第五章 矩阵的特征值和特征向量 矩阵对角化
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
3
1 3
2 3
5100 2
1 3
5100
5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
线性代数居余马第5章 特征值与特征向量
5.1.2 特征值和特征向量的性质
定理5.1 若x1, x2 是A属于λ0的两个的特征向量，则 定理 k1x1+ k2x2也是A属于λ0的特征向量(其中 k1, k2是任意常数， 但 k1x1+ k2x2 ≠0 )。 证： x1，x2 是齐次线性方程组(λI− A) x=0的解，所以， ， ， k1x1+ k2x2 也是(λI− A) x=0 的解，故当 k1x1+ k2x2 ≠0 时，也是A的属于λ0 的特征向量。 (λ I− A) x=0的解空间 解空间称为A的关于λ的特征子空间 特征子空间，记作Vλ 。 解空间 特征子空间 dimVλ=n −r (λI− A)
λ1 λ2 A( x1 , x2 ,L, xn ) = ( x1 , x2 ,L, xn ) O λn
(1)
(2)
得
A xj = λj x j ( xj≠0, j=1,2,L,n)
(3)
即x1, x2,L, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2,L, xn线性无关)。必要性得证。
性质2 性质 矩阵A和AT的特征值相同。 证： det(λI− A) =det (λ I − A)T = det ((λ I)T−AT)= det (λ I − A T) *定理 定理5.3 设A是n阶矩阵，若 定理
∑a
i =1
n
ij
< 1 ( j = 1, 2 , L , n )
∑a
j =1
n
ij
i =1 i =1
− a12 L − a1n − a22 L − a2 n = ( −1) n A , 即 c = ( −1) n A n L L L − an 2 L − ann
第五章 特征值与特征向量(0808)
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10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
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15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
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证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
第五章_矩阵的对角化
(2) A的迹 trA a11 a22
注： A可逆
A不可逆
A的n个特征值全不为零。 0是A的特征值。
20（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
性质2：假设 x 是A的对应于特征值 的特征向量. k是常数，m是正整数，则 (1) k , m 分别是kA, Am的特征值，且x 是
例5.6 假设A为n阶方阵，且 A2 I ，求A的特征值.
17（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2. 特征值、特征向量的求法
1°数值矩阵特征值、特征向量的求法
第一步：求出特征方程 f ( ) | I A | 0 的全部根1,2, …,n，它们就是A的全部特征根; 第二步：求出相应的齐次线性方程组 ( A i I ) X 0 的全体非零解，即可得对应于特征值i的 全部特征向量.
2. 特征值、特征向量的求法
14（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
n阶方阵
非零向量
Ax = x (A－ I )x = 0
特征值
特征向量
特征多项式
|A－I| = 0
特征方程
a11– a21 |A– I | = … a n1
a12 … a1n a22– … a2n … … … an2 … ann–
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例5.8 已知3阶方阵A的特征值为：1 4, 2 3 1 求： (1) B A2 3 A 4 I 的特征值及|B|. (2) C A 3 A
1
的特征值.
特征值和特征向量、矩阵相似对角化
定理4.6 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则 （1） R A = R B （2） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值． （3） A B （4） tr ( A) tr ( B) 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 diag(1 , 2 , , n ) n 相似， 则 1 , 2 , , n 就是Ａ的ｎ个特征值．
二、特征值和特征向量的性质 定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.
定理
设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 ,
ann ;
, n
则 (1) 12
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
证明① 当 1 , 2 ,
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1 2
n
n
n
n 1
1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
n
n A .
证明② 因为行列式 a11
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
1 , 2 ,, m
T i
是标准正交向量组
1, i j j [ i , j ] 0, i j i , j 1,2, , m
定理4.11 正交向量组必为线性无关组.
