34高斯曲率与平均曲率
曲面的面积与曲率
曲面的面积与曲率作为几何学的重要概念，曲面的面积和曲率在数学和物理学中都有广泛的应用。
面积是描述曲面覆盖的大小，而曲率则描述曲面局部的弯曲程度。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨曲面的面积与曲率之间的关系。
一、曲面的面积曲面的面积是指曲面所覆盖的平面区域的大小。
对于平面曲面，我们可以使用常规的计算面积的方法来求解，例如利用直角坐标系下的积分来计算二维平面上的曲线所围成的面积。
然而，对于非平面曲面，例如球面、圆柱面等，计算面积就相对复杂了。
在数学中，我们常常使用参数化的方法来描述曲面。
以球面为例，可以使用球面坐标系来给出球面上每个点的坐标。
然后，通过计算曲面上相邻两点间的距离，再将其累加，即可得到曲面的面积。
这种参数化方法不仅适用于球面，还适用于其他各种曲面。
除了数学领域，曲面的面积在物理学和工程学等应用领域也有着广泛的应用。
例如在工程设计中，计算曲面的面积可以帮助工程师评估材料的使用量，从而进行成本估算。
在物理学中，曲面面积的计算往往与能量、电荷分布等物理量的计算相联系。
二、曲面的曲率曲率是描述曲面局部弯曲程度的量度。
具体而言，曲率可以分为两种，分别是高斯曲率和平均曲率。
高斯曲率是刻画曲面弯曲与平坦程度的量。
如果一个曲面具有正的高斯曲率，说明曲面在该点处向内弯曲，如球面；如果一个曲面具有负的高斯曲率，说明曲面在该点处向外弯曲，如双曲面；如果一个曲面的高斯曲率为零，则说明该点处曲面是平坦的，如平面。
平均曲率是描述曲面在该点处整体弯曲程度的量。
与高斯曲率不同，平均曲率包括了曲面上方向变化率的信息，因此可以更全面地描述曲面的形状。
平均曲率可以通过计算曲面上所有点处的法曲率的平均值得到。
其中，法曲率是指曲面上一点处法线方向的曲率。
曲率的计算方法多种多样，可以通过微分几何的方法求解。
通过计算曲率，我们可以了解曲面在不同点处的形状，从而应用到不同领域中。
例如在计算机图形学中，曲率常用于曲面细分、曲面光滑等算法中。
微分几何中的高斯曲率的推导 知乎
微分几何中的高斯曲率的推导1. 引言微分几何是数学中非常重要且深奥的一个领域，而高斯曲率作为微分几何中的重要概念之一，对于理解曲面的性质和特征具有非常重要的意义。
本文将深入探讨微分几何中的高斯曲率的推导，希望通过对这一概念的深入理解，为读者提供更加全面和深刻的视角。
2. 高斯曲率的定义在开始推导高斯曲率之前，我们首先需要了解高斯曲率的具体定义。
对于一个曲面上的点，我们可以通过曲面的局部参数方程来描述其周围的几何性质。
而高斯曲率就是描述曲面在该点处的局部几何形状的一个重要指标。
具体来说，我们可以通过参数方程得到曲面上某点的切平面，而高斯曲率则是该切平面上的曲率的乘积。
这里的曲率是指曲面曲线在该点处的弯曲程度，而高斯曲率则是描述了整个切平面的弯曲程度的综合指标。
3. 高斯曲率的推导在进行高斯曲率的推导时，我们首先需要明确如何描述曲率。
一般来说，我们可以通过曲面的第一和第二基本形式来描述曲面的曲率情况。
通过计算这两个基本形式的相关指标，我们可以推导出高斯曲率的具体表达式。
在此过程中，需要运用到微分几何中的一些重要定理和方法，如高斯-克鲁金公式、黎曼曲率张量等。
4. 高斯曲率的性质除了推导高斯曲率的具体表达式之外，我们还可以探讨一些高斯曲率的重要性质。
高斯曲率与曲面的拓扑性质之间的关系、高斯曲率与曲面的几何形状之间的联系等等。
这些性质的深入理解将有助于我们更加全面地把握高斯曲率的本质和意义。
5. 个人观点和理解在我看来，高斯曲率不仅仅是微分几何中的一个抽象概念，更是对曲面几何性质的深刻洞察。
通过对高斯曲率的推导和性质的探讨，我们可以更加全面地认识曲面的几何特征，从而为数学和物理学中的相关问题提供更为深刻的见解。
6. 总结通过本文的探讨，我们对微分几何中的高斯曲率的推导有了更加清晰和深入的理解。
高斯曲率作为微分几何中的重要概念，对于理解曲面的性质和特征具有非常重要的意义。
希望读者通过本文的阅读，能够对高斯曲率有更为全面、深刻和灵活的理解。
高斯曲率的计算公式
第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=， (,,)uv r r r M n rEG F =⋅=-，(,,)vv r r r N n r =⋅=。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v uv v v uv uu uuu vuu vvuv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vv v uv uu uuu vuu vvuv uuv vuv uvE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vvv uv uu uuu vuu vv uv uvuv uuv vE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
）利用 u u r r E ⋅=，u v r r F ⋅=，v v r r G ⋅=，可得12u uu u r r E ⋅=，12u uv v r r E ⋅=，12v vu u r r G ⋅=，12v vvv r r G ⋅=， 12v uu u v r r F E ⋅=-，12u vv v u r r F G ⋅=- 。
(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。
因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。
二 欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。
证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率2222n Ldu Ndv Edu Gdv κII +==I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1LEκ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N Gκ=. 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以cos θ=,所以2222cos Edu Edu Gdv θ=+,2222sin Gdv Edu Gdvθ=+,所以 22222212222222cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdvκκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。
证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知：22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥,所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。
四 主曲率的计算公式结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v =在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是0N N N N L E M F M FN Gκκκκ--=-- 即222()(2)()0NN EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。
