x＝2时，y＝6，∴点A的坐标是（2，6）；（2）如图1，过点C作CE⊥AH，过点P作PF⊥AC于F，则CE＝2，AE＝4，AC＝，∵∠AFP＝∠AEC＝90°，∠F AP＝∠EAC，∴△AFP∽△AEC，∴，∵∠FCP＝45°，∴CF＝PF．设CF＝PF＝m，则AF＝2m，∴m+2m＝2，m＝．∴，∴PH＝，∴P（2，）；（3）①当点D落在x轴的正半轴上时，如图2，CD＝AC＝，又∵OC＝2，∴OD＝4，由对称性可知AP＝PD，设PH＝m，则AP＝PD＝6﹣m，在Rt△DPH中，有PH2+HD2＝PD2，即m2+22＝（6﹣m）2，解得，∴；②当点D落在y轴的负半轴上时，如图3，CD＝AC＝，由对称性可知∠DCP＝∠ACP，又∵AH∥OC，∴∠DCP＝∠APC，∴∠APC＝∠ACP，∴，∴，∴；③当点D落在x轴的负半轴上时，如图4，CD＝AC＝，又∵OC＝2，∴OD＝4，∴DH＝AP＝6，连接AD，∴直线CH是线段AD的中垂线，又点P在直线AH上，∴点P与点H重合，∴P3（2，0）．综上所述，点P的坐标为：、、P3（2，0）．4．解：（1）由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2．由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，得a2＝1，b2＝3，c2＝2．函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y＝x2+3x+2；（2）由y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数“，得﹣2n＝m，﹣2+n＝0．解得n＝2，m＝﹣3．当m＝2，n＝﹣3时，（m+n）2018＝（2﹣3）2018＝（﹣1）2018＝1；（3）∵当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x＝0时，y＝﹣×（﹣4）＝2，即C（0，2）．由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）．设过点A1，B1，C1的二次函数y＝ax2+bx+c，将A1，B1，C1代入，得，解得，过点A1，B1，C1的二次函数y＝x2+x﹣2．y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2函数可知a1＝﹣，b1＝，c1＝2．由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，得a2＝，b2＝，c2＝﹣2．y＝﹣（x+1）（x﹣4）的“旋转函数”为y＝x2+x﹣2．∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．5．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣1图象的顶点x＝﹣＝2，y＝＝3，∴点A的坐标为（2，3），当x＝0时，y＝﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）；（2）直线AC的解析式是y＝2x﹣1，过点A并与AC垂直的直线记为BD，k，∴直线BD的表达式为：；（3）存在．菱形DERP时，P1（8﹣，0），Q1（0，），R1（4﹣，﹣1）；菱形DREP时，P2（，0），Q2（0，），R2（，，﹣1）．6．解：【解决问题】∵平移后的抛物线M，顶点为（0，﹣1），a＝∴抛物线M的函数表达式为：y＝x2﹣1根据平移规则，抛物线M向上平移3个单位长度，向右平移1个单位长度得原抛物线∴原抛物线函数表达式为：y＝（x﹣1）2﹣1+3＝x2﹣x+∴b＝﹣，c＝．【探索研究】小明的判断正确，理由如下：∵过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线即直线y＝﹣2∴过点P作P A⊥直线y＝﹣2于点A，如图1∵点P（m，n）在抛物线M上∴n＝m2﹣1∴OP2＝m2+n2＝m2+（m2﹣1）2＝m2+m4﹣m2+1＝m4+m2+1＝（m2+1）2∵P A＝n﹣（﹣2）＝m2﹣1+2＝m2+1∴OP＝P A∴直线y＝﹣2与⊙P相切【理解应用】如图2，抛物线M旋转后得到的抛物线N开口向右，顶点为（﹣1，0）作直线x＝﹣2，过点C作CD⊥直线x＝﹣2于点D，过点Q作QE⊥直线x＝﹣2于点E 由【探索研究】可知，CD＝CO∴CO+CQ＝CD+CQ∴当D、C、Q在同一直线上时，CO+CQ＝CD+CQ＝EQ最小∵Q（1，﹣1）∴OQ＝，EQ＝1﹣（﹣2）＝3∴C△OCQ＝CO+CQ+OQ，最小值为EQ+OQ＝3+故答案为：3+。
3二次函数图象几何变换——教师版
3.二次函数图象几何变换难度：易1．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣1【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．2．要将抛物线y＝x2+2x+3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y＝x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．故选：D．3．已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．故答案是：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．难度：中4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+2）2+6D．y＝（x﹣4）2+6【解答】解：将y＝x2﹣2x+3化为顶点式，得y＝（x﹣1）2+2．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+4，故选：B．5．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m 57，n187B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣2【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴2m 1 3m n2m 4 n，解之得m 1n 2，∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，故选：D．6．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y＝a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个【解答】解：函数y＝x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y＝﹣x2﹣2x；a非常小时，直线y＝a（a为常数）与C1没有交点，与C2有一个交点，所以直线y＝a （a为常数）与C1、C2有一个交点；直线y＝a经过C1的顶点时，与C2有一个交点，共有两个交点；直线y＝a（a为常数）与C1有两个交点时，直线y＝a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点．故选：C．7．将抛物线y 12x2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．y 12x2+1D．y 12x2﹣1【解答】解：y 12x2+1的顶点坐标为（0，1），∵抛物线y 12x2+1绕顶点旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标还是（0，1），形状不变开口向下，∴旋转后的抛物线的解析式为y 12x2+1．故选：C．难度：难8．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线C1的顶点为（1，2），∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，故选：A．