2013年中考数学专题一 整体思想复习题及答案
中考数学专题一 整体思想复习题及答案
第四部分 中考专题突破专题一 整体思想1．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．52．(2012年江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( ) A ．(x －1)(x －2) B ．x 2 C ．(x ＋1)2 D ．(x －2)23．(2012年山东济南)化简5(2x －3)＋4(3－2x )结果为( ) A ．2x －3 B ．2x ＋9 C ．8x －3 D ．18x －34．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为________． 5．(2012年江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则 a 2＋ab ＝______.6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y <3，则k 的取值范围是 ______________.7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．8．如图Z1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ，E 和点D ，F ，则图中阴影部分的面积是________．图Z1－29．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________.图Z1－310．(2012年浙江丽水)已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2的值．11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值．12.已知1x －1y ＝3，求代数式2x －14xy －2y x －2xy －y的值．13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1，且k 为整数，求k 的值．14．阅读下列材料，解答问题．为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①.解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，x ＝±5.故x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6＝0. h第四部分 中考专题突破 专题一 整体思想 【专题演练】1．A 2.D 3.A 4.－6 5.66．－35<k <65 解析：将方程组的两式相加，得3(x ＋y )＝5k ＋3，所以x ＋y ＝53k ＋1.从而0<53k ＋1<3，解得－35<k <65.7．5 解析：设铅笔每支x 元， 日记本每本y 元，圆珠笔每支z 元，有： ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋2z ＝10， ①9x ＋7y ＋5z ＝25. ② ②－①，得5x ＋4y ＋3z ＝15， ③ ③－①，得x ＋y ＋z ＝5. 8.π29．360° 解析：因为∠1＋∠2＝∠DAB ，∠3＋∠4＝∠IBA ，∠5＋∠6＝∠GCB ，根据三角形外角和定理，得∠DAB ＋∠IBA ＋∠GCB ＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.10．解：原式＝(2x ＋y )2－(2x －y )2＝[](2x ＋y )－(2x －y )·[](2x ＋y )＋(2x －y )＝8xy . 11．解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1 ＝2(y ＋2x )＋1 ＝2×1＋1＝3.12．解：原式＝2y －14－2x 1y －2－1x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －1y －14－⎝⎛⎭⎫1x －1y －2＝－6－14－3－2＝4. 13．解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得k ≤0. ∴k 的取值范围是k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，由已知，得－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2， 又由(1)，可知：k ≤0， ∴－2＜k ≤0.又∵k 为整数，∴k 的值为－1或0. 14．解：(1)换元 整体思想(2)设x2＝y，则原方程化为y2－y－6＝0.解得y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．∴x1＝3，x2＝－ 3.。
2013数学中考试题汇编答案与解析
2013中考全国100份试卷分类汇编答案与解析——圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.54答案：D ．考点:垂径定理与勾股定理.点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为A. 95B. 245C. 185D. 52答案：C解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝45，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453CE =，所以，CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝1853、(2013河南省)如图，CD 是☉O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF（C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。
由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。
因为ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。
【答案】C4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）Bcm B cm cm或cm D cm或cm==3cm==4==25、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）cm BcmAB=4cmAB=4cmx=故半径为6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）求出==4m7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）BABABOB==8、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（）==59、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5 C 6 D. 810、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）B、，正确，故本选项错误；11、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）OB===12、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.7分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键13、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14、（2013•内江）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．15、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．==cmcm16、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是48度．17、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．CD=2x=∴所在圆的半径为：故答案为：．18、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为2．OC=1AB=2AD=2=2=2．19、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，Θ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），PΘ的半径为P13，则点P的坐标为____________.分析：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=OA=3，在Rt△OPD中，∵OP=，OD=3，∴PD===2，∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键20、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
江西省2013年中考数学试题(解析版)
江西省2013年中等学校招生考试数学试卷解析(江西于都三中 蔡家禄）说明：1．本卷共有七个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．－1的倒数是（ ）．A ．1B ．－1C ．±1D ．0【答案】 B .【考点解剖】 本题考查了实数的运算性质，要知道什么是倒数．【解题思路】 根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用1除以这个数，所以－1的倒数为1(1)1÷-=-，选B.【解答过程】 ∵1(1)1÷-=-，∴选B .【方法规律】 根据定义直接计算．【关键词】 实数 倒数2．下列计算正确的是（ ）．A ．a 3+a 2=a 5B ．(3a －b )2=9a 2－b 2C ．a 6b ÷a 2=a 3bD ．(－ab 3)2=a 2b 6【答案】 D .【考点解剖】 本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、法则是解题的前提．【解题思路】 根据法则直接计算．【解答过程】 A.3a 与2a 不是同类项，不能相加（合并），3a 与2a 相乘才得5a ；B.是完全平方公式的应用，结果应含有三项，这里结果只有两项，一看便知是错的，正确为222(3)96a b a ab b -=-+；C.两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同底数幂相除，底数不变，指数相减），正确的结果为624a b a a b ÷=；D.考查幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘），正确，选D.【方法规律】 熟记法则，依法操作.【关键词】 单项式 多项式 幂的运算3则这组数据的中位数和众数分别是（ ）．A ．164和163B ．105和163C ．105和164D ．163和164【答案】 A .【考点解剖】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数、众数，要知道什么是中位数、众数．【解题思路】 根据中位数、众数的定义直接计算．【解答过程】 根据中位数的定义——将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数；众数是指一组数据中出现次数最多的那个数，所以342、163、165、45、227、163的中位数是163和165的平均数164，众数为163，选A.【方法规律】 熟知基本概念，直接计算.【关键词】 统计初步 中位数 众数4．如图，直线y =x +a －2与双曲线y=x 4交于A ，B 两点，则当线段AB 的长度取最小值时，a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】 C .【考点解剖】 本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法，以及考生的直觉判断能力．【解题思路】 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A 、B 、O 三点共线时，才会有线段AB 的长度最小OA OB AB +=，（当直线AB 的表达式中的比例系数不为1时，也有同样的结论）.【解答过程】 把原点（0，0）代入2y x a =+-中，得2a =.选C..【方法规律】 要求a 的值，必须知道x 、y 的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观判断出直线AB 过原点（0，0）时，线段AB 才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出a 的值.【关键词】 反比例函数 一次函数 双曲线 线段最小 5．一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（ ）．【答案】 C .【考点解剖】 本题考查的投影与视图中的画已知物体的三视图，要正确掌握画三视图的有关法则．【解题思路】 可用排除法，B 、D 两选项有迷惑性，B 是主视图，D 不是什么视图，A 少了上面的一部分，正确答案为C.【解答过程】 略.【方法规律】 先要搞准观看的方向，三视图是正投影与平行投影的产物，反映物体的轮廓线，看得到的画成实线，遮挡部分画成虚线.【关键词】 三视图 坐凳6．若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a >0B ．b 2－4ac ≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a (x 0－x 1)( x 0－x 2)<0【答案】 D .【考点解剖】 本题考查的是二次函数的性质，要求对二次函数的性质有比较深刻地理解，并能熟练地画函数草图作出分析．【解题思路】 抛物线与x 轴有不同的两个交点，则240b ac ->，与B 矛盾，可排除B 选项；剩下A 、C 、D 不能直接作出正误判断，我们分a >0,a <0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.由图可知a 的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以012,,x x x 的大小就无法确定；在图1中，a >0且有102x x x <<，则0102()()ax x x x --的值为负；在图2中，a <0且有102x x x <<，则0102()()a x x x x --的值也为负.所以正确选项为D.【解答过程】 略.【方法规律】 先排除错误的，剩下的再画图分析（数形结合）【关键词】 二次函数 结论正误判断二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．分解因式x 2－4= ．【答案】 (x +2)(x －2).【考点解剖】 本题的考点是因式分解，因式分解一般就考提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），而十字相乘法、分组分解等方法通常是不会考的．【解题思路】 直接套用公式即．【解答过程】 24(2)(2)x x x -=+-.【方法规律】 先观察式子的特点，正确选用恰当的分解方法.【关键词】 平方差公式 因式分解8．如图△ABC 中，∠A =90°点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=155°，则∠B 的度数为 ．【答案】65°.【考点解剖】 本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识，题目较为简单，但有些考生很简单的计算都会出错，如犯18015535︒-︒=︒之类的错误．【解题思路】 由1155∠=︒，可求得25BCD CDE ∠=∠=︒,最后求65B ∠=︒．【解答过程】 ∵∠ADE =155°, ∴∠EDC =25°.又∵DE ∥BC ，∴∠C =∠EDC =25°,在△ABC 中，∠A =90°，∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°.【方法规律】 一般求角的大小要搞清楚所求角与已知角之间的等量关系，本题涉及三角形内角和定理、两直线平行，内错角相等，等量代换等知识和方法.【关键词】 邻补角 内错角 互余 互补9．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人，请列出满足题意的方程组是 ．【答案】⎩⎨⎧+==+12,34y x y x . 【考点解剖】 本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示．【解题思路】 这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数=34，井冈山人数=瑞金人数³2+1.所以所列方程组为34,2 1.x y x y +=⎧⎨=+⎩． 【解答过程】 略.【方法规律】 抓住关键词，找出等量关系【关键词】 列二元一次方程组10．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，CN ，MN ，若AB =22，BC =23，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】 26.【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法，涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积计算公式等知识，解题思路方法多样，计算也并不复杂，【解题思路】 △BCN 与△ADM 全等，面积也相等，口DFMN 与口所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半．【解答过程】 12⨯【方法规律】 来计算.【关键词】 矩形的面积 11． （用含n 的代数式表示）．【答案】 (n +1)2 .【考点解剖】 本题考查学生的观察概括能力，发现规律，列代数式．【解题思路】 找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示．【解答过程】 略.【方法规律】 由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方.【关键词】 找规律 连续奇数的和12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一．个．符合题意的一元二次方程 ． 【答案】 x 2－5x +6=0.【考点解剖】 本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为2560x x -+=；也可以以1、6为直角边长，得方程为2760x x -+=.（求作一元二次方程，属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴，这种题型在以前相对考得较少，有点偏了.）【解题思路】 先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程．【解答过程】 略.【方法规律】 求作方程可以用根与系数的关系，也可由因式分解法解一元二次方程.【关键词】 直角三角形 根 求作方程13．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 ．【答案】 25°.【考点解剖】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．【解题思路】 已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD ,则有AD =DE ,即△ADE 为等腰三角形，顶角∠ADE =∠BCF =60°+70°=130°,∴∠DAE =25°．【解答过程】 ∵□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且有公共边CD ，ADE =∠BCF =60°+70°=130°.1(180)50252ADE ︒-∠=⨯︒=︒. 的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一°转化为∠BCD =130°,∠F =110°转化为∠DCF =70°,从而求 等腰三角形 周长 求角度14．平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB =120°，∠ACB =60°，AO =BO =2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是 ．【答案】2，3，4.【考点解剖】 本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力．【解题思路】 由∠AOB =120°，AO =BO =2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由60︒与120︒互补，60︒是120︒的一半，点C 是动点想到构造圆来解决此题．【解答过程】【方法规律】 构造恰当的图形是解决此类问题的关键.【关键词】 圆 整数值三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）15．解不等式组⎩⎨⎧>-+≥+,33)3(2,12x x x 并将解集在数轴上表示出来． 【答案】解：由x +2≥1得x ≥－1，由2x +6－3x 得x <3，∴不等式组的解集为－1≤x <3．解集在数轴上表示如下：【考点解剖】 本题考查不等式组的解法，以及解集在数轴上的表示方法．【解题思路】 分别把两个不等式解出来，再取它们解集的公共部分得到不等式组的解集，最后画出数轴表示出公共部分（不等式组的解集），注意空心点与实心点的区别．