上海市高一上学期数学10月月考试卷

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上海市进才中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

上海市进才中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)若A B A=I，求实数a的取值范围．18．求关于x的不等式23(32)20(R)ax a x a-++<Î的解集．19．（1）已知xÎR，比较2231x x+-与73x-的大小；（2）设x，y是不全为零的实数，试比较222x y+与2x xy+的大小，并说明理由．20．已知关于x的不等式()()()2245110Rk k x k x k--+++>Î的解集为M．(1)若1k=，求x的取值范围；(2)若RM=，求实数k的取值范围；(3)是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有n MÎ；对于任意负整数m，都有m MÏ”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．21．设A是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=Î且}u v¹为集合A的生成集．(1)当{}2,3,5A=时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B=，并说明理由．【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B \=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．用列举法表示小于10的正偶数所构成的集合为A =______．【答案】{}2,4,6,8【分析】直接根据列举法的概念即可得结果.【详解】小于10的正偶数所构成的集合为{}2,4,6,8A =，故答案为：{}2,4,6,8.2．不等式|1|3x +≤的解集为_______．【答案】{}42x x -≤≤【分析】将其化为二次不等式求解.【详解】()221319280x x x x +≤⇔+≤⇔+-≤，解得：{}42x x x ∈-≤≤. 故答案为：{}42x x -≤≤.3．“>4x ”是“2x >”的___________条件. 【答案】充分非必要【分析】根据充分非必要条件的定义可得答案,【详解】因为“>4x ”可以推出“2x >”,且“2x >”不能推出“>4x ”, 所以“>4x ”是“2x >”的充分非必要条件. 故答案为充分非必要【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题. 4．2310x x --=的两根分别是1x 和2x ，则1211x x +=___________. 【答案】3-【分析】利用根与系数关系得12123,1x x x x +==-，即可求目标式的值. 【详解】因为方程2310x x --=的两根分别是12,x x ，所以12123,1x x x x +==-，则21121211331x x x x x x ++===--.故答案为：3- 5．不等式103x x -<-的解集是______．【答案】()1,3【分析】将分式不等式转化成一元二次不等式，即可得到答案【详解】由103x x -<-可得()()130x x --<，解得13x <<，即解集为()1,3. 故答案为：()1,36．已知x 、y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为_____．【答案】3【分析】用基本不等式求得最值，然后化简既可得最大值.【详解】由已知得1243x y =+≥，即12≥解得3xy ≤（当且仅当43x y =时取""=）故答案为：37．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ＝{x |x ＝a +b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P +Q 中元素的个数是____．【答案】8【分析】先确定a ，b 的取值，再求两者之和，由元素的互异性，和相等的算一个，可求出答案．【详解】解：∵a ∈P ，b ∈Q ，∴a 可以为0，2，5三个数，b 可以为1，2，6三个数，∴x ＝0+1＝1，x ＝0+2＝2，x ＝0+6＝6，x ＝2+1＝3，x ＝2+2＝4，x ＝2+6＝8，x ＝5+1＝6，x ＝5+2＝7，x ＝5+6＝11，∴P +Q ＝{x |x ＝a +b ，a ∈P ，b ∈Q }＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素．故答案为8．8．已知集合{}|A x y x Z ==∈，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则A B =________．【答案】{1}【解析】化简集合,A B ，根据集合的交集运算可得结果. 【详解】由210x -≥得11x -≤≤，所以{1,0,1}A =-，所以{1,2}B =，所以{1}A B ⋂=. 故答案为：{1}.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.9．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(2,)+∞，则关于x 的不等式0ax bax b+≤-的解集是______．【答案】[)2,2-【分析】根据题意得到20b a =>，故原不等式等价于(2)(2)020x x x +-≤⎧⎨-≠⎩⇔22x -≤<.【详解】0ax b ->的解集是(2,)+∞，0,b a x a∴>>，得2ba =，解得20b a =>0ax b ax b +≤-⇔0b a x a b a x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤⎛⎫- ⎪⎝⎭⇔()()00b b x x a a b x a ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩⇔(2)(2)020x x x +-≤⎧⎨-≠⎩⇔22x -≤<.故答案为：[)2,2-. 10．已知命题1:1,:(1)(1)02p x q x x a ≤≤-+-≤，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】12a ≥【分析】分类讨论1a -与1的大小，解不等式(1)[(1)]0x x a ---≤，根据p 是q 的充分条件列式，解不等式组可得结果.【详解】由(1)(1)0x x a -+-≤，得(1)[(1)]0x x a ---≤，当11a -<，即0a >时，得:q 11a x -≤≤，因为p 是q 的充分条件，所以1{|1}{|11}2x x x a x ≤≤⊆-≤≤，所以112a -≤，解得12a ≥；当11a -≥，即0a ≤时，:11q x a ≤≤-，因为p 是q 的充分条件，所以1{|1}{|11}2x x x x a ≤≤⊆≤≤-，所以11211a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，此不等式组无解.综上所述：12a ≥.故答案为：12a ≥11．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，则k 的取值范围是________．【答案】32k -≤<【分析】解220x x -->，得解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞；分类讨论k -与52-的大小关系，解不等式5()()02x x k ++<，再根据不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，列式可求出结果.【详解】由220x x -->，得(2)(1)0x x -+>，得1x <-或2x >，所以220x x -->的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，由22(52)50x k x k +++<，得5()()02x x k ++<，当52k -<-，即52k >时，得52k x -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，此解集中不含2-，不符合题意；当52k -=-，即52k =时，5()()02x x k ++<化为25()02x -<，所以22(52)50x k x k +++<的解集为空集，不符合题意；当52k ->-，即52k <时，得52x k -<<-，所以22(52)50x k x k +++<的解集为5(,)2k --，因为不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中所含整数解只有2-，所以23k -<-≤，得32k -≤<. 故答案为：32k -≤<12．设集合{}01324,,,,S a a a a a =，在S 上定义运算*为：*i j k a a a =，其中||k i j =-，,0,1,2,3,4i j =，那么满足条件()()21**,i j i j a a a a a a S =∈的有序数对(,)i j （其中当i j ≠时，(,),(,)i j j i 为两个不同的有序数对)共有_______个．【答案】12【分析】结合集合新定义得12i j =--，去绝对值结合,i j 取值范围分类讨论即可求解.【详解】由()()21**,i j i j a a a a a a S =∈，*i j k a a a =，其中||k i j =-，,0,1,2,3,4i j =，可得12i j =--，即1i j -=或3，即1,1,3,3i j -=--，当1i j -=时，()()()()(,)1,0,2,1,3,2,4,3i j =；当1i j -=-时，()()()()(,)0,1,1,2,2,3,3,4i j =；当3i j -=时，()()(,)3,0,4,1i j =；当3i j -=-时，()()(,)0,3,1,4i j =.故共有12个. 故答案为：12二、单选题13．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()MP SB ．()MP SC ．()⋂⋂M P SD ．()⋂⋃M P S【答案】C【分析】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，从而得到答案. 【详解】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，即()⋂⋂M P S . 故选：C14．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（） A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<-【答案】D【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b ，可得111,12a b =-=-，∴11a b>，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．15．下列各代数式中，最小值为2的是（） A ．1x x+B ．221x x +C 222x + D ．142x x+- 【答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=无法取得最小值，故C 错误；对于D 不能保证0x >，故D 错误. 故选：B16．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．以上都不对【答案】B【分析】利用列举法,写出集合A 、集合B 、集合C 的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可.【详解】集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,则{2,0,2,4,6,8,10}A =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 则{1,1,3,5,7,9,11}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|41,}C x x k k ==+∈Z 则{3,1,5,9,13,17,21}C =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 又a A ∈,b B ∈当2,1a b ==时, 21a b A +=+∉,所以A 错误; 当2,1a b ==时, 21a b C +=+∉,所以C 错误;因为集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 又a A ∈,b B ∈则()121222121a b k k k k +=++=++ 所以a b +表示奇数,而集合B 表示奇数所以a b B +∈ 故选:B【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.三、解答题17．已知集合{}22|1,|352021x A x B x x x x -⎧⎫=≥=-++>⎨⎬-⎩⎭． (1)求A 、B ；(2)求A B ⋂、A ．【答案】(1)1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭；1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭(2)11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥【分析】（1）解出分式不等式和二次不等式即可；（2）由（1）利用集合交集和补集运算即可. 【详解】（1）由2121x x -≥⇔-21021x x --≥-()()221021x x x ---⇔≥-()()121011002121210x x x x x x x ⎧+-≤--+⇔≥⇔≤⇔⎨---≠⎩11121122x x x ⎧-≤≤⎪⎪⇔⇔-≤<⎨⎪≠⎪⎩，所以集合1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭；由22135********x x x x x -++>⇔--<⇔-<<，所以集合1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭，1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭所以11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥.18．已知集合{}{}22430,90A x x x B x x ax =-+==-+=，且A B A ⋃=.（1）用反证法证明B A ≠；（2）若B φ≠，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6a =.【解析】（1）先求得集合{}1,3A =，假设B A =，利用反证法，即可得证.（2）由（1）和A B A ⋃=，得到B 是A 的真子集，进而得到B 可能为{}{}1,3，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由2430x x -+=，解得1x =或3x =，所以{}1,3A =，又由{}290B x x ax =-+=假设B A =，则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩，与39≠矛盾，所以假设错误，所以B A ≠可证.（2）由（1）知B A ≠，因为A B A ⋃=，可得集合B 是A 的真子集，又由B φ≠，所以集合B 可能为{}1或{}3，当{}1B =时，则方程290x ax -+=有两个相等的实数根是1，则11119a+=⎧⎨⨯=⎩，无解；当{}3B =时，则方程290x ax -+=有两个相等的实数根是3，则33339a+=⎧⎨⨯=⎩，解得6a =，综上可得，实数6a =.19．命题α：关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根．命题β：关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立．(1)若命题α为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】(1)12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭【分析】（1）用二次函数的性质求命题α为真命题时实数m 的取值范围；（2）先确定命题β成立时实数m 的取值范围，再分类讨论求解得结果. 【详解】（1）命题α：关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根．则()220194204m m m m >-⎧+>⎧⎪⇒⎨⎨-+><⎩⎪⎩，解得：124m -<<. 若命题α为真命题，则实数m 的取值范围为12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）命题β：关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立,()21648120m m ∆=-+<，解得：13m -<<.若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，若α真β假，12431m m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得：21m -<≤-，若β真α假，13124m m m -<<⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩或，解得：134m ≤<，综上：实数m 的取值范围为：(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭.20．已知集合{}224|||||4,(0,1)(2,4),|21033A x x x B C x x mx ⎧⎫=-+-<==+-<⎨⎬⎩⎭．(1)求A B ⋃；(2)对于任意的实数a ，不等式24|2||2|33a a x x ++-≥-+-恒成立，求实数x 的取值范围； (3)若()C A B ⊆，求m 的取值范围．【答案】(1)(1,4)-； (2)[1,3]x ∈-； (3)[7.75,1]-.【分析】（1）根据绝对值的性质，结合集合并集的定义进行求解即可. （2）根据绝对值的性质，结合（1）的结论进行求解即可；（3）根据子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）当43x ≥时，由24244||||443333333x x x x x x -+-<⇒-+-<⇒<⇒≤<；当2433x <<时，由242424||||44333333x x x x x -+-<⇒-+-<⇒<<；当23x ≥时，由24242||||441133333x x x x x x -+-<⇒-+-<⇒>-⇒-<≤，所以(1,3)A =-，因此(1,4)A B =-；（2）因为|2||2|224a a a a ++-≥++-=，所以要想不等式24|2||2|33a a x x ++-≥-+-恒成立，只需24433x x -+-≤成立，由（1）可知：[1,3]x ∈-；（3）设一元二次方程2210x mx +-=的判别式280m ∆=+>，所以C =，因为()C A B ⊆，所以47.7511m ≤-≤≤⎨⎪-≤⎪⎩，所以m 的取值范围为[7.75,1]-.【点睛】关键点睛：利用绝对值的性质是解题的关键. 21．已知有限集{}123,,,n A a a a a =()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =满足121n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”.（1）判断集合⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由；（2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围；（3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【答案】（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞；（3）见解析；【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案．【详解】(1)1=-，故集合⎪⎪⎩⎭是 “复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由△0>，可得0t <，或4t >，120a a ∴<或124a a >； (3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时，即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集” A ，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{1，2，3}．当4n 时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-，即有(1)!n n >-，也就是说“复活集” A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>，矛盾，∴当4n时不存在复活集A，n=.所以，“复活集”A有且只有一个，且3【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大第 11 页共 11 页。