高斯曲率的计算公式解析
第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
空间曲面的法向量与曲率
空间曲面的法向量与曲率空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，我们可以通过法向量和曲率来描述其性质和特点。
本文将探讨空间曲面的法向量与曲率，并介绍它们的计算方法和应用。
一、法向量的定义与计算方法法向量是指与曲面上某一点的切平面垂直的向量。
在空间中，我们可以通过求取曲面的法向量来揭示曲面的几何性质。
对于一般曲面，法向量的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲面的参数方程或隐函数表达式。
2. 然后，以曲面上的一点为基准点，分别计算该点横、纵坐标对参数的偏导数。
3. 最后，将计算得到的偏导数向量归一化，得到该点处的法向量。
以某空间曲面为例，其参数方程为：x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)。
在该参数方程下，求取曲面上某一点处的法向量的具体步骤如下：1. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数u的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial u}$，$\frac{\partial y}{\partial u}$，$\frac{\partial z}{\partial u}$2. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数v的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial v}$，$\frac{\partial y}{\partial v}$，$\frac{\partial z}{\partial v}$3. 计算法向量的横、纵、纵坐标分量：$n_x = \frac{\partialy}{\partial u} \cdot \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partialu}\cdot\frac{\partial y}{\partial v} $，$n_y=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partialu}\cdot\frac{\partial z}{\partial v}$，$n_z=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partialu}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}$4. 归一化法向量：$N = \frac{1}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}(n_x,n_y, n_z)$通过以上步骤，我们可以得到空间曲面上每个点处的法向量。
曲面的高斯曲率分布
曲面的高斯曲率是描述曲面在某一点上局部弯曲程度的量，通常用K来表示。
具体地说，曲面上任一点处的高斯曲率可以通过曲面局部坐标系下的一阶偏导数和二阶偏导数计算得到。
曲面的高斯曲率分布通常有以下情况：
K > 0：曲面上某个点的高斯曲率为正，代表该点处曲面的弯曲方向相同（凸）。
K < 0：曲面上某个点的高斯曲率为负，代表该点处曲面的弯曲方向相反（凹）。
K = 0：曲面上某个点的高斯曲率为零，代表该点处曲面是平的或者其弯曲方向相互抵消。
除此之外，还有以下特殊情形：
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是正值时，这样的曲面称为椭球面；
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是负值时，这样的曲面称为双曲面；
曲面的高斯曲率在不同位置之间变号，称为过渡曲面，典型例子包括圆柱面和双曲抛物面等。
一般情况下，曲面的高斯曲率分布是一个连续的函数，在不同位置处变化，并且曲面的性质与它局部高斯曲率的符号有密切关系。
例如，对于凸曲面，其高斯曲率处处为正，即在任何一点处曲率半径都是正值；而对于双曲面，则处处为负，即在任何一点处曲率半径都是负值。
曲面上的高斯曲率与高斯-波涅公式
曲面上的高斯曲率与高斯-波涅公式邢家省;杨小远;罗秀华【摘要】考虑曲面上高斯曲率计算公式的使用方法问题,给出椭球面上高斯曲率的求法;在曲面正交曲线坐标网下,给出高斯-波涅公式的证明过程,并指出高斯曲率简化公式的来源;由高斯曲率的曲面积分结果,导出曲面积分的一些几何意义.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】高斯曲率;测地曲率;正交曲线坐标网;高斯-波涅公式【作者】邢家省;杨小远;罗秀华【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;平顶山教育学院,河南平顶山467000【正文语种】中文【中图分类】O186.1曲面上的高斯曲率是经典微分几何学中的重要概念[1-5].高斯曲率的引入方式和计算公式已经成为经典知识[1-12].多种曲面上的高斯曲率已计算出来[1-7]，但有些曲面上的高斯曲率求法复杂，文献中鲜有记载.对椭球面上的高斯曲率，文献[7]中利用椭球面的参数方程给出计算过程，计算量大，笔者发现利用显式曲面上的高斯曲率的计算公式，可以给出简便求法.对正交曲线网下曲面上的高斯曲率的简化公式[1-7]，现有文献都是给出验证办法[1-7]，没有给出是如何导致这个发现的，笔者指出了导致高斯曲率简化公式的来源.利用曲面上高斯曲率的曲面积分结果，给出了一些曲面积分来源的几何动因.设曲面Σ:r=r(u,v)是C3类的正则曲面.曲面Σ上一点P(u,v)处的单位法向量为n.曲面上的第一基本形式为[1-6]曲面上的第二基本形式为[1-6]令矩阵A,B分别称为曲面上的第一基本矩阵和第二基本矩阵[3,5,8].曲面上的单位法向量为.设k2,k1分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值.曲面上的高斯曲率和平均曲率分别为[1-6,8]定理1[1-6] 曲面Σ：z=f(x,y)((x,y)∈D)上的高斯曲率和平均曲率分别为容易验证.定理2[7] 椭球面=1上的高斯曲率为证明由椭球面的对称性，只须求出上半椭球面上的高斯曲率.直接求偏导数，计算可得：于是，故得椭球面上的高斯曲率为p4.其中p为点(0,0,0)到椭球面上点(x,y,z)处的切平面的距离，.定理2中的结果在文献[7]中是采用对椭球面的参数方程表示进行的计算，计算量较大.笔者采用显式方法，给出直接的计算过程.利用这个方法可得如下一些曲面上的高斯曲率：例1[7] 单叶双曲面=1上的高斯曲率为.例2[7] 双叶双曲面=-1上的高斯曲率为.定理3[1-7,10] 设曲面Σ:r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网，Γ是曲面Σ上的一条曲线，其参数方程为u=u(s),v=v(s),或r=r(u(s),v(s))=r(s)，这里s是该曲线的自然参数.令曲线的切方向与ru的夹角为θ，则曲线Γ测地曲率为定理4[2-7,11-12] 设曲面Σ：r=r(u,v)上的坐标曲线网是正交网，则有(1)式在文献[2-7]中是有的，在其中都指出了随后的简化记忆公式，但没有说明这个记忆公式是如何发现的.