相似三角形练习题及答案整理版
相似三角形》练习题及答案
相似三角形》练习题及答案相似三角形提高练一、选择题1)在△ABC中,D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,则正确的式子是()。
A。
XXXB。
ADBF/DBFC = ADEF/CEFBC。
ADBF = DBFCD。
AE/AD = EC/BF答案:C解析:根据三角形相似的性质,有AB/AD=BE/EF=BC/CF,又因为DE∥BC,EF∥AB,所以有BE/EF=BC/CF,因此BE/EF=AB/AD,即ABEF∽ADBF,同理有DBFC∽ADEF,因此有ADBF/ABEF=DBFC/ACFC,即ADBF=DBFC。
2)在△ABC中,BC=5,CA=4√5,AB=10,另一个与它相似的三角形的最长边是()。
A。
8√5B。
10√5C。
12√5D。
不确定答案:B解析:根据三角形相似的性质,有AB/BC=CA/AB,即AB²=BC×CA,又设相似三角形的最短边为x,则有x/5=4√5/x,解得x=2√10,因此最长边为2√10×2√5=10√5.3)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠ABC的平分线交AC于D,则构成的三个三角形中,相似的是()。
A。
△ABD∽△BCDB。
△ABC∽△BDCC。
△ABC∽△ABDD。
不存在答案:B解析:根据角平分线的性质,有BD/DC=AB/AC=1,因此BD=DC,又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,因此△ABD∽△BCD,又因为角BDC为直角,所以△ABC∽△XXX。
4)将三角形高分为四等分,过每个分点作底边的平行线,将三角形分四个部分,则四个部分面积之比是()。
A。
1∶3∶5∶7B。
1∶2∶3∶4C。
1∶2∶4∶5D。
1∶2∶3∶5答案:C解析:将三角形高分为四等分后,底边上的四个分点将底边分为五等分,设底边长为a,高为h,则每个小三角形的面积为1/20ah,因此四个部分的面积分别为1/20ah、2/20ah、4/20ah、5/20ah,即1∶2∶4∶5.5)下列命题中,真命题是()。
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似,下列说法正确的是()
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案:C
2. 若两个三角形的相似比为2:3,则下列说法正确的是()
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案:C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=2:3,则BC:EF=______。
答案:2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且相似比为1:2,则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。
答案:1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,AB=6cm,DE=9cm,求BC和EF 的长度。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应边成比例。
因此,BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。
设BC=2x,则EF=3x。
由于AB:DE=2:3,所以2x/3x=6/9,解得x=3cm。
因此,BC=6cm,
EF=9cm。
2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且三角形ABC的面积为24平方厘米,三角形DEF的面积为36平方厘米,求相似比。
答案:设相似比为k,则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。
因此,k^2=24/36=2/3,解得k=√(2/3)。
所以相似比为√(2/3)。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中,点D在边BC上,且∠BAC=∠DAG,∠XXX∠BAD。
证明:=。
当GC⊥BC时,证明:∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中,∠ACB=90°,点D在边BC上,CE⊥AB,CF⊥AD,E、F分别是垂足。
证明:AC^2=AF•AD。
联结EF,证明:AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中,PC平分∠ACB,PB=PC。
证明:△APC∽△ACB。
若AP=2,PC=6,求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠XXX∠C。
证明:△ABF∽△EAD。
若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长。
5.在三角形ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC。
证明:AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°,设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中,边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P。
若AE=CF,证明:AF=BE,并求∠APB的度数。
若AE=2,试求AP•AF的值。
若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中,AD,BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC 上,DF与BE相交于点G,且∠XXX∠ABE。
证明:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中,点D为AB的中点,E在BC上运动,DF和EF分别交AC于G、H两点,BC=2.问E在何处时CH的长度最大?11.在AB和CD交于点O的图形中,当∠A=∠C时,证明:OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外)。
相似三角形几何题(含答案)
相似三角形几何题(WORD 版,有答案)1、如图,AD 是圆O 的直径,BC 切圆O 于点D ,AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。
求证:AC AF AB AE ⋅=⋅;F O E DBA2为了加强视力保护意识,小明想在长为3.2米,宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表.在一次课题学习课上,小明向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙、 丙位同学设计方案新颖,构思巧妙.(10分)(1)甲生的方案:如图1,将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处,被测试人站立 在对角线AC 上,问:甲生的设计方案是否可行?请说明理由.(2)乙生的方案:如图2,将视力表挂在墙CDGH 上,在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜,根据平面镜成像原理可计算得到:测试线应画在距离墙ABEF 米处.(3)丙生的方案:如图3,根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视 力表.如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ,那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ?3、如图,四边形ABCD 中,AD =CD ,∠DAB =∠ACB =90°,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为F ,DE 与AB 相交于点E .(12分)(1)求证:AB ·AF =CB ·CD ;(2)已知AB =15 cm ,BC =9 cm ,P 是射线DE 上的动点.设DP =x cm (0x >),四边形BCDP 的面积为y cm 2.①求y 关于x 的函数关系式;②当x 为何值时,△PBC 的周长最小,并求出此时y 的值.HH(图1)(图2) (图3)3.5㎝ACF3mB5mDA B CD EF P ·4已知,如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.(1)求证:△ABD∽△CBA;(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.5.已知:如图,AB是半圆O的直径,CD⊥AB于D点,AD=4cm,DB=9cm,求CB的长.6.如图所示,在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC,试在这个网格上画一个与△ABC相似,且面积最大的△A1B1C1(A1,B1,C1三点都在格点上),并求出这个三角形的面积.7.如图所示,在5×5的方格纸上建立直角坐标系,A(1,0),B(0,2),试以5×5的格点为顶点作△ABC 与△OAB相似(相似比不为1),并写出C点的坐标.8.如图所示,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延长线于D点,OC 交AB 于E 点.(1)求∠D 的度数;(2)求证:AC 2=AD ·CE .9.已知:如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B ,C 点重合),∠ADE =45°.(1)求证:△ABD ∽△DCE ;(2)设BD =x ,AE =y ,求y 关于x 的函数关系式; (3)当△ADE 是等腰三角形时,求AE 的长.10.已知:如图,△ABC 中,AB =4,D 是AB 边上的一个动点,DE ∥BC ,连结DC ,设△ABC 的面积为S ,△DCE 的面积为S ′.(1)当D 为AB 边的中点时,求S ′∶S 的值; (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围.11.已知:如图,抛物线y =x 2-x -1与y 轴交于C 点,以原点O 为圆心,OC 长为半径作⊙O ,交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于另一点D .设点P 为抛物线y =x 2-x -1上的一点,作PM ⊥x 轴于M 点,求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知关于x 的二次函数y =x 2+(k -1)x +2k -1的图象与x 轴交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C (0,-3). 求这个二次函数的解析式及A ,B 两点的坐标.13.如图所示,在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0,6),(8,0),动点P 从点A开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P ,Q 移动的时间为t 秒.(1)求直线AB 的解析式;(2)当t 为何值时,△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时,△APQ 的面积为524个平方单位?14.已知:如图,□ABCD 中,AB =4,BC =3,∠BAD =120°,E 为BC 上一动点(不与B 点重合),作EF ⊥AB 于F ,FE ,DC 的延长线交于点G ,设BE =x ,△DEF 的面积为S .(1)求证:△BEF ∽△CEG ;(2)求用x 表示S 的函数表达式,并写出x 的取值范围; (3)当E 点运动到何处时,S 有最大值,最大值为多少?15、已知:如图,在平面直角坐标系中,ABC△是直角三角形,90ACB∠=,点A C,的坐标分别为(30)A-,,(10)C,,43=ACBC.(13分)(1)求过点A B,的直线的函数表达式;(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得ADB△与ABC△相似(不包括全等),并求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,如P Q,分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP DQ m==,问是否存在这样的m使得APQ△与ADB△相似,如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.16.如图,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55cm.求梯子的长.17.如图,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78cm,BO=42cm,CD=159cm,求CO和DO.18.如图,已知∠ACB=∠CBD=90°,AC=b,CB=a,当BD与a、b之间满足怎样的关系式时,△ACB∽△CBD?A COBxy19.(本题10分)正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点, 当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直,(1)证明:Rt Rt ABM MCN △∽△;(2)设BM x =,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积;(3)当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△,求此时x 的值.20.(本题10分)如图1,在Rt ABC △中,90BAC ∠=°,AD BC ⊥于点D ,点O 是AC 边上一点,连接BO 交AD 于F ,OE OB ⊥交BC 边于点E .(1)求证:ABF COE △∽△;(2)当O 为AC 边中点,2ACAB=时,如图2,求OF OE 的值; (3)当O 为AC 边中点,ACn AB=时,请直接写出OF OE 的值.21(6分)一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm ×3.5cm ,放映的银幕规格为2m ×2m ,若影机的光源距胶片20cm 时,问银幕应在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?DMA BCNBBA A C OE D DE C O F图1 图2 F22.(6分)如图13,四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. (1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗?说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数.23.(6分)如图13,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 、F 分别是OA 、OB 的中点. (1)试问:△ADE 与△BCF 全等吗?请说明理由;(2)若AD = 4cm ,AB = 8cm ,求CF 的长.24(6分)已知:如图14,在△ABC 中,AB=AC=a ,M 为底边BC 上任意一点,过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ,交AB 于Q. (1)求四边形AQMP 的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);BACPQ MBCDOFF E O CBAAA A BBBCCCD DDOE FGPMN⑴⑵⑶25(6分)如图15,已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形,底边BC 、CE 、EG 在同一直线上,且AB=3,BC=1.连结BF ,分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R.(1)求证:△BFG ∽△FEG ,并求出BF 的长; (2)观察图形,请你提出一个与点..P .相关..的问题,并进行解答(根据提出问题的层次和解答过程评分).26(6分)(1)如图16(1),在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,易知AC ⊥BD ,AC CO =21; (2)如图16(2),若点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点,即21=DC DE ,过D 作DG ⊥AE ,分别交AC 、BC 于点F 、G.求证:31=AC CF ; (3)如图16(3),若点P 是正方形ABCD 的边CD 上的点,且nDC DP 1=(n 为正整数),过点D 作DN ⊥AP ,分别交AC 、BC 于点M 、N ,请你先猜想CM 与AC 的比值是多少?然后再证明你猜想的结论.27(8分)如图17,已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==,.某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动,问:(1)经过多少时间,AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19? (2)是否存在时刻t ,使以A M N ,,为顶点的三角形与ACD △相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.28.如图,已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ,点E 在CD 上,且EC = EB .(1)求证:△CEB ∽△CBD ;(2)若CE = 3,CB=5 ,求DE 的长.29.如图,把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置, (1)求证:重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2,求则此菱形移动的距离.30.如图,在Rt ABC △中,90C =∠,12BC AC ==,,把边长分别为123n x x x x ,,,,的n 个正方形依次放入ABC △中,请回答下列问题:(1n1 2 3 n x(2)第n 个正方形的边长n = ;(3)若m n p q ,,,是正整数,且m n p q x x x x =,试判断m n p ,,,的关系.AB C DMF E /CB/A/DB BC A2x3x1x答案1.方法1:连接ED,DF,证⊿ADE∽⊿ABD,得AB AE AD •=2同理可证⊿ADF∽⊿ACD,得AC AF AF •=2故,AE·AB=AF·AC方法2:连接EF,ED证⊿AEF∽⊿ACB2.⑴在Rt ⊿ABC中,AC=22CD AD +=223.42.3+>5故,可行;⑵ 1.8;⑶利用⊿AED∽⊿ACB可求得FD=2.1m3.(1)证⊿DA F∽⊿ABC(2) )0(273〉+=x x y(3)当点P 运动到点E 的位置,即x =12.5时,△PBC 的周长最小,此时y 的值为64.54.(1)4943+=x y(2)过点B作AB 的垂线交x 轴于点D , D 点的坐标为(3.25,0) (3)存在,m =925或36125 5.(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠,得△HBD ∽△CBA ; (2)△ABC ∽△CDE ,DE =1.5.6..cm 133提示:连结AC .7.提示:.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5. 8.C (4,4)或C (5,2).9.提示:(1)连结OB .∠D =45°.(2)由∠BAC =∠D ,∠ACE =∠DAC 得△ACE ∽△DAC .A C OBxyD10.(1)提示:除∠B =∠C 外,证∠ADB =∠DEC .(2)提示:由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y =AC -CE =x 2- .12+x (其中20<<x ).(3)当∠ADE 为顶角时:.22-=AE 提示:当△ADE 是等腰三角形时,△ABD ≌△DCE .可得.12-=x当∠ADE 为底角时:⋅=21AE 11.(1)S '∶S =1∶4; (2)).40(41162<<+-=x x x y 12.提示:设P 点的横坐标x P =a ,则P 点的纵坐标y P =a 2-a -1.则PM =|a 2-a -1|,BM =|a -1|.因为△ADB 为等腰直角三角形,所以欲使△PMB ∽△ADB ,只要使PM =BM .即|a 2-a -1|=|a -1|.不难得a 1=0..2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0,-1).P 2(2,1).).21,2().21,2(43+--P P13.(1)y =x 2-2x -3,A (-1,0),B (3,0); (2))49,43(-D 或D (1,-2).14.(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350 (3)t =2或3.15.(1)略; (2));30(8311832≤<+-=x x x S 16.梯子长为cm 440 17.cm DO cm CO 65.55,35.103==(提示:设xcm DO =,则()cm x CO -=159,因为AB BD AB AC ⊥⊥,,︒=∠=∠90B A ,BOD AOC ∠=∠,所以△AOC ∽△BDO ,所以DO CO BO AO =即x x -=1594278,所以65.55=x ) 18.b a BD 2=(提示:由△ACB ∽△CBD ,得BC a a b BD CB CD AC ==,,所以b a BD 2=) (3)当x =3时,S 最大值33=.19.解:(1)在正方形ABCD 中,490AB BC CD B C ===∠=∠=,°,AM MN ⊥,90AMN ∴∠=°,90CMN AMB ∴∠+∠=°,在Rt ABM △中,90MAB AMB ∠+∠=°,CMN MAB ∴∠=∠,Rt Rt ABM MCN ∴△∽△,(2)Rt Rt ABM MCN △∽△,44AB BM x MC CN x CN∴=∴=-,,244x x CN -+∴=, ()222141144282102422ABCN x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·,当2x =时,y 取最大值,最大值为10.(3)90B AMN ∠=∠=°,∴要使ABM AMN △∽△,必须有AM AB MN BM=,由(1)知AM AB MN MC=,BM MC ∴=, ∴当点M 运动到BC 的中点时,ABM AMN △∽△,此时2x =.20.解:(1)AD BC ⊥,90DAC C ∴∠+∠=°.90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°,.90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥,°,90BOA ABF ∠+∠=°,ABF COE ∴∠=∠.ABF COE ∴△∽△;(2)解法一:作OG AC ⊥,交AD 的延长线于G .2AC AB =,O 是AC 边的中点,AB OC OA ∴==.由(1)有ABF COE △∽△,ABF COE ∴△≌△,BF OE ∴=.90BAD DAC ∠+∠=°,90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°,,又90BAC AOG ∠=∠=°,AB OA =.ABC OAG ∴△≌△,2OG AC AB ∴==.OG OA ⊥,AB OG ∴∥,ABF GOF ∴△∽△,OF OG BF AB ∴=,2OF OF OG OE BF AB ===. 解法二:902BAC AC AB AD BC ∠==°,,⊥于D , Rt Rt BAD BCA ∴△∽△.2AD AC BD AB ∴==. 设1AB =,则2AC BC BO ===,12AD BD AD ∴=== 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°,△∽△,BD BO DF OE∴=. 由(1)知BF OE =,设OE BF x ==, BA D E C O FGB ADE C O F5DF x=,x ∴=.在DFB △中2211510x x =+,3x ∴=.OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==. (3)OF n OE=. 21807cm 22.相似,450 23.(1)全等,略;(2)CF ==cm 24.(1) 2a ;(2)△ABC ∽△QBM ∽△PMC ; 25.(1)BF=BG=3;(2)略 26.(1)略;(2)猜想11+=n AC CM ,证明略 27.(1)经过1秒或2秒后;(2)经过32秒或125秒时 28.(1)证明:∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD(2)解:∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD= ∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD -CE =253-3 =163 29.(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等 又对应边成比例 ∴此两个菱形相似∴B D BD '=,∴12B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´1 30.(1)2483927,, (2)23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(3)m n p q x x x x = 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2233m n p q ++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m n p q ∴+=+。
