最佳一致和平方逼近

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最佳平方逼近

( f p*, f p*) 2( f p*, p * p) ( p * p, p * p)
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用

数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)

c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中为次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数的最佳平方逼近多项式为，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式系数的求解方程组

3.3 连续函数的最佳逼近(1)——数值分析课件PPT

特别地，
若{0 (x),1(x), n (x)} C[a, b]是正交函数系,
即
b
a i (x) j (x)dx
ij
0,i 0, i
j j
它的Gramer行列式Gn是对角矩阵。
(0,0 )
(1,1)
(n ,n )
下面我们讨论在区间[a, b]上函数的逼近问题。
➢函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 ➢误差为最小，即距离为最小(不同的度量意义)
f
( x)k
( x)dx
，(k
0,1,
再由内积的性质得：
, n)，
n
(k , j )a*j ( f ,k ) ，(k 0,1, , n)。 (13)
j0
这是关于{aj}(j=0,1,…n)的线性方程组，称为
法方程. 简记为 Ga=d. 其展开形式为
(14)
(0,0 )
(1
,
0
)
(n ,0 )
则称 p*(x)是 f (x)在 C[a,b] 中的最佳平方逼近函数。
即给定 f (x) C[a,b]，求p*(x) ，
使 min
||
f
(x)
p(x) ||22 ||
f
(x)
p*(x)
||22
.
讨论最佳平方逼近函数 p*(x) 的存在性，唯一性及计算方法。
(1)存在性，唯一性对p(x) p ，
原问题转化为求
(a0*
,
a1*
,
a
* n
)，使
min
ai实数
I (a0
,
a1 ,,
an
)
I (a0
,
a1 ,an

数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析研究方案(内含matlab程序)

西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。

第四章 3最佳平方逼近(1)

§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。

一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。

例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。

例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。

定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。

二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。

例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。

内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1）使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。

平方逼近——精选推荐

第四章平方逼近教学目的及要求：掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼近问题。

本书第二章是用数量)()(m ax x f x p f p bx a -=-≤≤来度量逼近多项式)(x p 与已知函数)(x f 的近似程度。

若,,0)()(∞→→-n x f x p n 则意味着序列{})(x p n 在区间],[b a 上一致收敛到)(x f 。

一致逼近度量，亦称Tchebyshev 度量是很重要的一类度量标准。

然而由于它的非线性特性，使得最佳一致逼近多项式的构造问题十分困难。

对于许多问题来讲，人们需要求出的是在确定意义下的“整体”近似。

本章讨论一类新的度量----平方度量意义下函数的逼近问题。

先从最小二乘法谈起。

§1. 最小二乘法最小二乘法起源于以测量和观测为基础的天文学。

Gauss 在1794年利用最小二乘法解决了多余观测问题，当时他只有十七岁。

可以用下面的简单例子描述这类问题。

假定通过观测或实验得到如下一组数据（即列表函数）：我们的目的是一简单的式子表出这些数据间的关系。

从分析数据看出，这些点差不多分布在一条直线上，因此我们自然想到用线性式b ax y +=表示它们之间的关系。

这就须定出参数a 和b 的值来。

这实际上是多余观测问题，用插值法不能确定出a 和b 的值。

代定参数的确定归结为矛盾方程组的求解问题。

假定有某方法可以定出a 和b ，则按bx a y +=，给出一个x 便可以算出一个y 。

我们记).8,,1( =+=k bxa y kk y 称为k y 的估计值，显然它们不会是完全相同的，它们之间的差（通常称为残差）)8,,1( =-=k y y kk k ε无疑是衡量被确定的参数a 和b （也就是近似多项式b ax y +=）好坏的重要标志。

可以规定许多原则来确定参数b a ,。

例如（1）参数的确定，将使残差绝对值中最大的一个达到最小，即kkT εmax =为最小；（2）参数的确定，将使残差绝对值之和达到最小，即∑kk ε为最小；（3）参数的确定，将使残差的平方和达到最小，即∑2k ε为最小。

计算方法第四章(逼近法)

2n {
m j0
aj
m i 1
x jk i

m i 1
xik
yi }
m
m
记： sl xil , tl xil yi
i 1
i 1
n
得正规方程组(法方程)： s jkaj tk , k 0,1,L , n
j0
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.58 0.81 1.01 1.32 1.49 1.67 1.93 2.18 2.395
得正规方程组：
94a50a0452a815a15.83141.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267x

1 8
(35x4

30x2

3),
P5
(
x)
x3
15
x)
LL
证明:
由分部积分法得(Pk , Pj )
1 [(x2 1) j ]( j)[(x2 1)k ](k) dx
1
1 [(x2 1) j ]( j) d[(x2 1)k ](k1) 0 1 [(x2 1)k ](k1)[(x2 1) j ]( j1) dx
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
显然，S 达到最小值，则
S 0 , k 0,1,L , n ak
S
ak