上海市南汇中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

上海市南汇中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________④存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个此时1,3,13x =，即可得{}1,3,13A =，所以集合A 的非空真子集的个数为3226-=个.故答案为：68．12-【分析】等式右边化简得2(2)ax a b x a b c +++++，根据题意由对应系数相等求出,,a b c 即可.【详解】()()22112a x b x c ax ax a bx b c ++++=+++++2(2)ax a b x a b c =+++++，所以2221(2)x x ax a b x a b c ++=+++++，所以2211a a b a b c =ìï+=íï++=î，解得232a b c =ìï=-íï=î，所以12abc =-.故答案为：12-.9．31m -<£【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列式求解即得.【详解】当1m =时，10-<恒成立，因此1m =；当1m ¹时，210Δ(1)4(1)0m mm -<ìí=-+-<î，解得31m -<<，因此31m -<<，所以实数m 的取值范围是31m -<£.故答案为：31m -<£显然P -中不包含负数，且一定包含0，故由P P -=知10x =.再由P P -=，13230x x x x =<-<，知322x x x -=，即322x x =.进一步有232424x x x x x x =-<-<，故423x x x -=，即42322223x x x x x x =+=+=.再进一步有342525x x x x x x =-<-<，故524x x x -=，即52422234x x x x x x =+=+=.所以1522224043x x x x x x x +=+=+=+.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解P +和P -的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题.。

2020-2021学年上海市嘉定一中高一(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)

2020-2021学年上海市嘉定一中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题（共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，3，4}，则A∩B＝．2．已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来3．“x≥1且y≥1“的否定形式为．4．若2x2+3x+5＝a（2x+1）（x+1）+b恒成立，则a+b的值．5．集合A＝{x|m﹣1≤x≤m+7}，集合B＝{x|x2﹣3x﹣10≥0}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围为．6．若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为．7．已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+1＝0}，B＝{（x，y）|y＝kx+3}，若A∩B＝∅，则实数k 的值为．8．已知集合A＝{x|（a﹣1）x2﹣2x+1＝0}有且仅有2个子集，则实数a的值为．9．设有两个命题：①方程x2+ax+9＝0没有实数根；②实数a为非负数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是．10．已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，若A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，则实数a的值为．11．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣m2x+n＝0的两个实数根，y1，y2是关于y的方程y2﹣3my+6＝0的两个实数根，其中m，n是常数，且x1+y1＝x2+y2＝2，则8m+n＝．12．定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d＝b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）∪（3，5）的长度d＝（2﹣1）+（5﹣3）＝3，设f（x）＝[x]⋅{x}，g（x）＝x﹣1，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[3]＝3，{x}＝x﹣[x]，若用d表示不等式f（x）≥g（x）解集区间的长度，则当x∈[﹣2018，2018]时，d＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，若A＝B，则（ab）2021的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±114．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立D．如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc15．若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（）A．k＞4B．k＜4C．k≥4D．k≤416．已知不等式a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0的解集为A，不等式b（x﹣x1）（x﹣x2）≥0的解集为B，其中a、b都是非零常数，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件三、解答题（本大题共有5题。

上海市闵行中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学卷(含答案)

