2016届百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第五模拟)(解析版)课件
2016年新课标Ⅰ高考压轴卷理科数学(含答案)
2016年新课标Ⅰ高考压轴卷 理科数学 2016.5第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1已知集合M ＝{1，2，3，4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为 A ．8 B ．4 C ．3 D ．22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅= A. 13i B. 13i - C. 1312i + D. 1213i +3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法A.10B.16C.20D.244.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为A.2-B.3-C.2D.35.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 A ．B ．C ．D ．6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.47. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b = A. 45B. 47C. 49D. 518.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是A.24πB.12π C. 8π D. 1124π9已知函数()2016x f x =+)2016log 20162x x --+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. ()0,+∞D.(),0-∞10 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y≥0，x≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值范围是 A ．[－2，1] B ．[－1，3] C ．[－1，2] D ．[2，3]11. .过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为A. 10B. 13C. 16D. 1912. 已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14. F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+uu u r uu r uuu r ，21()2OC OA OF =+uuu r uu r uuu r 则||||OB OC +u u u r u u u u r＝ .15过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度____________. 16.设数列{a n }是首项为0的递增数列，11()|sin()|,[,],n n n n f x x a x a a n N n*+=-∈∈，满足：对于任意的b ∈[0，1），()n f x b =总有两个不同的根，则{a n }的通项公式为 _________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）如图，点P 在△ ABC 内，AB=CP=2，BC=3，∠ P+∠B=π，记∠B=α． （I ）试用α表示AP 的长；（II ）求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．18. （本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（I ）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （II ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD ．中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ⊥CD ，AB= 2AD =2CD =2．E 是PB 的中点． （I ）求证；平面EAC ⊥平面PBC; （II ）若二面角P-AC-EPA 与平面EAC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p py x C ，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16||=MN ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点D (0，4)，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且||||DB DA <，求的最小值．21（本小题满分12分）已知函数f （x ）=（x 2﹣3x+3）•e x ，设t ＞﹣2．（Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数f （x ）在[﹣2，t]上为单调函数； （Ⅱ）求证：对于任意的t ＞﹣2，总存在x 0∈（﹣2，t ），满足20)1(32)('f 0-=t ex x ，并确定这样的x 0的个数．||||DA DB请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本题10分）选修4—1：平面几何选讲如图，A ，B 是O 上的两点，P 为O 外一点，连结PA ，PB 分别交O 于点C ，D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使∠PEB =∠PAB ．（1）求证：PE PD =；（2）若1AB EP ==，且120BAD ∠=︒，求AP ． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．（24) （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 设不等式112<-x 的解集为M , 且M b M a ∈∈,.(Ⅰ) 试比较1+ab 与b a +的大小;(Ⅱ) 设A max 表示数集A 中的最大数, 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=b abb a ah 2,,2max , 求h 的范围.压轴卷理科数学答案13. -80 14. 6 15.R a 362=16.17.解：（1）△ABC 与△APC 中，AB=CP=2，BC=3，∠ B=α，∠ P=π﹣α，由余弦定理得，AC 2=22+32﹣2×2×3cos α，① AC 2=AP 2+22﹣2×AP ×2cos （π﹣α），②由①②得：AP 2+4APcos α+12cos α﹣9=0，α∈（0，π）， 解得：AP=3﹣4cos α；（2）∵AP=3﹣4cos α，α∈（0，π）， ∴S 四边形ABCP =S △ABC ﹣S △APC =×2×3sin α﹣×2×APsin （π﹣α） =3sin α﹣（3﹣4cos α）sin α=4sin α•cos α=2sin2α，α∈（0，π），则当α=时，S max =218.解:(1) 2200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分)(2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.由于~(5,)5X B ，则525EX =⨯=； 2265(1)555DX =⨯⨯-=. (12分)19（I ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB ＝2，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝BC ＝，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC 平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． -----------4分(II )如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．设P (0，0，a )（a ＞0），则E (12，－12，a2)， -----------6分＝(1，1，0)，＝(0，0，a )， ＝(12，－12，a 2)， 取m ＝(1，－1，0)，则m ·＝m ·＝0，m 为面PAC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为面EAC 的法向量，则n ·＝n ·＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)， 依题意，|cos <m ，n >|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝33，则a ＝1．-----------10分于是n ＝(1，－1，－2)，＝(1，1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos <m ，n >|＝32． 20． 解：(1) 设抛物线的焦点为)2,0(p F ，则直线2:p x y l +=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222，得0222=--p px x ………………………2分p x x 221=+∴，p y y 321=+∴，164||21==++=∴p p y y MN ，4=∴p ………………………4分 ∴抛物线C 的方程为y x 82= ………………………5分(2) 设动圆圆心)0,(),0,(),,(2100x B x A y x P ，则0208y x =， 且圆20202020)4()()(:-+=-+-y x y y x x P ，令0=y ，整理得：01622002=-+-x x x x ，解得：4,40201+=-=x x x x ， ………………………7分32816132832816)4(16)4(||||02000200202020++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x DB DA ，…………9分 当00=x 时，1||||=DB DA ，当00≠x 时，0328161||||x x DB DA ++-=，00>x ，283200≥+∴x x ，12223288161||||-=-=+-≥DB DA ，112<- 所以||||DB DA 的最小值为12-． ………………………12分 21解：（1）因为f ′（x ）=（2x ﹣3）e x+（x 2﹣3x+3）e x， 由f ′（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜0， 由f ′（x ）＜0⇒0＜x ＜1， ∴函数f （x ）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 要使函数f （x ）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t ≤0，（2）证：∵02000()x f x x x e '=-，∴020()2(1)3x f x t e '=-， 即为x 02﹣x 0=22(1)3t -，令g （x ）=x 2﹣x ﹣22(1)3t -，从而问题转化为证明方程g （x ）=222(1)3x x t ---=0在（﹣2，t ）上有解并讨论解的个数，因为g （﹣2）=6﹣22(1)3t -=2(2)(4)3t t --+，g （t ）=t （t ﹣1）﹣22(1)3t -=2(2)(1)3t t +-， 所以当t ＞4或﹣2＜t ＜1时，g （﹣2）•g （t ）＜0，所以g （x ）=0在（﹣2，t ）上有解，且只有一解， 当1＜t ＜4时，g （﹣2）＞0且g （t ）＞0， 但由于g （0）=24(1)3t --＜0，所以g （x ）=0在（﹣2，t ）上有解，且有两解， 当t=1时，g （x ）=x 2﹣x=0，解得x=0或1， 所以g （x ）=0在（﹣2，t ）上有且只有一解，当t=4时，g （x ）=x 2﹣x ﹣6=0，所以g （x ）=0在（﹣2，t ）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t ＞﹣2，总存在x 0∈（﹣2，t ），满足020()2(1)3x f x t e '=- ， 且当t ≥4或﹣2＜t ≤1时，有唯一的x 0适合题意， 当1＜t ＜4时，有两个x 0适合题意.22.解：（1）连结DC ，因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠,ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =, 所以ADB ABD ∠=∠, 所以PCD PCE ∠=∠.由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠,所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =, 所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.(2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠ 所以ABC ∆∽APB ∆, 则)(2PC AP AP AC AP AB-=⋅=,所以)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP +=⋅=⋅=-又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP ,所以322+=AP .所以262+=AP .23．解：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又c o s ,s i n x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q 的极坐标，2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2.24（Ⅰ）}{10|<<=x x M ，,,M b a ∈∴ba ab b a b a ab +>+∴>--=--+10)1)(1(1（Ⅱ）Q bh abb a h ah 2,,2≥+≥≥∴824)(4)(4223=⨯≥+>+≥ababab b a ab b a h ∴()+∞∈,2h .10,10<<<<ba。
百校联盟2016年浙江省高考最后一卷(押题卷)理科数学(第五模拟)(解析版)
百校联盟2016年浙江省高考最后一卷（押题卷）理科数学(第五模拟)一、选择题：共8题1．“θ=”是“tan 4θ=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题以三角函数为载体,考查充要关系的判断,属于基础题.tan 4θ=⇔4θ=kπ+(k∈Z)⇔θ=+(k∈Z),从而“θ=”是“tan 4θ=”的充分不必要条件,故选A.2．下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是A.y=log2(x+5)B.y=()xC.y=-D.y=-x【答案】A【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用,属于基础题.y=log2(x+5)在区间(0,+∞)上为增函数,满足题意;y=()x在区间(0,+∞)上为减函数,不满足题意;y=-在区间(0,+∞)上为减函数,不满足题意;y=-x在区间(0,+∞)上是减函数,不满足题意.故选A.3．如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】本题考查由三视图求几何体的体积,其中根据三视图判断出几何体的形状是解题的关键.由三视图可知该几何体为放倒的四棱柱,其底面边长为2+=3,底边上的高为,故底面积S=3×=3,又棱柱的高为3,故V=3×3=9,故选B.4．已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,F2与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,P为双曲线右支上一点,PF1⊥PF2.若向量在向量上的投影为,则e2=A.16-B.16+4C. D.10±4【答案】B【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质,射影定理的应用,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),又抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(,0),则p=2c.过P作PG 垂直于x轴,垂足为G,则由射影定理得|PG|2=··,∴|PG|=,∴点P的坐标为(),又点P在双曲线上,∴=1,结合a2+b2=c2得c2(c2-a2)-15a2c2=16a2(c2-a2),即c4-32a2c2+16a4=0,∴e4-32e2+16=0,解得e2=16±4,又e>1,∴e2=16+4.5．已知f(n)=为正奇数为正偶数,且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+…+a2 016=A.0B.2 016C.-2 016D.1 008【答案】B【解析】本题考查数列中前2 016项的和的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意n 的奇偶性的合理运用.∵f(n)=为正奇数为正偶数,且a n=f(n)+f(n+1),∴当n为奇数时,a n=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1,a n+1=f(n+1)+f(n+2) =-(n+1)2+(n+2)2=2n+3,∴a n+a n+1=2,∴a1+a2=2,a3+a4=2,…,a2 013+a2 014=2,a2 015+a2 016=2,∴a1+a2+…+a2=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 013+a2 014)+(a2 015+a2 016)=1 008×2=2 016.故选B.0166．如图,已知点M是边长为2的正六边形ABCDEF的内切圆上一动点,则·的取值范围是A.[-2,8]B.[-1,11]C.[-1,8]D.[-,4]【答案】B【解析】本题考查圆的方程、向量的坐标运算及向量的数量积等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.如图所示,建立平面直角坐标系,取线段CD的中点P,连接OP,由于正六边形ABCDEF的边长为2,则|OP|=,设点M(x,y),内切圆的方程为x2+y2=3,故-≤y≤.易知点A(-1,-),B(1,-),所以·=(-1-x,--y)·(1-x,--y)=-(1-x2)+=-1+3-y2+3+2y+y2=2y+5,又-≤y≤,所以-1≤2y+5≤11,即·的取值范围是[-1,11].7．已知定义在R上的函数f满足f=-f,当x∈[0,4)时,f=|x2-2x+|.若函数y=f-m在区间[-3,5]上有8个互不相同的零点,则实数m的取值范围是A.(0,)B.(0,1]C.(,1)D.[,1]【答案】A【解析】本题考查函数的零点,考查考生的数形结合思想.由于定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,作出函数f(x)在[-3,5]上的图象和直线y=m如图所示,从图象可以看出,实数m的取值范围为(0,).8．已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|x2+y2≤2,x,y∈Z},定义集合A◆B={(x2-x1,y2-y1)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A◆B中元素的个数为A.15B.18C.21D.24【答案】C【解析】本题考查平面区域及其整点问题、新定义运算和考生分析问题、解决问题的能力.解题的关键有三:一是准确地找出集合A,B所表示的平面区域内的整点,二是弄清新定义集合的意义,三是分类讨论思想、数形结合思想的灵活运用.通解由题意知,A={(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(0,0)},B={(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1 )}.所以由新定义集合A◆B可知,当x1=±1,y1=0时,x2-x1的值可以为-2,-1,0,1,2,y2-y1的值可以为-1,0,1,所以此时A◆B中元素的个数为5×3=15;当x1=0,y1=±1时,x2-x1的值可以为-1,0,1,y2-y1的值可以为-2,-1,0,1,2,这种情况和第一种情况除y2-y1的值取-2或2外均相同,即此时比第一种情况多出3×2=6个;当x1=0,y1=0时,A◆B=B,此时所有结果全部包含在以上两种情况中,故A◆B中元素的个数为15+6=21.优解由题意知,A={(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(0,0)},B={(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1 )},集合B中的元素所对应的点构成正方形点阵,当x1=1,y1=0时,相当于将点阵中的点向左平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(-2,1),(-2,0),(-2,-1);当x1=-1,y1=0时,相当于将点阵中的点向右平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(2,1),(2,0),(2,-1);当x1=0,y1=-1时,相当于将点阵中的点向上平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(-1,2),(0,2),(1,2);当x1=0,y1=1时,相当于将点阵中的点向下平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(-1,-2),(0,-2),(1,-2);当x1=0,y1=0时,所得点阵就是原点阵,所以A◆B中元素的个数为9+3×4=21.二、填空题：共7题9．已知集合A={|m|,0},B={x∈Z|x2-2≤0},若A⊆B,则m=,∁B A=.【答案】±1{-1}【解析】本题考查集合之间的关系、集合的补运算,属于容易题.依题意得B={-1,0,1},又A⊆B,则|m|=1,故m=±1,A={0,1},∁B A={-1}.10．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,若平面ABCD内有且仅有1个点到顶点A1的距离为1,则异面直线AA1,BC1所成的角为.【答案】【解析】由题意可知,只有点A到A1距离为1,即高为1,所以该几何体是个正方体,异面直线AA1,BC1所成的角是.11．已知log2(x+y)=log2x+log2y-2,则=,3x+4y的最小值为.【答案】1228+16【解析】本题考查对数运算及基本不等式的应用等知识,难度中等.∵log2(x+y)=log2x+log2y-2=log2,∴=4,∴=12,且+,从而可得3x+4y=4(3x+ 4y)(+)=28+4(+)≥28+4×4=28+16,当且仅当x=4+,y=4+2时等号成立,故3x+4y的最小值为28+16.12．设a,b为两个不共线的非零向量,且a,b的夹角为锐角,若对任意的实数m,n,都有|a+mb|的最小值为1,|b+na|的最小值为2,a·b的最小值为4,则向量a,b的夹角的最大值是,的最小值是.【答案】 4【解析】本题考查平面向量的数量积、夹角、模等知识,考查考生的运算求解能力.设向量a与b的夹角为θ∈(0,),由向量的几何意义可知|a|sinθ=1,|b|sinθ=2,所以a·b= × cosθ=,易知当 cosθ最小时,a·b的最小值为4,得cosθ的最小值为,又θ∈(0,),所以向量a与b的夹角的最大值是,因为向量a与b的夹角为θ∈(0,],所以≥=4.13．已知函数f(x)=,则方程f(x)=2的解集是,函数f(x)在[0,3]上的值域为.【答案】{1-,4}[0,2)【解析】本题考查分段函数的值域、方程的解等知识,考查考生的数形结合思想及运算求解能力.当0≤x≤2时,由2x-x2=2可知,该方程无解;当x<0时,由x2-2x=2,得x=1-;当x>2时,f(4)=f(3)+1=f(2)+2=2,所以方程f(x)=2的解集是{1-,4}.作出函数f(x)的大致图象如图所示,由图可知,函数f(x)在[0,3]上的值域是[0,2).14．设变量x,y满足条件令s= lg (y+1)-lg x,则s的取值范围为.【答案】[0,lg]【解析】本题考查线性规划的知识,考查考生的运算求解能力.准确作出可行域,判断出s 的意义是解题的关键.作出不等式组确定的可行域如图中阴影部分所示.因为lg(y+1)-lg x=lg,设t=,显然t的几何意义是可行域内的点P(x,y)与定点E(0,-1)连线的斜率.由图可知当点P在点B处时,t取得最小值;当点P在点C处时,t取得最大值.由解得,即B(3,2);由解得,即C(2,4).故t的最小值为=1,t的最大值为,所以t∈[1,].又函数y=lg x为(0,+∞)上的增函数,所以lg t∈[0,lg],s的取值范围为[0,lg].15．设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若△ABC的面积为2,AB边上的中线长为,且b=a cos C+c sin A,则△ABC中最长边的长为.【答案】4或2【解析】本题考查三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,考查了考生的推理能力与计算能力.设D为AB的中点,∵b=a cos C+c sin A,由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+ C)=sin A cos C+cos A sin C,∴sin C sin A=cos A sin C,又sin C≠0,∴tan A=1,又A∈(0,π),∴A=.∵S△ABC=bc sin A=2,∴bc=4.在△ACD中,由余弦定理可得()2=b2+()2-2b×cos,即4b2+ c2=24,与bc=4联立可得b=,c=4或b=2,c=2.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos,将b=,c=4和b=2,c=2分别代入上式解得a=或2.∴△ABC的边长分别为,4或2,2,2.故△ABC的最长边的长为4或2.三、解答题：共5题16．已知函数f(x)=2cosω(x+)(ω>0).(1)若函数f(x)在[-]上单调递减,求ω的取值范围;(2)设ω=2,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-c=0在区间[0,]上有两个不相等的实数根,求实数c的取值范围.【答案】(1)由x∈[-]得x+∈[],因为ω>0,所以(k∈N).又当k∈N*时,12k≤ω≤无解,且ω>0,所以k=0,即0<ω≤,故ω的取值范围是(0,]. (2)由ω=2得,f(x)=2cos(2x+π)=-2cos 2x,由题意知,g(x)=-2cos[2(x+)]+1=2sin(2x+)+1.又x∈[0,],所以2x+∈[],关于x的方程g(x)-c=0在区间[0,]上有两个不相等的实数根等价于函数g(x)的图象与直线y=c在[0,]上有两个不同的交点,又g(0)=2sin+1=+1,g()=2sin+1=3,所以+1≤c<3.故实数c的取值范围是[+1,3). 【解析】本题考查三角函数的图象与性质、三角函数图象的平移变换等知识,考查考生综合分析问题、解决问题的能力.