【解答过程】【方法规律】 要保证运算的准确度与速度，注意细节（不要搞错符号）.【关键词】 不等式组 数轴16．如图AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆内，请仅用无．刻度．．的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．【答案】 （1）如图1，点P 就是所求作的点；（2）如图2，CD 为AB 边上的高.【考点解剖】 本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．【解题思路】 图1点C 在圆外，要画三角形的高，就是要过点B 作AC 的垂线，过点A 作BC 的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC 与圆的交点为E , 连接BE ,就得到AC 边上的高BE ；同理设BC 与圆的交点为D , 连接AD ,就得到BC 边上的高AD ，则BE 与AD 的交点就是△ABC 的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC 的三条高的交点P ，再作射线PC 与AB 交于点D ，则CD 就是所求作的AB 边上的高．【解答过程】 略.【方法规律】 认真分析揣摩所给图形的信息，结合题目要求思考.【关键词】 创新作图 圆 三角形的高四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）22又考查了考生的细心答约分后得到12x -求解． 【方法规律】 根据式子的特点选用恰当的解题顺序和解题方法.【关键词】 分式 化简求值18．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．（1）下列事件是必然事件的是（ ）．A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A ），请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．【答案】（1）A .（2）依题意画树状图如下：从上图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4、5． 【考点解剖】 树形图或表格列举所有等可能结果的方法．【解题思路】 （1）是选择题，根据必然事件的定义可知选A ；（2种结果符合，∴P (A)=62=31 ；甲从三个礼物中抽到的礼物恰好不是自己的只有两种，【解答过程】 略.【方法规律】 首先要【关键词】 必然事件 五、（本大题共219．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数x(x>0)的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x 轴，且AB =2，AD =4，点A 的坐标为(2，6) ．（1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【答案】（1）B （2，4），C （6，4），D （6，6）.（2）如图，矩形ABCD 向下平移后得到矩形''''A B C D ，设平移距离为a ，则A ′（2，6－a ），C ′（6，4－a ）∵点A ′，点C ′在y =x k 的图象上， ∴2(6－a )=6(4－a )，解得a =3，∴点A ′（2，3），∴反比例函数的解析式为【考点解剖】【解题思路】 三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A 、C A 、C 两点坐标代入y =xk 【解答过程】 略.【方法规律】 k 的值等于点的横坐k ，实际上也可k 的值. 反比例函数 待定系数法生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某500ml A ．全部喝完；B ．喝（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；（计算结果请保留整数）．（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫．升．？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶．？（可使用科学计算器） 【答案】（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约31的人数是总人数的50%， ∴25÷50%=50，参加这次会议的总人数为50人， ∵505³360°=36°， ∴D 所在扇形圆心角的度数为36°，补全条形统计图如下；（2(25³31³500+10³=327500÷50≈183（3）该单位每年参加此类会议的总人数约为则浪费矿泉水约为3000³183÷500=1098瓶．【考点解剖】 本题考查的是统计初步知识，条形统计图与扇形统计图信息互补，文字量大，要求考生具有比较强的阅读理解能力.本题所设置的问题比较新颖，并不是象传统考试直接叫你求平均数、中位数、众数或方差，而是换一种说法，但考查的本质仍然为求加权平均数、以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的．【解题思路】 （1）由扇形统计图可看出B 类占了整个圆的一半即50%（遗憾的是扇形中没有用具体的数字（百分比）表示出来，这是一种很不严谨的命题失误），从条形统计图又知B 类共25人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而D 类有5人，已知部分数和总数可以求出D 类所占总数百分比，再由百分比确定所占圆的圆心角的度数；已知总人数和A 、B 、D 类的人数可求出C 类的人数为10人，将条形统计图中补完整；（2）用总的浪费量除以总人数50就得到平均每人的浪费量；（3）每年开60次会，每次会议将有40至60人参加，这样折中取平均数算一年将有3000人参加会议，用3000乘以（2）中的结果（平均每人的浪费量），得到一年总的浪费量，再转换成瓶数即可．【解答过程】 略.【方法规律】 能从实际问题中抽出数学问题，从题中抽出关键词即要弄清已知什么，要求什么（不要被其它无关信息干扰）.【关键词】 矿泉水 统计初步六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB ，如图2所示，量得连杆OA 长为10cm ，雨刮杆AB 长为48cm ，∠OAB =120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线CD 的位置，如图3所示．（1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O 、B 两点之间的距离；（结果精确到0.01）（2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=23，cos60°=21，tan60°=3，721≈26.851，可使用科学计算器），O 中心对称， ∴雨刮杆AB 扫过的最大面积S =21π(OB 2－OA 2) =1392π.【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为180°；在△OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB =120°想到作AB 边上的高，得到一个含60°角的Rt △OAE 和一个非特殊角的Rt △OEB .在Rt △OAE 中，已知∠OAE =60°，斜边OA =10，可求出OE 、AE 的长，进而求得Rt △OEB 中EB 的长，再由勾股定理求出斜边OB 的长；（2）雨刮杆AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB 、OA 为半径的半圆面积之差）.【解答过程】 略.【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量.【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积22．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点P （4，2）是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C ．（1）证明P A 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标；（3）求直线AB 的解析式．【答案】（1）证明：依题意可知，A （0，2）∵A （0，2），P （4，2），∴AP ∥x 轴 ．∴∠OAP =90°，且点A 在⊙O 上，∴P A 是⊙O 的切线；（2）解法一：连接OP ，OB ，作PE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP =90°，即∠OBP =∠PEC ，又∵OB =PE =2，∠OCB =∠PEC ．∴△OBC ≌△PEC ．∴OC=PC ．（或证Rt △OAP ≌△OBP ，再得到OC=PC 也可）设OC=PC =x ，则有OE =AP =4，CE=OE －OC =4－x ，在Rt △PCE 中，∵PC 2=CE 2+PE 2，∴x 2=(4－x )2+22，解得x =25，…………………… 4分 ∴BC=CE =4－25=23， ∵21OB ²BC =21OC ²BD ，即21³2³23=21³25³BD ，∴BD =56．∴OD =22BD OB -=25364-=58， 由点B 在第四象限可知B （58，56-）；解法二：连接OP ，OB ， ∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP =90°即∠OBP 又∵OB=PE =2，∠OCB =∴△OBC ≌△PEC ．∴OC=PC （或证Rt △设OC=PC =x ， 则有OE=AP =4，CE=OE 在Rt △PCE 中，∵PC 2=BD OB =OD CB =BOOC ， 即BD 2=BD 23=225． ∴BD =58，OD =56． 由点B 在第四象限可知B （58，56-）； （3）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，由A （0，2），B （58，56-），可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5658,2b k b ； 解得⎩⎨⎧-==,2,2k b ∴直线AB 的解析式为y =－2x +2． 【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．【解题思路】（1） 点A 在圆上，要证PA 是圆的切线，只要证PA ⊥OA （∠OAP =90°）即可，由A 、P 两点纵坐标相等可得AP ∥x 轴，所以有∠OAP +∠AOC =180°得∠OAP =90°；（2） 要求点B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B 到x 轴、y 轴的距离，自然想到构造Rt △OBD ，由PB 又是⊙O 的切线，得Rt △OAP ≌△OBP ，从而得△OPC 为等腰三角形，在Rt △PCE 中, PE=OA =2, PC+CE=OE =4,列出关于CE 的方程可求出CE 、OC 的长，△OBC 的三边的长知道了，就可求出高BD ,再求OD 即可求得点B 的坐标；（3）已知点A 、点B 的坐标用待定系数法可求出直线AB 的解析式．【解答过程】 略.【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.【关键词】 切线点的坐标 待定系数法求解析式七、（本大题共2小题，第23题10分，第24 题12分，共22分）23．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接，则下列结论正确的是 （填序号即可）；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB =∠DMB ． AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．【答案】 解： ●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ，１、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ，∵M 是BC 的中点，∴MF ∥AC ，MF =21AC ． 又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线， ∴EG ⊥AC 且EG =21AC ， ∴MF=EG ．同理可证DF=MG ．∵MF ∥AC ，∴∠MF A ＋∠BAC =180°．同理可得∠MGA +∠BAC =180°，∴∠MF A =∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA =90°．同理可得∠DF A =90°，∴∠MF A +∠DF A =∠MGA =∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ，∴△DFM ≌△MGE （SAS ），∴MD=ME ．2、MD ⊥ME ；证法一：∵MG ∥AB ，∴∠MF A +∠FMG =180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG =∠MDF .∴∠MF A +∠FMD +∠DME +∠MDF =180°，其中∠MF A +∠FMD +∠MDF =90°，∴∠DME =90°.即MD ⊥ME ；证法二：如图2，MD 与AB 交于点H ，∵AB ∥MG ，∴∠DHA =∠DMG ，又∵∠DHA =∠FDM +∠DFH ,即∠DHA=∠FDM+90°,∵∠DMG=∠DME+∠GME，∴∠DME=90°即MD⊥ME；●类比探究答：等腰直角三解形【考点解剖】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．【解题思路】（1）由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG 可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°．（3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.【解答过程】略.【方法规律】由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等）【关键词】课题学习24．已知抛物线抛物线y n=-<a n）与x轴的交点为A n-1（b n-1,0）和A n(b n，0)x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0）（1）求a1,b1的值及抛物线y（2）抛物线y3依此类推第n条抛物线（3）探究下列结论：①若用A n-1A n表示第n A0A1的值，并求出A n-1A n；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1．由已知可知a1>0，∴a1=1．即y1=―(x―1)2+1方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，∴x1=0，x2=2，∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）∴b1=2，方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去）．∴b1=2．又∵抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），∴―(2―a2)2+ a2=0，∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）．∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．（2）（9，9）；（n2，n2）y=x．详解如下：∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，∴x1=2，x2=6．∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）．又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0∴a3=4或9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去），即a3=9，∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）．由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线y n的顶点坐标为（n2，n2）．∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；③∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0A1=2．又∵y n=―(x―n2)2+n2，令y n=0，∴―(x―n2)2+n2=0，即x1=n2+n，x2=n2－n，∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n．②存在．是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．【解题思路】 （1）将A 0坐标代入y 1的解析式可求得a 1的值；a 1的值知道了y 1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b 1的值，又把（b 1，0）代入y 2，可求出a 2 ，即得y 2的解析式；（2）用同样的方法可求得a 3 、a 4 、a 5 ……由此得到规律2n a n =，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y = x ；（3）由（2）可知0112232,4,6A A A A A A ===得12n n A A n -=; 最后一问我们会猜测这是与直线y =x 平行且过A （2，0）的一条直线，用特殊值法取2(4)4,2y x y x ⎧=--+⎨=-⎩得112,0x y =⎧⎨=⎩和225,3x y =⎧⎨=⎩，得所截得的线段长度为试试，求出的值也为222(),2y x n n y x ⎧=--+⎨=-⎩得21211,1x n y n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩和22222,4x n y n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，求得所截得的线段长度也为. 【解答过程】 略.【方法规律】 掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难.【关键词】 二次函数 抛物线 规律探究。
2013年中考数学真题试题(解析版)
2013年中考数学试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．=9 =﹣2（2．（3分）（2013•济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称3．（3分）（2013•济南）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.34．（3分）（2013•济南）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）5．（3分）（2013•济南）图中三视图所对应的直观图是（）6．（3分）（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（），9．（3分）（2013•济南）一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过n次抛掷所出现的点数之和大于n=．10．（3分）（2013•济南）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）=，=×（OB×OA=，=11．（3分）（2013•济南）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）12．（3分）（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（2013•济南）cos30°的值是．cos30°==．故答案为：14．（4分）（2013•济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短．15．（4分）（2013•济南）甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：经计算，=10，=10，试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定．=）﹣）的平均数为[﹣﹣16．（4分）（2013•济南）函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为﹣2 ．先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到然后变形+得=xy=+==17．（4分）（2013•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．∴CE=CF=﹣a==2+=2+三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（2013•济南）先化简，再求值：÷，其中a=﹣1．﹣••﹣19．（8分）（2013•济南）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5正正11192（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？1913220．（8分）（2013•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．AD=121．（10分）（2013•济南）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？y=y=（2≤x≤3）22．（10分）（2013•济南）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表1和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2．列≤a23．（10分）（2013•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．∴BD=100BD=100=100米．24．（12分）（2013•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．=3．=，，y=，t+1t+1+2 =PM•CM+PN•OM﹣（），﹣的最大值为。
