二次函数的应用(最值问题)

二次函数的应用（最值问题）

教学目标：

知识与技能：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质解决简单的实际问题。能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题。

过程与方法：

1、能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活。

2、从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值“问题之间的联系，体会”数形结合“的思想。

情感态度：通过用二次函数解决实际生活中的问题，体验函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系。

重点：应用二次函数解决实际生活及几何图形中有关的最值问题。

难点：

1、正确构建数学模型。

2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用。

教学方法与手段：

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启

发探究式“为主线开展教学活动，解决问题。以学生动手动脑探究为主，必要时加以

小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到”不

但使学生学会，而且使学生会学“的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程：

一、复习导入：

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条＿＿＿,他的对称轴是﹍﹍，顶点坐标是﹍﹍。

2、当a＞0时，抛物线开口向﹍，有最﹍点，当x=﹍时，函数有最﹍值是﹍﹍；当a＜0时，抛物线开口向﹍，有最﹍点，当x=﹍时，函数有最﹍值，是﹍﹍。

二、探究问题

问题一：利润最值问题

提问：利润公式？利润=（售价-进价）×销售量

出示问题：

小丽、小强和小红到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作。已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。

小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。

小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克。

小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元。

（1）请根据他们的对话填写下表

（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系？并求y(千克)与x(元)的函数关系式。

（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x之间的函数关系式。当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元?

(4)若物价部门规定，这种水果的售价不能高于11元/千克，当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？

让学生小组活动，并让学生说出每一个信息是由哪一句话得出的？如何想的？然后独立求出解析式并小组订正，最后独立求出最值，集体板演订正。最后一问教师引导得出。

小结：对于二次函数求最值问题应设一个量为自变量x,所求问题为函数，建立二次函数模型，写出函数关系式。要注意自变量的取值范围，在取值范围内利用顶点或端点求最值。

问题二：线段长度最值问题

如图，抛物线y=-5/4x2+17/4x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于

另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点 C（3，0）。

（1）求直线AB的函数关系式

（2）动点P在线段OC上从原点出发

以每秒一个单位的速度向C移动，过点P

作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物

线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN

的长度为s个单位，求s与t的函数关系

式，写出t的取值范围，并求s的最大值。

第一问让学生独立完成，小组订正结果。第二问引导学生思考求MN长度应用哪个知识点？

问题三：图形面积最值问题

如图，对称轴为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设△CBP的面积为S，求S的最大值;并求此时点P的坐标。

第一问学生独立完成，第二问学生讨论得出不同的思考方法，锻炼学生的发散思维及多种思路解决问题的能力。

三、课堂小结

对于二次函数求最值问题，应设一个量为自变量x，所求问题为函数，建立二次函数模型，写出函数关系式，利用顶点或端点求最值。

四、作业检测：

1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。

（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成

花圃的最大面积？

2、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时， S有最小值？并求出最小值；