【备注】高考对三角函数与解三角形知识的考查以三角恒等变换、三角函数的图象和性质、利用正(余)弦定理解三角形为主.在研究三角函数的图象和性质时,一般先运用三角恒等变换将表达式转化为一个角的三角函数的形式,再根据正弦函数、余弦函数的图象与性质求解;对于三角函数与解三角形结合的题目,要注意通过正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等实现边角互化,求出相关的边和角17．如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点.(1)若CP=1,PD∥平面ACE,求PE的长;(2)若E是PB的中点,直线PA与平面ACE所成角的正弦值为,求二面角P-AC-E的大小. 【答案】(1)连接BD,交AC于点O,连接O E.∵PD∥平面ACE,PD⊂平面PBD,平面ACE∩平面PBD=OE,∴PD∥OE.在平面PBD中,易知△BOE∽△BDP,∴.在直角梯形ABCD中,易知△COD∽△AOB,∴,∴.∵PC⊥底面ABCD,AB=2AD=2CD=2,CP=1,AB⊥AD,∴BC=,BP=,∴PE=BP=.(2)以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),D(0,1,0),设P(0,0,a)(a>0),则E(,-),=(1,1,0),=(0,0,a),=(1,1,-a),=(,-).设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,z1),则,即,令x1=1,得y1=-1,z1=-,则m=(1,-1,-)为平面ACE的一个法向量.设直线PA与平面ACE所成的角为θ,∵直线PA与平面ACE所成角的正弦值为,∴sinθ=|cos<,m>|=,整理得a4-4a2+4=0,故a=.∴P(0,0,),=(0,0,),设平面PAC的法向量为n=(x2,y2,z2),则,即,∴n=(1,-1,0)为平面PAC的一个法向量.又m=(1,-1,-),∴cos<m,n>=,由图可知,二面角P-AC-E是锐角,故二面角P-AC-E的大小为.【解析】本题考查线面平行的性质,线面角、二面角的计算等知识,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.(1)利用线面平行的性质及三角形相似进行求解即可;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法进行求解.【备注】高考对立体几何的考查以空间点、线、面的位置关系和空间角为主,一般设置两问,属于中档题.其中利用向量法求解的关键是建立适当的空间直角坐标系,正确求出相关点的坐标、直线的方向向量与平面的法向量.18．已知函数f=3x,在数列{a n}、{b n}中,a1=1,b1=1,对任意的n∈N*,a n+1= ,b n+1-b n=.(1)求{a n}、{b n}的通项公式;(2)若对任意的实数λ∈[0,1],总存在自然数k,当n≥k时,b n≥f()恒成立,求k的最小值. 【答案】(1)∵a n+1=,∴a n+1=, ∴+2,∴数列{}是首项为1,公差为2的等差数列,∴=1+2(n-1)=2n-1,∴a n=.又b n+1-b n==2n-1,∴由累加法知,b n=n2-2n+2.(2)对任意的实数λ∈[0,1],b n≥f()恒成立⇔对任意的实数λ∈[0,1],n2-2n+2≥·3(2n-1)恒成立⇔对任意的实数λ∈[0,1],(2n-1)λ+n2-4n+3≥0恒成立.令h(λ)=(2n-1)λ+n2-4n+3,则h(λ)是关于λ的一次函数,∴对任意的实数λ∈[0,1],h(λ)≥0恒成立⇔对任意的实数λ∈[0,1],,即,解得n≤1或n≥3,n∈N*,∴k的最小值为3.【解析】本题主要考查数列的通项公式的求法及不等式恒成立等,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.19．设函数f(x)=(1)若方程f(x)=m有两个不同的解,求实数m的值,并解此方程;(2)当x∈(-b,b)(b>0)时,求函数f(x)的值域.【答案】(1)因为f(0)=0,f(1)=0,f()=-,当x<0时,f(-)=-.又函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以当m=0或m=-时,方程f(x)=m有两个不同的解.当m=0时,方程的解为x=0和x=1;当m=-时,方程的解为x=和x=-.(2)由(1)可知,函数f(x)的图象如图所示,①当0<b≤时,因为f(-b)-f(b)=-b(b+1)-b(b-1)=-b(49b-31)>0.所以此时函数f(x)的值域为(b(b-1),0].②当<b≤时,因为f(-b)≥f(),所以此时函数f(x)的值域为[-,0].③当<b≤1时,因为f(-b)<f(),且f(b)≤0,所以此时函数f(x)的值域为(-b(b+1),0].④当b>1时,因为f(-b)<f(),且f(b)>0,所以此时函数f(x)的值域为(-b(b+1),b(b-1))【解析】本题以分段函数为载体,考查方程的根的求解及分段函数的值域等知识,意在考查数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想方法的应用.20．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,半焦距为c,且b<c,P为椭圆C上任意一点,△PF1F2面积的最大值为3,且|PF1|·|PF2|的最大值为12.(1)若椭圆C的左顶点为A1,过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于A、B两点,求△A1AB面积的最大值及面积最大时直线AB的方程;(2)在椭圆C上是否存在点H,使得、、成等差数列?若存在,求出|HF1|与|HF2|的值;若不存在,请说明理由.【答案】由|PF1|·|PF2|≤()2=a2得a2=12,又·2c·b=3,故b2(a2-b2)=27,b2(12-b2)=27,故b2=3或b2=9(舍去),故椭圆C的方程为+=1.(1)易知椭圆C的右焦点为F2(3,0),①若直线AB垂直于x轴,则直线AB的方程为x=3,由得,此时△A1AB的面积为△ ·|A1F2|·×(2+3)×.②若直线AB不垂直于x轴,设直线AB的斜率为k,A(x1,y1)、B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-3),由得(1+4k2)y2+6ky-3k2=0,y1+y2=-,y1y2=-,则|y1-y2|=,当=-,即k=±时,|y1-y2|取得最大值2.由于△·|A1F2|·|y1-y2|≤×(2+3)×2=2+3>,故△A1AB面积的最大值为2+3,此时直线AB的方程为y=±(x-3).(2)假设存在点H满足题意,由+=1可知,|HF1|+|HF2|=4,|F1F2|=6,由+,得|HF1|·|HF2|=12.由得|HF1|、|HF2|为方程m2-4m+12=0的两个根,解得|HF1|=|HF2|=2,此时点H为椭圆C的上(或下)顶点.故存在点H,且|HF1|=|HF2|=2,使得、、成等差数列.【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力【备注】探究性问题是近几年高考命题的热点与重点,它广泛存在于数学的各个章节中,圆锥曲线中探究性问题有其特殊性,对考生的各种能力有较全面的考查,因此考生在复习时应高度重视。
2016年山东省高考最后一卷(押题卷)理科数学(第五模拟)含解析
百校联盟2016年山东省高考最后一卷（押题卷）理科数学(第五模拟)一、选择题：共10题1．已知集合A={x|y=ln(x-3)},集合B={y|y=2x,x∈A},则A∩(∁R B)=A.(3,8)B.(3,8]C.(8,+∞)D.(3,+∞)【答案】B【解析】本题考查集合的运算.求出集合A,B后按照集合的运算法则求解即可.集合A=(3,+∞),集合B=(8,+∞),∁R B=(-∞,8],所以A∩(∁R B)=(3,8].2．已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.∵i2015=i4×503+3=i3=-i,∴z=-i,∴+i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.3．已知a,b是实数,则“a>0或b>0”是“a+b>0且>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查充要关系的判断.解题时,利用充分条件、必要条件的定义,从两个方面进行判断.若“a>0或b>0”,则不一定有“a+b>0且>0”成立,如取a=1,b=-1,则a+b=0,且=-1;反之,若“a+b>0且>0”,则a>0且b>0,从而“a>0或b>0”成立.综上,选B.4．已知直线3x+ay=0(a>0)被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则a的值为A. B. C.2 D.2【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.解题时,利用点到直线的距离公式构建方程求a.由已知条件可知,圆的半径为2,又直线被圆所截得的弦长为2,故圆心到直线的距离为,即,得a=.5．若关于x的不等式|a-1|≥|2x+1|+|2x-3|的解集非空,则实数a的取值范围为A.(-∞,-3]∪[5,+∞)B.(-∞,-3)∪(5,+∞)C.[-3,5]D.(-3,5)【答案】A【解析】本题考查绝对值不等式的性质及其解法,考查考生的运算求解能力.只要|a-1|不小于函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|的最小值即可.又|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,所以|a-1|≥4,解得a≤-3或a≥5.6．函数f(x)=ln||的图象可能是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查函数的图象与性质,考查数形结合思想.易知函数f(x)是偶函数,故其图象关于y轴对称,排除选项C.函数的定义域是x≠0,排除选项D.||=||=|1+|>1,所以f(x)>0,排除选项B.故选A.7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点M是BB1的中点,则三棱锥C1-AMC的体积为A. B. C.2 D.2【答案】A【解析】本题考查线面垂直的证明、三角形的面积公式、三棱锥的体积公式,考查考生的空间想象能力.由题目条件知选取△MCC1(或△ACC1)作为三棱锥的底面时,计算该三棱锥的体积更为简单.取BC的中点D,连接AD.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,所以AD⊥BC,又BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD,又BB1∩BC=B,所以AD⊥平面BCC1B1,即AD⊥平面MCC1,所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中,AB=2,所以AD=,又AA1=3,点M是BB1的中点,所以×2×3=3,所以×3×.8．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则g(x)=f(x)+f(+x)的单调递增区间是A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)C.[kπ-,kπ+](k∈Z)D.[kπ+,kπ+](k∈Z)【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想.根据图象可得A=,-,解得ω=2.因为,故sin(2×+φ)=,即sin(2×+φ)=1.由于-π<φ<π,所以+φ<,即+φ=,得φ=-,所以f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(2x-)+sin(+2x-)=sin(2x-)+cos(2x-)=sin(2x-+)=sin(2x-).由不等式2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数g(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).9．已知函数f(x)=e x-1+4x-4,g(x)=ln x-,若f(x1)=g(x2)=0,则A.0<g(x1)<f(x2)B.f(x2)<g(x1)<0C.f(x2)<0<g(x1)D.g(x1)<0<f(x2)【答案】D【解析】易知f(x)=e x-1+4x-4,g(x)=ln x-在各自的定义域内是增函数,而f(0)=e-1+0-4=-4<0,f(1)=e0+4×1-4=1>0,g(1)=ln 1-=-1<0,g(2)=ln 2-=ln>ln 1=0.又f(x1)=g(x2)=0,所以0<x1<1,1<x2<2,所以f(x2)>f(1)>0,g(x1)<g(1)<0,故g(x1)<0<f(x2).10．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为A. B.2 C. D.2【答案】C【解析】本题考查抛物线的定义及简单几何性质,考查利用基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识.先画出图形,作出辅助线,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义及梯形的中位线得2|MN|=a+b,由题意和余弦定理可得|AB|2=(a+b)2-ab,再根据基本不等式求得|AB|2的取值范围,代入化简即可得到结果.如图,过A、B分别作准线的垂线AQ、BP,垂足分别是Q、P,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在△ABF中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2ab cos 120°=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,因为ab≤()2,则(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立,所以≥=3,则≥,即所求的最小值为.二、填空题：共5题11．执行如图所示的程序框图,则输出的结果是.【答案】173【解析】本题考查程序框图的知识,考查考生的运算求解能力.按照程序逐步计算即可求出结果.第一次循环后,S=1,i=2;第二次循环后,S=5,i=3;第三次循环后,S=32,i=4;第四次循环后,S=48,i=5;第五次循环后,S=173,i=6.故输出的结果为173.12．已知(x+1)(x-2)n的展开式中x的系数为-128,则n=.【答案】6【解析】本题考查二项式定理的简单应用.列出关于n的方程解之即可求出n的值.(x+1)(x-2)n 的展开式中x的系数为(-2)n-1+(-2)n=-128,即n(-2)n-1+(-2)n=-128,验算解得n=6.13．已知在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,点M为AB边上任意一点,则·+·的取值范围是.【答案】[36,64]【解析】本题考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想.可以把向量坐标化后,使用坐标方法求解.显然△ABC是直角三角形,以点C为坐标原点,射线CA、CB 分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系,则A(6,0),B(0,8),设=λ,则+λ=(6,0)+λ(-6,8)=(6-6λ,8λ),其中0≤λ≤1.·+··(+)=(6-6λ,8λ)·(6,8)=36+28λ,因为0≤λ≤1,所以36≤·+·≤64.14．已知x,y满足不等式组若目标函数z=x+3y的最大值的取值范围是[6,10],则k的取值范围是.【答案】[-2,0]【解析】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,考查考生分析问题、解决问题的能力.当k>时,不等式组表示的是一个无限区域,根据目标函数的几何意义可知,此时目标函数不存在最大值,故k≤.当<k≤时,不等式组不表示任何区域.当k=时,不等式组表示点(4,0),此时目标函数只取一个值4.当k<时,不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义,可知此时在直线x+y=4与直线kx+y=1的交点B处取得最大值,解方程组得B(,),且目标函数的最大值+3×.由不等式6≤≤10,解得-2≤k≤0.15．对于实数a,b,定义运算“”:ab=.设f(x)=(x-4)(x-4),若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.【答案】(-1,1)∪(2,4)【解析】本题考查分段函数的解析式及图象,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论思想的应用等.根据新定义写出分段函数f(x)的解析式,并将关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)的实数根的个数转化为两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)交点的个数问题进行处理,最后利用数形结合思想和函数与方程思想列出关于实数m的不等式组求解.由题意得,f(x)=(x-4) (x-4)=,画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,则或或,得2<m<4或-1<m<1.三、解答题：共6题16．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=120°,a=3.(1)求bc的最大值;(2)若D为BC边上靠近点B的一个三等分点,求AD的取值范围.【答案】(1)根据余弦定理得(3)2=b2+c2-2bc cos 120°,又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),所以27≥2bc+bc,所以bc≤9,即bc的最大值为9.(2)如图,由于点D为靠近点B的一个三等分点,故BD=.根据正弦定理,所以AB=6sin C.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B=36sin2C+3-12sin C cos B=36sin2C+3-12sin C cos(60°-C)=36sin2C+3-12sin C(cos C+sin C)=18sin2C-6sin C cos C+3=9(1-cos 2C)-3sin 2C+3=12-3(sin 2C+3cos 2C)=12-6sin(2C+60°).因为在△ABC中,0°<C<60°,0°<2C<120°,所以60°<2C+60°<180°,所以0<sin(2C+60°)≤1,所以12-6≤12-6sin(2C+60°)<12.所以≤AD<,即3-≤AD<2,故AD的取值范围是[3-,2).【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,三角函数的性质等知识.(1)使用余弦定理和基本不等式求解;(2)先将AD用角C的正弦函数表示,再利用三角函数的性质即得结果.【备注】解三角形试题求解的关键是使用正弦定理、余弦定理得出三角形中边和角满足的方程,在三角形中处理取值范围问题时,要注意使用变量表达求解目标,然后利用三角函数的性质求解.17．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有40人,不超过100 km/h的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h 的有20人,不超过100 km/h的有25人.(1)完成下面2×2列联表,并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”?附:K2=,其中n=a+b+c+d.(2)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人,求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率;(3)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X,求X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)完成的2×2列联表如下:K2=≈8.249>7.879,所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”.(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人,从中随机抽取2人的方法总数为,记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A,则事件A所包含的基本事件数为,所以所求的概率P(A)=.(3)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为,故X~B(3,).所以P(X=0)=()0()3=;P(X=1)=()()2=;P(X=2)=()2()=;P(X=3)=()3()0=.所以X的分布列为EX=0×+1×+2×+3×(或EX=3×).【解析】本题主要考查独立性检验、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望等,考查考生的运算求解能力和应用意识.(1)计算K2的值后与临界值比较即可;(2)属于古典概型,利用组合数求基本事件总数和所求的随机事件含有的基本事件个数后,使用古典概型的概率计算公式求解;(3)首先分析得到X服从二项分布,然后按照相关公式计算即可.【备注】离散型随机变量及其分布是高中概率与统计的核心内容,也是高考考查的重点,备考中要通过各类练习,熟练掌握其解法.18．如图1,已知△ABC为正三角形,D为AB的中点,AE=A C.现沿DE将△ADE折起,折起过程中点A仍然记作点A,使得平面ADE⊥平面BCED,如图2.图1 图2(1)证明:AD⊥CE;(2)求平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的余弦值.【答案】(1)在正三角形ABC中,取AC的中点G,连接BG,此时E为AG的中点,所以DE∥BG,因为BG⊥AC,所以DE⊥CE,DE⊥AE.在折起的图形中,因为平面ADE⊥平面BCED,所以AE⊥平面BCED,所以AE⊥CE.因为AE∩DE=E,所以CE⊥平面ADE.因为AD⊂平面ADE,所以AD⊥CE.(2)由(1)的证明可知ED,EC,EA两两垂直,以点E为坐标原点,射线ED,EC,EA的正方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正三角形ABC的边长为4,则A(0,0,1),B(2,1,0),D(,0,0),=(2,1,-1),=(,1,0).设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,即2x+y-z=0,x+y=0,令x=,得y=-3,z=3,所以平面ABD的一个法向量为m=(,-3,3).显然n=(1,0,0)为平面ACE的一个法向量.设平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的大小为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=.所以平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的余弦值为.【解析】本题考查空间垂直关系的证明、二面角的计算,考查空间向量在立体几何中的应用,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(1)根据折起后不变的垂直关系和平面ADE⊥平面BCED,证明CE⊥平面ADE,进而可得结论;(2)建立空间直角坐标系后使用空间向量法求解.【备注】立体几何解答题重点考查的是空间位置关系的证明和空间角的求解,在空间位置关系的证明中一般采用几何法,空间角的求解一般使用向量法,复习备考中注意立体几何解答题的这种考查方式,通过不同类型的题目,熟练掌握其解法.19．已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=(+a n),a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则是否存在正整数m,使得m≤T n<m+3对任意的正整数n 恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)S n=(+a n),即+a n-2S n=0,①当n≥2时,S n-1=(+a n-1),即+a n-1-2S n-1=0,②①-②得(a n-a n-1)(a n+a n-1)+a n-a n-1-2a n=0,(a n+a n-1)(a n-a n-1-1)=0,∵a n>0,∴a n-a n-1=1,当n=1时,+a1-2a1=0,∵a n>0,∴a1=1,∴a n=1+(n-1)=n.(2)由(1)知b n=,所以T n=1×()0+2×()1+…+n()n-1,③T n=1×()1+2×()2+…+n()n,④③-④得T n=1++…+()n-1-n()n=2[1-()n]-n()n,故T n=4[1-()n]-2n()n=4-4×()n-2n()n=4-(2n+4)()n.易知T n<4,∵T n+1-T n=4-(2n+6)()n+1-4+(2n+4)()n=(n+1)()n>0,∴T n≥T1=1,故存在正整数m=1满足题意.【解析】本题考查等差数列的通项公式、错位相减法求和等知识,考查运算求解能力,属于中等难度题.(1)先判断{a n}为等差数列,再求通项公式;(2)先利用错位相减法求和,再求出T n的最值,最后判定m存在.【备注】数列是山东高考试卷的一个难点,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质,递推数列,数列求和,简单的数列不等式的证明等,考生要重视教材和基础知识、基本方法、基本技能,重视考纲的导向作用.20．已知椭圆Ω:+=1(a>b>0)与双曲线Ε:x2-y2=1有共同的焦点,且双曲线Ε的一条渐近线被椭圆Ω截得的线段长为.(1)求椭圆Ω的方程;(2)设B为椭圆Ω的上顶点,e为椭圆Ω的离心率,直线l与椭圆Ω交于不同的两点P,Q(均异于点B),且BP,BQ的斜率之积等于e2,求直线l的斜率的取值范围.【答案】(1)双曲线Ε的焦点坐标为(±,0),一条渐近线方程为y=x,设椭圆Ω的半焦距为c,则c=.把y=x代入椭圆Ω的方程,得x2=,根据已知,得x2+y2=()2,因为y=x,所以x2=,即,即4a2b2=3(a2+b2),将a2=b2+2代入上式,得2b4+b2-3=0,即(b2-1)(2b2+3)=0,因为2b2+3>0,所以b2=1,a2=3,所以椭圆Ω的方程为+y2=1.(2)由(1)知B(0,1),e=.因为BP,BQ的斜率之积等于e2=>0,故直线l的斜率不等于零.设直线l的方程为x=ty+m,代入椭圆方程,得(3+t2)y2+2tmy+m2-3=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=.k BP·k BQ=·,即3(y1-1)(y2-1)=2x1x2=2(ty1+m)(ty2+m),整理得(2t2-3)y1y2+(2tm+3)(y1+y2)+2m2-3=0,即(2t2-3)·-(2tm+3)·+2m2-3=0,整理得3t2+2tm-m2=0,即(t+m)(3t-m)=0,所以m=-t或m=3t.当m=-t时,直线l的方程为x=ty-t,该直线过点B,不合题意,所以m=3t,直线l的方程为x=ty+3t.因为直线l与椭圆Ω交于不同的两点,所以方程(3+t2)y2+2tmy+m2-3=0有两个不相等的实根,所以Δ=(2tm)2-4(3+t2)(m2-3)=-12(m2-t2-3)=-12(8t2-3)>0,t2<,所以直线l的斜率k满足k2=,即k>或k<-,即直线l的斜率的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).【解析】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识,考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.(1)根据条件列出关于a2,b2的方程组,解方程组求出a2,b2,即得椭圆Ω的方程;(2)设出直线l的方程,联立直线与椭圆Ω的方程,利用根与系数的关系求解.21．已知函数f(x)=ln x+(k∈R).(1)若f(x)存在极小值h(k),且不等式h(k)≤ak对f(x)存在极小值的任意k恒成立,求实数a的取值范围;(2)当k>0时,如果存在两个不相等的正数α,β,使得f(α)=f(β),求证:α+β>2k.【答案】(1)f'(x)=-,x>0.当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.当k>0时,当0<x<k时,f'(x)<0,当x>k时,f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增区间是(k,+∞),f(x)的极小值为h(k)=f(k)=ln k+1.当k>0时,h(k)≤ak恒成立,即ln k+1≤ak,即a≥恒成立.令φ(k)=,则φ'(k)=,令φ'(k)=0,得k=1,当0<k<1时,φ'(k)>0,φ(k)单调递增,当k>1时,φ'(k)<0,φ(k)单调递减,故k=1为φ(k)在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,所以φ(k)max=φ(1)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).(2)由(1)知,当k>0时,f(x)在(0,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,设α<β,则一定有0<α<k<β.构造函数g(x)=f(x)-f(2k-x)=ln x+-ln (2k-x)-,0<x<k,g'(x)=+---.因为0<x<k,所以g'(x)<0,即g(x)在(0,k)上单调递减,又f(k)-f(2k-k)=0,所以g(x)>0,所以f(x)>f(2k-x).因为0<α<k,所以f(α)>f(2k-α),因为f(α)=f(β),所以f(β)>f(2k-α),因为0<α<k,所以2k-α>k,又函数f(x)在(k,+∞)上单调递增,所以β>2k-α,所以α+β>2k.【解析】本题考查导数及其应用,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等.(1)求出k在何种范围内取值时,f(x)有极小值,然后使用分离参数的方法把问题转化为求一个关于k的函数的最值;(2)即证明β>2k-α,利用(1)的结论得出α,β的范围,构造函数g(x)=f(x)-f(2k-x),研究该函数的性质即可.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,导数与不等式等结合的题目成为整套试卷的压轴题,并且其难度仍有上升趋势,因而预测2016年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的背景和结构形式不会太复杂,因而本卷试图在函数表达式简单的基础上加大问题设置上的变化,在不增加考生理解题意难度的基础上,力争考查考生更多的知识与能力.。
