高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总

1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解（1）如图,由题意知AC⊥BC,,

其中当时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数

有最小值

（注：该题可用基本不等式求最小值。）

2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。

（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.

（1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10].

（2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k)

＝(x－11)[3x－(17＋2k)].

由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分)

因为1≤k≤3，所以≤≤.

①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分)

②当7<≤，即2

即当1≤k≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－k)万元.当2

3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另

投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产该产品能全部销售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少

•解．（Ⅰ）

（Ⅱ）当

∴当

当时

∴当且仅当

综上所述，当最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大

4.某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：

①职工工资固定支出元；②原材料费每件40元；

③电力与机器保养等费用为每件元，其中是该厂生产这种产品的总

件数.

（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额—总的成本）

•(Ⅰ) ，成本的最小值为元(Ⅱ) 当

时,

解析:

（1）……2分

由基本不等式得……4分

当且仅当，即时，等号成立…6分

∴，成本的最小值为元．………7分

（2）设总利润为元，则………9分

……12分

当时,………13分

答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元. (14)

5.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半

球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为

.设该容器的建造费用为千元.

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的

【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).

（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.

6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．

（1）求的值及的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，

由,∴,∴……2分

而隔热层建造费用为……4分

最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为

……6分（2），令，则

所以，……8分

（当且仅当,即时，不等式等式成立）……10分

故是的取得最小值，对应的最小值为

……13分

答：当隔热层修建厚时，总费用达到最小值万

7.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB上，E在AC上.

（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里

（3）如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？

解：（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－

2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①

又S △ADE＝ S△ABC＝a2＝x·AE·sin60°

x·AE＝2.②

②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝

（1≤x≤2）……4分.

（2）如果DE是水管y＝≥,

当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝……8分