高一数学试卷时间：120分钟满分150分一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.1.已知集合，，则______.2.不等式的解集是______.3.集合可以用列举法表示为______.4.设方程的两根为、，则______.5.已知不等式的解集为，则______.6.若要用反证法证明“对于三个实数a 、b 、c ，若，则或”，第一步应假设______.7.某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.8.已知集合是单元素集，则实数的取值集合为______.9.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.10.不等式的解集是______.11.已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______.12.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______.二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.13.给出下列关系式，错误的是（）A. B. C. D.14.“”是“或”的（）{}1,2,3,4A ={}πB x x =>A B = 101x x -<+()10,30x y P x y x y ⎧⎫+-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬--=⎩⎪⎪⎩⎭21830x x -+=1x 2x 1211x x +=210ax bx ++>{}12x x -<<a b +=a c ≠a b ≠b c ≠(){}21320A x a x x =-+-=a {}29180A x xx =-+<{}22560B x x ax a =-+=A B ≠∅ a ()2210x x x ++-≠m n R ∈x 23140x x m nx n⎧-+<⎪⎨<⎪⎩()9,13mn ()()(){}22,220,,A x y ax x a ay y a x R y R =++++>∈∈()()(){}22,1220,,B x y x x y y x R y R =++++>∈∈A B A B = a {}10,1,2∈{}1,2,3∅⊆{}{}11,2,3∈{}{}0,1,21,2,0=2024x y +<2012x <2012y <A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15.已知关于x 的不等式，下列结论正确的是（）A.不等式的解集不可以是；B.不等式的解集可以是；C.不等式的解集可以是；D.不等式的解集可以是.16.已知a 、b 都是正数，集合，，若任意的，都有或.则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知集合，集合.（1）求集合；（2）若全集，求.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）.（1）若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）.使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且.（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值.220240mx nx ++>220240mx nx ++>R 220240mx nx ++>∅220240mx nx ++>{}2024x x <220240mx nx ++>()1,20240x a A x x a ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭()(){}0B x b x b x =+-≥m R ∈m A ∈m B ∈a b <a b ≤a b >a b≥{}2280A x x x =+-≤2716x B xx ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭B U R =B A p x 210160x x -+≤q x 22430x mx m -+≤0m >1m =p q x q p m ABCD EFGH 200AB =100BC =AE AH CF CG ===AE x =0100x <≤EFGH S x AE20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解决下列问题：（1）已知、，设，.比较与的大小；（2）已知命题P ：如果实数a 、b 为正数，且满足，则和中至少有一个成立.判断命题P 是否正确，并说明理由；（3______.（其中a ，b ，c ，d 都为正数）并给出它的代数证明.21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数和，定义集合.（1）设，，求；（2）设，，，若任意，都有，求实数的取值范围；（3）设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围.m n R ∈()()2214a m n =++()22b mn =+a b 2a b +=123b a +≥123a b+≥+≥()m x ()n x ()()()()(){},T m x n x x m x n x =<()3p x x =-()45q x x =--()()(),T p x q x ()1u x x =-()()22v x x a a =-+()()216w x a x =-+0x R ∈()()()][()()()0,,x T u x v x T v x w x ⎡⎤∈⎣⎦ a ()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =0x R ∈()()()0,x T f x h x ∈()()()0,x T g x h x ∈b2024学年第一学期单元考试高一数学试卷答案一.填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.12345660且78910111212二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分.CACB三.解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）由得：，即，解得：，∴.（2）由（1）知：；由得：，解得：，即，∴.18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.【解】（1）：实数满足，解得，当时，：，解得，∵和至少有一个为真，∴或，∴，{}4()1,1-(){}2,1-a b =b c =1,18⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()1,3()(),11,-∞--+∞ 39-()(),11,-∞-+∞ 2716x x -≤-106x x -≤-()()16060x x x ⎧--≤⎨-≠⎩16x ≤<[)1,6B =()[),16,B =-∞+∞ 2280x x +-≤()()420x x +-≤42x -≤≤[]4,2A =-(][),26,B A =-∞+∞ p x 210160x x -+≤28x ≤≤1m =q 2430x x -+≤13x ≤≤p q 28x ≤≤13x ≤≤18x ≤≤∴实数的取值范围为；（2）∵，由，解得，即：，∵是的充分条件，∴∴，实数的取值范围是19.略20.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）解：∵，∴，即；（2）命题正确用反证法证明如下：假设和都不成立，则且，由已知，实数、为正数实数，∴且，故，可得，与已知矛盾，故假设不成立，∴和中至少有一个成立. （3证明：x []1,80m >22430x mx m -+≤3m x m ≤≤q 3m x m ≤≤q p 238mm ≥⎧⎨≤⎩823m ≤≤m82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()222142a b m n mn -=++-+()22222222244444420m n m n m n mn m n mn m n =+++---=+-=-≥0a b -…a b …P 123b a +≥123a b+≥123b a +<123a b+<a b 123b a +<123a b +<22233a b a b ++<+2a b +>2a b +=123b a +≥123a b+≥≥22-()2222222222a c b d a c b d ab cd =++++-+++++又因为所以因为a ，b ，c ，d所以21.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）已知，由，即当时，不等式化为，得，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，即，恒成立，此时，不等式的解为.当时，不等式化为，得.此时，不等式的解为.综上所述，的解集为，即.（2）由题意知，不等式①恒成立，且不等式②恒成立；由（1）得，，，解得；由②得，，时，不等式化为恒成立，时，应满足，解得；综上知，的取值范围是.()()22ab cd ab cd ⎤=-+=-+⎥⎦()()()()222222222220a c b d ab cd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥()()()22222a c b d ab cd ++≥+()ab cd ≥+22+≥≥()3p x x =-()45q x x =--()()p x q x <354x x -+-<5x ≥354x x -+-<6x <56x ≤<35x ≤<354x x -+-<24<35x ≤<3x <354x x -+-<2x >23x <<()()p x q x <()2,6()()()(),2,6T p x q x =()212x x a a -<-+()()22216x a a a x -+<-+()()2221210x a x a a -++++>()()22214210a a a ∆=+-++<34a >-()22160a x a a ---+>1a =1160--+>1a ≠21060a a a ->⎧⎨--+>⎩12a <<a [)1,2（3）已知，，，由题意得，不等式组有解，由，又，（1）当，即时，上式为，对任意桓成立.此时不等式组有解，满足题意； ②当，即时，，或，要使不等式组有解，则，或，解得，则有；③当，即时，，或.要使不等式组有解，则，或，解得，则有；综上所述，的取值范围是()2f x x b =-()41x b g x x +=-()2h x =()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩()22221122b b f x x b x <⇔-<-<⇔-<<+()()()4214242200111x b x x b x b g x x x x +---++<⇔<⇔<⇔>---421b +=14b =-10>()(),11,x ∈-∞+∞ ()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩421b +<14b <-()242g x x b <⇔<+1x >()()22f xg x <⎧⎪⎨<⎪⎩1422b b -<+112b +>67b >-6174b -<<-421b +>14b >-()21g x x <⇔<42x b >+()()22f x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩112b -<1422b b +>+4b <144b -<<b 6,47⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2021-2022学年上海市洋泾中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市洋泾中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．若0a b <<，则下列不等式错误的是（）. A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||||a b > D ．22a b > 【答案】B【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】解：对A ，0a b <<，11a b ∴>，故A 正确；对B ，0a b <<，0b ∴->，即0a a b <-<， 11a a b∴>-，故B 错误；对C ，0a b <<，0a b ∴->->，即||||a b ->-，即||||a b >，故C 正确，对D ，0a b <<，0a b ∴->->，即22()()a b ->-，即22a b >，故D 正确.故选：B.2．已知R a b ∈、，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（） A ．1a b >- B ．1a b >+C ．||||a b >D ．||a b >【答案】A【分析】根据必要不充分条件的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】解：使a b >成立的必要不充分条件，即a b >能得到哪个条件，而由该条件得不到a b >，故对于A 选项，a b >可以得到1a b >-，反之不成立，故1a b >-是a b >必要而不充分的条件；对于B 选项，1a b >+可以得到a b >，反之不成立，故1a b >+是a b >的充分不必要条件；对于C 选项，||||a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D 选项，||a b >是a b >的充分不必要条件. 故选：A ．3．三个集合A 、B 、C 满足,==A B C B C A ，那么一定有（） A ．A B C == B ．A B ⊆C ．,=≠A C A BD ．=⊆A C B【答案】D【分析】由题知C A ⊆且C B ⊆，进而结合交集运算求解即可. 【详解】因为A B C =，所以C A ⊆且C B ⊆，所以B C C =，又B C A ⋂=，所以A C =，所以=⊆A C B . 故选：D ．4．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（） A ．集合P 中一定有0但没有2 B ．集合P 中一定有0可能有2 C ．集合P 中可能有0可能有2 D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ．假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,---均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P . 故选:A ．二、填空题5．己知集合{,||,2}A a a a =-，若3A ∈，则实数a 的值为____________．【答案】3-【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.【详解】由集合中元素的互异性得||a a ≠，故0a <，则20a -<，又3A ∈，所以||3=-=a a ，解得3a =-．故答案为：3a =- 6．不等式203->-xx 的解集是___________．【答案】()2,3【分析】根据分式不等式等价于()()320x x -->，即可根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】203->-xx 等价于()()()()320320x x x x -->⇒--<,故解集为:()2,3, 故答案为：()2,37．若关于x 的不等式2250-+>x ax 的解集为(,1)(,)-∞+∞m ，则a m +的值为__________．【答案】8【分析】根据题意得到1和m 是方程2250x ax -+=的两个根，结合根与系数的关系，列出方程组，即可求解.【详解】因为不等式2250-+>x ax 的解集为(,1)(,)-∞+∞m ，可得1和m 是方程2250x ax -+=的两个根，所以1215m a m +=⎧⎨⨯=⎩，解得3,5a m ==，所以8+=a m .故答案为：88．若集合{(,)|23},{(,)|3}A x y x y B x y ax y =+==-=，则A B =∅，则实数a 的值为_________．【答案】2-【分析】根据题意转化为23x y +=与3ax y -=平行，列出关系式，即可求解. 【详解】由题意，集合{(,)|23},{(,)|3}A x y x y B x y ax y =+==-=，因为A B =∅，可得方程组233x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线23x y +=与3ax y -=平行，可得13213a --=≠-，解得2a =-. 故答案为：2-.9．设:231,:27αβ<≤+-≤≤a x a x ，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],2-∞【分析】由题知(]2,31a a +是[]2,7-的真子集，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：因为α是β的充分非必要条件，(]2,31a a +是[]2,7-的真子集，所以，当(]2,31a a +=∅时，231a a ≥+，解得1a ≤-，当(]2,31a a +≠∅时，22317-≤<+≤a a ，解得12a -<≤．综上，实数a 的取值范围是(],2-∞ 故答案为：(],2-∞10．对于任意的222R,21ax bx x x x +-+∈+为定值，则a b +的值为___________．【答案】5【分析】由条件列方程求出,a b 即可. 【详解】因为22221ax bx x x +-++为定值，所以可设22221ax bx x t x +-+=+，所以2222ax bx x tx t +-+=+恒成立，所以2a t =，10b -=，2t =，所以4a =，1b =，所以5a b +=．故答案为：5.11．已知全集{3,15U x x n n ==≤≤且N}n ∈，{}2|270,N A x x px p =-+=∈，{}2|150,N B x x x q q =-+=∈，且{3,9,12,15}=AB ，则p q +的值为_____________．【答案】66【分析】结合韦达定理，根据集合运算结果求解即可. 【详解】解：因为全集{3,6,9,12,15}=U ，{3,9,12,15}=A B ，所以3，9，12，15中有两个属于A ，因为A 中的方程2270-+=x px 中，两根之积1227=x x ，所以3,9A ∈，所以3912p =+=，又12,15A ∉，所以12,15B ∉，因为B 中的方程2150-+=x x q 中，两根之和3415x x +=，所以6,9B ∈，则6954q =⨯=，所以66+=p q ．故答案为：66.12．已知R 是全集，集合{}2|1,R A y y x x ==-+∈，集合{}|3||,R B x x a a ==+∈，则A B ⋃=______．【答案】(1,3)【分析】由题知(,1]A ∞=-，[3,)B =+∞，再进行集合运算即可.【详解】解：因为{}2|1,R (,1]A y y x x ==-+∈=-∞，{}|3||,R [3,)B x x a a ==+∈=+∞，所以(1,3)=A B ．故答案为：(1,3)13．若“存在实数x ，使得2390ax ax -+≤成立”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[0,4)【分析】根据一元二次型不等式恒成立问题，分类讨论即可求解. 【详解】由题意知：对任意实数x ，都有2390ax ax -+>恒成立．当0a =时，满足题意；当0a ≠时，2Δ9360a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，则实数a 的取值范围是[0,4)．故答案为：[0,4)14．已知集合{1,2,3,4,5}A =，则集合A 的含偶数的子集的个数为___________．【答案】24【分析】根据结论分别求出集合A 的所有子集的个数和集合A 的不含偶数的子集的个数，由此可得结果.【详解】因为{1,2,3,4,5}A =，所以集合A 的所有子集共有52个，又集合{1,3,5}的所有子集有32个，所以集合A 的含偶数的子集的个数为532224-=．故答案为：24.15．设集合1,{}2,A m =，其中m 为实数，令{}2,B a a A C A B =∈=⋃，若C 的所有元素之和为5，则C 的所有元素之积为____________．【答案】16-【分析】根据集合C 中的元素和为5可得集合B 的元素，从而可求集合C 中的元素，进而得到各元素的积.【详解】由题意得21,2,4,,m m （允许有重复）为集合C 的全部元素．注意到，当m 为实数时，21245m m ++++>，21245m +++>故只可能是集合{1,2,4,}=C m ，且1245+++=m ，于是2m =-（经检验符合题意），此时集合C 的所有元素之积为124(2)16⨯⨯⨯-=-．故答案为：16-16．已知0a >，若集合{}22222220,,A x x x a x x a a x A =---+-+--=∈⋂R Z 中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】[1,2)【分析】令222t x x =--，方程22222220x x a x x a a ---+-+--=即为2t a t a a -++=，所以a t a -≤≤，问题转化为函数222y x x =--的图象在直线y a =与y a =-之间只有两个整数x 满足，由函数图象易得结论．【详解】令222t x x =--，14x =时，min 178t =-，0x =时，2t =-，1x =时，1t =-，1x =-时，1t =，2x =时，4t =，方程22222220x x a x x a a ---+-+--=即为2t a t a a -++=，所以a t a -≤≤，作出函数222y x x =--的图象，如图，在直线y a =和y a =-之间只有两个整数解，则12a ≤<．故答案为：[1,2)．三、解答题17．已知集合{}{}2|680,|20,R A x x x B x mx m =-+<=-=∈，若A B A ⋃=，求实数m的取值范围．【答案】1{0},12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题知B A ⊆，进而结合0m =和0m ≠分类讨论求解即可.【详解】解：由题知：{}(){}2|6802,4,|20,R A x x x B x mx m =-+<==-=∈，因为A B A ⋃=，则B A ⊆，当0m =时，B =∅，满足题意；当0m ≠时，2⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B m ，所以224<<m ，所以1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上，实数m 的取值范围是1{0},12⎛⎫⎪⎝⎭．18．设1234,,,a a a a 是四个正数． (1)已知3124a a a a <，比较12a a 与1324a a a a ++的大小； (2)已知()()()()1234111116a a a a ++++<，求证：1234,,,a a a a 中至少有一个小于1．【答案】(1)131224a a a a a a +<+ (2)证明见解析【分析】(1)利用比差法比较12a a 与1324a a a a ++的大小； (2)利用反证法证明.【详解】(1)因为1234,,,a a a a 是四个正数，3124a a a a <，所以1423a a a a <，所以()()131214122314231224224224a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++，因为1423a a a a <，所以14230a a a a -<，因为1234,,,a a a a 是四个正数，所以224()0a a a +>，所以1312240a a a a a a +-<+ 所以131224a a a a a a +<+ (2)假设1234,,,a a a a 都不小于1，则1(1,2,3,4)n a n ≥=，那么()()()()12341111222216a a a a ++++≥⨯⨯⨯=与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以1234,,,a a a a 中至少有一个小于1． 19．不等式112+≥x 的解集为A ，关于x 的不等式23(53)50+++<x a x a 的解集为B ． (1)求集合A ，集合B ； (2)若集合N A B中有2021个元素，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析. (2)[2022,2021)a ∈--【分析】（1）根据绝对值不等式的解法和含参二次不等式的解法求解即可；（2）由题知A B 中包含2021个正整数，进而当53a <，531,,322A B a ⎛⎤⎡⎫=--- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭才能满足题意，再求解范围即可. 【详解】(1)解：由112+≥x ，解得12x ≥或32x ≤-，所以31,,22⎛⎤⎡⎫=-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A 23(523)5(35)()0+++=++<x x a x x a ，当53a -<-，即53a >，53-<<-a x ；当53a =时，不等式解集为∅；当53->-a ，即53a <时，53-<<-x a ；所以，当53a >时，5,3B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当53a =时，B =∅；当53a <时，5,3B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(2)解：若集合N A B中有2021个元素，则A B 中包含2021个非负整数；又31,,22⎛⎤⎡⎫=-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A ，所以，要使则AB 中包含2021个正整数，则53a <，5,3B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,531,,322A B a ⎛⎤⎡⎫=--- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,所以A B 中的正整数为1，2，…，2021，所以202120221253a a a ⎧⎪<-≤⎪⎪->⎨⎪⎪<⎪⎩，解得20222021a -≤<-.所以[)2022,2021a ∈--．20．给定的正整数(2)n n ≥，若集合{}12,,,n A a a a M =⊆满足1212+++=⋅n n a a a a a a ，则称A 为集合M 的n 元“好集”．(1)写出一个实数集R 的2元“好集”； (2)证明：不存在自然数集N 的2元“好集”．【答案】(1)11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)证明见解析【分析】(1)根据新定义确定实数集R 的一个2元“好集”；(2) 设{}12A a ,a =是自然数集N 上的一个2元“好集”，且12a a <，讨论1a 与0的关系，推出矛盾，完成证明. 【详解】(1)因为111122-+=-⨯，又11,R 2⎧⎫-⊆⎨⎬⎩⎭，所以11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭是实数集R 的一个2元“好集”；(2)设{}12A a ,a =是自然数集N 上的一个2元“好集”，不妨设12a a <，①若10a =，则2N a *∈，故1212a a a a +=⨯不成立；②若1N a *∈，由1212a a a a +=⋅得()1122121=⋅-=-a a a a a a ，所以1121a a a -=，因为12,N a a *∈且12a a <，所以11201,1N a a a <<-∈，故1121a a a -=不成立，综上所述，自然集N 不存在2元“好集”．21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-．（1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？（2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由．（3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．【解析】（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素；（2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x-∈，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素.【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--．12A ∈，12112A ∴=∈-．A ∴中至少还有两个元素为1-，12；（2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x∴∈-，11111x A x x-=∈--，由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠，则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x-≠-，故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠），且1111x x x x-⋅⋅=--，设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m-⋅⋅=--，所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1.由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，第 11 页共 11 页设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =．此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈，由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=，即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23，所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性.。