2016全国卷I高考数学理科试题压轴题参考答案
2016全国卷（I）高考数学理科试题压轴题参考答案20（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.（1）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程。
（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。
解：（1）圆方程222150x y x ++-=可化为()22116x y ++=∴圆心A(-1,0),半径r=4由AC//EB,所以∠EBD=∠ACD (1)又AC=AD,所以∠ADC=∠ACD (2)由(1),(2)式，得∠EBD=∠ADCBE DE=得所以4AE BE AE DE AD +=+==所以点E 的轨迹是以A,B 为焦点，长轴为4的椭圆。
E 的轨迹方程为22143x y +=（2）（i）当直线MN 的方程斜率存在时设直线MN 的方程为()1y k x =-则直线PQ 的方程为()11y x k=--联立()221431x y y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消得()22224384120k x k x k +-+-=()()()()()()2222222228434*********k 4k k 12k MN k k a k k -+-+∆=+=+=++直线PQ 方程()11y x k =--可化为10x ky +-=点A 到直线PQ 的距离为：22101211k d k k -+⋅-==++2222224432411k PQ k k ⎛⎫+=-= ⎪++⎝⎭()()222222222114431243143114343MPNQ 12k 1k 24k S MN PQ 2k k k k 112424+k 44k +++=⋅=⋅⋅=++++⎛⎫== ⎪++⎝⎭四边形83MPNQ 12S <<四边形（ii）当直线MN 的方程斜率不存在时容易算得：MPNQ S =12四边形所以83MPNQ 12S ≤<四边形21（本小题满分12分）已知函数2()()e (1)x f x x-2a x =+-有两个零点。
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x xx A ，}032{>-=x x B ，则AB =（A ）)23,3(-- （B ）)23,3(- （C ）)23,1( （D ）)3,23( 【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y=⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +故选B ．（3）已知等差数列}{na 前9项的和为27，810=a，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a Sa +⨯====，故53a =，而108a=，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098aa d =+=．故选C ．∴13n -<<，故选A ．（6每个圆中328π，则它的表面积是（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28 【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ．（7）函数xex y -=22在]2,2[-的图像大致为（（C ） （D ）【解析】：()22288 2.80f e=->->，排除A ；()22288 2.71f e=-<-<，排除B ；x >时，()22xf x xe =-，()4xf x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ． （8）若1>>b a ，10<<c ，则 （A ）ccb a< （B ）ccba ab< （C ）cb c a a blog log< （D ）cc b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c ca b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c ca b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log ba c 和log ab c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b和ln ln c a a，只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln abc cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log ac 和log bc ，只需比较ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误；故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的=x 则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5= 【解析】：第一次循环：220,1,136x y xy ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y xy ==+=<；第三次循环：223,6,362x y xy ==+>；输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为22ypx =()0p >，设圆的方程为222xy r +=，如图：设(0,22A x ，52pD ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22ypx=上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222xy r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(02A x 在圆222x y r +=上，∴228xr +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，α平面ABCD m =， α平面nAABB =11，则n m ,所成角的正弦值为 （A ）23（B ）22 （C ）33 （D ）31 【解析】：如图所示：αAA 1B1DC1D 1F∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B DC 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=．故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122Tππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减。
2016高考全国1卷理科数学试题和答案解析[精校解析版]
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
设集合{}2430A x x x =-+<,{}230x x ->，则AB =(A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2。
设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A)1（B ）2(C ）3（D ）23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 (C ）98 （D ）974。
某公司的班车在7：00，8：00，8:30发车，小明在7:50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A)错误! （B)错误! （C ）错误! （D ）错误!5.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）(6。
2016届新课标Ⅰ高考压轴卷 数学(理) Word版含解析
2016新课标Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1已知集合M ＝{1，2，3，4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅= A. 13i B. 13i - C. 1312i + D. 1213i +3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法( )A.10B.16C.20D.244.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A.2-B.3-C.2D.35.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( ) A ．1.2 B ．1.6 C ．1.8 D ．2.47. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =()C. 49D. 518.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是( ) A.24πB.12π C. 8πD.1124π9已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A 、1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B 、1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C 、()0,+∞D 、(),0-∞10 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y≥0，x≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1，3]C ．[－1，2]D ．[2，3]11. .过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为( )A. 10B. 13C. 16D. 1912. 已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l ( )（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14. F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+ ， 21()2OC OA OF =+ 则||||OB OC +＝ .15过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度____________.16.设数列{a n }是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b ∈[0，1），f n （x ）=b 总有两个不同的根，则{a n }的通项公式为 _________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2016年百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第六模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第六模拟）一、选择题：共12题1．已知复数z=2+i20151+i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.∵i2 015=i4×503+3=i3=-i,∴z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12-32i,∴z−=12+32i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.2．设集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|x2+y2=1},则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】本题考查集合的关系、集合的子集个数的求法.求解本题的关键是确定集合A∩B 中元素的个数.通解解方程组y=x+1x2+y2=1得x=0y=1,x=−1y=0,所以A∩B={(0,1),(-1,0)},即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C的个数是4,故选D.优解在同一坐标系中作出直线y=x+1和圆x2+y2=1,由图可知,直线与圆有两个交点,即A∩B中有两个元素,因为C⊆(A∩B),所以集合C的个数是4.3．已知向量a=(9,m2),b=(1,-1),则“m=-3”是“a⊥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查向量垂直的条件及充要关系的判断,属于基础题.当m=-3时,a=(9,9),∴a·b=9×1+9×(-1)=0,所以a⊥b;当a⊥b时,由a·b=9-m2=0,得m=±3,故“m=-3”是“a⊥b”的充分不必要条件.4．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为A.15B.14C.7D.6【答案】A【解析】本题主要考查程序框图的知识,意在考查考生的运算求解能力.对于循环结构的程序框图,应特别注意循环结束时的条件.第一次循环,得a=2,S=1+2=3<10;第二次循环,得a=4,S=3+4=7<10;第三次循环,得a=8,S=7+8=15>10,输出S的值为15.故选A.5．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线的方程是y=32x,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为A.x221-y228=1 B.x24-y23=1 C.x228-y221=1 D.x23-y24=1【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质以及考生分析问题、解决问题的能力.双曲线的渐近线方程是y=±ba x,所以ba=32,抛物线的准线方程为x=-7,所以c=7,由a2+b2=c2,可得a2=4,b2=3,故选B.6．已知(x2+kx )6(k>0)的展开式的常数项为240,则1xk1d x=A.1B.ln 2C.2D.2ln 2【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理和定积分的基本运算.先求出k值,再由定积分的运算得出结果.(x 2+k x)6(k >0)的展开式的通项为T r+1=C 64(x 2)6−r ·(kx)r =C 6r k r x 12-3r ,当12-3r =0时,r =4,故常数项为C 64k 4=15k 4=240,得k =2, 1xk 1d x =ln x | 12=ln2.7．已知实数x ,y 满足不等式组 x −y −1≥0x +y −3≥03x +y −11≤0,则z =2y +1x−1的取值范围为 A.[-2,3] B.[-13,3]C.[-13,52]D.[52,3]【答案】B【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域的简单应用,考查考生的运算求解能力,属于中档题.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由题意可知,z =2y +1x−1=2·y +12x−1,它表示平面区域内的点(x ,y )与定点M (1,-12)的连线的斜率的2倍.由图可知,当点(x ,y )位于点C 时,直线的斜率取得最小值-16;当点(x ,y )位于点A 时,直线的斜率取得最大值32.故z =2y +1x−1的取值范围是[-13,3],选B.8．若将函数y =3sin(6x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,得到函数y =f (x )的图象,若y =f (x )+a 在x ∈[-π6,π2]上有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A.[-3,32] B.[-32,32]C.[32,3]D.(-3,-32]【答案】D【解析】本题主要考查三角函数图象的变换,考查考生的计算能力和数形结合思想.把函数y=3sin(6x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到函数f(x)=3sin(2x-π6)的图象,当x∈[-π6,π2]时,2x-π6∈[-π2,5π6],结合图形知-a∈[32,3),可得a∈(-3,-32].故选D.9．已知在数列{a n}中,a1=1,a2=3,记A(n)=a1+a2+…+a n,B(n)=a2+a3+…+a n+1,C(n)=a3+a4+…+a n+2(n∈N*),若对任意的n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列,则A(n)=A.3n-1B.2n-1+n2-1C.2n2-3n+2D.n2【答案】D【解析】本题考查等差数列的定义、通项公式及前n项和公式,考查考生的运算求解能力.通解根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列,∴A(n)+C(n)=2B(n),整理得a n+2-a n+1=a2-a1=3-1=2,∴数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列.∴a n=1+2(n-1)=2n-1.∴A(n)=n a1+a n2=n(1+2n−1)2=n2,故选D.优解(特值法)因为A(n)+C(n)=2B(n),当n=1时,得a3=5,所以A(1)=1,A(2)=4,A(3)=9,经检验只有D选项符合,故选D.10．一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示,若M,N分别为A1B,B1C1的中点,则下列选项中错误的是A.MN与A1C异面B.MN⊥BCC.MN∥平面ACC1A1D.三棱锥N-A1BC的体积为13a3【答案】D【解析】本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征,意在考查考生的空间想象能力和运算能力.取A1B1的中点D,连接DM、DN.由于M、N分别是A1B、B1C1的中点,所以可得DN∥A1C1,又DN⊄平面A1ACC1,A1C1⊂平面A1ACC1,所以DN∥平面A1ACC1.同理可证DM∥平面A1ACC1.又DM∩DN=D,所以平面DMN∥平面A1ACC1,所以MN∥平面ACC1A1,直线MN 与A1C异面,A,C正确.由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1,所以DN⊥平面BCC1B1,所以DN ⊥BC,又易知DM⊥BC,所以BC⊥平面DMN,所以BC⊥MN,B正确.因为V N−A1BC=V A1−NBC =13(12a2)a=16a3,所以D错误.故选D.11．如图,F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则a2+e23b(e为椭圆的离心率)的最小值为A.53B.54C.63D.64【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及基本不等式的应用,考查考生的运算能力和灵活运用知识的能力.连接F1P,OQ,因为点Q为线段PF2的中点,所以|F1P|=2|OQ|=2b,由椭圆的定义得|PF2|=2a-2b,由F1P⊥F2P,得(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,解得2a=3b,e=53,所以a2+e23b=a2+592a=12(a+59a)≥12·2 a·59a =53(当且仅当a=53时等号成立),故选A.12．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图形展现了一种互相转化,相对统一的形式美、和谐美.现在定义:能够将圆O的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“太极函数”.给出下列命题:p1:对于任意一个圆O,其对应的“太极函数”不唯一;p2:f(x)=e x+e-x可能是某个圆的一个“太极函数”;p3:圆O:(x-1)2+y2=36的一个“太极函数”为f(x)=-ln5+x7−x;p4:“太极函数”的图象一定是中心对称图形.其中正确的命题是A.p1,p2B.p1,p3C.p2,p3D.p3,p4【答案】B【解析】本题主要考查考生对新定义的理解,考查函数的图象与性质,考查考生的综合能力.对于p1,过圆心的直线都能将圆的周长和面积平分,而这样的直线有无数条,故p1正确;对于p2,f(-x)=f(x)恒成立,故f(x)为偶函数,又f(0)=2,其图象如图1所示,不可能为某个圆的“太极函数”,故p2不正确;对于p3,圆O的圆心为(1,0),x∈[-5,7],而函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,故函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,x∈(-5,7),所以函数f(x)将圆的周长和面积平分,故p3正确(如图2所示);图1 图2图3对于p4,如图3,该函数的图象(圆内部的粗线)将圆的周长和面积平分,但不是中心对称图形,故p4不正确.故选B.二、填空题：共4题13．在正项等比数列{a n}中,log2a3+log2a6+log2a9=3,则a1a11=.【答案】4【解析】本题考查等比数列的性质,涉及对数的运算,属于基础题.∵在正项等比数列{a n}中,log2a3+log2a6+log2a9=3, ∴log2(a3a6a9)=log2a63=3, ∴a6=2,∴a1a11=a62=4.14．小明在微信群中给朋友发拼手气红包,1毛钱分成三份(不定额度,每份至少1分钱),若这3个红包被甲、乙、丙三人抢到,则甲抢到5分钱的概率为.【答案】139【解析】概率问题是每年必考的一个题目,现在人们在网上发红包又很热门,本题将实际问题与数学知识相结合,旨在考查考生分析问题、解决问题的能力.由题知将1毛钱,即10分钱分成三份,每份至少1分钱,可得基本事件总数为C82=28,这3个红包被甲、乙、丙三人抢到的基本事件数为(C82-4)A33+4C31=156.若甲抢到5分,则其余两人共得到5分,有4种情况,即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故甲抢到5分钱的概率为4156=139.15．已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上,若三棱锥O-ABC的体积为334,则球的表面积为.【答案】16π【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力.解题时,先根据正弦定理求出等边三角形外接圆的半径,再利用三棱锥O-ABC的体积求出球的半径,从而得出球的表面积.设三角形ABC的外接圆的半径为r,圆心为O1,由正弦定理得2r=3sin 60°=23,r=3.∵O1O⊥平面ABC,∴V O-ABC=13×34×32|O1O|=334,∴|O1O|=1,∴球O的半径R= r2+1=3+1=2,∴S球=4πR2=16π.16．已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx+d(a≠0)的导函数为g(x),且g(1)=0,a<b<c,设x1、x2是方程g(x)=0的两个根,则|x1-x2|的取值范围为.【答案】(32,3)【解析】本题以导数为背景,考查二次函数、方程的根、不等式的综合应用.解题时,先根据题中条件得到ca 的取值范围,再将|x1-x2|表示成关于ca的表达式,即可求出其取值范围.由已知g(x)=f'(x)=ax2+bx+c,∴g(1)=a+b+c=0,∵a<b<c,∴a<0,c>0,b=-a-c,∴a<-a-c<c,解得-2<ca <-12,∴|x1-x2|=(x1+x2)2−4x1x2=|1-ca|=1-ca,∵-2<ca<-12,∴|x1-x2|∈(32,3).