【学案】用二次函数的图像解一元二次方程
6.3 二次函数和一元二次方程(2)--学案巩固案
课型：新授课 主备：谢辉 审核：孙祥 时间：2012-1-26 学生姓名__________一、学习目标：1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．体验数形结合思想；2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
二、学习重点和难点：学习重点：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会数形结合思想。
2．能够利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。
学习难点：利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。
三、自学质疑与合作探究：1.自学指导：预习课本P 23-24相关内容，建议你在学习本节时和八（上）探索2的近似值“类比．．”进行学习。
2．合作探究：问题1：请你画出二次函数522-+=x x y的图象问题2：你能说出二次函数y=x 2+2x-5 的图象与一元二次方程x 2+2x-5=0的关系吗？问题3：二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的函数值有何特征？交点附近点的函数值有何特征？问题4：从图象上来看，二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备问题．．3．中发现的特征吗？ 问题5：为了进一步缩小探索的范围，如何在确定的两个整数之间继续取值，从而逐渐逼近使函数值y=0时的自变量x 的值，有何运算技巧吗？ 试试看！3．实践与探索：（1）你能仿照课本P23的方法确定方程x 2+2x-5=0的另一根x 2的近似值吗?试试看！(精确到0.1)（2）用求根公式求出方程x 2+2x-5=0的两根(精确到0.1)，与上述结果相同吗？请你算算看！四、自学检测：P24练习1、2A 组：1.抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为______________________ ___.2.根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A ． 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25 ＜x ＜3.263.已知二次函数y=kx 2＋3x －4①若它的的图象与x 轴只有一个交点，则k=； ②若它的的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围． 4.若关于x 的方程x 2-x-n=0没有实数根，则抛物线y= x 2-x-n 与x 轴的交点情况为， 顶点在第________象限。
用 二次函数图像解法一元二次方程
图15－3
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
解
析
由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴
在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与 y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项
①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2
－4ac大于0，选项③错误；由x＝2时对应的函数值大于 0，将x＝2代入抛物线解析式可得出4a＋2b＋c大于0， 得到选项④正确，最后由对称轴为直线x＝1，利用对称 轴公式得到b＝－2a，得选项②正确，所以正确结论的
图15－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
考点聚焦
归类探究
回归教材Βιβλιοθήκη 中考预测第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
归 类 探 究
探究一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)． 例1 [2013· 苏州] 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的 图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 x2－3x＋m＝0的两实数根是( B ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
二次函数的图象与性质(二)
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有
判别式Δ＝b2－ 4ac 的符号 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
【教案】 阅读与思考——由二次函数的图像认识一元二次不等式的解集
21.3.2阅读与思考——由二次函数的图像认识一元二次不等式的解集教学目标【知识与技能】会用二次函数的图象求一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次不等式关系的过程,体会函数、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:能通过观察一次函数的图像，求得一元一次不等式的解集吗？生：能，当图象在x轴上方时，y大于0, 当图象在x轴下方时，y小于0.师:同学们回答的很对，现在通过观察一次函数y=2x-3的图象解不等式2x-3>0?学生计算后回答.二、共同探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上节课讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!三、练习新知1．结合函数y=3x ²-7x+2的图象，求：（1） 3x ²-7x+2<0的解集;（2）3x ²-7x+2>0的解集.【答案】（1）231<<x ；（2）2x 31><或x . 2．若代数式的值恒取非负实数，则实数x 的取值范围是 。
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
二次函数的图像与一元二次方程
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.例如， 已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作 解一元二次方程-x2+4x=3 (即x2 -4x+3=0).
反过来，解方程x2-4x+3=0， 又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2 ，则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1，0)，(x2，0).
时间？
20 h
(2)解方程
20=20t-5t2，
O
2
t
t2-4t+4=0，
t1=t2=2 .
当球飞行2秒时，它的高度为20 m.
吗
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行
时间？
Hale Waihona Puke 20.5 h（3）解方程
20.5=20t+5t2，
O
t
t2-4t+4 .1 = 0 .