上海市杨浦区交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试卷(解析版)

【答案】答案见解析.
【分析】对分、、、和五种情况讨论得解.
【详解】当时，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为；
④当时，不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式解集；
当时，不等式的解集为；
，解不等式即得解
【详解】由题意，
故且，可得
由可得，或；
由可得，
因此：
故答案为：
8.设，且，，则最大值为___________;
【答案】10；
【分析】首先由条件可知，，再表示，再根据不等式的性质求的最大值即可.
【详解】，，
，，，
设，
得，解得：，
即，
，
，即，
（2）假设，试确定当为何值时，取得最小值，并求出的最小值.
【答案】（1），；（2）， .
【分析】（1）由时间路程/速度，代入具体数值，即得解；
（2）转化，利用均值不等式即得解
【详解】（1）由题意，时间路程/速度
因此
（2）当时，
当且仅当，即时，等号成立
故当时，
12.解关于x的不等式 .
交大附中高一数学10月月考试
一填空题
1.若，则 _______ （填入等号或者不等式）
【答案】≥
【分析】直接套用三角不等式即可得出答案.
【详解】∵ ，
∴ .
故答案为：≥
2.二次不等式的解集是，则 =_______；
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解集求得，由此求得 .

上海市2021学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

上海市2021-2021学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题1.已知集合{}29,,1A x x =-+，集合{}21,2B x =，若{}2A B ⋂=，则x 的值为______.【答案】1 【解析】【分析】首先根据{}2A B ⋂=，求得1x =±，然后再代入两个集合验证. 【详解】{}2A B =，222x =，解得1x =或1x =-当1x =时，{}9,1,2A =-，{}1,2B =成立；当1x =-时，{}9,1,2A =，{}1,2B =,这与{}2A B ⋂=矛盾. 故答案为：1【点睛】本题考查根据两个集合的运算结果求集合，属于基础题型.2.已知,x y R ∈，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是______命题（填“真”或“假”）. 【答案】真【解析】【分析】互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假. 【详解】原命题和逆否命题互为等价命题，命题的逆否命题“若3x <且2y <，则5x y +<”显然是真命题，所以原命题也是真命题. 故答案为：真【点睛】本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.3.设{}28150A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合C =_____．【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】先求出A 的元素，再由B ⊆A ，分B φ=和B ≠φ求出a 值即可. 【详解】∵A ＝{x |x 2﹣8x +15＝0}， ∴A ＝{3，5}又∵B ＝{x |ax ﹣1＝0}， ∴①B φ=时，a ＝0，显然B ⊆A ②B φ≠时，B ＝{1a}，由于B ⊆A ∴135a=或 ∴1135a =或故答案为：{11035，，}【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题． 4.已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______. 【答案】若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】【分析】根据四种命题的形式，直接写其否命题.【详解】原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ” 那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”. 5.若{}|A x x a =<，{}23B x =-<<，则R A C B R =，则实数a 的范围是______.【答案】3a ≥【解析】【分析】首先求R C B ，根据R AC B R =，求a 的取值范围.【详解】{2R C B x x =≤-或3}x ≥R A C B R =，3a ∴≥故答案为：3a ≥【点睛】本题考查根据集合的运算结果，求参数的取值范围，当集合是无限集时，可以借助数轴解决问题.6.若集合{}21,M y y x x R ==-∈，{}23N x y x ==-，则MN =______.【答案】3⎡-⎣【解析】【分析】先化简集合M,N,再求M N ⋂得解.【详解】由题得{}1[3,3]M y y N =≥-=-，，所以=[1,3]MN -.故答案为：3⎡-⎣【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.“112x <”是“2x >”的______条件. 【答案】必要不充分【解析】【分析】首先求不等式的解集，然后判断集合的包含关系，最后判断充分必要条件. 【详解】112022x x x-<⇒>，即()20x x -> 解得2x >或0x <{}2{2x x x x ≠>⊂>或0}x <，∴“112x <”是“2x >”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，当命题是以集合形式给出时，:p x A ∈，:q x B ∈，若满足A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件；若A B =，则p 是q 的充要条件；若没有包含关系，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 8.设集合(){},|1U x y y x ==+，()3,|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，UC A =______.【答案】(){}2,3【解析】【分析】首先求集合A ，再根据全集求U C A . 【详解】(){},1,2A x y y x x ==+≠，集合A 表示直线1y x =+上除去()2,3的所有点组成的集合，(){}2,3U C A ∴=.故答案为：(){}2,3【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型.9.已知最新x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-，则不等式220cx x a -+->的解集为__________．【答案】(2,3)- 【解析】分析：不等式220ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则方程220ax x c ++=的根为11,32-，利用韦达定理求参数c a 、，再解不等式220cx x a -+->即可。

上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、填空题1．方程组254x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为． 2．若{}222,a a a ∈+，则实数a =．3．不等式241290x x -+≤的解集为.4．“实数a 、b 都是正数”的否定形式为.5．已知等式()()2234211x x a x x b ++=+++恒成立，则常数a b -=.6．设12,x x 是方程230x x +-=的两个实数根，则3312x x +=.7．已知集合{}A x y x =∈Z ，{}1,B y y x x A ==+∈，则A B =U .8．已知集合{}2410A x mx x =++=有两个子集，则m 的值是． 9．已知集合{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x m x m =++==+++=，若A B A =U ，则m =10．若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，则关于x 的不等式220ax cx b ++≥的解集是.11．若不等式组()()1301x x ax ⎧--<⎨>⎩的解集为空集，则实数a 的取值范围为. 12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，选择M 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有种．二、单选题13．若,,a b c R ∈，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b c >>>，则b c a b a c >-- D ．若0a b c >>>，则a a c b b c+<+ 14．下列说法中，正确的是（）A ．π∉RB ．若A B =∅I ，则A ，B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集D ．若S 为全集，且A B S =I ，则A B S ==15．对任意a 、b 、c ∈R ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件； ②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“4a <”是“3a <”的必要非充分条件；④“a b >”是“22a b >”的充分非必要条件.其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．对于集合A 、B ，定义集合运算{|A B x x A -=∈且}x B ∉，给出下列三个结论：（1）()()A B B A -⋂-=∅；（2）()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂；（3）若A B =，则A B -=∅；则其中所有正确结论的序号是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）三、解答题17．（1）已知0a >且0b >，比较2a b +-与()21ab a b-+的值的大小，并说明理由；（2）若0a b >>，0c d <<，0e <，比较e a c -与e b d -的值的大小，并说明理由. 18．求下列关于x 的不等式（组）的解集.(1)2303100x x x +>⎧⎨--≥⎩ (2)()22120ax a x +-->19．已知全集为R ，集合{}2131A x a x a =+≤≤-，1913B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭. (1)当8a =时，求A B U 、A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，求实数a 的取值范围.20．已知关于x 的不等式()()()2245110k k x k x k --+++>∈R 的解集为M .(1)若M =R ，求实数k 的取值范围；(2)若存在两个不相等的负实数a 、b ，使得()(),,M a b =-∞⋃+∞，求实数k 的取值范围；(3)是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有n M ∈；对于任意负整数m ，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.21．已知有限集{}()12,,...2,n A a a a n n =≥∈N ，如果A 中的元素()1,2,...,i a i n =满足1212......n n a a a a a a +++=⨯⨯⨯，就称A 为“完美集”．(1)判断：集合{11--是否是“完美集”并说明理由；(2)12、a a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，求证：12、a a 至少有一个大于2；(3)若i a 为正整数，求：“完美集”A .。

上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=.2．若a ，b R +∈，则不等式1b a x-<<的解集是.3．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是．4．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B = ，则A B = ．5．化简=.6．已知3log 2a =，3log 5b =，则log a ，b 表示的值为.7．对任意实数x ，等式()()432223ax bx cx dx e x x x ++++=-+恒成立，则关于x 的不等式420ax cx d e b +++-≤的解是.8．已知全集U =R ，实数,a b 满足0a b >>，集合2a b M x b x ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭，{}N x a =<<，则U M N =ð.9．关于x 的不等式|2||3|x x k ++-≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是10．若实数,m n 为方程2260x kx k -++=的两根，则22(1)(1)m n -+-的最小值为.11．已知集合{}1,2,3,4,5A =，直角坐标系xOy 中的点集(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈．若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B 中的所有点，则这张纸片的面积至少是．12．关于x 的不等式组()226027270x x x a x a ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有3-，求a 的取值范围.二、单选题13．“221x y +<”是“1xy x y +>+”成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ab bc >B ．22ab b c >C ．()()0ab ac b c -->D ．()()0ac bc a c -->15．若代数式2143mx mx mx -++对任意的实数x 有意义，则实数m 的取值范围是（）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-三、解答题17．解关于x 的不等式：(1)122x x x -+-<+(2)()22101x x x x--≥-18．求下列函数的取值范围.(1)125,(2)2y x x x =++<-(2)()21,15x y x x +=>-+19．已知全集R U =，{}2|320A x x x =-+≤，{}2|20B x x ax a =-+≤，且A B B = ，求a的取值范围.20．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a （14a ≤≤，且a R ∈）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）当一次投放4a =个单位的洗衣液时，求在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度．（2）在（1）的情况下，即一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y （克/升）与时间x （分钟）的函数关系式，求出最低浓度，并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污．21．对正整数n ，记{}1,2,3,,,,n n n n I n P m I k I ⎫==∈∈⎬⎭.(1)用列举法表示集合3P ；(2)求集合7P 中元素的个数；。