2 m
m i 1
[ P( xi
)

yi

最佳一致和平方逼近ppt课件

若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“正”偏差点。若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注：显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,

数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近

插值逼近的性质
插值逼近的误差
插值逼近的误差取决于插值多项式的阶数和插值点的选择，一般来说，阶数越高，误差越小。
插值逼近的稳定性
插值逼近的稳定性取决于插值多项式的选择和计算方法，选择合适的插值多项式和计算方法可以提高稳定性。
插值逼近的应用
插值逼近在数值分析、数学建模、信号处理等领域近
多项式逼近是一种常用的逼近方法，通过将函数表示为一系列多项式的和，来逼近原函数。多项式逼近具有精度高、适用范围广等优点，但计算量大、稳定性差。
VS
插值法
插值法是一种常用的多项式逼近方法，通过构造一个多项式来逼近原函数。插值法具有数学基础扎实、计算稳定等优点，但需要解决插值节点过多导致计算量大、数值不稳定性等问题。
最佳一致逼近的误差通常用范数表示，常用的范数有L∞范数、 L2范数和L1范数等。
逼近的数学模型
01
逼近问题通常可以转化为求解一个泛函极值问题，即寻找一个多项式 p(x)，使得它在给定区间[a, b]上与目标函数f(x)的误差最小。
02
逼近问题的数学模型可以表示为求解一个极值条件下的优化问题，常用的方法有梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
深入研究逼近定理
进一步探索逼近定理的内在机制，为逼近理论的发展提供理论支持。
逼近误差分析
对逼近误差进行深入分析，建立更加精确的逼近误差估计，提高逼近精度。
推广逼近理论
将逼近理论应用于更广泛的领域，如微分方程、积分方程等，推动相关领域的发展。
逼近在实际问题中的应用拓展
数值计算
利用最佳一致逼近方法进行数值计算，提高计算精度和效率。
CHAPTER
最佳一致逼近的方法
线性逼近的方法

最佳一致逼近

构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上的最佳逼近学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学姓名：学号：指导教师：日期：2012.06.20构造C[0，1]上W=&(1，x ，…，x 9)到f(x)=e x上的最佳逼近（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师摘要：本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。

通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。

关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数最佳平方逼近一般而言，在[a , b ]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a , b ]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。

一、预备知识1．函数系的线性关系定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，在区间[a , b ]上连续，如果关系式0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ϕϕϕϕ 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。

如果函数系{ϕk (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无关，则称函数系{ϕk (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。

设)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=的全体是C [a , b ]的一个子集，记为},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ并称)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是生成集合的一个基底。

最佳平方逼近

c1 4 5
4 15 4 5 x. 0 x 1
所求的最佳平方逼近元
素为 p ( x )
5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用
当 0x,1x, , nx, 是正交系时,求解最佳平方逼近式(5.82)中的系数非常容易. 目标: 求下面的最佳平方逼近式中的系数
（ 5.84）
函数 f 的 L-最佳平方逼近函数为
pL ( x )

n k 0
c k L k ( x ),
(L)
1 x 1
（5.85）

遇到区间[a,b], 通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理.
x a b 2 b a 2 t.

函数 f (x) 的 Legendre 无穷级数
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
p * (x)
n
故
0

ck k ( x)
*
n * k
k 0
f
p *,
j
f , c
j k 0 j
k
,
j

(5.82)

n
ck k ,
1
( f , g)
1

f ( x ) g ( x )dx

L-正交多项式为 L0x, L1x, , Lnx, 用(5.83), 有
ck
(L)

( f , Lk ) ( Lk , Lk )

2k 1 2
1
1
L
k
( x ) f ( x )dx ,
k 0,1, 2, ..., n

第3章数值分析---最佳平方逼近

5 3 P ( x ) ( 63 x 70 x 15 x) / 8, 5
6 4 2 P ( x ) ( 231 x 315 x 105 x 5) / 16, 6

6
切比雪夫多项式 P61-64
当权函数 ( x)
1 1 x2
，区间为 [1, 1]时，由序
列 {1, x,, x n ,} 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式.
1/ 2 1/ 3 1 /( n 2)
1 /( n 1) 1 /( n 2) （3.6） 1 /( 2n 1)
称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.
T T 记 a (a0 , a1 ,, an ) , d (d 0 , d1 ,, d n ) , 则
2 2
min f ( x) P( x)
PH n
2 2
（1.19）
min
PH n

b
a
[ f ( x) P( x)]2 dx,
则称 P* ( x) 是 f ( x)在 [a, b]上的最佳平方逼近多项式.
若 f ( x) 是 [a, b]上的一个列表函数，在
a x0 x1 xm b
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.

