控制理论lesson5§1.3由传递函数求状态空间表达式

• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 2:15:53 PM14:15:532020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 2:15 PM12/12/2020 2:15 PM20.12.1220.12.12
中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的
状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。 显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 bn1s s n a1s n1 an1s
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D 1
一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶
次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，
即
G(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
nm
式中 bi (i 0,1,m) 是任意，，常系数。同样按以
上方法C阵可以写成
C bm bm1 b0 b0 0 0
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2,, n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
C bn bn1 b1 , D b0
由此画出的系统计算机模拟图如图所示。
能控标准形实现模拟图
例: 已知系统的传递函数：
G(s) s2 2s 1 s2 5s 6
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：由公式写出能控标准形为：
0 1 0 1
0
A a2
a1
6
5
, B 1
C b2 a2b0 b1 a0b0 5 3 , D b0 1
若将传递函数化成严格真有理分式，则 G(s) 1 3s 5 s2 5s 6
按简化公式可得：
A
0 6
1 5
B
0 1
，
C b1 b2 5 3
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
式中
Z (s) U (s)
sn
a1s n1
1
an1s
an
Y (s) Z (s)
b0 s n
b1s n1
bn1s
bn
分解式第一部分是系统结构决定的。当选
§1.3 由传递函数求状态空间表达式
根据前面介绍的微分方程与状态空 间表达式之间的变换关系，若已知传递 函数，可首先把传递函数变成微分方程， 然后由微分方程与状态空间表达式的变 换关系。求出状态空间表达式。
一、传递函数中没有零点时的变换
传递函数为：
G(s)
sn
a1s n1
b
an1s
an
系统的微分方程为：
1 b
y (n1)
对应的状态空间表达式为：
0
A
0
a n
1 0 an1
0
0
,
B
, C b
1
0
a1
1
0 0
其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准 形实现。它的模拟电路图如下图所示：
能控标准形实现的模拟图
二、传递函数中有零点时的变换
传递函数为：
G(s)
b0 s n b1s n1 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入 无直接关系。
例：已知系统的传递函数
G(s)
2s 1
(s 1)(s 2)(s 4)
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：将传递函数整理成标准形式
G(s)
2s 1
b0 s b1
s3 7s 2 14s 8 s3 a1s 2 a2 s a3
微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y b0u (n) b1 u (n1) bn1u bnu
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
0
A
0
an
1 0 an1
0
1
a1
0
,
B
0
1
C bn anb0 bn1 an1b0 b1 a1b0 , D b0
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0
A
0
a n
1 0 an1
0
0
,
B
, C 1
0
0
1
0
a1
b
传递函数也可分解成下图所示的结构。
• 选状态变量为：
x1
z
wk.baidu.com
1 b
y
x
2
z
1 b
y
x
n
z (n1)
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1214:1 5:5314: 15:53D ecembe r 12, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 2时15 分53秒1 4:15:53 20.12.1 2
按上式写出能控标准为：
0 1 0 0 1 0
A
0
0
1
0
0
1
a3 a2 a1 8 14 7
0 , B 0
1
C b1 b0 0 1 2 0
结束
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020