比例的合比等比性质
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
1.比例的基本性质
3.1.1 比例的基本性质
一、回顾过去
对于等式4:5=8:10
1、大家认识吗？这种关系叫做什么？
这种关系叫做比（两个数相除），而“比”是由前项∶ 后项组成的。ຫໍສະໝຸດ 2、这个等式正确吗？为什么？
正确，因为4:5=0.8，而8:10=0.8，所以4:5=8:10
3、分别求它们的比值
“比值”（两个数相除的商）是前项除以后项所得 的商。4:5=0.8,8:10=0.8
如果两个数的比值与另外两个数的比值相等， 我们就说这四个数成比例。可写成a:b=c:d或
a c b d
,称a,b,c,d成比例，其中b,c称为比例 内项，a,d称为比例外项。
练习 你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？
1、
6 12 2、 7 14 内项为7,12；外项为6,14
3 6 4 8
y
9
y
2 y 5.已知 , x 4, 则下列各式不成立的是 C x 4
A. x2 y4 y2 y 2 x y4 2 y2 B. C. D. x 4 x4 4 2 4 x x4
a c e 1 7.已知 , 且a c e 3, b d f 2 6 则b d f ____
成立，因为a,b,c,d为非零实数的条件，使得该命题是比例 基本性质的逆定理
合比性质
证明：
a c ab cd b d b d
a c a b c d ； 如果 ，那么 b d b d
证明
∵
a c b d
ab cd ∴ b ． d
在等式两边同加上1， a c ∴ 1 1 b d
内项为4,6,；外项为3,8
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 【基础练习2】1、把mn=pq 写成比例式写错的是()3若3=y x，求yy x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. 专题二、定理及推论与中点有关的问题d kdc b kb a ±=±dc cb a a ±=±【例3】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（）A.52B.1C.32D.2【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d cba =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ΛΛ4、若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________.5、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15平行线分线段成比例定理及其推论一. 平行线分线段成比例定理如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=._______,341=+=bb a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,213=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEEDC B A图（1） 图（2）二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例的性质及其应用
x x 3、若3 x = 2 y , 则 = _____ 4、若mx = ny , 则 = _____ y y
5、若2 x = 5 y , 则下列比例式成立的是 （
x y A) = 2 5 x y B) = 5 2
x 2 应用举例
x− y 2 6、若 = , 则 x : y = ________ x+ y 3 x −1 y −1 7、若 , 则 x : y = ________ = x y
a+b a+c b+c 5、若a + b + c ≠ 0, 设 = = = k , 则k = _______ c b a a b c 6、若 = = = k , 则k = _______ b+c a+c a+b
（其中 b + d + f ≠ 0, b + 2d + 3 f ≠ 0)
等比性质的应用举例
a c e 2 3、若 = = = , 且a + c + e = 4，则 b + d + f = ____ b d f 3 （其中 b + d + f ≠ 0)
a b c 4、已知△ ABC的三边分别为 a、b、c，且满足 = = 已知△ b c a 则△ ABC的形状是 _______
x + 2y + z 5、已知 x : y : z = 1 : 2 : 3, 则 = ______ z− x
x y z 6、已知 = = , 且2 x + y − z = 4, 则 x + y + z = ______ 2 3 5
x+z 7、若2 x = 3 y = 4 z , 则 x : y : z = ______; = ____ x− y
比例的性质
比例的性质文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]比例的性质或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢我想没有。
来吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。
什么是比比：两个数相除又叫做两个数的比比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。
比只有两个项：比的前项和后项。
比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。
知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质一、合比性质1、合比性质的用途合比性质是数学计算中常用的性质之一，属于中的三大性质之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。
