曲边梯形面积,定积分求体积以及在物理中应用教学设计25

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教学设计8：1.4.1 曲边梯形面积与定积分

1.4.1曲边梯形面积与定积分教学目标1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.3.了解定积分的概念.4.了解定积分的几何意义和性质．知识链接1．如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．教学导引1．曲边梯形曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．3．一般函数定积分的定义设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，如图，用分点a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δx i＝x i＋1－x i，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ，其中f (x )叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．4．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，即S ＝⎠⎛ab f (x )d x .5．由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S .(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝－S .(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ，如图(3)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积)．6．定积分的性质(1)⎠⎛a b cf (x )d x ＝c ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f (x )＋g(x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).课堂讲义要点一求曲边梯形的面积例1 求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S. 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝1＋13＝43.所以所求的曲边梯形的面积为43.规律方法分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．跟踪演练1 用定积分的定义求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n(i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n (i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．(3)作和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1)＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n . (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝li m n →∞ 32·n －1n ＝32.要点二求变速运动的路程例2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n 等份．把时间[0，t]分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn ，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在⎣⎡⎦⎤i －1nt ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v(ξi )＝g (i －1)n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g·i －1n t ·t n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i＝∑i ＝1ng·i －1n ·t ·tn＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限：s ＝li m n →∞ 12gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12gt 2. 规律方法求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫－4i 2n 2·2n ＋10n ＝－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10. (4)取极限：s ＝li m n →∞s n＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10＝223. 要点三利用定积分定义计算定积分例3 利用定积分定义计算⎠⎛12(1＋x )d x 的值．解 (1)分割：∵f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间长度为Δx i ＝1n，(2)近似替代：在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋in ]上取ξi ＝xi －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，(3)求和：∑i ＝1nf (ξ1)Δx i ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n (2n ＋i －1n 2) ＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n (n －1)2＝52－12n，(4)取极限：⎠⎛12(1＋x )d x ＝li m n →∞ (52－12n )＝52.规律方法 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[x i －1，x i ]上对ξi 的选取是任意的，为了计算方便，ξi 可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．跟踪演练3 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．解令f (x )＝3x ＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf (n ＋i －1n )·Δx＝∑i ＝1n[3(n ＋i －1)n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[3(i －1)n 2＋5n ] ＝5＋3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(132－32n )＝132. 要点四定积分几何意义的应用例4 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x ；(3) ⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ；(4)⎠⎛ab (x －a )(b －x )d x (b>a )．解 (1)如图1阴影部分面积为(2＋5)×12＝72，从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积，从而322ππ⎰sin x d x ＝0.(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分 ⎠⎛－33f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6， ∴⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4.(4)令y ＝f (x )＝(x －a )(b －x )，则有(x －a ＋b 2)2＋y 2＝(b －a 2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b2，0)为圆心，半径为b －a2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝π(b －a )28，由定积分的几何意义可知⎠⎛ab(x －a )(b －x )d x ＝π(b －a )28.规律方法 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的几何意义写出结果．(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪演练4 用定积分的意义求下列各式的值． (1) ⎠⎛－13 (3x ＋1)d x ； (2) ⎠⎜⎛32-321－x 2d x .解 (1)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝12×⎝⎛⎭⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝⎛⎭⎫－13＋1×2＝503－23＝16. (2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1，(y ≥0)图象如图，由定积分的几何意义知⎠⎜⎛32-321－x 2d x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×23π×12－2×12sin π3cos π3＝π3－34， S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32， ∴∫32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34. 当堂检测1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A .1n B .2n C .3n D .12n【答案】B【解析】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关【答案】A3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．【答案】1.02【解析】将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2 d x ；②⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .【答案】①> ②<。

《151曲边梯形的面积》教学设计

《151曲边梯形的面积》教学设计摘要：定积分是微积分教学的重要组成部分，而曲边梯形面积的求解过程是定积分概念的核心内容。

本文通过实例分析介绍曲边梯形面积求解的教学设计，解析教学过程中的重点与难点，并通过课堂教学后的总结与反思，进一步提出曲边梯形面积求解教学过程的优化改进思路，从而为高中数学教学提供有益借鉴。