Ｐ中的列向量 p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 （ 1） 1 , 2 , , n 的顺序一致． （2） 因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， 因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
第五章 矩阵的特征值与特征向量
可知 λ1E − A 的秩为 r = 2, 有n − r = 3 − 2 = 1个自由未知量 1 x1 − 3 x3 = 0, 求得它的一个基础解系为 取为 x3 . 由 2 α1 = (1, −2,3)T . x2 + x3 = 0, 3 A 的属于特征值6 的全部特征向量为 k (1, −2,3)T , 所以 k 为任意非零数 为任意非零数. 对于λ2 = 2, 解齐次线性方程组 ( 2 E − A ) X = o, 由 1 1 −1 1 1 −1 −2 −2 2 → 0 0 0 , ( λ2 E − A) = 3 3述, 综上所述,求 n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤: 的全部特征值， 第一步 求 A 的全部特征值，即求特征方程 的全部根； | λE − A|= 0 的全部根； 第二步 的特征向量． 求 A 的特征向量
s
对于每一个特征值 λi，求出齐次线性方程组 求出齐次线性方程组
( λi E − A) X = o的一个基础解系ξ1,ξ2,L,ξs , 那么 X = ∑kiξi i= 1 的全部特征向量， 就是A 的属于 λi 的全部特征向量，其中 k1, k2 ,L, ks为不全
所以 A 的全部特征值为 λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3. 利用解齐次线性方程组, 可以求得: 利用解齐次线性方程组 可以求得 A的属于特征值 −1 的全部特征向量为 k1 (1, −1,0)T , 为任意非零数. 其中k1为任意非零数 A的属于特征值 1 的全部特征向量为 k2 (1, −1,1)T , 为任意非零数. 其中k2为任意非零数 A的属于特征值 3 的全部特征向量为 k3 (0,1, −1)T , 其中k3为任意非零数. 为任意非零数 (1, −1,0)T ,(1, −1,1)T ,(0,1, −1)T 线性无关 线性无关. 容易证明 该例中有三个不同的特征值, 注: 该例中有三个不同的特征值 相应的特征向量线 性无关. 性无关
第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化
如果 是矩阵A的属于特征值 的特征向量,则 的任何一个非零倍数 也是A的属于 的特征向量,因为从(1.1)式可以推出
进一步,若 ，都是A的属于 的特征向量,且 ≠0, 则 仍然是A的属于 的特征向量。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。因为,容易证明一个特征向量只能属于一个特征值。
, ,…,
作为基础解系,于是 的属于特征值 的全部特征向量为
( 不全为0)。
由例3可推广,任一对角矩阵 的特征值就是它的主对角线上的元素,从而对角矩阵 的所有特征值之和等于主对角线上元素之和，而 的所有特征值的乘积等于行列式 ,根据多项式的根与系数之间的关系,此结论可推广到任意方阵。
设n阶矩阵 有n个特征值为 (k重特征值算作k个特征值),则
对于 时,解方程 ,由
得基础解系 ,所以属于特征值 的全部特征向量是 ，其中 , 为实数。
对于 ,解方程 ,由
得基础解系 ,所以属于特征值 的全部特征向量为 (其中 , 是不全为0的实数)。
例3求n阶数量矩阵 的特征值和特征向量。
解矩阵 的特征多项式
。
从而 的特征方程为 ,得 的特征值 。
对于 ,解方程组 此方程组的系数矩阵是零矩阵,所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系。取单位向量组
(1) ；(2) 为 的特征值。
7已知3阶矩阵 的特征值为1、－1、2，设 ,试求 及 。
8若矩阵 可逆,证明: ～ 。
9设 ～ , ～ ，证明
～
10已知矩阵 = 与 相似,求 。
11设矩阵 ,求 。
线代课后第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案1.求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) 2331-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2) 311201112-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 200111113⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭(4) 1234012300120001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(5) 452221111-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ (6) 220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 【解析】(1) 令2331A -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则矩阵A 的特征方程为22337031I A λλλλλ--==--=- 故A的特征值为12λλ==当1λ=时，由1()0I A x λ-=，即120303x x ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝得其基础解系为(16,1Tx =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A的对应于1λ=的全部特征向量。
当232λ=时，由2()0I A x λ-=，即12031032x x ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得其基础解系为(26,1Tx =+，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A的对应于2λ=(2) 令311201112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则矩阵A 的特征方程为 231121(1)(2)0112I A λλλλλλ---=--=--=--故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。
当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即123211*********x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得其基础解系为()10,1,1Tx =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部特征向量。
当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即123111022101100x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得其基础解系为()21,1,0Tx =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章矩阵的特征值与特征向量5.1矩阵的特征值与特征向量一、基本概念定义5.1设A 为n 阶矩阵，l 是一个数，如果存在n 维非零向量a ，使得A a la =，则称l 是A 的一个特征值，向量a 称为矩阵A 对应于特征值l 的特征向量.例如311,2,131A l a -æöæö===ç÷ç÷-èøèø可以验证31121213121A a -æöæöæöæö===ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøèøèø所以，2l =是A 的一个特征值，a 是A 对应于特征值2l =的特征向量。
