高中数学基本不等式(第一课时)教案

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“基本不等式”第1课时的教学设计

“基本不等式”第1课时的教学设计一．内容和内容解析1.内容：基本不等式，基本不等式的应用2.内容解析：内容的本质：基本不等式的本质上是反映了两个正数的算术平均数和几何平均数这两类平均数之间的大小规律，用基本不等式解决问题，也就是两个正数和与积的转换过程。

蕴含的数学思想和方法：函数思想，化归思想，数形结合方法，渗透着数学结论的严谨性。

知识的上下位关系：以不等式的性质为基础研究基本不等式并用基本不等式解决实际问题，基本不等式是进一步了解不等式性质的不可缺少的一部分，并为之后的函数最值问题奠定基础，在整个知识体系当中起着承上启下的作用。

育人价值：《普通高中数学课程标准》规定基本不等式是作为学习高中数学的一个预备知识，为高中数学课程做好学习心理，学习方式和知识技能等方面的准备。

从探究基本不等式的过程来看，需要学生观察，猜想，分析和归纳。

有利于提高学生的思维能力，是培养学生数形结合意识的重要载体，也是学生发展核心素养的重要载体。

单元教学重点：了解重要不等式和基本不等式并能灵活应用。

二．目标和目标解析1.目标：（1(,0)2a ba b +≤≥。

（2）了解基本不等式的几何背景。

（3）探究基本不等式的证明过程，体验数形结合的思想方法。

（4）理解基本不等式的几何解释并能解决简单的最值问题，体验数学的应用价值。

（5）应用重要不等式及基本不等式解决实际问题。

2.目标解析：（1）学生能在具体的几何问题情景中通过观察、分析基本不等式的推导过程，并能用自己的语言概括基本不等式。

（2）进一步探究几何图形，给出基本不等式的几何解释。

（3）通过几何图形的动态过程，学生可以直观地了解基本不等式。

（4）通过具有共同特征的例题进行类比归纳基本不等式解决实际问题的一般步骤。

（4）通过应用问题的解决，明确基本不等式的解题过程。

引导学生试用基本不等式解决最值问题，并体验基本不等式的本质，和与积的转换过程并在错误中领会“一正、二定、三相等”的解题规则。

“基本不等式”(第一课时)教案

基本不等式教学设计（第一课时）阮晓锋一、教学目标1.知识与技能目标：学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。

2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。

探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号．（在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立）基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立）深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2；（2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41．上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

基本不等式教案第一课时

课题: §3.42a b+≤第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】2a b+≤的证明过程；【教学难点】2a b+≤等号成立条件【板书设计】【教学过程】1.课题导入2a b+≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b+≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+ 用分析法证明：要证2a b+≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证（ - ）2（4）显然，（4）是成立的。

人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1公开课教案(优秀教案,表格式)

数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。

3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为均值不等式。

其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。

基本不等式(第1课时)教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(第1课时）教学设计一、教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。

本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。

同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

二、教学目标与核心素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。

重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

四、教学工具：多媒体，交互式电子白板。

五、教学过程（一）引言师：前面我们类比等式的性质研究了不等式的性质及其证明和应用，今天我们来学习一个具体的不等式—基本不等式。

（插入中小学智慧平台）师：我门知道，乘法公式在代数式的运算中有着重要的作用，是否也存在一些不等式，在解军决不等问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面我们就来共同研究这个问题。

其实在不等式里，数学家们也总结了一大堆常用的公式。

今天，我们就来学习最简单，也最常出现的一个不等式，叫作基本不等式。

（展示中小学智慧平台学习任务单）（二）新课探究1、引出基本不等式师：什么是基本不等式呢？大家先来看一个在小学时就学过的一条几何性质：在一组周长相等的矩形形中，正方形的面积最大。

比如，一个长方形的边长为分别为5和3，正方形的边长为4，它们的周长都是16，此时它们的面积呢？S长=15，S正=16。

3.4 基本不等式(教案)

3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。

难点：基本不等式成立的条件及应用。

教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。

由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（）② 函数y =的最大值是5. （）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。

高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案新人教A版必修5

3．4 基本不等式第一课时基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +）提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？（2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调（1）当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证：例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。

《基本不等式》教学设计

微课《基本不等式》（第一课时）教案设计北师大版高中数学必修5第三章一、教学目标1．通过实例，引导学生利用数形结合的思想从几何图形中获得重要不等式的内容，从而得到基本不等式。

2．进一步完善基本不等式等号成立的条件，并从圆中给出不等式的几何证明，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．运用基本不等式进行证明，强化学生应用的能力。

以上教学目标结合教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。

难点：在几何图形中抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．实例探究：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图体现了最早的数形结合的思想．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，设正方形的面积为S ，四个全等的直角三角形的面积为S ’。

问1：正方形的面积S 是多少？问2：四个全等的直角三角形的面积S ’是多少？问3: S 与S ’有怎样的关系？2.积极思考：若直角三角形的直角顶点合为一点即正方形中心时S 与S ’又有怎样的关系．（等号成立的条件）于是，得到重要不等式当且仅当a=b 时等号成立。

同时解释“当且仅当”的含义。

3.启发引导：若将重要不等式中的2a 与2b 用a 和b 代换会用怎样的结论？通过学生动手操作，探索发现基本不等式的内容：若22,,2a b R a b ab ??，则2a b +³a=b 时等号成立）。