2013年中考数学试题及答案
2013年中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 2.5B. 3.14C. √2D. 0.333...答案：C2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么它的周长是多少？A. 11B. 13C. 14D. 16答案：C3. 函数y=2x+3与y=-x+1的交点坐标是？A. (1, 5)B. (2, 4)C. (3, 5)D. (4, 3)答案：A4. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 一条直线B. 一个圆C. 一条抛物线D. 一个椭圆答案：C5. 一个数的平方根是4，那么这个数是多少？A. 16B. -16C. 8D. -8答案：A6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A7. 下列哪个选项是不等式2x-3>5的解？A. x>4B. x<4C. x>1D. x<1答案：A8. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的体积是多少？A. 24立方单位B. 36立方单位C. 48立方单位D. 52立方单位答案：B9. 一个三角形的内角和是多少？A. 90度B. 180度C. 360度D. 540度答案：B10. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是多少？A. 2B. 1/2C. 1D. 0答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第五项是多少？答案：1712. 一个直角三角形的两个直角边长分别是3和4，那么它的斜边长是多少？答案：513. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是？答案：±514. 一个正比例函数的图象经过点(2, 6)，那么它的解析式是？答案：y=3x15. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？答案：816. 一个圆的周长是31.4厘米，那么它的半径是多少？答案：5厘米17. 一个二次函数的顶点是(1, -4)，且开口向上，那么它的解析式可能是？答案：y=(x-1)^2-418. 一个数的平方是9，那么这个数可以是？答案：±319. 一个长方体的长、宽、高分别是3、4、5，那么它的表面积是多少？答案：94平方单位20. 一个数的倒数是-1/3，那么这个数是多少？答案：-3三、解答题（每题10分，共40分）21. 解方程：3x-5=8答案：x=322. 计算：(2x+3)(x-1) - (x+2)(x-2)答案：x^2+223. 证明：如果一个三角形的两边长分别是a和b，且a>b，那么它的第三边c满足b-c<a<b+c。
2013年中考数学试题及答案
2013年中考数学试题及答案Ⅰ.选择题（本题共20小题，每小题2分，共40分）从下列各题所给的选项中选择一个正确答案。
1. 设a = log2 64 + log3 81, 则a = （）。
A. 9B. 10C. 15D. 182. 解方程: 4(5 – 3x) + 2(3x - 1) + 3(2x + 1) = 0, 其解x的值为（）。
A. -1B. -2/5C. 1/7D. 3/83. 如图，矩形ABCD，边长AB = 2，E为BC的中点，三角形AFC，三角形DEC都为等腰直角三角形，且四边形ADEF为平行四边形，求阴影部分的面积。
（图略）A. 3B. 3/2C. 2D. 9/44. 欲装满一个半径为R，高为H的圆柱形容器，顶部有一个半径为r，高为h的圆锥形容器，将一个半径为r，高为h的圆柱形铅块放入圆柱形容器，正好将圆柱形容器装满。
则圆柱形铅块的体积为（）。
A. 1/3 πr²hB. 1/2 πr²hC. 2/3πr²hD. 3/4 πr²h5. 如图，甲乙在以等速v1行驶的汽车内，在相距200m处通过一辆以等速v2行驶的汽车，甲乙往返相遇三次，当乙往甲反方向行驶10m 时，两车又正好相遇。
设v1 = 54km/h 则V2 =（）。
（图略）A. 36km/hB. 45km/hC. 48km/hD. 60km/h...Ⅱ.填空题1. 两个源于同一直线上的交角所对应的弧相等，则这两个角是。
2. 孔子的鼻祖是在36年后复活的，如果复活之后是公元2004年，那么孔子的出生年是年。
3. 在一个D字形街区上，如果所走的距离为x，向南走的时间为y，向东走的时间为z，则由x，y, z组成的有序三元组（x, y, z）有几种？4. 把乘积为123的两个数用正小数表示时所得数的和的最小值是。
5. 出生被称作“自救”的。
答：昆虫，鸟类以及爬行动物。
...Ⅲ.解答题1. 甲、乙两人合抱一根杆，甲用左手按住杆的上端，乙用右手按住杆的下端，夹持的点在杆的中点上。
2013年广东中考数学真题卷含答案解析
2013年广东省初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分时间100分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的.1.2的相反数是()A.-12B.12C.-2D.22.下列四个几何体中,俯视图为四边形的是()3.据报道,2013年第一季度,广东省实现地区生产总值约1260000000000元,用科学记数法表示为()A.0.126×1012元B.1.26×1012元C.1.26×1011元D.12.6×1011元4.已知实数a、b,若a>b,则下列结论正确的是()A.a-5<b-5B.2+a<2+bC.a3<b3D.3a>3b5.数据1、2、5、3、5、3、3的中位数是()A.1B.2C.3D.56.如图,AC∥DF,AB∥EF,点D、E分别在AB、AC上,若∠2=50°,则∠1的大小是()A.30°B.40°C.50°D.60°7.下列等式正确的是()A.(-1)-3=1B.(-4)0=1C.(-2)2×(-2)3=-26D.(-5)4÷(-5)2=-528.不等式5x-1>2x+5的解集在数轴上表示正确的是()轴对称图形的是()9.下列图形中,不是．．的图象大致是()10.已知k1<0<k2,则函数y=k1x-1和y=k2x第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)11.分解因式:x2-9=.12.若实数a、b满足|a+2|+√b-4=0,则a2=.b13.一个六边形的内角和是.14.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A=.15.如图,将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E'位置,则四边形ACE'E的形状是.16.如图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是(结果保留π).17.解方程组{x=y+1,①2x+y=8.②18.从三个代数式:①a2-2ab+b2,②3a-3b,③a2-b2中任意选择两个代数式构造成分式,然后进行化简,并求当a=6,b=3时该分式的值.19.如图,已知▱ABCD.(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,连结AE,交CD于点F,求证:△AFD≌△EFC.20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况(每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目),进行了随机抽样调查,并将调查结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图表.(1)请你补全下列样本人数分布表和条形统计图;(2)若七年级学生总人数为920人,请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.样本人数分布表类别人数百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球15篮球20%足球816%合计100%21.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?22.如图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1S2+S3(用“>”“=”“<”填空);(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)23.已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P 点不存在,请说明理由.24.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证:∠BCA=∠BAD;(2)求DE的长;(3)求证:BE是☉O的切线.25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=4√3.将这副直角三角板按如图①所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上,现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如图②,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=度;(2)如图③,在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x的取值范围.图①图②图③答案全解全析：1.C 由a的相反数是-a得2的相反数是-2,故选C.2.D 由三视图定义知,只有D项中几何体的俯视图是四边形,故选D.3.B 1 260 000 000 000=1.26×1012.4.D ∵a>b,∴a-5>b-5,故A项错误;∵a>b,∴2+a>2+b,故B项错误;∵a>b,3>0,∴a3>b3,故C项错误;∵a>b,3>0,∴3a>3b,故D项正确.故选D.5.C 先将数据按从小到大的顺序排列:1、2、3、3、3、5、5,所以这7个数的中位数为3,故选C.6.C ∵AC∥DF,∴∠1=∠A.∵AB∥EF,∴∠2=∠A,∴∠1=∠2,∵∠2=50°,∴∠1=50°,故选C.7.B A项,(-1)-3=1(-1)3=-1.B项,(-4)0=1.C项,(-2)2×(-2)3=(-2)5=-25.D项,(-5)4÷(-5)2=(-5)2=52.故选B.8.A ∵5x-1>2x+5,∴3x>6,∴x>2.故选A.9.C 由轴对称图形的定义知选C.10.A ∵k1<0,∴直线y=k1x-1经过第二、三、四象限;∵k2>0,∴双曲线y=k2x在第一、三象限.故选A.11.答案(x+3)(x-3)解析由平方差公式得x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).12.答案 1解析∵|a+2|+√b-4=0,∴a+2=0,b-4=0,∴a=-2,b=4,∴a 2b =(-2)24=1.13.答案720°解析∵n边形的内角和为180°·(n-2),∴六边形的内角和为180°×(6-2)=720°.14.答案45解析∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴AC=√AB2+BC2=√32+42=5,∴sin A=45.15.答案平行四边形解析∵DE为Rt△ABC的中位线,∴DE 12CA.∵△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°得到△CDE',∴E、D、E'三点共线,DE=DE',∴EE' AC.∴四边形ACE'E的形状是平行四边形.评析此题考查三角形的中位线的性质及平行四边形的判定.16.答案3π8解析 如图所示,Rt△ABC 中,AB=AC=1,∴∠ABC=45°,Rt△BDE 中,∠DBE+∠BDE=90°,∠ABC+∠DBE+∠BDE=135°, ∴S 阴影部分=135·π·12360=38π.评析 此题考查图形中阴影部分的面积的计算. 17.解析 把①代入②,得2(y+1)+y=8,(1分) 2y+2+y=8,(2分) 3y=6,y=2.(3分)把y=2代入①,得x=3,(4分) ∴原方程组的解是{x =3,y =2.(5分)18.解析 若选择a 2-2ab+b 2和3a-3b 两个代数式构造成分式, 则a 2-2ab+b 23a -3b(1分)=(a -b )23(a -b )=a -b 3,(4分)当a=6,b=3时,原式=a -b 3=6-33=1.(5分)或3a -3ba 2-2ab+b 2=3(a -b )(a -b )2=3a -b ,(4分)当a=6,b=3时,原式=3a -b =36-3=1.(5分) 19.解析 (1)作图正确(实线、虚线均可).结论:线段CE 即为所求.(2分)(考生没有结论,但作图正确给满分)(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠CEF=∠DAF,(3分)∵CE=BC,∴AD=CE,(4分)又∵∠CFE=∠DFA,∴△AFD≌△EFC.(5分)评析此题主要考查学生尺规作图能力和演绎推理能力.20.解析(1)30%;10;50.(3分)(5分) (2)920×30%=276(人).(7分)答:估计七年级学生最喜爱羽毛球运动项目的人数为276人.(8分)21.解析(1)设捐款增长率为x,(1分)根据题意,得10 000(1+x)2=12 100,(2分)解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去),(4分)∴x=0.1=10%.(5分)答:捐款增长率为10%.(6分)(2)12 100×(1+0.1)=13 310(元).(7分)答:第四天该单位能收到13 310元捐款.(8分)评析此题考查一元二次方程的应用.增长率或减少率的基本模型为a(1±x)2=b(a>0,b>0).要注意解的取舍:增长率为负数要舍去,减少率超过100%要舍去.22.解析(1)=.(2分)(2)△BFC∽△CED,△EDC∽△CBD,△BFC∽△DCB.(5分)(只要能够正确写出三对相似三角形都相应给分,写出全等的一对三角形也一样给分,每写正确一对给1分)选择△EDC∽△CBD来证明.(用其他相似三角形来进行证明,只要证明过程正确相应给分)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DCB=90°,∴∠DBC+∠BDC=90°.∵四边形BDEF是矩形,∴∠CDE+∠BDC=90°,∴∠DBC=∠CDE.(7分)∵∠DCB=∠CED,∴△EDC∽△CBD.(8分)23.解析(1)∵二次函数图象经过坐标原点O(0,0),∴m2-1=0,∴m=±1.(1分)∴二次函数的解析式为y=x2-2x或y=x2+2x.(3分)(2)当m=2时,y=x2-2mx+m2-1=x2-4x+3=(x-2)2-1.(4分)∴D(2,-1),(5分)当x=0时,y=3,∴C(0,3).(6分)(3)存在.(7分)根据“两点之间,线段最短”知,当点P 是直线CD 与x 轴的交点时,PC+PD=CD 最短. 设直线CD 的解析式为y=kx+b(k 、b 为常数,k≠0),则有{2k +b =-1,b =3,∴{k =-2,b =3.(8分) ∴y=-2x+3,当y=0时,x=32,∴P (32,0).(9分)评析 第(1)问考查二次函数解析式的求法;第(2)问考查顶点坐标及抛物线与y 轴交点坐标的计算.第(3)问考查“线段和最短”.24.解析 (1)证明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD,(1分)∵∠BCA=∠BDA,∴∠BCA=∠BAD.(2分)(2)在Rt△ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√122+52=13,(3分)∵BE⊥DC,∴∠DEB=90°.∵∠ABC=90°,∴∠DEB=∠ABC,∵∠BAC=∠BDC,∴△DEB∽△ABC,(4分)∴DE AB =BD AC ,∴DE 12=1213,∴DE=14413.(6分)(3)证明:连结BO,∵∠ABC=90°,∴AC 是☉O 的直径,∴∠ADC=90°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCO+∠BCD=180°.∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO,∴∠CBO+∠BCD=180°,∴OB∥DE,∴∠DEB+∠EBO=180°.(8分)∵∠DEB=90°,∴∠OBE=90°,∴EB⊥OB.(9分)∵OB 是☉O 的半径,∴BE 是☉O 的切线.评析 第(1)问考查圆、三角形中线段与角的关系转化;第(2)问考查圆中的相似三角形的判定及性质;第(3)问考查切线的判定,方法是“连半径,证垂直”.25.解析 (1)15.(2分)(2)如题图③,在Rt△AFC 中,AC=6,∠ACF=30°,cos 30°=AC FC ,(3分) ∴√32=6FC ,∴FC=4√3.(5分)(3)(i)当x=0时,y=12DF 2=12×42=8.当0<x<2时,如图a.设BC 分别与DE 、FE 的交点为M 、N,图a作NG⊥BA 于点G,设GF=a,在Rt△GFN 中,∠GFN=60°,∴NG=√3a,在Rt△GBN 中,∠GBN=45°,∴NG=GB,∴√3a=a+x,∴a=√3-1=√3+12x. ∵BF=x,DF=4,∴BD=4+x.在Rt△BDM 中,∠DBM=45°, ∴DM=4+x.∴y=S 四边形DFNM =S △BDM -S △BFN =12BD·DM -12BF·NG =12(x+4)(x+4)-12x [√3(√3+1)2x] =-√3+14x 2+4x+8.(6分)(ii)∴当0≤x<2时,y=-√3+14x 2+4x+8. 当2≤x<6-2√3时,如图b,图b设BC 与FE 的交点为N,作NG⊥BA 于点G,设GF=a,在Rt△GFN 中,∠GFN=60°,∴NG=√3a. 在Rt△GBN 中,∠GBN=45°,∴NG=GB.∴√3a=a+x,∴a=√3-1=√3+12x, ∴y=S 四边形ACNF =S △ABC -S △BFN =12AB·AC -12BF·NG=12×6×6-12x [√3(√3+1)2x]=-3+√34x 2+18.(7分)(iii)当6-2√3≤x<6时,如图c,设AC 与FE 的交点为P,图c在Rt△AFP 中,∠AFP=60°,∴AP=√3(6-x),∴y=S △APF =12AF·AP=12·(6-x)·√3(6-x)=√32(x-6)2,(8分)当x=6时,重叠部分的面积为0,即y=0.∴当6-2√3≤x≤6时,y=√32(x-6)2.综上所述,当0≤x<2时,y=-√3-14x 2+4x+8;当2≤x<6-2√3时,y=-3-√34x 2+18;当6-2√3≤x≤6时,y=√32(x-6)2.(9分)评析 此题考查学生综合运用三角形、锐角三角函数等知识分析问题,解决问题的能力.要求学生在三角形平移变换的过程中,理清变化的量、不变的量,恰当分类讨论,合理选用面积的计算方法,化动为静,化抽象为直观.。
2013年湖北中考数学真题卷含答案解析