下面笔者将给出导致发现的过程.定理5 设曲面Σ：r=r(u,v)上的第一基本形式为Ⅰ=(du)2+G(u,v)(dv)2，则曲面上曲线r=r(s)=r(u(s),v(s))的测地曲率为，曲面上的高斯曲率为.设曲面S:r=r(u,v)是C3类正则曲面.曲面S上的高斯曲率为K，曲面上的曲线的测地曲率为kg，曲面上的面积微元为dA，曲线的弧长微分为ds.区域D的边界记为∂D.定理6(Gauss￣Bonnet公式)[2-4] 设区域D是曲面S上的一个单连通区域，若∂D是一条光滑曲线，则有证明设曲线C=∂D是曲面Σ上的一条简单光滑封闭曲线,它所包围的区域D是一个单连通区域.而Ω是D对应的(u,v)平面上的区域,记平面区域Ω的边界曲线为∂Ω.选取曲面上正交坐标曲线网作为参数曲线网(u,v).设曲线C的参数方程是u=u(s),v=v(s)，其中s为弧长参数,θ(s)是曲线C在弧长s处的切向量与u-曲线的正向夹角,可以选取θ(s)是s的可微函数.利用正交曲线坐标网下计算曲线测地曲率的Liouville公式[1-5,10]将(3)式两边绕曲线C积分1周，得现在先考察(4)式右端的第2个积分.利用第二类曲线积分中的Gauss￣Green公式[13]，得这里导致出现需要计算v这样的式子的问题.直接求导计算，最后利用(1)式，得故有对(5)式的来源，笔者给出的是自然的导出发现过程，而不是后验证过程.于是，再由结果[1-4]∫Cdθ=2π，因此(4)式就化为∫Ckgds=2π-∬DKdA，即(2)式得证.对(2)式，文献[1]中是用曲面上半测地坐标网下给出的证明过程，给出的推导过程过于繁琐，完全应该改进.直接利用定理5的结果，就可给出简便的证明过程.推论1[1-4] 设区域D是曲面S上的一个单连通区域，若∂D是一条光滑曲线，并且∂D是曲面上的测地线，即曲线∂D上的测地曲率kg=0，则有∬DKdA=2π.推论2[1-4] 设曲面S是一个单连通的封闭曲面，则有∬SKdA=4π.证明用一条光滑的封闭曲线C将曲面S分成2个部分S1和S2.利用定理6，有∂S1和∂S2的定向相反，kg|S1=-kg|S2，将(6)，(7)式相加后，得∬S KdA=4π.例3[1-4] 设S是半径为R的球面，此时有,成立∬SKdA=4π.例4 设S是椭球面，曲面上的高斯曲率为K，求∬SKdA.解因椭球面S是一个封闭地曲面，利用推论2，故有∬SKdA=4π.推论3[1-4] 在高斯曲率非正的单连通曲面上,不存在光滑的封闭测地线.证明设曲面S是一高斯曲率非正的单连通曲面,若其上存在一条光滑的闭测地线C,则C的测地曲率kg=0.设C在曲面S所围的区域为D，由Gauss￣Bonnet公式(1)，可知∬DKdA=2π，这与S上的高斯曲率K≤0矛盾.注1 推论3中必须要求C所围成的区域是单连通的,否则命题不成立.例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率K<0)存在着一条光滑封闭测地线,即曲面上的最小纬圆.由例4中椭球面上的高斯曲率的曲面积分结果，导致出椭球面上的高斯曲率的曲面积分的直接计算问题.例5 设p(x,y,z)表示从原点到椭球面(a≥b≥c>0)上点P(x,y,z)处的切平面的距离，求第一型曲面积分S.解显然.记由对称性可知，其中.若，则a=b=c.显然此时是球面的情形，.下设，于是，即p4(x,y,z)dS=4πa2b2c2.因为椭球面上的高斯曲率为p4，所以，即有在文献[13]中给出如下等式的计算过程：这里例5的计算方法引用了文献[13]中对(9)式的计算过程，在此指明了导致(8)式和(9)式的来源及其几何意义.【相关文献】[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84；146-149.[2] 苏步青,胡和生,沈纯理,等.微分几何[M].北京:人民教育出版社,1980：197-203.[3] 陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006：139-143；229-241.[4] 王幼宁，刘继志.微分几何讲义[M].北京：北京师范大学出版社,2003：149-153.[5] 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编[M].北京:高等教育出版社出版,2010：171-219.[6] 梅向明，王汇淳.微分几何学习指导与习题选解[M].北京:高等教育出版社,2004：189-190.[7] JOHN OPREA,著.Differential Geometry and Its Applications[M].陈智奇，李君，译.北京：机械工业出版社，2005：223-242.[8] 邢家省.法曲率最值的直接求法[J].吉首大学学报：自然科学版，2012，33(4)：11-15.[9] 邢家省，王拥军.高斯-波涅公式的应用[J].河南科学,2013,31(1)：6-9.[10] 邢家省,张光照.曲面上曲线的测地曲率向量的注记[J].吉首大学学报：自然科学版，2013，34(4)：7-10.[11] 邢家省，高建全，罗秀华.高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法[J].四川理工学院学报：自然科学版，2014,27(4)：82-89.[12] 邢家省，高建全，罗秀华.曲面论高斯方程公式的几种形式的推导方法[J].吉首大学学报：自然科学版，2015,36(2)：1-7.[13] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].第2版.北京:科学出版社,2007：672-673.。
黎曼几何入门
黎曼几何入门黎曼几何是现代数学中的一个重要分支，它研究的是曲面和高维空间的性质和结构。
黎曼几何的发展对于理解物理学、天文学、计算机图形学等领域都具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和主要内容，帮助读者初步了解这一学科。
一、黎曼几何的起源和发展黎曼几何的起源可以追溯到19世纪，由德国数学家伯纳德·黎曼提出。
他在1854年的一篇论文中首次提出了曲面的度量概念，奠定了黎曼几何的基础。
随后，黎曼几何逐渐发展成为一个独立的数学分支，并在20世纪得到了广泛的应用和深入的研究。
二、黎曼几何的基本概念1. 曲面曲面是黎曼几何研究的基本对象，它可以简单理解为一个二维的平面。
曲面可以是平面、球面、圆柱面、锥面等等。
黎曼几何研究的重点是曲面的性质和变换。
2. 度量度量是黎曼几何的核心概念之一，它描述了曲面上的距离和角度。
在平面几何中，我们可以使用直角坐标系来描述点的位置和距离。
而在曲面上，由于其弯曲的性质，直角坐标系无法直接使用。
因此，黎曼引入了度量概念，通过定义度量张量来描述曲面上的距离和角度。
3. 流形流形是黎曼几何的另一个重要概念，它是一种具有局部欧几里德空间性质的空间。
流形可以是曲面、高维空间等等。
黎曼几何研究的对象就是流形上的曲面和其它几何结构。
三、黎曼几何的主要内容1. 曲率曲率是黎曼几何的一个重要概念，它描述了曲面的弯曲程度。
曲率可以分为高斯曲率和平均曲率两种。
高斯曲率描述了曲面在某一点的弯曲程度，平均曲率描述了曲面在某一点的整体弯曲程度。
2. 平行移动和测地线在黎曼几何中，平行移动和测地线是两个重要的概念。
平行移动是指在曲面上沿着某一方向移动，保持方向不变。
测地线是曲面上的一条最短路径，类似于直线在平面上的概念。
平行移动和测地线的研究对于理解曲面的性质和结构具有重要意义。
3. 黎曼度量和黎曼联络黎曼度量是度量张量的一种特殊情况，它描述了曲面上的距离和角度。