相似三角形经典练习题(4套)附带答案
练习(一)一、填空题:1. 已知a ba b+-=2295,则a b:=__________2. 若三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边是21cm,则其余两边之和是__________cm3. 如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=6,则DE=__________;△ADE与△ABC的面积之比为:__________。
题3 题7 题84. 已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,如果AD=8,DB=6,EC=9,那么AE=__________6. 已知三个数1,2,3,请你添上一个数,使它能构成一个比例式,则这个数是__________7. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,若AD=12cm,BC=18cm,AE:EB=2:3,则EF=__________8. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,AD=6,BC=10,则梯形的面积为:__________二、选择题:1. 如果两个相似三角形对应边的比是3:4,那么它们的对应高的比是__________A. 9:16B. 3:2C. 3:4D. 3:72. 在比例尺为1:m的某市地图上,规划出长a厘米,宽b厘米的矩形工业园区,该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知,如图,DE∥BC,EF∥AB,则下列结论:题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD,交CB的延长线于点E,则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题:1. 如图,AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,AE:AB=2:3,求GF的长。
初中数学《相似三角形》压轴30题含解析
相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一.填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片,底边长为15cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是第6张.【分析】设第x 张为正方形,如图,△ADE ∽△ABC ,则DE BC =AM AN,从而计算出x 的值即可.【解答】解:如图,设第x 张为正方形,则DE =3(cm ),AM =(22.5-3x )(cm ),∵△ADE ∽△ABC ,∴DE BC =AM AN ,即315=22.5-3x 22.5,解得x =6.故答案为:6.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质以及正方形的性质,注:相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比.2(2019秋•浦东新区校级月考)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果BE BC=23,那么BF FD =23.【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ,再根据相似三角形的性质得BE :DA =BF :DF 即可解.【解答】解:ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD ,BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE :DA =BF :DF∵BC =AD∴BF :DF =BE :BC =2:3.【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质.3(2017秋•虹口区校级月考)如图,直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AB =10,BC =6,在线段AB上取一点D ,作DF ⊥AB 交AC 于点F ,现将△ADF 沿DF 折叠,使点A 落在线段DB 上,对应点记为A 1;AD 的中点E 的对应点记为E 1,若△E 1FA 1∽△E 1BF ,则AD =165.【分析】利用勾股定理列式求出AC ,设AD =2x ,得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ,然后求出BE 1,再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ,然后利用勾股定理列式求出E 1F ,然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值,从而可得AD 的值.【解答】解:∵∠ACB =90°,AB =10,BC =6,∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8,设AD =2x ,∵点E 为AD 的中点,将△ADF 沿DF 折叠,点A 对应点记为A 1,点E 的对应点为E 1,∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ,∵DF ⊥AB ,∠ACB =90°,∠A =∠A ,∴△ABC ∽△AFD ,∴AD AC =DF BC ,即2x 8=DF 6,解得DF =32x ,在Rt △DE 1F 中,E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2,又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ,△E 1FA 1∽△E 1BF ,∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ,∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1,即(13x 2)2=x (10-3x ),解得x =85,∴AD 的长为2×85=165.故答案为:165.【点评】本题考查了相似三角形的性质,主要利用了翻折变换的性质,勾股定理,相似三角形对应边成比例,综合题,熟记性质并准确识图是解题的关键.4(2021秋•普陀区校级月考)如图,在△ABC 中,4AB =5AC ,AD 为△ABC 的角平分线,点E 在BC 的延长线上,EF ⊥AD 于点F ,点G 在AF 上,FG =FD ,连接EG 交AC 于点H .若点H 是AC 的中点,则AG FD的值为43.【分析】解题关键是作出辅助线,如解答图所示:第1步:利用角平分线的性质,得到BD =54CD ;第2步:延长AC ,构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ;第3步:过点M 作MN ∥AD ,构造平行四边形DMNG .由MD =BD =KD =54CD ,得到等腰△DMK ;然后利用角之间关系证明DM ∥GN ,从而推出四边形DMNG 为平行四边形;第4步:由MN ∥AD ,列出比例式,求出AG FD的值.【解答】解:已知AD 为角平分线,则点D 到AB 、AC 的距离相等,设为h .∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54,∴BD =54CD .如图,延长AC ,在AC 的延长线上截取AM =AB ,则有AC =4CM .连接DM .在△ABD 与△AMD 中,AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS ),∴MD =BD =54CD .过点M 作MN ∥AD ,交EG 于点N ,交DE 于点K .∵MN ∥AD ,∴CK CD =CM AC =14,∴CK =14CD ,∴KD =54CD .∴MD =KD ,即△DMK 为等腰三角形,∴∠DMK =∠DKM .由题意,易知△EDG 为等腰三角形,且∠1=∠2;∵MN ∥AD ,∴∠3=∠4=∠1=∠2,又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1,∴DM ∥GN ,∴四边形DMNG 为平行四边形,∴MN =DG =2FD .∵点H 为AC 中点,AC =4CM ,∴AH MH=23.∵MN ∥AD ,∴AG MN =AH MH ,即AG 2FD =23,∴AG FD =43.故答案为:43.方法二:如图,有已知易证△DFE ≌△GFE ,故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3,又∠1=∠2,所以∠3=∠B ,则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ,则AC =4a ,AH =2a ,所以AG /AD =AH /AB =2/5,而AD =AG +GD ,故GD /AD =3/5,所以AG :GD =2:3,F 是GD 的中点,所以AG :FD =4:3.【点评】本题是几何综合题,难度较大,正确作出辅助线是解题关键.在解题过程中,需要综合利用各种几何知识,例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等,对考生能力要求较高.5(2022秋•普陀区校级月考)如图,点A 1,A 2,A 3,A 4在射线OA 上,点B 1,B 2,B 3在射线OB 上,且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3.若△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为10.5.【分析】已知△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,且两三角形相似,因此可得出A 2B 2:A 3B 3=1:2,由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形,所以面积之比即为底边之比,因此这两个三角形的面积比为1:2,根据△A 3B 2B 3的面积为4,可求出△A 2B 2A 3的面积,同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积.即可求出阴影部分的面积.【解答】解:△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,又∵A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2,∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3,∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3,∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3,∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3,∴A 2A 3A 3A 4=12.∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12,△A 3B 2B 3的面积是4,∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比).同理可得:△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8;△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5.∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5.故答案为:10.5.【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似,再根据已给的面积,求出相似比,从而求阴影部分的面积.6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1,如图①,将边BC 、AC 分别2等分,BE 1、AD 1相交于点O ,△AOB 的面积记为S 1;如图②将边BC 、AC 分别3等分,BE 1、AD 1相交于点O ,△AOB 的面积记为S 2;⋯,依此类推,则S n 可表示为 12n +1 .(用含n 的代数式表示,其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1,设AD 1、BE 1交于点M ,先求出S △ABE 1=1n +1,再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM :S △ABE 1=(n +1):(2n +1),最后根据S △ABM :1n +1=(n +1):(2n +1),即可求出S n .【解答】解:如图,连接D 1E 1,设AD 1、BE 1交于点M ,∵AE1:AC =1:(n +1),∴S △ABE 1:S △ABC =1:(n +1),∴S △ABE 1=1n +1,∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ,∴BM BE 1=n +12n +1,∴S △ABM :S △ABE 1=(n +1):(2n +1),∴S △ABM :1n +1=(n +1):(2n +1),∴S n =12n +1.故答案为:12n +1.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积,关键是根据题意作出辅助线,得出相似三角形.7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE =3,连接BE 与对角线AC 相交于点M ,则MC AM的值是 2或23 .【分析】由菱形的性质易证两三角形相似,但是由于点E 的位置未定,需分类讨论.【解答】解:分两种情况:(1)点E 在线段AD 上时,△AEM ∽△CBM ,∴MC AM =BC AE=2;(2)点E在线段AD的延长线上时,△AME∽△CMB,∴MCAM =BCAE=23.【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想;其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键.注意:求相似比不仅要认准对应边,还需注意两个三角形的先后次序.8(2020秋•虹口区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E,BC=2.5AC,则ABAD+ABAE=5.【分析】根据CD平分∠ACB,可得ABDA=BCAC,根据CE平分∠ACB的外角,可得DEAE=BCAC,进而可得结果.【解答】解:∵CD平分∠ACB,∴AB DA =BC AC,∴BD+DADA =BC+ACAC,∴AB DA =BC+ACAC,①∵CE平分∠ACB的外角,∴DE AE =BC AC,∴BE-AEAE =BC-ACAC,∴AB AE =BC-ACAC,②①+②得,AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5.故答案为:5.【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答.9(2022秋•黄浦区校级月考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点P在BA的延长线上,PA=1 4AB,点D在BC边上,PD=PC,则CDBC的值是 34 .【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ,根据等腰三角形判定与性质,平行线的性质可证PB =PE ,再证△PCE ≌△PDB ,可得BD =CE ,再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ,结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论.【解答】解:如图,过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ,∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB ,∵AC ∥PE ,∴∠ACB =∠E ,∴∠B =∠E ,∴PB =PE ,∵PC =PD ,∴∠PDC =∠PCD ,∴∠BPD =∠EPC ,∴在△PCE 和△PDB 中,PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE,∴△PCE ≌△PDB (SAS ),∴BD =CE ,∵AC ∥PE ,∴PA AB =CE BC ,∵PA =14AB ,∴CE BC =14,∴BD BC =14,∴CD BC =34.故答案为:34.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线分线段成比例,以及全等三角形的判定,解决问题的关键是正确作出辅助线,列出比例式.二.解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中,∠CAB =90°,AD ⊥BC 于点D ,点E 为AB 的中点,EC 与AD交于点G ,点F 在BC 上.(1)如图1,AC :AB =1:2,EF ⊥CB ,求证:EF =CD .(2)如图2,AC :AB =1:,EF ⊥CE ,求EF :EG 的值.【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ,根据AC :AB =1:2及点E 为AB 的中点,得出AC =BE ,再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ,即可得出EF =CD ;(2)作EH ⊥AD 于H ,EQ ⊥BC 于Q ,先证明四边形EQDH 是矩形,得出∠QEH =90°,则∠FEQ =∠GEH ,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ,得出EF :EG =EQ :EH ,然后在△BEQ 中,根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ,在△AEH 中,根据余弦函数的定义得出EH =32AE ,又BE =AE ,进而求出EF :EG 的值.【解答】(1)证明:如图1,在△ABC 中,∵∠CAB =90°,AD ⊥BC 于点D ,∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB .∵AC :AB =1:2,∴AB =2AC ,∵点E 为AB 的中点,∴AB =2BE ,∴AC =BE .在△ACD 与△BEF 中,∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE,∴△ACD ≌△BEF ,∴CD =EF ,即EF =CD ;(2)解:如图2,作EH ⊥AD 于H ,EQ ⊥BC 于Q ,∵EH ⊥AD ,EQ ⊥BC ,AD ⊥BC ,∴四边形EQDH 是矩形,∴∠QEH =90°,∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ,又∵∠EQF =∠EHG =90°,∴△EFQ ∽△EGH ,∴EF :EG =EQ :EH .∵AC :AB =1:3,∠CAB =90°,∴∠B =30°.在△BEQ 中,∵∠BQE =90°,∴sin B =EQ BE =12,∴EQ =12BE .在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴cos∠AEH=EHAE =32,∴EH=32AE.∵点E为AB的中点,∴BE=AE,∴EF:EG=EQ:EH=12BE:32AE=1:3=3:3=33.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.11(2021秋•杨浦区校级月考)如图,已知在菱形ABCD,点E是AB的中点,AF⊥BC于点F,连接EF、ED、DF,DE交AF于点G,且DE⊥EF.(1)求证:AE2=EG•ED;(2)求证:BC2=2DF•BF.【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE,根据菱形的性质得到AD∥BC,求得∠DAG=∠AFB =90°,然后证明△AEG∽△DEA,即可得到结论;(2)由AE=EF,AE2=EG•ED,得到FE2=EG•ED,推出△FEG∽△DEF,根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵AF⊥BC于点F,∴∠AFB=90°,∵点E是AB的中点,∴AE=FE,∴∠EAF=∠AFE,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠DAG=∠AFB=90°,∵DE⊥EF,∴∠FEG=90°,∴∠DAG=∠FEG,∵∠AGD=∠FGE,∴∠EFG=∠ADG,∴∠EAG=∠ADG,∵∠AEG=∠DEA,∴△AEG∽△DEA,∴AE DE =EG AE,∴AE2=EG•ED;(2)∵AE=EF,AE2=EG•ED,∴FE2=EG•ED,∴EF DE =EGEF,∵∠FEG=∠DEF,∴△FEG∽△DEF,∴∠EFG=∠EDF,∴∠BAF=∠EDF,∵∠DEF=∠AFB=90°,∴△ABF∽△DFE,∴AB DF =BF EF,∵四边形ACBD是菱形,∴AB=BC,∵∠AFB=90°,∵点E是AB的中点,∴FE=12AB=12BC,∴BC DF =BF12BC,∴BC2=2DF•BF.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,直角三角形的性质,正确的识别图形是解题的关键.12(2021秋•杨浦区校级月考)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE:ED=1:2,点F为DC的中点,连接BE、AF,BE与AF交于点H.(1)求EH:BH的值;(2)若△AEH的面积为1,求平行四边形ABCD的面积.【分析】(1)延长AF,BC交于点G,证明△ADF≌△GCF(AAS),可得AD=CG=BC,所以BG=2BC,根据AE:ED=1:2,可得AE:AD=1:3,AE:BG=1:6,,证明△AEH∽△GBH,即可解决问题;(2)在△AEH中,设AE=x,AE边上的高为h,△BGH中,BG边上的高为h′,可得平行四边形ABCD的高为h+h′,BC=3x,根据△AEH的面积为1,可得x•h=2,所以h′=6h,进而可以求平行四边形ABCD 的面积.【解答】解:(1)如图,延长AF,BC交于点G,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD ∥BC ,AD =BC ,∴∠D =∠DCG ,∠DAF =∠G ,∵点F 为DC 的中点,∴DF =CF ,在△ADF 和△GCF 中,∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF,∴△ADF ≌△GCF (AAS ),∴AD =CG ,∴AD =CG =BC ,∴BG =2BC ,∵AE :ED =1:2,∴AE :AD =1:3,∴AE :BG =1:6,∵AD ∥BC ,∴△AEH ∽△GBH ,∴EH :BH =AE :BG =1:6;(2)在△AEH 中,设AE =x ,AE 边上的高为h ,△BGH 中,BG 边上的高为h ′,∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′,BC =3x ,∵△AEH 的面积为1,∴12x •h =1,∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ,∴h :h ′=1:6,∴h ′=6h ,∴h +h ′=7h ,∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行线分线段成比例等知识,添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.13(2021春•徐汇区校级月考)如图,在菱形ABCD 中,点E 在对角线AC 上,点F 在BC 的延长线上,EF =EB ,EF 与CD 相交于点G ;(1)求证:EG •GF=CG •GD ;(2)联结DF ,如果EF ⊥CD ,那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系?证明你的结论.【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ,得∠EDC =∠EBC ;利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ,即可得到EG •GF =CG •GD.(2)利用第(1)题的结论,可证明△DGE ∽△FGC ,再利用三角形内角外角关系,即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系.