你能结合图形指
因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无 实数根. 出为什么球不能
知识归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相 等的实数根
b 2-4ac > 0
二次函数的图像与一元二次方程
知识归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相 等的实数根
b 2-4ac > 0
球的飞行高度达不到20.5米
达到20.5m的高
度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h
（ 4） 解 方 程
0=20t- 5t2 ，
O
t
t2- 4t= 0 ，
t1=0, t2 =4 .
当 球 飞 行 0秒 和 4秒 时 ， 它 的 高 度 为 0 m.
即 0秒 时 球 从 地 面 飞 出 ， 4秒 时 球 落 回 地 面 。
只有一个交点
有两个相等 的实数根
b 2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b 2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
有三种情况:
(1)有两个交点
b2–4ac > 0
(2)有一个交点
b2–4ac= 0
(3)没有交点
b2–4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2 – 4ac≥0
即铅球推出的距离是10 m.
答案：10
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况可确定二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的个数情况； 2.用图象法求一元二次方程的近似根.
利用二次函数的图象解一元二次方程
9 如图，用图象法求 x2－x＋14＝0 的解． 解：画出抛物线 y＝x2－x＋14(如图)．由图象可知抛物线
与 x 轴只有一个公共点，为12，0，
所以原方程的解为 x1＝x2＝12.
10 【2020·威海】已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2 －2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)，如 图所示． (1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
∴当m＝1或－3时，抛物线经过点C(0，2)． 如图，当m＝－3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点 (即线段CB的端点)， 当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意， 综上可得，m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.
11 【2019·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－ 6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． (1)求k的值；
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式；
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1， ∴顶点A的坐标为(m，2m－1)． ∵点A的坐标记为(x，y)，∴x＝m. ∴y＝2x－1.
(3)已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2 －2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？ 解：由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动， 且形状不变， 由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过B(3，5)， 把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得 m2＋2m－1＝2， 解得m＝1或－3，
6 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)， B(2，0)． (1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为__x_1＝__－__1_，__x_2_＝__2； (2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为__－__1_＜__x_＜__2__； (3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为__x_≤_－__1_或__x_≥_2_．
九年级数学上册教学案：22.2二次图像与一元二次方程教案
22.2 二次函数与一元二次方程教学目标1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点．教学重点二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法．教学难点二次函数的性质的应用．教案A教学过程一、导入新课我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．二、新课教学1．问题讲解．如下图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．（2）解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2．当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m．（3）解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0，因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m．（4）解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．2．拓展延伸．思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1．教师引导学生画出函数的图象（可见教材第45页），然后说说有什么特点和性质．（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．3．归纳总结．从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出什么结论呢？归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论．（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．三、巩固练习1．教材第46页例题．教师让学生小组为单位讨论、解答．必要时教师可进行指导．2．习题22.2 第14题．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.2 第2、4题．教案B教学过程一、导入新课我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系．二、新课教学问题如图（见教材图22.2-1），以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题．（1）当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．（2）当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．（3）方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．（4）当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．问题2 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1．教师引导学生画出函数的图象（下图），然后说说有什么特点和性质．（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．三、归纳总结从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．四、巩固练习例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7．我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．五、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？六、布置作业习题22.2 第2、4题．。
九年级数学：22.2《二次函数与一元二次方程》教学设计
九级上22.2二次函数与一元二次方程教学设计一、课标要求：会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