三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c2)sin B+(c-b2)sin C-a sin A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,求b+c的取值范围.【答案】(1)因为(b-c2)sin B+(c-b2)sin C-a sin A=0,由正弦定理得(b-c2)b+(c-b2)c-a2=0,化简得b2+c2-a2-bc=0,即cos A=b2+c2−a22bc =12,A=π3.(2)由正弦定理可得bsin B =csin C=asin A=3sinπ3=2,所以b=2sin B,c=2sin C,b+c=2(sin B+sin C)=2[sin B+sin(2π3-B)]=2(sin B+32cos B+12sin B)=3sin B+3cos B=23sin(B+π6).因为0<B<2π3,所以π6<B+π6<5π6,即12<sin(B+π6)≤1,所以b+c∈(3,23].【解析】本题主要考查三角恒等变换,正、余弦定理的应用.(1)先利用正弦定理将已知等式转化为三角形中三边之间的关系,再结合余弦定理求解;(2)先将b+c用关于B的正弦函数表示出来,再利用正弦函数的图象与性质求解.【备注】高考对三角函数与解三角形的考查主要以三角恒等变换,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可.在研究三角函数的图象和性质问题时,一般先用三角恒等变换将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于解三角形的题目,要注意通过正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等实现边角互化,求出相关的边和角.18．用五种不同的颜色来涂如图所示的田字形区域,要求同一区域上用同一种颜色,相邻区域用不同的颜色(A与C,B与D不相邻).(1)求恰好使用两种颜色完成涂色任务的概率;(2)设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务,记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).【答案】(1)按要求完成涂色任务,可分成三个互斥事件:恰好使用两种颜色完成涂色任务、恰好使用三种颜色完成涂色任务、恰好使用四种颜色完成涂色任务.恰好使用两种颜色完成涂色任务共有A52=20种方法;恰好使用三种颜色完成涂色任务共有2C53C31A22=120种方法;恰好使用四种颜色完成涂色任务共有A54=120种方法.所以按要求完成涂色任务,共有20+120+120=260种方法.记“恰好使用两种颜色完成涂色任务”为事件A,则P(A)=20260=113.(2)由已知可得ξ=0,1,2.记“恰好使用三种颜色完成涂色任务”为事件B,“恰好使用四种颜色完成涂色任务”为事件C.由(1)得P(B)=120260=613,P(C)=120260=613.所以P(ξ=0)=P(A)P(A)+P(B)P(B)+P(C)P(C)=(113)2+(613)2+(613)2=73169,P(ξ=1)=P(A)P(B)+P(B)P(C)+P(B)P(A)+P(C)P(B)=2(113×613+613×613)=84169,P(ξ=2)=P(A)P(C)+P(C)P(A)=113×613+613×113=12169.所以ξ的分布列为E(ξ)=0×73169+1×84169+2×12169=108169.【解析】本题主要考查古典概型、相互独立事件同时发生的概率的求法及离散型随机变量的分布列及数学期望.(1)求出完成涂色任务的方法总数以及恰好使用两种颜色完成涂色任务的方法种数,利用古典概型的概率计算公式即可求出相应的概率;(2)求出随机变量每个取值对应的概率,列出分布列,求出数学期望.【备注】高考对概率的考查第(1)问一般是求随机事件的概率,通常涉及等可能事件、对立事件、互斥事件以及相互独立事件的概率;第(2)问涉及离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求解,难度中等.19．已知在边长为4的等边△ABC(如图1所示)中,MN∥BC,E为BC的中点,连接AE交MN于点F.现将△AMN沿MN折起,使得平面AMN⊥平面MNCB(如图2所示).图1图2(1)求证:平面ABC⊥平面AEF;(2)若S四边形BCNM=3S△AMN,求直线AB与平面ANC所成角的正弦值.【答案】(1)∵△ABC是等边三角形,E为BC的中点,∴AE⊥BC,∵MN∥BC,∴AF⊥MN,MN ⊥E F.又AF∩FE=F,∴MN⊥平面AEF.∵BC∥MN,∴BC⊥平面AEF,∵BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面AEF.(2)由S四边形BCNM=3S△AMN,得S△AMN=14S△ABC,∵△ABC∽△AMN,且MN∥BC,∴(MNBC )2=14,即MN=12BC=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,0),A(0,0,3),B(3,-2,0),N(0,1,0),C(3,2,0),AN=(0,1,-3),AC=(3,2,-3). 设平面ANC的法向量为n=(x,y,z),则AN·n=0AC·n=0,即y−3z=03x+2y−3z=0,令z=1,则x=-1,y=3,故平面ANC的一个法向量为n=(-1,3,1). ∵AB=(3,-2,-3),设直线AB与平面ANC所成的角为α,则sinα=|AB·n||AB|·|n|=265,∴直线AB与平面ANC所成角的正弦值为265.【解析】本题考查面面垂直的证明、线面角的求解,考查考生的空间想象能力.(1)利用面面垂直的判定定理求解;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解.【备注】高考中,立体几何题一般设计为“一证一算”两问.第(1)问注重证明,主要考查线面垂直和线面平行、面面垂直和面面平行,主要是对平行和垂直性质定理和判定定理的考查;第(2)问注重计算,常见的题型是异面直线所成的角、线面角、二面角、表面积或体积的求解,主要考查考生的转化能力、运算能力.20．已知抛物线y2=2px(p>0),过点(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线上的定点M(1,2p)作两条关于直线x=1对称的直线,分别交抛物线于C,D两点,连接CD,试问:直线CD的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)当直线l的斜率不存在时,22p=4,p=2,y2=4x.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4)(k≠0),联立y=k(x−4)y2=2px,消去y得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16,所以y12y22=4p2x1x2=64p2,y1y2=-8p,由OA·OB=0,得x1x2+y1y2=0,即16-8p=0,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.综上,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知,M(1,2),设直线CD的方程是x=my+n,显然直线CD不过点M.联立y2=4xx=my+n,消去x得y2-4my-4n=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=4my3y4=−4n,由题意MC,MD两直线关于直线x=1对称等价于直线MC,MD的倾斜角互补,即k MC+k MD=0,即y3−2x3−1+y4−2x4−1=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4)+4=0,将x3=my3+n x4=my4+n和y3+y4=4my3y4=−4n代入上式化简得(m+1)(n+2m-1)=0,要使上式恒成立,当且仅当m+1=0或n+2m-1=0.①当m+1=0,即m=-1时,直线CD的方程为x=-y+n,即直线CD的斜率为-1.②当n+2m-1=0时,将n=1-2m代入直线CD的方程得x=my+1-2m,即x-1=m(y-2),此时直线CD过点M(1,2),与题意矛盾.所以直线CD的斜率恒为定值-1.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解此类试题通常是将直线与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系求解.【备注】直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等内容是解析几何的基石,也是高考命题的重点和热点内容,此外直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的另一个重点,解题时,要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和取值范围问题时,常把所讨论的参数作为一个函数,选一个适当的自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的取值范围.21．已知函数f(x)=x ln x-kx(k∈R),其图象与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.(1)求实数k的取值范围;(2)证明:x1+x2<2e.【答案】(1)由f(x)=x ln x-kx=0,得x2ln x=k.令g(x)=x2ln x,则g'(x)=2x ln x+x.由2x ln x+x>0,解得x>1e ,所以g(x)在区间(1e,+∞)上单调递增;由2x ln x+x<0,解得0<x<1e ,所以g(x)在区间(0,1e)上单调递减.故g(x)在x=1e 处取得极小值,且g(1e)=-12e.又函数f(x)的图象与x轴交于不同的两点,当x→0时,g(0)→0,g(1)=0,作出函数g(x)的大致图象如图所示,所以-12e<k<0.(2)由(1)知0<x1<1e<x2<1.令φ(x)=g(x)-g(2e-x),则φ'(x)=2[x ln x+(2e -x)ln(2e-x)]+2e,令h(x)=x ln x+(2e -x)ln(2e-x),则h'(x)=ln x-ln(2e-x).令h'(x)<0,解得0<x<1e,则h(x)在(0,1e )上单调递减,所以当0<x<1e时,h(x)>h(1e)=-1e,于是φ'(x)>0,所以φ(x)在(0,1e)上单调递增.则当0<x<1e 时,φ(x)<φ(1e)=0,即g(x)<g(2e-x).所以g(x2)=g(x1)<g(2e-x1).又g(x)在区间(1e ,+∞)上单调递增,所以x2<2e-x1,即x1+x2<2e.【解析】本题主要考查函数的性质、导数的应用、函数的零点、不等式的证明等.第(1)问本质就是利用导数研究函数极值的分布情况,属于常规问题;第(2)问为利用导数证明不等式,先构造函数,然后用单调性证明x1+x2<2e.22．如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q.(1)求证:QC ·AC =QC 2-QA 2; (2)若AQ =6,AC =5,求弦AB 的长.【答案】(1)∵PQ 与☉O 相切于点A ,∴∠PAC =∠CBA , ∵∠PAC =∠BAC ,∴∠BAC =∠CBA , ∴AC =B C.由切割线定理得, QA 2=QB ·QC =(QC-BC )QC ,∴QC ·BC =QC 2-QA 2,∴QC ·AC =QC 2-QA 2.(2) 由AC =5,AQ =6 及(1), 知QC =9,由∠QAB =∠ACQ ,∠AQB =∠CQA ,知△QAB ∽△QCA ,∴ABAC =QAQC ,∴AB =103.【解析】本题主要考查切割线定理、三角形的相似等知识,考查考生的推理能力、运算能力.灵活应用圆的有关性质是解题的关键.23．已知圆O :x 2+y 2=4上每一点的横坐标保持不变,将纵坐标变为原来的12,得到曲线C .(1)写出曲线C 的参数方程;(2)设直线l :x-2y+2=0与曲线C 相交于A ,B 两点,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m 过线段AB 的中点,且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍,求直线m 的极坐标方程.【答案】(1)设曲线C 上任意一点为M (x ,y ),则点P (x ,2y )在圆O 上,即 x 2+(2y )2=4,即x 24+y 2=1,所以曲线C 的参数方程为x =2cos φy =sin φ(φ为参数). (2)联立 x 2+4y 2=4x −2y +2=0,解得 x =−2y =0或x =0y =1, 不妨设A (-2,0),B (0,1),则AB 的中点为N (-1,12),因为直线l 的斜率为12,设直线l 的倾斜角为α,则tan α=12,所以tan 2α=2×121−(12)2=43,所以直线m 的方程为y-12=43(x+1),即8x-6y+11=0, 于是直线m 的极坐标方程为8ρcos θ-6ρsin θ+11=0.【解析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等,属于中档题.24．已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+1m2−2mn+n2≥2n+a.【答案】(1)设f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=−3,x≤−12x−1,−1<x<2, 3,x≥2∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,即f(x)≤a, ∴a≥3.设h(x)=|x+1|+|2-x|=−2x+1,x≤−1 3,−1<x<22x−1,x≥2,则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a, ∴a≤3.∴a=3.(2)由(1)知a=3.∵2m+1m2−2mn+n2-2n=(m-n)+(m-n)+1(m−n)2,且m>n>0,∴(m-n)+(m-n)+1(m−n)2≥3(m−n)(m−n)1(m−n)2 3=3,∴2m+1m2−2mn+n2≥2n+a.【解析】本题考查绝对值函数以及绝对值不等式的解法,考查考生的运算能力.。
2016年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学详细解析注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2【答案】D【详细解答】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2AB x x ∴=<< 【试题评析】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易. （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2 【答案】B【详细解答】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=【试题评析】考察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易. （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97【答案】C【详细解答】解法1：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a ad -∴==- 10010(10010)89098a a d ∴=+-=+=.解法2：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得 11,1a d =-=，1001(1001)19998a a d ∴=+-=-+=【试题评析】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易.（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 错误！未指定书签。
【试题猜想】2016年高考考前最后一卷 理科数学【新课标卷Ⅰ】(解析版)
增后减，故 A 、 B 均错；函数
处取到极小值，故 C 错；令 2 x
x
π kπ π kπ k Z ，故函数 f x 的对称中心为 , 0 k Z ， 8 2 8 2 S△ABD S △ACD
， 所 以
10． 【答案】D 【解析】因为 S△ABC
【解析】依题意，
得a
2 ，故 z
1 1 1 1 i ，故复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为 , ，该点位于第一象限，故选 A. 2 2 2 2 p, q 均为真命题，故 p q 、 p q 、 p q
3． 【答案】D 【解析】依题意，由函数图象可知，命题 均为假命题， 4． 【答案】B 【解析】由题中图可知，该校初级教师、中级教师、高级教师的人数比例为 2:3:1，故抽取的 24 人中，初级教师有 8 人， 中级教师有 12 人，高级教师有 4 人. 5． 【答案】C
…….（ 12 分）
18． 【解析】 （ I）记 3 批救灾物资至少有 1 批投掷到乙位置为事件 A ，故 P
A 1
1 1 7 1 .…（4 分） 8 8 2
3
（II）由题救灾物资投掷到甲位置的概率为
1 2 1 ，救灾物资不投到甲位置的概率为 ，故 X : B 3, ，即 X 3 3 3
1 AC AD sin CAD 2
1 1 AB AC sin BAC AB AD sin BAD 2 2 π 当 且 仅 当 BAC BAD CAD 时 ， 2
S△ABC S△ABD S △ACD 取到最大值，此时 BC CD BD 4 2 ，将三棱锥 A BCD 补成
2016届百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第四模拟)(解析版)
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第四模拟）一、选择题：共12题1．已知=1+n i,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+n i在复平面内对应的点到坐标原点的距离为A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】本题考查复数的运算、复数相等的定义等,属于基础题.将已知化简可得m=(1+n)+(n-1)i,或直接将等式左边的复数标准化,利用复数相等可得答案.通解由已知可得m=(1+n i)(1-i)=(1+n)+(n-1)i,因为m,n是实数,所以,故,即m+n i=2+i,m+n i 在复平面内对应的点为(2,1),其到坐标原点的距离为,故选C.优解+i=1+n i,故,即,m+n i在复平面内对应的点到坐标原点的距离为.2．若集合M={y|y=2-x},P={y|y=},则A.M=PB.M⊆PC.P⊆MD.M∩P=⌀【答案】B【解析】本题考查集合间的关系及函数的值域,属于基础题.先求得集合M,P,然后利用集合间的关系可得正确选项.因为集合M={y|y>0},P={y|y≥0},故M⊆P,选B.3．已知命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0,则¬p为A.∀x∈R,x2+5x+8<0B.∃x0∈R,+5x0+8≤0C.∃x0∈R,+5x0+8<0D.∀x∈R,x2+5x+8≤0【答案】B【解析】本题考查特称命题与全称命题、命题的否定等知识,意在考查考生对基础知识的掌握情况.由全称命题的否定为特称命题可知,命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0的否定为:∃x0∈R,+5x0+8≤0,故选B.4．2016年3月15日“国际消费者权益日”之际,物价局对某公司某种商品的广告费用x与销售额y进行调查,统计数据如表所示,根据图表可得回归直线方程x+中的=10.6,据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为A.112.1万元B.113.1万元C.111.9万元D.113.9万元【答案】C【解析】本题考查回归直线方程的性质与应用,根据回归直线过样本点的中心得的值,从而求得广告费用为10万元时的销售额.将样本点的中心(3.5,43)代入回归直线方程得=5.9,所以广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9(万元),故选C.5．已知有限等差数列{a n}共9项,其中前4项的和为3,后3项的和为4,则第5项为A. B. C. D.1【答案】A【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,意在考查考生的理解能力与运算求解能力.设等差数列{a n}的公差为d,则由题意可知,解得a1=,d=,∴a5=+4×,故选A.6．已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,设a=f(-),b=f(-),c=f(),则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用.由已知得函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,而a=f(-)=f(),b=f(-)=f(),c=f(),所以只需比较,,的大小即可.∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a=f(-)=f(),b=f(-)=f(),又c=f(),且0<,∴c>a>b,故选B.7．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.8-log38B.9-log38C.8-log340D.10-log340【答案】B【解析】本题考查程序框图的理解与应用,考查考生的运算求解能力.依次执行程序即可确定输出的S的值. 运行该程序,S=10+sin+lo1=11,n=2;S=11+sin π+lo2=11+lo2,n=3;S=11+lo2+sin+lo3=10+lo6,n=4;S=10+lo6+sin 2π+lo4=10+lo24=9+lo8,n=5.故输出的S=9-log38,故选B.8．设函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|<)的图象关于直线x=0对称,则y=f(x)在[,]上的值域为A.[-,0]B.[-2,0]C.(-,0)D.(-2,0)【答案】A【解析】本题考查函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象与性质.根据其图象关于直线x=0对称以及φ的范围,可得φ=,即可求解.由题意得函数f(x)=2sin(2x++φ),因为其图象关于直线x=0对称,所以2×0++φ=+kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,f(x)=2sin(2x++)=2cos 2x.当≤x≤时,≤2x≤,所以y=f(x)在[,]上的值域为[-,0].9．已知实数x,y满足约束条件向量a=(x,y),b=(3,-1),设z表示向量a在向量b方向上的投影,则z的取值范围是A.[-,6]B.[-1,6]C.[-,]D.[-,]【答案】C【解析】本题考查线性规划、平面向量数量积的运算等知识,考查考生分析、解决问题的能力和运算求解能力.作出不等式组对应的平面区域,利用向量投影的定义得到z的表达式,利用数形结合即可得到结论.通解画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,向量a在向量b方向上的投影z=(3x-y),由可行域知,a=(x,y)=(2,0)时,向量a在b方向上的投影最大,且最大值为;当a=(,3)时,向量a在b方向上的投影最小,且最小值为-=-,所以z的取值范围是[-,].优解由可得可行域的顶点坐标分别为(2,0),(,3),(0,1),当a=(x,y)=(2,0)时,a·b=6,所以向量a在b 方向上的投影为;当a=(,3)时,a·b=-,所以向量a在b方向上的投影为-=-;当a=(x,y)=(0,1)时,a·b=-1,所以向量a在b方向上的投影为-=-.所以z的取值范围是[-,].10．若某几何体的正视图和俯视图(正六边形)如图所示,则该几何体的体积是A.+πB.3+πC.9+πD.3+π【答案】C【解析】本题考查三视图和简单组合体的体积,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.由三视图可知,该几何体是一个上面是一个圆柱,下面是一个正六棱柱的组合体,进而利用圆柱、六棱柱的体积计算公式求解.由三视图可知,该几何体是一个简单组合体,上面是一个圆柱,圆柱的底面直径是,高是2,故圆柱的体积是π×()2×2=π,下面是一个正六棱柱,六棱柱的高是,底面是边长是2的正六边形,故六棱柱的体积是6××2×2×=9,因此该几何体的体积是9+π.11．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F1(-2,0),双曲线的离心率为2,经过F2的直线l的斜率为-m,直线l与双曲线的右支交于不同的两点A,B,若∠AOB(O为坐标原点)不是锐角,则实数m的取值范围为A.(-∞,-]∪[,+∞)B.(-∞,-)∪(,+∞)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-∞,-]∪[,+∞)【答案】C【解析】本题考查双曲线的方程、几何性质,直线与双曲线的位置关系,考查考生的运算求解能力和数形结合能力,属于较难题.因为F1(-2,0),双曲线的离心率为2,所以c=2,a=1,b2=c2-a2=3,所以双曲线的标准方程为x2-=1.因为经过F2的直线l的斜率为-m,所以直线l的方程为y=-m(x-2),将其与双曲线的标准方程联立,化简整理得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0,由Δ>0,得4m4+(3-m2)(4m2+3)>0,即m2+1>0恒成立.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x 1+x2>0,x1x2>0,即>0,>0,所以m2>3.因为∠AOB不是锐角,所以·≤0,即x1x2+y1y2≤0,又y1y2=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,所以(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2≤0,整理得-5m2+3≤0,解得m2≥.综上,m2>3,即实数m的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).12．已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)-x的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成一个数列{a n},该数列的前n项和为S n,则S10=A.40B.50C.90D.110【答案】C【解析】本题考查函数的图象、函数的零点、数列的通项公式及求和.先根据函数的图象与性质判断出零点,再由数列的特点求出其通项公式与前n项和.当x≤0时,g(x)=2x-1-x,其零点为0和-1.当0<x≤2时,有-2<x-2≤0,则f(x)=f(x-2)+1=2x-2,当2<x≤4时,有0<x-2≤2,则f(x)=f(x-2)+1=2x-4+1,当4<x≤6时,有2<x-2≤4,则f(x)=f(x-2)+1=2x-6+2,当6<x≤8时,有4<x-2≤6,则f(x)=f(x-2)+1=2x-8+3,以此类推,当2n<x≤2n+2(n∈N)时,f(x)=f(x-2)+1=2x-2n-2+n.结合函数图象可知方程f(x)-x=0在(0,2],(2,4],(4,6],…,(2n,2n+2]上的根依次为2,4,6,…,2n+2.