【解答】解:(1)证明:∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上,∴∠ECB =∠ECD ,∵BC =CD ,CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠EDC =∠EBC ,∵EB =EF ,∴∠EBC =∠EFC ;∴∠EDC =∠EFC ;∵∠DGE =∠FGC ,∴△DGE ∽△FGC ;∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ;(2)∠ADC =2∠FDC .证明:∵EG CG =GD FG ,∴EG DG =CG FG,又∵∠DGF =∠EGC ,∴△CGE ∽△FGD ,∵EF ⊥CD ,DA =DC ,∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ,∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC .【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用,解题时注意:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.14(2021秋•宝山区校级月考)如图,四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形,AB =BC =6cm ,∠B =45°,则正方形DEFG 的面积为多少?【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ,交GF 于M ,于是得到△ABH 是等腰直角三角形,求得AH =BH =2222AB =32cm ,由△AGF ∽△ABC ,得到GF BC =AM AH,求得GF =(62-6)cm ,即可得到结论.【解答】解:过A 作AH ⊥BC 于H ,交GF 于M ,∵∠B =45°,∴AH =BH =22AB =32cm ,∵GF ∥BC ,∴△AGF ∽△ABC ,∴GF BC =AM AH,即GF 6=32-GF 32,∴GF =(62-6)cm ,∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm .【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的四条边都相等的性质,利用相似的性质:对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键.15(2021秋•松江区月考)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 为边BC 上一点,联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ,交BD 于点G ,过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F .求证:DF FC =DM CD.【分析】由GF ∥BC ,根据平行线分线段成比例定理,可得DF FC,又由四边形ABCD 是平行四边形,可得AB =CD ,AB ∥CD ,继而可证得DM AB =DG BG ,则可证得结论.【解答】证明:∵GF ∥BC ,∴DF FC =DG BG,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,AB ∥CD ,∴DM AB =DG BG ,∴DF FC =DM CD.【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.16(2021秋•松江区月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 的中点,DE 的延长线与BC 的延长线交于点F .(1)求证:FD FC =BD DC ;(2)若BC FC =54,求BD DC的值.【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ,推出∠EDC =∠ECD ,求出∠FDC =∠B ,根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ,即可;(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54,S △BDF S △FDC =94,根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94,即可求出BD DC.【解答】(1)证明:∵CD ⊥AB ,∴∠ADC =90°,∵E 是AC 的中点,∴DE =EC ,∴∠EDC =∠ECD ,∵∠ACB =90°,∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°,∠DCB +∠B =90°,∴∠ECD =∠B ,∴∠FDC =∠B ,∵∠F =∠F ,∴△FBD ∽△FDC ,∴FD FC =BD DC(2)解:∵BC FC =54,∴S △BDCS △FDC =54,∴S △BDFS △FDC =94,∵△FBD ∽△FDC ,∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94,∴BD DC=32.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的面积,注意:相似数据线的面积比等于相似比的平方,题目比较好,有一定的难度.17(2021春•黄浦区校级月考)如图,四边形ABCD 是矩形,E 是对角线AC 上的一点,EB =ED 且∠ABE =∠ADE .(1)求证:四边形ABCD 是正方形;(2)延长DE 交BC 于点F ,交AB 的延长线于点G ,求证:EF •AG =BC •BE .【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明;(2)由AD ∥BC ,推出EF DE =EC EA ,同理DC AG =EC EA,由DE =BE ,四边形ABCD 是正方形,推出BC =DC,可得EFBE =BCAG解决问题;【解答】(1)证明:连接BD.∵EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∵∠ABE=∠ADE,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.(2)证明:∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC,∴EF DE =EC EA,同理DCAG=ECEA,∵DE=BE,四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∴EF BE =BC AG,∴EF•AG=BC•BE.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.18(2021秋•浦东新区校级月考)如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证:AD2=AF•AB.【分析】由DE∥BC,EF∥CD,可得△ADE∽△ABC,△AFE∽△ADC,然后由相似三角形的对应边成比例,证得结论.【解答】证明:∵DE∥BC,EF∥CD,∴△ADE∽△ABC,△AFE∽△ADC,∴AD:AB=AE:AC,AF:AD=AE:AC,∴AD:AB=AF:AD,∴AD2=AF•AB.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.注意掌握相似三角形的对应边成比例.19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若DE=3,BC=8,求△FCD的面积.【分析】(1)由DE⊥BC,D是BC的中点,根据线段垂直平分线的性质,可得BE=CE,又由AD=AC,易得∠B=∠DCF,∠FDC=∠ACB,即可证得△ABC∽△FCD;(2)首先过A作AG⊥CD,垂足为G,易得△BDE∽△BGA,可求得AG的长,继而求得△ABC的面积,然后由相似三角形面积比等于相似比的平方,求得△FCD的面积.【解答】(1)证明:∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴BE=CE,∴∠B=∠DCF,∵AD=AC,∴∠FDC=∠ACB,∴△ABC∽△FCD;(2)解:过A作AG⊥CD,垂足为G.∵AD=AC,∴DG=CG,∴BD:BG=2:3,∵ED⊥BC,∴ED∥AG,∴△BDE∽△BGA,∴ED:AG=BD:BG=2:3,∵DE=3,∴AG=92,∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14.∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18,∴S△FCD=14S△ABC=92.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.20(2021春•静安区校级月考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E在边BC上,点F在BA的延长线上,BE=AF,CF∥AE,CF与边AD相交于点G.求证:(1)FD=CG;(2)CG2=FG•FC.【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ,根据全等三角形的性质得到FD =EA ,于是得到结论;(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ,根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ,根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ,等量代换得到∠DCF =∠FDA ,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵在菱形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠FAD =∠B ,在△ADF 与△BAE 中,AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA,∴△ADF ≌△BAE ,∴FD =EA ,∵CF ∥AE ,AG ∥CE ,∴EA =CG ,∴FD =CG ;(2)∵在菱形ABCD 中,CD ∥AB ,∴∠DCF =∠BFC ,∵CF ∥AE ,∴∠BAE =∠BFC ,∴∠DCF =∠BAE ,∵△ADF ≌△BAE ,∴∠BAE =∠FDA ,∴∠DCF =∠FDA ,又∵∠DFG =∠CFD ,∴△FDG ∽△FCD ,∴FD FC=FG FD ,FD 2=FG •FC ,∵FD =CG ,∴CG 2=FG •FC .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,菱形的性质,熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.21(2021秋•浦东新区校级月考)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC =2AD ,点E 为边DC 的中点,BE 交AC 于点F .求:(1)AF :FC 的值;(2)EF :BF 的值.【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ,如图,先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ,则有DH BC =DE CE,易得DH =BC ,加上BC =2AD ,所以AH =3AD ,然后证明△AHF ∽△CFB ,再利用相似比可计算出AF :FC 的值;(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH :BE =DE :CE =1:1,则BE =EH =12BH ,由△AHF ∽△CFB 得到FH :BF =AF :FC =3:2;于是可设BF =2a ,则FH =3a ,BH =BF +FH =5a ,EH =52a ,接着可计算出EF =FH -EH =12a ,然后计算EF :BF 的值.【解答】解:(1)延长BE 交直线AD 于H ,如图,∵AD ∥BC ,∴△DEH ∽△CEB ,∴DH BC =DE CE,∵点E 为边DC 的中点,∴DE =CE ,∴DH =BC ,而BC =2AD ,∴AH =3AD ,∵AH ∥BC ,∴△AHF ∽△CFB ,∴AF :FC =AH :BC =3:2;(2)∵△DEH ∽△CEB ,∴EH :BE =DE :CE =1:1,∴BE =EH =12BH ,∵△AHF ∽△CFB ,∴FH :BF =AF :FC =3:2;设BF =2a ,则FH =3a ,BH =BF +FH =5a ,∴EH =52a ,∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ,∴EF :BF =12a :2a =1:4.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.22(2021秋•浦东新区校级月考)已知:如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,过点D 作DE ∥CB ,交AB 于点E ,AD DC =13,DE =6.(1)求AB 的长;(2)求S △ADE S △BCD.【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ,DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ,进而推出∠ABD =∠EDB ,由此可得BE =DE =6,由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13,进而证得AE =2,于是可得结论;(2)△ADE 看成以DE 为底,高为h 1,△BCD 看成以BC 为底,高为h 2,由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13,DE BC =14,进而证得结论.【解答】解:(1)BD 平∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵DE ∥BC ,∴∠EDB =∠CBD ,∴∠ABD =∠EDB ,∴BE =DE =6,∵DE ∥BC ,∴AE EB =AD DC =13,∴AE 6=13,∴AE =2,∴AB =AE +BE =8;(2)△ADE 看成以DE 为底,高为h 1,△BCD 看成以BC 为底,高为h 2,∵DE ∥CB ,∴△AED ∽△ABC ,∴h 1h 2=AD DE =13,DE BC =14,∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质,三角形的面积等知识,熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键.23(2022春•长宁区校级月考)已知:如图,在平行四边形ABCD 中,AC 、DB 交于点E ,点F 在BC 的延长线上,联结EF 、DF ,且∠DEF =∠ADC .(1)求证:EFBF =AB DB;(2)如果BD 2=2AD •DF ,求证:平行四边形ABCD 是矩形.【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ,再由相似三角形的性质:对应边的比值相等即可证明:EF BF =AB DB;(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ,又因为BD 2=2AD •DF ,所以可证明BF =DF ,再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°,所以∠ADC =∠DEF =90°,进而可证明平行四边形ABCD 是矩形.【解答】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD ,∴AD ∥BC ,AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°,又∵∠BEF +∠DEF =180°,∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ,∵∠DEF =∠ADC ,∴∠BAD =∠BEF ,∵AD ∥BC ,∴∠EBF =∠ADB ,∴△ADB ∽△EBF ,∴EF BF =AB DB;(2)∵△ADB ∽△EBF ,∴AD BD =BE BF,在平行四边形ABCD 中,BE =ED =12BD ,∴AD •BF =BD •BE =12BD 2,∴BD 2=2AD •BF ,又∵BD 2=2AD •DF ,∴BF =DF ,∴△DBF 是等腰三角形,∵BE =DE ,∴FE ⊥BD ,即∠DEF =90°,∴∠ADC =∠DEF =90°,∴平行四边形ABCD 是矩形.【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断,其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键.24(2021秋•宝山区校级月考)已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=6,点P是射线AD上的点,BP交AC于点E,∠CBP的角平分线交AC于点F,且CF=13AC时.求AP+BP的值.【分析】延长BF交射线AP于M,根据AD∥BC,根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠CBM,再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM,从而得到∠M=∠PBM,根据等角对等边可得BP=PM,求出AP+BP=AM,再根据AC=13CF求出AE=2CF,然后根据△MAF和△BCF相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.【解答】解:如图,延长BF交射线AP于M,∵AD∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BF是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴AP+BP=AP+PM=AM,∵CF=13AC,则AF=2CF,由AD∥BC得,△MAF∽△BCF,∴AMBC =AFCF=2,∴AM=2BC=2×6=12,即AP+BP=12.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,延长BF构造出相似三角形,求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.25(2020秋•虹口区校级月考)已知:如图,已知△ABC与△ADE均为等腰三角形,BA=BC,DA= DE.如果点D在BC边上,且∠EDC=∠BAD.点O为AC与DE的交点.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)求证:DA•OC=OD•CE.【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE,由于BABC=DADE=1,根据得到结论;(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE,于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE,证得△COD∽△EOA,根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA,由∠AOD=∠COE,推出△AOD∽△COE,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ,∴∠B =∠ADE ,∵BA BC=DA DE =1,∴△ABC ∽△ADE ;(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴∠BAC =∠DAE ,∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ,∵∠COD =∠EOA ,∴△COD ∽△EOA ,∴OC OE =OD OA,∵∠AOD =∠COE ,∴△AOD ∽△EOC ,∴DA :CE =OD :OC ,即DA •OC =OD •CE .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形的外角的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.26(2021秋•金山区校级月考)已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在边AD 上,CE 与BD 相交于点F ,AD =4,AB =5,BC =BD =6,DE =3.(1)求证:△DFE ∽△DAB ;(2)求线段CF 的长.【分析】(1)AD ∥BC ,DE =3,BC =6,DF FB =DE BC=36=12,DF DA =DE DB .又∠EDF =∠BDA ,即可证明△DFE ∽△DAB .(2)由△DFE ∽△DAB ,利用对应边成比例,将已知数值代入即可求得答案.【解答】证明:(1)∵AD ∥BC ,DE =3,BC =6,∴DF FB =DE BC =36=12,∴DF BD =12,∵BD =6,∴DF =2.∵DA =4,∴DF DA =24=12,DE DB =36=12.∴DF DA=DE DB .又∵∠EDF =∠BDA ,∴△DFE ∽△DAB .(2)∵△DFE ∽△DAB ,∴EF AB =DE DB .∵AB =5,∴EF 5=36,∴EF =52=2.5.∵DE ∥BC ,∴CFEF =BC DE .∴CF 2.5=63,∴CF =5.(或利用△CFB ≌△BAD ).【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握,第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长,不管学生用了哪种方法,只要是正确的,就要积极地给予表扬,以此激发学生的学习兴趣.27(2020秋•宝山区月考)如图,正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上,已知△ABC 的边BC =15,高AH =10,求正方形DEFG 的边长和面积.【分析】高AH 交DG 于M ,如图,设正方形DEFG 的边长为x ,则DE =MH =x ,所以AM =10-x ,再证明△ADG ∽△ABC ,则利用相似比得到x 15=10-x 10,然后根据比例的性质求出x ,再计算x 2的值即可.【解答】解:高AH 交DG 于M ,如图,设正方形DEFG 的边长为x ,则DE =MH =x ,∴AM =AH -MH =10-x ,∵DG ∥BC ,∴△ADG ∽△ABC ,∴DG BC =AM AH,即x 15=10-x 10,∴x =6,∴x 2=36.答:正方形DEFG 的边长和面积分别为6,36.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;也考查了正方形的性质.28(2021秋•闵行区校级月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,M 是CD 上的点,DH ⊥BM 于H ,DH 的延长线交AC 的延长线于E .求证:(1)△AED ∽△CBM ;(2)AE •CM =AC •CD .【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形,易得∠A +∠ABC =90°,而CD ⊥AB ,易得∠MCB +∠ABC =90°,利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ,同理可证∠1=∠2,而∠ADE =90°+∠1,∠CMB =90°+∠2,易证∠ADE =∠CMB ,从而易证△AED ∽△CBM ;(2)由(1)知△AED ∽△CBM ,那么AE :AD =CB :CM ,于是AE •CM =AD •CB ,再根据△ABC 是直角三角形,CD 是AB 上的高,易知△ACD ∽△CBD ,易得AC •CD =AD •CB ,等量代换可证AE •CM =AC •CD .【解答】证明:(1)∵△ABC 是直角三角形,∴∠A +∠ABC =90°,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =90°,即∠MCB +∠ABC =90°,∴∠A =∠MCB ,∵CD ⊥AB ,∴∠2+∠DMB =90°,∵DH ⊥BM ,∴∠1+∠DMB =90°,∴∠1=∠2,又∵∠ADE =90°+∠1,∠CMB =90°+∠2,∴∠ADE =∠CMB ,∴△AED ∽△CBM ;(2)∵△AED ∽△CBM ,∴AE BC =AD CM,∴AE •CM =AD •CB ,∵△ABC 是直角三角形,CD 是AB 上的高,∴△ACD ∽△CBD ,∴AC :AD =CB :CD ,∴AC •CD =AD •CB ,∴AE •CM =AC •CD .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似.解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB .29(2022秋•徐汇区校级月考)如图,在直角坐标平面内有点A (6,0),B (0,8),C (-4,0),点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点,点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动,点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动,MN 交OB 于点P .(1)求证:MN :NP 为定值;(2)若△BNP 与△MNA 相似,求CM 的长;(3)若△BNP 是等腰三角形,求CM 的长.【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ,然后分两种情况进行讨论,综合两种情况,求得MN :NP 为定值53.(2)当△BNP 与△MNA 相似时,当点M 在CO 上时,只可能是∠MNB =∠MNA =90°,所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ,所以AM AN =AB AO ,所以10-2k 5k =106,k =3031,即CM =6031;当点M 在OA 上时,只可能是∠NBP =∠NMA ,所以∠PBA =∠PMO ,根据题意可以判定不成立,所以CM =6031.(3)由于等腰三角形的特殊性质,应分三种情况进行讨论,即BP =BN ,PB =PN ,NB =NP 三种情况进行讨论.【解答】证明:(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ,设AN =5k ,得:AH =3k ,CM =2k ,①当点M 在CO 上时,点N 在线段AB 上时:∴OH =6-3k ,OM =4-2k ,∴MH =10-5k ,∵PO ∥NH ,∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53,②当点M 在OA 上时,点N 在线段AB 的延长线上时:∴OH =3k -6,OM =2k -4,∴MH =5k -10,∵PO ∥NH ,∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53;解:(2)当△BNP 与△MNA 相似时:①当点M 在CO 上时,只可能是∠MNB =∠MNA =90°,∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ,∴AMAN =AB AO,。
