高二数学直线方程2

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高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.2.2直线的两点式方程教案

第二章直线和圆的方程2.2 直线的方程2.2.2 直线的两点式方程一、教学目标1、掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；2、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围；3、让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点；4、认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题.二、教学重点、难点重点：直线的两点式方程和截距式方程难点：直线的两点式方程和截距式方程的应用三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【问题1】观察实例：两点确定一条直线，那么由两个点的坐标是否可以求出过这两点的直线的方程。

【问题2】如果已知直线经过12(1,3),(2,4)P P 两点,如何求直线的方程？使用点斜式方程还是斜截式方程？解：方法一：使用点斜式方程：433(1)21y x --=--，即31y x -=- 方法二：使用斜截式方程：y kx b =+，将点12(1,3),(2,4)P P 代入得方程组解之得2y x =+【结语】已知直线经过两点，可以通过点斜式和斜截式来求出直线的方程.【问题3】能否直接求出经过两点的直线方程？（二）阅读精要，研讨新知【直线的两点式方程】已知直线l 经过两个定点1112221212(,),(,)(,)P x y P x y x x y y ≠≠，如何求直线的方程？【演绎】由点斜式方程及斜率公式得211121()y y y y x x x x --=-- 当21y y ≠时，形式调整为112121y y x x y y x x --=-- 从而得出直线的两点式方程：112121y y x x y y x x --=--，简称两点式(two-point form) 【即时训练】已知直线l 经过点(1,2),(3,2)A B --,则直线l 的方程是 ( )A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y ++=D.210x y +-=解：由两点式方程得212231y x +-=+--，化简得10x y ++=，故选A【直线的截距式方程】已知直线l 的横截距(0)a a ≠与纵截距(0)b b ≠，如何求直线的方程？（对应于课本63P 例3）【演绎】直线l 的横截距为a ，即过点(,0)A a ，纵截距为b ，即过点(0,)B b由两点式方程得000y x a b a --=--，化简得1x y a b+= 从而得出直线的截距式方程：1x y a b +=,简称截距式(intercept form) 【即时训练】在,x y 轴上的截距分别是3,4-的直线方程为( )A. 43120x y +-=B. 43120x y -+=C. 4310x y +-=D. 4310x y -+= 解：由截距式方程得134x y +=-，化简得43120x y -+=，故选B 【例题研讨】阅读领悟课本63P 例4（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）例4已知ABC ∆的三个顶点(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，求边BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线AM 所在直线的方程.解：由已知，过(3,3),(0,2)B C -的直线的两点式方程为203230y x --=--- 整理得5360x y +-=，即为边BC 所在直线的方程. 由中点坐标公式，可得点3032(,)22M +-+，即31(,)22M - 所以过(5,0)A -，31(,)22M -两点的直线方程为05130522y x -+=--+ 整理可得1350x y ++=，即为边BC 上中线AM 所在直线的方程.【小组互动】完成课本63P 练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟类型一直线的两点式方程1. 已知ABC ∆的三个顶点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，则边AB 上的中线所在的直线方程为___________. 解：由已知，线段AB 中点为(0,3)D ，所以ABC ∆的边AB 上的中线即CD 所在直线，所以CD 所在的直线方程为302350y x --=--，化简得5150x y +-=，即为ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程.答案：5150x y +-=类型二直线的截距式方程2. 直线1:1x y l m n -=与2:1x y l n m-=在同一坐标系中的图象可能是( )解： 1l 在x 轴上的截距为m ，与2l 在y 轴上的截距为m -互为相反数，1l 在y 轴上的截距为n -，与2l 在x 轴上的截距为n 互为相反数，符合此关系的只有选项B ，故选B.3. 已知直线l 过点(1,2)A ，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程. 解：方法一：设:1(0,0)x y l a b a b +=>>，则 121a b += ，又142ab = 解得2,4a b ==所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-= 方法二：设:2(1)(0)l y k x k -=-<，令0,x =则2y k =-，令0,y =则21x k=- 由已知，12(2)(1)42S k k=--=，即2440,k k ++=解得2k =-所以直线l 的方程为22(1)y x -=--，即:240l x y +-=类型三直线方程形式的灵活应用4. 已知ABC ∆的一个顶点是(3,1)A -，角,B C 的平分线方程分别为0,x y x ==.（1）求直线BC 的方程.（2）求直线AB 的方程.解：（1）因为角,B C 的平分线方程分别为0,x y x ==，所以AB 与BC 关于0x =对称，AC 与BC 关于y x =对称.可知(3,1)A -关于0x =的对称点(3,1)A '--在直线BC 上，(3,1)A -关于y x =的对称点(1,3)A ''-也在直线BC 上. 由两点式得133113y x ++=+-+，化简得250x y -+= 所以直线BC 的方程为250x y -+=（2）因为直线AB 与BC 关于0x =对称，所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数由（1）知2,2BC AB k k =∴=-，又(3,1)A -所以直线AB 的方程为12(3)y x +=--，即250x y +-=5.一条光线从点(2,3)A 出发,经y 轴反射后,通过点(4,1)B -，求入射光线和反射光线所在的直线方程. 解：由已知点(2,3)A 关于y 轴的对称点为(2,3)A '-，点(4,1)B -关于y 轴的对称点为(4,1)B '-- 则入射光线所在直线的方程为32:1342y x AB --'=----，即2350x y -+= 反射光线所在直线的方程为32:1342y x A B -+'=--+，即2350x y +-= （四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基P习题2.2 1（4）（5）（6）、4、5、7、9 1.完成课本672.预习2.2 直线的方程五、教学反思：（课后补充，教学相长）。