高中上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题

上海市进才中学【精品】高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{}220x x x a -+=是单元素集合，则实数a =______.2．若α、β是一元二次函数2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=______. 3．满足{}{},M a a b ⊆的集合M 的个数是______个.4．用列举法表示方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩______. 5．已知命题:2P x >，命题2:230Q x x --=，则命题“P 或Q ”为真的运算结果为______.6．若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是______. 7．若集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =______. 8．已知集合{}41,A x x k k Z ==±∈，U Z =，则U A ______ .9．设关于x 的不等式0ax b +>的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式06ax b x ->-的解集为______. 10．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄由小到大依次为______.11．Q是有理数集，集合{},,,0M x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①}x M ∈；②1x M x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③{}1212,x x x M x M +∈∈；④{}1212,x x x M x M ∈∈.与集合M 相等的集合序号是______.12．设集合{}1,2,3,4,5I =，若非空集合A 同时满足①A I ⊆，②()min A A ≤（其中A 表示A 中元素的个数，()min A 表示集合A 中最小元素），称集合A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为______.二、单选题13．已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（）A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥14．已知实数a 、b 、c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“ a b ac >”成立的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 15．以下结论错误的是（）A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”B ．命题“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C ．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D ．命题“220m n +=，则0m =或0n =”的否命题是“220m n +≠，则0m ≠且0n ≠”16．已知不等式()()120a x x x x -->的解集为A ，不等式()()120b x x x x --≥的解集为B ，其中a 、b 是非零常数，则“0ab <”是“AB R =”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件三、解答题17．解不等式：2024x x <+-<. 18．设0m n >>，试比较2222m n m n-+与m n m n -+的大小关系. 19．设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--；（2）若()1f x ≤解集为[]0,2，求a 的值.20．已知集合()4,6A =-，集合()(){}30,B x x a x a x R =--≤∈.（1）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.21．已知数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =且1211112n n na a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+；（3）证明：当5m =时，53424321a a a a a a a a ===.参考答案1．1【解析】【分析】由题意得知0∆=，即可求出实数a 的值.【详解】由题意可知，方程220x x a -+=有且只有一个实根，则440a ∆=-=，解得1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用集合元素的个数求参数的值，考查二次方程根的个数问题，考查运算求解能力，属于基础题.2．4-【分析】利用韦达定理得出αβ+、αβ的值，然后将代数式通分代值计算即可.【详解】由韦达定理可得4αβ+=-，1αβ=，因此，11441βααβαβ+-+===-. 故答案为4-.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.3．4【分析】把符合条件的集合M 列举出来，即可得出符合条件的集合M 的个数.【详解】由题意可知，满足{}{},Ma ab ⊆的集合M 有：∅、{}a 、{}b 、{},a b ，共4个.故答案为4.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的求解，一般将符合条件集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭【分析】解出方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩. 【详解】解出方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22x y ，因此，方程组221x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭.故答案为；⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 【点睛】本题考查二元方程组的解集的求解，在求出方程组的解之后，表示解集时需注意解集中的元素应表示为有序实数对，考查计算能力，属于基础题.5．2x >-或1x =-【分析】解方程2230x x --=，将P 、Q 中x 的取值或取值范围合并可得出命题“P 或Q ”为真的运算结果.【详解】解方程2230x x --=，得1x =-或3x =，因此，命题“P 或Q ”为真的运算结果为2x >-或1x =-.故答案为：2x >-或1x =-.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，解题时要结合复合命题的真假得出简单命题的真假，从而得出参数的取值范围，考查计算能力，属于基础题.6．(]1,0-【分析】分两种情况0a =和00a <⎧⎨∆<⎩，可求出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R .当0a =时，原不等式为10-<，该不等式在R 上恒成立；当0a ≠时，则有20440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-.故答案为：(]1,0-.【点睛】本题考查二次不等式在实数集上恒成立问题，一般要对首项系数的符号和判别式的符号进行讨论，由此列出不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．{}21x x -<<【分析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可得出集合A B .【详解】 {}20211x A x x x x ⎧⎫+=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{}{}222B x x x x =<=-<<，因此，{}21A B x x ⋂=-<<. 故答案为：{}21x x -<<.【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题. 8．{}2,x x k k Z =∈【分析】将集合A 表示为{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈，并进行化简，再利用补集的定义可得出集合U A .【详解】由题意可得{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈， {}{}41,221,x x k k Z x x k k Z =+∈==⨯+∈，{}(){}41,2211,x x k k Z x x k k Z =-∈==⨯-+∈，所以，{}{}{}41,41,21,A x x k k Z x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈==+∈，因此，{}2,U A x x k k Z ==∈.故答案为：{}2,x x k k Z =∈.【点睛】本题考查补集的运算，解题的关键就是弄清楚题中集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．{1x x <-或}6x >【分析】由题意得出1为关于0ax b +=的根，且0a >，然后将分式不等式化为106x x +>-，解出该不等式即可.【详解】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是()1,+∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a >， 0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x ->-即为06ax a x +>-，即106x x +>-，解该不等式得1x <-或6x >.故答案为{1x x <-或}6x >.【点睛】本题考查不等式与解集之间的关系，同时也考查了分式不等式的求解，解题的关键就是确定两参数的等量关系，并确定出参数的符号，考查运算求解能力，属于中等题.10．c a b <<【分析】若命题A 为真命题，可得出a b c <<或c a b <<，若命题B 为真命题，可得出b c a <<或c a b <<，进而得出结论.【详解】若命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”是真命题，则a 是最小，b 不是最大，即c 最大，或a 不是最小，b 最大，c 最小，即a b c <<或c a b <<；若命题B ：“如果c 的年龄不是最小，那么a 的年龄最大”是真命题，则c 不是最小，a 最大，b 最小，或a 不是最大，c 最小，b 最大，即b c a <<或c a b <<.若两个命题均为真命题，则c a b <<.故答案为：c a b <<.【点睛】本题考查了命题真假性的判断与应用，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题的真假性相同，考查推理能力，属于中等题.11．①②④【分析】利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.【详解】对于①中的集合，x M ∈，设x a =，a Q ∈，b Q ，)2a b ==，则2b Q ∈，①中的集合与集合M 相等；对于②中的集合，x M ∈，设x a =，a Q ∈，b Q ，且a 、b 不同时为零.则2212a x a b ===-222a Q a b ∈-，222b Q a b -∈-，②中的集合与集合M 相等；对于③中的集合，取1x a =，2x a =-，a Q ∈，bQ ，则120x x M +=∉，③中的集合与集合M 不相等；对于④中的集合，设111x a =，222x a =，其中1a 、2a 、1b 、2b Q ∈，则()()()(121122*********x x a a a a b b a b a b =+=+++12122a a b b Q +∈，1221a b a b Q +∈，④中的集合与集合M 相等.因此，集合M 相等的集合序号是①②④.故答案为：①②④.【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.12．12【分析】对()min A 的取值为1、2、3、4、5进行分类讨论，列举出在()min A 在对应取值下集合A ，由此得出符合条件的集合A 的个数.【详解】由题意可知，()min A 的取值为1、2、3、4、5.（1）当()min 1A =时，1A ≤，则{}1A =；（2）当()min 2A =时，2A ≤，则符合条件的集合A 有：{}2、{}2,3、{}2,4、{}2,5，共4个；（3）当()min 3A =时，3A ≤，则符合条件的集合A 有：{}3、{}3,4、{}3,5、{}3,4,5，共4个；（4）当()min 4A =时，4A ≤，则符合条件的集合A 有：{}4、{}4,5，共2个；（5）当()min 5A =时，5A ≤，则符合条件的集合A 为{}5.综上所述，I 的所有好子集的个数为1442112++++=.故答案为12.【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要明确题中集合的定义，采用列举法列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.13．D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<，,A B B B A ⋂=∴⊆，则2a ≥，故选D.14．B由0ac <，可得出0c a <<，由ab ac >可知0a >，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系. 【详解】c b a <<，若0ac <，则必有0c a <<，由b c >，可得出 a b ac >，则0ac ab ac <⇒>；另一方面，若 a b ac >，且c b a <<，则0a >，事实上，若0c b a <<<，则ab ac <. 则0ab ac ac >⇒</.因此，“0ac <”是“ a b ac >”成立的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题. 15．C 【分析】利用逆否命题、否命题与原命题之间的关系可判断A 、D 选项的正误；解方程2340x x --=，可得出B 选项的正误；写出命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题，再判断出其逆命题的正误，可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”，A 选项中的结论正确；对于B 选项，解方程2340x x --=，得1x =-或4x =，所以，“4x =”是“2340x x --=”的充分条件，B 选项中的结论正确；对于C 选项，命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”，由140m ∆=+≥，得14m ≥-，逆命题为假命题，C选项中的结论错误；对于D 选项，命题“220m n +=，则0m =或0n =”的否命题是“220m n +≠，则0m ≠且0n ≠”，D 选项中的结论正确.【点睛】本题考查四种命题以及充分条件的判断，要熟悉命题之间的关系，以及真假性之间的关系，考查推理能力，属于基础题. 16．A 【分析】对a 、b 的符号以及1x 、2x 是否相等分情况讨论，得出A B R =的充要条件，即可判断出“0ab <”是“A B R =”的充要条件关系.【详解】（1）若0a >，0b >.①若12x x =，不等式()()120a x x x x -->即为()210x x ->，则{}1A x x x =≠，不等式()()120b x x x x --≥即为()210x x -≥，得B R =，A B ⊆，A B B R ==；②若12x x ≠，不妨设12x x <，不等式()()120a x x x x -->即为()()120x x x x -->，则()()12,,A x x =-∞+∞，不等式()()120b x x x x --≥即为()()120x x x x --≥，得(][)12,,B x x =-∞+∞，A B ⊆，则AB B R =≠；（2）同理可知，当0a <，0b <时，A B ⊆，A B B ⋃=不一定为R ；（3）若0a >，0b <.①若12x x =，不等式()()120a x x x x -->即为()210x x ->，则{}1A x x x =≠，不等式()()120b x x x x --≥即为()210x x -≤，则{}1B x =，此时，A B R =；②若12x x ≠，不妨设12x x <，不等式()()120a x x x x -->即为()()120x x x x -->，则()()12,,A x x =-∞+∞，不等式()()120b x x x x --≥即为()()120x x x x --≤，则[]12,B x x =，此时，A B R =；（4）同理，当0a <，0b >时，A B R =.综上所述，“0ab <”是“A B R =”的充分不必要条件.故选A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题. 17．()()3,21,2--【分析】分别解出不等式220x x +->和224x x +-<，然后将两个解集取交集即可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式220x x +->，得2x <-或1x >.解不等式224x x +-<，即260x x +-<，解得32x -<<. 因此，不等式2024x x <+-<的解集为()()3,21,2--.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.18．2222m n m n m n m n-->++ 【分析】由()()()()2222m n m n m n m n m n m n m n -+--==+++，再利用不等式的性质可得出2222m n m n-+与m n m n -+的大小关系. 【详解】()()()()222222222m n m n m n m n m n m n m mn n m n m n -+---===+++++，0m n >>，222202m n m mn n ∴<+<++且220m n ->，2222112m n m mn n ∴>+++，因此，222222222m n m n m n m mn n -->+++，即2222m n m n m n m n-->++. 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较代数式的大小，常用的比较大小方法有：作差法、作商法、不等式的性质、函数单调性法、中间值法以及图象法等，可以结合代数式的结构选择合适的方法来比较大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．（1）(][),25,-∞-+∞；（2）1a =. 【分析】（1）将2a =代入不等式()71f x x ≥--，得出127x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三种情况来解不等式()71f x x ≥--，即可得出该不等式的解集；（2）解出不等式()1f x ≤得出11a x a -≤≤+，由题意得出[][]0,21,1a a =-+，然后列出方程组求出实数a 的值. 【详解】（1）当2a =时，由()71f x x ≥--，得271x x -≥--，即127x x -+-≥. 当1x ≤时，则有12327x x x -+-=-≥，解得2x -≤，此时，2x -≤；当12x <<时，则有1217x x -+-=>，该不等式不成立；当2x ≥时，则有12237x x x -+-=-≥，解得5x ≥，此时，5x ≥. 综上所述，当2a =时，不等式()71f x x ≥--的解集为(][),25,-∞-+∞；（2）解不等式()1f x ≤，即1x a -≤，即11x a -≤-≤，解得11a x a -≤≤+. 由题意可得[][]0,21,1a a =-+，所以，1012a a -=⎧⎨+=⎩，因此，1a =.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值不等式的解集求参数，对于绝对值不等式的求法，一般利用零点分段法与绝对值的几何意义来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20．（1）423,⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(][),46,-∞-+∞【分析】（1）由A B A ⋃=得出B A ⊆，然后对a 与3a 的大小分三种情况讨论，结合条件B A ⊆列关于a 的不等式组，即可求出实数a 的取值范围；（2）然后对a 与3a 的大小分三种情况讨论，结合条件A B =∅，列出关于a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）A B A =，B A ∴⊆.当0a =时，{}0B A =⊆成立；当0a <时，3a a <，则[]3,B a a =，由B A ⊆，得346a a >-⎧⎨<⎩，解得463a -<<，此时，403a -<<；当0a >时，3a a >，则[],3B a a =，由B A ⊆，得436a a >-⎧⎨<⎩，解得42a -<<，此时，02a <<.综上所述，实数a 的取值范围是423,⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）当0a =时，{}0B A =⊆，此时，{}0A B =≠∅，舍去；当0a <时，30a a <<，此时，[]3,B a a =，由A B =∅，得4a ≤-；当0a >时，30a a >>，此时，[],3B a a =，由A B =∅，得6a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][),46,-∞-+∞.【点睛】本题考查利用集合包含关系、集合运算的结果求参数，解题时要对参数的符号进行分类讨论，并求出相应的集合，结合数轴来得出不等关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 21．（1）{}1,3,4不具有性质P ，{}1,2,3,6具有性质P ，理由详见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）由定义直接判断集合{}1,3,4和{}1,2,3,6是否具有性质P ；（2）由已知得n n a a 和nna a 中至少有一个属于A ，从而得到11a =，再由121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，得到()2,3,,k n a a A k n ∉=，由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=，由此能证明1211112nn na a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+；（3）当5n =时，25243a a a a ==，从而34a a A ∈，43a A a ∈，由此能证明53424321a a a a a a a a ===. 【详解】（1）由于34⨯和43均不属于数集{}1,3,4，所以，数集{}1,3,4不具有性质P . 由于12⨯、13⨯、16⨯、23⨯、62、63、11、22、33、66都属于数集{}1,2,3,6，所以，数集{}1,2,3,6具有性质P ；（2）数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，所以，n n a a 和nna a 中至少有一个属于A ，121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，所以n n n a a a >，则n n a a A ∉，从而1nna A a =∈，故11a =. 121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，所以，k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.因为，数集A 具有性质P 可知，()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又因为121n n n n n n a aa a a a a a -<<<<，1n n a a a ∴=，21n n a a a -=，，12n n a a a -=，1n n aa a =. 所以，1212n nnn na a a a a a a a a +++=+++.因此，()111121212*********121212n n n n n nn n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+===++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+；（3）由（2）知，542a a a =，533a a a =，即25243a a a a ==，因为123451a a a a a =<<<<，所以，34245a a a a a >=，则34a a A ∉，由于数集A 具有性质P ，43a A a ∴∈. 由2243a a a =，可得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，所以，34232a aa a a ==，故534224321a a a a a a a a a ====，因此，53424321a a a a a a a a ===. 【点睛】本题考查集合中的新定义，考查等式的证明，考查了运算求解能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想的应用，能较好地考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于难题.。

