高中数学基本不等式(第一课时)教案

课题:§3.4

2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课

教学目标：

1、知识与技能目标：（12

a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。

教学难点：2

a b +≤

求最值的前提条件。 教学过程：

一、创设情景，引入新课

1.勾股定理的背景及推导

赵爽弦图

引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？

引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正

方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab +=

（2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2

2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

（3）推理证明：作差法

二、讲授新课

1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条

件？

2

a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法

3.(1)探究:(课本P98)

如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

引导学生发现：

2

a b +CD,得到

2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。

(2),a b 的几何平均数，称2

a b +为正数,a b 的算术平均数。

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

三、例题讲解

例1:若0>x ，求1y x x

=+

的最小值。 变1：若0x >，求123y x x

=+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b

=+的最小值。 变3：若3x >，求13

y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件

四、课时小结

1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征

（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义

2.思想方法技巧：（1）数形结合思想

（2）换元法、作差法

（3）配凑等技巧

五、作业

自编的练习