二、课标理解：使学生理解一元二次方程与二次函数的关系，培养学生的观察、想象、归纳与概括的能力，渗透数形结合的思想．三、内容安排：【教学目标】知识技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系。
．数学思考：体会数形结合的思想，初步形成通过实例探索数学结论的思维方式.在多种形式的数学活动中，发展合情推理的能力和语言表达能力.问题解决：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
【教学重难点】重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解．难点：函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
四、教学过程（一）孕育我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关：1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根,x1,2=-b±√b2-4ac2a2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,x1=x2=-b2a3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.（回顾旧知，联系新知。
通过知识联系提问问题引发学生思考，导入本课主题。
）（二）萌发生长活动1：ax2 + bx + c = 0和y= ax2 + bx + c 之间的关系和区别是怎么样？关系：区别：（通过知识回顾，引导学生学习新知，通过思考问题，帮助学生建立知识之间的联系。
）活动2：问题 如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：h =20t -5t 2，考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度 能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？如果能，需要多少飞行时间？（4）球从飞出到落地要用多少时间？讨论分析：由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二次函数h=20t －5t 2，所以可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值.上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t －5t 2的值为15，求自变量t 的值.可以解一元二次方程20t －5t 2＝3(即5t 2-20t-3＝0);反过来，解方程5t 2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t 2-20t-3的值为0，求自变量x 的值.归纳二次函数与一元二次方程的关系：一般地，可以利用二次函数c bx ax y ++=2深入探究一元二次方程02=++c bx ax .（学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。
《二次函数的图像与一元二次方程》教案
5.6二次函数的图像与一元二次方程教材分析：这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况.这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法.教学设想：本节课主要采用自主学习与小组交流两种学习方式，在整节课的教学过程中，要注意循序渐进的认知规律．以前已经学习了一次函数与一元一次不等式的关系和解一元二次方程的代数方法，对旧知识的复习为本节课的学习奠定基础．学习目标：知识与技能：1.经历图象法求解一元二次方程近似值的过程，并体验用图象法解一元二次方程．2.利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似值，提高科学估算的能力．过程与方法：经历利用二次函数的图象求出一元二次方程的近似解的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力．情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用．学习重难点：重点：正确运用函数的图象求出一元二次方程的近似值.难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：引入新课：问题：比较二次函数的表达式y=x²-2x-3与一元二次方程x²-2x-3=0，你能说出二者之间有什么关系吗？(4)一元二次方程x²-2x-3=0的实根与二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴的交点的横坐标有什么关系？(5)通过以上探索活动，你发现一元二次方程x²-x+1/4=0与二次函数y=x²-x+1/4的图像有什么关系？(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的横坐标有什么关系？归纳总结：如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实数根；反之，如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根．【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例2.利用二次函数的图象讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根．解:(1)画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图.(2)由于图象与x轴没有公共点，所以一元二次方程x2-2x+3=0 没有实根．【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=＿＿＿2．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( ) A．有两个同号的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．已知抛物线y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)抛物线与x轴有两个公共点？(2)抛物线与x轴只有一个公共点？(3)抛物线与x轴没有公共点？4．根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A．3< x < 3.23 B．3.23 < x < 3.24C．3.24 <x< 3.25 D．3.25 <x< 3.265．你能利用二次函数的图象解一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗？(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.课堂小结:二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0关系：△=b²-4ac≥0 一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点△=b²-4ac ＜0一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有交点作业:课本 P.49第1,2题板书设计:5.6二次函数的图像与一元二次方程引入新课：归纳总结：例1例2。
22.2 二次函数与一元二次方程 初中数学人教版九年级上册学案
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
2.小王同学在求一元二次方程
的近似根时，先在平面直角坐标系
中作出了二次函数
的图象（如图），接着观察图象与 x 轴的交点 A
和 B 的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是
，
，
小王同学的这种方法运用的主要数学思想是( )
A.数形结合思想 B.类比思想
C.公理化思想
方程
有两个相等的实数根，故选 B.
4.答案：C
解析： 当
时，
，当
时，
，
方程
的一个根的取值范围是
5.答案：10（答案不唯一）
解析： 抛物线
与 x 轴没有交点
，故选 C.
，
解得： ，
取
，
故答案为：10（答案不唯一）.
6.答案： ，
解析：观察图像得：二次函数
的图像与 x 轴的交点为
轴为直线 ，
二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为
3.图是二次函数
的图象，则方程
D.模型思想 ()
A.只有一个实数根 C.有两个不相等的实数根 4.下表是二次函数
B.有两个相等的实数根 D.没有实数根 （ ，a，b，c 为常数）的自变量 x 与函数
值 y 的部分对应值.判断方程
的一个根的取值范围是( )
x
6.17 6.18 6.19 6.20
-0.11 -0.04 0.01 0.04
A. C. 5.若抛物线 ____________. 6. 二 次 函 数
B. D. 与 x 轴没有交点，请你写出一个符合条件的 m 值，
的部分图像如图所示，由图像可知，方程
的解为_________.