上海市桃浦中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学测验卷

上海市桃浦中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学测验卷一、填空题1．已知全集{}9,U x x x =≤∈N ，{}1,2,4,5,6,8A =，{}2,4,5,6,7,9B =，A B = ．2．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∪B ．3．用反证法证明“若220a b +=，则a 、b 全为0（a 、R b ∈）”，第一步应假设为．4．满足条件{}{}1,21,2,3,4,5M ⊂⊆的集合M 的个数为.5．设α：24x <≤，β：x m >，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是.6．已知方程2x 2+4x ﹣7＝0的两个根为1x 、2x ，则2212x x +=．7．已知集合{A x y ==，集合{}2B y y x ==，则A B = .8．设集合{}{}260,10A x x x B x ax =+-==+=||，若B A ⊆，则a =.9．已知方程210x x --=的两根分别为1x ，2x ，尝试构造一个二次项系数为1，且两根分别为11x ，21x 的一元二次方程.10．共有50名学生参加篮球､足球社团报名.已知有40%的学生报名参加了篮球社､70%的学生报名参加了足球社.两个社团都不参加的学生人数是都参加人数的一半多3人.则两个社团都不参加的学生人数是.11．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题哪些是正确的．①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>，则111a b c<<；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >；⑤若a b >，c d >，则a c b d ->-；⑥已知a b c >>且0a b c ++=，则ab ac >．12．定义()A ∏为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身．已知集合}2π,1,0M =-，M 的所有非空子集依次记为1M ，2M ，…，31M ，则()()()1231M M M ++⋅⋅⋅+=∏∏∏．二、单选题13．方程组11x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（）A ．{}0,1x y ==B ．{}0,1C ．(){}0,1D ．{0x =或}1y =14．以下关系式错误的有几个（）①0∈∅；②{}0⊇∅；③0∈N ；④{}{},,a b a b ⊆；⑤{}{}0⊆∅；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．定义集合运算{}1212,,A B x x x x x A x B ⊗==⋅∈∈，若{}1,3,4A =，{}1,4B =，则A B ⊗既有元素之和为（）A ．48B ．54C ．42D ．3616．已知下列四组陈述句：①α：集合A B A C ⋂=⋂；β：集合B C=②α：集合A B C A ⊆⊆⊆；β：集合A B C==③α：{}21,x x x n n ∈=+∈Z ；β：{}61,x x x n n ∈=-∈N ④α：桃浦中学高一全体学生：β：桃浦中学全体学生其中α是β的必要非充分条件的有（）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③三、解答题17．（1）证明：ac bd -；（2）已知集合{}225,3,27A a a a a =++++，若7A ∈，求a ．18．（1）求关于x 的方程的解集：221612n x n x n -=--；（2）已知集合{}25140A x ax x =+-=，若关于x 的方程2310x ax ++=存在两个不相等实根且12x x -=，求a 与集合A ．19．（1）已知a b c d ,,,为实数且满足1a b +=，1c d +=，1ac bd +>．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明）（2）已知集合{}24P x x =<<，{}3252Q x m x m =-≤≤+．若P 的充分非必要条件为Q ，则m 的取值范围是？20．已知集合{}2320A x x x =-+=，集合()(){}222150B x x a x a =+++-=.(1)若{}2A B = ，求实数a 的值.(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围.(3)若R U =，A B A = ，求实数a 的取值范围.21．若集合A 具有以下性质：（i ）0A ∈且1A ∈；（ⅱ）若,x y A ∈，则x y A -∈，且当0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“闭集”.(1)试判断集合{}1,0,1B =-是否为“闭集”，并说明理由；(2)设集合A 是“闭集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；(3)若集合M 是一个“闭集”，判断命题“若x M ∈，则2x M ∈”的真假，并说明理由.。

上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知a b >，则（）A ．22a b >B ．33a b >C ．||||a b >D ．22ac bc >14．设集合A 、B 、C 均为非空集合，下列命题中为真命题的是（）A ．若AB BC Ç=Ç，则A C=B ．若A B B C È=È，则A C=C ．若A B B C È=Ç，则C B ÍD ．若A B B C =I U ，则C BÍ15．已知{}{}22R 0,R 0A x x x a B x x x b =Î-+£=Î-+£||，甲：a b =，乙：A B =，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A Ç=Æ，()11,2,3,,6i i A A i +Ç=Æ=L ，记1237B A A A A =ÈÈÈÈL ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8参考答案：1．()1,3-/()3,1-【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}1,3,5M =-，{}1,0,1,2,3N =-，所以{}1,3M N =-I ，故答案为：{}1,3-2．{}2,4【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可.【详解】设集合{}1,5,9C A B ==I ，所以图中阴影部分表示的集合是{}2,4BC =ð，故答案为：{}2,43．1-【分析】讨论2x =-或232x x +=-，解出x 的值，由集合的互异性即可得出答案.【详解】当x ＝-2时，232x x +=-，与互异性矛盾.当232x x +=-时，解得x ＝-1或x ＝-2（舍去）．当x ＝-1时符合题意，故答案为：1-.4．(][),47,-¥-+¥U 【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】()()22328032804707x x x x x x x -++£Þ--³Þ+-³Þ³，或4x £-故答案为：(]3,1-．11．4-【分析】由()()2140x x ax -++=得1231x x x a ++=-，即可求解参数．【详解】由()()2140x x ax -++=得10x -=或240x ax ++=所以11x A =Î，240x ax ++=，当2160a D =-=时，2x =是方程240x ax ++=的根，解得4a =-，当0D >时，若方程240x ax ++=的一根为1，则5a =-，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程240x ax ++=的根，则方程两根232x x a +=-=，此时2a =-不满足0D >，舍去.故答案为：4-．12．{}4,6【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合.【详解】将=i j x x k -表示为(),,i jx x k ，可得如下结果：()()()()()()()17,1,16,16,1,15,13,1,12,11,1,10,7,1,6,5,1,4,2,1,1，()()()()()()17,2,15,16,2,14,13,2,11,11,2,9,7,2,5,5,2,3,()()()()()17,5,12,16,5,11,13,5,8,11,5,6,7,5,2,()()()()17,7,10,16,7,9,13,7,6,11,7,4,()()()17,11,7,16,11,5,13,11,2,()()17,13,4,16,13,3,()17,16,1,其中k 为4，6都出现了3次，所以若方程=(>0)i j x x k k -至少有三组不同的解，则k 的取值集合为{}4,6，故答案为：{}4,613．B【分析】举特例可判断A ，C ，D ，由函数3y x =在R 上单调递增可判断B.【详解】当1a =，2b =-时，A ，C 错误；因为函数3y x =在R 上单调递增，所以33a b >，B 正确；当0c =时，D 错误.故选：B 14．D【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC ，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.【详解】对于A ， A B B C Ç=Ç，当{}{}{}1,2,1,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则A 错误；对于B, A B B C È=È，当{}{}{}1,2,3,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则B 错误；对于C ，A B B C È=Ç，当{}{}{}1,1,2,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则C 错误；对于D ，因为A B B ÍI ，A B B C =I U ，所以B C B ÈÍ，又B B C ÍU ，所以B B C =U ，则C B Í，则D 正确.故选：D 15．A【分析】易知当a b =时，两集合,A B 相等；当A B ==Æ时，,a b 不一定相等，即只有充分性成立.【详解】充分性：若a b =，显然两集合对应的不等式相同，可得A B =，即充分性成立；必要性：若A B =，当,A B 都为空集时，此时只需要满足140a -<且140b -<即可，不妨取1,2a b ==，此时满足A B ==Æ，但a b ¹，即必要性不成立；所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A 16．A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ³是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ³，然后对n的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ³是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A Ç¹Æ，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A Ç=Æ矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.故m的最小值为674，于是当674m=时，A中元素最多，即{674A=，675，676，¼，2021}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．。

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)月考数学试卷(10月份)