4知识点强化：关于基本不等式的三点说明：I ：两数a ,b 必须为正数；II ：2a b +³III: “=”成立的条件。

通过教师演示几何画板，展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善基本不等式的理论：3.对基本不等式的三点总结：（1）圆的半径大于等于半弦；（2）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；（3）两个正数的等差中项不小于它们的几何平均数。

基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中教科书·数学（A 版）》必修第一册课题：2.2 基本不等式（第一课时）一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A 版必修一第二章第二节的内容，是在系统地学习了等式性质和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，是从几何背景（赵爽弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R +≥∈。

在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想。

（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性。

三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。

同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力。

基本不等式第一课时教案

基本不等式第一课时教案开课教师：章建明 2009-4-3一．教学目标：知识与技能：使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。

过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。

逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。

二．教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程；三．教学难点:2a b+≤等号成立条件。

四．教学过程：（一）、问题情境把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。

不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。

问题1、你能猜测出物体的质量吗？（二）、数学活动问题2、把两次称得的物体的质量“平均”一下作为物体的质量，是否合理？问题3、能否根据力学原理推得物体的真实质量？问题4、2a b+1.学生活动（举例）2.多媒体演示课件。

猜想：ab ba ≥+2问题5：如何证明上面的猜想？你有什么方法？问题6：上式中等号何时成立？回顾情境，两种测量方式哪种较好？（三）、数学建构1、算术平均数与几何平均数：对于正数b a ,，称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数，2、基本不等式：对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.3、说明：（1）基本不等式文字语言描述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（2）基本不等式成立的条件是： a ≥0，b ≥0.（3）当且仅当a b =时，取“=”的含义：当a b =时，有ab ba =+2；当ab b a =+2时，有a b =。

基本不等式教案第一课时高中数学必修第一册人教A版(2019)

高一年级数学学科自主学(A) 2020-10
第二章一元二次函数、方程和不等式第2节基本不等式(一)
友兰中学高一年级数学学科自主学(A) 2020-10
与真理为友厉心性如兰
思考2：当x <0时，x +1x 有最小值吗？
【反馈练习】
1. (多选)下面给出的四个推导过程正确的是( )
A.∵a、b 为正实数,∴b a +a b ≥2√b a ·a b =2
B.∵a∈R,a≠0,∴4a +a≥2√4a ·a =4
C.∵x、y∈R,xy<0,∴x y +y x =-[(-x y )+(-y x )]≤-2√(-x y )·(-y x )=-2
D.不等式a+1a ≥2√a ×1a =2,当且仅当a=1a ,即a=±1时等号成立
2.完成课本p46页练习1.2.
3.题
【反思】
【小结与知识点整理】
写出基本不等式的来源，画出其几何意义，并用文字语言表述它。

此外你还收获了哪些研究经验也写下来，最好用一个结构图表示出来。

基本不等式第一课时教学设计

《2.2 基本不等式(第一课时)》教学设计1．理解基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0，b ＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养； 2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值．PPT 课件，及GEOGEBRA 制作的动画课件．一、创设情境★资源名称：【情景演示】基本不等式引入★使用说明：本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点，引出基本不等式的知识.注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结．预设的答案：基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石。

◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”．设计意图：利用不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，提高学生逻辑推理的数学素养．3．基本不等式的几何解释问题4：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ，BC =b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：如图1，连接OD ，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DE 长和圆的直径AB 这两个几何元素在变化中的不等关系，及半弦CD ≤OD ，并将此不等关系用符号表示．学生独立思考，并说出思路：半径OD 为2b a +，利用射影定理可得弦DE 长的一半CD 为ab ，由OD CD ≤ ，得到2b a ab +≤．教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦DE 过圆心时，二者相等．设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养．★资源名称：【数学探究】基本不等式a+b ≥2根号（ab ）★使用说明：本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义，运用本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”截图，如需使用资源，请于资源库调用．图1b a B A C DE O。

高一数学A版必修第一册2.2.1基本不等式教学案第一课时

安化二中高一数学教学案主备二备_______2.2.1基本不等式班级_________姓名________一、教学目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题;2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力;3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性.二、重点与难点1. 重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；2. 难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、基础知识解读【一】重要不等式：对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立．自我检测1：你能给出不等式ab b a 222≥+的证明吗？【二】基本不等式：对于任意实数0,0a b >>，都有2a b+≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中2a b+b a ,的算术平均数和几何平均数．自我检测2：你能给出不等式ab ba ≥+2）（0,0>>b a 的证明吗？【三】利用基本不等式求最值问题已知0,0>>y x 则：如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，y x +有最____值是________(简记：积定和最小)．如果和y x +是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．四、课前演练1. 基本不等式：（1）基本不等式 2b a ab +≤ 成立的条件：______________．（2）等号成立的条件：当且仅当时等号成立．（3）其中称为正数 a ，b 的算术平均数，称为正数 a ，b 的几何平均数．2. 已知0x >，求1y x x=+的最小值和此时x 的取值．3.若 01x <<，求()1x x -的最大值；五、典型例题例1.0>x ,求x xy 312+=的最小值；.例2. 3>x ，求x x y +-=34的最大值；例3. 已知0,0>>y x , 10=xy ，求yx z 52+=的最小值；例4.（1）函数()()101<<-=x x x y 的最大值是?（2）函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=31031x x x y 的最大值是?六、课后作业1.若0>a ，0>b ，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a 11的最小值是.2. 已知+∈R y x ,，且满足143=+y x ，求xy 的最大值．3. 已知60<<x ，求()x x -6的最大值是.4. 已知30<<x ，求()x x 26-的最大值.5. 若1>a ，求11-+a a 的最小值.。