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第五节 二次函数与一元二次方程(1)今日复习1.抛物线 y =ax²+bx +c (a ≠0)与x 轴的交点为(x ₁,0),(x ₂,0),其中x ₁，x ₂是相应一元二次方程 ax²+bx +c =0(a ≠0)的两根，因而抛物线 y =ax²+bx +c 与x 轴的交点情况可以用判别式△=b²-4ac 来判断.若 ，则抛物线与x 轴有两个交点，此时两个交点的距离为 ；若 ，则抛物线与x 轴只有一个交点(即抛物线顶点在x 轴上)；若 ，则抛物线与x 轴无交点.2.抛物线 y =ax²+bx +c (a ≠0)与 y 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 .1.由于二次函数与一元二次方程的关系，我们常常将抛物线与坐标轴或与直线的交点问题转化为一元二次方程或方程组来解决.2.抛物线与x 轴的交点距离公式 d =√b 2−4ac |a|在解答题中经常用到.3.抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称.A 级 双基过手1.(1)已知抛物线 y =x²−2x +n 与x 轴只有一个公共点，则n= .(2)抛物线 y =a (x −12)2+k 经过A(-3,0),B(m,0)两点,则关于 x 的一元二次方程 a (x −32)2+k =0的解是 .2.(1)二次函数 y =ax²+bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax²+bx +m =0有实数根，则m 的取值范围是 .(2)如图，若关于x 的二次函数 y =ax²+ bx+c 的图象与x 轴交于两点，那么方程 ax²+bx +c=0的解是 .3.(1)如图是二次函数 y₁=ax²+bx +c 和一次函数 y₂=mx +n 的图象，观察图象，当ax²+(b −m)x+c-n≤0时,x 的取值范围是 .(2)已知直线y=-x+1 与抛物线 y =x²+k 的一个交点的横坐标为-2，则k= .4.如图是二次函数 y =ax²+bx +c 的图象的一部分，其对称轴是x=-1，且过点(-3，0)，有下列说法:①abx<0;②2a -b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y ₁),( 52₂,y ₂是抛物线上两点，则y ₁<y ₂.其中说法正确的是5.已知二次函数 y =(k −3)x²+2x +1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ( )A. k<4B. k≤4C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠36.0的一个解 x 的取值范围是 ( )A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.如图,二次函数 y =ax²+bx +c 的最大值为3，一元二次方程 ax²+bx +c −m =0有实数根，则m 的取值范围是 ( ) A. m≥3 B.m≥-3 C. m≤3 D.m≤-38.如图所示，已知二次函数 y =ax²+bx +c (a≠0)的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线 x= −32.给出以下四个结论:①abc=0;②a -b+c>0;③a<b;④4ac -b<0.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.(1)已知抛物线y=x²+kx−k²的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，求k的值.(2)如图,已知抛物线y=x²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点.①求抛物线的表达式和顶点坐标；②当0<x<3时,求y的取值范围.10.已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+2x+2k−2的图象与x轴有两个交点.(1)求k的取值范围；(2)当k取正整数时，请你写出二次函数y=x²+2x+2k-2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标.B级能力提升11.已知关于x的二次函数y=x²−ax+a−1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a = .12.已知关于x的二次三项式(m+1)x²−(2m--1)x+m 的值恒为正,则 m 的取值范围是13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²−2ax+2(a<0)交x轴正半轴于点A，交y轴于点BC则△ABC的面积是 .B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点 D，且CD=1314.已知二次函数y=a(x−m)(x−m−6)(a,m为常数，且a≠0)，该函数图象顶点A的纵坐标为-9.(1)求证：该函数的图象与x轴有两个公共点.(2)若该函数图象与y轴交于点B(0，-5)，求该函数的表达式.(3)若该函数图象过点(-6,y₁),(2,y₂),比较 y₁,y₂的大小.C级综合拓展(4≤x≤6)的一部分,其中点 B(4,1-m),C(6,-m),抛物15.如图,曲线 BC 是反比例函数y=kx线y=−x²+2bx的顶点记作A.(1)求k的值.(2)判断点 A 是否可与点 B 重合；(3)若抛物线与 BC有交点，求b的取值范围.第五节二次函数与一元二次方程(2)今日复习1.利用抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)解方程ax²+bx+c=0(a≠0)的基本步骤:(1)画出二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象；(2)根据图象确定抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴的交点分别在哪两个整数之间；(3)用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.2.