关键词：定积分；曲边梯形；面积求解课程介绍《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容。

定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积、变速运动的路程、变力做功等问题方面有着广泛的应用。

而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用。

[⇩]教学目标分析1、知识与技能目标（1）知道曲边梯形的概念，通过实例了解求曲边梯形面积的过程，初步感受“以直代曲”与逐步逼近的数学思想方法，为今后学习定积分的概念做准备；（2）初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”；（3）培养分析与综合、抽象与概括的能力，以及进行复杂运算的能力。

2、过程与方法目标（1）经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”及“无限逼近”的思想；（2）体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。

3、情感、态度与价值观目标（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；（2）经历解决问题的全过程，感受成功的乐趣，提高刻苦钻研数学问题的积极性。

教学重点、难点解析重点：直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤，“四部曲”（即：分割、近似代替、求和、取极限）。

难点：“以直代曲”、“无限逼近”思想的形成过程及理解。

教学设计分析（一）情景设置，问题引入问题一：人们在社会实践和生产活动中有时会遇到一些图形面积计算的问题，史料表明，由于测量田地面积的需要，古埃及人很早就能正确计算矩形、三角形、梯形的面积。

《4.5.2 计算变力所做的功》教案

《4.5.2 计算变力所做的功》教案一：教学目标进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()b a s v t dt =⎰例 4。

一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰210402600104033|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .（2）．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()b a W F x dx =⎰例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到 220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J.例6．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。

课件7： 1.4.1 曲边梯形面积与定积分

例求抛物线y=x2、直线x=1和x轴(y=0)所围成的曲边梯形的面积.
因此, 我们有理由相信, 这
y
个曲边三角形的面积为:
S
lim
n
Sn
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1
. 3
y x2
O 12
k
nn
n
Sn
n
Si'
i1
n i1
f (i 1)x n
n (i 1)2 i1 n
1 n
0
1 n
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面
b
S2
g ( x)dx
a
Oa
bx
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
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1 2 n
1 n
2 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
1 n3
(12
22
(n 1)2)
1 (n 1)n(2n 1)
n3

教案曲边梯形面积与定积分.pptx

2.若f
(x)在[a,
b]上连续且f
(x)
0，则
b a
f
(x)dx表示曲线f
(x)
与直线x a, x b, y 0所围成的曲边梯形的面积的相反数；
3.若f
(x)、g(x)均连续且f
(x)
g(x)，则
b [f
a
(x)
g(x)]dx
表示由曲线f (x)、g(x)与直线x a, x b所围成的曲边形
的面积；
强调：当被积函数式中有加减运算时，必须加括号.
三. 定积分的几何意义
应用定积分的几何意义求下列定积分
2
(1) 2
图形称为曲边梯形.
一. 定积分的实际背景 y
1. 求曲边梯形的面积
y f(x)
f (b)
f (a)
oa
bx
【提示】“曲边图形”与“直边图形”有着密切的联系；它们
的主要区别在于前者有一条边是曲线段，而后者各边均为直线段；
(1).如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段——以直代曲，就可以近似地求出曲边梯形的面积；
2. 关于定积分概念的几点说明
(1) f(x)叫做被积函数； a、b分别叫做定积分的下限、上限；
x叫做积分变量； f(x)dx叫做被积式； [a, b]叫做积分区间.
(2) 如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积；
(3) a, b∈D (D为f(x)的定义域)；
(4)
二. 定积分的概念
1. 概念
设连续函数f(x)定义在区间[a, b]上。
(1)用分点a = x0 < x1 < x2 < L < xn-1 < xn = b将区间分成 n个

高中数学定积分第一课时曲边梯形的面积学案新人教A版

定积分第一课时曲边梯形的面积学案一、学习目标一、知识与技术：通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲二、进程与方式：了解“以直代曲”、“逼近”的思想方式；3、情感态度与价值观：慢慢培育学生分析问题、解决问题的能力和思维能力。

二、学习重难点重点：掌握进程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点: 对进程中所包括的大体的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、学法指导：阅读教材38---41页四、知识链接1你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？2如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有超级普遍的应用。

