(完整版)第五章-点的运动学
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解: 炸弹的运动方程
x vt cos45
y vt sin 45 gt2 / 2
炸弹的初速度
求炸弹落到地面的时间,由 1800 277.8t sin 45 gt2 / 2
得 t 7.688s
可求出炸弹与目标的水平距离,
40
45 40 5
得: 又: 比较两式得:
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
Part two 运动学
运动学是研究 物体运动的几何性质的学科。
研究一个物体的机械运动,必须选取另一个物体作为 参考,这个参考的物体称为参考体。
运动学研究 点和刚体的运动。
点的运动学 是研究一般物体运动的基础,又 具有独立的应用意义.
研究点的简单运动,研究点相对某一个参考系的 几何位置随时间变动的规律。
(4)求点M速度矢、加速度矢的大小、方向。
x=asin=asinωt 轨迹方程: y=bcos=bcosωt
大小、方向均可求
例:如图,物体M自O点以速度v0 与水平成 角抛出,求M 点的运动规律及轨迹。
解:依题意,建坐标,有:
当t=0时: 得:
所以,有: V0 cos0t C3
V0 sin0t gt2 2 C4
连接各矢量端点构成矢量端点的连续曲线,称为速度
矢端曲线。
见flash
动点的加速度矢a 的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。
r1 r2 r3
v1 a
v2 v3
v1
v2
v v3
a
§5-2 直角坐标法
动点M的位置可以用r表示,也可 用坐标x、y、z来表示,如图所示。
矢径原点与坐标原点重合时,有:
当t=0时,有: x 0, y 0 得 C3 C4 0
有: x V0 cos0t y V0 sin0t gt2 2
消去t得:
y
tan0
1 2
g
V02
x2 cos2
0
两类问题: (1)已知运动求速度、加速度,微分; (2)已知速度、加速度求运动,积分。 由已知条件求积分常数
例:牵引车A自O点匀速沿水平方向开 出,速度VA=0.4m/s,用绳索拉动B车, B车高于A车1.5m。求当A车驶出距离 OA=2m时,B车的速度和加速度。
解:需建立运动方程,以B0为原点,建立坐标,由几何关系有:
B0C CO BC CA
于是
B0C BC CA CO
即
x h2 (OA)2 h
而: OA vAt s
x h2 (vAt)2 h
求导
代入数据, vB 0.32m s
再求导
aB
dvB dt
v
2 A
h2 (vAt)2
a
dv dt
d2s dt 2
、n、b分别为切线、主法线、 副法线上的单位矢量。 切线、主法线、副法线这三轴称为自然轴, 这三个正交轴组成的正交坐标系称为自然坐标系。
在研究曲线运动中,轨迹的曲率或曲率半径是一个 重要的参数,表示曲线的弯曲程度。
曲率:曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对 值,曲率的倒数称为曲率半径。
3、速度与加速度
r是时间的单值连续函数,x、y、z
也是时间的单值连续函数。 是以直角坐标表示的点的运动方程。
工程中,常遇到点在平面内运动的情形, 此时点的轨迹为一平面曲线。
取轨迹所在的平面为坐标平面Oxy,则点 的运动方程为:
消去t,得轨迹方程: f(x,y)=0
例:飞机以角度=45俯冲投弹,其俯冲速 度v=1000km/h,高度h=1800m,问飞机俯冲 时应超前 多少度 投弹方能击中目标。
矢径r 的 “矢端曲线” 就是动点M的运动轨迹。
点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的 矢径r 对时间 的一阶导数,即:
动点速度矢:沿 r 的矢端曲线的切线,即沿动点运动轨 迹的切线,并与此点运动的方向一致。
速度的大小,即速度矢v的模,表明点运动的快慢,其 量纲为: dim v LT 1
在国际单位制中速度v的单位:
t0
速度大小为动点弧坐标对时间导数的绝对值。
v ds 是代数量,s>0,s随t增大而增大,
dt
向正向运动
加速度
反映速度大小变化,切向加速度;
反映速度方向变化, 法向加速度a永n 为正, 方向沿主法线指
向曲率中心。
flash
均在密切面内,
全加速度也在密切面内。
(vA2t)2
3
h2 (vAt)2 2
0.023 m s2
§5-3 自然法
1、弧坐标
如图,动点M的坐标由弧长决定,即:
s=f(t) 称为点沿轨迹的运动方程,或弧坐标表示的运动方程。
2、自然轴系
两平面交线为主法线,单位矢量为n, 指向内侧。
过M与切线及主法线垂直的直线为副法 线,单位矢量为b。
加速度在副法线方向的分量为零(无投影)。
tg a
an
:与法线夹角
速度和切向加速度方位相同,投影同号,加速运动。
a为常数时,匀变速运动。
dv dt
a
v v0 a t
V0、S0为t=0时的速度和弧坐标。 除直线运动或v=0的瞬时外,法向加速度总不为0。
小结 s=f(t)
flash
v ds dt
点的速度矢对时间的变化率称为加速度。 点的加速度也是矢量,表征速度大小和方向的变化。 动点加速度矢等于该点的 速度矢对时间的一阶导数: 加速度的量纲为: dim a LT 2
国际单位制中加速度a的单位:
在空间任意取一点o,把动点M在连 续不同瞬时的速度矢 v、 v’、v” …等 都平行地移到点o。
包括以下内容: •点的运动方程 •点的运动轨迹
•速度和加速度
§5-1 矢量法
选取参考系上某确定点O为坐标原点: 自点O向动点M作矢量 r,
称 “r” 为点M相对 原点O 的位置矢量,简称矢径。
当动点M运动时,矢径r随时间而变化,并且是时间 的单值连续函数,即:
上式称为以矢量表示的点的运动方程。
动点M在运动过程中,其矢径r的末端描绘出一条连续 曲线,称为矢端曲线。
同理: 可得出:
加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的二阶导数。
例:如图,直杆AB两端分别沿ox、oy运动,确定杆上一点M 的运动方程和轨迹方程、速度以及加速度。
得运动方程:
解: (1)建立坐标系,由几何关系求出动点M的坐 标,即得到点M的运动方程;
(2)消去t,得到轨迹方程;
(3)对点M的运动方程求一阶、二阶导数(v,a的 投影);