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上有两点 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁<x₂),若 y₁y₂<0，则抛物线与x轴的一个交点的横坐标x₀满足，即3.一元二次方程12x2=x+32的解也可以看作是和的交点的横坐标.4.借助二次函数的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程的根的关系，利用图象法可求一元二次方程的近似解.5.利用二次函数的图象，可写出相应一元二次不等式的解集.A级双基过手1.(1)二次函数y=−x²+2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程−x²+2x+k=0的一个解x₁=3,另一个解.x₂=.(2)二次函数y=x²+bx+5配方后为y=(x−2)²+k,则k= .2.(1)已知抛物线y=ax²−2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是第象限.(2)如图,二次函数y=x²+6x+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若AB=4，则点 C的坐标是 .3.已知二次函数y=−x²+bx+c的图象经过(-1,0),(5,0)两点,且关于x的方程−x²+bx +c+d=0有两个根，其中一个根是6，则d的值为 .4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc<0;②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=−1,x₂=3;③2a+b=0;④4a+2 b+c<0.其中正确结论的序号是 .5.已知二次函数y=ax²+bx+c与自变量x的部分对应值如下表，下列说法错误的是B. 方程ax²+bx+c=−2的正根在4与5之间C.2a+b>0D. 若点((5,y₁),(−32,y2)都在函数图象上，则y₁<y₂6.若x₁,x₂(x₁<x₂);是关于x的方程(x+1)(3−x)+p²=0(p为常数)的两根，下列结论中正确的是 ( )A.x₁<−1<3<x₂B.x₁≤−1<3≤x₂C.−1<x₁<3<x₂D.−1≤x₁<x₂≤37.如图,一次函数 y=-x与二次函数y=ax²+bx+c的图象在同一坐标系下如图所示，则函数 y=ax²+(b+1)x+c的图象可能是 ( )8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过(-3,0),(1,0)两点,关于x的方程ax²+bx+ c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程.ax²+ bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是( )A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或49.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=−1,且过点(−3,0),(0,−3).(1)求抛物线的表达式；(2)已知点(m,k)和点(n,k)在此抛物线上,其中m≠n,请判断关于t的方程t²+mt+n=0是否有实数根，并说明理由.10.已知抛物线y=−x²+mx+(7−2m)(m为常数).(1)求证：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；(2)若抛物线与x轴的交点A(x₁,0),B(x₂,0)的距离为AB=4(点A 在点B 的左边)，且抛物线交y轴的正半轴于点 C，求抛物线的表达式.B级能力提升11.如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：(①a+b+c=0;②b>2a;③ax²+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题的序号是.12.如图是抛物线y₁=ax²+bx+c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4,0),直线y₂=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,有下列结论:①2a+b=0;②抛物线与x轴的另一个交点是(-2，0)；③方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根;④当1<x<4时,有 y₂<y₁;⑤若ax²+bx1=ax22+bx2,且x₁≠x₂,则x₁+x₂= 1.上述命题正确的有个.13.若一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,且c为整数,则c 的值为 .x+4分别与x轴、y轴交于两点A，B，过点A且平14.在平面直角坐标系中，直线y=−45行于y轴的直线与过点B且平行于x轴的直线相交于点C，若抛物线y=ax²−2ax−3a (a≠0)与线段 BC有唯一公共点，求a的取值范围.C级综合拓展15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线 y=x²−2bx+b²−2(b⟩0)经过点 A(m,n).(1)用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；(2)若抛物线经过点 B(0,2),且满足0<m<3,求n的取值范围；(3)若3≤m≤5时，n≤2,，结合函数图象，直接写出b的取值范围.。
运用二次函数求解一元二次方程的解
研究运用二次函数求解一元二次方程的解叶荣彦摘要：在初中的数学内容中，不仅二次函数的知识点以及一元二次方程非常重要，而且它们之间的关系也是需要掌握重要的知识点。
可以利用这一关系，从而实现运用二次函数求解一元二次方程的解，如果初中生能很好地掌握这些知识，则对考试将非常有帮助。
因此，在本文中，首先简要介绍了二次函数以及一元二次方程之间的关系，然后分析了解题思路，并对具体的案例进行解析。
关键词：二次函数；求解；一元二次方程在初中的第二年，开始学习“二次函数以及一元二次方程，这一时候可以发现尽管两者之间存在很大的不同点，但是也存在着一定的共同点，因此可以借助这一点来一次函数来求解一元一次方程的解。
也就是说，可以使用一次函数的图像来解决一元一次方程相关的问题，使用图像来求解这一问题，可以直观且方便的得出答案。