(完整版)相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理,推荐文档
一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B 作射线BB1∥AC .动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D 作DH ⊥AB 于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G 是EF 中点,连接DG .设点D 运动的时间为t 秒.(1)当t 为何值时,AD=AB ,并求出此时DE 的长度;(2)当△DEG 与△ACB 相似时,求t 的值.2.如图,在△ABC 中,ABC =90°,AB=6m ,BC=8m ,动点P 以2m/s 的速度从A 点出发,沿AC 向点C 移动.同时,动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发,沿CB 向点B 移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t 秒.(1)①当t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式;(2)在P ,Q 移动的过程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出t 的值.3.如图1,在Rt △ABC 中,ACB =90°,AC =6,BC =8,点D 在边AB 上运动,DE 平分CDB 交边BC 于点E ,EM ⊥BD ,垂足为M ,EN ⊥CD ,垂足为N .(1)当AD =CD 时,求证:DE ∥AC ;(2)探究:AD 为何值时,△BME 与△CNE 相似?4.如图所示,在△ABC 中,BA =BC =20cm ,AC =30cm ,点P 从A 点出发,沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动;同时点Q 从C 点出发,沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动,当P 点到达B 点时,Q 点随之停止运动.设运动的时间为x .(1)当x 为何值时,PQ ∥BC ?(2)△APQ 与△CQB 能否相似?若能,求出AP 的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm ,BC=6cm ,点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t (s )表示移动的时间(0<t <6)。
相似三角形练习题(超经典含答案)
1.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比为k(k≠1),则k的值是A.∠A︰∠A′B.A′B′︰ABC.∠B︰∠B′D.BC︰B′C′2.如图,在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,下列比例式不成立的是A.AD AEDB EC=BAD DEDB BC=.CAD AEAB AC=.DAB ACDB CE=.3.如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E,B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=A.7 B.7.5 C.8 D.8.54.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD︰DB=3︰5,那么CF︰CB等于A.5︰8 B.3︰8 C.3︰5 D.2︰55.如图,已知在等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则一定相似的三角形是A.△ABC和△BAD B.△ABD和△BDCC.△BDC和△ABC D.△ABD和△BDC和△ABC6.在相同时刻的物高与影长成正比例,如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米,那么影长为30米的旗杆的高是A.25米B.24米C.20米D.18米7.△ABC和△A′B′C′相似,记作__________,相似三角形__________的比叫__________,当相似比为1时,两个三角形__________.8.如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=60°,∠B=40°,∠A′=60°,当∠C′=__________时,则△ABC∽△A′B′C′.9.若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长为AB=6cm,A′B′=8cm,那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________.10.如图,矩形ABCD中,点E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F,则AFE△与BCF△的面积比等于__________.11.如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且14FC BC.图中相似三角形共有__________对.12.如图,要使△ABC 与△DBA 相似,则只需添加一个适当的条件是________.(填一个即可)13.如图,要测量池塘两端A 、B 的距离,可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ,连接AC并延长到D ,使12CD CA =,连接BC 并延长到E ,使12CE CB =,连接ED ,如果量出DE 的长为25米,那么池塘宽AB 为________米.14.如图,在ABC △中,90C ∠=︒,在AB 边上取一点D ,使BD BC =,过D 作DE AB ⊥交AC 于E ,86AC BC ==,.求DE 的长.15.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.(1)求ADAB的值;(2)求BC的长.16.如图,△ABC∽△DEC,CA=CB,且点E在AB的延长线上.(1)求证:AE=BD;(2)求证:△BOE∽△COD;(3)已知CD=10,BE=5,OD=6,求OC的长.17.如图,甲、乙两人分别从A(1)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向,乙沿BO方向均以4的速度行走.t h后,甲到达M点,乙到达N点.(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行;(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?18.如图,点F是ABCD的边AD上的三等分点(靠近A点),BF交AC于点E,如果△AEF的面积为2,那么四边形CDFE的面积等于A.18 B.22C.24 D.4619.在矩形ABCD中,点E、F分别在AD、CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ一定相似的是A.Ⅰ和ⅡB.Ⅰ和ⅢC.Ⅰ和ⅣD.Ⅲ和Ⅳ20.如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,则这样的P点共有A.1个B.2个C.3个D.4个21.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,△DEF的面积与△BAF的面积之比为9:16,则DE:EC=__________.22.如图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处,三角板绕点E旋转,三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F.(1)求证:△GBE∽△GEF.(2)设AG=x,GF=y,求y关于x的函数表达式,并写出自变量取值范围.(3)如图2,连接AC交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ与△CEP相似,求线段AG的长.23.(2018•绥化)两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ,它们的周长之差为12cm ,那么大三角形的周长为 A .14cm B .16cm C .18cmD .30cm24.(2018•毕节市)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是DC 上的点,DE :EC =3:2,连接AE 交BD 于点F ,则△DEF 与△BAF 的面积之比为A .2:5B .3:5C .9:25D .4:2525.(2018•巴中)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是边AC ,AB 的中点,BD 与CE 交于点O ,连接DE .下列结论:①OE OB =OD OC ;②DE BC =12;③DOE BOC S S △△=12;④DOE DBES S △△=13.其中正确的个数有A .1个B .2个C .3个D .4个26.(2018•阜新)如图,在矩形ABCD 中,点E 为AD 中点,BD 和CE 相交于点F ,如果DF =2,那么线段BF 的长度为__________.27.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=___________m.28.(2018•陕西)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图法,在AM上作一点P,使△DPA∽△ABM.(不写作法,保留作图痕迹)29.(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.(1)求证:EF=AE–BE;(2)连接BF,如果AFBF=DFAD.求证:EF=EP.1.【答案】D【解析】对应边的比是相似比,且有顺序性,故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′. 2.【答案】B【解析】∵DE ∥BC ,,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===,∴选项A ,C ,D 均正确;故选B . 3.【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ,∴AC BD CE DF =,即436DF =.∴364.54DF ⨯==.∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5.4.【答案】A【解析】∵DE ∥BC ,∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5, ∵EF ∥AB ,∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5, 故CF ︰CB =5︰8.故选A . 5.【答案】C6.【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米,则1.6230x=,解得x =24. 7.【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′;对应边;相似比;全等【解析】ABC △和'''A B C △相似,记作ABC A'B'C'△∽△,相似三角形对应边的比叫相似比,当相似比为1时,两个三角形全等.故答案为:ABC A'B'C'△∽△,对应边,相似比,全等. 8.【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒,180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒,,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒,∴当80C'∠=︒时 ,△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为:80.︒ 9.【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比,即相似比为6384AB A B ==''.故答案为:34. 10.【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方,∵E 为AD 的中点,四边形ABCD 为矩形,∴12AE BC =,∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:1:4.11.【答案】312.【答案】∠ADB =∠BAC (或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=) 【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角,∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证;也可添加BD BABA BC=,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证. 13.【答案】50【解析】∵12CD CA =,12CE CB =,∴12CD CE AC CB ==.∵∠ACB =∠DCE ,∴△ACB ∽△DCE .∴12DE CD AB AC ==. ∵DE =25米,∴AB =50米.故答案为:50. 14.【答案】3【解析】在ABC △中,9086C AC BC ∠===,,,10AB ∴==.又6BD BC ==,4AD AB BD ∴=-=.DE AB ⊥,90ADE C ∴∠=∠=︒.又A A ∠=∠,AED ABC ∴△∽△.DE ADBC AC∴=. ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=. 15.【解析】(1)48,AD DB ==,4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ,,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16.【解析】(1)∵△ABC ∽△DEC ,CA =CB ,17.【解析】(1)因为A点坐标为(1),所以OA=2,由题意知OM=2-4t,ON=6-4t,若246426t t--=,解得t=0.即在甲、乙两人到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB,所以MN与AB不可能平行.(2)因为甲到达O点的时间为21h42t==,乙到达O点的时间为63h42t==,所以12t=或32时,O、M、N三点不能连接成三角形.①当12t<时,如果△OMN∽△OBA,则有246462t t--=,解得122t=>(舍去);②当1322t<<时,∠MON>∠OAB,显然△OMN不可能相似于△OBA;③当32t>时,424662t t--=,解得322t=>.所以当t=2时,△OMN∽△OBA.18.【答案】B【解析】∵AD∥BC,∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC;∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF∽△BEC,∴AFBC=AEEC=13,∵△AEF与△EFC高相等,∴S△EFC=3S△AEF,∵点F是ABCD的边AD上的三等分点,∴S△FCD=2S△AFC,∵△AEF的面积为2,∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B.19.【答案】B20.【答案】C【解析】若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴AD APBP BC=,∴273APAP=-,∴AP2−7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴AP AD BC BP=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴AP ADBP BC=,∴273APAP=-,∴AP=145.检验:当AP=145时,BP=215,AD=2,BC=3,∴AP ADBP BC=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,故选C.21.【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴DE∥AB,DC=AB,∴△DEF∽△BAF.∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9:16,∴3=4 DEBA,∵3=343DE DEEC CD DE==--.故答案为:3:1.22.【解析】(1)如图1,延长FE交AB的延长线于F',∵AG=x,∴BG=4–x,∴242xCF-=,∴CF=44x-,由(1)知,BF'=CF=44x-,由(1)知,GF'=GF=y,∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-,当CF=4时,即:44x-=4,∴x=3,(0≤x≤3),即:y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-(0≤x≤3);。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CDF S . 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证.证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同. (3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C ,则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆. (4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆.答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GFEC DF =,从而可以求出BC 的长. 解 EC DF EC AE //,⊥ ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =. 又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//,∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =. 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米. 例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆.所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ). 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E , 又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆; (2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆.例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等; (5)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2. 说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB += ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S .例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F作AB FG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH . 由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米) 所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行.例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米. 例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4. 如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴AC FCAB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形. 如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1, ∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.Welcome !!! 欢迎您的下载,资料仅供参考!。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等,且对应边成比例,则这两个三角形是相似的。
这种说法正确吗?A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似,AB=6cm,DE=3cm,那么AC的长度是多少?A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中,∠A=60°,∠B=40°,那么∠C是多少度?A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=2:3,BC=8cm,求DE的长度。
5. 在三角形ABC中,若∠A=30°,∠B=70°,求∠C的度数。
三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AC=4cm,DF=6cm,AB=5cm,求EF的长度。
7. 在三角形ABC中,已知AB=6cm,AC=4cm,BC=8cm,判断三角形ABC 是否为直角三角形,并说明理由。
四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A=∠D,∠B=∠E,证明∠C=∠F。
9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB/DE=2/3,AC/DF=2/3,证明BC/EF=2/3。
五、应用题10. 在平面直角坐标系中,点A(-3,4),B(1,-2),C(5,6),点D(-1,1),E(3,-6),F(7,3),判断三角形ABC与三角形DEF是否相似,并求出相似比。
答案:1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形,因为AB²+AC²=BC²。
8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应角相等,所以∠C=∠F。
9. 根据相似三角形的性质,对应边的比值相等,所以BC/EF=AB/DE=2/3。