特征值和特征向量的性质：如果a 是A 的对应于特征值l 的特征向量，则(0)k k a ¹也是A 的对应于l 的特征向量。
如果12,a a 都是A 的对应于特征值l 的特征向量，则1122(0)k k a a +¹也是A 的对应于l 的特征向量。
因为11221122()()A k k k k a a l a a +=+.由此可知A 的属于同一个特征值l 的有限个特征向量的非零线性组合仍然是矩阵A 的属于l 的特征向量。
注：矩阵A 的对应于一个特征值的特征向量有无限多个，但是A 的同一个特征向量不可能属于两个不同的特征值。
二、特征值和特征向量的计算由A 的特征值和特征向量的定义知A a la=或()0E A l a -=由于0a ¹，这说明a 是齐次线性方程组()0E A X l -=的非零解.根据齐次线性方程组有非零解的充要条件得到E A l -=这是一个关于l 的n 次方程，它的根与矩阵A 的特征值是一一对应的.所以我们有如下的定义.定义5.2设A 为n 阶方阵，含有未知量l 的矩阵E A l -称为A 的特征矩阵；特征矩阵的行列式E A l -是一个关于l 的n 次多项式，称为A 的特征多项式；0E A l -=称为A 的特征方程.特征方程的根也称为A 的特征根，其实就是A 的特征值。
第五章 .特征值特、征向量及矩阵对角化总结
第五章 特征值、特征向量及矩阵的对角化（填空、选择为主）5.1矩阵的特征值和特征向量定义（矩阵的特征值和特征向量）设A 为n 阶方阵，如果存在数λ及非零向量x,使得 x Ax λ=(4-1) 或0)(=-x A E λ (4-2)则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的对应于（或属于）特征值λ的一个特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的一般步骤如下： 第一步：计算特征多项式||A E -λ；第二步：求出特征方程||A E -λ=0的全部根n λλλ,,,21 （重根按重数计算），则n λλλ,,,21 就是方阵的全部特征值.如果i λ为特征方程的单根，则称i λ为A 的单特征值；如果j λ为特征方程的k 重根，则称j λ为A 的k 重特征值，并称k 为j λ的重数；第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,求出齐次线性方程组 0)(=-A E i λ(4-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ，则j ik i i ξξξ,,,21 就是对应于特征值i λ的特征空间的一个基，而A 的属于i λ的全部特征向量为 j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211 其中j k c c c ,,,21 为不全为零的任意常数.特征值和特征向量有下列基本性质：性质1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ，则有||,21121A an ni iin ==+++∑=λλλλλλ利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算.性质2 设λ为方阵A 的一个特征值，且x 为对应的特征向量，则对任何正整数k,kλ为kA 的一个特征值且x 为对应的特征向量.更01)(a x a x a x f m m +++= ，则)(λf 为方阵E a A a A a A f m m 01)(+++= 的一个特征值，且x 为对应的特征向量.性质3 设λ为可逆方阵A 的一个特征值，则λλ1,0≠为1-A 的一个特征值，λ||A 为*A 的一个特征值性质4 设m λλλ,,,21 为方阵A 的互不相同的特征值，i x 为属于i λ的特征向量),,2,1(m i =，则向量组m x x x ,,,21 线性无关.更一般的，设i ik i i x x x ,,,21 为属于i λ的线性无关特征向量),,2,1(m i =，则向量组 m m k m m k k x x x x x x x x x ,,,,,,,,,,,,21222211121121 线性无关性质5 设重特征值，则属于的为方阵k A 0λ0λ的线性无关特征向量的个数不大于k 关于特征值与特征向量的结论见下图：5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义（相似矩阵）对于同阶矩阵A,B ，若存在同阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1（4-4）则称A 与B 相似，或A 相似于B ，并称变换：AP P A 1-→ 为相似变换.矩阵的相似关系具有反身性(A 与A 相似)、对称性（A 与B 相似，则B 与A 相似）和传递性（A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似）.定理（矩阵A 与B 相似的必要条件）设矩阵A 与B 相似，则有 (1))()(B r A r =； (2)||||B A =；(3)||||B E A E -=-λλ，即A 与B 有相同的特征多项式（从而A 与B 有相同的特征值）（但要注意到其特征向量不一定相等）；(4)TA 与TB 相似，1-A 与1-B相似，k A 与kB 相似.推论 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵∧=diag(ƛ1,ƛ2,…，ƛn )时，∧的主对角线元素ƛ1,ƛ2,…，ƛn 就是A 的n 特征值.定理（矩阵相似与对角矩阵的充分必要条件）n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.推论 矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理（矩阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值（即A 的特征值都是特征值），则A 必相似于对角矩阵.矩阵可相似对角化的条件见下图（设A 是n 阶矩阵）5.3 向量的内积、长度及正交性定义 几何中，两个向量 的数量积定义为：其中 是 的长度， 是的夹角.如果在直角坐标系下，向量表示为则依据坐标表示向量 的长度为： ，向量 的夹角为：代数中定义 设 维向量称为向量的内积.称为向量 的长度（或范数），特别，当 时，称 为单位向量.称 为向量 与 的夹角；特别，，当 （即 ）时，称向量 与 正交. 注：内积是向量的一种运算，如果x 和y 都是列向量，可以记作[x ，y]=x T y ，其结果是一个数.且[x ，x]=x 1^2+x 2^2+…+x n ^2≥0，当且仅当x=0时成立.4. 向量长度的性质：（1） 非负性：0≥α且00=⇔=αα （2） 齐次性：ααk k = （3） 三角不等式：βαβα+≤+以上定义的概念有如下性质：1 ．2 ．3 ．4 ． ，（ ）5 ．6 ．7 ．称一组两两正交的非零向量为正交向量组.定理设n维向量是一组两两正交的非零向量（或称是正交向量组），则线性无关.证设，两边与作内积，得因故，同理，，所以线性无关.定义设是向量空间，是的一组基，且是正交向量组，则称是的一组正交基.如果既是的一组正交基，又是单位向量，则称是规范正交基或单位正交基.正交基的求法（施密特正交化公式解决矩阵的对角化问题）：1.正交化设是向量空间，是的一组基，则，，是的一组正交基.2.单位化如果取则是规范正交基.例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取11α=b ；[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1211222bb b b αα； [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=1012,,222231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121611e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101213e .