黎曼联络是一种与度量相关的概念，它描述了曲面上的平行移动和测地线的性质。
曲率半径检查
用曲率半径检查车身曲面曲率半径的概念：过曲面上一点及其法线的一个平面与曲面的交线在该点的曲率半径就为曲面在该点的一个曲率半径。
平面绕法线旋转一周，可以与曲面产生无数条交线，相应的就有无数个曲率半径。
在这些曲率半径当中有一个最大半径和最小半径。
高斯曲率是（ｒ＊Ｒ）／sqrt(|r*R|)。
平均曲率是2*r*R/(r+R)。
参见图8-19。
曲率半径检查时，希望其颜色变化要均匀、流畅。
不能有突变（造型要求这样时）除外。
在检查时可以通过移动活动滑块使颜色变化的部分移动到想关注的位置，这样可以更好的发现问题，以便改正。
图8-19 曲面曲率半径的概念通过曲面曲率半径分布图分析常用的主要有以下几种方法：高斯曲率半径分布图、最大最小曲率半径分布图、曲面U、V方向或指定方向曲率半径分布图。
曲率半径检查方式的选择：根据所要检查曲面的具体情况选择合适的曲率半径检查方式，如图8-20所示选择最小曲率半径检查方式。
图8-20 最小曲率半径分布图如果选择最大曲率半径分析如图8-21所示，因为下面的最大曲率半径在下部的圆台上是无穷大，上部分球面的半径是一个定值，所以用最大曲率半径检查时，上面的颜色一样，而下面的颜色又是另一个样，导致我们没有办法评价曲面的质量。
图8-21 最大曲率半径分布图以下主要结合实例来介绍各种曲面曲率半径分布图分析的各种方法：1）在对曲面整体光顺行进行分析时，一般使用曲面高斯曲率半径分布图分析，如图8-22所示：图8-22 某车型翼子板高斯曲率半径分布图2）在对几个最大曲率半径变化均匀的曲面进行分析时，一般使用最大曲率半径分布图检查。
如图8-23所示：图8-23 最大曲率半径分布图3）在对几个最小曲率半径变化均匀的曲面进行分析时，一般使用最小曲率半径分布图检查。
如图8-24所示：图8-24 最小曲率半径分布图4）经常用到的还有曲面U、V方向曲率半径分布图分析曲面的质量，如图8-25所示：图8-25 曲面U方向曲率半径分布图。
微分几何智慧树知到答案章节测试2023年阜阳师范大学
第一章测试1.两个非零向量平行的充要条件是（）A:二重向量积为零向量B:点积为零C:混合积为零D:叉积为零向量答案:D2.三维空间中幺正标架的全体是（）维空间A:4B:6C:5D:3答案:B3.（）A:B:C:D:答案:C4.两个向量的点积具有交换性.（）A:错B:对答案:B5.两个向量的叉积具有交换性.（）A:对B:错答案:B6.没有坐标系，三维欧氏空间中依然可以定义向量及其运算.（）A:对B:错答案:A7.同始点三个不共面向量构成的图形是一个幺正标架.（）A:对B:错答案:B8.幺正标架是单位正交右手标架.（）A:错B:对答案:A9.三维欧氏空间中的正交标架与仿射标架的全体均为6维流形.（）A:对B:错答案:B10.向量值函数的连续等价于其分量函数的连续.（）A:对B:错答案:A11.连续向量值函数的点积、叉积仍连续.（）A:对B:错答案:A第二章测试1.密切平面和法平面的交线是（）.A:副法线B:平面曲线C:切线D:主法线答案:D2.从切平面和法平面的交线是( ）A:主法线B:平面曲线C:副法线D:切线答案:C3.挠率为零的空间曲线一定是( )A:圆柱螺线B:圆C:平面曲线D:直线答案:C4.下列哪些量是合同变换下的不变量( )A:曲线的曲率、挠率B:曲线的弧长、曲率、挠率C:曲线的弧长、曲率D:曲线的弧长、挠率答案:C5.下列曲线的曲率与挠率不全为常数的是（）A:椭圆B:圆柱螺旋线D:直线答案:A6.正则曲线的近似曲线在从切面上的投影是（）.A:圆.B:半三次曲线；C:抛物线；D:三次曲线；答案:D7.半三次曲线是正则曲线.（）A:对B:错答案:B8.能显示表示为三阶连续可导函数的曲线必正则.（）A:对B:错答案:A9.正则曲线的近似曲线在法平面上的投影是半三次曲线（）.A:对B:错答案:A10.具有无穷次可微的参数表示的曲线是正则的（）A:错B:对答案:A11.每一点都是正则点的曲线为正则曲线.（）A:对B:错答案:B12.曲线的参数方程与标架的选取有关（）A:错B:对答案:B13.正则曲线的弧长与方向的选取无关.（）A:错B:对答案:A14.曲线的弧长在参数变换下不变.（）A:错答案:A15.正则曲线的弧长是曲线的几何不变量，它不依赖保定向的参数的选取和直角坐标系的选取.（）A:错B:对答案:B16.正则曲线的弧长是刚体运动和合同变换下的不变量.（）A:错B:对答案:B17.当曲线改变定向时，曲率与挠率可能会变号.（）A:错B:对答案:A18.曲率是和曲率向量是容许参数变换和合同变换下的不变量.（）A:对B:错答案:A19.曲率是容许参数变换和合同变换下的不变量.（）A:错B:对答案:B20.设曲线C不是直线，则它是一条平面曲线当且仅当它的挠率τ(s)=0. （）A:对B:错答案:A21.挠率是容许参数变换与合同变换下的不变量.（）A:错B:对答案:A22.切向量与固定方向交成定角的曲线其从法线与固定方向也交成定角.（）A:对B:错答案:A23.在相差一个刚体运动下，空间曲线完全由曲率和挠率决定.( )A:对B:错答案:A24.曲线的弧长、曲率与挠率都是刚体运动下的不变量.( )A:对B:错答案:A25.在反向刚体运动下，曲线的弧长、曲率不变，挠率反号.( )A:对B:错答案:A26.正则曲线为球面曲线的充要条件是其法平面过定点（球心）.（ )A:对B:错答案:A27.平面上两个不同的同心圆互为侣线.（ )A:错B:对答案:B28.所有主法线过定点的正则连通曲线必为圆.（ )A:错B:对答案:B29.相对曲率为非为零常数的曲线必为圆弧.（ )A:对B:错答案:A30.相对曲率为常数的曲线必为圆弧.（ )A:对B:错答案:B第三章测试1.下列曲面不是旋转面的是( ).A:圆环面B:球面C:直纹面D:圆柱面答案:C2.本书中正则参数曲面的向量值函数要求具有（）阶以上连续可微性.A:4B:2C:1D:3答案:D3.一个正则参数曲面的法线经过定点，则该曲面为（）.A:柱面B:旋转曲面C:直纹面D:球面答案:D4.球面和正螺面都是旋转面.（）A:对B:错答案:A5.正则参数曲面在任意点的某个邻域内总可以表示成Monge形式.（）A:错B:对答案:B6.在容许的参数变换下，曲面的单位法向量可能反向.（）A:对B:错答案:A7.容许的参数变换保持曲面的定向.（）A:错B:对答案:A8.在容许的参数变换下，曲面的单位法向量不变（）A:对B:错答案:B9.在容许的参数变换下，曲面的正则性不变.（）A:对B:错答案:A10.曲面在其上一点p处的切向量只有一条.（）A:错B:对答案:A11.曲面其上一点p的切向量全体构成一个二维空间.（）A:对B:错答案:A12.正则曲面在其上点p处的切平面、单位法向量在参数变换下保持不变.（）A:错B:对答案:A13.曲面的第一基本形式是容许参数变换下的不变量，与标架的选取无关（）A:对B:错答案:A14.曲面的第一基本形式是其弧长微元的平方（）A:对B:错答案:A15.曲面上两族坐标曲线处处正交的充要条件是其第一基本形式的度量矩阵为对角阵.（）A:对B:错答案:A16.正则曲面的面积元素与区域面积由其第一基本形式完全决定.（）A:错B:对答案:B17.第一基本量与曲面的参数选取和合同变换无关.（）A:对B:错答案:B18.正则曲面的第一基本形式的度量矩阵可以为半正定的.（）A:错B:对答案:A19.曲面的第一基本形式是容许参数变换下的不变量，与标架的选取有关.（）A:错B:对答案:A20.曲面的第一基本形式是刚体运动下的不变量，在合同变换下可能相差一个负号.（）A:对B:错答案:B21.曲面的第一基本量在容许的参数变换下不变.（）A:对答案:B22.旋转曲面的坐标网必为正交网.（）A:对B:错答案:A23.