10. 三角形ABC与三角形DEF相似,相似比为3/2。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE = 2:3,则BC:EF的比值为:A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案:B2. 在相似三角形中,对应角相等,对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质?A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案:D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似,相似比为2:3,则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案:2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 6cm,DE = 9cm,则BC 与EF的比值为______。
答案:2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 8cm,DE = 12cm,求三角形ABC的周长,已知三角形DEF的周长为36cm。
答案:三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A = ∠D = 50°,∠B =∠E = 60°,求∠C和∠F的度数。
答案:∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 4cm,DE = 6cm,BC = 5cm,EF = 7.5cm,证明AC = 6.25cm。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm,所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此,AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A = ∠D,∠B = ∠E,求证:∠C = ∠F。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应角相等。
已知∠A = ∠D,∠B = ∠E,所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
最新相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案)1.已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,且∠BAC=∠DAG,∠CDG=∠BAD.(1)求证:=;(2)当GC⊥BC时,求证:∠BAC=90°.2.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,点D在边BC上,CE⊥AB,CF⊥AD,E、F分别是垂足.(1)求证:AC2=AF•AD;(2)联结EF,求证:AE•DB=AD•EF.3.如图,△ABC中,PC平分∠ACB,PB=PC.(1)求证:△APC∽△ACB;(2)若AP=2,PC=6,求AC的长.4.如图,在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.(1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长.5.已知:如图,△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:AB•BC=AC•CD.6.已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°,设△ABC的面积为S,说明AF•BE=2S 的理由.7.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.(1)若AE=CF;①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;②若AE=2,试求AP•AF的值;(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.8.如图所示,AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高,求证:=.9.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.求证:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG•DF=DB•EF.10.如图,△ABC、△DEF都是等边三角形,点D为AB的中点,E在BC上运动,DF和EF分别交AC于G、H 两点,BC=2,问E在何处时CH的长度最大?11.如图,AB和CD交于点O,当∠A=∠C时,求证:OA•OB=OC•OD.12.如图,已知等边三角形△AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外).连接EB,过E作EF⊥AB,交AB的延长线为F.(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系,并证明你的猜想.(2)证明:△BEF∽△ABC,并求出相似比.13.已知:如图,△ABC中,点D、E是边AB上的点,CD平分∠ECB,且BC2=BD•BA.(1)求证:△CED∽△ACD;(2)求证:.14.如图,△ABC中,点D、E分别在BC和AC边上,点G是BE边上一点,且∠BAD=∠BGD=∠C,联结AG.(1)求证:BD•BC=BG•BE;(2)求证:∠BGA=∠BAC.15.已知:如图,在△ABC中,点D是BC中点,点E是AC中点,且AD⊥BC,BE⊥AC,BE,AD相交于点G,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,DF=6.(1)求AE的长;(2)求的值.16.如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,M是CD中点,且∠AMD=∠BMD,AP∥CD交BC延长线于P点,延长BM交PA于N点,且PN=AN.(1)求证:MN=MA;(2)求证:∠CDA=2∠ACD.17.已知:如图,在△ABC中,已知点D在BC上,联结AD,使得∠CAD=∠B,DC=3且S△ACD:S△ADB﹦1﹕2.(1)求AC的值;(2)若将△ADC沿着直线AD翻折,使点C落点E处,AE交边BC于点F,且AB∥DE,求的值.18.在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若DE=3,BC=8,求△FCD的面积.19.如图,△ABC为等边三角形,D为BC边上一点,以AD为边作∠ADE=60°,DE与△ABC的外角平分线CE 交于点E.(1)求证:∠BAD=∠FDE;(2)设DE与AC相交于点G,连接AE,若AB=6,AE=5时,求线段AG的长.20.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒,使△PBQ的面积等于8cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒,使△PCQ的面积等于12.6cm2?21.已知:如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED 交AC于点F,连接DC、AE.(1)求证:△ADE≌△DFC;(2)过点E作EH∥DC交DB于点G,交BC于点H,连接AH.求∠AHE的度数;(3)若BG=,CH=2,求BC的长.22.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,BE∥BC交AC于点E.(1)求证:AE•BC=AC•CE;(2)若S△ADE:S△CDE=4:3.5,BC=15,求CE的长.23.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,(1)求证:AC2=AB•AD;(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求的值.24.在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.25.如图,M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点,BP与MN、AN分别交于E、F.(1)求证:BF=2FP;(2)设△ABC的面积为S,求△NEF的面积.26.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E、F分别是AC,BC边上一点,且CE=AC,BF=BC,(1)求证:;(2)求∠EDF的度数.27.如图,△ABC是等边三角形,且AB∥CE.(1)求证:△ABD∽△CED;(2)若AB=6,AD=2CD,①求E到BC的距离EH的长.②求BE的长.28.如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F.(1)若AC=3,AB=4,求;(2)证明:△ACE∽△FBE;(3)设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.29.如图,△ABC是等边三角形,∠DAE=120°,求证:(1)△ABD∽△ECA;(2)BC2=DB•CE.30.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,且AC=CD=,又E,D为CB的三等分点.(1)证明:△ADE∽△BDA;(2)证明:∠ADC=∠AEC+∠B;(3)若点P为线段AB上一动点,连接PE,则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个?请说明理由.相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案:1.解:(1)∵∠ADC=∠B+∠BAD,且∠CDG=∠BAD,∴∠ADG=∠B;∵∠BAC=∠DAG,∴△ABC∽△ADG,∴=.(2)∵∠BAC=∠DAG,∴∠BAD=∠CAG;又∵∠CDG=∠BAD,∴∠CDG=∠CAG,∴A、D、C、G四点共圆,∴∠DAG+∠DCG=180°;∵GC⊥BC,∴∠DCG=90°,∴∠DAG=90°,∠BAC=∠DAG=90°.2.解:(1)如图,∵∠ACB=90°,CF⊥AD,∴∠ACD=∠AFC,而∠CAD=∠FAC,∴△ACD∽△AFC,∴,∴AC2=AF•AD.(2)如图,∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠AEC=∠AFC=90°,∴A、E、F、C四点共圆,∴∠AFE=∠ACE;而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B,∴∠ACE=∠B,∠AFE=∠B;∵∠FAE=∠BAD,∴△AEF∽△ADB,∴AE:AD=BD:EF,∴AE•DB=AD•EF.3.解:(1)∵PB=PC,∴∠B=∠PCB;∵PC平分∠ACB,∴∠ACP=∠PCB,∠B=∠ACP,∵∠A=∠A,∴△APC∽△ACB.(2)∵△APC∽△ACB,∴,∵AP=2,PC=6,AB=8,∴AC=4.∵AP+AC=PC=6,这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾,∴该题无解.4.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠C+∠ADE=180°,∵∠BFE=∠C,∴∠AFB=∠EDA,∵AB∥DC,∴∠BAE=∠AED,∴△ABF∽△EAD;(2)解:∵AB∥CD,BE⊥CD,∴∠ABE=90°,∵AB=4,∠BAE=30°,∴AE=2BE,由勾股定理可求得AE=5.证明:∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=∠C,∴BD=CD,在△ABD和△ACB中,,∴△ABD∽△ACB,∴=,即AB•BC=AC•BD,∴AB•BC=AC•CD.6.证明:∵AC=BC,∴∠A=∠B,∵∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵∠ECF=45°,∴∠ECF=∠B=45°,∴∠ECF+∠1=∠B+∠1,∵∠BCE=∠ECF+∠1,∠2=∠B+∠1;∴∠BCE=∠2,∵∠A=∠B,∴△ACF∽△BEC.∴,∴AC•BC=BE•AF,∴S△ABC=AC•BC=BE•AF,∴AF•BE=2S.7.(1)①证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,又∵AE=CF,在△ABE和△CAF中,,∴△ABE≌△CAF(SAS),∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,∴,即,所以AP•AF=12(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,∴∠AOB=120°,又∵AB=6,∴OA=,点P的路径是.②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P 的路径为:.所以,点P经过的路径长为或3.8.证明:∵AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高,∴∠D=∠E=90°,∵∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴=.9.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°.∴∠BDE=∠CED,∵∠EDF=∠ABE,∴△DEF∽△BDE;(2)由△DEF∽△BDE,得.∴DE2=DB•EF,由△DEF∽△BDE,得∠BED=∠DFE.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.∴,∴DE2=DG•DF,∴DG•DF=DB•EF.10.解:设EC=x,CH=y,则BE=2﹣x,∵△ABC、△DEF都是等边三角形,∴∠B=∠DEF=60°,∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC,∴∠BDE=∠HEC,∴△BED∽△CHE,∴,∵AB=BC=2,点D为AB的中点,∴BD=1,∴,即:y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1.∴当x=1时,y最大.此时,E在BC中点11.解:∵∠A=∠C,∠AOD=∠BOC,∴△OAD∽△OCB,∴=,∴OA•OB=OC•OD.12.解:(1)猜测BE和直线AC垂直.证明:∵△AEC是等边三角形,∴AE=CE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∵BE=BE,∴△AEB≌△CEB(SSS).∴∠AEB=∠CEB,∵AE=CE,∴BE⊥AC;(2)∵△AEC是等边三角形,∴∠EAC=∠AEC=60°,∵BE⊥AC,∴∠BEA=∠AEC=30°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,∴∠BAE=15°,∴∠EBF=45°,∵EF⊥BF,∴∠F=90°,∴∠EBF=∠BAC,∠F=∠ABC,∴△BEF∽△ACB,延长EB交AC于G,设AC为2a,则BG=a,EB=a﹣a,∴相似比是:===13.证明:(1)∵BC2=BD•BA,∴BD:BC=BC:BA,∵∠B是公共角,∴△BCD∽△BAC,∴∠BCD=∠A,∵CD平分∠ECB,∴∠ECD=∠BCD,∴∠ECD=∠A,∵∠EDC=∠CDA,∴△CED∽△ACD;(2)∵△BCD∽△BAC,△CED∽△ACD,∴=,=,∴.14.证明:(1)∵∠DBG=∠EBC,∠BGD=∠C,∴△BDG∽△BEC,∴=,则BD•BC=BG•BE;(2)∵∠DBA=∠ABC,∠BAD=∠C,∴△DBA∽△ABC,∴=,即AB2=BD•BC,∵BD•BC=BG•BE,∴AB2=BG•BE,即=,∵∠GBA=∠ABE,∴△GBA∽△ABE,∴∠BGA=∠BAC.15.解:(1)∵在△ABC中,点D是BC中点,点E是AC中点,且AD⊥BC,BE⊥AC,∴AC=AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵BF∥AC,∴∠CBF=∠C=60°,∵AD⊥BC,∴∠FDB=90°,∴∠F=30°,∵DF=6,∴BD=2,∵AE=EC=BD=DC,∴AE=2;(2)∵∠BDF=90°,∠F=30°,BD=2,∴BF=2DB=4,∵AC∥BF,∴△AEG∽△FBG,∴=()2=.16.证明:(1)∵AP∥CD,∴∠AMD=∠MAN,∠BMD=∠MNA,∵∠AMD=∠BMD,∴∠MAN=∠MNA,∴MN=MA.(2)如图,连接NC,∵AP∥CD,且PN=AN.∴==,∴MC=MD,∴CN为直角△ACP斜边AP的中线,∴CN=NA,∠NCA=∠NAC,∵AP∥CD,∴∠NAC=∠ACD,∴∠NCM=2∠ACD,∵∠CMN=∠DMB,∠DMA=∠BMD,∴∠CMD=∠DMA,在△CMN和△DMA中,,∴△CMN≌△DMA(SAS),∠ADM=∠NCM=2∠ACD.即:∠CDA=2∠ACD.17.解:(1)∵S△ACD:S△ADB﹦1:2,∴BD=2CD,∵DC=3,∴BD=2×3=6,∴BC=BD+DC=6+3=9,∵∠CAD=∠B,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC,∴=,即=,解得AC=3;(2)由翻折的性质得,∠E=∠C,DE=CD=3,∵AB∥DE,∴∠B=∠EDF,∵∠CAD=∠B,∴∠EDF=∠CAD,∴△EFD∽△ADC,∴=()2=()2=18.(1)证明:∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴BE=CE,∴∠B=∠DCF,∵AD=AC,∴∠FDC=∠ACB,∴△ABC∽△FCD;(2)解:过A作AG⊥CD,垂足为G.∵AD=AC,∴DG=CG,∴BD:BG=2:3,∵ED⊥BC,∴ED∥AG,∴△BDE∽△BGA,∴ED:AG=BD:BG=2:3,∵DE=3,∴AG=,∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,∴=()2=.∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18,∴S△FCD=S△ABC=.19.(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°,由三角形的外角性质得,∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B,∵∠ADE=60°,∴∠BAD=∠FDE;(2)解:如图,过点D作DH∥AC交AB于H,∵△ABC为等边三角形,∴△BDH是等边三角形,∴∠BHD=60°,BD=BH,∴∠AHD=180°﹣60°=120°,∵CE是△ABC的外角平分线,∴∠ACE=(180°﹣60°)=60°,∴∠DCE=60°+60°=120°,∴∠AHD=∠DCE=120°,又∵AH=AB﹣BH,CD=BC﹣BD,∴AH=CD,在△AHD和△DCE中,,∴△AHD≌△DCE(ASA),∴AD=DE,∵∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴∠DAE=∠DEA=60°,AE=AD=5,∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD,∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD,∴∠BAD=∠EAG,∴△ABD∽△AEG,∴=,即=,解得AG=.20.解:(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ面积为8cm2,由题意得(6﹣x)•2x=8,解之,得x1=2,x2=4,经过2秒时,点P到距离B点4cm处,点Q到距离B点4cm处;或经4秒,点P到距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处,△PBQ的面积为8cm2,综上所述,经过2秒或4秒,△PBQ的面积为8cm2;(2)当P在AB上时,经x秒,△PCQ的面积为:×PB×CQ=×(6﹣x)(8﹣2x)=12.6,解得:x1=(不合题意舍去),x2=,经x秒,点P移动到BC上,且有CP=(14﹣x)cm,点Q移动到CA上,且使CQ=(2x﹣8)cm,过Q作QD⊥CB,垂足为D,由△CQD∽△CAB得,即QD=,由题意得(14﹣x)•=12.6,解之得x1=7,x2=11.经7秒,点P在BC上距离C点7cm处,点Q在CA上距离C点6cm处,使△PCQ的面积等于12.6cm2.经11秒,点P在BC上距离C点3cm处,点Q在CA上距离C点14cm处,14>10,点Q已超出CA的范围,此解不存在.综上所述,经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221.(1)证明:如图,∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE,∴∠EDB=60°,DE=DB.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°.∴∠EDB=∠B.∴EF∥BC.∴DB=FC,∠ADF=∠AFD=60°.∴DE=DB=FC,∠ADE=∠DFC=120°,△ADF是等边三角形.∴AD=DF.∴△ADE≌△DFC.(2)解:由△ADE≌△DFC,得AE=DC,∠1=∠2.∵ED∥BC,EH∥DC,∴四边形EHCD是平行四边形.∴EH=DC,∠3=∠4.∴AE=EH.∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°.∴△AEH是等边三角形.∴∠AHE=60°.(3)解:设BH=x,则AC=BC=BH+HC=x+2,由(2)四边形EHCD是平行四边形,∴ED=HC.∴DE=DB=HC=FC=2.∵EH∥DC,∴△BGH∽△BDC.∴.即.解得x=1.∴BC=3.22.(1)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AEC=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠DCE,∴∠DCE=∠EDC,∴DE=CE,∴=,即AE•BC=AC•CE;(2)∵S△ADE:S△CDE=4:3.5,∴AE:CE=4:3.5,∴=,∵由(1)知=,∴=,解得DE=6,∵DE=CE,∴CE=8.23.(1)证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD:AC=AC:AB,∴AC2=AB•AD;(2)证明:∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∴∠EAC=∠ECA,∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;(3)解:∵CE∥AD,∴△AFD∽△CFE,∴AD:CE=AF:CF,∵CE=AB,∴CE=×6=3,∵AD=4,∴,∴.24.(1)证明:如图1,在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC,∵点E为AB的中点,∴AB=2BE,∴AC=BE.在△ACD与△BEF中,,∴△ACD≌△BEF,∴CD=EF,即EF=CD;(2)解:如图2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,∴四边形EQDH是矩形,∴∠QEH=90°,∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,又∵∠EQF=∠EHG=90°,∴△EFQ∽△EGH,∴EF:EG=EQ:EH.∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,∴∠B=30°.在△BEQ中,∵∠BQE=90°,∴sinB==,∴EQ=BE.在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴cos∠AEH==,∴EH=AE.∵点E为AB的中点,∴BE=AE,∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:=:3.25.(1)证明:如图1,连接PN,∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点,∴PN∥AB,且.∴△ABF∽△NPF,∴.∴BF=2FP.(2)解:如图2,取AF的中点G,连接MG,∴MG∥EF,AG=GF=FN.∴△NEF∽△NMG,∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S.26.(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠ADC=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ADC∽△CDB,∴=;(2)解:∵CE=AC,BF=BC,∴===,又∵∠A=∠BCD,∴∠ACD=∠B,∴△CED∽△BFD,∴∠CDE=∠BDF,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°.27.解;(1)∵AB∥CE,∴∠A=∠DCE,又∵∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△CED;(2)①过点E作EH⊥BF于点H,∵△ABC是等边三角形,△ABD∽△CED,AB=6,AD=2CD,∴==,∠A=∠ACB=60°,∴CE=3,∵AB∥CE,∴∠ECH=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°,∴EH=CE•sin60°=3×=;②在Rt△ECH中,∵∠ECH=60°,CE=3,∴CH=CE•cos60°=3×=,∴BH=BC+CH=6+=,∴BE===3.28.(1)解:∵AC=AC′,AB=AB′,∴由旋转可知:∠CAB=∠C′AB′,∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′,即∠CAC′=∠BAB′,又∵∠ACB=∠AC′B′=90°,∴△ACC′∽△ABB′,∵AC=3,AB=4,∴==;(2)证明:∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,∴AC=AC′,AB=AB′,∠CAB=∠C′AB′,(1分)∴∠CAC′=∠BAB′,∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C,∴∠ACC′=∠ABB′,(3分)又∵∠AEC=∠FEB,∴△ACE∽△FBE.(4分)(3)解:当β=2α时,△ACE≌△FBE.理由:在△ACC′中,∵AC=AC′,∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α,(6分)在Rt△ABC中,∠ACC′+∠BCE=90°,∴∠BCE=90°﹣90°+α=α,∵∠ABC=α,∴∠ABC=∠BCE,(8分)∴CE=BE,由(2)知:△ACE∽△FBE,∴△ACE≌△FBE.(9分)29.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∠DAE=120°,∴∠DAB+∠CAE=60°,∵∠ABC是△ABD的外角,∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°,∴∠CAE=∠D,∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠ABD=∠ACE=120°,∴△ABD∽△ECA;(2)∵△ABD∽△ECA,∴=,即AB•AC=BD•CE,∵AB=AC=BC,∴BC2=BD•CE30.(1)证明:∵AC=CD=DE=EB=,又∠C=90°,∴AD=2,∴=,==,∴=,又∵∠ADE=∠BDA,∴△ADE∽△BDA;(2)证明:∵△ADE∽△BDA,∴∠DAE=∠B,又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE,∴∠ADC=∠AEC+∠B;(3)解:∵点P为线段AB上一动点,根据勾股定理得:AE==,BE=,∴PE的最大值为.作EF⊥AB,则EF=,则PE的最小值为∴≤EP≤,∵EP为整数,即EP=1,2,3,结合图形可知PE=1时有两个点,所以PE长为整数的点P个数为4个.输血过程质量管理监控及效果评价制度一、输血护理服务的规定1、血液必须保存在指定的血库冰箱内,温度应保持在4℃,保存温度不当可能导致血细胞破坏或细菌感染,血液自血库取出后应在30分钟内输入。