主要运用于等计算。
2、合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。
字母：已知，且有，如果，则有。
3、推导过程4、典型例题如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF分析：欲证：DC·DF=BD·CF即证：DC/CF=BD/DF即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF若连结AF，则AF=DF故即证：AF/CF=BF/AF只需证△FAB∽△FCA证明：连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AF=DF∴∠FDA=∠FAD又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD∴∠B=∠CAF∴△FAB∽△FCA。
二、分比性质1、表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
字母：已知，且有，如果，则有。
2、推导过程三、合分比性质1、表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
合分比定理
合比性质和等比性质田伟德教学目的：1、掌握合比和等比性质，并会用它们进行简单的比例变形；2、会将合比与等比性质用于比例线段；3、提高学生类比联想推广命题的能力。
教学重点、难点：熟练并灵活运用合比、等比性质概念:【合比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。
即：如果a c b d =，那么(0,0)a b c d b d b d++=≠≠ 【分比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。
即：如果a c b d =，那么(0,0)a b c d b d b d--=≠≠ 【合分比定理】一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。
这叫做比例中的合分比定理。
即：如果a c b d =，那么(0,0,0,0)a b c d b d a b c d a b c d++=≠≠-≠-≠-- 【更比定理】一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例. 即：如果a c b d =，那么(0,0,0)a b b c d c d=≠≠≠ 推论: 如果312123123...(...0)n n na a a ab b b b b b b b ====++++≠ 那么()()12311231......n n a a a a a b b b b b ++++=++++教学过程： 一、用特殊化的方法探索合比性质1、复习平行线等分线段定理。
如图（1），已知一组平行线在直线l 上截得AB=BC=CD=DE=EF ，则由平行线等分线段定理可以得到，在l /截得的各对应线段也相等，即A /B /=B /C /=C /D /=D /E /=E /F /。
(a) 图（1） (b)2、将上述结论改写成比例形式，可以猜想结论：从图（1 a ）中分解出图（1 b ），由一组平行线可得出23////==F D D A DF AD 。
专题：比例线段与平行推相似定理(答案)有答案
初中数学.精品文档如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯专题：比例线段与平行推相似定理考点一 比例线段与比例的基本性质1．比例线段与比例中项若线段a ，b ，c ，d 满足： a b ＝cd，则称这四条线段成比例；若线段a ，b ，c 满足a ：b ＝b ：c ，则称b 叫a ，c 的比例中项． 2．比例的性质(1)基本性质：如果a b ＝cd，那么： ad ＝bc ．反之也成立；(2)合比性质：如果a b ＝cd ，那么：a ＋b b ＝ c ＋d d ；(3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么：a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝ a 1b 1 .【例1】1．下列各选项中的四条线段成比例的是( D ) A ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝232．若mn ＝ab ≠0，则下列比例式中错误的是( C )A ．a m ＝n bB ．a n ＝m bC ．m a ＝n bD ．m a ＝b n3．若a=3，b=6，且b 是a 和c 的比例中项，则c=__12__．4．若x 2＝y 3＝zm (x ，y ，z 均不为0)，x ＋2y －z z ＝1，则m =__4__．5．若c a ＋b ＝a b ＋c ＝b a ＋c＝k ，则k 的值为 12或－1 ．6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．2 2cm 或2cm 或22 cm ．考点二 黄金分割1．黄金分割的相关概念(如下图)(1)黄金分割点：如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP >PB ，且____________，则称线段AB 被点P _________；(2)黄金分割比：黄金比APAB ＝________≈________．【例2】1．已知C 是AB 的黄金分割点(AC >BC )，下列结论错误的是( B ) A ．AC AB ＝BC ACB ．BC 2＝AB ·AC C ．ACAB ＝5－12D ．BCAC≈0．618 2．宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( D )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH3．如图1，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ．若S 1是以P A 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则S 1 ＝ S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．图14．如图2，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 长为20 m ，试计算主持人站到离A 点多远处主持节目较为合适． 10(5－1)m 或(30－105)m图2考点三 平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________． 2．平行线分线段成比例推论：________三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例 ．【例3】1．如图3，l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与DF 交于点O ，且与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则下列比例式不正确的是( D )A ．AB BC ＝DE EF B ．AB BO ＝DE EO C ．OB OC ＝OE OFD ．OD OF ＝OA AB图32．如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( C )初中数学.精品文档A ．AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BDC ．BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝ACEC图43．如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD 、边BC 、边DC 的延长线于点E ，F ，G ． 求证：EA 2＝EF ·EG ．证明：由AB ∥GD ，得EA EG ＝BEED．由AD ∥BF ，得BE ED ＝EFEA，∴EA EG ＝EFEA ，∴EA 2＝EF ·EG ．4．如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ． (1)求证：AF ·BD ＝AD ·FD ；(2)若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求FD 的长．解： (1)证明：∵EF ∥CD ，∴AF FD ＝AEEC．∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AEEC，∴AF FD ＝AD BD． (2)∵AD ：BD ＝2：1，∴BD ＝12AD ．∵AB ＝15，∴AD ＋12AD ＝15，∴AD ＝10．∵AF ：FD ＝AD ：BD ，∴AF ：FD ＝2：1， ∴AF ＝2FD ． ∵AF ＋FD ＝10，∴2FD ＋FD ＝10，∴FD ＝103．考点四 平行线分三角形相似定理1．平行线分三角形相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形________．【例4】1．如图5，在△ABC 中，D ，E 分别在AB 边和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则( C )A ．AD AN ＝AN AEB ．BD MN ＝MN CEC ．DN BM ＝NE MCD ．DN MC ＝NE BM图52．如图6，在□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交CD 于点G ，则下列结论中错误的是( D ) A ．△ABE ∽△DGE B ．△CGB ∽△DGE C ．△BCF ∽△EAF D ．△ACD ∽△GCF图63．如图7，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1，则AE ：EC 为( C ) A ．5：2 B ．4：1 C ．2：1 D ．3：2图74．如图8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF ：FC 的值是( A ) A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．3：5图85．如图9，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__65__．图96．如图10，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上初中数学.精品文档一点，且AEEB＝16，射线CF交AB于E点，则AFFD等于__13__．图107．如图，点M，N分别在△ABC的边AB，AC上，MN∥BC，过顶点A作BC的平行线PQ分别交CM和BN的延长线于点P 和点Q．试判断线段AP与AQ之间的数量关系，并说明理由．解：AP=AQ．理由：∵MN∥BC，PQ∥BC，∴PQ∥MN∥BC，∴．∵MN∥AQ，∴△BMN∽△BAQ，∴，同理，∴，∴AP=AQ．※课后练习1．若b是a和c的比例中项，c是b和d的比例中项，则下列各式中不一定成立的是(B)A．ab＝bc B．ad＝bc C．bc＝cd D．ab＝cd2．如图1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F．已知ABAC＝13，则(C)A．ABBC＝13B．DEEF＝13C．DEEF＝12D．DEDF＝14图13．如图2，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD 的延长线于点E，则下列结论错误的是(C) A．EDEA＝DFAB B．EDBC＝EFFB C．BCDE＝BFBE D．BFBE＝BCAE图24．如图3，在□ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则EF：EA为(B) A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2图35．