最佳一致逼近多项式

其方程为
y
1[ 2
f
(a)
f
(x2 )] a1(x
a x2 2
).
图3-3
14
例4 求 f (x) 在1 x2 上的[0,最1]佳一次逼近多项式.
解
由（3.6）可算出
又 f (x) x ,
1 x2
a1 2 1 0.414, 故 x2 2 1, 解得
1 x22
x2
2 1 0.4551, 2
于是方程组（4.3）有唯一解 ak ak* (k 0,1,, n),
S * (x) a0*0 (x) an*n (x).
21
下面证明 S满*(足x)（4.1），即对任何 S (x) , 有
b (x)[ f (x) S*(x)]2 dx b (x)[ f (x) S(x)]2 dx
(1)k
max
a xb
P1(x)
f
(x)
( 1, k 1,2,3).
11
由于 f 在(x) 上[a不, b变] 号，
故 f (x单) 调， f (x) a1
在 (a,内b)只有一个零点，记为，x2 于是
P(x2 ) f (x2 ) a1 f (x2 ) 0,
即 f (x2 ). a1
n
是0,1,的, n切) 比雪Tn夫(x交) 错点组，
7
由定理5可知，区间 [1,上1] 在x n 中H最n佳1 逼近多项式
为
P* n1
(
x),
即 n (是x)与零的偏差最小的多项式.
定理得证.
8
例3 求 f (x) 2x3 x在2 2x 上1 的最[佳1,21]次逼
近多项式.
解由题意，所求最佳逼近多项式 P2*(应x)满足

最佳平方逼近

同时，还需要给出连续函数
空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。
二、连续函数的平方范数
已知所有连续函数构成的集合C[a,b]是一个线性
空间，对于C[a,b]中的任意函数
、，定义
实数
可以证明此实数满足性质：
这时，称
为与
的内积。
并称为函数
（3.1）的平方范数，且满足以下性质：
（1）
，当且仅当
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 zi 2.72 3.02 3.31 3.60 3.89 4.18 4.48 4.77
对
作线性拟合曲线，取
得正则方程组
解得于是有拟合曲线为：
练习三
3-1 利用Legendre多项式
求函数
在
上的最佳均方逼近，并估计误差。
3-2 求上权函数为
的正交多项
式前四项 3-3 求，使
由得到法方程组第 j 行的元素为：
于是法方程组的系数矩阵为：令右端第二个矩阵为：
则系数矩阵可以表示为：再看法方程组的右端项：
由得到
最后可以将法方程组表示为：其中
这样会更快的写出法方程组来。
如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式，则：这时：
误差：
三、数值例子
例3.3 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 x1 2 3 4 6 7 8
使得对于一切
都有：
不等式
说明，所求的满足等式：
(3.2)
而
是由系数
唯一确定的，因此，只要我
们求出了满足(3.2)的
，就可以求出
f(x)最佳平方逼近。
令
(3.3)
则
这时等式

函数逼近最佳平方逼近ppt课件

16
切比雪夫多项式的性质:
(1)递推关系
T T n 0 (1x (x )) 1,2xT n 1 T ((x x)) T x n ,1(x).
(2.1
T n (x )的最 x n 的高系 2 n 次 1 ,( 数 n 1 幂 )为 .
事实上，只需由Biblioteka co(ns1)2cocsonscons1 (),n1. 代入 xco,s即得递.推关系式
21
3. 埃尔米特多项式
区间 ( , )上带(权 x)ex2的正交多项式
Hn(x)(1)nex2ddxnn(ex2), 称为埃尔米特.多项式
(2.16
22
• 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论本节f(讨 x)C 论 [a,b],求多pn *项 (x)H 式 n,使得误
||f(x)pn *(x)| |mi|n |f(x)pn(x)| | .
p１(x)=4/5x+4/15
3
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.
4
定义设 1 集S是合数P域上的线性空间 x1, ， ,xn元 S素 ,
如果存在不全1为 ,,零 n的 P,使数得
1x1nxn0，
（ 1.1）
则称 x1,,xn线性相 . 否关则 ,若(1.1)只对 1n0成
(f,g)=∫ b(x)f(x)g(x)dx=0 a
则f称 (x)与 g(x)在 [a,b]上带权 ρ. ( x ) 正交
设在 [a,b]给定函数 0(x族 ),1(x),,n(x),, 且满足 (i(x),k(x))A0k,,iikk,, (i,k0,1,2,) (2.2
则称函{数 n(族 x)}为[a,b]上带权ρ(x)的数正族.交函