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中,对应角相等的条件是:A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案:A2. 下列选项中,哪一项不是相似三角形的性质?A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案:B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=2:3,则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。
答案:4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似,且∠A=∠A'=60°,则∠B与∠B'的关系是________。
答案:相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中,对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
答案:在相似三角形中,由于对应角相等,根据正弦定理,对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
这是因为正弦值与角的大小成正比,而相似三角形的对应角大小相同,因此它们的正弦值之比也相同。
四、计算题6. 在三角形ABC中,已知AB=5cm,AC=7cm,∠A=60°,求三角形ABC的面积。
答案:首先,利用余弦定理计算BC的长度。
根据余弦定理,BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。
代入已知值,得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39,所以BC = √39 cm。
然后,利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A,代入已知值,得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。
7. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=3:5,求三角形ABC与三角形DEF的面积比。
答案:由于相似三角形的面积比等于边长比的平方,所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
相似三角形一.解答题〔共30小题〕1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G .〔1〕求证:△CDF∽△BGF;〔2〕当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,假如AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D 在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.〔1〕求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;〔2〕在图①的根底上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立;〔3〕在〔2〕的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.〔1〕填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:〔1〕经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?〔2〕是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?假如存在,求t 的值;假如不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,假如AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;〔注意:全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E ,连接AE .〔1〕写出图中所有相等的线段,并加以证明;〔2〕图中有无相似三角形?假如有,请写出一对;假如没有,请说明理由;〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.〔1〕求四边形AQMP的周长;〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕;〔3〕M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM ∽△MCP.13.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.〔1〕求梯形ABCD的面积S;〔2〕动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.假如P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?假如存在,请求出t的值;假如不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由.14.矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.假如P 自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕,使得△CDM与△MAN相似?假如能,请给出证明,假如不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.假如Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如下列图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.〔1〕如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△E;〔2〕如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除〔1〕中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔秒〕表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯〔P点〕距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达,顶部不易到达〕,他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.〔1〕所需的测量工具是:_________ ;〔2〕请在如下图中画出测量示意图;〔3〕设树高AB的长度为x,请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯〔灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计〕的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;〔2〕如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.〔友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602〕25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕,亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;〔2〕假如李华在两路灯之间行走,如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC 〕是否是定值请说明理由;〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,如此不难证明S1=S2+S3.〔1〕如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;〔不必证明〕〔2〕如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与〔2〕一样的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;〔4〕类比〔1〕,〔2〕,〔3〕的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,假如AB=3,AC=4.〔1〕求BD、CD的长;〔2〕过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.〔1〕,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;〔2〕:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题〔共30小题〕1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:此题考查的是平行线的性质与相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.〔1〕求证:△CDF∽△BGF;〔2〕当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,假如AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:〔1〕证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,〔2分〕∴△CDF∽△BGF.〔3分〕〔2〕解:由〔1〕△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,〔6分〕∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.〔8分〕3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,〔2分〕∴∠BAF=∠AED.〔4分〕∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.〔5分〕∴△ABF∽△EAD.〔6分〕点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D 在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.〔1〕求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;〔2〕在图①的根底上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立;〔3〕在〔2〕的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:〔1〕证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=.又∵AB=AC,∴△ABM≌△A.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.〔2〕解:〔1〕中的两个结论仍然成立.〔3〕证明:在图②中正确画出线段PD,由〔1〕同理可证△ABM≌△A,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.〔3分〕如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.〔6分〕∴△AEF∽△BEC.〔7分〕7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.〔1〕填空:∠ABC= 135°°,BC=;〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:〔1〕∠ABC=135°,BC=;〔2〕相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:〔1〕经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?〔2〕是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?假如存在,求t 的值;假如不存在,请说明理由解:〔1〕设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,如此有:〔6﹣2x〕x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,〔2分〕解方程,得x1=1,x2=2,〔3分〕经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.〔4分〕〔2〕假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或〔5分〕即①,或②〔6分〕解①,得t=;解②,得t=〔7分〕经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.〔8分〕9.如图,在梯形ABCD中,假如AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;〔注意:全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:〔1〕任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④〔2分〕其中有两组〔①③,②④〕是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=〔4分〕证明:〔2〕选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD〔8分〕选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,〔6分〕∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB〔8分〕.点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性一样,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P〔A〕=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD于E,连接AE.〔1〕写出图中所有相等的线段,并加以证明;〔2〕图中有无相似三角形?假如有,请写出一对;假如没有,请说明理由;〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:〔1〕AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.〔2〕图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;〔3〕作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:此题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定与三角形面积的求法等,X围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.〔1〕求四边形AQMP的周长;〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕;〔3〕M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:〔1〕∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.〔2〕∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;〔3〕当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由〔1〕知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM ∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.〔1〕求梯形ABCD的面积S;〔2〕动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.假如P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?假如存在,请求出t的值;假如不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由.解答:解:〔1〕过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=〔AD+BC〕AB=×〔2+8〕×8=40.〔2〕①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8假如△PAD∽△QEC如此∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=假如△PAD∽△CEQ如此∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8〔不合题意舍去〕∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.假如P 自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,〔1〕当∠1=∠2时,有:,即;〔2〕当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.解答:设经过秒后t秒后,△PBQ与△ABC相似,如此有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP:AB=BQ:BC,即〔10﹣2t〕:10=4t:20,解得t=2.5〔s〕〔6分〕当△QBP∽△ABC时,有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=〔10﹣2t〕:20,解得t=1.所以,经过2.5s或1s时,△PBQ与△ABC相似〔10分〕.解法二:设ts后,△PBQ与△ABC相似,如此有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t 分两种情况:〔1〕当BP与AB对应时,有=,即=〔2〕当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s或2.5s时,以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解答:解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2)有=,∴AB==3;3)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4)有=,∴AB==3.故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕,使得△CDM与△MAN相似?假如能,请给出证明,假如不能,请说明理由.解答:证明:分两种情况讨论:①假如△CDM∽△MAN,如此=.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a.②假如△CDM∽△NAM,如此.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N〔不含A、B〕,使得△CDM与△MAN相似.当AN=a 时,N点的位置满足条件.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.假如Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,如此CQ=〔8﹣2x〕cm,CP=xcm,〔1分〕∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.〔3分〕〔1〕当时,,∴x=;〔4分〕〔2〕当时,,∴x=.〔5分〕所以,经过秒或秒后,两三角形相似.〔6分〕点评:此题综合考查了路程问题,相似三角形的性质与一元一次方程的解法.19.如下列图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:〔1〕假如点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.〔2〕假如点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.〔1〕如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△E;〔2〕如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除〔1〕中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:〔1〕∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,〔4分〕而∠MBE=∠E=45°,∴△BEM∽△E.〔6分〕〔2〕与〔1〕同理△BEM∽△E,∴.〔8分〕又∵BE=EC,∴,〔10分〕如此△E与△MEN中有,又∠E=∠MEN=45°,∴△E∽△MEN.〔12分〕21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔秒〕表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30〔舍去〕.故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯〔P点〕距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达,顶部不易到达〕,他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.〔1〕所需的测量工具是:;〔2〕请在如下图中画出测量示意图;〔3〕设树高AB的长度为x,请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x.解答:解:〔1〕皮尺,标杆;〔2〕测量示意图如下列图;〔3〕如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.