即函数g(x)=f(x)-x的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成的数列为0,2,4,6,…,2n+2,其通项公式为a n=2n-2,前n项和为S n==n(n-1),所以S10=90,C正确.二、填空题：共4题13．已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.【答案】【解析】本题考查抛物线的定义与几何性质,考查考生的数形结合能力与简单的运算能力.解题的关键是由抛物线的定义得方程.设该点的横坐标为x0,则由抛物线的定义得x0+=2x0,解得x0=.14．已知(ax+1)5的展开式中x3的系数与(x+)4的展开式中第三项的系数相等,则a=.【答案】【解析】本题主要考查二项展开式的特定项的系数、通项,考查考生的运算能力,属于容易题.(ax+1)5=(1+ax)5的展开式的通项为T k+1=(ax)k=a k x k,令k=3,则x3的系数为a3=10a3,同理(x+)4的展开式中第三项的系数为×()2=,所以10a3=,a=.15．已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是.【答案】18【解析】根据已知可得球的半径等于1,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆的半径等于1,即底面三角形的高等于3,边长等于2,所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2+2××2×3=18.16．设函数f(x)=e x+(x≠0,m≠0)在x=1处的切线与(e-1)x-y+2 016=0平行,kf(s)≥t ln t+1在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,则实数k的取值范围为.【答案】[,+∞)【解析】本题考查导数在解决函数性质与不等式恒成立问题中的应用,考查考生综合分析问题与解决问题的能力、等价转化能力及计算能力.由题意可得f'(1)=e-m=e-1,所以m=1.当s∈(0,+∞),t∈(1,e]时,f(s)>0,g(t)=t ln t+1>0 ,由kf(s)≥t ln t+1可得k≥在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,即k≥[]max,故只需求出f(x)在(0,+∞)上的最小值和g(x)在(1,e]上的最大值即可.由f(x)=e x+可得f'(x)=e-.由f'(x)>0可得x>或x<-,由f'(x)<0可得-<x<0或0<x<, 所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,0),(0,)上单调递减,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f()=2.由g(x)=x ln x+1可得g'(x)=ln x+1>0在(1,e]上恒成立,所以g(x)在(1,e]上的最大值为g(e)=eln e+1=e+1,所以k≥,所以实数k的取值范围是[,+∞).三、解答题：共8题17．在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2c sin.(1)求角C的大小;(2)若c=2,且△ABC的面积为,求a+b的值.【答案】(1)由题意得=sin A,由正弦定理得=sin A,又sin A≠0,∴sin C=,又0°<C<90°,∴C=60°.(2)∵S△ABC=ab sin60°=,∴ab=4.又c=2,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°,即4=a2+b2-2ab·,即4=(a+b)2-2ab-ab,∴(a+b)2=4+3ab=16,∴a+b=4 .【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识,考查考生对基础知识的掌握情况与计算能力,属于基础题.(1)由正弦定理化简a=2c sin A,从而得到角C的大小;(2)由余弦定理得到关于a,b的方程,由三角形面积公式得到关于a,b的方程,进而求解a+b的值.【备注】解决此类问题的关键在于能够正确地使用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式等,往往还会涉及最值或者是取值范围的求解,如本题中需要利用面积公式S△ABC=ab sin 60°与余弦定理,得到ab和a+b的关系.18．如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围. 【答案】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.(2)由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,由,得,取x=1,则n1=(1,,-λ)为平面MAB的一个法向量,易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴ cosθ= .∵0≤λ≤, ∴当λ=0时,cosθ有最小值,当λ=时,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].【解析】本题考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求二面角等知识,考查考生的空间想象能力.对于(1),先证明BC⊥AC,由此即可证明BC⊥平面ACFE;对于(2),由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出cosθ的取值范围.19．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,按1%的比例从年龄在20~80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查,并将年龄按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]进行分组,绘制成频率分布直方图,如图所示.规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)岁的人为“中年人”, [60,80]岁的人为“老年人”.(1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数,若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表,试估算所调查的600人的平均年龄;(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20~80岁的人口分布的概率,从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0.01+0.01)×10=0.2,故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0.2=120,故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%=12 000.所调查的600人的平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁).(2)通解由频率分布直方图知,“老年人”所占的频率为,所以从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取1人,抽到“老年人”的概率为,分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=()0()3=,P(X=1)=()1()2=,P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3()0=.所以X的分布列为EX=0×+1×+2×+3×.优解由题意知每次抽到“老年人”的概率都是,且X~B(3,),P(X=k)=()k(1-)3-k,k=0,1,2,3,所以X的分布列为故EX=3×.【解析】本题考查频率分布直方图及其应用、随机变量的分布列和数学期望,意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力和应用意识.对于(1),从频率分布直方图可求出该城市60岁以上(含60岁)的人数,平均年龄等于频率分布直方图中每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和;对于(2),分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3,据此求出相应的概率,从而求出分布列和数学期望,也可先得到X~B(3,),进而求分布列和数学期望.【备注】解决有关频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的关系,这些数据中,比较明显的有组距、,隐含的有频率(小长方形的面积),注意小长方形的高是,而不是频率.解题时要注意合理使用这些数据,同时要注意两个等量关系:(1)小长方形的面积等于频率,且小长方形的面积之和等于1,即频率之和为1;(2)频率分布直方图中,中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.20．已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率k PA、k PB满足k PA·k PB=-.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)若H是曲线E与y轴正半轴的交点,则曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明满足条件的M、N有几对;若不存在,请说明理由.【答案】(1)设点P的坐标为(x,y)(x≠±2),则k PA=,k PB=.依题意k PA·k PB=-,所以·=-,化简得+y2=1,所以动点P的轨迹E的方程为+y2=1(x≠±2).(注:如果未说明x≠±2(或y≠0),扣1分.)(2)假设能构成等腰直角三角形HMN,其中直角顶点H为(0,1). 由题意可知,直角边HM、HN不可能垂直或平行于x轴,故可设HM所在直线的方程为y=kx+1(k>0),则HN所在直线的方程为y=-x+1.联立,消去y整理得(1+4k2)x2+8kx=0,得x M=-, 将x M=-代入y=kx+1可得y M=-+1,故点M的坐标为(-,+1).所以|HM|=,同理可得|HN|=,由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,所以k3-4k2+4k-1=0,整理得(k-1)(k2-3k+1)=0,解得k=1或k=.当直线HM的斜率k=1时,直线HN的斜率为-1;当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为;当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为.综上所述,符合条件的M、N有3对.【解析】本题考查动点轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系,考查考生的运算能力和综合分析问题、解决问题的能力.对于(1),设点P的坐标为(x,y)(x≠±2),根据k PA·k PB=-列出等式,化简得动点P的轨迹E的方程;对于(2),易知直角边HM、HN不可能垂直或平行于x轴,故可设出HM、HN所在直线的方程,与椭圆的方程联立,结合|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,解方程即可.【备注】高考对圆锥曲线的考查主要围绕圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系展开,多涉及直线被圆锥曲线所截得的弦长、三角形的面积、向量数量积等的最值、取值范围等问题,也常常设置以定点、定值、定直线的存在性为主的探究性问题.这类问题的求解思路比较清晰,一般需利用根与系数的关系解决,对分析判断能力、运算能力等要求较高,需要考生多加练习.21．已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+bx(a≠0).(1)当a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,若函数φ(x)=e2x+b e x,x∈[0,ln 2],求函数φ(x)的最小值;(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线,分别交C1、C2于点M、N,则是否存在点R,使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行?若存在,求出点R的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)依题意h(x)=ln x+x2-bx.∵h(x)在其定义域(0,+∞)上是增函数,∴h'(x)=+2x-b≥0在(0,+∞)上恒成立,∴b≤+2x在(0,+∞)上恒成立.∵x>0,∴+2x≥2,当且仅当=2x,即x=时等号成立.∴b的取值范围为(-∞,2].设t=e x,则函数φ(x)可化为y=t2+bt,t∈[1,2],即y=(t+)2-,∴当-≤1,即-2≤b≤2时,函数y=t2+bt在[1,2]上为增函数,当t=1时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=b+1.当1<-<2,即-4<b<-2时,当t=-时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=-.当-≥2,即b≤-4时,函数y=t2+bt在[1,2]上为减函数,当t=2时,函数y=t2+bt取得最小值,且y min=4+2b. 综上所述,当-2≤b≤2时,φ(x)的最小值为b+1;当-4<b<-2时,φ(x)的最小值为-;当b≤-4时,φ(x)的最小值为4+2b.(2)设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且0<x1<x2,则点M、N的横坐标均为x=.曲线C1在点M处的切线的斜率k1=,曲线C2在点N处的切线的斜率k2=+b.假设曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行,则k1=k2,即+b,则+b(x2-x1)=(+bx2)-(+bx1)=g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)=ln x2-ln x1=ln,∴ln.设u=>1,则ln u=,u>1①,令r(u)=ln u-,u>1,则r'(u)=-.∵u>1,∴r'(u)>0,∴r(u)在(1,+∞)上单调递增,故r(u)>0 ,则ln u>,这与①矛盾,故假设不成立,故不存在点R,使曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值、两条直线平行的判定等知识,考查考生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.(1)先根据函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数,得到一个关于b的不等式,解此不等式即得b的取值范围,再设t=e x,将函数φ(x)化为关于t的二次函数,最后将函数φ(x)的最小值问题转化成二次函数在闭区间上的最值问题;(2)先假设曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行,利用导数的几何意义求出两切线的斜率,再利用斜率相等进行求解.【备注】对于导数、函数、不等式相结合的综合题,解答的第一步是求函数f(x)的导函数f'(x),然后根据不同的问题进行求解.(1)若解决切线问题,将切点的横坐标代入f'(x)得切线的斜率;(2)若解决单调性、极值(最值)问题,由f'(x)≥0或f'(x)≤0确定其单调区间,再处理相关问题;(3)若解决与不等式相关的问题,则通常需要构造新函数,并利用导数研究其性质.22．在△ABC中,已知AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E,延长AD交BC 的延长线于.(1)求证:∠CDF=∠EDF;(2)求证:AB·AC·DF=AD·FC·F.【答案】(1)∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CDF=∠ABC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∠ADB=∠ACB,∴∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF.(2)由(1)得∠ADB=∠ABF,又∠BAD=∠FAB,∴△BAD∽△FAB,∴,∴AB2=AD·AF.又AB=AC,∴AB·AC=AD·AF,∴AB·AC·DF=AD·AF·DF.根据割线定理得DF·AF=FC·FB,∴AB·AC·DF=AD·FC·FB.【解析】本题考查圆周角定理、割线定理、三角形相似等知识.(1)根据A、B、C、D四点共圆,可得∠CDF=∠ABC,由AB=AC可得∠ABC=∠ACB,进而可得结论;(2)证明△BAD∽△FAB,可得AB2=AD·AF,根据AB=AC,得AB·AC=AD·AF,再利用割线定理即可得到结论.23．直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),T为直线l与曲线C的公共点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点T的极坐标;(2)将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线W,过点T作直线m,若直线m被曲线W截得的线段长为2,求直线m的极坐标方程.【答案】(1)曲线C的普通方程为+=1,将(t为参数)代入上式整理得t2-4t+4=0,解得t=2.故点T的坐标为(,1),其极坐标为(2,).(2)依题意知,坐标变换式为,故W的方程为+=1,即x2+y2=6.当直线m的斜率不存在时,其方程为x=,显然成立.当直线m的斜率存在时,设其方程为y-1=k(x-),即kx-y-k+1=0,由已知,圆心(0,0)到直线m的距离为,故,解得k=-.此时,直线m的方程为y=-x+2.故直线m的极坐标方程为ρcosθ=或ρsinθ+ρcosθ=2.【解析】无24．已知函数f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+m.(1)已知常数a<2,解关于x的不等式f(x)+a-2>0;(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围. 【答案】(1)由f(x)+a-2>0得|x-3|>2-a,∴x-3>2-a或x-3<a-2.∴x>5-a或x<a+1,故不等式的解集为(-∞,a+1)∪(5-a,+∞).(2) ∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,∴f(x)>g(x)恒成立,则m<|x-3|+|x+4|恒成立,∵|x-3|+|x+4|≥|(x-3)-(x+4)|=7,∴m的取值范围为m<7.【解析】无。
2016年全国卷数学高考押题卷(理)及答案解析
2016全国卷高考押题卷 数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第15考题为三选一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；选择题答案使用0．5毫米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体：工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y 2=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M∩N 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 2．复数11iz i+=-的模长为（ ） A.1 B.2C.D.23．若cos2α=，则cos 2α=（ ）A. 13B. 79C. 7-9D. 1-34．设某中学高三的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(),x yC. 若该中学高三某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学高三某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 5．下面程序运行后，输出的值是（ ）i=0 DOi=i+1LOOP UNTIL i*i>=2000 i=i-1 输出 iA.42B.43C.44D.45 6．过点（1，1）的直线与圆224640x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为（ ）A. B.4C. D.57．已知变量x ，y 满足约束条件20170x y x x y ⎧-+≤⎪≥⎨+-≤⎪⎩，则y x 的取值范围是（ ）A. 9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. )9-，6，+5⎛⎤⎡∞∞ ⎥⎣⎝⎦ C. ()-，36，+⎤⎡∞∞⎦⎣ D. 3,6⎡⎤⎣⎦ 8．设向量，，则“12e x dt t=⎰ ”是“∥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．数列{a n }满足：{6(4)n 10,(n 7),(n 7)n n a a a ---≤=>，且{a n }是递增数列，则实数a 的范围是（ ）A. 9,44⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()1,4D. ()2,410．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，求23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭（ ）A. 1006B.1007C. 1008D.2014二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．双曲线22--116x y m=的离心率为53，则m 等于 _________ ． 12．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积为 _________cm 3．13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第1个数为 _________ ．14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 5（1+x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 3= _________ ． 15．（考生注意：请在下列三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）函数的最大值是 _________ ． B.（几何证明选讲选做题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，⊙O 分别切AC 、BC 于M 、N ，圆心O 在AB 上，⊙O 的半径为4，OA=5，则OB 的长为 _________ ．C.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是 _________ ．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足s i n c o s a C c A=，2AB AC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；（2）若1b =，求边c 与a 的值．17．（本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n =a n+1—2n+l +1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页,24题(含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =(A ）)23,3(--(B ）)23,3(-（C ）)23,1((D))3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(,其中y x ,是实数，则=+yi x(A ）1（B ）2（C ）3（D)2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩,解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ,则=100a(A ）100(B)99（C)98（D)97【解析】:由等差数列性质可知:()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =,而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车,小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 (B ）21 (C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ． （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 (A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C))3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线,则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17(B ）π18 (C ）π20（D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C ）（【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<,排除B ；0x >时,()22x f x x e =-,()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8)若1>>b a ，10<<c ，则（A)c c b a < （B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增,因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<,B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<,C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ，1=n ,则输出y x ,的值满足（A)x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环:22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点,交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ,则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4(C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >,设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ,52p D ⎛- ⎝,点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =, 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．(11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， F ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11,则n m ,所成角的正弦值为(A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ,结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥,同理可得:1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12)已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ,4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为(A)11（B ）9（C)7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+,其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法:若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减,不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==,此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。