9．将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种．A．6B．5C．4D．3【解答】解：如图1，所示：函数图象没有交点．如图2所示：函数图象有1个交点．如图3所示，图象有两个交点．如图4所示函数图象有3个交点．如图5所示，图象有4个交点．综上所述，共有5种情况．故选：B．10．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x 52）2 114B．y＝﹣（x52）2 114C．y＝﹣（x 52）2 14D．y＝﹣（x52）2 14【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0 52）2 14，∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0 52）2 14 3＝﹣（x052）2 114．故选：A．11．如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0【解答】解：如图1所示，当m等于0时，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1，当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；综上所述：0≤m≤1，故选：C．12．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为．【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO 22 22 22，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝22 2＝42，∴AD＝DO 3∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：42 12．故答案为：12．。
7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版
7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版二次函数的一般形式可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
当a > 0时，二次函数的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，二次函数的图像为开口向下的抛物线。
本讲义将讨论二次函数图像的几何变换，包括平移、伸缩、翻转和旋转等变换。
1.平移变换：平移变换是指将二次函数图像整体上下左右移动一段距离。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，则g(x)=f(x-h)+k，其中h为沿x轴平移的距离，k为沿y轴平移的距离。
当h>0时，函数图像沿x轴正方向平移h个单位长度；当h<0时，函数图像沿x轴负方向平移，h，个单位长度。
当k>0时，函数图像沿y轴正方向平移k个单位长度；当k<0时，函数图像沿y轴负方向平移，k，个单位长度。
2.伸缩变换：伸缩变换是指将二次函数图像沿x轴和y轴分别进行缩放。
设原函数为f(x)，伸缩后的函数为g(x)，则g(x) = af(bx) + c。
当，a，>1时，函数图像沿y轴方向进行纵向伸缩，缩放倍数为，a；当0<，a，<1时，函数图像沿y轴方向进行纵向压缩，缩放倍数为1/，a。
当，b，>1时，函数图像沿x轴方向进行横向压缩，缩放倍数为1/，b；当0<，b，<1时，函数图像沿x轴方向进行横向伸缩，缩放倍数为，b。
3.翻转变换：翻转变换是指将二次函数图像进行对称。
常见的翻转包括关于x轴、y轴和原点的翻转。
关于x轴的翻转：设原函数为f(x)，关于x轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(x)。
关于y轴的翻转：设原函数为f(x)，关于y轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=f(-x)。
关于原点的翻转：设原函数为f(x)，关于原点的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(-x)。
4.旋转变换：旋转变换是指将二次函数图像按一定角度进行旋转。
二次函数的变换(热考题型)-解析版
专题06 二次函数的变换【思维导图】◎考点题型1二次函数的平移（1） 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：（2） 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）将抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A ．y ＝﹣3（x ＋2）2 B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣1 C ．y ＝﹣3（x ＋1）2﹣1 D ．y ＝﹣3（x ﹣1）2＋3【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度得y ＝﹣3(x+2)2＋1， 抛物线y ＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y ＝﹣3(x ＋2)2． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．变式1．（2021·山东烟台·九年级期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ） A ．2b =，6c =- B ．6b =-，8c = C ．6b =-，2c = D ．2b =，0c【答案】D 【解析】 【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【详解】由题意可得新抛物线的顶点为(1,4)-， ∴原抛物线的顶点为(1,1)--，设原抛物线的解析式为2()y x h k =-+， 代入得：22(1)12y x x x =+-=+，∴2b =，0c ． 故选：D ． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．变式2．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是( ) A ．22(8)2y x =-+ B ．22(8)6y x =-- C ．22(2)6y x =+- D ．22(2)2y x =++【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是22(35)24y x =-+-+，即22(2)2y x =++．故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．变式3．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由22y x =的图像经过平移得到函数22(6)7y x =-+的图像呢？小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度； 小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度． 对于上述两种说法，正确的是（ ） A ．小亮对 B ．小丽对C ．小亮、小丽都对D ．小亮、小丽都不对【答案】B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x-6）2+7，则小丽说法正确；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．