即合所求.例4 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.解 32,αα应满足方程01=x Tα，即0321=++x x x .它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[][]1112123,,ξξξξξξα-=.于是得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121213α.正交矩阵定义 1 ．是阶方阵，并且（即），称为正交阵.2 ．若是正交阵，则称 是正交变换.正交阵的充要条件：为正交阵的列（行）是两两正交的单位向量.为正交矩阵的充要条件是或证 设，是的列向量，则为正交阵是两两正交的单位向量.正交矩阵的等价定义：正交矩阵有下列基本性质： 设A,B 都是n 阶正交矩阵，则 （1）1±=A（2）*T 1A A A ）与（即-也是正交矩阵（注：A 为正交能推出A 为可逆矩阵且T1A A =-，但反之不成立）（3）如果A,B 为同阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵.(4)实矩阵A 为正交矩阵，当且仅当A 的列（行）向量组为正交单位向量组. 利用上述的性质(4)，可以比较方便的检验矩阵是否为正交矩阵. 正交变换定义 若P 为正交阵，则线性变换y=P x 称为正交变换.正交变换的性质：设是正交变换的系数矩阵，则，从而及.正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：(1)保内积性：若2211,AxyAxy==，则),(),(2121xxyy=；(2)保长度性：若Axy=，则||||xy=正交矩阵的判断例题5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.即设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2则p1与p2正交.性质3 若λ为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于λ的线性无关特征向量正好有k个.定理设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得APPAPP T=-1为对角矩阵.求正交矩阵P，使得Λ=-APP1对角矩阵的方法：1）、求出A的全部特征值nλλλ,,21：由方程0||=-AEλ解得；2）、对于每一个),,2,1(,nii=λ，解齐次线性方程组0)(=-xAEiλ，找出基础解系siiippp,,,213）、将nppp,,,21正交化，单位化，得一组正交单位向量nηηη,,,21；4）、因为nλλλ,,21各不相同，因此所求的向量组是两两正交的单位向量组，其向量的总数为n，这组列向量就构成了正交矩阵Q。
第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 扩展例题及求解
[例 1]设 A ， B 是 n 阶方阵，且 R(A) R(B) n ，证明 A ， B 有公共的特征值，有公共的
特征向量。 [分析]此类题型综合程度较高，主要根据已知条件推导出对证明有用的结论，需要对知识点 熟练掌握。
[证] R(A) R(B) n R(A) n ， R(B) n AX 0 ， BX 0 都有非零解。
i 1
i 1
a1
a2
n
a3
an
n
从而特征值 ai2 的特征向量为 knn ，（ kn 0 ）。 i 1
[例]6 证明：设 A 是 n 阶正交矩阵， 是 A 的特征值，则 1 。
[分析]本题要利用正交矩阵的性质来证明。要证 1 ，可证 1。 [证]设 是对应于 的特征向量，则
[例 8]设 A 为 3 阶方阵， 为 3 维向量， ， A ， A2 线性无关， A3 4A 3A2 ，
计算行列式 2A2 3E 。
[分析]这里根据已知条件，直接计算方阵的行列式比较困难，可以采取特征值和特征向量的
性质来计算，即设 n 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, , n ，则 A 12 n 。
不妨设 ， 分别为 AX 0 ， BX 0 的非零解，则
A 0 ， B 0
由特征值、特征向量的定义， 0 是 A ， B 的特征值， ， 分别为 A ， B 对应于特征值 0
的特征向量。
要证有公共的特征向量，只要证明 AX 0 ，BX 0 有公共的非零解即可。事实上，AX 0 ，
乘 ( A 4E)1 得： A(A E) 0 ，即 A2 A 0 ，从而 ， A ， A2 线性相关，矛
第五章实对称矩阵对角化
其中对角矩阵的对角元素含r1 个 1 , , rs 个 s , 恰 是A的n个特征值.
利用正交矩阵将实对称矩阵对角 化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
4 0 0 ( 2) A 0 3 1 0 1 3 4 0 A E 0 0 3 1
1 2 4 , 3
2
0
得特征值 1 2, 2 3 4.
0 对 1 2,由 A 2 E x 0, 得基础解系 1 1 1 对 2 3 4,由 A 4 E x 0, 得基础解系
T T T
于是 1 p p2 p Ap2 p
T 1 T
T 1
T 1
T 1
2 p2 2 p1T p2 ,
1 1与p2正交.
6.4.2、实对称矩阵对角化的方法
定理4 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵 P,使 P 1 AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
1. 解特征方程 A E 0,
求出对称阵 A 的全部不同的特征值。
2. 对每个特征值 i ，求出对应的特征向量，
即求齐次线性方程组
( A i E ) X 0 的基础解系。
3. 将属于每个
i 的特征向量先正交化，再单位化。
1 ,2 , ,n
,n )
这样共可得到 n 个两两正交的单位特征向量 4. 以1 ,2 ,
A E 2 1 2 4 1 2 0 0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
线性代数第5章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
特征向量为 kp1 (k 0)
为
x1 x2
x3 0
0
即
x1 x2
x3 0
对 2 3 2 ，解 方程组
取 x3 为自由未知量，并令 x3 =c
x1 则 x2
x3
c 0 即 c
x1 x2 x3
1
c
10
取
p1
1 0 1
而
(A 2E)x 0
4
A
2E
0
1 0
1 0
P的列向量组 p1, p2 ,..., pn 就是与特征值 1,2 ,...,n 相对应
的A的线性无关特征向量。
推论. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相 似于对角阵。
若A可对角化，求对角阵及相似变换矩阵P的方法，如下：
（1）求出A的全部特征值 1,2 ,...,n ，得到对角阵的 主对角线上的元素。
1 0
同解方程组为 x1 x2 0 ，取基础解系为 p2 (1,1)T , 取
则有
1
P
(
p1 ,
p2
)
2
1
1 1
1 2 A 4 3
P1 AP
5 0
0 1
23
第三节 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的对角化 相关示例
一. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵 可取为正交矩阵。
特征向量在中的位置要相对应，即对角阵中第i行j列的特 征值i ，相应的特征向量 pi 应位于P中的第i列。
二. 相关示例
例.