2016新课标1高考压轴卷 数学(理1) 含答案解析
2016新课标Ⅰ高考压轴卷数学理本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}1,ln(2)A x x B x y x =≥-==-则R AC B =A ．[一1，2）B ．[2，+∞）C ．[一l ，2]D ．[一1，+∞） 2.在复平面内，复数错误！未找到引用源。
所对应的点位于( ) （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.已知函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是( )A ．f （x ）=﹣x 3B ．f （x ）=+x 3C ．f （x ）=﹣x 3D ．f （x ）=﹣﹣x 34.已知双曲线c ：=1（a ＞b ＞0），以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=2a ，则双曲线C 的离心率是( ) A ．B ．C ．2D ．5.如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A．B．C．D．6.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A．B．C．D．7.函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A．B． C． D．8.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是( )A． B．0 C．D．9.已知a，b都是负实数，则的最小值是( )A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）10.如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是( )A．48 B．24C．16 D．811.设P（x，y）是函数y=f（x）的图象上一点，向量=（1，（x﹣2）5），=（1，y﹣2x），且满足∥，数列{a n }是公差不为0的等差数列，若f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 9）=36，则a 1+a 2+…+a 9=( ) A ．0B ．9C ．18D ．3612.已知函数f （x ），当x ∈（0，1]时满足如下性质：f （x ）=2lnx 且1()2()f x f x =，若在区间1[,3]3内，函数g （x ）=f （x ）﹣ax ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.设a=dx ，则二项式展开式中的常数项为 ．14.已知向量=（1，2n ），=（m+n ，m ）（m ＞0，n ＞0），若，则m+n 的最小值为 ．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C=π，sinA=，c ﹣a=5﹣，则b= ．16.已知点)0,4(M ，点P 在曲线x y 82=上运动，点Q 在曲线1)2(22=+-y x 上运动，则PQPM 2的最小值是 .三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1+a 2+a 3=9，b 1b 2b 3=27． （1）若a 4=b 3，b 4﹣b 3=m ．①当m=18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；（2）若a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最大值．18.某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B 、C 、D 三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B 、C 、D 测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是． （Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B 、C 进行测试，小王选择测试点B 、D 进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ． 19.如图：是直径为2的半圆，O 为圆心，C 是上一点，且．DF ⊥CD ，且DF=2，BF=2，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点，且FR=3RC ． （Ⅰ）求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值．20.已知椭圆C ：1x 2222=+by a （a ＞b ＞0）经过点（1，23），离心率为23．（1）求椭圆C 的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P （0，31），若cos ∠APB=﹣31，求直线l 的方程． 21.已知函数f （x ）=+ax ，x ＞1．（Ⅰ）若f （x ）在（1，+∞）上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若a=2，求函数f （x ）的极小值； （Ⅲ）若存在实数a 使f （x ）在区间（）（n ∈N *，且n ＞1）上有两个不同的极值点，求n 的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知△ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B=60°，F 在AC 上， 且AE=AF ．（1）证明：B ，D ，H ，E 四点共圆； （2）证明：CE 平分∠DEF．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线错误！未找到引用源。
2016年高考数学押题精粹试题 理(全国卷)
2016年高考数学押题精粹试题 理（全国卷）本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B ð等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<< ð2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限.3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）A.121 C.1 D.12【答案】A【解析】由()1i 1i i z -=-+i ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以z 的实部为12,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合. 5.若()(),,,Aa b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） A.12B.2【答案】A【解析】1,2,a c ==∴ C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92 B.97 C.61 D.56 【答案】D【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12C ．－3D ．13【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+; 11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当 201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的 2s =.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.6【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序， 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( ) A.2 B.2 C. 3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b上的投影为2()||⋅+====+a a b a b11.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）i【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C ,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）A.2333cm B.2233cmC.4763cm D.73cm 【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -截去一个三棱锥11C B EF -后所得的多面体，其体积为1123222112.323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B 【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +， ∴12020x x +=.又120516516,20x x x x x x +=+∴+= .15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116D.2916【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X ()()21000N σσ> ,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231001011332A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1【答案】A【解析】因为()2cos 221x xf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x xx x f x f x x --+-=++++ 212cos 212cos 22112x x xx x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0,所以ππ()() 2.33f f -=-=-19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数 【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin f x x πϕϕϕ-+==+=即s i n ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131- 【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++ ，即1283a a a +++=- ．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--= ，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）32 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a ab c c ， ,所以2222()()()a aba c a c c-+=-, 222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得 2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.2【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则sin 3θ= ∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为 113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．D ．(0]2，【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+ ,2AB = ,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=- ,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6【答案】A【解析】DE BF ⋅= 22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=- .由2CD AB == ,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉= ，,所以π3CB CD 〈〉= ，,从而π3AB AD 〈〉= ，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D.26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）()()43ππ>()()64f ππ>()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C 【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x '<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>()()63f ππ<，故选C ．28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'=,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e,结合()g t 图象,可得110e e a a <<⇒> ,故选B.29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(AC =,()BD = ,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4- 【答案】C【解析】取(0,0)A ,则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则2121 1.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,1AB x y x y ==-,(221,CD x y =-,求得222211()()2222AB CD x y ⋅=++--≥-,当11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅ 取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C.30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ，易知1AO =1Rt OO A ∆中，12cos30O A OA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =.33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520-【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2ng n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)ng g g +++- ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++- ＝113(21)n ++++- ＋1(2)(4)(22)n g g g ++++- ＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+ ，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n n f n f +-=+++=- ．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13n f n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++- ＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-= ．35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin823bc bc π=∴=.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=. 36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB . （1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ，故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n nb a =，求适合方程1223145...32n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值.【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍）， 故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n = 38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(21)2nn n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++--∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；② ()2,E X =().5D X =【解析】：2200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==2 1.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦ . 从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦ . 因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A PC P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =，故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且B C A B ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM - ．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =，因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅= ，所以EM n ⊥ ，又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =．又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-= ，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩ 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=- ，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅25===．所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ，∴()2,0,1BM =- ，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥ ，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<，设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1= ，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n = ，∵121212cos ,6n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =，∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ，∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=- ．(,)MN m n =-，∴由0=⋅，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=-- ，224(2,)a FT a y =-- ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ．因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =-- ．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =- ． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00()AP x y =，()AM m = .因为,,A P M 三点共线，所以AP AM，故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅= . 因为(,)RM t m =- ，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即20t =，整理得2202033y t x =--， 又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二：（1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得P，(Q . 设(0,)M m ，(0,)N n又直线AP的斜率1k =AM的斜率2k =， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得m =同理，可得n =，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-，所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =，整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解．若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈ ， 只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<- 所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()x f x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）. （1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x x f x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅- 令()()xh x a x e a =⋅-，则()(1)x h x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0x h x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <. 令()(1)0x h x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅>得1x <-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， 又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<. 令()()0t f t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+. 因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+， 则22()(1)(21)tg t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0t t t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e =<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e<<. 当10t -<<时，因为2210,210,0t t t e -<-<>，所以'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e=<=<-=. 综上知，1240()f x e <<且2240()f x e <<． 47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠,同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD . （2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TDMC TC=,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC M D BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=. （2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =-==∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π．(3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分） 从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．（1）求证：PC PD =AC BD；（2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC～△DBA， ∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC，∴PC PD =AC BD.（2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC∽△ACD. ∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC(2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=, 所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=, 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= ,即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ， 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM .(3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m的取值范围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c++= ()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭21922≥+=.。