◎考点题型2 二次函数图象的对称（1）关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．例．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点，则n 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1,)n -和(2,)n 可以确定函数的对称轴1x =，再由对称轴的12mx =-=，即可求解． 【详解】解：抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点， 可知函数的对称轴12122x -+==， 122m ∴-=， 1m ∴=-；21y x x ∴=--，将点(1,)n -代入函数解析式，可得1n =； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的对称性． 变式1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）已知4a -2b +c =0，9a +3b +c =0，则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点可能在（ ） A ．第一或第四象限 B ．第三或第四象限 C ．第一或第二象限 D ．第二或第三象限【答案】A 【解析】 【分析】首先由已知条件4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，得出此二次函数过点（-2，0），（3，0），然后根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴，进而得出二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能所在的象限．【详解】解：∴4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=12，∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象与性质求出对称轴为直线x=12是解题的关键．变式2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c，函数y与自变量x的部分对应值如表：x……﹣11234……y (10521)25……若A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，则当m满足（）时，y1＜y2A．m≤2B．m≥3C．m52<D．m52>【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据先确定抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，然后根据二次函数图象的性质，列出m 的不等式，解不等式即可．【详解】解：由表格可知，该函数图象开口向上，对称轴为直线x042+==2，∴A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，y1＜y2，∴2﹣（m ﹣1）＞m ﹣2， 解得：m 52＜，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据表格中的数据确定二次函数图象的对称轴，列出关于m 的不等式，是解题的关键．变式3．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）点1P （－1，1y ），2P （3，2y ），3P （5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y =>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．23y y y <<【答案】A 【解析】 【分析】已知函数表达式里面二次项系数和一次项系数，可以求出该函数图像的对称轴2ba-，结合对称轴，分析函数的增减性即可．当a <0，x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；当a <0，x <2ba-时，y 随x 的增大而增大． 【详解】 对称轴：x =2ba-=212(1)-=⨯- 11(1)P y -，到对称轴有1-（-1）=2个单位长度； 22(3)P y ，到对称轴有3-1=2个单位长度；∴12y y = ∴a =-1<0 ∴当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小 ∴33(5)P y ，，5>3>2b a- ∴32<y y综上：321y y y <= 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，结合函数表达式求出函数图像的对称轴，根据二次项系数的正负和对称轴分析函数的增减性是解题的关键．◎考点题型3 二次函数的图象与系数的关系二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的系数与图象的关系（1）a 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的开口方向决定：0>⇔a 开口向上 ，0>⇔a 开口向上；（2）b 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的对称轴的位置及a 的符号共同决定：对称轴在y 轴左侧b a ,⇔同号，对称轴在y 轴右侧b a ,⇔异号；（3）c 的符号由抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的位置决定：与y 轴正半轴相交0>⇔c ，与y 轴正半轴相交0<⇔c ⏹ 二次项系数a二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．⑴ 当a >0时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当a <0时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．【总结起来】a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，|a |的大小决定开口的大小． ⏹ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a >0的前提下，当b >0时，−b2a <0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧（a 、b 同号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a >0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧（a 、b 异号）． ⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b >0时，−b2a >0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧（a 、b 异号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a <0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧（a 、b 同号）． 【总结起来】在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．常数项c⑴ 当c >0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c <0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 【总结起来】c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ， b ， c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．