设
A
1 4
2 3
求P，使 P1AP为对角矩阵。
解：（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。
第五章特征值与矩阵的对角化
A IX 0
1 1 0
1 得基础解系 1 , 1
所以 A不能化为对角矩阵.
28
6 0 4 例2：设 A 3 5 0 . 问 A 能否对角化？ 3 6 1 1 若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P AP 为对角阵。 4
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 p2 0 . 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为
6 3 A 2I 3 6 3 6
A 2I X 0
k 的排列顺序，则 唯一，称之为
矩阵 A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的特征向量 作列向量构成。
24
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 (1) A 2 2 4 2 4 2
解:
2 1 2 (2) A 5 3 3 1 0 2 2 2 4 2
0 1 0 1 1 0
30
0 1 0 0 0 3
x1 x3 x2 x3
1 得基础解系 p3 1 . 1
p1 , p2 , p3 线性无关， 故A可对角化。
2 0 1 令 P p1 , p2 , p3 1 0 1 0 1 1 1 0 0 则有 P 1 AP 0 1 0 0 0 2
注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵I本身， 与数量矩阵kI 相似的n阶方阵只有数量阵kI本身。
第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化(基础讲义)
第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 5.1 矩阵的特征值与特征向量 一 引例与定义1122222||||||2a a a a A αα⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅ 1121210212a a a a a ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠1000122||||||2a a Aαα⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅定义1: 设A 为n 阶实矩阵. 若存在实数λ以及非零n 维向量α, 使得A αλα=⋅则称λ是矩阵A 的特征值, α为矩阵A 属于λ的特征向量.解说: 对于零向量, 有00A k =⋅对于任何的k 成立. 因此, 为保证特征向量对应的特征值的唯一性, 在谈到特征向量时, 始终都是非零向量, 这一点很重要!!!定义2: 设A 为n 阶实矩阵. 称关于λ的n 次多项式111212122212||n n n n nna a a a a a I A a a a λλλλ−−−−−−−=−−−""##%#"为矩阵A 的特征多项式,||0I A λ−=为矩阵A 的特征方程.例 设2002A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则A 的特征多项式为220||(2).02I A λλλλ⎛⎞⎛⎞−=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠由A αλα=⋅可知, 0A λαα−=, 即()0I A λα−=. 由于α为非零向量,…………………………………………………………………………特殊情形 …………………………………………………………………………特殊情形齐次线性方程组()0I A X λ−=有非零解. 因此, 秩()R I A n λ−<, 从而 ||0I A λ−=. 这就是说, 特征值满足方程||0I A λ−=. 另一方面, 易知, 满足||0I A λ−=的λ都是矩阵A 的特征值. 综上, 矩阵A 的特征值恰为A 的特征方程||0I A λ−=的根.数学经典赏析: *当5n ≥时, 一般情形下, 方程||0I A λ−=没有根式解(阿贝尔)*. 所以遇到的特征值问题基本上是4n ≤的情形, 其中3n =最为普遍.例求511311421A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠的特征值与特征向量.解 令 511311||311311421321I A λλλλλλλλλ−−−=−−=−−−−−−=111(3)111121λλλ−−−− =2(3)(2)λλ−−0=得矩阵A 的特征值为1233,2λλλ===.设A 的属于特征值13λ=的特征向量为123x x x α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则(3)0I A α−=, 而211211110101(3)321321321011,422000000000I A −−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−→−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 从而313200x x x x −=⎧⎨−=⎩, 得基础解系111α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 因此, 1k α为A 的属于特征值13λ=的所有特征向量, 其中1k 为任意的非零常数.再设A 的属于特征值232λλ==的特征向量为123y y y β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则(2)0I A β−=, 而11023113111101101231100042142101,2421421000000000I A ⎛⎞−⎜⎟−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−→→−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而1332102102y y y y ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩, 得基础解系112β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 因此, 2k β为A 的属于特征值232λλ==的所有特征向量, 其中2k 为任意的非零常数.练习 1. 求A 的特征值与特征向量.(1) 211020413A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, (2) 110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠.二 特征值与特征向量的性质 (1) 特征值的性质定理1 矩阵A 的特征值不为零⇔||0A ≠.定理2 矩阵T A 与A 的特征值相同.定理3设n 阶矩阵()ij n n A a ×= 有n 个特征值12,,,n λλλ"(可以相同), 则(1)11n ni iii i aλ===∑∑, 即A 的所有特征值之和等于主对角线元素之和;(2)12||n A λλλ=", 即A 的所有特征值之积等于A 的行列式值.