高二数学直线的两点式方程2

y y1 x x1 (x1≠x2 ,y1≠y2) y2 y1 x2 x1
(2)直线的截距式方程:
x y 1( ab 0) a b
；
/ 整木定制
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他拿一个马扎让父亲坐下，继续说：“我是从城里来的，教了大半辈子的书，现在退休了，在家闲的无聊，便带上我的书到山里来转转，已消磨多余的时光。说来也怪，我已来过两次了，却没有一个人来光顾我的小书摊儿。不是我看不起你们山里人，你们山里人也太落后了，好端端的书怎么视而不问呢？后来，我想通了，山里的人们还在沉睡之中，还没有认识到文化知识的重要性。所以我要坚持下去„„谁想到当我第三次来到山里的时候，我的第一位顾客竟是个还在吃奶的孩子„„”他说到这里停了下来，仔细地端详了小荷一番，笑着说：“这样吧，我这儿有一本幼儿启蒙小画册，专供幼儿看图识字用的。我把它赠送给我的第一位小主顾，让她好好识字，这孩子有天分，长大了一定会有作为的。” 晚上，父亲把这事告诉了大家，我们都不信。父亲当着全家人的面指着小画册上的图画，小荷立马就说：“爷爷，奶奶，爸爸，妈妈，哥哥，狙狙，妹妹，弟弟„„” 她眨眨眼睛，好奇地问：“爸爸，我怎么没有妹妹和弟弟？„„妈妈，我要妹妹和弟弟„„”说着说着，她一头扑在妈妈的怀里，闹起来，“妈妈，妈妈„„我要妹妹和弟弟„„” “小荷，不是有荷花狙狙天天跟你在一起吗？”肖艳把女儿搂在怀里。 “我才不喜欢荷花呢„„天天来吃妈妈的奶，不知道看小人书„„ “小荷，这话可不能乱说，让人家知道了，你就再也见不到妈妈了。”肖艳吓唬着女儿。小荷瞪大了眼睛，悄悄地问：“为什么呢？” “等你长大了你就会知道的„„” 小荷紧紧地搂住妈妈的脖子，哭了出来，“小荷不要妈妈走„„小荷要和妈妈在一起„„” “妈妈不走，妈妈不走，小荷是个乖孩子„„妈妈永远和小荷在一起„„” 第五章|榕树下原创_华语文学门户一晃四年过去了，小荷居然能认识几百个汉字，能背诵二三十首诗了。我主动地去找五哥，提出了小荷和荷花上学的事。五哥拿出有关文件对我说：“按照文件规定，入学儿童必须年满七周岁，七周岁以下儿童，可根据当地的实际情况加入学前班或幼儿园进行学前教育。按此规定，他俩充其量只能参加学前教育。然而，我们山里就目前来说，只有镇上有一家幼儿园，离我们村太远接送孩子是个大问题„„” “五哥，我今天来是想让小荷在我们村的学校上学，不牵扯其它的学校„„” 五哥皱着眉头在屋子里踱来踱去，最后终于下了决定，：“好吧，让她们一起来吧，大不了让他俩在一年级多上两年。” “那可不行！只要学习好，符合升级的要求就不能只上一年级„„”