〔7分〕24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯〔灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计〕的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;〔2〕如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.〔友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602〕解答:解:〔1〕由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,〔2分〕∴DE=1200〔cm〕.所以,学校旗杆的高度是12m.〔3分〕〔2〕解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.〔4分〕在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.〔5分〕设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.〔6分〕如此∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴〔7分〕,又ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.〔8分〕解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.〔4分〕设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.〔5分〕如此∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,〔6分〕∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8.〔7分〕在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+〔r〕2=〔r+8〕2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3〔不合题意,舍去〕,∴景灯灯罩的半径是12cm.〔8分〕25.〔2007•某某〕阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕,亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题根本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;〔2〕假如李华在两路灯之间行走,如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由;〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:〔1〕由:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.〔2〕∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.〔3〕根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长〔如图〕.由〔1〕可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,如此不难证明S1=S2+S3.〔1〕如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;〔不必证明〕〔2〕如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与〔2〕一样的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;〔4〕类比〔1〕,〔2〕,〔3〕的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,如此c2=a2+b2〔1〕S1=S2+S3;〔2〕S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;〔3〕当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;〔4〕分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,如此S1=S2+S3.28.:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=〔AB+BD〕:AB,∴AE:9=〔15+5〕:15.∴AE=12.29.:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,假如AB=3,AC=4.〔1〕求BD、CD的长;〔2〕过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:〔1〕Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;〔2〕在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.〔1〕,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;〔2〕:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:〔1〕设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.〔2〕设一个三角形周长为Ccm,如此另一个三角形周长为〔C+560〕cm,如此,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。
4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。
因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。
所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。
相似三角形经典题(含答案)(Si...
相似三角形经典题(含答案)(Similar triangle classic questions(including answers))Similar triangle classical exercisesExample 1. Choose a similar triangle from the following trianglesExample 2 is known: as in figure ABCD, the ratio of the perimeter to the sum if...Figure 3 cases, known to, to prove that.Example 4 which of the following statements are true and which ones are wrong?(1) all right triangles are similar. (2) all isosceles triangles are alike(3) all isosceles right triangles are similar. (4) all equilateral triangles are alikeFigure 5 example, D is a point on the AC, D DE E the dotted line, in the side, the small triangle and point D, point E and a vertex with similar composition. Draw as much as possible to meet the conditions of the graphics, and that of line DE painting.Figure 6 cases, a person holding a small scale paintings engraved with cm, standing about 30 meters away from the poles, the arm straight forward, small scale vertical ruler, see about 12 paintings just over the poles, the known arm length of about60 cm high, for the wire rod.Figure 7 cases, in order to measure a high-rise MN Xiaoming, put a mirror in the A from N 20m, NA back to C along the Xiao Ming, just from the mirror to see the roof of M, if m, his eyes from the ground height of 1.6m, please help you calculate Xiaoming the height of the building (accurate to 0.1M).The two triangles in the 8 lattice diagram are similar triangles, and the reasons are givenExample 9 determines whether the case is similar and explains the reasons for the following groups of conditions:(1)(2)(3)Example 10. In the following graph, there is no similar triangle. If it exists, show them in letters, and briefly explain the basis for identificationExample 11 is known: as in Fig., in the case of angular bisector, try using a triangle similar relation descriptionExample 12, the known three side length is 5, 12 and 13, and its similar maximum length is 26, the area of S.13 cases in a mathematics activity class, the teacher let thestudents to the playground to measure the height of the flagpole, and then come back to AC measurement method for their measurement is. Xiaofang: take a 3.5 meter high pole upright in the 27 meters away from the flagpole at C (pictured), then walk along the BC direction D, the top of the flagpole and pole top A visual E is in the same line, C D, and measured the distance between two points is 3 meters, Xiaofang mesh is 1.5 meters high, so that you can know the high flagpole. Do you think this measurement method is feasible? Please explain the reasonFigure 14. cases, in order to estimate the width of the river on the other side of the river, we can select a target as A, on this side of the river and then points B and C, so, then choosing E, BC and AE to determine the intersection point is D, measured in meters, meters, meters, you can find the distance between the two sides of AB roughly?Figure 15. cases, in order to find the island peak height of AB, DC and FE to establish a benchmark in D and F, the benchmark is 3 feet high, separated by 1000 step (step 1 is equal to 5 feet), and AB, CD and EF in the same plane, from the G DC benchmark back the 123 step, can see peaks A and C benchmark top end in a straight line, from the H FE benchmark 127 steps back, can see peaks A and E benchmark top on a straight line. How much is the horizontal distance BD AB and its peak height and benchmark CD? (ancient problems)Figure 16 example, known Delta ABC boundary AB = AD, AC = 2, BC = high on the side.(1) seeking the length of BC;(2) if there is a square edge on AB, the other two vertices are on AC, BC, respectively, and the area of this square is calledSimilar triangle classic Exercises answer1. cases of the solution, five and six, and the similar, similar, three or four, and similar2. solution is a parallelogram, so, l ~,Again, so, and the perimeter of the perylene ratio is 1:3.Again, dry.3 cases analysis, so as to, if further proof, the problem must pass.To prove dreams, *.Again, l,Star.To dreams, *.In dreams, and in R ~Case 4. analysis (1) is incorrect, because in the right triangle, the size of the two angles is uncertain, so the shape of the right triangle is different(2) not correct either,The vertices of an isosceles triangle are not of definite size, so the shape of an isosceles triangle is also different(3) right. There are isosceles right triangle ABC and, among them,Then,The three sides are a, B, and C, and the edges are,Then,So, l ~.(4) is correct, and is an equilateral triangle, the corresponding angles are equal, the corresponding edge is proportional to it.Answer: (1) and (2) incorrect. (3) and (4) correctExample 5. solutions:Painting slightly.The analysis of 6. cases of the narrative can draw the geometry as shown below, the CM cm m, m, m, and BC. ~ ~ because, again, so, so you can find the BC long.So, l ~ solution. Hence.Again, l,So, l ~ *,.And cm cm meters, meters, meters, meters. The pole star is 6 meters high.Example 7. analysis according to the law of Physics: the incident angle of light is equal to the angle of reflection, so that the similarity relation is clearBecause the solution, so so.So, that is. So (m)This shows that this is a practical application, the method seems simple, but in fact it is very clever, saving the use of instrumentation to measure the troubleExample 8.. It is impossible to judge these two graphs if they are not painted in the grid. In fact, the lattice virtually adds to the condition the length and the angleThe solution is in the grid, so..,Again. So. So ~.Explain the problems encountered in the grid point, we must fully find the various conditions, do not make omissionsIn 9. cases (1) because the solution to it;(2) because the two triangles only, the other two are not equal, and not so similar;(3) because, so it is similarIn 10. cases (1) and two equal solution; (2) to two equal;(3) to two equal; (4) to both sides proportionally equal angles;(5) to both sides proportionally equal angles; (6) to both sides proportionally equal angles.Analysis of 11. cases with a 65 degree angle of the isosceles triangle, the angle is 72 degrees, and BD is the bisector of the corner, so, you can launch to, and then by the similar triangle corresponding edge is proportional to the ratio between the line launched.That star.But equally, dry.And so, so, so, so, L.That (1) has two angles equal, then the two triangles are similar, this is the judgment of two triangles. The most commonly used method, and according to the equal angle position, can determine which side is the corresponding edge.(2) to explain the product of a line, or the square formula, usually to prove the scaling formula, or, again, to derive the product formula or the square formula according to the basic nature of the proportionBy the analysis of 12 cases of the three sides can be judged as a right triangle, and because it is also a right triangle, so, then by the maximum edge length is 26, can calculate the similarity ratio, two right angle side to calculate, and obtain the area.The solution of a three side in order,,, L.And to dreams, *,Again, *. *.13. cases analysis method to judge whether it is feasible, should consider the use of this method combined with our existing knowledge can be obtained according to the flagpole high. This measuring method, F to G, CE to H, so that, and GF, HF, EH and AG, this can be obtained, so the AB can be obtained. The flagpoleThe solution is feasible. The reasons are as follows:The flagpoles high. F for G, CE H (pictured). So ~.Because, soSo, that is, by, so the solution (m)So the height of the flagpole is 21.5 metersIt shows that the method should be practical and feasible in concrete measurementExample 14. solutions:,L ~, (m), a: between the two sides of AB is roughly 100 meters away.Example 15. answer: rice, step, (Note:.)16. cases analysis: BC long, need to draw solution, because AB and AC are higher than AD, so there are two kinds of situations, namely D in BC or D in the BC extension line, so long for the BC to two to discuss the situation. For the area of a square key is the length of the side for a square.Solution: (1) as above, by the AD BC group, by the Pythagorean theorem BD = 3, DC = 1, BC = so BDDC = 3 + 1 = 4.As follows, BD = 3, DC = 1, so BC = BD = CD = 3-1 = 2.