定理4 设λ为矩阵A 的特征值, 则(1) k λ⋅为k A ⋅的特征值 (k 为任意常数);(2) m λ为m A 的特征值 (m 为正整数); 特别地, 2λ为2A 的特征值. (3) 当矩阵A 可逆时, 1λ−为1A −的特征值；1||A λ−为*A 的特征值. (4) 设 矩阵A 可逆,11211012()k k l k k l f A a A a A a A a I b A b A b A −−−−−=++++++++"",则 11211012()kk l k k l f a a a a b b b λλλλλλλ−−−−−=++++++++""为()f A 的特征值.问题: 在上定理中, 若α为矩阵A 的属于λ的特征向量. (1),(2),(3)对应的特征向量是什么?例: 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2,− 求*2322A A A I +−−的特征值.解 本题的关键是找()f A ! 易知,*212322||322A A A I A A A A I −+−−=+−−, 而||2A =−, 因此*2322A A A I +−−的特征值为23223−+−−=−, 23225++−=, 111124222−+−−=.(2) 特征向量的性质定理 5 (属于不同特征值的特征向量线性无关)设12,ββ分别为A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 则12,ββ线性无关. 一般地, 若12,,,s βββ"为A 的分别属于两两不同的特征值12,,,s λλλ"的特征向量, 则 12,,,s βββ"线性无关.定理6 (1) (属于相同特征值的特征向量的非零线性组合还是特征向量)设12,αα都是A 的属于同一特征值0λ的特征向量, 12,k k 为使得11220k k αα+≠的任意常数, 则1122k k αα+也是A 的属于特征值0λ的特征向量.(2) (属于不同特征值的特征向量的系数都不为零的线性组合不是特征向量)设12,ββ分别为A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 12,k k 为非零任意常数, 则1122k k ββ+不是A 的特征向量. 特别地, 12ββ+不是A 的特征向量.命题1 设A 为n 阶矩阵使得1212||()()()s n n n s I A λλλλλλλ−=−−−", 其中12,,,s λλλ"两两不同, 0(1,2,,)i n i s >="且1ni i n n ==∑, 则秩()i i R I A n n λ−≥−.(也即A 的属于特征值i λ的线性无关的特征向量个数i n ≤.)解说:比如, 11012A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则2||(1)(2),I A λλλ−=−− 此时,11222,1,1,2,1,s n n λλ===== 且 ()2321R I A −=>−=, (2)23 1.R I A −==−5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 一 相似矩阵的定义与性质定义 设A ,B 为n 阶矩阵. 若有可逆矩阵P 使得1P AP B −=, 则称A 与B 相似(或称B 为A 的相似矩阵).解说: 注意区别A 与B 相似1P AP B−=B 与A 相似 1Q BQ A −=性质1. (i) 方阵A 与其自身相似, 即A 与A 相似; (ii) 若A 与B 相似, 则B 与A 也相似;(iii) 若A 与B 相似, B 与C 相似, 则A 与C 相似.问题: 对于以上三种情形, 相应的P 是什么? 试给出性质1 的证明.性质2. 相似矩阵的特征值相同.证明: 设A 与B 相似, 则存在可逆矩阵P 使得1,P AP B −= 从而1||||I B I P AP λλ−−=−1|()|P I A P λ−=−1||||||P I A P λ−=− ||I A λ=−故A 与B 有相同的特征多项式, 从而它们的特征值相同.注: 特征值相同的不一定相似.例: 令1001I ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 1101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则A 与I 的特征值都为1, 但I 不与A 相似, 这是因为对于任意的可逆矩阵P , 都有1A P IP I −≠=.性质3 相似矩阵的迹相同. 例设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则k = .二 矩阵可对角化的条件在复数域下, 可以证明: 任何n 阶方阵都与某一上三角形方阵相似. 对角阵作为其中的特殊的情形, 在矩阵相似的理论中, 它具有相对完整的理论体系.矩阵A 可对角化指的是存在可逆矩阵P 使得1P AP −为对角阵, 即A 与对角阵相似.定理1: n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 感觉上像“每重特征值对应一个线性无关的特征向量”.证明: 必要性. 设n 阶矩阵A 可对角化, 则存在可逆矩阵P 与对角阵1n λλ⎛⎞⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠%使得1P AP −=Λ,从而AP P =Λ. 令12(,,)n P ααα=", 其中i α为P 的第i 列构成的列向量(1,2,,)i n =". 于是AP =12(,,)n A ααα"12(,,)n A A A ααα="1122(,,)n n P λαλαλαΛ="故i i i A αλα=, 1,2,,i n =". 由P 可逆可知, 一方面, 对于所有的1,2,,i n =", 有0i α≠, 从而i α为A 的特征向量; 另一方面, 12,,n ααα"线性无关.故A 有n 个线性无关的特征向量.充分性: 必要性倒过来即可. □说明: 理解上述证明过程可以进一步熟悉矩阵乘法与数学语言.前面已经证明: 属于不同特征值的特征向量线性无关. 因此可得推论1: 设A 为n 阶方阵. 若A 有n 个两两不等的特征值, 则A 可对角化(即A 与对角阵相似).例: 设00111100A x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 问x 为何值时, 矩阵A 能对角化?解: 令 01||1110I A x λλλλ−−=−−−−1(1)1λλλ−=−− (按第2列展开)2(1)(1)0λλ=−+= 得A 的特征值1231,1λλλ=−==,因为10110110001,101000I A x x −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=−−→−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠ 所以1x =−时, ()1R I A −=. 此时A有两个线性无关的属于特征值1的特征向量. 又A 有一个线性无关的属于特征值1−的特征向量. 因此, A 共有三个线性无关的特征向量. 根据定理1, A 与对角阵相似. 故1x =−时, A 可对角化.命题1: 设A 为n 阶方阵使得1212||()()()s n n n s I A λλλλλλλ−=−−−", 其中12,,,s λλλ"两两不同, 0(1,2,,)i n i s >="且1ni i n n ==∑, 则A 可对角化 ⇔对所有的1,2,,,i s =" ()i i R I A n n λ−=−.解说: 若A 为3阶方阵且212||()()I A λλλλλ−=−−, 其中12λλ≠, 则A 可对角化⇔2()321R I A λ−=−=.例: 设A 为n 阶方阵. 若2A A =, 则A 的特征值为0或1, 且A 可对角化.解: 设α为A 的属于λ的特征向量, 则A αλα=,22()A A αλαλα==. 又由2A A =可得,2.A A ααλα== 由此2λαλα=,即(1)0λλα−=, 从而(1)0λλ−=, 因此A 的特征值为0 或1.