最佳一致和平方逼近

~ 由于首项系数为1的 n + 1次Chebyshev多项式 Tn+1 ( x) 由于首项系数为1 Chebyshev多项式
无穷范数最小，故有无穷范数最小，
f ( x ) − Pn ( x ) ~ = Tn+1 ( x) a0
于是 Pn ( x ) = f ( x ) − a0 Tn+1 ( x)
a ≤ x ≤b
∆ ( f , Pn ) = f − Pn
= max f ( x ) − Pn ( x )
上的偏差偏差。为 f ( x ) 与 P ( x) 在 [ a, b ] 上的偏差。 n
注：显然， ( f , Pn ) ≥ 0 ，{∆ ( f , Pn )} 的全体组成一个显然， ∆
一、最佳一致逼近的概念
定义对于任意设函数 f ( x) 是区间 [ a, b ] 上的连续函数，上的连续函数，给定的 ∀ε > 0 ，如果存在多项式 P ( x ) ，使不等式
max f ( x ) − P ( x ) < ε
a ≤ x ≤b
成立，则称多项式 P ( x ) 在区间 [ a , b ] 上一致逼近成立， (或均匀逼近)于函数 f ( x ) 。均匀逼近)
(1)定义 (1)定义 Chebyshev多项式称 Tn = cos ( n arccos x ) , x ≤ 1 为n次Chebyshev多项式.
[注] 令 θ = arccos x , 则 cos θ = x
n 2 n−2 2 4 n−4 4 而 cos nθ = cos θ − Cn cos θ sin θ + Cn cos θ sin θ − L
y = f ( x)

伯恩斯坦多项式

x 1 xi
i 1 n
1 -范数
1 2
x
2
n 2 xi i 1
2 -范数
类似地，在连续函数空间C[a, b] ，可定义三种常用的范数如下： -范数 f max f ( x)
a x b
f
f
1
f ( x) dx
a
b f 2 ( x)dx a 1 2
3.1.3 内积与内积空间
定理：设
X
为一个内积空间，对 u, v X
2
有
(u, v) (u, u )( v, v)
成立，该不等式称为Cauchy-Schwarz不等式。则称 (u, v)为 X 上 u与 v 的内积。定义了内积的线性空间称为内积空间。如果 (u, v) 0 ，则称 u 与 v 正交。
n
数逼近问题就是对任何 f C[a, b]，在子空
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。
伯恩斯坦多项式
更一般地，可以用一组在C[a, b上线性无关 ] 的函数集合 i ( x) 来逼近 f C[a, b]。函 i 0
n
数逼近问题就是对任何 f C[a, b]，在子空间 span{ 0 ( x),1 ( x),, n ( x)} 中找一个元
k 0
伯恩斯坦多项式
有界，故 Bn ( f , x)是稳定的。至于Lagrange
多项式，由于 | lk ( x) | 无界，因而不能保证
k 0
n
高阶插值的稳定性与收敛性。相比之下。
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。

数值分析公式大全

的位置未知，但有截断误差限：
(a,b)
3，均差（差商）一阶均差；f[x0，xk]=
,Mn+1=
二阶均差：f[x0,，x1，xk]= ，
，
高阶均差：f[x0,，x1，…，xk]= ，，，
，，，
性质：1，k 阶均差可表示为函数值 f（x0），f（x1），…，f（xn）的线性组合 2，对称性，与节点次序无关
Ax=b 将 A 按行化简为三角矩阵（等同于做多次消元过程）最后解简单方程组 A（n）x=b（n） 2，高斯主元素消去法列主元素消去法：若出现 akk（k）=0 B= 在 A 的第一列中选择绝对值最大元素做为主元素，如丨 ai1，1 丨=max1≤i≤n 丨 ai1 丨然后交换 B 的第一行与第 i1 行， →
≤
5，差分
等距离节点 xk=x0+kh，k=0，1，…，n；fk=f（xk）
xk 处的一阶向前差分：Δ fk=fk-+1-fk，xk 处的二阶向前差分：Δ 2fk=Δ fk-+1-Δ fk；
xk 处的
n
阶差分：Δ
nfk=Δ
n-1fk-+1-Δ
f n-1 k
【差分与差商的关系】f[xk,xk+1]=
余项 Rn= 4，高斯-勒让德求积公式
程组中可求
，其中高斯点为 Pn+1（x）=0 的解，将代入高斯公式所得的方
Rn= 5，高斯-切比雪夫求积公式
，其中高斯点为 Tn+1（x）=0 的解，
k=0，1，…，n。Ak=
也可写为
，
，k=1，2，…，n
第五章解线性方程组的直接方法：
去除矩阵论部分的基本知识点，剩余内容有 ; 1，高斯消去法