例．（2021·山东烟台·九年级期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】逐图分析系数a ，b 的符号，即可判断． 【详解】A ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＞，此选项错误；B ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＜，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项错误；C ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项正确；D ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＜，0b =，此选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题关键是会根据图象判断系数a ，b 的符号．变式1．（2022·云南玉溪·九年级期末）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是( )A ．abc <0B ．b =－4aC ．4a +2b≥m (am +b )D ．a －b ＋c >0【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口向下可知a <0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知c <0，由抛物线的对称轴x =2可得出a 、b 的关系，再对四个选项进行逐一分析． 【详解】∴抛物线的开口向下， ∴a ＜0，∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c ＞0，∴抛物线的对称轴为直线2x =， ∴22ba-=，即4b a =- ∴4a +b =0，故B 正确，不符合题意；； ∴0b >，∴abc <0，故A 正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线2x =，a ＜0， ∴当2x =时，y 取得最大值为42a b c ++ ∴对于任意实数m ，242a a c am bm c ++≥++∴4a +2b +c≥m (am +b )+ c ∴4a +2b ≥m (am +b )， 故C 正确，不符合题意；当x =﹣1时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上，即a ﹣b +c =0，故D 错误， 符合题意．故选D ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y = ²+bx +c (a ≠0)的图象，当a <0时，抛物线向下开口，当a 与b 同号时(即ab >0，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab <0)，对称轴在y 轴右．变式2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：∴240b ac -<；∴当1x >-时，y 随x 增大而减小；∴0a b c ++<；∴若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；∴0b c -+>．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】 【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：根据题意得：二次函数与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac >0，故∴错误；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x =-1， ∴抛物线开口向下，∴当x >-1时，y 随x 增大而减小，故∴正确；∴抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和-2，0）之间，对称轴为直线x =-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，∴x =1时，y =a +b +c <0，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （－1，2），抛物线开口向下， ∴函数的最大值为2，∴当m >2时，抛物线与直线y =m 没有交点， ∴方程ax 2+bx +c -m =0没有实数根，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），抛物线开口向下， ∴当x =-1时，2a b c -+=，0a <， ∴20b c a -+=->，故∴正确， ∴正确的有4个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x 轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合思想解答，属于中考常考题型．变式3．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∴抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0， ∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限， 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．◎考点题型4二次函数与一次函数的综合判断例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可． 【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b-＞0，0c <，0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误，抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b bx --=-=， ∴102b-＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数2y ax bx c =++ 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】题干中二次函数2y ax =的图象开口向下，可以判断出a 的符号为负，一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，可以据此判断出b 、c 的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数2y ax bx c =++的图象． 【详解】∴二次函数2y ax =的图象开口向下， ∴a <0，又∴一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，∴b >0，c >0， 则2ba->0， 可知二次函数2y ax bx c =++开口方向向下，对称轴在y 轴右侧，且与y 轴交点在y 的正半轴，选项B 图象符合， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．变式2．（2021·河南驻马店·九年级期中）函数1y ax =+与()210y ax ax a =++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数图象可确定a 的符号，再确定二次函数图象的大致形状和位置即可． 