最小相位系统及极坐标图第11讲

30 20logK 20
cf1_dB=23.5218252
-20dB/dec
10
0
cf2_dB=9.5424251
-40dB/dec
-10
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
10
0
-40 -1 10
10
1
15 2013-12 G ( s ) 13 图 5-22 某一 0 型系统的对数幅频特性 ( s 1)(0.2s 1)
2、静态速度误差常数的确定
斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或其延长线，与 的直线的交点具有的幅值为 20log Kv
Kv 证明 在1型系统中 G( j ) , j
1
1
20 log K v
Kv 斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或 20 log j
90
所以 G( j )
1 j
的极坐标图是 负虚轴。
0
图5-26 积分因子极坐标图
21
G( j ) j
的极坐标图是正虚轴。 2013-12

0
图5-27 微分因子极坐标图
2013-12 22
5.3.2一阶因子

1 T
0
1 G ( j ) 1 jT
非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
2013-12
请看例子
3
5.2.7最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
G1 ( j )
1 jT 1 jT1
1 jT G2 ( j ) , 0 T T1 1 jT1
2
图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。
2013-12
15
30
K G( s) s (Ts 1)
， 转折频率为
2
-20dB/dec 20
2
斜率为
10
40 dB / dec 的直线
，/或其延长线与0分 与 贝线的交点为 3 由此得到
0
2
-40dB/dec
-10
3
1
-20
G( j) e j
G( j) cos j sin 1
传递延迟的对数幅值等于0分贝 传递延迟的相角为
其幅值总是等于1
() (rad ) 57.3 (deg)
传递延迟是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施， 高频时将造成严重的相位滞后
2013-12 8
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j 1) G( j ) ( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn j 1)
G ( j ) 在低频段等于 K p ，即
0
2013-12
lim G ( j ) K p
s 0
12
因为 K p lim G ( S ) G 0
Ka Ka 20 log K a G( j ) , 1 20 log 2 2 ( j ) 1 ( j )
17
2013-12
dB
斜率为 40 dB / dec
的起始线段/或其延 长线与0分贝线的交 点的频率为 a 在数值上等于 K a 的平方根
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
2013-12 30
Nyquist Diagram 0
-1
-2
Imaginary Axis
-3
-4
-5
0.1
-2 -1 0 Real Axis 1 2 3
-6 -3
2013-12
1 G ( j ) , 0 2013-12 2 1 2 ( j ) ( j ) n n
n
图5-30 二阶因子极坐标图
26
Im[G(jω)]
振荡环节G(jω)
B:
2 n G (s) 2 2 s 2 n s n
0
2 1 2 r n A:
1 1 (T )
2
arctgT
G( j 0) 1 0
1 1 G( j ) 45 T 2
G( j) 0 90
1 图5-28 一阶因子 G ( j ) 极坐标图 1 j 23
2013-12
Im[G(jω)]
惯性环节1G(jω)
0
1
Re[G(jω)]
第11讲
杨湖
最小相位系统和非最小相位系统 伯特图求参数 典型环节的极坐标图
2013-12 1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法
典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
0
( 对数坐标 )
a Ka
1
证明
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
Ka 20 log 20 log 1 0 2 ( j a )
2013-12
a K a
18
5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线， 奈奎斯特曲线
G ( j ) 可用幅值 G( j) 和相角 ( ) 的向量表示。
当输入信号的频率 由零变化到无穷大时，向量 G ( j ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移 动的轨迹称为极坐标图。
在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆 时针/顺时针旋转来定义的
2013-12 19
Re[G( j)]
Im

采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
1 Re ω
0° 90° 180° 270°
ω
10
2013-12
5.2.9 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度 误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。 对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值， 才有意义，因实际系统总存在误差。 当 趋近于零时，回路增益越高，有限 的静态误差常值就越大。 因此：系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的 斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是 否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以 从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
-20 0
-45
Phase (deg)
-90
最小相位系统 非最小相位系统
-2
-135 -180 10 10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
2013-12
1 j T 1 j T 图5-19 和 1 jT 的相角特性 1 jT1 1
5
特性 在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函 数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最 小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都 大于最小相位传递函数的相角范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯 一的对应关系。 这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的 全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定
2013-12
24
2013-12
图5-29 一阶因子 G( j ) 1
j 极坐标图
25
5.3.3二阶因子
G( j 0) 1 0 G( j) 0 180