直线的两点式方程课件高二上学期数学人教A版选择性

名称方程的形式常数的几何意义适应范围
点斜式
y y1 k(x x1)
(x1,y1)是直线上一定点,k是斜率
不垂直x轴
斜截式
k是斜率,b是直线
y kx b 在y轴上的截距
不垂直x轴
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点
截距式 x y 1 ab
解：法一设C（a, b）,
则有
a
3 3
2
1
1 b 3
1
解得a 2,b 2, 即C（ 2，2）.
又 ABC的重心G(1,1) ,
由直线方程的两点式得直线CE的方程1
,
所以AB边中线所在的直线方程为 x y 0.
例3.已知ABC的两个顶点A(3,0), B(2,1), ABC的重心G(1,1)，求AB边中线所在直线的方程。
3 a
2 a
1
a 5.
∴ 直线 l 的方程为 x y 5 0 .
若 a 0，则直线l 经过点(0，0) ,
又直线l
经过点(3，2)
，
kl
20 30
2， 3
∴ 直线 l 的方程为
y
2 3
x
即 2x 3y 0.
综上所述直线 l 的方程为 x y 5 0 或 2x 3y 0 .
小结：直线方程的五种形式的比较
解： (1)由AB边上高线过C(0，2)，
且垂直于AB,得：
k AB
3 8
设AB边上高线所在直线的方程:
y kx 2
k kAB 1
k 8 3
AB边上的高所在直线方程： y 8 x 2
3

高二数学教案必修2 直线的方程两点式 (截距式)

高二数学教案必修2 直线方程——两点式（截距式）班级姓名教学目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。

复习提问：上一节课，我们学习了直线的哪些表达式？创设问题情境，引出问题情境。

过两定点的直线方程该如何求解？已知直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，如何求l 的方程．先求直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，再利用点斜式方程求解，得出y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则其方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，称为直线的两点式方程．【精典范例】例1：已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．【解】∵l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=．点评:（1）以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．（3）当直线l 过原点时，在x 轴与y 轴上的截距都为0.例2：三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．点评:过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线能写成两点式的条件是12x x ≠且12y y ≠，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式．练习：1.直线324x y -=的截距式方程为1423x y +=-.2．根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；3x =；（2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；123x y -=；（3）过点(1,4)A -，且在x 轴上的截距为3．30x y +-=．3.求经过点(3,4)-且在两坐标轴上截距相等的直线方程是430x y +=10x y ++=或例3：求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析：涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为,a b ，①当0,0a b ≠≠时，设直线方程为1x y a b +=， ∵直线经过点(4,3)-，∴431a b-=， ∵||||a b =，∴11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程为 10x y +-=或70x y --=；②当0a b ==时，则直线经过原点及(4,3)-，∴直线方程为 340x y +=，综上，所求直线方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．分析：根据题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，故可设直线方程为1x y a b+=(0,0)a b >>，由已知得：122||3ab a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩或41a b =⎧⎨=⎩或14a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或41a b =-⎧⎨=-⎩（舍） ∴直线方程为14x y +=或14y x +=．练习：求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满足3a b =的直线方程．答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为310x y ++=或12y x =-．后记：高二数学学案必修2 直线方程——两点式（截距式）班级姓名我的学习目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。