下面我们首先证明()().R A R I A n +−= 事实上, 由2A A = 可得()0A I A −=, 从而I A −的每一列都是其次线性方程组1230x x A x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠#的解, 而所有解向量构成的向量组的秩(),n R A − 故()(),R I A n R A −≤− 即()().R A R I A n +−≤又(旁白:矩阵的和的秩小于或等于秩的和)()()(),R A R I A R A I A n +−≥+−= 故()().R A R I A n +−=令||(0)(1),n s s I A λλλ−−=−− 则()(0)(),R A R A n n s s =−≥−−=(),R I A n s −≥− 从而(),R A s =()R I A n s −=−.若0,s = 则()0,R A = 从而0A =, 显然A 可对角化; 若0,n s −= 则()0R I A −=,从而0I A −=, 即A I =, 同样A 可对角化.下设0s n <<. 根据命题1, A 可对角化. (事实上, A 与111000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠%%相似, 其中Λ中r 有个1. 这里r 为A 的秩.)三 实对称矩阵可对角化定理2 对称阵的特征值为实数.自我训练 已知A 为 , 特征向量为 .定理4: 设A 为n 阶实对称阵, 则存在正交矩阵T 使得1T AT −为对角阵.提示: 正交阵的好处‐‐‐‐求它的逆转置即可!!!例: 设011101110A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 求一正交阵T , 使1T AT −为对角阵解: 由 12221111111||11110111111011rr r I A λλλλλλλλλλλλ↔−×−−−−=−=−=−−+−−−−−+ 221111(1)1111λλλλλλ−−==−−−−+2(1)(2)λλ=−+, 可知A 的特征值 为1232,1λλλ=−==.设A 的属于特征值12λ=−的特征向量为123x x x α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,则(2)0I A α−−=, 即(2)0,I A α+= 而211112(2)121121112112I A −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠102033000⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠101011,000⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而313200x x x x +=⎧⎨+=⎩, 得基础解系111α−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 将α单位化,得1ξ⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 再设A 的属于特征值231λλ==的特征向量为123y y y β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则()0I A β−=, 而111111111I A −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠111000000−⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 从而1230y y y ++=. 令1210y y ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,01⎛⎞⎜⎟⎝⎠得基础解系1110β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2101β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 对1β,2β实行施密特正交化. 令11110ηβ−⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠,21221111211(,)1101,(,)22101βηηβηηη⎛⎞⎜⎟−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠再将1,η2η单位化得2,0ξ⎛⎜⎜⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠3ξ=令 123(,,)T ξξξ=0⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎝, 则1211T AT −−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 注意: 211−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠中的顺序千万不要随意改动! 这些数有内在的对应关系.例 设 2112A −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠, 求n A . 解 因为A 对称, 所以A 可对角化, 从而存在可逆矩阵P 以及对角阵Λ使得1P AP −=Λ. 于是1A P P −=Λ从而11()n n n A P P P P −−=Λ=Λ. 令21||(1)(3)012I A λλλλλ−−==−−=−得A 的特征值121, 3.λλ== 再设A 的属于特征值11λ=的特征向量为12x x α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则()0I A α−=, 而 1111(),1100I A −−⎛⎞⎛⎞−=→⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠从而120x x −=. 由此得基础解系111ξ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 再设A 的属于特征值23λ=的特征向量为12y y β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则(3)0I A β−=, 而 1111(3),1100I A ⎛⎞⎛⎞−=→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 从而120y y +=. 由此得基础解系211ξ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.令12P ⎞=⎟⎠（正交阵）, 13⎛⎞Λ=⎜⎟⎝⎠, 则 1TA P P P P −=Λ=Λ=13131.21313n n n n ⎛⎞+−⎜⎟−+⎝⎠或者Array。
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化【基本要求】1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，并掌握其求法；2. 理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充要条件；3. 理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向量的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。
