34高斯曲率与平均曲率

3.4 高斯曲率与平Байду номын сангаас曲率-旋转常高斯曲率曲面
设旋转曲面 S: r = (ucosv, usinv, y(u))，这 是一张由 Oxz 平面上的曲线 z = y (x) 绕 z 轴旋转而成的曲面．试求y 使得 S 的高斯 曲率 K 为常数． 详情
z
y x
练习题 1．计算球面 r(u,v) = (Rcosucosv, Rcosusinv, Rsinu) 的高斯曲率和平均曲率． 2．计算曲面 r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, bu) 的高斯曲率和平均曲率，并证明当 a = b 时 平均曲率为零． 3．计算正螺面 r(u,v) = (aucosv, ausinv, bv) 的高斯曲率和平均曲率．
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
设曲面 S 的参数表示为 r = r(u,v), (u,v)∈G， 它的单位法向量为 n(u,v) ．则曲面 S 的高斯 映射 g: S → S2 是把曲面 S 上的点 r(u,v) 对应 到单位球面 S2 上的点 n(u,v) 的映射．
n(u,v) g S S2 n(u,v)
3.4 高斯曲率与平均曲率-第三基本形式
曲面的第三基本形式定义为 III = dn ⋅ dn． 将第三基本形式写成 III = edu2 + 2f dudv + gdv2， 则有 e = nu ⋅ nu，f = nu ⋅ nv，g = nv ⋅ nv． 定理. 设有曲面 S: r = r(u,v)，其平均曲率 为 H，高斯曲率为 K，则有 III – 2H II + K I = 0. 看证明
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
高斯映射的参数表示为 g0 = g0(u,v)，其中 g0(u,v) = g(r(u,v)) = n(u,v). 我们也把 g0 叫曲面 S 的高斯映射或球面表 示． n(u,v)
g
n(u,v)
S
r (u,v) S2 g0
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
因为 g0 是从 G 到 R3 的一个映射，因此是 一张参数曲面，但不一定是正则的．
3.4 高斯曲率与平均曲率-正螺面与悬链面等距
下面的动画演示了从正螺面等距变成悬链 面的过程：
正螺面 悬链面
练习题 1．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 2．求旋转曲面 z = f (r) 的高斯曲率与平均曲 率，这里 r = (x2 + y2)1/2．
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3.4 高斯曲率与平均曲率-极小曲面
平均曲率为零的曲面叫极小曲面． 旋转极小曲面是平面或者是悬链面（见下 图）． 看证明
3.4 高斯曲率与平均曲率-悬链面
例. 悬链面（如下图）是旋转极小曲面．
3.4 高斯曲率与平均曲率-正螺面
例. 正螺面（如下图） r = (aucosv, ausinv, bv) 是极小曲面，但不是旋转面．
3.4高斯曲率与平均曲率
内容：高斯曲率、平均曲率、高斯映射、 第三基本形式、极小曲面、常高斯曲率曲 面 重点：高斯曲率与平均曲率的计算
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯曲率与平均曲率的概念
曲面的两个主曲率之积 K = k1k2 叫曲面的 高斯曲率，两个主曲率的平均值 H = ½(k1 + k2) 叫曲面的平均曲率． 椭圆点即高斯曲率大于零的点，双曲点即 高斯曲率小于零的点，抛物点即高斯曲率 等于零的点．