2013年武汉市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分:120分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列各数中,最大的是()A.-3B.0C.1D.22.式子√x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x<1B.x≥1C.x≤-1D.x<-1的解集是()3.不等式组{x+2≥0,x-1≤0A.-2≤x≤1B.-2<x<1C.x≤-1D.x≥24.袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出三个球.下列事件是必然事件的是()A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球B.摸出的三个球中至少有一个球是白球C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球D.摸出的三个球中至少有两个球是白球5.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是()A.-2B.-3C.2D.36.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是()A.18°B.24°C.30°D.36°7.如图是由四个大小相同的正方体组合而成的几何体,其主视图是()8.两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6个交点,….那么六条直线最多有()A.21个交点B.18个交点C.15个交点D.10个交点9.为了解学生课外阅读的喜好,某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查,调查要求每人只选取一种喜欢的书籍,如果没有喜欢的书籍,则作“其他”类统计.图(1)与图(2)是整理数据后的是()绘制的两幅不完整的统计图.以下结论不正确．．．图(1)图(2)A.由这两个统计图可知喜欢“科普常识”的学生有90人B.若该年级共有1200名学生,则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360人C.由这两个统计图不能确定喜欢“小说”的人数D.在扇形统计图中,“漫画”所在扇形的圆心角为72°10.如图,☉A与☉B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点,若∠CED=x°,∠ECD=y°,☉B的半径为R,则DE⏜的长度是()A.π(90-x)R90B.π(90-y)R90C.π(180-x)R180D.π(180-y)R180第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.计算cos45°=.12.在2013年的体育中考中,某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28.这组数据的众数是.13.太阳的半径约为696000千米,用科学记数法表示数696000为.14.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关于x的函数关系如图所示,则甲车的速度是米/秒.15.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数y=kx(x<0)的图象上,则k等于.16.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连结CF交BD于点G,连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.三、解答题(共9小题,共72分)17.(本小题满分6分)解方程2x-3=3 x .18.(本小题满分6分)直线y=2x+b经过点(3,5),求关于x的不等式2x+b≥0的解集.19.(本小题满分6分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证∠A=∠D.有两把不同的锁和四把不同的钥匙,其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁,其余的钥匙不能打开这两把锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果;(2)求一次打开锁的概率.21.(本小题满分7分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标;(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.如图,已知△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,点P是AB⏜的中点,连结PA,PB,PC.(1)如图①,若∠BPC=60°,求证AC=√3AP;,求tan∠PAB的值.(2)如图②,若sin∠BPC=2425图①图②23.(本小题满分10分)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度x/℃……-4-2024 4.5……植物每天高度增长量y/mm……414949412519.75……由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.已知四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 边上的点,DE 与CF 交于点G. (1)如图①,若四边形ABCD 是矩形,且DE ⊥CF.求证DE CF =ADCD ;(2)如图②,若四边形ABCD 是平行四边形,试探究:当∠B 与∠EGC 满足什么关系时,使得DE CF =ADCD成立?并证明你的结论; (3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE ⊥CF.请直接写出DE CF的值.图① 图② 图③25.(本小题满分12分)如图,点P 是直线l:y=-2x-2上的点,过点P 的另一条直线m 交抛物线y=x 2于A,B 两点. (1)若直线m 的解析式为y=-12x+32,求A,B 两点的坐标;(2)①若点P的坐标为(-2,t),当PA=AB时,请直接写出点A的坐标;②试证明:对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立;(3)设直线l交y轴于点C,若△AOB的外心在边AB上,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.答案全解全析：1.D 因为正数大于0,负数小于0,在数轴上,越往右边的点所表示的数越大,所以有-3<0<1<2.故选D.2.B 根据“二次根式的被开方数大于或等于0”,得x-1≥0,解得x≥1.故选B.评析本题考查二次根式的概念、不等式解法的简单应用,通常学生易忽略“等于0”的情形,属容易题.3.A 解不等式x+2≥0得x≥-2,解不等式x-1≤0得x≤1,所以不等式组的解集为-2≤x≤1.故选A.4.A 因为必然事件是一定会发生的事件,所以在装有4个黑球和2个白球的袋子中,“摸出的三个球中至少有一个球是黑球”一定会发生,而选项B、C、D中的事件都是可能会发生也可能不会发生的,是随机事件,故选A.5.B 根据一元二次方程的根与系数的关系易得x1x2=-3,故选B.6.A ∵AB=AC,∠A=36°,×(180°-36°)=72°.∴∠ABC=∠C=12∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°.∴∠DBC=90°-72°=18°.故选A.7.C 主视图是指从正面看几何体得到的平面图形,该几何体有三列正方体,且第三列的正方体有上下2层,故选C.8.C ∵两条直线最多有一个交点,在此基础上增加一条直线,则最多增加2个交点,即三条直线最多有1+2=3个交点;在此基础上再增加一条直线,则最多增加3个交点,即四条直线最多有1+2+3=6个交点;…,以此类推,六条直线最多有1+2+3+4+5=15个交点.故选C.9.C 由统计图可知喜欢“其他”类的人数为30人,占总体的10%,∴抽取的样本总数为30÷10%=300(人).喜欢“科普常识”的学生占30%,∴喜欢“科普常识”的学生有300×30%=90(人),显然选项A正确,不符合题意;若该年级共有1 200名学生,则可估计喜爱“科普常识”的学生约有1200×90=360(人),显然选项B也正确,不符合题意;300又由统计图知喜欢“小说”的人数为300-90-60-30=120(人),显然选项C不正确,符合题意; 又由条形统计图可知喜欢“漫画”的人数为60人,占抽取样本的比例为20%,∴“漫画”所在扇形的圆心角为20%×360°=72°,显然选项D正确,不符合题意.综上,选C.评析 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,体现了用样本估计总体的统计思想.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比. 10.B 过D 作☉B 的直径DM,连结ME 、BE,则∠MED=90°,BE⊥PE. ∴∠BEM+∠BED=90°,∠PEB=∠BED+∠PED=90°. ∴∠PED=∠BEM. 又∵BE=BM,∴∠BEM=∠BME, ∴∠DBE=∠BEM+∠BME=2∠BEM. ∴∠BEM=12∠DBE, ∴∠PED=∠BEM=12∠DBE.由已知及切线长定理知PE=PD,PD=PC, ∴∠PED=∠PDE,∠PDC=∠PCD,∠PEC=∠PCE.在△CDE 中,∵∠CED=x°,∠ECD=y°,则x°+∠PDE+∠PDC+y°=180°, 即x°+x°+∠PEC+y°+∠PCE+y°=180°,∴x°+y°+∠PEC=90°,∴∠PED=x°+∠PEC=90°-y°,即12∠DBE=90°-y°. ∴∠DBE=2(90°-y°), ∴由弧长公式可知DE⏜的长度=2(90-y )πR 180=(90-y )πR90,故选B.评析 本题主要考查了圆的切线长定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及圆的弧长公式等知识的综合应用,解题关键是通过等角转化求出圆心角∠DBE 的大小.属中等难度题.11.答案 √22解析 由特殊角的三角函数值直接可得.12.答案 28解析 因为28是这组数据中出现最多的数据,所以根据众数的概念可知这组数据的众数是28.13.答案 6.96×105解析 因为科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,所以696 000=6.96×105,故填6.96×105.14.答案 20解析 设甲车的速度是m 米/秒,乙车的速度为n 米/秒,由题意,得{100n -100m =500,20m +20n =900,解得{m =20,n =25.故甲车的速度为20米/秒. 15.答案 -12解析 如图.过D 作DH⊥y 轴于H,过C 作CF⊥DH 于F.则∠CFD=∠BOA=90°,又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠CDH=∠BAO,DC=AB,∴△CFD≌△BOA.∴DF=OA=1,CF=OB=2.设D(x,y),则C(x+1,y+2).∵C、D 在反比例函数图象上,∴xy =(x+1)(y+2),即y=-(2x+2).过C 作CE⊥y 轴于E,由勾股定理得AB=√5,EC 2+EB 2=BC 2.即(x+1)2+y 2=(2√5)2,解方程组{y =-(2x +2),(x +1)2+y 2=(2√5)2, 得{x =-3,y =4或{x =1,y =-4(不合题意,舍去). ∴D(-3,4) .∴k=-12 .故答案为-12.评析 本题主要考查反比例函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合应用,解题关键是巧妙构造全等三角形,利用勾股定理和反比例函数的意义列出方程组,求出反比例函数上某一点的坐标.16.答案 √5-1解析 ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADG=∠CDG=45°.又∵AE=DF,DG=DG,∴△ABE≌△DCF,△ADG≌△CDG,∴∠ABE=∠DCG,∠DAG=∠DCG,∴∠ABE=∠DAG.∵∠BAH+∠DAG=90°,∴∠BAH+∠ABE=90°,∴∠AHB=90°.∴H 在以AB 为直径的☉M 上.连结MD 、MH (如图所示).则MH+HD≥MD.∵AB=AD=2,∴AM=BM=MH=1.∴在Rt△ADM 中,由勾股定理得DM=√AD 2+AM 2=√5.∴DH≥√5-1,∴DH 的最小值是√5-1.评析 本题是一道以正方形为载体的动态几何探究题,主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及圆周角定理的推论等相关知识的综合应用,其解题关键是通过等角转化,确定动点H 运动的路径,从而求出线段DH 的最小值,属中等偏难题.17.解析 方程两边同乘以x(x-3),得2x=3(x-3),解得x=9.经检验,x=9是原方程的解.18.解析 ∵直线y=2x+b 经过点(3,5),∴5=2×3+b,∴b=-1.即不等式为2x-1≥0,解得x≥12.19.证明 ∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,在△ABF 和△DCE 中,{AB =DC ,∠B =∠C ,BF =CE ,∴△ABF≌△DCE,∴∠A=∠D.20.解析 (1)设两把不同的锁分别为A,B,能把A,B 两锁打开的钥匙分别为a,b,其余两把钥匙分别为m,n.根据题意,可以画出如下的树状图:由上图可知上述试验共有8种等可能的结果.(2)由(1)可知,任意取出一把钥匙去开任意的一把锁共有8种可能的结果,一次打开锁的结果有2种,且所有结果的可能性相等,∴P(一次打开锁)=28=14. 21.解析 (1)画出△A 1B 1C 如图,画出△A 2B 2C 2如图.(2)旋转中心坐标:(32,-1). (3)点P 的坐标:(-2,0).22.解析 (1)证明:∵BC⏜=BC ⏜,∠BPC=60°,∴∠BAC=∠BPC=60°. 又∵AB=AC,∴△ABC 为等边三角形,∴∠ACB=60°,∵点P 是AB⏜的中点,∴∠ACP=30°. 又∠APC=∠ABC=60°,∴∠PAC=90°.在Rt△PAC 中,∠ACP=30°,∴AC=√3AP.(2)连结AO 并延长交PC 于E,交BC 于F,过点E 作EG⊥AC 于点G,连结OC.∵AB=AC,且O 为△ABC 的外心,∴AF⊥BC,BF=CF.∵点P是AB⏜的中点,∴∠ACP=∠PCB,∴EG=EF.易知∠BPC=∠FOC,∴sin∠FOC=sin∠BPC=2425. 设FC=24a,则OC=OA=25a. ∴OF=7a,AF=32a.在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2, ∴AC=40a.在Rt△AGE和Rt△AFC中,sin∠FAC=EGAE =FC AC,∴EG32a-EG =24a40a,∴EG=12a.∴tan∠PAB=tan∠PCB=EFCF =12a24a=12.23.解析(1)选择二次函数,设y=ax2+bx+c(a≠0),得{c=49,4a-2b+c=49,4a+2b+c=41,解得{a=-1,b=-2,c=49.∴y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49.不选另外两个函数的理由:注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,∴y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,∴y不是x的一次函数.(2)由(1),得y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50.∵a=-1<0,∴当x=-1时,y的最大值为50.即当温度为-1 ℃时,这种植物每天高度增长量最大.(3)-6<x<4.24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,∴∠ADE+∠CDE=90°,∵DE⊥CF,∴∠CDE+∠DCF=90°,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴DE CF =AD DC .(2)当∠B+∠EGC=180°时,DE CF =AD DC 成立.证明如下:在AD 的延长线上取点M,使CF=CM,则∠CMF=∠CFM.∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM.∵AD∥BC,∴∠CFM=∠FCB.∵∠B+∠EGC=180°,∴∠FCB+∠GEB=180°,又∠AED+∠GEB=180°,∴∠AED=∠FCB, ∴∠CMF=∠AED.∴△ADE∽△DCM,∴DE CM =AD DC ,即DE CF =AD DC .(3)DE CF =2524.25.解析 (1)依题意,得{y =-12x +32,y =x 2,解得{x 1=-32,y 1=94,{x 2=1,y 2=1.∴A (-32,94),B(1,1). (2)①A 1(-1,1),A 2(-3,9).②证明:过点P,B 分别作过点A 且平行于x 轴的直线的垂线,垂足分别为点G,H. 设P(a,-2a-2),A(m,m 2).∵PA=AB,∴△PAG≌△BAH.∴AG=AH,PG=BH.∴B(2m -a,2m 2+2a+2).将点B 坐标代入抛物线y=x 2,得2m 2-4am+a 2-2a-2=0.∵Δ=16a 2-8(a 2-2a-2)=8a 2+16a+16=8(a+1)2+8>0,∴无论a 为何值时,关于m 的方程总有两个不等的实数解,即对于任意给定的点P,抛物线上总能找到两个满足条件的点A.(3)设直线m:y=kx+b(k≠0)交y 轴于点D,设A(m,m 2),B(n,n 2).过A 、B 两点分别作AG 、BH 垂直x 轴于G 、H.∵△AOB 的外心在AB 上,∴∠AOB=90°.易得△AGO∽△OHB,∴AG OG =OH BH ,∴mn=-1.联立{y =kx +b ,y =x 2,得x 2-kx-b=0, 依题意,得m,n 是方程x 2-kx-b=0的两根.∴mn=-b,∴b=1,即D(0,1).由题可得C(0,-2). ∵∠BPC=∠OCP,∴DP=DC=3.设P(a,-2a-2),过点P 作PQ⊥y 轴于Q,在Rt△PDQ 中,PQ 2+DQ 2=PD 2,即a 2+(-2a-2-1)2=32,∴a 1=0(舍去),a 2=-125,∴P (-125,145).。
2013年中考数学试题及答案
2013年中考数学试题及答案在2013年的中考数学试题中，我们看到了对基础知识和应用能力的全面考察。
以下是试题及答案的详细内容：一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是无理数？A. 2.0B. πC. 0.33333D. √4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么它的周长是多少？A. 16厘米B. 18厘米C. 20厘米D. 22厘米答案：C3. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 4x + 3 = 0C. x^2 - 4x + 2 = 0D. x^2 - 4x + 1 = 0答案：A4. 一个数列的前三项是2，4，8，那么第四项是多少？A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A5. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少？A. 25π平方厘米B. 50π平方厘米C. 75π平方厘米D. 100π平方厘米答案：B6. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 任意三角形B. 任意四边形C. 任意五边形D. 任意六边形答案：D7. 一个函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. -2B. -1C. 1D. 2答案：A8. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 2x > x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 4x < 3x + 1D. 5x ≥ 4x + 1答案：D9. 一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、5厘米，那么它的体积是多少？A. 60立方厘米B. 120立方厘米C. 180立方厘米D. 240立方厘米答案：A10. 以下哪个选项是正确的比例关系？A. 2:3 = 4:6B. 3:4 = 6:8C. 4:5 = 8:10D. 5:6 = 10:12答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是____。
答案：±512. 一个数的绝对值是5，那么这个数是____。
中考数学复习《整体思想解析》
方法技巧专题三整体思想解析在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。
它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。
运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。
整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一、数与式中的整体思想【例题】（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．【同步训练】（2017湖北江汉）已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a= ﹣6 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先变形，再整体代入求出即可．【解答】解：∵2a﹣3b=7，∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，故答案为：﹣6．二、方程（组）与不等式（组）中的整体思想【例题】先阅读,然后解方程组.解方程组时,可由①得x-y=1, ③然后再将③代入②得4×1-y=5,求得y=-1,从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”, 请用这样的方法解下列方程组解:由①得2x-3y=2, ③把③代入②得,+2y=9,解得y=4,把y=4代入③得,2x-3×4=2,解得x=7,∴原方程组的解为【同步训练】仔细观察下图，认真阅读对话根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设饼干的标价是x元/袋，（x是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得，用整体代入的思想求出x的取值，注意为整数且小于10，代入②可求牛奶的价格．【解答】解：设饼干的标价是x元/袋，（x是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得，由②得y=9.2﹣0.9x③③代入①得x+9.2﹣0.9x＞10∴x＞8∵x是整数且小于10∴x=9∴把x=9代入③得y=9.2﹣0.9×9=1.1（元）答：饼干的标价是9元/盒，牛奶的标价是1.1元/袋．三、函数与图像中的整体思想【例题】某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： ++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得： +=．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．【同步训练】（2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．四、几何与图形中的整体思想：【例题】小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180 B．210 C．360 D．270【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【同步训练】如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【达标检测】1.（2017.江苏宿迁）若a﹣b=2，则代数式5+2a﹣2b的值是9 ．【考点】33：代数式求值．【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=2，∴原式=5+2（a﹣b）=5+4=9，故答案为：92.已知是方程组的解，则a2﹣b2= 1 ．【考点】97：二元一次方程组的解．【分析】根据是方程组的解，可以求得a+b和a﹣b的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵是方程组的解，∴，解得，①﹣②，得a﹣b=，①+②，得a+b=﹣5，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣）=1，故答案为：1．3.四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角D．互补【考点】多边形内角与外角．【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．【解答】解：如图：∵四边形ABCD的内角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C=90°，∴∠B+∠D=180°．∴另一组对角一定互补．故选D．【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．4.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．已知：在四边形ABCD中， O是对角线BD上任意一点．（如图①）求证：S△OBC •S△OAD=S△OAB•S△OCD；（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．【解析】证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB=BO•AE，S△COD=DO•CF，S△AOD=DO•AE，S△BOC=BO•CF，∴S△AOB •S△COD=BO•DO•AE•CF，S△AOD •S△BOC=BO•DO•CF•AE，∴S△AOB •S△COD=S△AOD•S△BOC．；（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．或S△AOD •S△BOC=S△AOB•S△DOC，已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，求证：S△AOD •S△BOC=S△AOB•S△DOC．证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，则有：S△AOD =DO•AE，S△BOC=BO•CF，S△OAB =OB•AE，S△DOC=OD•CF，∴S△AOD •S△BOC=OB•OD•AE•CF，S△OAB •S△DOC=BO•OD•AE•CF，∴S△AOD •S△BOC=S△OAB•S△DOC．四个．如图所示：。