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）月考数学试卷（10月份）试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知0＜a＜b，则ab ___ a+1b+1（填“＞”或“＜”）．2.（填空题，0分）已知集合A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，则m的值为___ ．3.（填空题，0分）不等式x2-5|x|-6＜0的解集是___ ．4.（填空题，0分）已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是___ ．5.（填空题，0分）已知x为实数，且x2+ 1x2 =3，则x3+ 1x3的值是___ ．6.（填空题，0分）设A={x|x= √5k+1，k∈N}，B={x|x≤5，x∈Q}，则A∩B=___ ．7.（填空题，0分）已知关于x的不等式-1＜ax+1x−1＜1的解集是{x|-2＜x＜0}，则所有满足条件的实数a组成的集合是___ ．8.（填空题，0分）对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A、B都不赞成的学生各有人数是___ ．9.（填空题，0分）若关于x的不等式ax2+x-1≥0只有一个解，则满足条件的实数a组成的集合是___ ．10.（填空题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2+（x-1）|x+1|=1}，则A =___ ．11.（填空题，0分）已知集合A={x|x2+2x-8≥0}，B={x|x2-2ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B∩N 中恰有2个元素，则a的取值范围为___ ．12.（填空题，0分）在整数集Z中，被整数t除所得余数为k（t＞k≥0）的所有整数组成一个“类”，记为[k]t={at+k|a∈Z}，k=0，1，2，…，t-1，如[3]5={5a+3|a∈Z}，则下列结论正确的为___ ．① [1]2=[1]4∪[3]4；② Z=[0]2∪[0]3；③ 整数a、b满足a∈[1]5且b∈[2]5的充要条件是a+b∈[3]5；④ [0]3∩[1]2=[3]6．13.（单选题，0分）已知命题A成立可推出命题B不成立，那么下列说法一定正确的是（）A.命题A成立可推出命题B成立B.命题A不成立可推出命题B不成立C.命题B成立可推出命题A不成立D.命题B不成立可推出命题A成立14.（单选题，0分）已知a、b、c∈R，则下列四个命题正确的个数是（）① 若ac2＞bc2，则a＞b；② 若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）2＞（b-2）2；③ 若a＞b＞c＞0，则1a ＜1b＜1c；④ 若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．A.1B.2C.3D.415.（单选题，0分）定义A-B={x|x∈A且x∉B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A-B）∪（B-A）⊆C，则A⊆（C-B）∪（B-C）是A∩B∩C=∅的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件16.（单选题，0分）使得5x+12 √xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（）A.8B.9C.10D.前三个答案都不对17.（问答题，0分）已知关于x的不等式：a(x−1)x−2＞1（a∈R）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）当a＜1时，求此不等式的解集．18.（问答题，0分）已知集合A={x||3x-1|≤x ，x∈R}，集合B={x| x 1−2x ≥1，x∈R}．（1）用区间表示集合A 与集合B ；（2）若定义集合A 为全集，求集合B 在集合A 中的补集 B ．19.（问答题，0分）命题甲：关于x 的方程x 2+x+m=0有两个相异负根；命题乙：不等式m 2+pm ＞4m+p-3对p∈[0，1]恒成立．（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数m 的取值范围；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数m 的取值范围．20.（问答题，0分）定义区间（m ，n ）、[m ，n]、（m ，n]、[m ，n ）的长度均为n-m ，其中n ＞m ．（1）不等式组 {1≤71+x ≤7x 2+3tx −4＜0解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t 的范围；（2）已知实数a ＞b ，求满足不等式 1x−a + 1x−b ≥1的解集的各区间长度之和．21.（问答题，0分）记有理数集Q 的非空子集S 具有以下性质： ① 0∉S ； ② 若s 1∈S ，s 2∈S ，则 s1s 2 ∈S ； ③ 存在非零有理数q ，q∉S 且每一个不在S 中的非零有理数都可写成qs 的形式，其中s∈S ．（1）若s∈S ，t∈S ，求证：st∈S ；（2）若u 是非零有理数，且u∉S ，求证：u 2∈S ；（3）求证：x∈S ，则存在y 、z∈S ，使x=y+z ．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知0＜a＜b，则ab ___ a+1b+1（填“＞”或“＜”）．【正确答案】：[1]＜【解析】：利用作差法，结合条件，即可得结论．【解答】：解：ab - a+1b+1= a(b+1)−b(a+1)b(b+1)= a−bb(b+1)，∵0＜a＜b，∴a-b＜0，b+1＞0，∴ a−b b(b+1)＜0，∴ ab＜a+1b+1．故答案为：＜．【点评】：本题考查不等式的基本性质，不等式比较大小，以及作差法的应用，属于基础题．2.（填空题，0分）已知集合A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，则m的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，知m2=-m，由此能求出实数m的值，m=-1不满足集合中元素的互异性，舍去．【解答】：解：∵A={1，-m}，B={1，m2}，且A=B，∴m2=-m，解得m=-1，或m=0．m=-1不满足集合中元素的互异性，舍去．∴m=0符合题意．故答案是：0．【点评】：本题考查实数m的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相等的概念的灵活运用．3.（填空题，0分）不等式x2-5|x|-6＜0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（-6，6）【解析】：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．【解答】：解：∵x2-5|x|-6＜0，∴（|x|-6）（|x|+1|＜0，∴|x|＜6，解得：-6＜x＜6，故不等式的解集是（-6，6），故答案为：（-6，6）．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2，是一道基础题．4.（填空题，0分）已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1）【解析】：p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，可判断1与a的大小．【解答】：解：∵p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，通过数轴可判断1位于a的右侧，∴a＜1，即a的取值范围为（-∞，1）．故答案为：（-∞，1）．【点评】：本题是简易逻辑推理，通过数轴解决，属于基础题．5.（填空题，0分）已知x为实数，且x2+ 1x2 =3，则x3+ 1x3的值是___ ．【正确答案】：[1] ±2√5【解析】：先利用已知条件结合完全平方公式求出x+ 1x的值，再利用立方和公式即可算出结果．【解答】：解：∵x2+ 1x2 = (x+1x)2−2 =3，∴ x+1x=±√5，又∵x3+ 1x3 = (x+1x)(x2−1+1x2) =2（x+ 1x），∴x3+ 1x3= ±2√5，故答案为：±2√5．【点评】：本题主要考查了有理数指数幂及根式的计算，考查了完全平方公式和立方和公式，是基础题．6.（填空题，0分）设A={x|x= √5k+1，k∈N}，B={x|x≤5，x∈Q}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1，4}【解析】：利用交集性质求解即可．【解答】：解：∵A={x|x= √5k+1，k∈N}={1，√6，√11，4，√21，√26，√31，6，…}，B={x|x≤5，x∈Q}，∴A∩B={1，4}．故答案为：{1，4}．【点评】：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．7.（填空题，0分）已知关于x的不等式-1＜ax+1x−1＜1的解集是{x|-2＜x＜0}，则所有满足条件的实数a组成的集合是___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：先把不等式-1＜ax+1x−1＜1转化为二次不等式（a2-1）x2+2（a+1）x＜0，再利用其解集为{x|-2＜x＜0}求出a的值即可．【解答】：解：不等式-1＜ax+1x−1＜1等价于| ax+1x−1|＜1，等价于|ax+1|＜|x-1|，等价于（ax+1）2＜（x-1）2，等价于（a2-1）x2+2（a+1）x＜0，∵其解集是{x|-2＜x＜0}，∴a2＞1且方程（a2-1）x2+2（a+1）x=0的两根为-2与0，∴ {a 2＞14(a 2−1)−4(a +1)=0，解得：a=2，∴满足条件的实数a 组成的集合为{2}．故答案为：{2}．【点评】：本题主要考查不等式的解集和其对应方程的根之间的关系，属于中档题．8.（填空题，0分）对班级40名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都不赞成的学生各有人数是___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：赞成A 的人数24，赞成B 的人数为27，设对A 、B 都赞成的学生数为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数 13 x+1，结合韦恩图求解即可【解答】：解：由题意：赞成A 的人数24，赞成B 的人数为27，设对A 、B 都赞成的学生数为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数 13 x+1，如图可得x+24-x+27-x+ 13 x+1=40所以x=18， 13 x+1=7．故答案为：7【点评】：本题考查集合的交集并集中的元素个数问题，是中档题．解题时要认真审题，注意韦恩图在解题中的灵活运用9.（填空题，0分）若关于x 的不等式ax 2+x-1≥0只有一个解，则满足条件的实数a 组成的集合是___ ．【正确答案】：[1]{- 14 }【解析】：结合二次函数的图象求出满足题意的a 的集合．【解答】：解：设f （x ）=ax 2+x-1，由其图象可知：关于x 的不等式ax 2+x-1≥0只有一个解，等价于 {a ＜0△=1+4a =0，解得：a=- 14 ，∴满足条件的实数a 组成的集合是{- 14 }，故答案为：{- 14 }．【点评】：本题主要考查二次函数的图象与二次不等式解集之间的联系，属于基础题．10.（填空题，0分）已知全集U=R ，集合A={x|x 2+（x-1）|x+1|=1}，则 A =___ ．【正确答案】：[1]{x|-1＜x ＜1或x ＞1}【解析】：对x+1的正负分情况讨论，分别求出x 的范围，得到集合A ，再利用补集的定义即可算出结果．【解答】：解： ① 当x≥-1时，方程化为x 2+（x-1）（x+1）=1，解得x=±1，符合题意；② 当x ＜-1时，方程化为x 2+（x-1）[-（x+1）]=1，即1=1，方程恒成立，综上所述，集合A={x|x≤-1或x=1}， ∴ A ={x|-1＜x ＜1或x ＞1}，故答案为：{x|-1＜x ＜1或x ＞1}．【点评】：本题主要考查了补集的运算，是基础题．11.（填空题，0分）已知集合A={x|x 2+2x-8≥0}，B={x|x 2-2ax+4≤0}，若a ＞0，且A∩B∩N 中恰有2个元素，则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][ 136 ， 52 ]【解析】：求出A 中不等式的解集确定出A ，设f （x ）=x 2-2ax+4，则f （x ）的轴对称x=a ＞0，对应方程的根x 1，x 2满足 {x 1x 2=4x 1+x 2＞0，从而0＜x 1≤2≤x 2（取x 1≤x 2），A∩B∩N 中恰有的整数为2，3，进而 {f (3)=9−6a +4≤0f (4)=16−8a +4＞0 ，由此能求出a 的取值范围．【解答】：解：由A 中不等式变形得：（x-2）（x+4）≥0，解得：x≤-4或x≥2，即A=（-∞，-4]∪[2，+∞），设f （x ）=x 2-2ax+4，则f （x ）的轴对称x=a ＞0，且对应方程的根x 1，x 2满足 {x 1x 2=4x 1+x 2＞0， ∴0＜x 1≤2≤x 2（取x 1≤x 2）， ∴A∩B∩N 中恰有的整数为2，3，∴ {f (3)=9−6a +4≤0f (4)=16−8a +4＞0，解得 136≤a ＜52 ，∴a 的取值范围为[ 136 ， 52 ]．故答案为：[ 136 ， 52 ]．【点评】：本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于中档题．12.（填空题，0分）在整数集Z 中，被整数t 除所得余数为k （t ＞k≥0）的所有整数组成一个“类”，记为[k]t ={at+k|a∈Z}，k=0，1，2，…，t-1，如[3]5={5a+3|a∈Z}，则下列结论正确的为___ ．① [1]2=[1]4∪[3]4；② Z=[0]2∪[0]3；③ 整数a 、b 满足a∈[1]5且b∈[2]5的充要条件是a+b∈[3]5；④ [0]3∩[1]2=[3]6．