遵循类似的研究哲学，可以自然地考虑二次函数的图像是否也可以用于解决一元二次方程式的问题，并提供直观且方便的解决途径。
一、理解二次函数以及一元二次方程之间的关系（一）二次函数以及一元二次方程的含义通常初中的数学教学中，形式为y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b以及c均为常数）的函数称为二次函数。
同时，这种表达式的a、b、c、x以及y分别被称为二次系数、线性系数、常数项、自变量以及因变量。
等号的右侧最大的自变量需要小于等于2。
同时，二次函数还包括顶点表达式y=a（x-h）2+k（a≠0）（a、h、k都为常数）以及两个根表达式y=a（x-x1）（x-x2）。
在一元二次方程当中，一元代表着方程的未知数只有一个，而二次代表着未知项的最高阶是2。
将两者结合起来的方程就叫做一元二次方程。
该方程可以表示成ax2+bx+c=0（a≠0），这是一元二次方程标准的形式。
（二）二次函数与一元二次方程之间的关系如前所述，从形式上看，二次函数以及一元二次方程相互之间存在十分密切的关系。
将二次函数的因变量设置为0，则会生成一元二次方程。
高中数学《二次函数与一元二次方程、不等式》学案
二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。
【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次不等式的解法：（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q 时，若（x－p）（x－q）>0，则x>q或x<p；若（x－p）（x－q）<0，则p<x<q．有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0表示二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0，图象在x 轴的上方；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．含参数一元二次不等式求解步骤（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向； （2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数； （3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 解不等式应用题的四步骤：（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． （2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． （3）求：解不等式． （4）答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 三、学业达标1．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-2．如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），△AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知R x ∈，则“202x >-”是“24x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充要条件D ．必要不充分条件4．不等式()()5326x x +-≥的解集是（ ）A ．{5xx -∣或32x ⎫⎬⎭ B ．352x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣C ．{1xx ∣或92x ⎫-⎬⎭D ．912xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣ 5．若命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．((),22,-∞-+∞B ．-⎡⎣C ．(),22,⎡-∞-+∞⎣D ．(-6．设函数22()223f x x ax a a =++-+，若对于任意的x ∈R ，不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a ≥B ．2a ≤C ．322a <≤D ．32a ≤7．若不等式()()20ax x b --≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．0a >，12ab =B ． 0a >，2ab =C ．0a >，2a b =D ．0a >，2b a =8．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭。
用图象法解一元二次方程
为-3和5，则二次函数y=x2-2x-15的图
象与x轴的交点坐标为
.
2021/3/10
18
可以发现，这个根在 -0.6 和 -0.5 之间.
由于本题要求精确到0.1，
所以可以将x= -0.6 或 -0.5 看作
二次方程x2-3x-2=0的根的近似值.
2021/3/10
10
活动二
同样的方法观察下表：
x 3.0 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 y -2 -0.25 0.16 0.59 1.04 1.51 2
x -1 -0.55 0
y
2 --00..2255 -2
当x=-1时， y ＞ 0;
当x=-0.5时， y ＜ 0 .
2021/3/10
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活动二
（x，0）
2021/3/10
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活动二
先求-1和0之间的根， 列表计算：
x -1 -0.55 0
y
22 -0.25 -2
当x=-1时，y ＞ 0，
当x=-0.5时， y ＜ 0 ，
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活动二
例1 用图象法讨论一元二次方程 x2-3x-2=0的根（精确到0.1）.
（ ）
（ ）
解: 1 画抛物线 y=x2-3x-2.