【详解】解：根据四个选项中一次函数图象在一、二、三象限，可以确定a ＞0时， ∴a ＞0，函数y ＝ax 2+ax +1（a ≠0）的图象开口向上， 对称轴为直线122a x a =-=-； 在y 轴左侧， 只有C 选项符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．变式3．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断,a c 符号，即可求解． 【详解】解：A 、由二次函数图象，可得0a < ，一次函数图象，可得0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、由二次函数图象，可得0a > ，一次函数图象，可得0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、由二次函数图象，可得0c > ，一次函数图象，可得0c < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、由二次函数图象，可得0a > ，0c <，一次函数图象，可得0a > ，0c <，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到,a c 符号是解题的关键．◎考点题型5 根据图像判断式子符号例．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：∴ac ＜0；∴a -b +c =0；∴4ac －b 2＜0；∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【详解】∴∴抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a> 0，c< 0∴ac<0故结论∴正确；∴从图中可以看出，抛物线经过点(-1，0)，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故∴正确；∴∴抛物线与x轴有两个交点∴b2- 4ac> 0即4ac- b2< 0故结论∴正确；∴∴抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1所以当x < 1时，y随x的增大而减小故结论∴错误故正确的结论有∴∴∴共3个；故选：B．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．变式1．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：∴c＞0；∴b2﹣4ac＞0；∴a＋b＋c＜0；∴对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断∴，由抛物线与x轴交点个数可判断∴，由图象可得x=1时y＞0可判断∴，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断∴．【详解】解：∴抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴正确．∴抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，∴正确．由图象可得x=1时y＞0，∴a+b+c＞0，∴错误．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），∴n＞m，∴正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．变式2．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3010﹣3…下列结论正确的是（）∴ab＞0；∴a+b+c＜0；∴若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根.A．∴∴∴B．∴∴∴C．∴∴∴D．∴∴∴【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．【详解】解：由表格可知，该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，故∴正确；由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=-3＜0，故∴正确；∴点（-7，y1）到对称轴x=-1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故∴错误，∴图象经过（-3，-3）和（1，-3）两个点，∴方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根，故∴正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式3．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：∴当x＞3时，y＜0；∴3a＋b＞0；∴﹣1≤a≤23；∴3≤n≤4中，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】∴由抛物线的对称轴为直线x =1，一个交点A （-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项∴作出判断；∴根据抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴方程求得b 与a 的关系是b =-2a ，将其代入（3a +b ），并判定其符号；∴利用一元二次方程根与系数的关系可得3c a =-，然后根据c 的的取值范围利用不等式的性质来求a 的取值范围；∴把顶点坐标代入函数解析式得到43n a b c c =++=，利用c 的取值范围可以求得n 的取值范围． 【详解】解：∴抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴对称轴直线是x =1，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 观察图象得：当x >3时，y <0，故∴正确； ∴观察图象得：抛物线开口方向向下， ∴a <0， ∴对称轴12bx a=-=， ∴.2b a =-，∴3320a b a a a +=-=<，即3a ＋b ＜0，故∴错误； ∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点（-1，0），（3，0）， ∴方程ax 2+bx +c =0的两根为-1，3， ∴133c a =-⨯=-，即3ca =-， ∴抛物线与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴23c ≤≤， ∴2133c -≤-≤-，即213a -≤≤-，故∴正确； ∴.2b a =-，3c a =-， ∴223c b a =-=， ∴顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，43n a b c c =++=， ∴23c ≤≤， ∴84433c ≤≤，即843n ≤≤，故∴错误； 综上所述，正确的有∴∴，共2个．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键．◎考点题型6 抛物线y =ax 2+bx +c 最值抛物线y =ax 2+bx +c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）⏹ 公式法：y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ， ∴顶点是（−b 2a ，4ac−b 24a ），对称轴是直线x =−b 2a . ⏹ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x −h )2+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线x =h .