【正确答案】：[1] ① ④【解析】：根据集合相等的定义判断 ① ，举反例判断 ② ③ ，根据集合的交集的定义判断 ④ ．【解答】：解：对于 ① ，若m∈[1]2，则m=2k+1，k∈Z ，若k=2n ，则m=4n+1，故m∈[1]4，若k=2n+1，则m=4n+3，故m∈[3]4，∴[1]2=是[1]4∪[3]4的子集，若m∈[1]4∪[3]4，则m=4k+1或m=4k+3，若m=4k+1，则m=2（2k ）+1，若m=4k+3，则m=2（2k+1）+1，∴m∈[1]2，故[1]4∪[3]4是[1]2的子集，∴[1]2=[1]4∪[3]4，故 ① 正确；对于 ② ，∵1∈Z ，而1∉[0]2且1∉[0]3，∴Z≠[0]2∪[0]3，故 ② 错误；对于 ③ ，∵3+5=8，8∈[3]5，而3∉[1]5，5∉[2]5，∴整数a 、b 满足a∈[1]5且b∈[2]5不是a+b∈[3]5的必要条件，故 ③ 错误；对于 ④ ，若m∈[3]6，则m=6k+3=3（2k+1）=2（3k+1）+1，∴m∈[0]3，且m∈[1]2，∴[0]3∩[1]2=[3]6，1故④ 正确．故答案为：① ④【点评】：本题考查集合与集合的关系判断，考查充分必要条件，属于基础题．13.（单选题，0分）已知命题A成立可推出命题B不成立，那么下列说法一定正确的是（）A.命题A成立可推出命题B成立B.命题A不成立可推出命题B不成立C.命题B成立可推出命题A不成立D.命题B不成立可推出命题A成立【正确答案】：C【解析】：直接根据原命题与逆否命题是等价的，则真假性一致，从而可判定选项的真假．【解答】：解：逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真．“命题A成立可推出命题B不成立”的逆否命题为“命题B成立可推出命题A不成立”∴命题B成立可推出命题A不成立一定正确故选：C．【点评】：本题主要考查了四种命题的真假关系，解题的关键是原命题与逆否命题是等价的，属于基础题．14.（单选题，0分）已知a、b、c∈R，则下列四个命题正确的个数是（）① 若ac2＞bc2，则a＞b；② 若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）2＞（b-2）2；③ 若a＞b＞c＞0，则1a ＜1b＜1c；④ 若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：利用不等式的基本性质判断命题的真假即可．【解答】：解：① 若ac2＞bc2，可知c2＞0，则a＞b；所以① 正确；② 若|a-2|＞|b-2|，则（a-2）2＞（b-2）2；满足不等式的基本性质，所以② 正确；③ 若a＞b＞c＞0，则1a ＜1b＜1c；满足不等式的基本性质，所以③ 正确；④ 若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．反例a=10，b=0.5，满足条件，推不出结论，所以④ 不正确；故选：C．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基础题．15.（单选题，0分）定义A-B={x|x∈A且x∉B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A-B）∪（B-A）⊆C，则A⊆（C-B）∪（B-C）是A∩B∩C=∅的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：A【解析】：作出示意图，由于（A-B）∪（B-A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可．【解答】：解：如图由于（A-B）∪（B-A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，于是A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B=Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，（1）若A∩B∩C=∅，则Ⅴ=∅，所以A=Ⅰ∪Ⅳ，而（C-B）∪（B-C）=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，所以A⊆（C-B）∪（B-C）成立，（2）反之，若A⊆（C-B）∪（B-C），则由于（C-B）∪（B-C）=Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A=Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ）⊆（Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），所以Ⅴ=∅，所以A∩B∩C=∅，故A⊆（C-B）∪（B-C）是A∩B∩C=∅的充要条件，故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16.（单选题，0分）使得5x+12 √xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（）A.8B.9C.10D.前三个答案都不对【正确答案】：B【解析】：由已知分离参数可得，a ≥5x+12√xyx+y = 5x+12√xyx+y=5+12√yx1+yx，换元t= √yx，（t＞0），然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求．【解答】：解：∵5x+12 √xy≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立，∴a ≥5x+12√xyx+y = 5x+12√xyx+y=5+12√yx1+yx，令t= √yx，（t＞0），a≥ 5+12t1+t2，令f（t）= 5+12t1+t2，t＞0，则f′(t)=−2(6t 2+5t−6)(1+t2)2 =- 2(2t+3)(3t−2)(1+t2)2，易得f（t）在（23，+∞）上单调递减，（0，23）上单调递增，故f（t）＜f（23）=9，∴a≥9即最小值为9故选：B．【点评】：本题主要考查了不等式恒成立与最值的相互转化关系的转化，还考查了利用导数研究函数的最值，体现了转化思想的应用．17.（问答题，0分）已知关于x的不等式：a(x−1)x−2＞1（a∈R）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）当a＜1时，求此不等式的解集．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，当a=1时，不等式即x−1x−2＞1，变形可得1x−2＞0，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，原不等式变形可以转化为（x- a−2a−1）（x-2）＜0，对a的值分3种情况进行讨论，求出不等式的解集，即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，当a=1时，不等式即x−1x−2＞1，变形可得1x−2＞0，解可得x＞2，即该不等式的解集为（2，+∞）；（2）根据题意，不等式：a(x−1)x−2＞1即(a−1)x−(a−2)x−2＞0，则有[（a-1）x-（a-2）]（x-2）＞0，又由a＜1，不等式可以变形为（x- a−2a−1）（x-2）＜0分3种情况讨论：① ，a＜0时，不等式的解集为（a−2a−1，2）；② ，当a=0时，不等式为0＞1，解集为空集；③ ，当0＜a＜1时，不等式的解集为（2，a−2a−1）．【点评】：本题考查分时不等式的解法，注意将分式不等式转化为整式不等式，属于基础题．18.（问答题，0分）已知集合A={x||3x-1|≤x，x∈R}，集合B={x| x1−2x≥1，x∈R}．（1）用区间表示集合A与集合B；（2）若定义集合A为全集，求集合B在集合A中的补集B．【正确答案】：【解析】：（1）根据不等式的解法分别求出集合A和B，再用区间表示即可；（2）利用补集的运算即可求解．【解答】：解：（1）解不等式|3x-1|≤x，可得8x2-6x+1≤0，解得14≤x≤ 12，∴集合A={x||3x-1|≤x，x∈R}={x| 14≤x≤ 12}，用区间表示为A=[ 14，12]．解不等式x1−2x ≥1，即3x−11−2x≥0，即3x−12x−1≤0，解得13≤x＜12，∴集合B={x| x1−2x ≥1，x∈R}={x| 13≤x＜12}．用区间表示为B=[ 13，12）．（2）集合A=[ 14，12]为全集，则集合B=[ 13，12）在集合A中的补集B =[ 14，13）∪{ 12}．【点评】：本题主要考查不等式的解法，集合的表示法和补集及其运算，属于中档题．19.（问答题，0分）命题甲：关于x的方程x2+x+m=0有两个相异负根；命题乙：不等式m2+pm＞4m+p-3对p∈[0，1]恒成立．（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数m的取值范围；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别求出甲，乙为真时的m 的范围；（1）取并集即可；（2）问题转化为甲假乙真或甲真乙假，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答】：解：命题甲：关于x 的方程x 2+x+m=0有两个相异负根；若命题甲为真命题时，只需 {x 1•x 2=m ＞0x 1+x 2=−1＜0△=1−4m ＞0，解得：0＜m ＜ 14 ；命题乙：不等式m 2+pm ＞4m+p-3对p∈[0，1]恒成立．若命题乙为真命题时，则p （1-m ）＜（m-1）（m-3）在p∈[0，1]恒成立，1-m ＞0即m ＜1时，p ＜3-m ，即m ＜（3-p ）min ，故m ＜2，从而m ＜1，m=1时，显然不成立，1-m ＜0即m ＞1时，p ＞3-m ，即m ＞（3-p ）max ，故m ＞3，故命题乙是真命题时，m ＜1或m ＞3；（1）若这两个命题至少有一个成立，则甲∪乙为m∈（-∞，1）∪（3，+∞）；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，则甲假乙真或甲真乙假，故 {m ≥14或m ≤0m ＞3或m ＜1 或 {0＜m ＜141≤m ≤3 ，故m∈（-∞，0]∪[ 14 ，1）∪（3，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数的性质以及函数恒成立问题，考查复合命题的判断，是一道常规题．20.（问答题，0分）定义区间（m ，n ）、[m ，n]、（m ，n]、[m ，n ）的长度均为n-m ，其中n ＞m ．（1）不等式组 {1≤71+x ≤7x 2+3tx −4＜0解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t 的范围；（2）已知实数a ＞b ，求满足不等式 1x−a + 1x−b ≥1的解集的各区间长度之和．【正确答案】：【解析】：（1）先求得不等式1≤ 71+x ≤7的解集，然后根据题设得到：不等式x 2+3tx-4＜0在x∈（0，6）恒成立，再求出t 的取值范围即可；（2）先对x 分成 ① 当x ＞a 或x ＜b 时， ② 当b ＜x ＜a 两类，然后构造函数f （x ）=x 2-（a+b+2）x+（a+b+ab ），结合其图象分别求出原不等式的解集，最后求出原不等式的解集的各区间长度之和即可．【解答】：解：（1）由1≤ 71+x ≤7可得： {x +1＞0x +1≤7≤7(x +1) 或 {x +1＜0x +1≥7≥7(x +1) ，解得：0≤x≤6，∵不等式组 {1≤71+x ≤7x 2+3tx −4＜0解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式x 2+3tx-4＜0在x∈（0，6）恒成立，令g （x ）=x 2+3tx-4，x∈（0，6），则 {g (0)=−4≤0g (6)=36+18t −4≤0，解得：t≤- 169 ， ∴实数t 的范围为（-∞，- 169 ]；（2） ① 当x ＞a 或x ＜b 时，原不等式等价于x-b+x-a≥（x-a ）（x-b ），整理得：x 2-（a+b+2）x+（a+b+ab ）≤0，令f （x ）=x 2-（a+b+2）x+（a+b+ab ），∵f （a ）=b-a ＜0，f （b ）=a-b ＞0，设f （x ）=0的两根为x 1，x 2（x 1＜x 2），∴结合f （x ）的图象，易知此时原不等式的解集为（a ，x 2]，解集的区间长度为x 2-a ； ② 当b ＜x ＜a 时，同理可得原不等式的解集为（b ，x 1]，此时解集的区间长度为x 1-b ．综合 ① ② 知：原不等式的解集的区间长度之和为x 2+x 1-a-b ，又由韦达定理可知：x 1+x 2=a+b+2，∴原不等式的解集的区间长度之和为2．【点评】：本题主要考查不等式、不等式组的解法、不等式的解集的区间长度之和的计算、韦达定理的应用及不等式恒成立涉及的参数的范围的求法，综合性比较强，属于难题．21.（问答题，0分）记有理数集Q 的非空子集S 具有以下性质： ① 0∉S ； ② 若s 1∈S ，s 2∈S ，则 s1s 2 ∈S ； ③ 存在非零有理数q ，q∉S 且每一个不在S 中的非零有理数都可写成qs 的形式，其中s∈S ．（1）若s∈S，t∈S，求证：st∈S；（2）若u是非零有理数，且u∉S，求证：u2∈S；（3）求证：x∈S，则存在y、z∈S，使x=y+z．【正确答案】：【解析】：（1）分别s∈S，令s1=s2，令s1=1，s2=s，若t∈S，令s1=t，s2= 1s，证明即可；（2）由题意可得于是u2=q2s2，利用反证法，假设q2∉S，即可证明；（3）假设x∈S，则由（35）2，（45）2，为平方数可知，即可证明．【解答】：证明：（1）若s∈S，令s1=s2，则s1s2=1∈S，令s1=1，s2=s，则1s∈S，若t∈S，令s1=t，s2= 1s ，则s1s2= t1s=st∈S；（2）u∉S，则存在q1∉S且q1≠0使得u=qs，其中s∈S，于是u2=q2s2，假设q2∉S，则可设q2=qt，t∈S，则q=t∈S，矛盾，所以q2∈S，由q2∈S，s2∈S，可得u2=q2s2∈S．（3）假设x∈S，则由（35）2，（45）2，为平方数可知，x（35）2∈S，x（45）2∈S，但x=x（35）2+x（45）2，故x=y+z．【点评】：本题考查了推理论证能力，考查了综合法反证法，属于中档题．。