(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
范围是
（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3
【答案】A
考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. （6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
（1）设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
（A）
3,
3 2
【答案】D
（B）
3,
3 2
（C）
1,
3 2
（D）
3 2
,
3
考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
（8）若 a b 1，0 c 1,则 （A） ac bc （B） abc bac （C） a logb c b loga c （D） loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析：用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）
数学（理科）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷
百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第五模拟) Word版含解析
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第五模拟）一、选择题：共12题1．设集合A={-1,0,1,2,3},B={x|y=ln[(x+1)(2-x)]},则A∩B=A.{-1,1}B.{-1,0}C.{-1,1,2}D.{0,1}【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算、函数的定义域,考查考生对基础知识的掌握情况.由(x+1)(2-x)>0得-1<x<2,即B={x|-1<x<2},于是A∩B={0,1}.2．设a,b∈Z,若(a+i)(2-b i)=5,则a+b的值为A.3B.2C.4D.7【答案】A【解析】本题考查复数的基本运算,同时考查两个复数相等的充要条件的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.由(a+i)(2-b i)=(2a+b)+(2-ab)i=5得,由于a,b∈Z,所以a=2,b=1,故a+b=3.3．如图,ABCD是边长为4的正方形,若DE=EC,且F为BC的中点,则·=A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】本题考查平面向量的数量积,同时考查平面直角坐标系在求解平面向量试题中的基本应用.以A为坐标原点,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,4),F(4,2),那么=(-1,-4),=(3,-2),于是·=-1×3+(-4)×(-2)=5.4．如果点P(x,y)在平面区域内,那么z=4x+3y的最大值为A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】本题考查线性规划的知识,考查考生的数形结合能力.点P所在的区域如图中阴影部分所示,可以看出直线z=4x+3y过点A时,取得最大值.由得,此时z max=4×1+3×1=7.5．若某正八面体的各个顶点都在半径为1的球面上,则此正八面体的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查球内接正多面体与球之间的关系、多面体体积的计算,考查考生的空间想象能力.设正八面体的棱长为a,则VO=AC=a=1⇒a=,那么正八面体的体积为V=2××()2×1=.6．执行如图所示的程序框图,若输入x的值为-1,则输出S的值为A. B. C.20 D.【答案】A【解析】本题考查程序框图的有关知识,解这类题时,只需根据程序框图一步一步计算即可. 第一次循环:t=,S=,x=0;第二次循环:t=1,S=,x=1;第三次循环:t=2,S=,x=2;第四次循环:t=4,S=,x=3>2;第五次循环:t=3,S=,x=4;第六次循环:t=4,S=,x=5;第七次循环:t=5,S=,此时x=5>4.故输出S的值为.7．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A.2B.3C.5D.7【答案】D【解析】本题主要考查函数零点个数的计算,根据函数的奇偶性和周期性进行递推是解决本题的关键.∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,∴f(x+3)=f(x),f(0)=0,f(3)=0,∵f(2)=0,∴f(-2)=-f(2)=0,f(2+3)=f(5)=f(2)=0,则f(-2+3)=f(1)=f(4)=0,当x=-时,f(-+3)=f(-)=-f(),即f()=-f(),则f()=0,则f()=f(+3)=f()=0,则1,2,3,4,5,,为方程f(x)=0在区间(0,6)内的解,此时至少有7个,故选D.8．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆C交双曲线于A,B两点,AE与圆C相切,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,圆的方程,余弦定理等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想.解题时,先求出cos∠ACE=,在△ACF中计算得到|AF|=c,最后根据双曲线的定义便可得e.连接CA,AF,则|OC|=|CA|=|CF|=,|OE|=c,所以|EC|=,在Rt△EAC中,|AE|=c,cos∠ACE=,在△ACF 中,由余弦定理得|AF|=c.根据双曲线的定义,得c-c=2a,所以双曲线的离心率e=.故选C.9．若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cosθ=A. B.- C. D.-【答案】B【解析】本题考查两角和的三角公式在解题中的应用,同时考查三角函数取得最值的条件、诱导公式的应用等.由f(x)=5cos x+12sin x=13(cos x+sin x)=13sin(x+α),其中sinα=,cosα=,由x+α=2kπ-(k∈Z),得x=2kπ--α(k∈Z),所以θ=2kπ--α(k∈Z),那么cosθ=cos(2kπ--α)=-sinα=-.10．为贯彻落实中央1号文件的精神和新形势下国家粮食安全的战略部署,农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发,记者获悉,我国推进马铃薯产业开发的目标是:力争到2020年,将马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的A,B,C,D,E,F这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号为1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A,F这两块实验田上,则不同的种植方法有A.432种B.456种C.534种D.720种【答案】A【解析】本题考查排列组合的实际应用,考查考生基本的逻辑推理能力与计算能力.本题可以利用直接法,先对相邻的品种实施捆绑,然后安排2号品种外的全部品种,最后利用插空法安排2号品种;也可先求出1,3,5这三个品种中至少有两个相邻的所有情况,最后排除2号品种种植在A,F实验田上的情况即可.解法一(直接法)第一步:从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有种;第二步:将捆绑之后形成的2个元素与除2号品种之外的两个品种,共4个元素进行全排列,不同的种植方法有种;第三步:上述4个元素排好后形成5个空,但2号品种不能插在两端的空中,不同的种植方法有种.由分步计数原理可得,不同的种植方法共有=6×24×3=432种.解法二(排除法)第一步:从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有种;第二步:将捆绑之后形成的2个元素与其他的三个品种,共5个元素进行全排列,不同的种植方法有种;所以“编号为1,3,5的三个品种中至少有两个相邻”的不同种植方法共有=6×120=720种.其中编号为1,3,5的三个品种中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯种植在A,F实验田上的方法共有=2×6×24=288种.所以满足条件的不同种植方法有720-288=432种.11．记数列{a n}的前n项和为S n,若S n+(1+)a n=4,则a2 016=A. B.2 016×22 015 C.2 016×22 016 D.【答案】D【解析】本题考查数列的通项公式的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意累乘法的合理运用.由已知条件推导出,由此利用累乘法求出a n.∵数列{a n}的前n项和为S n,S n+(1+)a n=4①,∴当n≥2时,S n-1+=4②,①-②,并整理得,∴,,……,,∴a n=×…××a1=×…××1=.当n=1时,a1=1也适合此式,∴a n=,a2 016=.故选D.12．已知平行于x轴的直线分别交曲线y=e2x+1与y=于A,B两点,则|AB|的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查导数在解题中的应用,同时考查考生灵活处理问题的能力.设平行于x轴的直线方程为y=a(a>0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1<x2,则a=⇒x1=(ln a-1),而x2满足a=,那么|AB|=x2-x1=x2-(ln a-1)=x2-(ln-1)=x2-ln(2x2-1)+(x2>).设f(x)=x-ln(2x-1)+(x>),则f'(x)=1-.显然,当<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.于是,当x=时,f(x)取得最小值f()=-ln(2×-1)+,故|AB|的最小值为.二、填空题：共4题13．已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(ξ>8)=0.4,则P(ξ<0)=.【解析】本题考查正态分布密度曲线的特点,是一个基础题,考查考生对基础知识的掌握情况.因为随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),所以正态曲线关于x=4对称,所以P(ξ<0)=P(ξ>8)=0.4.14．某四面体的三视图如图所示,则该四面体的六条棱中最长棱的长度为.【答案】2【解析】本题主要考查空间几何体的三视图等知识.本题要求考生能够根据给出的几何体的三视图,得到几何体的直观图及相关数据.由三视图可知该四面体的直观图如图1所示,由图2可知BD=,BC=2.又AB=,AC=,所以该四面体的六条棱中最长棱的长度为2.图1图215．已知斜△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,c=1,C=.若sin C+sin(A-B)=3sin 2B,则△ABC 的面积为.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用,同时考查考生分析问题与解决问题的能力.∵△ABC是斜三角形,∴cos B≠0,则由sin(A+B)+sin(A-B)=2sin A cos B=6sin B cos B,得sin A=3sin B,由正弦定理得a=3b.由余弦定理得a2+b2-ab=1,b2=,△ABC的面积S=ab sin C=.16．已知F为抛物线C:y2=2x的焦点,点E在射线l:x=-(y≥0)上,线段EF的垂直平分线与l交于点Q(-,),与抛物线C交于点P,则△PEF的面积为.【答案】【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的简单几何性质,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.如图,由抛物线C的方程知,焦点F(,0),准线方程为x=-,设E(-,m)(m≥0),则EF的中点为G(0,),k EF=-m.又Q(-,),所以k QG==m-,则-m·(m-)=-1,得m=2,所以E(-,2),则|EF|=,直线EF的方程为2x+y-1=0,QG所在直线的方程为x-2y+2=0,联立得P(2,2),P到直线EF的距离d=,则△PEF的面积为.三、解答题：共8题17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(1)设数列{a n}的公差为d(d≠0),由题意得⇒⇒或(舍去),从而a n=2n.(2)由(1)得b n=(-),那么T n=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.【解析】本题考查等差、等比数列的基础知识,考查通项公式与前n项和公式的应用及裂项相消法在求和中的应用.解题时,(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前n项和求出首项和公差,进而求出数列{a n}的通项公式;(2)利用裂项相消法求和.【备注】数列在全国卷中的命题有两种可能:一是命客观性试题,此类题往往命制两道;二是命一道客观题和一道解答题,解答题有两问,第(1)问是数列的基础知识与基本技能性问题或是等差、等比数列的基本量之间的关系问题,第(2)问往往与错位相减或裂项相消的求和方法结合.18．如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a.(1)若D,E,F分别为AB,BC,BB1的中点,判断AC1与平面DEF是否平行?若平行,请给予证明,若不平行,说明理由;(2)求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小.【答案】(1)通解连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DG∥AC1,因为DG⊂平面GDF,AC1⊄平面GDF,则AC1∥平面GDF.由于平面GDF∩平面DEF=DF,故AC1与平面DEF不可能平行.优解1连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DG∥AC1,而DG⊄平面DEF,且DG与平面DEF交于点D,故AC1与平面DEF不可能平行.优解2建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C1(-a,,a),D(0,,0),E(-a,,0),F(0,a,a),=(-a,,a),=(-a,,0),=(0,,a).设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则,即,故取m=(,,-)为平面DEF的一个法向量. 又m·=-a+a-a≠0,所以m与不垂直,故AC1与平面DEF不可能平行.(2)解法一过C1作C1P⊥A1B1于P,由正棱柱的性质可知C1P⊥平面ABB1A1,连接PA,则∠C1AP为AC1与侧面ABB1A1所成的角.由于正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,则AC1=a,又上底面三角形A1B1C1是边长为a的正三角形,因此,C1P=a.在Rt△APC1中,sin∠C1AP=,故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.解法二建立如优解2中的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C1(-a,,a),由于n=(-1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量,=(-a,,a),则cos<,n>=,故<,n>=60°,故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.【解析】本题第(1)问考查线面平行的判定,只要抓住线面平行的判定定理即可产生结论;第(2)问考查线面角,求解时要用到空间直角坐标系,借助于空间向量完成,也可以用传统法求解.【备注】以多面体为依托,设计多问的形式,既考查线线、线面、面面的位置关系,也考查空间角、空间距离、表面积、体积等数量关系是近几年命题的一大趋势,其解题步骤遵循“作、证、求”的基本思路,强调作图、证明和计算相结合的“三合一”步骤.19．某商场的20件不同的商品中有的商品是进口的,其余是国产的.在进口的商品中高端商品的比例为,在国产的商品中高端商品的比例为.(1)若从这20件商品中按分层(分三层:进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件,求抽取进口高端商品的件数;(2)在该批商品中随机抽取3件,求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率;(3)若销售1件国产高端商品获利80元,国产非高端商品获利50元,若销售3件国产商品,共获利ξ元,求ξ的分布列及数学期望Eξ.【答案】(1)由题意得,进口的商品有15件,其中5件是高端商品,10件是非高端商品,国产的商品有5件,其中3件是高端商品,2件是非高端商品,若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件,则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B为“在该批商品中随机抽取3件,恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”,事件A1为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品,0件国产高端商品”,事件A2为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品,1件国产高端商品”,则P(B)=P(A1)+P(A2)=++,所以在该批商品中随机抽取3件,恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品,其中3件是高端商品,2件是非高端商品,那么,当销售3件国产商品时,可能有1件高端商品,2件非高端商品,或2件高端商品,1件非高端商品,或3件都是高端商品,于是ξ的可能取值为180,210,240.P(ξ=180)=,P(ξ=210)=,P(ξ=240)=.所以ξ的分布列为故Eξ=180×+210×+240×=204.【解析】第(1)问考查分层抽样的应用,注意按比例抽取即可;第(2)问是古典概型的概率问题,但基本事件的个数不是通过列举产生的,而是利用组合数产生;第(3)问首先要求出ξ的可能取值,然后求出相应的概率,最后产生数学期望.【备注】建立在统计的基础上,考查简单的抽样问题在高考中十分常见,对此考生要掌握抽样方法的操作方法:分层抽样,按比例从每层中抽取;系统抽样,首先要对总体中的个体进行编号,其次确定分段间隔,对编号进行分段,然后在第一段中用简单随机抽样确定一个个体编号,最终产生结果.20．已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,点M是椭圆上一点,三角形MF1F2的面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,求d的取值范围.【答案】(1)由题意可得,又三角形MF1F2的面积的最大值为1,∴·2c·b=1,即bc=1.又a2=b2+c2,∴b2=c2=1,a2=2,故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)依题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(m≠k),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,∴由Δ>0得2k2+1>m2,①.又直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,∴+=2k,∴+=2k,即+=2k,化简得(m-k)(x1+x2+2)=0,因为m≠k,所以x1+x2+2=0,即-+2=0,得m=k+.②由①②得(k+)2<2k2+1,解得k2>.又点F2(1,0)到直线l的距离d==|2k+|·=(2+)·,令t=(1<t<),则d=(+)·(t+),易知f(t)=t+在(1,)上单调递减,所以<d<2.故d的取值范围是(,2).【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程及直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的数形结合思想和逻辑推理能力.(1)由离心率为,焦点三角形MF1F2的面积的最大值及a2=b2+c2,即可得椭圆的标准方程;(2)先利用直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,得m=k+,又直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,直线l与椭圆方程组成关于x的一元二次方程,由Δ>0得2k2+1>m2,再由点到直线的距离得d=(2+)·,利用换元法及函数的单调性求得<d<2.【备注】高考对圆锥曲线的考查一般分多问,第(1)问一般根据圆锥曲线的定义或几何性质求解圆锥曲线的标准方程,第(2)问一般在求出圆锥曲线方程的基础上,通过求解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用根与系数的关系得到含有参数的等式,再进一步研究参数的取值范围、中点弦问题、弦长或面积的最值问题等.21．已知函数f(x)=(a≠0),g(x)=+2ln(x+2).(1)若1<a<,试问是否存在x1,x2∈[-,-a],使得f(x1)>g(x2);(2)若P是曲线y=g(x)上任意一点,求点P到直线8x+y+15=0的最小距离,并求此时点P的坐标.【答案】(1)由f(x)=⇒f'(x)=,若1<a<,当x∈[-,-a]时,f'(x)<0,f(x)单调递减,由此可得当x∈[-,-a]时,f(x)的值域为[,2a].由g(x)=+2ln(x+2)⇒g'(x)=-+,显然,当x∈(-2,-)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x∈(-,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.因此,当x∈[-,-a]时,g(x)单调递增,由此可得当x∈[-,-a]时,g(x)的值域为[2-2ln 2,+2ln(2-a)].若存在x1,x2∈[-,-a],使得f(x1)>g(x2),则只需2a>2-2ln 2,即a>,由于1<a<,故必存在x1,x2∈[-,-a],使得f(x1)>g(x2).(2)设与直线8x+y+15=0平行且与曲线y=g(x)相切的直线的斜率为k,切点坐标为(x0,y0),由于g'(x)=-+,则k=-+=-8⇒x0=-或x0=-(舍去),得切点坐标为(-,4(1-ln 2)),此时切线方程为y-4(1-ln 2)=-8(x+),即y=-8x+4(1-ln 2)-14.令r(x)=+2ln(x+2)-[-8x+4(1-ln 2)-14],则r'(x)=-++8=,由于函数r(x)的定义域为(-2,+∞),于是当x∈(-2,-)时,r'(x)<0,函数r(x)单调递减;当x∈(-,+∞)时,r'(x)>0,函数r(x)单调递增.故当x=-时,r(x)有极小值,也是最小值,且r(-)=0,故曲线y=g(x)恒在直线y=-8x+4(1-ln 2)-14的上方.所以点(-,4(1-ln 2))到直线8x+y+15=0的距离即点P到直线8x+y+15=0的最小距离,且最小距离为,点P的坐标为(-,4(1-ln 2)).【解析】本题考查函数的图象与性质、最值、切线等知识,考查考生综合分析问题、解决问题的能力及数形结合思想等.第(1)问建立在最值的基础上,通过函数值域之间的关系产生结论;第(2)问将最值与切线结合起来,通过最值产生结论.22．如图,AD,CE分别是△ABC的两条高.(1)求证:BE·BA=BD·BC;(2)若AC=10,sin B=,求DE的长.【答案】(1)由AD⊥BC,CE⊥AB,得∠ADB=∠CEB,又∠B为公共角,所以△ADB∽△CEB,于是⇒BE·BA=BD·BC.(2)因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以D,E都在以AC为直径的圆上,即A,E,D,C四点共圆,所以∠BED=∠ACB,又∠DBE=∠ABC,所以△BDE∽△BAC,故=cos B=(B为锐角),所以DE=AC=6.【解析】本题考查三角形相似及四点共圆等,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用相似三角形产生比例关系,进一步产生结论;第(2)问建立在四点共圆及圆的性质的基础上,通过圆内接四边形的性质产生结论.23．已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(φ为参数),定点P(-1,0).(1)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|·|BP|的值;(2)过点P作曲线C的切线m(斜率不为0),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求切线m的极坐标方程.【答案】(1)曲线C的普通方程为y=2x2,将直线l的参数方程代入得t=2(-1+t)2,整理得t2-(4+)t+4=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=4,因而|AP|·|BP|=|t1t2|=4.(2)由题意可知,切线斜率一定存在,设过点P作曲线C的切线为x=ny-1(n≠0),由,得2nx2-x-1=0,Δ=1+8n=0,因而n=-,则切线m的直角坐标方程为8x+y+8=0.将代入,得直线m的极坐标方程为8ρcosθ+ρsinθ+8=0.【解析】本题考查参数方程与极坐标方程的知识,主要是参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,同时考查直线与抛物线的位置关系及直线的参数方程中参数的几何意义.24．已知不等式|x+9|-|3x-4|+2>0的解集为(a,b),f(x)=px+q.(1)试求a,b的值;(2)若2p2+6q2=3,当x∈[a,b]时,求证:f2(x)≤2.【答案】(1)①当x∈(-∞,-9)时,不等式转化为-(x+9)+3x-4+2>0⇒x>,与x∈(-∞,-9)矛盾;②当x∈[-9,]时,不等式转化为x+9+3x-4+2>0⇒x>-,结合x∈[-9,]得-<x≤;③当x∈(,+∞)时,不等式转化为x+9-(3x-4)+2>0⇒x<,结合x∈(,+∞)得<x<.由①②③可得解集为{x|-<x<}.从而得a=-,b=.(2)将q=f(x)-px代入2p2+6q2=3得,2p2+6[f(x)-px]2=3,整理得(2+6x2)p2-12xf(x)·p+6f2(x)-3=0.由于关于p的一元二次方程一定有实根,则Δ=[-12xf(x)]2-4(2+6x2)[6f2(x)-3]≥0⇒f2(x)≤.由a=-,b=得x∈[-1,1],故≤2,即f2(x)≤2.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明.第(1)问通过零点分段讨论即可产生结论;第(2)问建立在绝对值不等式的基础上,结合综合法即可产生结论.。