(2) as shown by the graph, BC = 4, and so is ABC. Hence, the right triangle.The AEGF is a square, set GF = x, FC = 2x,GF "AB dreams, so, that is. So, dry.As follows, when BC = 2,AC = 2, Delta ABC is an isosceles triangle, as an CP AB in P, AP = r,In Rt APC, by the Pythagorean theorem CP = 1,Dreams GH / / AB, R ~ Delta CGH Delta CBA, dreams, RTherefore, the square has an area of orThird (lower) similar triangleFirst pages, 6 pages(similarity triangle's nature and application) practice rollFill in the blanks1. When the similarity ratio between two similar triangles is 3, their perimeter ratio is..;2, if the delta delta A to ABC 'B' C ', and the perimeter of delta ABC is 12cm, then the perimeter of delta A' B 'C' for;3, as shown in Figure 1, in ABC, BE, CD line intersect at point G, then the delta GED:S Delta GBC= = S;4, as shown in Figure 2, the ABC / B= / AED, AB=5, AD=3, CE=6, AE=;5, as shown in Figure 3, ABC, M AB is the midpoint of the N on BC, BC=2AB / BMN= / C, is a ~ Delta, similarity ratio =;6, as shown in Figure 4, the trapezoidal ABCD, AD / / BC S, Delta ADE:S Delta BCE=4:9, Delta ABD:S Delta ABC= S;The perimeter of 7 and two similar triangles are 5cm and 16cm, respectively, and the ratio of the bisector of their corresponding angles is;8, as shown in Figure 5, the BC=12cm in ABC, D, and F are three points AB, E, G is three points AC, DE+FG+BC=;The ratio of the area of the two and the 9 triangles is 2:3, and the ratio of them to the angle is equal to the ratio of the height of the opposite side;10, it is known that there are two triangles similar, one side length is 2, 3 and 4 respectively, and the other side length is x, y and 12 respectively. Then the values of X and y are respectively;Two, multiple-choice questions11, the following polygon must be similar to (), A, two rectangles, B, two diamond, C, two squares, D, two parallelogramIn 12, ABC, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, the shortest edge of another and it is similar to the triangle is 5cm, is the longestside (18cm) is A, B, 21cm C, 24cm D, 19.5cm13, as shown in ABC, BD, CE to the high point of O, the following conclusion is wrong ()A, CO, CE=CD, CA, B, OE, OC=OD, OBC, AD, AC=AE, AB, D, CO, DO=BO, EO14, known in ABC / ACB=900, CD, AB in group D, if BC=5, CD=3, AD (long)A, 2.25 B, 2.5 C, 2.75 D, 315, as shown in figure ABCD, the edge of square BC is on the bottom QR of the isosceles right triangle PQR,The other two vertices, A and D, are on PQ and PR, and PA:PQ equals ()A, 1:B, 1:2, C, 1:3, D, 2:316, as shown in figure D, and E are Delta ABC edge AB and AC point, ==3,And / AED= / B, Delta AED and delta ABC is the area ratio is ()A, 1:2, B, 1:3, C, 1:4, D, 4:9Three, answer questions17, figure, known in the delta ABC, CD=CE / A= / ECB, CD2=AD - BE test.18, known as shown in ABC, DE, BC, AD=5, BD=3, S and delta ADE:S Delta ABC value.19, known square ABCD, C straight line, respectively, AD, AB extension line at points E, F, and AE=15, AF=10, square ABCD for the length of the side.20, known as shown in the equilateral Delta CDE and B respectively, A ED, DE extension line, DE2=AD and EB, and the degree of angle ACB.21, known as shown in ABC / C=600, AD, BC in D group, BE group AC E, Delta CDE Delta CBA to explain.22, known, as shown in figure F, ABCD edge, DC extension of the line point, link AF, pay BC at G, hand in BD at E, try to explain AE2=EG EF24. ABC, D, E / C=900, respectively AB, AC on AD, AB=AE AC, ED AB (13) to verify the aboveIn 25, ABC, M and AC is the midpoint, side of the AE=BA connection EM, and extend the BC line to D, verify the BC=2CDAB=AC, the 26 known isosceles triangle ABC, AD, BC in group D, CG, AB, AD, AC BG respectively in E, F, BE2=EF and EG prove:27, known in ABC, AD / BAC=900 BC in D P group, AD midpoint, BP extension line AC to E EF BC in F, an EF2=AE AC confirmation:28., as shown in the parallelogram,1. APD ~ CDQTwoMap your own painting, with a triangle of 30 degrees can be drawn outDreams of an isosceles triangle ABC / ABC = 120 DEGL / DAP= / DCQ=30 / CDQ / PDA=150 ~ * ~ / ADP / APD=150 degrees and dreamsL / CDQ= / APD / DAP= / QCD and dreamsStar delta APD Delta CDQ ~ AP/CD=PD/DQ frequencyD is the midpoint of AC AD=DC dreams AP/DP=AD/DQ AP/AD=PD/QD perylene perylene perylene / PDQ= / PAD dreamsStar delta APD to DPQ3. a triangle has 1 angles of 30, and the other has 2 30 degrees angles, in favor of the 155| review (6)(1) dreams / ABC=120 / A= / L degrees, C=30 degrees,Dreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees degrees,L / APD= / CDQ,Star delta APD to CQD(2) set up; as shownDreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees, degrees, R / APD= / CDQ / A= / C, andStar delta APD to CQD / A= / C only, the other corresponding angle are not equal, therefore, Delta APD and delta DPQ is similar;(3), two triangle into a more general condition, but the ABC must be an isosceles triangle, and / EDF= / A, otherwise it is not established.。
中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)
中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)1.若a3=b2,则a+bb的值为( )A.32B.53C.52D.232.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为( )A.3 B.4C.5 D.63.如图,AD∥BE∥FC,直线l1,l2分别与三条平行线交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,BC=5,DF=12,则EF的长为( )A.4.5 B.6C.7.5 D.84.如图,小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时,测得标杆BE高1.2 m,又知AB∶BC=1∶8,则建筑物CD的高是( )A.9.6 m B.10.8 mC.12 m D.14 m5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2).现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′,则顶点C′的坐标是( )A.(2,4) B.(4,2)C.(6,4) D.(5,4)6.如图(单位:mm),小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容:当测试距离为5 m时,标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm,当测试距离为3 m时,最大的“E”字高度为( )A.121.17 mm B.43.62 mmC.29.08 mm D.4.36 mm7.如图,AC是□ABCD的对角线,点E在CD的延长线上,连接BE分别交AC,AD 于点F,G,则下列式子一定正确的是( )A.AFCF =AGDGB.ABCE=CFAFC.BFFG =EFBFD.ADDG=ABDE8.如图,在△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件:________________________,使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足的条件即可)9.如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,S△ABDS△BCD =12,则S△BOCS△BCD=______.10.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC =14,则AE的长为_____.11.如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1 m时,它离地面的高度DE为0.6 m,则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(2,1),B(2,0),O(0,0).若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为__________________________.13.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点.若S△ADE=2,则S△ABC=_____.14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是____________.15.如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.16.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE =2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是______.17.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为________cm.18.如图,在正方形ABCD中,点E是边CD上一点,连接BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连接AF,有以下五个结论:①∠ABF=∠DBE;②△ABF∽△DBE;③AF⊥BD;④2BG2=BH·BD;⑤若CE∶DE=1∶3,则BH∶DH=17∶16.你认为其中正确的是____________.(填写序号)19.已知,如图1,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得ABAC =BDCD,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图2,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________.20.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB 上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是边BC上一点(不与点B,C重合),连接AD.(1)如图1,若∠C=60°,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AE,DE,则∠BDE=________.(2)若∠C=60°,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接BE.①在图2中补全图形;②探究CD与BE的数量关系,并证明.(3)如图3,若ABBC =ADDE=k,且∠ADE=∠C,试探究BE,BD,AC之间满足的数量关系,并证明.参考答案1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C8.ADAB =AEAC(答案不唯一) 9.2310.1 11.2.712.(4,2)或(-4,-2)13.8 14.(4,2) 15.(1)证明略(2)EC=916.43 17.4.5 18.①②③④ 19.12<l<25220.(1)证明略(2)证明略21.(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD=BE,证明略(3)AC=k(BD+BE),证明略。
相似三角形综合题锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
相似三角形练习题一、填空题:1、若b m m a 2,3==,则_____:=b a 。
2、已知653zy x ==,且623+=z y ,则__________,==y x 。
3、在Rt △ABC 中,斜边长为c ,斜边上的中线长为m ,则______:=c m 。
4、反向延长线段AB 至C ,使AC =21AB ,那么BC :AB = 。
5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为3:2,若它们的周长的差为40厘米,则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。
6、如图,△AED ∽△ABC ,其中∠1=∠B ,则()()()AB BC AD_________==。
第6题图 第7题图7、如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,若∠A =30°,则BD :BC = 。
若BC =6,AB =10,则BD = ,CD = 。
8、如图,梯形ABCD 中,DC ∥AB ,DC =2cm ,AB =3.5cm ,且MN ∥PQ ∥AB , DM =MP =PA ,则MN = ,PQ = 。
第8题图 第9题图9、如图,四边形ADEF 为菱形,且AB =14厘米,BC =12厘米,AC =10厘米,那BE = 厘米。
10、梯形的上底长1.2厘米,下底长1.8厘米,高1厘米,延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。
二、选择题:EAD B C 1C BD AD CM P N Q A B11、下面四组线段中,不能成比例的是( ) A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a12、等边三角形的中线与中位线长的比值是( )A 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1:3 13、已知754zy x ==,则下列等式成立的是( ) A 、91=+-y x y x B 、167=++z z y x C 、38=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++,()0,0>>b a ,则=b a :( ) A 、1:3 B 、1:4 C 、2:1 D 、3:115、△ABC 中,AB =12,BC =18,CA =24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是( )A 、27B 、12C 、18D 、2016、已知c b a ,,是△ABC 的三条边,对应高分别为c b a h h h ,,,且6:5:4::=c b a ,那么c b a h h h ::等于( )A 、4:5:6B 、6:5:4C 、15:12:10D 、10:12:15 17、一个三角形三边长之比为4:5:6,三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ,则原三角形最大边长为( )A 、44厘米B 、40厘米C 、36厘米D 、24厘米 18、下列判断正确的是( )A 、不全等的三角形一定不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一定是相似三角形19、如图,△ABC 中,AB =AC ,AD 是高,EF ∥BC ,则图中与△ADC 相似的三角形共有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、多于3个第19题图 第20题图A E F GB DC20、如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 边上的点,若BE :EC =4:5,AE 交BD 于F ,则BF :FD 等于( )A 、4:5B 、3:5C 、4:9D 、3:8 三、解答题:21、已知()3:2:=-y y x ,求yx yx 2352-+的值。
解:22、如图,在Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,且AC =6厘米,AD =4厘米,求AB 与BC 的长解:23、如图,△ABC 中,若BC =24厘米,BD =31AB ,且DE ∥BC ,求DE 的长。
解:24、如图,Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ,MN ⊥AB 交AC 于N ,若AM =3厘米,AB :AC =5:4,求MN 的长。
解:四、证明题:25、已知:如图,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,E 是AB 的中点,直线ED 分别与对角线AC 和BC 的延长线交于M 、N 点求证:MD :ME =ND :NE证明:C AD BC D E B F C C B M N A N D C A E B M26、已知:如图,△ABC 中,D 在AC 上,且AD :DC =1:2,E 为BD 的中点,AE 的延长线交BC 于F ,求证:BF :FC =1:3。
证明:24. 如图,在ABC △中,90BAC ∠=,AD 是BC 边上的高,E 是BC 边上的一个动点(不与B C ,重合),EF AB ⊥,EG AC ⊥,垂足分别为F G ,.(1)求证:EG CGAD CD=; (2)FD 与DG 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由;(3)当AB AC =时,FDG △为等腰直角三角形吗?并说明理由.(12分) 证明:26、(14分)如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒.(1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由. 解:A B D E F CFAGCED BN一、选择题 1. D 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A二、填空题9.3710. 385811. B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD ACAC BC=12.4913. 9.614. AFD EFC △∽△(或EFC EAB △∽△,或EAB AFD △∽△) 15. 12.6 16. 4.217. 247609918.或2 三、19. CD BE DCO E ∴∠=∠∥,, 又DOC BOE ∠=∠, OCD OEB ∴△∽△, OD OCOB OE∴=. 又AD BC ∥.同理OD OAOB OC=.OC OA OE OC∴=,即2OC OA OE =. 25. 解:(1)①2,60; 2分 ②2;4分(2)12AO O △经过旋转相似变换)A ,得到ABI △,此时,线段12O O 变为线段BI ;6分CIB △经过旋转相似变换452C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,得到2CAO △,此时,线段BI 变为线段1AO .8分2212⨯=,454590+=, 122O O AO ∴=,122O O AO ⊥.10分八、猜想、探究题24. A B C ABC '''△∽△2分由已知3OA OC OA OC''==,AOC A OC ''∠=∠ AOC A OC ''∴△∽△,4分3A C OA AC OA '''==∴,同理33B C A B BC AB ''''==, 6分A CBC A B AC BC AB''''''==∴7分∴A B C ABC '''△∽△ 8分25. (1)证明:在ADC △和EGC △中, Rt ADC EGC ∠=∠=∠,C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△ EG CGAD CD∴=3分 (2)FD 与DG 垂直4分 证明如下:在四边形AFEG 中,90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ∴四边形AFEG 为矩形 AF EG ∴=由(1)知EG CGAD CD= FAGCED BAF CGAD CD∴=6分ABC △为直角三角形,AD BC ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠8分又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥10分(3)当AB AC =时,FDG △为等腰直角三角形,理由如下:AB AC =,90BAC ∠= AD DC ∴=由(2)知:AFD CGD △∽△ 1FD AD GD DC ∴== FD DG ∴=又90FDG ∠=FDG ∴△为等腰直角三角形12分九、动态几何26. (1)34PM =, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥,⊥,,AMP ABC △∽△,PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==,, (1)3t a QM a-∴=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+,3t ≤,636aa∴+≤,则636a a ∴<≤,≤,(4)36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3t a t t a ∴-=-,把66at a=+代入,解之得a =±,所以a =.所以,存在a ,当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.。