如图4，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为(B)A．5－12B．5＋12C． 5 D．2图46．已知a2＝b3＝c5≠0，则3a＋2b－2c2a－b＋c的值为13．7．如图5，E是□ABCD的边AD上的一点，且AEDE＝32，CE交BD于点F，BF＝15 cm，则DF的长为 6 cm．图58．如图6，菱形BEFD的顶点E，F，D在△ABC的边上，且AB＝18，AC＝BC＝12，则菱形的边长为7.2 ．图6 9．如图7，在△ABC中，D在AC边上，DC＝2AD，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝ 1：3 ．图710．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金比)．如图8，△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形．已知AB ＝1，则DE 的长为 3－52．图811．如图，已知EC ∥AB ，∠EDA ＝∠ABF ．求证： (1)四边形ABCD 是平行四边形； (2)OA 2＝OE ·OF ．证明：(1)∵EC ∥AB ， ∴∠EDA ＝∠DAB ． 又∵∠EDA ＝∠ABF ， ∴∠DAB ＝∠ABF ． ∴AD ∥BC ． 又∵DC ∥AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形． (2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ． ∴OA OE ＝OB OD ． ∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ． ∴OB OD ＝OF OA ． ∴OA OE ＝OF OA ． ∴OA 2＝OE ·OF ．12．如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB ，BD ，AC 于点E ，F ，G ．若AD ＝6，BC ＝10，AE ＝5，AB ＝8．求EG 和FG 的长．解：在△ABC 中，∵EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ， ∴EG BC ＝AE AB ，即EG 10＝58， 解得EG ＝254，∵EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ， ∴EF AD ＝BE BA ，即EF 6＝8－58， 解得EF ＝94，∴FG ＝EG －EF ＝254－94＝4．13．如图，在△NBE 中，点D ，C 分别在NE 和NB 上，DC ∥BE ，延长BE 到点A ，使AE ＝BE ，连接AD ，AC ，AC 交EN 于点M ．求证：DM ·NE ＝ME ·DN ．证明：∵DC ∥BE ，点A 在BE 延长线上， ∴△NDC ∽△NEB ，△DCM ∽△EAM ， ∴DN NE ＝DC BE ，DC AE ＝MD ME， 又∵BE ＝AE ，∴DN NE ＝MDME，∴DM ·NE ＝ME ·DN ．14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N ． 求证：BM ＝MC ． 证明：∵DE ∥BC ， ∴△NEO ∽△MBO ． ∴NE MB ＝ON OM． 同理可得DN CM ＝ONOM ．∴DN CM ＝NE BM ． ∴DN NE ＝CM BM ． ∵DE ∥BC ，∴△ANE ∽△AMC ． ∴AN AM ＝NE MC． 同理可得AN AM ＝DNBM ．∴DN BM ＝NE MC ． ∴DN NE ＝BM MC ． ∴MC BM ＝BM MC ． ∴MC 2＝BM 2． ∴BM ＝MC ．15．探究与应用型问题(1)小明遇到一个问题：如图①所示，AD 是△ABC 的角平分线．求证：BD CD ＝ABAC．他通过思考发现：过点B 作BE ∥AC 交AD 的延长线于点E ，通过证三角形相似，可以解决问题(如图②)．请证明：BD CD ＝ABAC．(2)请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，AC 与BD 相交于点O ．则： ①AO OC ＝________；②ODCD ＝________．解：(1)证明：∵BE ∥AC ，BE 交AD 的延长线于点E ， ∴△BDE ∽△CDA ，∠E ＝∠DAC ， ∴BD CD ＝EB AC． 又∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠E ＝∠DAC ＝∠BAD ， ∴EB ＝AB ， ∴BD CD ＝AB AC ． (2)①13 ②32。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例一、教学目标1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行比例计算。
3. 能够解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 合比性质：如果四个数a, b, c, d满足a + b = c + d，它们可以组成两个比例a:b = c:d和b:a = d:c。
2. 等比性质：如果四个数a, b, c, d满足a b = c d，它们可以组成两个等比a:b = c:d和b:a = d:c。
三、教学重点与难点1. 合比性质的理解和运用。
2. 等比性质的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解合比性质和等比性质的概念及运用方法。
2. 采用例题讲解法，通过具体例题讲解合比性质和等比性质的运用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：讲解比例的概念，引导学生思考比例的性质。
2. 讲解合比性质：介绍合比性质的定义，讲解合比性质的运用方法。
3. 讲解等比性质：介绍等比性质的定义，讲解等比性质的运用方法。
4. 例题讲解：选取典型例题，讲解合比性质和等比性质的运用。