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百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第五模拟）一、选择题：共12题1．设集合A={-1,0,1,2,3},B={x|y=ln[(x+1)(2-x)]},则A∩B=A.{-1,1}B.{-1,0}C.{-1,1,2}D.{0,1}【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算、函数的定义域,考查考生对基础知识的掌握情况.由(x+1)(2-x)>0得-1<x<2,即B={x|-1<x<2},于是A∩B={0,1}.2．设a,b∈Z,若(a+i)(2-b i)=5,则a+b的值为A.3B.2C.4D.7【答案】A【解析】本题考查复数的基本运算,同时考查两个复数相等的充要条件的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.由(a+i)(2-b i)=(2a+b)+(2-ab)i=5得,由于a,b∈Z,所以a=2,b=1,故a+b=3.3．如图,ABCD是边长为4的正方形,若DE=EC,且F为BC的中点,则·=A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】本题考查平面向量的数量积,同时考查平面直角坐标系在求解平面向量试题中的基本应用.以A为坐标原点,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,4),F(4,2),那么=(-1,-4),=(3,-2),于是·=-1×3+(-4)×(-2)=5.4．如果点P(x,y)在平面区域内,那么z=4x+3y的最大值为A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】本题考查线性规划的知识,考查考生的数形结合能力.点P所在的区域如图中阴影部分所示,可以看出直线z=4x+3y过点A时,取得最大值.由得,此时z max=4×1+3×1=7.5．若某正八面体的各个顶点都在半径为1的球面上,则此正八面体的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查球内接正多面体与球之间的关系、多面体体积的计算,考查考生的空间想象能力.设正八面体的棱长为a,则VO=AC=a=1⇒a=,那么正八面体的体积为V=2××()2×1=.6．执行如图所示的程序框图,若输入x的值为-1,则输出S的值为A. B. C.20 D.【答案】A【解析】本题考查程序框图的有关知识,解这类题时,只需根据程序框图一步一步计算即可.第一次循环:t=,S=,x=0;第二次循环:t=1,S=,x=1;第三次循环:t=2,S=,x=2;第四次循环:t=4,S=,x=3>2;第五次循环:t=3,S=,x=4;第六次循环:t=4,S=,x=5;第七次循环:t=5,S=,此时x=5>4.故输出S 的值为.7．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是A.2 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】本题主要考查函数零点个数的计算,根据函数的奇偶性和周期性进行递推是解决本题的关键.∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,∴f(x+3)=f(x),f(0)=0,f(3)=0,∵f(2)=0,∴f(-2)=-f(2)=0,f(2+3)=f(5)=f(2)=0,则f(-2+3)=f(1)=f(4)=0,当x=-时,f(-+3)=f(-)=-f(),即f()=-f(),则f()=0,则f()=f(+3)=f()=0,则1,2,3,4,5,,为方程f(x)=0在区间(0,6)内的解,此时至少有7个,故选D.8．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆C交双曲线于A,B两点,AE与圆C相切,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,圆的方程,余弦定理等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想.解题时,先求出cos∠ACE=,在△ACF中计算得到|AF|=c,最后根据双曲线的定义便可得e.连接CA,AF,则|OC|=|CA|=|CF|=,|OE|=c,所以|EC|=,在Rt△EAC中,|AE|=c,cos∠ACE=,在△ACF中,由余弦定理得|AF|=c.根据双曲线的定义,得c-c=2a,所以双曲线的离心率e=.故选C.9．若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cosθ=A. B.- C. D.-【答案】B【解析】本题考查两角和的三角公式在解题中的应用,同时考查三角函数取得最值的条件、诱导公式的应用等.由f(x)=5cos x+12sin x=13(cos x+sin x)=13sin(x+α),其中sinα=,cosα=,由x+α=2kπ-(k∈Z),得x=2kπ--α(k∈Z),所以θ=2kπ--α(k∈Z),那么cosθ=cos(2kπ--α)=-sinα=-.10．为贯彻落实中央1号文件的精神和新形势下国家粮食安全的战略部署,农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发,记者获悉,我国推进马铃薯产业开发的目标是:力争到2020年,将马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的A,B,C,D,E,F这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号为1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A,F这两块实验田上,则不同的种植方法有A.432种B.456种C.534种D.720种【答案】A【解析】本题考查排列组合的实际应用,考查考生基本的逻辑推理能力与计算能力.本题可以利用直接法,先对相邻的品种实施捆绑,然后安排2号品种外的全部品种,最后利用插空法安排2号品种;也可先求出1,3,5这三个品种中至少有两个相邻的所有情况,最后排除2号品种种植在A,F实验田上的情况即可.解法一(直接法)第一步:从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有种;第二步:将捆绑之后形成的2个元素与除2号品种之外的两个品种,共4个元素进行全排列,不同的种植方法有种;第三步:上述4个元素排好后形成5个空,但2号品种不能插在两端的空中,不同的种植方法有种.由分步计数原理可得,不同的种植方法共有=6×24×3=432种.解法二(排除法)第一步:从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有种;第二步:将捆绑之后形成的2个元素与其他的三个品种,共5个元素进行全排列,不同的种植方法有种;所以“编号为1,3,5的三个品种中至少有两个相邻”的不同种植方法共有=6×120=720种.其中编号为1,3,5的三个品种中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯种植在A,F实验田上的方法共有=2×6×24=288种.所以满足条件的不同种植方法有720-288=432种.11．记数列{a n}的前n项和为S n,若S n+(1+)a n=4,则a2 016=A. B.2 016×22 015 C.2 016×22 016 D.【答案】D【解析】本题考查数列的通项公式的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意累乘法的合理运用.由已知条件推导出,由此利用累乘法求出a n.∵数列{a n}的前n项和为S n,S n+(1+)a n=4①,∴当n≥2时,S n-1+=4②,①-②,并整理得,∴,,……,,∴a n=×…××a1=×…××1=.当n=1时,a1=1也适合此式,∴a n=,a2 016=.故选D.12．已知平行于x轴的直线分别交曲线y=e2x+1与y=于A,B两点,则|AB|的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查导数在解题中的应用,同时考查考生灵活处理问题的能力.设平行于x轴的直线方程为y=a(a>0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1<x2,则a=⇒x1=(ln a-1),而x2满足a=,那么|AB|=x2-x1=x2-(ln a-1)=x2-(ln-1)=x2-ln(2x2-1)+(x2>).设f(x)=x-ln(2x-1)+(x>),则f'(x)=1-.显然,当<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.于是,当x=时,f(x)取得最小值f()=-ln(2×-1)+,故|AB|的最小值为.二、填空题：共4题13．已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(ξ>8)=0.4,则P(ξ<0)=.【答案】0.4【解析】本题考查正态分布密度曲线的特点,是一个基础题,考查考生对基础知识的掌握情况.因为随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),所以正态曲线关于x=4对称,所以P(ξ<0)=P(ξ>8)=0.4.14．某四面体的三视图如图所示,则该四面体的六条棱中最长棱的长度为.【答案】2【解析】本题主要考查空间几何体的三视图等知识.本题要求考生能够根据给出的几何体的三视图,得到几何体的直观图及相关数据.由三视图可知该四面体的直观图如图1所示,由图2可知BD=,BC=2.又AB=,AC=,所以该四面体的六条棱中最长棱的长度为2.图1图215．已知斜△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,c=1,C=.若sin C+sin(A-B)=3sin 2B,则△ABC的面积为.【答案】【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用,同时考查考生分析问题与解决问题的能力.∵△ABC是斜三角形,∴cos B≠0,则由sin(A+B)+sin(A-B)=2sin A cos B=6sin B cos B,得sin A=3sin B,由正弦定理得a=3b.由余弦定理得a2+b2-ab=1,b2=,△ABC的面积S=ab sin C=.16．已知F为抛物线C:y2=2x的焦点,点E在射线l:x=-(y≥0)上,线段EF的垂直平分线与l交于点Q(-,),与抛物线C交于点P,则△PEF的面积为.【答案】【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的简单几何性质,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.如图,由抛物线C的方程知,焦点F(,0),准线方程为x=-,设E(-,m)(m≥0),则EF的中点为G(0,),k EF=-m.又Q(-,),所以k QG==m-,则-m·(m-)=-1,得m=2,所以E(-,2),则|EF|=,直线EF的方程为2x+y-1=0,QG所在直线的方程为x-2y+2=0,联立得P(2,2),P到直线EF的距离d=,则△PEF的面积为.三、解答题：共8题17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(1)设数列{a n}的公差为d(d≠0),由题意得⇒⇒或(舍去),从而a n=2n.(2)由(1)得b n=(-),那么T n=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.【解析】本题考查等差、等比数列的基础知识,考查通项公式与前n项和公式的应用及裂项相消法在求和中的应用.解题时,(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前n项和求出首项和公差,进而求出数列{a n}的通项公式;(2)利用裂项相消法求和.【备注】数列在全国卷中的命题有两种可能:一是命客观性试题,此类题往往命制两道;二是命一道客观题和一道解答题,解答题有两问,第(1)问是数列的基础知识与基本技能性问题或是等差、等比数列的基本量之间的关系问题,第(2)问往往与错位相减或裂项相消的求和方法结合.18．如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a.(1)若D,E,F分别为AB,BC,BB1的中点,判断AC1与平面DEF是否平行?若平行,请给予证明,若不平行,说明理由;(2)求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小.【答案】(1)通解连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DG∥AC1,因为DG⊂平面GDF,AC1⊄平面GDF,则AC1∥平面GDF.由于平面GDF∩平面DEF=DF,故AC1与平面DEF不可能平行.优解1连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DG∥AC1,而DG⊄平面DEF,且DG与平面DEF交于点D,故AC1与平面DEF不可能平行.优解2建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C 1(-a,,a),D(0,,0),E(-a,,0),F(0,a,a),=(-a,,a),=(-a,,0),=(0,,a).设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则,即,故取m=(,,-)为平面DEF的一个法向量.又m·=-a+a-a≠0,所以m与不垂直,故AC 1与平面DEF不可能平行.(2)解法一过C1作C1P⊥A1B1于P,由正棱柱的性质可知C1P⊥平面ABB1A1,连接PA,则∠C1AP为AC1与侧面ABB1A1所成的角.由于正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,则AC1=a,又上底面三角形A1B1C1是边长为a的正三角形,因此,C1P=a.在Rt△APC1中,sin∠C1AP=,故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.解法二建立如优解2中的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C1(-a,,a),由于n=(-1,0,0)是平面ABB 1A1的一个法向量,=(-a,,a),则cos<,n>=,故<,n>=60°,故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.【解析】本题第(1)问考查线面平行的判定,只要抓住线面平行的判定定理即可产生结论;第(2)问考查线面角,求解时要用到空间直角坐标系,借助于空间向量完成,也可以用传统法求解.【备注】以多面体为依托,设计多问的形式,既考查线线、线面、面面的位置关系,也考查空间角、空间距离、表面积、体积等数量关系是近几年命题的一大趋势,其解题步骤遵循“作、证、求”的基本思路,强调作图、证明和计算相结合的“三合一”步骤.19．某商场的20件不同的商品中有的商品是进口的,其余是国产的.在进口的商品中高端商品的比例为,在国产的商品中高端商品的比例为.(1)若从这20件商品中按分层(分三层:进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件,求抽取进口高端商品的件数;(2)在该批商品中随机抽取3件,求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率;(3)若销售1件国产高端商品获利80元,国产非高端商品获利50元,若销售3件国产商品,共获利ξ元,求ξ的分布列及数学期望Eξ.【答案】(1)由题意得,进口的商品有15件,其中5件是高端商品,10件是非高端商品,国产的商品有5件,其中3件是高端商品,2件是非高端商品,若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件,则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B为“在该批商品中随机抽取3件,恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”,事件A1为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品,0件国产高端商品”,事件A2为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品,1件国产高端商品”,则P(B)=P(A1)+P(A2)=++,所以在该批商品中随机抽取3件,恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品,其中3件是高端商品,2件是非高端商品,那么,当销售3件国产商品时,可能有1件高端商品,2件非高端商品,或2件高端商品,1件非高端商品,或3件都是高端商品,于是ξ的可能取值为180,210,240.P(ξ=180)=,P(ξ=210)=,P(ξ=240)=.所以ξ的分布列为故Eξ=180×+210×+240×=204.【解析】第(1)问考查分层抽样的应用,注意按比例抽取即可;第(2)问是古典概型的概率问题,但基本事件的个数不是通过列举产生的,而是利用组合数产生;第(3)问首先要求出ξ的可能取值,然后求出相应的概率,最后产生数学期望.【备注】建立在统计的基础上,考查简单的抽样问题在高考中十分常见,对此考生要掌握抽样方法的操作方法:分层抽样,按比例从每层中抽取;系统抽样,首先要对总体中的个体进行编号,其次确定分段间隔,对编号进行分段,然后在第一段中用简单随机抽样确定一个个体编号,最终产生结果.20．已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,点M是椭圆上一点,三角形MF1F2的面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,求d的取值范围.【答案】(1)由题意可得,又三角形MF1F2的面积的最大值为1,∴·2c·b=1,即bc=1.又a2=b2+c2,∴b2=c2=1,a2=2,故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)依题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m(m≠k),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,∴由Δ>0得2k2+1>m2,①.又直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,∴+=2k,∴+=2k,即+=2k,化简得(m-k)(x1+x2+2)=0,因为m≠k,所以x1+x2+2=0,即-+2=0,得m=k+.②由①②得(k+)2<2k2+1,解得k2>.又点F2(1,0)到直线l的距离d==|2k+|·=(2+)·,令t=(1<t<),则d=(+)·(t+),易知f(t)=t+在(1,)上单调递减,所以<d<2.故d的取值范围是(,2).【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程及直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的数形结合思想和逻辑推理能力.(1)由离心率为,焦点三角形MF1F2的面积的最大值及a2=b2+c2,即可得椭圆的标准方程;(2)先利用直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列,得m=k+,又直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,直线l与椭圆方程组成关于x的一元二次方程,由Δ>0得2k2+1>m2,再由点到直线的距离得d=(2+)·,利用换元法及函数的单调性求得<d<2.【备注】高考对圆锥曲线的考查一般分多问,第(1)问一般根据圆锥曲线的定义或几何性质求解圆锥曲线的标准方程,第(2)问一般在求出圆锥曲线方程的基础上,通过求解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用根与系数的关系得到含有参数的等式,再进一步研究参数的取值范围、中点弦问题、弦长或面积的最值问题等.21．已知函数f(x)=(a≠0),g(x)=+2ln(x+2).(1)若1<a<,试问是否存在x1,x2∈[-,-a],使得f(x1)>g(x2);(2)若P是曲线y=g(x)上任意一点,求点P到直线8x+y+15=0的最小距离,并求此时点P的坐标.【答案】(1)由f(x)=⇒f'(x)=,若1<a<,当x∈[-,-a]时,f'(x)<0,f(x)单调递减,由此可得当x∈[-,-a]时,f(x)的值域为[,2a].由g(x)=+2ln(x+2)⇒g'(x)=-+,显然,当x∈(-2,-)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x∈(-,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.因此,当x∈[-,-a]时,g(x)单调递增,由此可得当x∈[-,-a]时,g(x)的值域为[2-2ln 2,+2ln(2-a)].若存在x1,x2∈[-,-a],使得f(x1)>g(x2),则只需2a>2-2ln 2,即a>,由于1<a<,故必存在x1,x2∈[-,-a],使得f(x1)>g(x2).(2)设与直线8x+y+15=0平行且与曲线y=g(x)相切的直线的斜率为k,切点坐标为(x0,y0),由于g'(x)=-+,则k=-+=-8⇒x0=-或x0=-(舍去),得切点坐标为(-,4(1-ln 2)),此时切线方程为y-4(1-ln 2)=-8(x+),即y=-8x+4(1-ln 2)-14.令r(x)=+2ln(x+2)-[-8x+4(1-ln 2)-14],则r'(x)=-++8=,由于函数r(x)的定义域为(-2,+∞),于是当x∈(-2,-)时,r'(x)<0,函数r(x)单调递减;当x∈(-,+∞)时,r'(x)>0,函数r(x)单调递增.故当x=-时,r(x)有极小值,也是最小值,且r(-)=0,故曲线y=g(x)恒在直线y=-8x+4(1-ln 2)-14的上方.所以点(-,4(1-ln 2))到直线8x+y+15=0的距离即点P到直线8x+y+15=0的最小距离,且最小距离为,点P的坐标为(-,4(1-ln 2)).【解析】本题考查函数的图象与性质、最值、切线等知识,考查考生综合分析问题、解决问题的能力及数形结合思想等.第(1)问建立在最值的基础上,通过函数值域之间的关系产生结论;第(2)问将最值与切线结合起来,通过最值产生结论.22．如图,AD,CE分别是△ABC的两条高.(1)求证:BE·BA=BD·BC;(2)若AC=10,sin B=,求DE的长.【答案】(1)由AD⊥BC,CE⊥AB,得∠ADB=∠CEB,又∠B为公共角,所以△ADB∽△CEB,于是⇒BE·BA=BD·BC.(2)因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以D,E都在以AC为直径的圆上,即A,E,D,C四点共圆,所以∠BED=∠ACB,又∠DBE=∠ABC,所以△BDE∽△BAC,故=cos B=(B为锐角),所以DE=AC=6.【解析】本题考查三角形相似及四点共圆等,考查考生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用相似三角形产生比例关系,进一步产生结论;第(2)问建立在四点共圆及圆的性质的基础上,通过圆内接四边形的性质产生结论.23．已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(φ为参数),定点P(-1,0).(1)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|·|BP|的值;(2)过点P作曲线C的切线m(斜率不为0),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求切线m的极坐标方程.【答案】(1)曲线C的普通方程为y=2x2,将直线l的参数方程代入得t=2(-1+t)2,整理得t2-(4+)t+4=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=4,因而|AP|·|BP|=|t1t2|=4.(2)由题意可知,切线斜率一定存在,设过点P作曲线C的切线为x=ny-1(n≠0),由,得2nx2-x-1=0,Δ=1+8n=0,因而n=-,则切线m的直角坐标方程为8x+y+8=0.将代入,得直线m的极坐标方程为8ρcosθ+ρsinθ+8=0.【解析】本题考查参数方程与极坐标方程的知识,主要是参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,同时考查直线与抛物线的位置关系及直线的参数方程中参数的几何意义.24．已知不等式|x+9|-|3x-4|+2>0的解集为(a,b),f(x)=px+q.(1)试求a,b的值;(2)若2p2+6q2=3,当x∈[a,b]时,求证:f2(x)≤2.【答案】(1)①当x∈(-∞,-9)时,不等式转化为-(x+9)+3x-4+2>0⇒x>,与x∈(-∞,-9)矛盾;②当x∈[-9,]时,不等式转化为x+9+3x-4+2>0⇒x>-,结合x∈[-9,]得-<x≤;③当x∈(,+∞)时,不等式转化为x+9-(3x-4)+2>0⇒x<,结合x∈(,+∞)得<x<.由①②③可得解集为{x|-<x<}.从而得a=-,b=.(2)将q=f(x)-px代入2p2+6q2=3得,2p2+6[f(x)-px]2=3,整理得(2+6x2)p2-12xf(x)·p+6f2(x)-3=0.由于关于p的一元二次方程一定有实根,则Δ=[-12xf(x)]2-4(2+6x2)[6f2(x)-3]≥0⇒f2(x)≤.由a=-,b=得x∈[-1,1],故≤2,即f2(x)≤2.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明.第(1)问通过零点分段讨论即可产生结论;第(2)问建立在绝对值不等式的基础上,结合综合法即可产生结论.。