高二数学选择性必修件直线的两点式方程

01
直线方程定义
在平面直角坐标系中，表示一条直线的数学式子称为该直线
的方程。
02
直线方程表达形式
一般式、斜截式、点斜式、两点式等。
斜率截距式方程
斜率截距式方程定义
y=kx+b（k≠0）其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。该方程叫做直线的斜率截距式方程，简称斜截式。
斜率截距式方程性质
THANKS
斜率是直线倾斜程度的量度，它反映了直线相对于$x$轴的倾斜角。当斜率$k > 0$时，直线从左下方向右上方倾斜；当$k < 0$时，直线从左上向右下方倾斜；当$k = 0$时，直线与$x$轴平行。
代入点斜式得到方程
点斜式方程
已知直线上一点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，则该直线的方程可以表示为$y - y_1 = k(x - x_1)$。
06
练习题与答案解析
针对性练习题设计
练习题1
已知直线上的两点A(1,2)和B(3,4) ，求该直线的两点式方程。
练习题2
已知直线上的两点C(-2,3)和D(0,1) ，求该直线的两点式方程，并判断点P(1,2)是否在直线上。
练习题3
已知直线l经过点M(2,-1)和N(4,5)，求直线l的方程，并求出直线l与x轴、y轴的交点坐标。
对于点P(x0,y0)和直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0），点P到直线的距离d可用公式d=|Ax0+By0+C| / √(A²+B²) 计算。
点到直线距离公式性质
点到直线的距离是一个非负数，当且仅当点在直线上时，距离为零。
02
两点式方程推导与理解

2.2.2直线的两点式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修1

即为AC边上的中线所在直线的方程.
2
(3)AC边对应的中位线即AB的中点M和BC的中点N的连线,设M(a,b),N(c,d),
则
−5+3
=
= −1,
2
0−3
3
=
=− ,
2
2
所以直线MN的方程为
3+0
3
=
= ,
2
2
−3+2
1
=
=− ,
2
2
3
−(− )
2
1
3
− −(− )
2
2
3
所以M(-1,- )
以a>0,b<0.
5.已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线
2x-y+1=0
段AB的中点的直线方程为
.
[解析] 线段AB的中点的坐
标为(1,3),由直线的两点式
方程可得所求直线的方程为
−3 −1
= ,即2x-y+1=0.
5−3 2−1
6.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为

4
因为直线过点P( ,2)
3
由条件(1),得a+b+
4 2
,所以 + =1①.
3
2

由条件(2),得ab=12③.
+
2
=12②.
例1
4
直线过点P( ,2)
3
且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否
存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.若
由截距式得直线AB的方程为 + =1,即x-y=-2;因为D是AB的中点,A(−2 2

直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一

5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截

D.5

+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得

y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在

上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面

高二数学人教A版选择性必修第一册课件：2.2.2直线的两点式方程

垂直于 y轴，直线方程为 − 1 = 0 ，即 = 1 .
例 1 如图，已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a ，0) ，与 y 轴的交点为 B(0 ，
b) ，
其中 a 0 ， b 0 . 求直线 l 的方程.
解：将两点 A(a ，0) ， B(0 ，
b) 的坐标代入两点式，得
即
x y
1 .
a b
y0 xa
，

b0 0a
我们把直线 l 与 x 轴的交点， 0 的横坐标 a 叫做直线在 x 轴

上的截距，此时直线在 y 轴上的截距是 b. 方程 + = 1由直线 l 在
两条坐标轴上的截距 a 与 b 确定，我们把方程 + = 1叫做直线的
=
2 −1
.
2 −1
任取1 ，2 中的一点，例如，取点1 (1 ， 1 ሻ，由直线的
点斜式方程，得 − 1 =
2 −1
(
2 −1
时，上式可写为
=
−1
.
2 −1
这就是经过两点 1 (1 ， 1 ሻ，2 (2 ， 2 ሻ（其中 1 ≠ 2 ， 1 ≠

6 2 2 (4)
（3）因为 AB 的中点为 M (1，
5) ，AC 的中点为 D(4 ，2) ，
所以直线 DM 的方程为
y 2 x (4)
，即 x y 6 0 .