2013中考数学试题及答案
2013中考数学试题及答案一、选择题1. 已知函数y = 2x + 3，求该函数图像与x轴交点的纵坐标。
A. -2B. 3C. 2D. -3答案：B2. 某公司生产计划单上标明：A型产品每箱27个，B型产品每箱20个；计划生产产品总数为810个，共需多少箱？A. 45B. 48C. 54D. 60答案：B3. 在长度为4m，宽度为3m的长方形花坛周围修一条宽1m的路，这个长方形花坛外面的长方形的面积是多少？A. 18平方米B. 14平方米C. 16平方米D. 20平方米答案：C4. 化简下列各式：5m - 8n + 3m + 2n - 4m + 5n = ?A. 4m - nB. 4m + 5nC. 3m - nD. 3m - n答案：D二、填空题1. 13 x 8 = _______答案：1042. (-3) x (-5) = ________答案：153. n的二次方大于n的1次方，当n是_______时，二次方小于1次方。
答案：0和14. 45 + 63 = ________答案：108三、解答题1. 一个正方形的边长是x cm，它的周长是多少？解：正方形的周长是各边相加的和，而正方形的四条边长度都是相等的，所以一个正方形的周长是4x cm。
2. 小明从家里到学校一共走了1.5km的距离，他晚上又返回家，最后一天他一共走了3km的距离。
小明家到学校的距离是多少？解：设小明家到学校的距离为x km，根据题意可得方程：x + x = 1.5 + 3解方程可得：2x = 4.5所以，小明家到学校的距离为2.25km。
四、应用题某商店的5个售货员每人每小时销售30件商品，那么这5个售货员5个小时能销售多少件商品？解：每个售货员每小时销售30件商品，所以5个售货员一共每小时销售30 × 5 = 150件商品。
所以，5个售货员5个小时能销售150 × 5 = 750件商品。
综上所述，这是2013年中考数学试题及答案的部分内容。
2013年全国中考数学：综合性问题及答案
综合性问题一．选择题1．（2013湖北省鄂州市，5，3分）下列命题正确的个数是（）①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y=﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中解：①若代数式③若反比例函数二．填空题1．（2013·潍坊，18，3分）如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F ．现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E ．若11FA E ∆∽BF E 1∆，则AD ＝__________．答案：3．2解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，∴AC ＝ AB 2－BC 2 ＝ 102－62 ＝8，设AD ＝2x ， ∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1， ∴AE ＝DE ＝DE 1＝A 1E 1＝x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD ：AC ＝DF ：BC ， 即2x ：8 ＝DF ：6 ，解得DF ＝1．5x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F 2＝ DF 2＋DE 12 ＝ 3．25 x 2 ，又∵BE 1＝AB －AE 1＝10－3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F ：A 1E 1 ＝BE 1 ：E 1F ，∴E 1F 2＝A 1E 1•BE 1，过A 作'AB PP ⊥,则sin 45322AB OA =︒=⨯=∴阴影部分''PAA P 的面积为'122S PP AB =⨯== 【答案】123．（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE ＝CF ②∠AEB ＝750③BE+DF ＝EF ④S 正方形ABCD ＝2+3，其中正确的序号是 。
2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法(一)(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法（一）一、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
二、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 10．（2012•德州）已知，则a+b等于（）A．3 B．C．2 D．1考点：解二元一次方程组。
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 （2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM 取得最大值时，则M的坐标为．考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。
点评：本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
2013南京数学中考试题及答案Word编排6月22日12
第4题l O 2O 1南京市2013年初中毕业生学业考试数 学一、选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.计算12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是A ．-24B ．-20C ．6D ．36 2.计算23)1·aa （的结果是A ．aB ．5a C ．6a D ．9a3．设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a ＜4；④a 是18的算术平方根。
其中，所有正确说法的序号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④4.如图，⊙O 1、⊙O 2的圆心O 1、O 2在直线l 上，⊙O 1的半径为2cm ，⊙O 2的半径为3cm ，O 1O 2=8cm 。
⊙O 1以1cm/s 的速度沿直线l 向右运动，7s 后停止运动。
再此过程中，⊙O 1与⊙O 2没有出现的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含5.在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k 1x 的图像与反比例函数xk y 2的图像没有公共点，则 A ．k 1+ k 2＜0 B ．k 1+ k 2＞0 C ．k 1k 2＜0 D ．k 1k 2＞06. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是第6题A ．B ．F EO D B A 1D'B'C'D CB A 第12题第11题二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）7.-3的相反数是 ；-3的倒数是 . 8.计算2123-的结果是 . 9.使式子111-+x 有意义的x 的取值范围是 . 10.第二节亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青少年志愿者提供服务，将13000用科学计数法表示为 .11.如图将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到AB ’C ’D ’的位置，旋转角α（0°＜α＜90°）.若 ∠1=110°，则∠α= °.12. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF .若菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A =120°，则EF = cm .13.△OAB 是以正多边形相邻的两个顶点A 、B 与它的中心O 为顶点的三角形，若△OAB 的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 .14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 . 15. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P ，已知A （2,3），B (1,1), D (4,3),则点P 的坐标为（ ， ）.16.计算⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛----51413121615141312116151413121514131211的结果是 .三、解答题（本大题共有11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17.（6分）化简b a a b a b b a +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---221.x第14题第15题N P D M AB 18.（6分）解方程xx x --=-2112219.（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N. （1）求证：∠ADB =∠CDB ；(2)若∠ADC =90°，求证：四边形MPND 是正方形.20.（8分）(1)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外都相同，求下列事件的概率：①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是是红球；（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的.如果小明从每道题的4个选项中随机的选择一个，那么他6道选择题全部选正确的概率是（ ）A ．41B ．641⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．6411⎪⎭⎫ ⎝⎛-D ．6431⎪⎭⎫ ⎝⎛-21.（9分）某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查，整理样本数据，得到下列图表：（1）理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由； 步行10%其它6%乘私家车 20%乘公共交通工具 30%骑车34%某校150名学生上学方式 频数分布表 某校150名学生上学方式 扇形统计图（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图：（3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学生合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议： .22.（8分）已知不等臂跷跷板AB 长4m ，如图①，当AB 的一端A 碰到地面时，AB 与地面的夹角为α；如图②，当AB 的另一端B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为β.求跷跷板AB 的支撑点O 到地面的高度OH .（用含α、β的式子表示）23.（8分）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应返回金额.根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1-80%)+30=110（元） （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？ 某校2000名学生上学方式条形统计图 步行 骑车 乘公共 乘私 其它 上学方式 交通工具 家车 人数H ① H ②24.（8分）小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中折线表示她在整个驾车过程中第y 与 x 之间的函数关系.（1）小丽驾车的最高速度是 km/h;(2)当20≤x ≤30时，求y 与 x 之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min 时的速度； （3）如果汽车每行驶100km 耗油10L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？25.（8分）如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，过点B 作BC ∥AD ，交⊙O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD ∥AB ，交AD 于点D ，连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且∠BCP =∠ACD .（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AB =9，BC =6，求PC 的长.26.（9分）已知二次函数)()(2m x a m x a y ---=（a 、m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 72 48 24 O y 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数。
中考数学复习常用数学思想专题练习
中考数学复习常用数学思想专题练习类型一整体思想1.小慧去花店购买鲜花,若买5枝玫瑰和3枝百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3枝玫瑰和5枝百合,则她所带的钱还缺4元.若只买8枝玫瑰,则她所带的钱还剩下()A.31元B.30元C.25元D.19元2.若x,y,z为实数,且{x+2y-z=4,x-y+2z=1,则代数式x2-3y2+z2的最大值是.3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为.4. 5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是.类型二转化思想1.运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD,EF是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8,则图中阴影部分的面积是()A. πB.10πC.24+4πD.24+5π2.通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是度.3.如图,AB为半圆的直径,且AB=6,将半圆绕点A顺时针旋转60°,点B旋转到点C的位置,则图中阴影部分的面积为.4. 如图,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋转,当∠ABF最大时,S△ADE=.5.如图,已知圆柱的底面周长为6,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到对面的A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为.类型三数形结合思想1.实数m,n在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的是()A.m>nB.-n>|m|C.-m>|n|D.|m|<|n|2.如图,点P是以AB为直径的半圆上的动点,CA⊥AB,PD⊥AC于点D,连接AP,设AP=x,PA-PD=y,则下列函数图象能反映y与x之间关系的是()3.图中四边形均为长方形,根据图形,写出一个正确的等式:.4.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出根式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.类型四分类讨论思想1.如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.2.类型五方程与函数思想1.一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为.2.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则a的值为.3.如图,已知线段AB=4,点O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l 上一点,当△APB为直角三角形时,则BP=.4.如图,已知动点A在函数y= (x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA交以点A为圆心,AB长为半径的圆弧于点E,延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F,直线EF分别交x轴、y轴于点M,N,当NF=4EM时,图中阴影部分的面积等于.5.当今,越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后,更加喜欢同名科幻小说,该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当销售单价是25元时,每天的销售量是250本;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10本,书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.(2)书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠a(0<a≤6)元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得最大利润为1 960元,求a的值.。
2013年江西中考数学真题卷含答案解析