0
G ( j ) 的高频部分与负 实轴相切。极坐 标图的精确形状 与阻尼比有关， 但对于欠阻尼和 过阻尼的情况， 极坐标图的形状 大致相同。
3
G ( j )
2
( )
Im[G( j)]
Re
0
1
但它不能清楚地表明开环传递函 数中每个因子对系统的具体影响 2013-12
图5-25 极坐标图 下面是典型环节极坐标图
20
5.3.1积分与 微分因子
1 1 G ( j ) j j
1


90
G( j ) j
1 Kv K 1 K 2 2 3 T T
2 12 3
-30
-40 0 10
10
1
10
2
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线 在伯德图上 log1 log3 log3 log2
1 3 3 2
2013-12
3 点恰好是 2 点与 1点的中点
如果当
时
时相角
对数幅值曲线的斜率为 并且相角等于
2013-12
20(n m)dB / dec
90(n m)dB / dec
7
那么该系统就是最小相位系统。
5.2.8
延迟环节(Transport lag)
通常在热力、液压和气动系统中存在迟后环节（传递延迟） 延迟环节的输入和输出的时域表达式为 C (s) c(t ) 1(t )r (t ) G( s) e s R( s)
Ar
1 2 1 2
1
1 A( n ) 2
( n ) 90o
Re[G(jω)]
A
2013-12 27
B
返回
对于欠阻尼
当 时 1 G( jn ) j 2
n

0
相角 90 的轨迹与虚轴交 点处的频率，就 是无阻尼自然频 率 n
n
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 -1 10
10
0

10
1
图5-20传递延迟的相角特性曲线
2013-12 9
5.2.8 滞后环节
G( s) e
s
G( j) e j
L(ω)/dB 0dB
A( ) 1 ( )
Im
wk.baidu.com
ω
φ(ω)
ω＝0 -1
G(jω)
16
dB
3、静态加速度 误差常数的确定 斜率为 40 dB / dec 的起始线段/或其 延长线，与 1 的直线的交点具 有的幅值为
0
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
( 对数坐标 )
a Ka
1
20log Ka
证明
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
2013-12 2
5.2.7最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
最小相位传递函数
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数 在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数 最小相位系统
具有最小相位传递函数的系统
2013-12 11
下面我们看三个误差系数的确定
R(s) +
E(s)
G(s)
C(s)
1、静态位置误差常数的确定 假设系统的开环传递函数为
图5-21单位反馈控制系统
K (T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) G( s) s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
jω
jω
σ
1 T
1 T1

1 T1
1 T
σ
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线 唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
2013-12 4
Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
-5
-10
相同的幅值特性
-15
2013-12
28
对于欠阻尼
极坐标图上，距 原点最远的频率 点，相应于谐振 频率 r

0
可以用谐振频率 r 处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。 2013-12
这时 G ( j ) 的峰值
n
29
过阻尼情况 当 增加到远大于1时， G ( j ) 的轨迹趋近于半圆。这是因为对于 强阻尼系统，特征方程的根为实根， 并且其中一个根远小于另一个根。 对于足够大的 值，比较大的一 个根对系统影响 很小，因此系统 的特征与一阶系 统相似。
反之亦然
这个结论对于非最小相位系统不成立。
2013-12 6
判断最小相位系统的另一种方法
最小相位系统，相角在
时变为

90(n m)dB / dec
n为极点数，m为零点数。 时的斜率都等于
两个系统的对数幅值曲线在
20(n m)dB / dec
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查 对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在
1 1
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 证明 设交点上的频率为 我们知道
2013-12
1
Kv
Kv 1 j1
K lim sG ( s )
s 0
Kv 1
14
30 -20dB/dec 20
2
3
-40dB/dec
10
0
2
1
-10
-20
-30
-40 0 10
10
1
10