5. 练习：布置练习题，让学生运用合比性质和等比性质进行计算。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调合比性质和等比性质的运用方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对合比性质和等比性质的理解程度，以及运用性质进行比例计算的能力。
2. 练习题解答：评价学生对课堂所学知识的掌握程度，以及解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对所学知识的巩固程度，以及运用合比性质和等比性质解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 教学过程中是否有效地讲解了合比性质和等比性质的概念及运用方法？2. 学生是否积极参与课堂讨论和练习，展现出对比例性质的理解和运用能力？3. 针对学生的学习情况，是否需要调整教学方法和教学内容？八、拓展与延伸1. 合比性质和等比性质在实际生活中的应用：举例说明合比性质和等比性质在解决实际问题中的应用，如商业、工程等领域。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍教学目标：1. 理解合比性质的定义和意义。
2. 学会运用合比性质进行比例计算。
教学内容：1. 引入比例的概念，复习比例的基本性质。
2. 讲解合比性质的定义和表达式。
3. 通过例题演示合比性质的应用。
教学活动：1. 引导学生复习比例的基本性质。
2. 引入合比性质的概念，解释其意义。
3. 引导学生通过例题观察和分析合比性质的应用。
章节二：合比性质的应用教学目标：1. 掌握合比性质的应用方法。
2. 能够灵活运用合比性质解决实际问题。
教学内容：1. 复习合比性质的定义和表达式。
2. 讲解合比性质的应用方法。
3. 通过例题演示合比性质在不同情境下的应用。
教学活动：1. 复习合比性质的定义和表达式。
2. 讲解合比性质的应用方法，引导学生进行思考和讨论。
3. 提供不同情境的例题，引导学生运用合比性质进行计算和解决。
章节三：等比性质介绍教学目标：1. 理解等比性质的定义和意义。
2. 学会运用等比性质进行比例计算。
教学内容：1. 引入比例的概念，复习比例的基本性质。
2. 讲解等比性质的定义和表达式。
3. 通过例题演示等比性质的应用。
教学活动：1. 引导学生复习比例的基本性质。
2. 引入等比性质的概念，解释其意义。
3. 引导学生通过例题观察和分析等比性质的应用。
章节四：等比性质的应用教学目标：1. 掌握等比性质的应用方法。
2. 能够灵活运用等比性质解决实际问题。
教学内容：1. 复习等比性质的定义和表达式。
2. 讲解等比性质的应用方法。
3. 通过例题演示等比性质在不同情境下的应用。
教学活动：1. 复习等比性质的定义和表达式。
2. 讲解等比性质的应用方法，引导学生进行思考和讨论。
3. 提供不同情境的例题，引导学生运用等比性质进行计算和解决。
章节五：综合练习教学目标：1. 巩固合比性质和等比性质的概念和应用。
2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 提供综合练习题目，包括合比性质和等比性质的应用。
上海初中数学知识点之梯形中位线定理
When your heart is tired, take a rest.勤学乐施积极进取（页眉可删）上海初中数学知识点之梯形中位线定理梯形中位线定理—上海初中数学知识点图形知识大放送：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
那么下面为大家带来的是上海初中数学知识点大全之梯形中位线定理，希望大家做好笔记了。
梯形中位线定理L=(a+b)÷2 S=L×h1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果 ad=bc ,那么a:b=c:d2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d3)等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b初中数学知识点大全之梯形中位线定理，相信大家肯定都已经融会贯通了吧，接下来还有更多的精彩知识尽在哦。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
4.1.2合比性质和等比性质-修正
试一试
• 已知:在下图中的Δ ABC中
求证：1） 2）
a c e ace a , 那么 成立吗? 为什么? b d f bd f b
比例的等比性质.
a c m a c m a 如果 (b d n 0)，那么 b d n b d n b
1、形状完全相同的两个图形叫做相似图形。 2、两条线段的比指的就是这两条线段的长度的比。 3、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另 外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称为成比例线段。
比例的基本性质
比例的基本性质是什么样的? 如果
a c b d
，
那么 ad=bc
(b,d≠0)
a b c
则k= 2
。
bc ac ab 2或-1 k ，则k=________ 5.若 a b c
2、 已知 求2a-c+5e。
，且2b-d+5f=18，
a c e 2.已知 3 ，且2b-d+5f=18， b d f 求2a - c + 5e。
a c e 解法一：∵ 3 b d f
用用等比性质
x yz 1、已知 x : y : z 3: 5 : 7，求 x yz
2、已知 求 3、已知
a c e 1 b d f 2
，且 b d f 0 。 的值。 ,b＋d＋f＝4，
ace bd f
求 a＋ c＋ e。
例题分析 bc ac ab k ， 1. 若a+b+c≠0，
a 3b, c 3d , e 3 f 2a c 5e 2 3b 3d 5 3 f 3(2b d 5 f ) 3 18 54
黄金比例
学习的三个比例性质：
（1）比例的基本性质
↔ a c
bd
ad＝bc.