椭圆柱面沿着直母线的切平面必重合.（）A:错B:对答案:B24.单叶双曲面是直纹面，且是可展曲面.（）A:对B:错答案:B25.马鞍面是不可展的直纹面.（）A:对B:错答案:A26.正螺面是不可展的直纹面.（）A:对B:错答案:A27.麦比乌斯带是不可展的直纹面.（）A:错B:对答案:B28.第一基本形式在反向的参数变换下不变.（）A:错B:对答案:B29.任意两个正则参数曲面局部上均可建立保角对应.（）A:错B:对答案:B30.任意两个正则参数曲面局部上均可建立保长对应.（）A:对B:错答案:B31.挠曲线的主法线面和副法线面都不是可展曲面.（）A:错答案:B第四章测试1.曲面,是其单位法向量.下列第二类基本量的计算中（）是不正确的.A:B:C:D:答案:B2.曲面的第二基本形式在（）下不变.A:参数变换B:刚体运动C:等距变换D:不同标架答案:B3.关于圆柱面S：的说法错误的是（）.A:S的第二基本形式为B:S的第一基本形式为C:S的第一基本形式与uov平面的第一基本形式相同D:S的第二基本形式为答案:D4.以下说法正确的是（）.A:法曲率的绝对值是法截线的曲率B:法曲率是法截线的曲率C:法曲率是曲率向量在主法向量上的投影D:法曲率大于等于零答案:A5.下列关于曲线网的叙述错误的是（）.A:曲面上局部必存在等温曲线网B:曲面上正交曲线网存在未必唯一C:曲面上局部必存在正交曲线网D:曲面上局部必存在渐近线网答案:D6.正则曲面在每一点处的主方向（）.A:可能没有B:只有两个C:只有一个D:至少有两个答案:D7.下列（）是渐进方向存在的充分条件.A:B:C:D:答案:C8.以下量中，（）不是曲面的内蕴量.A:曲面上曲线的弧长B:曲面上一点沿一方向的法曲率C:曲面上曲面域的面积D:曲面上两曲线的夹角答案:B9.曲面在一（非脐）点的主曲率是曲面在这点（）.A:所有方向法曲率中的最小值B:沿主方向的法曲率C:所有方向法曲率的平均值D:所有方向法曲率中的最大值答案:B10.下列关于Weingarten映射W的叙述错误的是（）.A:在曲面S上任意一点p处，W的2个特征值正好是曲面S在p点的主曲率，对应的特征方向是曲面S在p点的主方向.B:曲面的第二基本形式可用Weingarten变换表示为：C:对曲面S的任意单位切向量，S沿的法曲率可表为D:W在保向的参数变换下不变，在反向的参数变换下变号.答案:D11.若是Weingarten映射的一个实特征值，则它正好是曲面在该点沿与它对应的特征方向的（）.A:Gauss曲率B:主曲率C:测地曲率D:平均曲率答案:B12.下列关于曲率线的叙述错误的是( ).A:既是测地线又是渐近线的曲线必为直线B:平面与球面上的任何曲线都是曲率线C:无脐点的曲面上未必存在曲率线D:可展曲面的直母线是曲率线，直母线的正交轨线是另一组曲率线答案:C13.在无脐点的曲面上，下列关于参数曲线网的存在性说法错误的为（）.A:局部总存在渐近线网B:局部总存在正交的曲率线网C:局部总存在等温参数曲线网D:局部总存在正交曲线网答案:A14.以下结论不正确的是（）.A:圆柱面上的圆柱螺线是曲率线;B:旋转曲面上的纬圆是曲率线C:球面上的每一条曲线是曲率线D:平面上的每一条曲线是曲率线答案:A15.直纹的极小曲面是（）.A:平面或悬链面B:平面或可展曲面C:平面或正螺面D:平面或伪球面答案:C16.下列（）不是可展曲面.A:柱面.锥面.或曲线的切线面B:沿着直母线切平面固定的曲面C:高斯曲率为零的曲面D:平均曲率为0的直纹面答案:D17.曲面的法曲率除了与点、切方向相关外，还与过定点的曲线选择或切向量大小有关.（）A:对B:错答案:B18.法曲率在刚体运动下不变，反向刚体运动下变号.（）A:错B:对答案:B19.曲面S在点p处沿着切方向（du,dv）的法曲率等于S在p点由切方向(du,dv)确定的法截线C的法曲率.（）A:错B:对答案:B20.曲面上过定点相切的曲线有相同的法曲率.（）A:对B:错答案:A21.曲面在任一点有且仅有二个主方向.（）A:对B:错答案:B22.曲面上任何非脐点处的两个主方向必正交.（）A:错B:对答案:B23.Weingarten变换不是线性变换.（）A:对B:错答案:B24.在曲面的任意点处，任何两个正交方向的法曲率之和为常数.（）A:错B:对答案:B25.旋转面上的经线是曲率线，而纬线不是.（）A:错B:对答案:A26.曲率线就是曲面上主方向场的积分曲线.（）A:错B:对答案:B27.全脐曲面上任一条曲线均为曲率线.（）A:对B:错答案:A28.平均曲率与高斯曲率在曲面的参数变换下不变.（）A:对B:错答案:B29.主曲率在曲面的参数变换下不变.（）A:错B:对答案:A30.曲面上的点是脐点当且仅当 . （）A:对B:错答案:A31.脐点中的圆点一定是椭圆点.（）A:对B:错答案:A32.双曲点一定不是脐点.（）A:对B:错答案:A33.脐点处的迪潘指标线是圆.（）A:错B:对答案:A34.非脐点处的迪潘指标线是椭圆或两对共轭的双曲线或两条平行直线.（）A:错B:对答案:B35.三维欧式空间中除了平面外，在旋转曲面中不存在极小的直纹面.（）A:错B:对答案:B36.高斯曲率为零的旋转曲面必为平面.圆柱面或圆锥面.（）A:对B:错答案:A37.极小曲面的高斯曲率可能大于零.（）A:错B:对答案:A38.在容许的参数变换下不变.（）A:错B:对答案:B39.曲面的第二基本形式是其上切点临近点到切平面的有向距离.（）A:错B:对答案:A40.第二基本形式的系数矩阵为正定矩阵.（）A:对B:错答案:B41.第二基本形式在保向的容许参数变换或刚体运动下相差一个符号.（）A:错B:对答案:A42.平面与圆柱面具有相同的第一、第二基本形式.（）A:对B:错答案:B43.球面的第二基本形式为常数.（）A:错B:对答案:A44.曲面一点处的主曲率是曲面在该点所有方向法曲率的最大值.（）A:对B:错答案:B45.正螺面是极小曲面.（）A:错B:对答案:B46.曲面在双曲点邻近的形状近似于双曲抛物面.（）A:错B:对答案:B47.曲面在椭圆点邻近的形状近似于椭圆抛物面.（）A:对B:错答案:A48.每一条曲线在其主法线面上都是渐进曲线.（）A:错B:对答案:B49.极小曲面上的点都是双曲点.（）A:对B:错答案:B50.曲面为平面或球面的充要条件是（）A:错B:对答案:B51.曲面切线面上的点都是抛物点. （）A:错B:对答案:B52.曲面上的直线必为该曲面的渐近线. （）A:错B:对答案:B53.直母线必为可展曲面的渐近线. （）A:对B:错答案:A54.旋转曲面上的经线与纬线均是曲率线. （）A:对B:错答案:A55.球面上的点必为圆点. （）A:对B:错答案:A56.可展曲面的直母线既是渐近线，又是曲率线. （）A:对B:错答案:A57.若正则曲面上的所有曲线均为曲率线，则该曲面为全脐曲面. （）A:对B:错答案:A58.直纹面的高斯曲率可能为正. （）A:对B:错答案:B59.单位球面上可能存在渐进方向. （）A:对B:错答案:B第五章测试1.关于黎曼记号的对称性，错误的是（）.A:C:D:答案:B2.曲面的两个基本形式是互相独立的.（）A:错B:对答案:A3.高斯曲率恒为零的无脐点曲面一定是直纹面.（）A:错B:对答案:B4.在不计位置的情况下，第一与第二基本形式就完全可以决定一张曲面.（）A:错B:对答案:B5.任意两正则参数曲面在局部上都是可以建立保长对应.( )A:错B:对答案:A6.Gauss曲率是曲面的内蕴几何量.（）A:对B:错答案:A7.三维欧式空间中的直纹面上可能存在椭圆点.（）A:对B:错答案:B8.无脐点曲面可展的充要条件是它能和一块平面建立保角对应.（）A:错B:对答案:A9.Gauss曲率在曲面的保长对应下不变.（）A:对B:错答案:A10.三维欧式空间的一块曲面S是可展曲面的充要条件是它的Gauss曲率恒小于零.