【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例．（2022·浙江金华·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数表达式为2s at bt =+，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1200米【解析】【分析】先根据滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，求出函数的解析式，然后求出函数的最大值即可．【详解】解：∴10t =时，450s m =；20t =时，600s m =，∴1001045040020600a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：3260a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴23602S t t =-+， ∴()2233602060022S t t t =-+=--+， ∴当20t =时，S 最大，且最大值为600，即飞机的最大滑行距离为600米，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和最大值，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y （元）与降价x （元）之间的关系是y ＝－2x 2＋60x ＋800，则利润获得最多为（ ）A ．15元B ．400元C ．800元D ．1250元【答案】D【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．【详解】解：y ＝－2x 2＋60x ＋800＝－2（x －15）2＋1250∴－2＜0故当x ＝15时，y 有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D ．此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．变式2．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∴二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∴1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（）A．12-B．13-C．12-或13-D．﹣1或13-【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：2(21)3y x a x =+--，∴图象开口向上，对称轴为直线212a x -=-， ∵﹣1≤x ≤3， ∴当2112a --时，即12a -，3x =时有最大值1， 9(21)331a ∴+-⨯-=，13a ∴=-， 当2112a --时，即12-a ，1x =-时有最大值1， 1(21)(1)31a ∴+-⨯--=，1a ∴=-，1a ∴=-或13-， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．◎考点题型7 待定系数法求函数解析式例．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．【答案】（1）1m =-；（2）直线1x =-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 【详解】解：（1）∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．【答案】二次函数的表达式为24y x =+．【解析】【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．【详解】 解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)， ∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∴二次函数的表达式为24y x =+．【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式【答案】245y x x =-++【解析】【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可．【详解】解：∴抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∴设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∴()()21545y x x x x =-+-=-++．∴该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，。
二次函数中的图形的变换问题
二次函数中的图形的变换问题当题目中出现旋转或平移时，根据题意，找出其中的不动点及定线段，再依据题意，画出图形，分析是否需要分类讨论，进而，再依据题意寻找等量关系，列出关系式，得到最后答案。
当遇到运动问题时，要善于发现题目中的“变”与“不变”的量，简化图形，化繁为简。
【技巧点拨】一、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a 不变。
抛物线k ax y +=2的对称轴是________,顶点坐标是_______.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数__________的图象沿________轴向_______（0<h ）或向_____（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线__________,顶点坐标是__________. 一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数___________的图象先沿x 轴向_____（0<h ）或向______-（0>h ）平移h 个单位长度,再向_____（0>k ）或向_______（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线_______,顶点坐标是______如图所示.二、二次函数图象的对称变换1、当两个二次函数的图象关于x 轴对称，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向_____,开口大小_____,对称轴_____,顶点坐标关于______对称,与y 轴的交点关于_____对称.故两个二次函数的解析式a 的值_________.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2; ②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.2、当两个二次函数的图象关于y 轴对称，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向_____,开口大小______,与y 轴的交点_____,对称轴关于______对称,顶点坐标关于______对称.故两个二次函数的解析式a 的值_______.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.x 2 )2 1 x 2 )2 + 1图 （3）图 （4）)2 + 13.当两个二次函数图像关于特殊点对称，如何求解析式呢？如二次函数y＝x２－２x－３关于点(２,１)对称，求它的对称二次函数解析式。