5 2 1 (4)
1. 直线的两点式方程；
2. 直线的截距式方程.
2. 已知直线 l 的两点式方程为
A.
3
8
B.

2.2.2直线的两点式方程课件高二上学期数学人教A版选择性

在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( A )
A．－x3＋y4＝1
B．3x＋－y4＝1
C．－x3－y4＝1
D．x4＋－y3＝1
直线
=1(ab≠0)在y轴上的截距是( C )
A.a2
B.b2
C.-b2 D.|b|
已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:
(1)BC边所在的直线方程;
（2）直线l的方程为 y (1) x (1)
5 (1) 2 (1)
,即 y 1 x 1 ，
63
即y=2x+1.
令x=1002，得y=2005，∴b=2005．
求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
【解析】设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝. 1 ∵点(4，－3)在直线上，∴ 4a＋－b3＝1，
设直线l的方程为（a+1）x+y+2―a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解析】（1）令x=0，得y=a―2．令y=0，得
x
a2 a 1
(a
1)之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．
2.2.2直线的两点式方程
CONTENTS
ONE TWO THRRE FOUR
掌握直线的两点式方程和截距式方程. 会选择适当的方程形式求直线方程. 能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.
重点：掌握直线方程的两点式及截距式难点：会选择适当的方程形式求直线方程

222 直线的两点式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

2.2.2直线的两点式方程（基础知识+基本题型）知识点一直线的两点式方程1.直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.当直线的斜率不存在（12x x =）或斜率为0（12y y =）时，不能用两点式方程，若12x x =，12y y ≠,则直线方程为10x x -=若12y y =、12x x ≠，则直线方程为10y y -=.提示：(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行（或重合）或垂直的直线.(2)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)将两点式化成整式：211211()()()()x x y y y y x x --=--.用该式可求出过平面内的任意两个已知点的直线的方程.3.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.知识点二直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x y a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程.拓展（1）到x 轴和y 轴上的截距，反之，若已知直线在x 轴和y 轴上的截距（都不为0），也可直接由截距式写出方程.（2）由截距式的方程可知，截距式的方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在，且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线.过原点的直线可以表示y kx =；与x 轴垂直的直线可以表示0x x =；与y 轴垂直的直线可以表示0y y =.（3）直线与两坐标轴都相交（非原点）时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积考查时要注意截距式与“距离”的关系.（4）求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.考点一直线的两点式方程例1.（1）已知直线l 经过点(2,1),(2,7)A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点(2,1),(3,4)A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是(1,0),(3,1),(1,3)A B C --，求三角形三边所在直线的方程.解：（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.总结：1.利用两点的坐标写直线的两点式方程时，一定要注意2121,y y x x ≠≠.2.若点P 在直线AB 上，则点P 的坐标满足直线AB 方程.求直线的两点式方程的策略及注意点（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑两点式求方程.（2）用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.考点二利用截距式求直线方程例2.（1）求在,x y 轴上的截距分别是3,4-的直线方程；（2）求过点(3,4)A ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.解：（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为134x y +=-，化简得43120x y -+=.（2）当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为1x y a a +=-.又因为l 过点(3,4)A ，所以341a a =，解得1a =-.所以直线l 的方程为111x y +=-，即10x y -+=.当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为43y x =，即430x y -=.综上，直线l 的方程为10x y -+=或430x y -=.总结：用截距式求直线方程的步骤（1）由已知条件确定直线在轴和y 轴上的截距.（2）若截距为0，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为0，则代入公式1x y a b +=中，可得所求直线方程.考点三：直线方程的综合应用例3．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =，∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0．设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0．∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．总结：求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．。

直线方程的两点式课件-2024-2025学年高二上+学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

归纳总结截距式方程应用的注意事项：
1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． 2.选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 3.要注意截距式直线方程的逆向应用．
1.过(1,2)，(5,3)的直线方程是( B )
y 3
=
1</m>和
<m>2x +
y 3
=
−1</m>都是直线方程的截距式吗？
都不是直线方程的截距式.直线方程的截距式的特点有两个：一是等号左边必须用“ +</m>”连接，二是等号右边为1.
注意： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (4)过原点的直线的横、纵截距都为零.
例3 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
方法二设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝4kk+3. 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝|4kk+3|，解得k＝1或k＝－1或k＝－34. ∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
例3 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．解：方法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa + by＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a + −b3＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.