本节咱们将学习定积分的大体概念和定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

五、学习进程（一）持续函数与曲边梯形问题1：函数()y f x =________________________ _____________________________，那么咱们称函数()y f x =为在区间I 上的持续函数．问题2：在图－1中，由____________________ _________________围成的图形称为曲边梯形．问题3：画出由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲在由2y x =与直线1,0x y ==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等距离地插入1n -个点，将它等分为____个小区间，则第i 个小区间为________，其区间长度为x ∆=___________，当n →+∞时，x ∆→___．练习1：把区间[2,5]n 等分，所得n 个小区间的长度x ∆=（）A ．1nB ．2nC ．3nD ．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x ∆=_____，第3个小区间是__________．问题5：在区间1[,]i i n n-上，函数2()f x x =的值()f x ≈______，曲边梯形在那个小区间的面积'i i S S ∆≈∆=_____________________，即小矩形的面积'i S ∆近似地代替i S ∆，即以直代曲．问题6：求图－4中阴影部份面积n S （写出进程）．问题7：2222123n ++++=__________．练习3：用符号“∑”表示下列运算：（1）123n ++++=___________．（2）2222135(21)n ++++-=____________．问题8：从图－5及表1－1中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________．问题9：把区间[0,1]不进行等分能够吗？分割的目的是什么？问题10：若函数()f x 在区间1[,](1,2,,)i i i n n n-=上的值近似地等于右端点i n 处的函数值()i f n ，用这种方式能求出S 的值吗？若能求出，那个值也是13吗？取任意1[,]i i i n n ξ-∈处的函数值()i f ξ作为近似值，情形又怎么样？（三）典型例题例1：求由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形的面积．解：在区间[0,1]等距离地插入1n -个点，将它n 等分，第i 个小区间为________，区间长度x ∆=___． 'i i S S ∆≈∆=111'n n n n i i i i i S S S ===∴=∆≈∆==∑∑∑_____________________________________lim n S →+∞∴==．六、达标训练求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积．七、【课堂小结】1．求曲边梯形面积的四步曲是________________． 2．0lim lim ()n i n x S S f x ξ→∞∆→==∆=_____________．八、课后反思曲边梯形的面积当堂检测1．下列函数在概念域上不是持续函数的是（）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．()f x =D ．1()f x x =2．在区间[2,5]上等距离地插入n 个点，所得小区间长度x ∆=（） A ．3n B ．5n C ．31n + D ．51n +3．把区间[,]()a b a b n <等分后，第i 个小区间是（）A ．1[,]i in n -B ．1[(),()]i ib a b a n n ---C ．1[,]i ia a n n -++D ．1[(),()]i ia b a a b a n n -+-+-4计算： 21[2(1)3]ni i =-+=∑________；5求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积。