（）A:错答案:A11.在正交曲线网下，（）A:对B:错答案:A12.曲面的高斯曲率是曲面在保长变换下的不变量（）A:错B:对答案:B13.主曲率为互不相等的常值函数的曲面为柱面. （）A:错B:对答案:B14.在球面与柱面之间可能存在保长对应. （）A:对B:错答案:B15.存在使得的曲面. （）A:对B:错答案:B第六章测试1.在曲面S上非直线的渐近曲线C的挠率是曲面S沿曲线C的切方向的（）.A:Gauss曲率B:法曲率C:测地挠率D:测地曲率答案:C2.下列各量中，不是内蕴量的是（）A:测地曲率B:Riemann曲率张量C:测地挠率D:Gauss曲率答案:C3.测地线的（）恒等于零.A:测地曲率B:法曲率C:相对曲率答案:A4.若曲面上的所有测地线均是平面曲线，则该曲面必为平面或球面.( )A:对B:错答案:A5.是渐进曲线的测地线必为直线.( )A:错B:对答案:B6.伪球面上的测地三角形内角和大于零.（）A:对B:错答案:B7.连接曲面上两点的所有曲线段中，最短的一定是测地线.( )A:错B:对答案:B8.曲面在一点的测地曲率在曲面上保长对应下可能会改变.（）A:错B:对答案:A9.曲面上曲线的曲率平方与法曲率的平方和等于测地曲率的平方和.（）A:错B:对答案:A10.曲面上曲线测地曲率的代表曲线是法截线.（）A:错B:对答案:A11.平面上的测地线必为直线.（）A:错B:对答案:B12.圆柱面上的测地线为圆柱螺线.（）A:错B:对答案:B13.经线是旋转曲面的测地线.（）A:对答案:A第七章测试1.设f,g是光滑函数，θ是一次微分形式，则下列运算错误的是（）.A:d(fg)=gdf+fdgB:d(θf)= fdθ-θ˄dfC:d(θf)=θ˄df+fdθD:d(fθ)=df˄θ+fdθ答案:C2.已知，则为（）.A:2uvB:0C:uvdu˄dvD:2uvdu˄dv答案:B3.已知，则dθ为（）.A:0B:(v+2)du˄dvC:du˄dvD:dv˄du答案:D4.已知，则dθ为（）.A:B:C:D:答案:D5.设球面，则下列正确的是（）.A:B:C:D:答案:C6.函数的外微分对应于该函数的（）.A:散度B:旋度C:梯度答案:C7.一阶微分形式的外微分对应于该微分形式系数向量场的（）.A:梯度B:旋度C:散度答案:B8.二阶微分形式的外微分对应于该微分形式系数向量场的（）.A:散度B:旋度C:梯度答案:A9.两个微分形式的外积满足反交换性.（）A:对B:错答案:B10.设则). （）A:对B:错答案:A11.三维欧式空间中，可能存在非零的四阶微分形式. （）A:对B:错答案:B12.设则（）A:错B:对答案:B13.设则) （）A:错B:对答案:B14.设为正整数，则阶外微分形式的外微分是阶外微分式.（）A:错B:对答案:A15.设是三维欧式空间中的任意外微分形式，其系数二阶连续可导，则必有（）A:对B:错答案:A16.（）A:错B:对答案:A17.则必有. （）A:对B:错答案:A18.空间曲面的结构方程中，（）A:对B:错答案:A19.主曲率均为常数的曲面是全脐点曲面，即平面或球面. （）A:错B:对答案:A20.主曲率均为常数的曲面只可能是平面、球面或圆柱面. （）A:对B:错答案:A21.设是两个光滑函数，则（）A:错B:对答案:B。
x25主曲率Gauss曲率和平均曲率
EN − 2F M + GL . 2(EG − F 2 )
曲面在椭圆点处 K > 0, 双曲点处 K < 0, 抛物点处 K = 0.
【例 1】 求螺面 r (u, v ) = {u cos v, u sin v, bv } 的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】 直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下 I = du2 + (u2 + b2 )dv 2 , II = √ −2b dudv, u 2 + b2
δu δv ,
du δu dv δv du dv
+F
2
du δu + dv δv du dv
+ G = 0.
(5.11)
+ 2Q
+ R = 0,
均应满足上述方程, 由根与系数的关系知, R du δu = , dv δv P du δu 2Q + =− . dv δv P
将上式代入(5.11)式即得引理.
不难验证它的判别式和(5.5)的判别式 ∆ 相等. 所以在一个非脐点, 方程(5.9)总有两个不相 等的实根, 曲面在这一点总有两个不相同的主方向. 在脐点处, 方程(5.9)变成恒等式, 即任 意方向都为主方向. 定理 5.2 引理 5.3 证明 [证毕]
曲面在非脐点处, 两个主方向互相垂直. 曲面上一点由方程 P du2 + 2Qdudv + Rdv 2 = 0 所确定的两个切方向互相垂
n n
(5.2)
从(5.2)消去 du, dv , 即得确定主曲率的方程 kn E − L kn F − M 消去 kn , 即得确定主方向的方程 Edu + F dv 方程(5.3)可以改写成
34高斯曲率与平均曲率
3.4 高斯曲率与平均曲率-正螺面与悬链面等距
下面的动画演示了从正螺面等距变成悬链 面的过程：
正螺面 悬链面
练习题 1．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 2．求旋转曲面 z = f (r) 的高斯曲率与平均曲 率，这里 r = (x2 + y2)1/2．
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3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
设曲面 S 的参数表示为 r = r(u,v), (u,v)∈G， 它的单位法向量为 n(u,v) ．则曲面 S 的高斯 映射 g: S → S2 是把曲面 S 上的点 r(u,v) 对应 到单位球面 S2 上的点 n(u,v) 的映射．
n(u,v) g S S2 n(u,v)
曲面的两个主曲率之积 K = k1k2 叫曲面的 高斯曲率，两个主曲率的平均值 H = ½(k1 + k2) 叫曲面的平均曲率． 椭圆点即高斯曲率大于零的点，双曲点即 高斯曲率小于零的点，抛物点即高斯曲率 等于零的点．
3.4 高斯曲率与平均曲率-旋转常高斯曲率曲面
设旋转曲面 S: r = (ucosv, usinv, y(u))，这 是一张由 Oxz 平面上的曲线 z = y (x) 绕 z 轴旋转而成的曲面．试求y 使得 S 的高斯 曲率 K 为常数． 详情
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
高斯映射的参数表示为 g0 = g0(u,v)，其中 g0(u,v) = g(r(u,v)) = n(u,v). 我们也把 g0 叫曲面 S 的高斯映射或球面表 示． n(u,v)
g
n(u,v)
S
r (u,v) S2 g0
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
因为 g0 是从 G 到 R3 的一个映射，因此是 一张参数曲面，但不一定是正则的．
曲面三角形的曲率-概述说明以及解释
曲面三角形的曲率-概述说明以及解释1.引言1.1 概述曲面三角形是计算机图形学中一个重要的概念，它描述了一个由三个曲线边界所围成的平面图形。
这些曲线可以是任意形状的，因此曲面三角形具有丰富的几何特征。
曲率是衡量曲面弯曲程度的重要参数，它可以帮助我们了解曲面的形态和特性。
本文将介绍曲面三角形的定义和曲率的概念，以及计算曲面三角形曲率的方法。