（2）合（分）比性质
ac bd
ab cd
bd
a b b
c d d
（3）等比性质
如果 a1 a2 .... an
b1 b2
bn
那么 a1 a2 a n
b1 b2 bn
A
C
B
C BA
在礼品包装中，也经常用到黄金分割．
古希腊巴台农神庙
巴黎圣母院
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在 古典及现代建筑中都有广泛的应用．
著名画家达•芬奇的旷世名 作《蒙娜丽莎》的构图完美的 体现了黄金分割在油画艺术上 的应用．
1．这节课我们研究了哪些问题？
2．我们在研究这些问题时，经历了怎样的过程 ？
雕塑－－维纳斯
人的俊美,体现在头 部及躯干是否符合黄金 分割.
美神维纳斯，她身 体的各个部位都暗藏比 例0.618，虽然雕像残 缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
B C
A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割， 看起来就越美．
京剧演员经常选择舞台宽度的一个黄金分割 点作为出场亮相的位置．
A CB
3．通过这个研究过程，你有什么感受和体会？
1．习题22.1第3、4题.
2.分组搜集黄金分割资料，制 作剪贴报．其中包含一幅利用黄 金分割的构图方法摄制的摄影作如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上的一点，
且使AB:AP=AP:BP,求线段AP的长和AP:AB的值
解：设AP=x，那么PB=a-X
A
依题意，得方程
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x y
8 9
.
比例合比性质：
如果
ac bd
，那么 a b c d ； bd
例：已知在下图中的
ABC
中，DADB
AE EC
求证: (1) AB AC
DB EC
(2)
AD AE AB AC
问题1
已知
AD DB
AE EC
AB ，求证：（1）DB
AC EC
；
AB
（2）AD
AC AE
证明：（1）
bn
0)
?
a1
a2
an
a1
b1 b2 bn b1
注：用“设k法”解决
1. 已知
a b
c d
e f
3
,b＋d＋f＝4，
求a＋c＋e。
解：∵
a+c+e b+d+f 3
b d f 4
∴ a c e 3
4
即 a+c+e = 4×3 = 12
2.已知 a c e 3 ，且2b-d+5f=18， bd f
4. 若a+b+c≠0，
b c a c a b k ，则k= 2 。
a
b
c
5.若 b c a c a b k 则k=__2_或__-_1__
ab c
22.1比例的合比、等比性质
用”设k法”计算新比例
(1)
已知a b
c d
3,
求
ab b
和
cd d
;
(2)
如果ba
c d
k(k为
常 数),
那么
,a
b
b
c
d
d
成立吗 ?
法二证明∵ a c bd
在等式两边同加上1，
∴ a 1 c 1 bd
∴ ab cd
b
d
(b, d 0)
(3)
如果
a b
c d
.
AD
AE
，
AD
DB
AE
EC
DB EC
DB
EC
A
（合比性质），即
AB DB
AC EC
.
D
E
（2） AD AE ， DB EC ，
DB EC AD AE
B
C
DB AD EC AE（合比
AD
AE
性质），即 AB AC .
AD AE
比例的等比性质
a1 b1
a2 b2
an bn
(b1 b2
2a c 5e 3(分式的基本性质） 2b d 5 f
2a c 5e （3 等比的性质） 2b d 5 f
2a c 5e 3 18
2a c 5e 54
3.比例尺就是图上长度与实际长度的比。
现有一张比例尺为1:5000的图纸上，量得 一个△ABC的三边：AC=3cm，BC=4cm， AB=5cm，问这个图纸所反映的实际 △A’B’C’的周长是多少？
,
那么a b b
Байду номын сангаас
c
d
d
成立吗?
为什么?
比例的合比性质
(1)
a b
c d
a
b
b
cd d
;
比例的分比性质
(2)
a b
c d
a
b
b
c
d
d
.
特点:分母不变,分子加(或减)分母
比例的合比性质
如果
a c ，那么 bd
ab cd
b
d
1、已知 a 2 ，则 a b
b3
b
5 3
.
2、若 x y 17 ，则
求2a - c + 5e。
解法一：∵ a c e 3 bd f
a 3b, c 3d, e 3 f
2a c 5e 2 3b 3d 5 3 f
3(2b d 5 f )
318 54
2.已知 a c e 3，且2b-d+5f=18， bd f
求解2法a二-：c由+已5知e得。：