曲边梯形面积与定积分(二)教案

1.4.1 曲边梯形面积与定积分【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1．定积分：设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…x n －1<x n ＝b ，把区间[a ，b]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作 ʃba f(x)dx ，即ʃba f(x)dx ＝_____lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ___.2．在定积分ʃba f(x)dx 中，f(x) 叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限， f(x)dx 叫做被积式．3．如果函数f(x)在[a ，b]的图象是一条连续的曲线，则f(x)在[a ，b]一定是可积的．4．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝ k ʃb a f(x)dx (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ ʃb a f 1(x)dx ± ʃb a f 2(x)dx ；(3)ʃb a f(x)dx ＝ ʃc a f(x)dx ＋ ʃb c f(x)dx (其中a<c<b).探究点一定积分的概念问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．问题2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)dx?答 (1)定积分ʃb a f(x)dx 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f(x)dx 与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n→＋∞∑i ＝1nf(ξi )·Δx ，而ʃba f(x)dx 只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a 到b 的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a ，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3dx 的值．解令f(x)＝x 3.(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和：取ξi ＝i n(i ＝1,2，…，n)，则 ʃ10x 3dx≈S n ＝∑ni ＝1f(i n )·Δx＝∑n i ＝1(i n )3·1n ＝1n 4∑ni ＝1i 3 ＝1n 4·14n 2(n ＋1)2 ＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3dx ＝lim n→＋∞S n ＝lim n→＋∞ 14(1＋1n )2＝14. 小结利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x)dx.解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx ＝1n . (2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)，于是f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f(ξi )Δx ＝∑i ＝1n (2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n. (3)取极限：S ＝lim n→＋∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x)dx ＝52. 探究点二定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)dx 表示什么？答当函数f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)dx 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b(a<b)，y ＝0及曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．问题2 当f(x)在区间[a ，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)dx 表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间[a ，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －a n>0，f(ξi )≤0，故 f(ξi )b －a n≤0.从而定积分ʃb a f(x)dx≤0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb a f(x)dx ＝－S.当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时，定积分ʃb a f(x)dx 表示介于x 轴、函数f(x)的图象及直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb a f(x)dx ＝－S 1＋S 2－S 3.例2 利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ3－39－x 2dx ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)dx.解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32. 由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2dx ＝92π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)dx 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积， ∴ʃ3－1(3x ＋1)dx＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2 ＝503－23＝16. 小结利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃ1－1xdx ；(2)ʃ2π0cos xdx ；(3)ʃ1－1|x|dx.解 (1)如图(1)，ʃ1－1xdx ＝－A 1＋A 1＝0.(2)如图(2)，ʃ2π0cos xdx ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x|dx ＝2A 1＝2×12＝1. (A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x)±f 2(x)±…±f n (x)]dx ＝ʃb a f 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx±…±ʃb a f n (x)dx ；②ʃb a f(x)dx ＝ f(x)dx ＋ f(x)dx ＋…＋ f(x)dx(其中n ∈N *)．问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间[－a ，a]上的定积分①若奇函数y ＝f(x)的图象在[－a ，a]上连续不断，则 ʃa －a f(x)dx ＝0.②若偶函数y ＝g(x)的图象在[－a ，a]上连续不断，则ʃa －a g(x)dx ＝2ʃa 0g(x)dx.例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)dx 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2dx ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3dx ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)dx ＝ʃ3－39－x 2dx －ʃ3－3x 3dx ＝9π2. 小结根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x 3dx ＝14，ʃ21x 3dx ＝154，ʃ21x 2dx ＝73，ʃ42x 2dx ＝563，求： 1ca ⎰21c c ⎰nb c ⎰(1)ʃ203x 3dx ；(2)ʃ416x 2dx ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)dx.解 (1)ʃ203x 3dx ＝3ʃ20x 3dx ＝3(ʃ10x 3dx ＋ʃ21x 3dx)＝3×(14＋154)＝12； (2)ʃ416x 2dx ＝6ʃ41x 2dx ＝6(ʃ21x 2dx ＋ʃ42x 2dx)＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)dx ＝ʃ213x 2dx －ʃ212x 3dx ＝3ʃ21x 2dx －2ʃ21x 3dx ＝3×73－2×154＝7－152＝－12. 4．已知⎰2π0sin xdx ＝⎰π2πsin xdx ＝1，⎰2π0x 2dx ＝π324，求下列定积分： (1)ʃπ0sin xdx ；(2)⎰2π0(sin x ＋3x 2)dx. 解 (1)ʃπ0sin xdx ＝⎰2π0sin xdx ＋⎰π2πsin xdx＝2； (2)⎰2π0 (sin x ＋3x 2)dx ＝⎰2π0sin xdx ＋3⎰2π0x 2dx ＝1＋π38. 1．定积分ʃb a f(x)dx 是一个和式∑i ＝1nb －a nf(ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．。

高中数学_曲边梯形的面积教学设计学情分析教材分析课后反思

曲边梯形的面积教学设计一、教学目标：根据本节内容特点及学生的认知水平制定本节教学目标：（1）通过问题情景，让学生经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。

（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。

（3）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。

（4）在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。

二、学情分析通过初中知识的学习，学生已经掌握了部分直边图形面积的求法，知道了圆形、扇形、圆环的面积公式，通过圆的面积的推导方法“割圆术”，进一步理解“以直代曲”“无限逼近”将是部分学生理解的难点。

三、重点难点重点：曲边梯形面积的求法难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。

四、教学过程一、问题情境问题一：我们已经学习了那些图形的面积？【设计意图】由以前所知引发学生思考，为后面的学习做准备。

问题二：我们知道了圆的面积公式，但圆的面积公式是如何推导的？割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积。