高二数学直线的方程两点式、截距式

3、求经过点P（2，1），且在两坐标、求经过点（，），），且在两坐标轴的正半轴所围成的面积为9/2的直线轴的正半轴所围成的面积为的直线方程。方程。 x+y-3=0或x+4y方程（2）
例2、求过点P(2, 1)，并且在两坐标轴、求过点，上的截距相等的直线的方程。上的截距相等的直线的方程。变题1：上题中改为求截距的绝对值相变题： x-y-1=0或x＋y－3＝0或或＋－＝或等的直线方程，结果如何？＝等的直线方程，结果如何？ y＝1/2x 变题2：求过点变题：求过点P(2, 1)，并且在轴上，并且在x轴上的截距是在y轴上的截距轴上的截距2倍的直线的的截距是在轴上的截距倍的直线的方程。方程。x+2y-4=0
§7.1
直线的方程（直线的方程（2）
例3、求过点 2, 1)的直线与两坐标轴、求过点P( 的直线与两坐标轴正半轴所围成的三角形的面积最小时的直线方程 x/4+y/2=1
§7.1
直线的方程（直线的方程（2）
的直线L与轴例4、过点、过点P(-5,4)的直线与x轴、y轴分的直线轴分别交于A、两点两点，别交于、B两点，且P分有向线段 AB 分有向线段的比是2，求L的方程。的方程。的比是，的方程
当y1≠y2时
y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
§7.1
直线的方程（直线的方程（2）
注：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线。的直线。练习1：课本第41页 1 练习：课本第页
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§7.1
直线的方程（直线的方程（2）
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直线的两点式方程课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

内容索引
结论：直线的两点式方程：【解析】 yy2－－yy11＝xx2－－xx11(其中 x1≠x2，y1≠y2)．
内容索引
思考2►►► 若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此时这两点的直线方程是什么？【解析】若x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程．当x1＝x2时，这两点的直线方程为x＝x1；当y1＝y2时，这两点的直线方程为y＝y1.
【答案】 AB
12345
内容索引
4. (2022·福州八县市协作校期中联考)已知直线l过点A(－1,2)，B (－1，π)，则直线l的方程为________.
【解析】因为直线l过点A(－1,2)，B(－1，π)，所以直线l的方程为x ＝－1.
【答案】 x＝－1
12345
内容索引
5. (2022·福州八县市协作校期中联考)若直线l的方程为ax＋2y－a－2 ＝0(a∈R)．
内容索引
思考5►►► 根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？【解析】略
内容索引
活动三截距概念的辨析
例3 求过点P(3,2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【解析】当在两坐标轴上的截距 a＝b＝0 时，设所求直线方程为 y＝kx，将点 P(3,2)代入，得 2＝3k，解得 k＝23，所以所求直线的方程为 y＝23x；当直线在两坐标轴上的截距 a＝b≠0 时，
(1) 若直线l与直线m：2x－y＝0垂直，求a的值； (2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求该直线的方程．
【解析】 (1) 因为直线 l 与直线 m：2x－y＝0 垂直，所以－a2·2＝－ 1，解得 a＝1.
(2) 当 a＝0 时，直线 l 化为 y＝1，不满足题意；当 a≠0 时，可得直线 l 与坐标轴的交点为0，a＋2 2，a＋a 2，0，因为直线 l 在两坐标轴上的截距相等，所以a＋2 2＝a＋a 2，解得 a＝±2，所以该直线的方程为 x－y＝0，x＋y－2＝0.