首先我们将说明曲面三角形的定义，包括如何定义曲面三角形的顶点和边界。
然后，我们将详细介绍曲率的概念，它是描述曲面的曲线度量。
我们将解释曲率如何反映曲面的局部形状特征，并讨论曲率对曲面弯曲程度的影响。
在曲率的计算方法部分，我们将介绍两种常用的曲率计算方法：离散方法和连续方法。
离散方法通过计算曲面三角形上的有限个点的曲率来近似整个曲面的曲率。
连续方法则通过数学公式来描述曲率的变化，可以更准确地反映曲面的曲率特性。
最后，我们将总结曲面三角形的曲率特点，包括曲面的凸凹性质和曲率的变化规律。
我们还将探讨曲面三角形曲率在实际应用中的意义，例如在计算机图形学中的三维建模和渲染中的应用。
同时，我们也会展望未来对曲面三角形曲率研究的方向，包括如何更准确地计算曲率和发现更多曲率与曲面形态的关联性。
通过本文的阅读，读者将能够深入了解曲面三角形的曲率概念和计算方法，以及曲率在曲面形态分析和应用中的重要性。
同时，读者也将带有一定的启发，对未来曲面三角形曲率研究的发展方向有更多的思考。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍了本文的组织结构和各个部分的内容概述。
通过清晰明了的文章结构，读者可以更好地理解文章的逻辑脉络和主要内容。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，我们将首先对曲面三角形的曲率问题进行概述，引起读者对该主题的兴趣。
然后，我们将详细介绍文章的结构和各个部分的主要内容，以便读者在阅读过程中能够有一个清晰的导引。
接下来是正文部分，我们将对曲面三角形的定义进行阐述，解释什么是曲面三角形以及它在几何形体中的重要性。
高斯曲率 黎曼曲率 关系
高斯曲率黎曼曲率关系高斯曲率是曲面微元面积比在平面上对应微元面积比的比值减去1，即：K = det(g)/det(G) - 1其中det(g)表示曲面微元面积元的第一基本形式的行列式，det(G)表示在平面上对应的微元面积元的第一基本形式的行列式。
而黎曼曲率则是描述流形上各点特定的曲率表现的一个不依赖于特定坐标系的概念。
通过黎曼曲率能够描绘出流形的弯曲和扭曲程度以及在其上的曲线和曲面的性质。
高斯曲率和黎曼曲率之间存在着密切的联系。
在欧几里得空间中的平面上，其高斯曲率恒为0，而黎曼曲率也为0。
因此，我们可以得到如下等式：K = 0 = R12^2 - R11R22 / (det(g))^2其中，R11和R22是光滑曲面上的黎曼曲率。
这个等式表明了高斯曲率与黎曼曲率之间的关系。
在具有曲率的任意曲面上，高斯曲率不再恒等于0，而是一个描述曲面弯曲程度的标志。
黎曼曲率则进一步扩展了高斯曲率的概念，通过黎曼曲率描述了曲面的所有特征，包括弯曲和扭曲程度、非欧几里得几何等。
高斯曲率和黎曼曲率之间的关系也可以通过差分几何来推导。
我们先定义一个局部依赖于坐标系的矢量场，它对该曲面的曲率有贡献。
对于该场，其黎曼曲率就是用黎曼曲率张量来描述的。
而对于该曲面的局部一个平面，其高斯曲率则就是用第一基本形式来描述的。
由于这些都是与坐标系相关的量，我们为了比较它们就需要进行坐标系的变换。
通过高斯-鲁格斯公式的推导，我们得到了一个表示高斯曲率和黎曼曲率之间关系的公式：K = det(R) / (det(g))^2其中，R是曲面的黎曼曲率张量，det(R)是它的行列式，g是曲面的第一基本形式，det(g)是其行列式。
这个公式告诉我们，对于每一个特定的曲面，其黎曼曲率张量和第一基本形式的比例就对应着一个唯一的高斯曲率。
高斯曲率的计算可以说是曲面微分几何中最重要的一个问题，因为它深刻影响着曲线和曲面的性质。
总之，高斯曲率和黎曼曲率都是描述曲面特性的重要概念。
曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率
＝ Ｅ 幽 ＋Ｇ
（１ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
ｌ Ｊ
沿“ 一曲线 （ ｄ ｒ ＝ ０）的方 向对应 的主曲率是 ｋ １ ：ｉ Ｌ
（ ２ ）
沿ｖ 一曲线 （ ｄ ｕ ＝ ０ ） 的方 向 对应 的主曲率是 ｋ ２ ＝ （ ３ ） 设 ０为任意方 向ｄ ｕ 和“ 一曲线 （８ ｖ ＝ Ｏ）方向的夹角，则 ｃ ｏ ０ 丽
所 以 ｃ ｏ ｓ ０ ＝ 南
而ｓ ｉ ｎ ０＝ １ ＿ ｃ ０ ｓ ０＝ 由于 （ １ ） 可 表 示 为
￡ 胁 Ｎ Ｇｄ ｖ ＝ 一 Ｅ— Ｅ ｄ ｕ Ｚ ＋ — Ｇ ＆＝＋ 一 Ｇ — Ｅｄ ｕ２＋ — Ｇｄ ｖ ２
（ ４ ）
（ ５）
将 （ ２） （ ３ ）（ ４） （ ５） 代入上式得 ２ 这个公式被称为欧拉公式 。在脐点这个公式仍 然正确 ，因为这 时有 ｋ ｌ ＝ ， 而沿任意方向的法曲率 ＝ ｋ ｌ ＝ 。 欧拉公式表 明，只要知道了主曲率 ， 则任意方向 （ ｄ ） 的法 曲率 就可以由 （ ｄ ）和 Ｕ 一曲线的方 向之间的夹角 ０来确定。 下面介绍有关主 曲率的一个命题 ： 曲面上一点 （ 非脐点 ）的主曲率是曲面在这点所有方 向的法 曲 率中的最大值和最小值。 证明：设 ｋ ＜ （ 如果 ＞ ，可以交换坐标 ｕ和 ｖ ） ，由欧拉 公式可知 ＝ ｌ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ＜ｋ ２ （ １ － ｃ ｏ ｓ ０） ＝ ＋ ｌ － ］ ￣ ＿ ） Ｃ Ｏ Ｓ ０ 贝 ０ 一 ＝ （ 一 ｋ ｌ ｃ ｏ ｓ ０≥ ０
一 一
【 摘 要】 本文作者在 给出了曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率之后 ，又对主 曲率是法曲率的最大值和最小值进行 了证明。
曲面练习题
曲面练习题一、选择题1. 曲面的法线方向总是垂直于曲面的哪个方向？A. 切线方向B. 曲率方向C. 任意方向D. 曲面的中心方向2. 在曲面上，一点处的切平面是由哪两个方向向量确定的？A. 两个垂直于曲面的向量B. 两个平行于曲面的向量C. 一个垂直于曲面的向量和一个任意向量D. 两个任意向量3. 曲面的高斯曲率与下列哪个量有关？A. 曲面的第一基本形式B. 曲面的第二基本形式C. 曲面的第一基本形式和第二基本形式D. 曲面的第三基本形式4. 曲面的主曲率是在曲面上哪一点处的曲率？A. 任意点B. 切线方向C. 法线方向D. 最大曲率和最小曲率5. 曲面的测地线是曲面上哪类曲线？A. 与曲面相切的曲线B. 与曲面相交的曲线C. 与曲面平行的曲线D. 与曲面垂直的曲线二、填空题6. 曲面在某点的法向量是该点处曲面的_________方向的向量。
7. 曲面的切线在该点处与曲面的_________向量垂直。
8. 曲面在某点的高斯曲率等于该点处两个主曲率的_________。
9. 曲面的测地曲率是测地线在曲面上某点处的_________。
10. 曲面的第二基本形式与曲面的_________有关。
三、简答题11. 简述曲面的法线和切线的区别。
12. 解释什么是曲面的主曲率，并说明它们在曲面几何中的意义。
13. 描述曲面的测地线与曲面的切线之间的关系。
14. 曲面的高斯曲率和平均曲率有何不同？请举例说明。
15. 什么是曲面的测地曲率？它在曲面分析中扮演什么角色？四、计算题16. 已知曲面方程为 \( z = x^2 - y^2 \)，求曲面在点 \( (1,1,0) \) 处的法向量。
17. 若曲面 \( z = xy \) 在点 \( (1,1,1) \) 处的切线与平面\( 2x + y - z = 5 \) 垂直，求该点处的切线方程。
18. 假设曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1,0,1) \) 处的主曲率分别为 \( k_1 \) 和 \( k_2 \)，计算高斯曲率 \( K \)。