教师提问:1.你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？2.将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中？【设计意图】通过了解割圆术中正多边形逼近圆的方法，引发学生思考、激发学生学习兴趣：这种“以直代曲、无限逼近”的思想启发我们，是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法，求曲边梯形的面积。

同时，通过在提炼思想方法的过程中，培养学生分析、归纳问题的习惯。

二：类比割圆术的思想方法，探求特殊的曲边梯形的面积例题：如何求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S？教师提问：通过什么样的方式分割上述问题中的曲边梯形才能更有利于“以直代曲”？学生以小组的形式，动手尝试作图、讨论，积极发言，相互补充，得出最佳方案（竖着切割比横着切割好）教师提问：以下几个问题1、如何将大曲边梯形等分成n个小曲边梯形？2、将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是什么？3、单独研究第i个小区间，则第i个小区间是什么？【设计意图】学生通过类比割圆术中“将圆等分成n个小扇形”这一步骤，经历分割曲边梯形的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究。

曲边梯形的面积教学案例

《曲边梯形的面积》教学案例八中高中数学组兰北平“曲边梯形的面积”是定积分的内容，定积分在高中的教材里曾经几进几出，原因可能是这部分内容实在是太有用同时又存在不小的难度，就像是一种美味好吃却不易吃，会使人觉得弃之可惜。

新课程把其加进来，采用了不同于高等数学的处理方式，即不介绍不定积分，而直接通过一个几何问题和一个物理问题引入定积分的概念。

这充分体现新课程返璞归真，回归本质的理念。

不过这样无论对学生还是教师，都将是一个不小的挑战。

对于本节课的设计，笔者将重心放在如何使新课引入自然以及如何突破难点上。

一、对本节课的认识“曲边梯形的面积”是“定积分的概念”的第一课时。

定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积，变速运动的路程，变力做功等问题方面有着广泛的应用。

而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用。

本节课内容较为单一，目标也比较明确，就是用“以直代曲，无限逼近”的思想求曲边梯形的面积。

然而，这种思想方法给学生带来的理解上的难度却不小，因为要真正理解这种方法必须对极限的思想要有比较清晰的认识。

不过，新课程似乎为了避免增加学生的负担，而不要求深入介绍极限的概念，其旨在用最易于让学生接受的手段，使学生获得最有价值的数学知识。

这节课亦是如此。

基于以上原因，备课时认为本节课有两大难点：一是如何使学生获得“无限分割，以直代曲”的思路；二是对“极限”“无限逼近”的理解，即理解为什么将近似值取极限正好是面积的精确值。

二、教学设计I、教学目标1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景；（2）会用分割-近似代替-求和-取极限的四步曲求曲边梯形的面积；2.过程与方法：（1）体会以直代曲的数学思想方法；（2）体会无限逼近的数学思想；3.情感、态度与价值观：通过以直代曲求曲边梯形面积的过程感受数学化归思想化难为易，化不可计算为可以计算的妙处；II、重点、难点1.重点：以直代曲的思想方法；求曲边梯形的四步曲；2.难点：以直代曲的思想方法；III、教学教法讲授与启发相结合，采用几何画板制作课件IV、教学过程（一）引入问题引入：这是浙江省地图，怎样求其面积？意图：用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形，引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题. （二）新课问题1：我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积，现实生活中遇到的大量“曲边图形”，如何求“曲边图形”的面积？回答问题1：通过将曲边梯形分割成等宽的多个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积用高为左端点函数值矩形代替，求和，取极限得到面积.2、板书分割-近似代替-求和-取极限四步曲的详细步骤；3、用几何画板表格展示当n逐渐增大时，矩形面积和的值的变化趋势，验证计所得结果，并且发现面积和会从小于的方向逐渐接近1/3,思考为什么，引出下面探究问题. 探究：如果认为y=f(x)在每个小区间上的函数值近似地等于右端点的函数值，是否也能求出S=1/3?为什么？2、结合表格数据说明取区间右端点函数值得到的是过剩近似值，是从大于的方向趋近1/3；3、进一步说明取区间中的任何一点来近似也是可以的从而得到求面积的一般表达式01111lim ()lim ()3n n i i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑为引出定积分的概念做铺垫. 练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x(^2)所围成的曲边梯形的面积.38,21111382212→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n n i n S n n n n n i S意图：用一个与例题相仿，只是区间不同的例子进一步体验“分割—求和—近似—取极限”的方法.（三）小结：这节课我们学到了什么？1.求曲边梯形的面积的方法和步骤是：分割、近似代替、求和、取极限2.以直代曲，无限逼近的思想V 、布置作业作业本B 本P51，1、2、3、4、6、7、10三、教学片断实录及反思片断一：新课的引入师（提出问题）：这是浙江省地图，怎样求其面积？生：思考片刻，有的一脸茫然，有的在迟疑，个别窃窃私语：“用割补法”.师：“怎么割补？能否说得具体点？”生：不敢说或者不知道，不能给出答案.师：有一种近似求不规则图形面积的方法——“网格法”，接着介绍这种方法的具体做法。