江西省2013年中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共18分)一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)每小题只有一个正确选项.1.-1的倒数是()A.1B.-1C.±1D.02.下列计算正确的是()A.a3+a2=a5B.(3a-b)2=9a2-b2C.a6b÷a2=a3bD.(-ab3)2=a2b63.下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况:城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌污染指数34216316545227163则这组数据的中位数和众数分别是()A.164和163B.105和163C.105和164D.163和164交于A,B两点,则当线段AB的长度取最小值时,a的值为4.如图,直线y=x+a-2与双曲线y=4x()A.0B.1C.2D.55.一张坐凳的形状如图所示,以箭头所指的方向为主视方向,则它的左视图可以是()6.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,则下列判断正确的是()A.a>0B.b2-4ac≥0C.x1<x0<x2D.a(x0-x1)(x0-x2)<0第Ⅱ卷(非选择题,共102分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)7.分解因式x2-4=.8.如图△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=155°,则∠B的度数为.9.某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育,到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人,求到两地的人数各是多少?设到井冈山的人数为x人,到瑞金的人数为y人,请列出满足题意的方程组.10.如图,矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连结DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连结AM,CN,MN,若AB=2√2,BC=2√3,则图中阴影部分的面积为.11.观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n个图形中所有点的个数为(用含n的代数式表示).12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个．．符合题意的一元二次方程.13.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为.14.平面内有四个点A、O、B、C,其中∠AOB=120°,∠ACB=60°,AO=BO=2,则满足题意的OC长度为整数的值可以是.三、(本大题共2小题,每小题5分,共10分)并将解集在数轴上表示出来.15.解不等式组{x+2≥1,2(x+3)-3>3x,的直尺16.如图AB是半圆的直径.图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度．．．按要求画图.(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.17.先化简,再求值:x2-4x+42x ÷x2-2xx2+1,在0,1,2三个数中选一个合适的,代入求值.18.甲、乙、丙3人聚会,每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同),将3件礼物放在一起,每人从中随机抽取一件.(1)下列事件是必然事件的是()A.乙抽到一件礼物B.乙恰好抽到自己带来的礼物C.乙没有抽到自己带来的礼物D.只有乙抽到自己带来的礼物(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A),请列出事件A的所有可能的结果,并求事件A的概率.19.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=k(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平x行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).(1)直接写出B、C、D三点的坐标;(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.20.生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉,造成极大的浪费,为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查,为期半天的会议中,每人发一瓶500ml的矿泉水,会后对所发矿泉水喝的情况进行统计,大致可分为四种:A.全部喝完;B.喝剩约1;C.喝剩约3一半;D.开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题:(1)参加这次会议的有多少人?在图(2)中D所在扇形的圆心角是多少度?并补全条形统计图;(2)若开瓶但基本未喝算全部浪费,试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升．．?(计算结果请保留整数)(3)据不完全统计,该单位每年约有此类会议60次,每次会议人数约在40至60人之间,请用(2)中计算的结果,估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500ml/瓶)约有多少瓶．?(可使用科学计算器)六、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.如图1,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB.如图2所示,量得连杆OA长为10cm,雨刮杆AB长为48cm,∠OAB=120°.若启动一次刮雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置,如图3所示.(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离;(结果精确到0.01)(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积.(结果保留π的整数倍)(参考数据:sin60°=√32,cos60°=12,tan60°=√3,√721≈26.851,可使用科学计算器)图1图2图322.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是☉O 外一点,连结AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C.(1)证明PA是☉O的切线;(2)求点B的坐标;(3)求直线AB的解析式.七、(本大题共2小题,第23题10分,第24题12分,共22分)23.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:●操作发现:作等腰直角三角形,如图在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧．．1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确的是.(填序号即可)AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.●数学思考:①AF=AG=12在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所．．示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程.●类比探究:作等腰直角三角形,如图3所在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧．．示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MED的形状.答:.24.已知抛物线y n=-(x-a n)2+a n(n为正整数,且0<a1<a2<…<a n)与x轴的交点为A n-1(b n-1,0)和A n(b n,0),当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式;(2)抛物线y3的顶点坐标为(,);依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(,);所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是;(3)探究下列结论:①若用A n-1A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段长,直接写出A0A1的值,并求出A n-1A n;②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.答案全解全析：一、选择题(a≠0),∴-1的倒数是-1,选B.1.B ∵a的倒数是1a2.D A项,a3与a2不是同类项,不能相加,故本选项错误;B项,(3a-b)2=9a2-6ab+b2,故本选项错误;C项,两个单项式相除,系数与系数相除,相同的字母相除,a6b÷a2=a4b,故本选项错误;D 项,根据积的乘方知,(-ab3)2=a2b6,故本选项正确,选D.3.A 首先将一组数据从小到大或从大到小排序,处于中间(数据个数为奇数时)的数或中间两个数的平均数(数据个数为偶数时)就是这组数据的中位数;众数是指一组数据中出现次数最多的那个数,将数据从小到大排序得45,163,163,165,227,342,所以中位数是163+165=164,2众数为163,故选A.4.C ∵y=x+a-2,当a取不同数值时,得到一组平行于y=x的直线.当y=x时,从图形的直观性可得:直线与y=4的两交点A、B之间距离最短.∴a=2,故选C.x5.C A项, 少了上面的一部分,故本选项错误;B项,是坐凳的主视图,故本选项错误;C项,是坐凳的左视图,故本选项正确;D项,既不是主视图,也不是左视图,故本选项错误,故选C.6.D 需要分a>0,a<0两种情况,画出两个草图来分析(见下图).A 项, 抛物线的开口可向上也可向下,故本选项错误;B 项, 抛物线与x 轴有两个不同的交点,则b 2-4ac>0,故本选项错误;C 项, 在图1中,a>0,且有x 1<x 0<x 2,在图2中,a<0,且有x 0<x 1<x 2,故本选项错误;D 项, 在图1中,a>0,且有x 1<x 0<x 2,则a(x 0-x 1)(x 0-x 2)的值为负;在图2中,a<0,且有x 0<x 1<x 2,则a(x 0-x 1)(x 0-x 2)的值也为负,故本选项正确,故选D. 7.答案 (x+2)(x-2)解析 利用平方差公式得x 2-4=(x+2)(x-2). 8.答案 65°解析 ∵∠1=155°,∴∠EDC=25°. 又∵DE∥BC,∴∠C=∠EDC=25°.在△ABC 中,∠A=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°.评析 本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识,题目较简单. 9.答案 {x +y =34x =2y +1解析 根据题意可知有两个等量关系:到井冈山的人数+到瑞金的人数=34;到井冈山的人数=到瑞金的人数×2+1,所以可列方程组为{x +y =34,x =2y +1.10.答案 2√6解析 ∵DE、BF 的中点为M 、N,∴AM、CN 分别为Rt△ADE 与Rt△BCF 斜边上的中线, ∴S △AEM =12S △ADE ,S △BCN =12S △BCF .∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点, ∴四边形BEDF 为平行四边形, ∵DE、BF 的中点为M 、N,∴S 四边形DFNM =12S 四边形BEDF ,∴阴影部分的面积就是原矩形面积的一半.∴S 阴影=12×2√3×2√2=2√6.评析 本题考查了阴影部分面积的求法,涉及三角形的性质、平行四边形的性质和判定、矩形的性质、矩形的面积计算等知识,解题方法多样,利用“整体思想”则事半功倍. 11.答案 (n+1)2解析 下列式子是点数的变化规律: 1 1+3=4 2 1+3+5=9 3 1+3+5+7=16 4 1+3+5+7+9=25 ……n 1+3+5+7+…+(2n+1)=(n+1)2由点数的变化规律,可以推出第n 个图形中所有点的个数为(n+1)2. 12.答案 x 2-5x+6=0(答案不唯一)解析 由于直角三角形的面积为3,不妨取两直角边长分别为2、3.设一元二次方程为ax 2+bx+c=0(a≠0),根据一元二次方程根与系数的关系得x 1+x 2=-b a =5,x 1·x 2=ca =6,若a=1,则b=-5,c=6.所以以2、3为根的一元二次方程为x 2-5x+6=0.13.答案 25°解析 ∵平行四边形ABCD 与平行四边形DCFE 的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE. ∵∠BAD=60°,∠F=110°, ∴∠ADC=120°,∠CDE=110°, ∴∠ADE=360°-∠ADC -∠CDE=130°, ∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=25°.14.答案 2,3,4解析 ∵∠AOB=120°,AO=BO=2,∴△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形.联想60°与120°互补,60°是120°的一半,可知点C 是△AOB 外接圆上的动点.当点C 在以O 为圆心的优弧AB 上时,总有∠AC 1B=12∠AOB=60°,此时OC 1=OA=2;当点C 在过点A 、O 、B 三点的圆的优弧AB 上时, 总有∠ACB+∠AOB=180°,此时OC 的长随点C 的位置不同而改变,且有OB<OC 2≤OC 3(OC 3为△AOB 外接圆直径),即2<OC≤4, 此时OC 长度的整数值为3或4. 综上,OC 长度的整数值可以是2,3,4. 15.解析 由x+2≥1,得x≥-1,(1分) 由2x+6-3>3x,得x<3,(3分) ∴不等式组的解集为-1≤x<3.(4分)将解集在数轴上表示为:(5分)16.解析 (1)在图1中,点P 即为所求. (2)在图2中,CD 即为所求.17.解析 原式=(x -2)22x·x 2x (x -2)+1(2分)=x -22+1(3分)=x2.(4分)∵分式x 2-2x x 2为除式,∴x≠0且x≠2.当x=1时,原式=12.(6分) 18.解析 (1)A.(2分)(2)依题意可画树状图(下列两种方式均可):图1图2(直接列举出6种可能结果也可)符合题意的只有两种情况:①乙丙甲②丙甲乙(按图1)或①(甲乙),(乙丙),(丙甲);②(甲丙),(乙甲),(丙乙)(按图2).(5分)∴P(A)=26=13.(6分)19.解析 (1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).(3分) (2)这两个点是A 、C.(4分)如图,矩形ABCD 平移后得到矩形A'B'C'D',设平移距离为a,则A'(2,6-a),C'(6,4-a). ∵点A',点C'在y=kx 的图象上,∴2(6-a)=6(4-a),(6分) 解得a=3,(7分) ∴点A'(2,3),∴反比例函数的解析式为y=6x .(8分)20.解析 (1)根据所给扇形统计图可知,喝剩约13的人数是总人数的50%, ∴25÷50%=50(人),参加这次会议的总人数为50.(1分) ∵550×360°=36°,∴D 所在扇形的圆心角的度数为36°.(2分) 补全条形统计图如图.(3分)(2)根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为 (25×500×13+10×500×12+5×500)÷50=275003÷50≈183(ml).(6分)(3)该单位每年参加此类会议的总人数约为2 400~3 600人, 则浪费矿泉水约为3 000×183÷500=1 098(瓶).(8分) 21.解析(1)雨刮杆AB旋转的最大角度为180°.(1分)连结OB,过O点作AB的垂线交BA的延长线于E点,∵∠OAB=120°,∴∠OAE=60°.在Rt△OAE中,∵∠OAE=60°,OA=10 cm,∴sin ∠OAE=OEOA =OE 10,∴OE=5√3 cm,(2分)∴AE=5 cm,∴EB=AE+AB=53 cm.(3分)在Rt△OEB中,∵OE=5√3 cm,EB=53 cm,∴OB=√OE2+BE2=√2884=2√721≈53.70(cm).(4分)(2)∵雨刮杆AB旋转180°得到CD,即△OCD与△OAB关于点O中心对称,∴△BAO≌△DCO,∴S△BAO=S△DCO(直接证明全等得到面积相等的也给相应的分值),(7分)∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=12π(OB2-OA2)(8分)=1 392π(cm2).(9分)(用OB≈53.70计算得到1 392π的,该步骤也得相应分值)22.解析 (1)证明:依题意可知,A(0,2), ∵A(0,2),P(4,2), ∴AP∥x 轴,(1分)∴∠OAP=90°,且点A 在☉O 上, ∴PA 是☉O 的切线.(2分)(2)解法一:连结OP,OB,作PE⊥x 轴于点E,BD⊥x 轴于点D, ∵PB 切☉O 于点B,∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC. 又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PCE, ∴△OBC≌△PEC, ∴OC=PC,(3分)(或证Rt△OAP≌Rt△OBP,再得到OC=PC 也可) 设OC=PC=x,则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x, 在Rt△PCE 中,∵PC 2=CE 2+PE 2, ∴x 2=(4-x)2+22,解得x=52,(4分)∴BC=CE=4-52=32.∵12OB·BC=12OC·BD,即12×2×32=12×52×BD,∴BD=65,(5分) ∴OD=√OB 2-BD 2=√4-3625=85,由点B 在第四象限可知B (85,-65).(7分)解法二:连结OP,OB,作PE⊥x 轴于点E,BD⊥y 轴于点D, ∵PB 切☉O 于点B,∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC. 又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PCE, ∴△OBC≌△PEC,∴OC=PC(或证Rt△OAP≌Rt△OBP,再得到OC=PC 也可).(3分) 设OC=PC=x,则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x, Rt△PCE 中,∵PC 2=CE 2+PE 2, ∴x 2=(4-x)2+22,解得x=52,(4分)∴BC=CE=4-52=32.∵BD∥x 轴, ∴∠COB=∠OBD, 又∵∠OBC=∠BDO=90°, ∴△OBC∽△BDO,∴OB BD =CB OD =OCBO,即2BD =32OD =522,∴BD=85,OD=65,由点B 在第四象限可知B (85,-65).(7分) (3)设直线AB 的解析式为y=kx+b,由A(0,2),B (85,-65),可得{b =2,85k +b =-65,(8分) 解得{b =2,k =-2,∴直线AB 的解析式为y=-2x+2.(9分)23.解析 ●操作发现:①②③④.(2分) ●数学思考:MD=ME,MD⊥ME.(3分) 先证MD=ME:如图,分别取AB,AC 的中点F,G,连结DF,MF,MG,EG, ∵M 是BC 的中点, ∴MF∥AC,MF=12AC.又∵EG 是等腰Rt△AEC 斜边上的中线, ∴EG⊥AC 且EG=12AC, ∴MF=EG, 同理可证DF=MG. ∵MF∥AC,∠MFA+∠BAC=180°, 同理可得∠MGA+∠BAC=180°, ∴∠MFA=∠MGA,又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°, 同理可得∠DFA=90°, ∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA, 即∠DFM=∠MGE,又MF=EG,DF=MG, ∴△DFM≌△MGE(SAS), ∴MD=ME.(7分)再证MD⊥ME:证法一:∵MG∥AB,∴∠MFA+∠FMG=180°,即∠MFA+∠FMD+∠DME+∠EMG=180°,又∵△DFM≌△MGE,∴∠EMG=∠MDF,∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,∴∠DME=90°,即MD⊥ME.(9分)证法二:如图,MD与AB交于点H,∵AB∥MG,∴∠DHA=∠DMG,又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,∴∠DHA=∠FDM+90°,∵∠DMG=∠DME+∠GME,又∵△DFM≌△MGE,∴∠FDM=∠GME,∴∠DME=90°,即MD⊥ME.(9分)●类比探究:等腰直角三角形.(10分)24.解析(1)∵y1=-(x-a1)2+a1与x轴交于点A0(0,0),∴-a12+a1=0,∴a1=0或1,由已知可知a1>0,∴a1=1,(1分)即y1=-(x-1)2+1,令y1=0,代入得-(x-1)2+1=0,∴x1=0,x2=2,∴y1与x轴交于A0(0,0),A1(2,0),∴b1=2.(2分)又∵抛物线y2=-(x-a2)2+a2与x轴交于A1(2,0),∴-(2-a2)2+a2=0,∴a2=1或4,∵a2>a1,∴a2=1(舍去),∴a2=4,抛物线y2=-(x-4)2+4.(3分)(2)(9,9);(n2,n2);y=x.(6分)详解如下:∵抛物线y2=-(x-4)2+4,令y2=0,得-(x-4)2+4=0,∴x1=2,x2=6,∴y2与x轴交于A1(2,0),A2(6,0),又∵抛物线y3=-(x-a3)2+a3与x轴交于A2(6,0),∴-(6-a3)2+a3=0,∴a3=4或9,∵a3>a2,∴a3=4(舍去),∴a3=9,抛物线y3的顶点坐标为(9,9).由y1的顶点坐标为(1,1),y2的顶点坐标为(4,4),抛物线y3的顶点坐标为(9,9), 依次类推抛物线y n的顶点坐标为(n2,n2).∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标,∴顶点坐标满足的函数关系式是y=x.(3)①∵A0(0,0),A1(2,0),∴A0A1=2,(7分)又∵y n=-(x-n2)2+n2,令y n=0,∴-(x-n2)2+n2=0,即x1=n2+n,x2=n2-n,∴A n-1(n2-n,0),A n(n2+n,0),则A n-1A n=(n2+n)-(n2-n)=2n.(9分)②存在,是平行于y=x且过A1(2,0)的直线,其表达式为y=x-2.(12分)。
2013年河北中考数学真题卷含答案解析