2.2.2直线的两点式方程2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素:两个点或一点和斜率.这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画、在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式.
方法归纳用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0. ①若a=0,b≠0,则直线方程为x=0; ②若a≠0,b=0,则直线方程为y=0; ③若a=0,b=0，则直线方程为y=kx(k≠0).
例4 如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210m,CD=240m,DE=
300m,EA=180m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90°,今欲在该荒地上划
三、直线的两点式方程
直线的两点式方程(简称两点式)：
y - y1 = x - x1 y2 - y1 x2 - x1
不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗?
两点式方程不适用于什么直线？
在P1(x1，y1)、P2(x2， y2)中，如果x1=x2或y1=y2，则直线 P1P2没有两点式方程.
当x1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x-x1=0，即x=x1. 当y1=y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y-y1=0，即y=y1.
出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使
开发的面积最大?最大开发面积是多少？ y
E
A P
OB
D Cx
五、课堂小结
1.直线的两点式方程(简称两点式):
y - y1 = x - x1 y2 - y1 x2 - x1
(适合直线不垂直坐标轴)
2.直线的截距式方程(简称截距式)：

2.2.2直线的两点式方程(课件)高二数学同步精品课件

[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．( × )
(2)方程
y－y1 y2－y1
＝
x－x1 x2－x1
和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－截距相等的直线都可以用方程ax＋ay＝1表示．( × )
0.
方法二设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)，令 x＝0，得 y＝－4k－3；令 y＝0，得 x＝4k＋3.
k 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝4k＋3， k
解得 k＝1 或 k＝－1 或 k＝－3. 4
∴所求的直线方程为 x－y－7＝0 或 x＋y－1＝0 或 3x＋4y＝0.
忽视了截距为零的情况，直接由x 是截距不为零时相等，二是截距
a 为零时相等，而后者常被忽视，
＋ay＝1 得直线方程产生了漏解.
造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论.
谢谢观看
(1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程．
解析：(1)设点C(x，y)，由题意得5＋2 x＝0，3＋2 y＝0 得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)． (2)点M的坐标是(0，－52)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是－y－52－00＝0x－－11，即5x－2y－5＝0.
解析：当在 x、y 轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝23x. 当在 x、y 轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为ax＋ay＝1，把点 M(3,2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为 x＋y＝5. 综上知所求直线的方程为 y＝2x 或 x＋y＝5.
3
【易错提醒】

2.2.2直线的两点式方程2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

− 1 = 0，即 = 1 .
练习1 求经过下列两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1)，P2(0,-3)
（2）A(0,5)，B(5,0)
练习2 .已知A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则△ABC
的边BC上的中线所在直线的方程为 ( C
A.x+y+1=0
B.x+y-1=0
C.x+y-5=0
的方程．
法一： =
4−3
2−1
=1
直线的方程 − 3 = − 1即 = + 2
法二：设直线方程为 = +
3=+
=1
解得： {
4 = 2 +
=2
∴ =+2
则:{
问题2：已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过两个点的直线
2倍，求直线l的方程.
2
解：(情况一)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y = 5 x，即2x − 5y = 0；
x
y
(情况二)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为2a + a = 1，
5
2
9
又∵l过点A(5,2)，∴2a + a = 1，解得a = 2 .
∴l的方程为x + 2y − 9 = 0.
2
a－b＝1，
由①②可得
ab＝2，
解得
a＝2，
b＝1，
或
a－b＝－1，
或
ab＝－2.
a＝－1，
b＝－2.
第二个方程组无解．
x
y
x y
故所求直线方程为＋＝1 或