高斯曲率和平均曲率
高斯曲率和平均曲率
高斯曲率和平均曲率是微积分中经常被涉及的概念，它们与曲面的性质紧密相关。
下面我们将对它们进行详细的解释和说明。
一、高斯曲率
高斯曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，它能够显示出曲面在局部区域上的几何性质。
高斯曲率通常用K来表示，它是根据曲面的曲率变化而定义的，可以用以下公式来计算：
K = (γαβγδ - γαδγβ) / (det Γ)
其中，γαβ代表曲面上的第一基本形式，γαδ代表曲面上的第二基本形式。
而Γ则是Christoffel符号，它代表曲面的曲率。
高斯曲率的值通常与曲面的形状密切相关，具体来说，对于平面或球面曲面来说，它们的高斯曲率分别为0和1，而对于马鞍面等非正则曲面来说，它们的高斯曲率则为负数。
二、平均曲率
平均曲率是描述曲面在一点处的平均曲率半径的指标，它是描述曲面弯曲程度的另一个重要参数。
平均曲率用H来表示，它可以用以下公式来计算：
H = (k1 + k2) / 2
其中，k1与k2代表在这一点处的最大和最小曲率半径。
平均曲率的值通常也与曲面的形状密切相关，对于平面来说，它的平均曲率为0，而对于球面来说，它的平均曲率则为1 / R，其中R代表球的半径。
对于马鞍面等非正则曲面来说，它们的平均曲率也是一个负值。
综上所述，高斯曲率和平均曲率是微积分中的两个重要概念，它们能够帮助我们深入理解曲面的性质和特点。
在实际应用中，高斯曲率和平均曲率也被广泛应用于曲面造型、计算机图形学、机器学习等领域中。
对于对曲面有兴趣的科学家和工程师来说，深入学习高斯曲率和平均曲率的原理和应用，将有助于他们更好地应用这些概念，推动相关领域的发展和进步。
椭球面上相关曲率半径_概述说明以及解释
椭球面上相关曲率半径概述说明以及解释1. 引言1.1 概述椭球面是数学中常见的曲面之一，它具有特殊的几何性质和广泛的应用领域。
在研究椭球面时，我们常常关注其上的相关曲率半径。
了解这些曲率半径的计算方法和应用领域对于地理测量、天文学以及工程建筑等领域的研究和实践具有重要意义。
1.2 文章结构本文将围绕椭球面上相关曲率半径展开讨论，共分为五个部分。
引言部分主要介绍文章的背景和目的，正文部分将包括椭球面的定义与性质、曲率半径的概念解释以及椭球面上相关曲率半径的计算方法。
接下来是相关曲率半径在地理测量、天文学和工程建筑中的应用领域介绍，并探讨了研究方法和最新技术在相关曲率半径研究中的应用。
最后，我们将对整篇文章进行总结，并给出对于椭球面上相关曲率半径研究所提出的启示和建议。
1.3 目的本文的目的在于全面概述和说明椭球面上相关曲率半径的研究进展和应用领域，希望能够为读者提供对于该主题的清晰认知，并为相关研究者提供有价值的参考。
通过了解椭球面及其上的曲率半径计算方法，我们将更好地理解它们在地理测量、天文学和工程建筑等领域中所起到的作用，同时也将揭示出未来发展趋势以及可能的研究方向。
2. 正文:2.1 椭球面的定义与性质椭球面是指一个由椭圆绕其长轴旋转一周形成的三维曲面。
它具有以下几个性质：首先，椭球面是一个闭合曲面，类似于一个椭圆在二维平面上绕着其中一条轴旋转而形成的三维体。
其次，椭球面的主轴包括两个不同的半径，通常称为长半轴和短半轴。
这两个半径决定了椭球面的形状。
最后，椭球面具有旋转对称性，即沿着任意一条通过中心点的直线旋转180度后仍然保持不变。
2.2 曲率半径的概念解释曲率半径是描述曲线或曲面弯曲程度的物理量。
在椭球面上，存在三个相关曲率半径：主曲率半径、高斯曲率半径和平均曲率半径。
主曲率半径表示沿着各个方向上最大和最小弯曲程度的半径。
在椭球面上，这两个方向分别对应着长半轴和短半轴，因此主曲率半径将分别等于椭球面的长半轴和短半轴。
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内容：高斯曲率、平均曲率、高斯映射、 第三基本形式、极小曲面、常高斯曲率曲 面 重点：高斯曲率与平均曲率的计算
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯曲率与平均曲率的概念
曲面的两个主曲率之积 K = k1k2 叫曲面的 高斯曲率，两个主曲率的平均值 H = ½(k1 + k2) 叫曲面的平均曲率． 椭圆点即高斯曲率大于零的点，双曲点即 高斯曲率小于零的点，抛物点即高斯曲率 等于零的点．
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
设曲面 S 的参数表示为 r = r(u,v), (u,v)∈G， 它的单位法向量为 n(u,v) ．则曲面 S 的高斯 映射 g: S → S2 是把曲面 S 上的点 r(u,v) 对应 到单位球面 S2 上的点 n(u,v) 的映射．
n(u,v) g S S2 n(u,v)
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
高斯映射的参数表示为 g0 = g0(u,v)，其中 g0(u,v) = g(r(u,v)) = n(u,v). 我们也把 g0 叫曲面 S 的高斯映射或球面表 示． n(u,v)
g
n(u,v)
S
r (u,v) S2 g0
3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射
因为 g0 是从 G 到 R3 的一个映射，因此是 一张参数曲面，但不一定是正则的．
3.4 高斯曲率与平均曲率-第三基本形式
曲面的第三基本形式定义为 III = dn ⋅ dn． 将第三基本形式写成 III = edu2 + 2f dudv + gdv2， 则有 e = nu ⋅ nu，f = nu ⋅ nv，g = nv ⋅ nv． 定理. 设有曲面 S: r = r(u,v)，其平均曲率 为 H，高斯曲率为 K，则有 III – 2H II &平均曲率-正螺面与悬链面等距
下面的动画演示了从正螺面等距变成悬链 面的过程：
正螺面 悬链面
练习题 1．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 2．求旋转曲面 z = f (r) 的高斯曲率与平均曲 率，这里 r = (x2 + y2)1/2．
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3.4 高斯曲率与平均曲率-旋转常高斯曲率曲面
设旋转曲面 S: r = (ucosv, usinv, y(u))，这 是一张由 Oxz 平面上的曲线 z = y (x) 绕 z 轴旋转而成的曲面．试求y 使得 S 的高斯 曲率 K 为常数． 详情
z
y x
练习题 1．计算球面 r(u,v) = (Rcosucosv, Rcosusinv, Rsinu) 的高斯曲率和平均曲率． 2．计算曲面 r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, bu) 的高斯曲率和平均曲率，并证明当 a = b 时 平均曲率为零． 3．计算正螺面 r(u,v) = (aucosv, ausinv, bv) 的高斯曲率和平均曲率．
3.4 高斯曲率与平均曲率-极小曲面
平均曲率为零的曲面叫极小曲面． 旋转极小曲面是平面或者是悬链面（见下 图）． 看证明
3.4 高斯曲率与平均曲率-悬链面
例. 悬链面（如下图）是旋转极小曲面．
3.4 高斯曲率与平均曲率-正螺面
例. 正螺面（如下图） r = (aucosv, ausinv, bv) 是极小曲面，但不是旋转面．