2013年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共42分)一、选择题(本大题共16个小题,1~6小题,每小题2分;7~16小题,每小题3分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.气温由-1 ℃上升2 ℃后是( ) A.-1 ℃ B.1 ℃C.2 ℃D.3 ℃2.截至2013年3月底,某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为( ) A.0.423×107B.4.23×106C.42.3×105D.423×1043.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )4.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.a(x-y)=ax-ay B.x 2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x 2+4x+3 D.x 3-x=x(x+1)(x-1)5.若x=1,则|x-4|=( ) A.3B.-3C.5D.-56.下列运算中,正确的是( ) A.√9=±3B.√-83=2 C .(-2)0=0D.2-1=127.甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修10 m,设甲队每天修路x m.依题意,下面所列方程正确的是( ) A.120x =100x -10 B.120x =100x+10 C.120x -10=100xD.120x+10=100x8.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为() A.40海里 B.60海里C.70海里D.80海里9.如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y=()A.2B.3C.6D.x+3的图象如图所示,以下结论:10.反比例函数y=mx①常数m<-1;②在每个象限内,y随x的增大而增大;③若A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h<k;④若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④11.如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=()A.3B.4C.5D.612.如已知:线段AB,BC,∠ABC=90°.求作:矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:对于两人的作业,下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对13.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=()A.90°B.100°C.130°D.180°14.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠C=30°,CD=2√3,则S阴影=()A.πB.2πC.2√3 D.23π315.如图,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图.则下列说法正确的是()A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远16.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12,动点P从点A出发,沿折线AD—DC—CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒,y=S△EPF,则y与t的函数图象大致是()第Ⅱ卷(非选择题,共78分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分.把答案写在题中横线上)17.如图,A是正方体小木块(质地均匀)的一顶点,将木块随机投掷在水平桌面上,则A与桌面接触的概率是.18.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为.19.如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=°.20.如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=.三、解答题(本大题共6个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(本小题满分9分)定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.(1)求(-2)⊕3的值;(2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.22.(本小题满分10分)某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),经确认扇形图是正确的,而条形图尚有一处错误.图1图2回答下列问题:(1)写出条形图中存在的错误,并说明理由;(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的:①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的?②请你帮他计算出正确的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵.23.(本小题满分10分)如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动,且过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒.(1)当t=3时,求l的解析式;(2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围;(3)直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.24.(本小题满分11分)如图,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以点O为圆心,6为半径的优弧MN⏜分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP',求证:AP=BP';(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;⏜上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.(3)设点Q在优弧MN25.(本小题满分12分)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x 的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表示Q;(2)当x=70,Q=450时,求n的值;(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420,若能,求出m的值;若不能,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-b2a ,4ac-b24a)26.(本小题满分14分)一透明的敞口正方体容器ABCD-A'B'C'D'装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α(∠CBE=α,如图1所示).图1探究如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB'交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图2所示.解决问题:图2(1)CQ与BE的位置关系是,BQ的长是dm;(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB)(3)求α的度数.(注:sin49°=cos41°=34,tan37°=34)拓展在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C'C或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图3和图4,求y与x 的函数关系式,并写出相应的α的范围.图3图4延伸在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图5,隔板高NM=1dm,BM=CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α=60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4dm3.图5备用图答案全解全析：1.B 气温由-1 ℃上升2 ℃后的温度为-1+2=1 ℃,故选B.2.B 4 230 000是一个7位整数,所以4 230 000用科学记数法可表示为4.23×1 000 000=4.23×106,故选B.评析科学记数法是将一个数写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10, n为整数.其方法是(1)确定a,a是只有一位整数的数;(2)确定n,当原数的绝对值≥10时,n为正整数,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零).3.C A选项图不是轴对称图形,是中心对称图形;B选项图是轴对称图形,不是中心对称图形;C选项图既是轴对称图形,又是中心对称图形;D选项图是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C.4.D A项:a(x-y)=ax-ay右边不是整式积的形式,错误;B项:x2+2x+1=x(x+2)+1只是把多项式前两项提取公因式,错误;C项:(x+1)(x+3)=x2+4x+3是整式的乘法,错误;D项:x3-x=x(x+1)(x-1)右边是整式积的形式,正确.故选D.5.A 当x=1时,|x-4|=|1-4|=|-3|=3,故选A.6.D A 项:√9=3,错误; B 项:√-83=-2,错误; C 项:(-2)0=1,错误; D 项:2-1=12,正确.故选D.评析 本题主要考查了实数中零指数幂、负指数幂、算术平方根及立方根的运算,解决本题的关键就是熟悉相关概念及简单的运算法则,难度较小.7.A 因为甲队比乙队每天多修10 m,所以乙队每天修路(x-10)m.根据“甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同”,可列方程120x=100x -10,故选A.8.D 由题意得 MN=40×2=80海里,∠M=70°,∠MPN=180°-40°-70°=70°, ∴∠M=∠MPN=70°,∴MN=NP,∴N 处与灯塔P 的距离为80海里,故选D.评析 本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识.利用平行线的有关知识得到角度的关系,从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路. 9.B 淇淇猜中的结果应为y=2x+62-x=3,故选B.10.C ∵反比例函数图象位于第一、三象限,∴m>0,①错误;∵反比例函数图象位于第一、三象限,∴在每个象限内,y 随x 的增大而减小,②错误;∵点A(-1,h),B(2,k)是此双曲线上的点,∴h<k,③正确;∵点P(x,y)在图象上,则xy=m,把点P'(-x,-y)的坐标代入反比例函数的解析式中等式成立,④正确.故选C. 11.B 过点M 作MG⊥AB,垂足为G, ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC 平分∠DAB, ∵ME⊥AD,MG⊥AB,∴MG=ME=3. ∵NF⊥AB,MG⊥AB,∴NF∥MG,∴△ANF∽△AMG,∴AN AM =NFMG,即ANAN+2=23,解得AN=4.故选B.12.A 由甲的做法可知AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵∠ABC = 90°,∴四边形ABCD 为矩形,甲的作图正确;由乙的做法可知AM=CM, 又∵∠ABC = 90°,∴MB=AM=CM.∵MD=MB,∴AM=MB =CM =MD, ∴四边形ABCD 为矩形,乙的作图正确.故选A.13.B 如图,一个正方形和两个等边三角形所夹图形为△ABC,由三角形外角和定理可知∠DAB+∠EBC+∠FCA=360°,即∠1+90°+∠3+60°+∠2+60°=360°. ∵∠3 = 50°,∴∠1+∠2 =100°,故选B.14.D 设AB 与CD 的交点为E,∵AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=12CD.∵CD=2√3,∴CE=DE=√3. ∵∠C =30°,∴∠AOD=60°,∴OD=DE sin60°=2,∴OE=AE=1,∴△AEC≌△OED,∴S 阴影=S 扇形AOD =60·π·22360=23π,故选D.15.C 由三角形三边关系可知AC+BC>AB,所以AD 的中点M 不可能在AB 上,故选项A 错误;若点M 在BC 的中点处,且M 是铁丝AD 的中点,所以AC=AB,∠B=∠C,与题意矛盾,故选项B 错误;因为AC<AB,所以点M 在BC 上,且距点B 较近,距点C 较远,C 正确,D 错误.故选C. 16.A ∵AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE = EF = FB = 5,DE = 12,∴AD=BC=13.当点P 在线段AD 上运动时,过点P 作PG⊥AB 于点G,∵DE⊥AB,∴APAD =PGDE ,即t13=PG12,解得PG=12t13,∴y=12EF·PG=30t13为一次函数;当点P 在线段DC 上运动时,△EFP 的面积保持不变;当P 点在线段CB 上运动时,过点P 作PH⊥AB 于点H,∵CF⊥AB,∴BP BC =PHCF ,即31-t 13=PH 12,解得PH=12(31-t )13,∴y=12EF·PH=30(31-t )13为一次函数.故选A.17.答案 12解析 由题意可知正方体小木块有六个面,其中含有点A 的面有三个.将木块随机投掷在水平桌面上,则与桌面接触的面有六种情况,出现点A 与桌面接触的有三种情况,故概率等于36=12.18.答案 1解析 根据分式的运算法则得(x +2xy+y 2x)÷x+y x=x 2+2xy+y 2x·x x+y=(x+y )2x+y=x+y,若x+y=1,则原式=x+y=1. 19.答案 95解析 ∵MF∥AD,∴∠A=∠BMF=100°,由翻折的性质得∠BMN=12∠BMF=50°.同理,∠BNM=12∠BNF=35°.由三角形内角和定理得∠B+∠BMN+∠BNM=180°,则∠B =180°-50°-35°=95°. 20.答案 2解析 将抛物线旋转可发现C 1、C 3、C 5…的形状相同,开口方向相同.A 1坐标为(3,0),A 2坐标为(6,0),A 3坐标为(9,0)……以此类推,A 13坐标为(39,0).由于抛物线C 13与C 1的形状相同,开口方向相同,所以点P(37,m)是由抛物线C 1上的点(1,m)经过多次旋转得到的.把(1,m)代入y=-x(x-3),解得m=2.21.解析 (1)(-2)⊕3=-2×(-2-3)+1 =-2×(-5)+1 =10+1=11.(2)∵3⊕x<13,∴3(3-x)+1<13.∴9-3x+1<13,-3x<3,∴x>-1. 数轴表示如图所示.22.解析(1)D有错.理由:10%×20=2≠3.(2)众数为5棵.中位数为5棵.(3)①第二步.=5.3.②x=4×4+5×8+6×6+7×220估计这260名学生共植树5.3×260=1 378(棵).23.解析(1)直线y=-x+b交y轴于点P(0,b),由题意,得b>0,t≥0,b=1+t,当t=3时,b=4.∴y=-x+4.(2)当直线y=-x+b过点M(3,2)时,2=-3+b,解得b=5,5=1+t,∴t=4.当直线y=-x+b过点N(4,4)时,4=-4+b,解得b=8,8=1+t,∴t=7.∴4<t<7.(3)t=1时,对称点落在y轴上;t=2时,对称点落在x轴上.评析此题并没有考查常见的动点问题,而是将动点问题和一次函数结合在一起,应用动点的移动带来一次函数截距的变化.把一次函数图象的形成和几何的动点运动过程相结合,化静为动是解决本题的关键所在.24.解析(1)证明:∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,∠BOP'=∠POP'+∠BOP=80°+∠BOP,∴∠AOP=∠BOP'.又∵OA=OB,OP=OP',∴△AOP≌△BOP',∴AP=BP'.(2)连结OT,过T作TH⊥OA于点H,∵AT 与MN⏜相切,∴∠ATO=90°. ∴AT=√OA 2-OT 2=√102-62=8.∵12×OA×TH=12×AT×OT,即12×10×TH=12×8×6,∴TH=245,即点T 到OA 的距离为245.(3)10°,170°.[注:当OQ⊥OA 时,△AOQ 面积最大,且左右两半弧上各存在一点] 25.解析 (1)设W=k 1x 2+k 2nx,∴Q=k 1x 2+k 2nx+100, 由表中数据,得{420=402k 1+2×40k 2+100,100=602k 1+1×60k 2+100,解得{k 1=-110,k 2=6.∴Q=-110x 2+6nx+100.(2)由题意,得450=-110×702+6×70n+100,∴n=2.(3)当n=3时,Q=-110x 2+18x+100. 由a=-110<0可知,要使Q 最大,则x=-182×(-110)=90.(4)由题意,得420=-110[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0, 解得m%=12,或m%=0(舍去).∴m=50. 26.解析 探究 (1)CQ∥BE;3. (2)V 液=12×3×4×4=24(dm 3).(3)在Rt△BCQ 中,tan∠BCQ=34,∴α=∠BCQ=37°.拓展当容器向左旋转时,如图1,0°≤α≤37°.图1(x+y)×4×4=24.∴y=-x+3.∵液体体积不变,∴12.当容器向右旋转时,如图2,同理得y=124-x图2×PB×BB'×4=24,得当液面恰好到达容器口沿,即点Q与点B'重合时,如图3,由BB'=4,且12PB=3.图3,得∠PB'B=37°,∴α=∠B'PB=53°,此时37°≤α≤53°.∴由tan∠PB'B=34[注:本问的范围中,“≤”为“<”不影响得分]延伸当α=60°时,如图4所示,设FN∥EB,GB'∥EB.过点G作GH⊥BB'于点H.在Rt△B'GH中,GH=MB=2,∠GB'B=30°,∴HB'=2√3.∴MG=BH=4-2√3<MN.图4此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以Rt△NFM 和直角梯形MBB'G 为底面的直棱柱.∵S △NFM +S 梯形MBB'G =12×√33×1+12(4-2√3+4)×2=8-11√36,∴V 溢出=24-4(8-11√36)=223√3-8>4(dm 3).∴溢出液体可以达到4 dm 3.评析 本题属于几何知识综合题目,主要考查了几何体的三视图、体积计算公式、直角梯形的性质、锐角三角函数及函数的确定等知识.本题的难点在于当α=60°时,容器内液体形成两层液面容易被学生忽略.。
2013年北京中考数学真题卷含答案解析