高二数学直线的一般式方程2

y
.
B
.A
O
x
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则(
(A) A· B>0,A· C>0 (C) A· B<0,A· C>0 (B) A· B>0,A· C<0 (D) A· B<0,A· C<0
)
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是( ) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例3、设直线l 的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列条件确定m的值：（1） l 在X轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
;
风水
hnq913dgk
160条
很多，不厌其烦地说道，“这几年啤酒厂效益还算不错，企业人数不断扩大，进了不少人，目前共有七百多人。部门有单位办公室、财务科、生产科、质量科、供应科、物管科、总务科、销售科、人保科、宣教科、党委、工会、能计科、技改办、医务室、杂工组，还有幼儿园和计划生育办公室，反正该设的部门都设了，也许是为了和管理相关部门对接的方便。”“呵！人还真不少，为什么还要到外面去招人？”马启明不解地问道。张钢铁不是一般的健谈，而是相当健谈，对马启明的提问都能做出圆满地回答。马启明也尽量想从张钢铁那里了解啤酒厂的过去、现在。不是有一句话，忘记历史就等于背叛，为了更好地开创未来嘛。“你们是大学生，是技术人员，厂里很需要你们这些人，目前厂内有文凭的人还真不多。你们来的那天，厂长、总工都请你们吃饭，这说明啥？说明厂子对你们重视，好好干吧。你们将来大有用武之地。”“张主任，这个厂年产啤酒是多少？”马启明紧接着又问道，面对马启明接二连三的提问，张钢铁谈性更浓了，可以说是汹涌澎拜了。他立刻答道：“当初每年只有3000吨啤酒，现在每年啤酒产量大概是3万多吨。八十年代，花开啤酒在轻工部举办的全国啤酒竞赛中还获得了金奖，这在当时，真的是天大的荣誉。”张钢铁沉浸在美好的记忆当中，喜悦和自豪之情溢于言表。马启明激情被点燃了，脑海中突然灵光一动，迸出一个想法并脱口而出：“花开啤酒,雄鹰！”当初牛顿被苹果砸到头的时候，也是这样的吗！“花开啤酒，雄鹰，你说的是什么杲梓？”张钢铁有点丈二高的和尚——摸不着头脑。看着张钢铁不解的表情，马启明突然笑了：“我也不知怎地‘呼’地一下子感到花开啤酒就像一只展翅翱翔的雄鹰。”张钢铁仔细地想了一下，笑着说道：“对对对，花开啤酒就像一只雄鹰，在天空中翱翔的雄鹰，这个比喻比得好，花开啤酒就像雄鹰一样。”说着，他用欣喜的目光看着马启明，心想看来马启明没有把书念到狗肚里，这比喻打得贴切生动。马启明也迷茫地望着他，显而易见，刚才“杲梓”两字在他的脑子里还是一片空白。“杲梓是什么意思？”马启明问道。“杲梓是我们这个地方方言，就是东西的意思。言归正传，说到花开啤酒在全国啤酒竞赛中获得金奖的事，就不能不提到一个人，就是我们厂的总工程师、高级工程师、我国第一代啤酒专家、啤酒界的技术权威冯力雄。有一次我陪他出去参加全国性的啤酒技术研讨会，他在大会上做的专题报告，题目到现在我还记得，叫做《啤酒生产新技术与装备发展与展望》。演讲时整个会场鸦雀无声，会后向他请教的人挤得密密匝匝，那场面至今还历历在目，全国啤酒研讨会呀！”张钢铁看了一眼马启明、自豪地说。马启明也注意到，他在

高二数学直线方程2

高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.2.2直线的两点式方程教案

高二数学直线的两点式方程2

直线的两点式方程课件高二上学期数学人教A版选择性

高二数学教案 必修2 直线的方程两点式 (截距式)

高二数学选择性必修件直线的两点式方程

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直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一

高二数学人教A版选择性必修第一册课件：2.2.2直线的两点式方程

2.2.2直线的两点式方程课件高二上学期数学人教A版选择性

222 直线的两点式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

直线方程的两点式课件-2024-2025学年高二上+学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

高二数学直线的方程 两点式、截距式

直线的两点式方程课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.2.2直线的两点式方程2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.2.2直线的两点式方程(课件)高二数学同步精品课件

2.2.2直线的两点式方程2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

高二数学直线的一般式方程2

高二数学教案必修2 直线的方程两点式 (截距式)

高二数学直线的方程两点式、截距式