定积分的概念教学设计—【教学参考】

定积分的概念教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

学习重点：分割思想和定积分的基本性质学习难点：无限细分和无穷累积的思维方法教学过程设计一、新课引入在小学与中学阶段我们学习了规则图形的面积求法，这一节课我们来学习不规则图形面积的求法。

它的求法跟定积分有关，定积分是微积分学的重要内容之一，定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用．图1a =x 0 x 1 x 2 x i -1 x i x n -1 x n =bξi O ξnξ1 ξ2 y =f (x )xy曲边梯形的面积：在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，面对曲边梯形，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.设函数在上连续. 由曲线与直线、、轴所围成的图形称为曲边梯形(图1). 为讨论方便，假定.I．分割由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点.在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为. 由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和.II.近似代替由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积.III.求和得整个大曲边梯形面积的近似值.IV.取极限可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近. 记，则当时，误差也趋于零. 因此，所求面积.(1)设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。

曲边梯形面积与定积分课堂案

学习内容
1.4.1曲边梯形面积与定积分
学习感悟或教学设计说明一、课前案总结：
1、基本训练检查：
2、交流探究结果
3、自学检测总结：
二、学习目标
1、定积分概念：
2、定积分几何意义：
3、定积分性质：
三、课堂练习
1、用定积分表示抛物线2y x 与直线y=x 所围成的图形的面积
2、由定积分的几何意义
dx x x ⎰---102))1(1(=_____________
四、归纳总结：
五、课堂检测：
1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为
( )
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n
21 2、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )
A.],1[
n i n i - B. )](),(1[a b n
i a b n i --- C.],1[n i a n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+ 3、在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（）
A.只能是左端点的函数值)(i x f
B.只能是右端点的函数值)(1+i x f
C.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）
D.以上答案均正确
4、用定积分表示抛物线2
x y -=与直线4-=y 所围成的图形的面积
5、写出下图中阴影部分S 的计算公式.。

曲边梯形的面积与定积分教案

曲边梯形的面积与定积分一、教学目标：1、定积分概念的引入2、“分割、近似代替、求和、取极限”数学思想的建立二、教学重难点：1、重点：定积分概念的引入2、难点：定积分的应用.三、教学方法：探究法与讲练结合法四、教学过程 1、复习：导数的概念及应用 2、引入新课求曲边梯形的面积我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。

但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。

如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。

建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。

该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以 “直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。

现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。

3、新课讲解假设抛物线方程为 1],[0x ,x 1y 2∈-=abab （四个小矩形）（九个小矩形）（1）分割将]1,0[ 等分成n 等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形（2）近似代替第i 个小曲边梯形用宽为n 1，高为 2n i 1⎪⎭⎫⎝⎛- 的矩形代替，它的面积 n 1)2n2i (1i ΔS ⋅-≈（3）求和所有小矩形的总面积26n 13n 22n 1n 1i 2i3n 11n 1n 1i )2n 2i (1n S +--=∑=-=⋅∑=-=（4）取极限取 s n 的极限值2∕3就是所求的曲边梯形的面再看一个变力做功的问题。