2013年北京市高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共32分)一、选择题(本题共32分,每小题4分)下面各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的.1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013~2015)》中,北京市提出了总计约3960亿元的投资计划.将3960用科学记数法表示应为()A.39.6×102B.3.96×103C.3.96×104D.0.396×1042.-34的倒数是()A.43B.34C.-34D.-433.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为()A.15B.25C.35D.454.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于()A.40°B.50°C.70°D.80°5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC, CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m轴对称图形的是()6.下列图形中,是中心对称图形但不是．．7.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:时间(小时)5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时8.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()第Ⅱ卷(非选择题,共88分)二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.分解因式:ab2-4ab+4a=.10.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=.11.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=-x-1,双曲线y=1x.在l上取一点A1,过A1作x 轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2.请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,A n,….记点A n的横坐标为a n,若a1=2,则a2=,a2013=;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不能取．．．的值是.三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.14.计算:(1-√3)0+|-√2|-2cos45°+(14)-1.15.解不等式组:{3x>x-2, x+13>2x.16.已知x2-4x-1=0,求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.17.列方程或方程组解应用题:某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.18.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=1BC,连结DE,CF.2(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.20.如图,AB是☉O的直径,PA,PC与☉O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.(1)求证:∠EPD=∠EDO;,求OE的长.(2)若PC=6,tan∠PDA=3421.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于2013年5月18日在北京开幕.以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图第九届园博会植物花园区各花园面积分布统计图(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04平方千米,牡丹园面积为平方千米;(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍,水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据;(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现,请估计,将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精确到百位).第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量(万人次) 单日最多接待游客量(万人次)停车位数量(个) 第七届 0.8 6 约3 000 第八届 2.3 8.2 约4 000 第九届 8(预计) 20(预计) 约10 500 第十届 1.9(预计)7.4(预计)约22.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ 的面积.图1图2小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH 交FA,GB,HC,ED 的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF, △SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图2).请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长为;(2)求正方形MNPQ的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若S△RPQ=√3,则AD的长为.3图3五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.24.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求α的值.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为☉C的关联点.已知点D(12,12),E(0,-2),F(2√3,0).(1)当☉O的半径为1时,①在点D,E,F中,☉O的关联点是;②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是☉O的关联点,求m的取值范围;(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.答案全解全析：1.B 3 960=3.96×103.故选B.2.D ∵(-34)×(-43)=1,∴-34的倒数是-43.故选D.3.C 5个小球中标号大于2的有三个,故摸出标号大于2的小球的概率是35.故选C.4.C ∵∠1+∠2+∠3=180°,∠3=40°,∴∠1+∠2=140°.∵∠1=∠2,∴∠1=70°. ∵a∥b,∴∠4=∠1=70°.故选C.5.B ∵∠ABE=∠ECD=90°,∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴AB DC =BE EC,∴AB 20=2010,∴AB=40 m.故选B.6.A A 项是中心对称图形,但不是轴对称图形. B 项既是中心对称图形,又是轴对称图形. C 项不是中心对称图形,是轴对称图形.D 项既不是中心对称图形,又不是轴对称图形.故选A. 7.B x =5×10+6×15+7×20+8×550=6.4(小时).故选B.8.A 考虑三个特殊点,当AP 的长为0或2时,不构成△APO;当AP 的长为1时,△APO 为边长是1的等边三角形,其面积为√34,因为14<√34<12,所以只有选项A 符合.故选A.评析 本题考查的是函数图象的变化规律,不仅考查了定性分析,还考查了定量分析,通过构造函数处理较困难,而通过寻找特殊点较容易处理.属中档题. 9.答案 a(b-2)2解析 ab 2-4ab+4a=a(b 2-4b+4)=a(b-2)2. 10.答案 x 2+1解析 抛物线即二次函数,则函数表达式应为y=ax 2+bx+c(a≠0).∵开口向上,∴a>0.∵与y 轴交于点(0,1),∴c=1.所以满足题设条件的一个抛物线的解析式为y=x 2+1,答案不唯一.11.答案 20解析 ∵AB=5,AD=12,∴AC=13,∴BO=6.5. ∵M 、O 分别为AD 、AC 的中点, CD=5,∴MO=2.5,AM=6,∴C 四边形ABOM =AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20. 12.答案 -32;-13;0,-1解析 根据题意可以得到点A 1(2,-3),点B 1(2,0.5),点A 2(-1.5,0.5),点B 2(-1.5,-23),点A 3(-13,-23),点B 3(-13,-3),点A 4(2,-3),所以A 1,A 2,A 3,…,A n ,…中,三个坐标为一个循环,A 2 013是一个循环中的最后一个,故它的横坐标与A 3的横坐标相同,为-13.当A 1的横坐标为a 1时,可以分别表示出点A 1(a 1,-a 1-1),点B 1(a 1,1a 1),点A 2(-1-1a 1,1a1),点B 2(-1-1a 1,-a 1a 1+1),点A 3(-1a1+1,-a 1a 1+1),点B 3(-1a 1+1,-a 1-1).因为操作要无限次地进行下去,所以每一个点都要有意义,即分母不为0,故a 1不能取的值是-1,0.评析 读懂题目中的操作方法是解决本题的关键,属中档题. 13.证明 ∵DE ∥AB, ∴∠BAC=∠ADE.在△ABC 和△DAE 中,{∠BAC =∠ADE ,AB =DA ,∠B =∠DAE ,∴△ABC≌△DAE. ∴BC=AE.14.解析 (1-√3)0+|-√2|-2cos 45°+(14)-1=1+√2-2×√22+4 =5.15.解析 {3x >x -2, ①x+13>2x .② 解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x<15.∴不等式组的解集为-1<x<15. 16.解析 (2x-3)2-(x+y)(x-y)-y 2=4x 2-12x+9-(x 2-y 2)-y 2=3x 2-12x+9.∵x 2-4x-1=0,∴x 2-4x=1.∴原式=3(x 2-4x)+9=12.17.解析 设每人每小时的绿化面积是x 平方米.由题意得1806x -180(6+2)x =3.解得x=2.5.经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意.答:每人每小时的绿化面积是2.5平方米.18.解析 (1)由题意,得Δ=4-4(2k-4)>0.∴k<52. (2)∵k 为正整数,∴k=1,2.当k=1时,方程x 2+2x-2=0的根x=-1±√3不是整数;当k=2时,方程x 2+2x=0的根x 1=-2,x 2=0都是整数.综上所述,k=2.19.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵F是AD的中点,AD.∴FD=12BC,∴FD=CE.∵CE=12∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)如图,过点D作DG⊥CE于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.在Rt△DGC中,∠DGC=90°,∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2√3.BC=3,∴GE=1.∵CE=12在Rt△DGE中,∠DGE=90°,∴DE=√DG2+GE2=√13.20.解析(1)证明:∵PA、PC与☉O分别相切于点A、C, ∴PA=PC,∠APO=∠EPD.∵AB是☉O的直径,∴PA⊥AB.∵DE⊥PO,∴∠A=∠E=90°.∵∠POA=∠DOE,∴∠APO=∠EDO.∴∠EPD=∠EDO.(2)连结OC,则OC⊥PD.在Rt△PAD中,∠A=90°,PA=PC=6,tan∠PDA=34, 可得AD=8,PD=10.∴CD=4.在Rt△OCD中,∠OCD=90°,CD=4,tan∠ODC=34, 可得OC=3,OD=5.在Rt△PCO中,由勾股定理得,PO=3√5.可证得Rt△DEO∽Rt△PCO.∴OEOC =ODOP,即OE3=3√5.∴OE=√5.21.解析(1)0.03.(2)补全条形统计图如下图.第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图(3)3 600,3 700,3 800,3 900其中之一.评析 处理本题的关键是看清扇形图和条形图之间的关系,再按照题目要求逐一解决.属中档题.22.解析 (1)a.(2)由(1)可知,由△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 拼成的新正方形的面积与正方形ABCD 的面积相等.∴△RAE,△SBF,△TCG,△WDH 这四个全等的等腰直角三角形的面积之和等于正方形MNPQ 的面积.∵AE=BF=CG=DH=1,∴正方形MNPQ 的面积S=4×12×1×1=2.AD 的长为23.23.解析 (1)当x=0时,y=-2.∴点A 的坐标为(0,-2).将y=mx 2-2mx-2配方,得y=m(x-1)2-m-2.∴抛物线的对称轴为直线x=1.∴点B 的坐标为(1,0).(2)由题意得点A 关于直线x=1的对称点的坐标为(2,-2).设直线l 的解析式为y=kx+b.∵点(1,0)和(2,-2)在直线l 上,∴{0=k +b ,-2=2k +b .解得{k =-2,b =2.∴直线l 的解析式为y=-2x+2.(3)由题意可知,抛物线关于直线x=1对称,直线AB 和直线l 也关于直线x=1对称. ∵抛物线在2<x<3这一段位于直线AB 的下方,∴抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方.又∵抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,∴抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1.∴由直线l的解析式y=-2x+2可得这个点的坐标为(-1,4).∵抛物线y=mx2-2mx-2经过点(-1,4),∴m=2.∴所求抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.评析本题考查了一次函数、二次函数的综合运用,充分考查了二次函数图象的对称性,有一定难度.24.解析(1)∠ABD=30°-1α.2(2)△ABE为等边三角形.证明:连结AD,CD.∵∠DBC=60°,BD=BC,∴△BDC是等边三角形,∴∠BDC=60°,BD=DC.又∵AB=AC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=150°.∵∠ABE=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠EBC.又∵BD=BC,∠ADB=∠ECB=150°,∴△ABD≌△EBC.∴AB=EB.∴△ABE是等边三角形.(3)∵△BDC是等边三角形,∴∠BCD=60°.∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°.又∵∠DEC=45°,∴CE=CD=BC.∴∠EBC=15°.,∴α=30°.∵∠EBC=∠ABD=30°-α2评析本题考查了全等三角形、等边三角形、等腰三角形的相关知识,正确地构造全等三角形是解决本题的关键.属中等偏难题.25.解析(1)①D,E.②当OP=2时,过点P向☉O作两条切线PA,PB(A,B为切点),则∠APB=60°.∴点P为☉O的关联点.事实上,当0≤OP≤2时,点P是☉O的关联点;当OP>2时,点P不是☉O的关联点.∵F(2√3,0),且∠GFO=30°,∴∠OGF=60°,OF=2√3,OG=2.如图,以O为圆心,OG为半径作圆,设该圆与l的另一个交点为M.当点P在线段GM上时,OP≤2,点P是☉O的关联点;当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时,OP>2,点P不是☉O的关联点.连结OM,可知△GOM为等边三角形.过点M作MN⊥x轴于点N,可得∠MON=30°,ON=√3.∴0≤m≤√3.(2)设该圆圆心为C.根据②可得,若点P是☉C的关联点,则0≤PC≤2r.由题意知,点E,F都是☉C的关联点,∴EC≤2r,FC≤2r.∴EC+FC≤4r.又∵EC+FC≥EF(当点C在线段EF上时,等号成立),∴4r≥EF.∵E(0,-2),F(2√3,0),∴EF=4.∴r≥1.事实上,当点C是EF的中点时,对所有r≥1的☉C,线段EF上的所有点都是☉C的关联点. 综上所述,r≥1.评析本题定义了坐标系中圆的关联点,需要对圆的相关知识熟练掌握,并通过画图观察,找到临界状态,再逐一进行验证.本题充分考查了学生的综合能力,难度较大.。
2013年数学中考试题和答案一
2013年数学中考试题和答案一◆注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（每小题4分，共24分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分）1、已知535-++=cx bx ax y 。
当3-=x 时，y =7，那么，当x =3时，y = （ ） A ．3- B ．7- C ．17- D ．72、在ABC ∆中，︒=∠90C ，B ∠的平分线交AC 于D 。
则=-ADBCAB A ．B sin B ．B cos C ．B tan D ．B cot3、四条直线6,6,6,6+=-=+-=--=x y x y x y x y 围成正方形ABCD 。
现掷一个均匀且各面上标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。
连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P 落在正方形面上（含边界）的概率是 （ ）A ．21B ．43C ．97D ．1254、已知函数c bx ax y ++=2，当0>y 时，3121<<-x 。
则函数a bx cx y +-=2的图象可能是下图中的 （）A ．B ．C ．D ．5、有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重。
若利用天平（不用砝码）最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有A ．8粒B ．9粒C ．10粒D ．11粒 6、在ABC ∆中，b CA c AB a BC ===,,。
且a 、b 、c 满足：（ ）（ ）ACBD2382-=-b a ，34102-=-c b ，762=-a c 。
则=+B A s i n s i n 2 （ ）A ．1B ．57C ．2D ．512 二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知10<<a ，化简=-+-++2121aa a a 。
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第四部分 中考专题突破
专题一 整体思想
1．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的
值是( )
A ．－1
B ．1
C ．－5
D ．5
2．(2012年江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )
A ．(x －1)(x －2)
B ．x2
C ．(x ＋1)2
D ．(x －2)2
3．(2012年山东济南)化简5(2x －3)＋4(3－2x)结果为( )
A ．2x －3
B ．2x ＋9
C ．8x －3
D ．18x －3
4．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为________．
5．(2012年江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则 a2＋ab ＝______.
6．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y<3，则k 的取值范围是
______________.
7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．
8．如图Z1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C ，E 和点D ，F ，则图中阴影部分的面积是________．
图Z1－2
9．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________.
图Z1－3
10．(2012年浙江丽水)已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2的值．
11．(2010年福建南安)已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值．
12.已知1x －1y ＝3，求代数式2x －14xy －2y x －2xy －y
的值． 13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x1和x2.
(1)求k 的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1，且k 为整数，求k 的值．
14．阅读下列材料，解答问题．
为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y ，则原方程可化为y2－5y ＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y ＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x ＝±2；当y ＝4时，x2－1＝4，x2＝5，x ＝±5.故x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－5.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.
ww w.
第四部分 中考专题突破
专题一 整体思想
【专题演练】
1．A 2.D 3.A 4.－6 5.6 6．－35<k<65
解析：将方程组的两式相加，得3(x ＋y)＝5k ＋3，所以x ＋y ＝53k ＋1.从而0<53k ＋1<3，解得－35<k<65
. 7．5 解析：设铅笔每支x 元， 日记本每本y 元，圆珠笔每支z 元，有：
⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＋2z ＝10， ①9x ＋7y ＋5z ＝25. ②
②－①，得5x ＋4y ＋3z ＝15， ③
③－①，得x ＋y ＋z ＝5.
8.π2
9．360° 解析：因为∠1＋∠2＝∠DAB ，∠3＋∠4＝∠IBA ，∠5＋∠6＝∠GCB ，根据三角形外角和定理，得∠DAB ＋∠IBA ＋
∠GCB ＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
10．解：原式＝(2x ＋y)2－(2x －y)2＝
[]2x ＋y －2x －y ·[]2x ＋y ＋2x －y ＝8xy.
11．解：原式＝y2＋2y ＋1－y2＋4x
＝2y ＋4x ＋1
＝2(y ＋2x)＋1
＝2×1＋1＝3.
12．解：原式＝2y －14－2x 1y －2－1x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －1y －14－⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1x －1y －2 ＝－6－14－3－2
＝4. 13．解：(1)∵方程有实数根，
∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得k ≤0.
∴k 的取值范围是k ≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1x2＝k ＋1，
x1＋x2－x1x2＝－2－(k ＋1)，
由已知，得－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2，
又由(1)，可知：k ≤0，
∴－2＜k ≤0.
又∵k 为整数，∴k 的值为－1或0.
14．解：(1)换元 整体思想
(2)设x2＝y ，
则原方程化为y2－y －6＝0.
解得y1＝3，y2＝－2.
当y ＝3时，x2＝3，解得x ＝±3；
当y ＝－2时，x2＝－2，无解．
∴x1＝3，x2＝－3.。