2 观察图象，找出图象 与x轴的公共点，可以发现，
在 -1 与 0 之间
以及 3 与 4 之间
各有一个根.
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活动二
先求-1和0之间的根， 列表计算：
所以当y=0时，x在 -1 和 -0.5 之间，
也就是方程的根在 -1 和 -0.5 之间.
2021/3/10
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【学案】用二次函数的图像解一元二次方程
【一】明确学习目标
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2、经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图像法求方程近似根的体验与方法.
3、理解二次函数的图像和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.
4、进一步发展学生的估算能力，体验数形结合思想.
【二】自主预习
预习教材，自学〝思考〞与〝例题〞，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点情况，会利用二次函数的图像求对应一元二次方程的近似解，并尝试完成自主预习区。
【三】合作探究
活动1 小组交流讨论，归纳，填表，在此基础上教师小结。
要求①二次函数与一元二次方程之间的关系
要求②：抛物线与x 轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系
活动2 反馈练习
①观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程022=-+x x 的根是____________；
方程0962=+-x x 的根是___________；
方程012=+-x x 的根是____________；
②如下图，你能直观看出哪些方程的根？
教师点拨：此题充分表达二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数322++-=x x y 中，y 为某一确定值m 〔如4、3、0〕时，相应x 值是方程)034(322、、m m x x ==++-的根.
③抛物线c bx ax y ++=2如下图，那么关于x 的方程032=-++c bx ax 的根是_______________.
教师点拨：此题解法较多，但是根据图像来解是最简单的方法. 活动3 新知应用
例1 二次函数12)14(222-++-=k x k x y 的图像与x 轴交于两点，求k 的取值范围.
教师点拨：根据交点的个数来确定ac b 42-的正、负是解题的关键，并熟悉它们之间的对应关系.
活动4 自学教材，例题总结，用图像法求相应一元二次方程的近似根.
【四】当堂检测
〔1〕基础练习
〔2〕提升练习
1、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的公共点是〔－1，0〕、〔3，0〕，求抛物线的对称轴.
2、画出函数322--=x x y 的图像，根据图像回答：
①方程0322=--x x 的解是什么？
②x 取什么值时，函数值大于0；x 取什么值时，函数值小于0？
3、用函数的图像求以下方程的解：
4、抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 〔x1，0〕、B 〔x2，0〕)(21x x <，顶点M 的纵坐标为－4，假设x1，x2是方程07)1(222=-+--m x m x 的两个根，且.102
221=+x x ①求A 、B 两点的坐标；
②求抛物线的关系式及点C 的坐标；
③在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 的面积等于四边形ACMB 面积的2倍？假设存在，求出所有符合条件的点的坐标；假设不存在，请说明理由.
【五】拓展提升
如图，抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过A 〔3，0〕、B 〔4，4〕两点. 〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标.
六、课后作业
【一】选择题
1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么以下关系式错误的选项是〔 〕
A 、0>a
B 、0<c
C 、042>-ac b
D 、0>++c b a 第1题图 第3题图 第5题图
2、二次函数22)(2c b ax x y ++-=，其中a 、b 、c 是△ABC 的边长，那么函数与x 轴交点情况是〔 〕
A 、无交点
B 、有一个交点
C 、有两个交点
D 、交点个数无法确定 3、二次函数bx ax y +=2的图像如图，假设一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，那么m 的最大值为〔 〕
A 、－3
B 、3
C 、－6
D 、9
4、二次函数)(32为常数m m x x y +-=的图像与x 轴的一个交点为〔1，0〕，那么关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两实数根是〔 〕
A 、x1=1, x2=－1
B 、x1=1, x2=2
C 、x1=1, x2=0
D 、x1=1, x2=3
【二】填空题
5、二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么A 〔ac b 42-，a b -〕在第_______象限.
6、二次函数c bx ax y ++=2中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： 〔1〕二次函数图像的开口方向是__________，它的顶点坐标是________.
〔2〕一元二次方程),,,0(02是常数c b a a c bx ax ≠=++的两个根x1, x2的取值范围是______(填序号).
【三】解答题
7、函数)(162是常数m x mx y +-=.
〔1〕求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；〔2〕假设该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值。