【主要内容】<1>重要公式： 1、i n i A λ∏1==（n ,,,λλλ 21是n 阶方阵A 的特征值）2、∑∑====ni i ni iiatrA 11λ（)A (tr 表示A 的迹）3、⇔≠⇔=≠0210A )n ,,,i (i λA 可逆4、若可逆阵A 的每行之和为0≠a ，则a 为矩阵A 的一个特征值，1-a 为1-A 的一个特征值，且对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 X5、设的特征值为A i λ，则不可逆可逆A kI A kI A kI A kI k k ii -⇒=-⇒-⇒≠-⇒=≠00λλ6、A 可逆且有n 个线性无关的特征向量11--+⇒A A ,A 有相同的n 个线性无关的特征向量。
7、)()();()(~B tr A tr B r A r B A ==⇒8、设λ是阶方阵A 特征值，是A 对应于λ的特征向量，则有如下表<2>可对角化的判断方法：1.A 有n 个线性无关的特征向量；2.若A 为实对称矩阵，则A 一定可以对角化；3.若A 有n 个互不相同的特征值，则A 一定可以对角化；4.设s ,,λλλ 21是A 的所有不同的特征值，且其相应的重数为s k ,k ,k 21， 若()i i k n A I R -=-λ，s ,,,i 21=，则A 一定可以对角化<4> A 、B 有相同的特征值⇒()()B R A R =【典型例题】例1 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量. 解：特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0， ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
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第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化振动问题、稳定性问题和许多工程实际问题的求解，最终归结为求某些矩阵的特征值和特征向量的问题。
本章主要讨论：矩阵的特征值和特征向量；矩阵在相似意义下化为对角阵；实对称矩阵的对角化。
第一节 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵内容要点一、特征值和特征向量的基本概念定义5.1 设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维向量x ，使得x Ax λ= （5.1）就称λ是矩阵A 的特征值，x 是的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。
注：1、特征向量0≠x ；特征值问题是对方阵而言的。
2、1是单位阵的唯一特征值，任意非零n 维向量都是单位阵的特征向量。
3、0是零矩阵的唯一特征值，任意非零n 维向量都是零矩阵的特征向量。
由定义得，特征值为方程 0)(=-x A I λ有非零解的λ值，即满足方程 0)d e t (=-A I λ （5.2） 的λ都是矩阵A 的特征值。
定义5.2 设n 阶矩阵)(ij a A =，则nnn n nn a a a a a a a a a A I x f ---------=-=λλλλ212222111211)det()( （5.3）称为矩阵A 的特征多项式，A I -λ称为A 的特征矩阵，式（5.2）称为A 的特征方程。
例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=124113115A 的特征值和特征向量。
解：矩阵A 的特征多项式为2)2)(3(124113115)det(--=-----=-λλλλλλA I .故A 的特征值为31=λ，22=λ（二重特征值）。
当31=λ时，由0)(1=-x A I λ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000224123112321x x x 得其基础解系为T X )1,1,1(1=，因此，11X k （数01≠k ）是A 的对应于31=λ的全部特征向量。
当22=λ时，由0)(2=-x A I λ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000124113113321x x x 得其基础解系为T X )2,1,1(2=，因此，22X k （数02≠k ）是A 的对应于22=λ的全部特征向量。
例 2 主对角元为nn a a a ,,,2211 的对角矩阵A 或上（下）三角矩阵B 的特征值为n 个主对角元。
二、特征值和特征向量的性质定理5.1 设1X 和2X 都是A 的属于特征值0λ的特征向量，则2211X k X k +也是A 的属于特征值0λ的特征向量 (其中1k ，2k 是任意常数，但02211≠+X k X k )。
记}0)(|{=-=x A I x V λλ，称为特征值λ的特征子空间，它的维数为)(dim A I r n V --=λλ.定理5.2 设n 阶矩阵)(ij a A =的n 个特征值为nn λλλ,,,2211 ，则（i ）∑∑===ni ii ni i a 11λ， （ii ）∏==ni i A 1det λ.注：1、A 的主对角元之和称为矩阵A 的迹，记作∑==ni iiaA 1)(tr .2、注意多项式系数与根之间的关系。
性质1 设λ是矩阵A 的特征值，x 是的属于λ的特征向量，则（i ）λk 是kA 的特征值（k 是任意常数）；（ii ）mλ是m A 的特征值（m 是正整数）；（iii ）当A 可逆时，1-λ是1-A 的特征值；且x 仍是矩阵kA ，m A ，1-A 的分别对应于特征值λk ，mλ，1-λ的特征值向量。
性质2 矩阵A 和T A 的特征值相同。
证：因为TT T T A I A I A I -=-=-λλλ)()(，所以)det()det())det((A I A I A I TT-=-=-λλλ因此，矩阵A 和T A 有完全相同的特征值。
例3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111222111A . （i ）求A 的特征值和特征向量；（ii ）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角阵。
解：（i ）)2(111222111)det(2+=+--+---=-λλλλλλA I .故A 的特征值为011==λλ（二重特征值），23-=λ。
当01=λ时，由0)(1=-x A I λ，即0=Ax ，得基础解系T X )0,1,1(1=，T X )1,0,1(2-= 因此，2211X k X k +（其中数1k ，2k 不全为零）是A 的对应于01=λ的全部特征向量。
当22-=λ时，由0)(2=-x A I λ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------000111202113321x x x 得基础解系为TX )1,2,1(3--=，因此，A 的对应于23-=λ的全部特征向量是33X k （数03≠k ）.（ii ）将i i i X AX λ=（3,2,1=i ）排成矩阵等式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321321),,(),,(λλλX X X X X X A ， 取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==11201111),,(321X X X P ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ321λλλ， 则Λ=P AP ，且02≠=P ，因此AP P 1-为对角阵。
三、相似矩阵及其性质定义 5.3 对于矩阵A 和B ，若存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，就称A 相似于B ，记作B A ~.相似关系是一种等价关系，满足一下三条性质： （i ）反身性：A A ~.（ii ）对称性：若B A ~，则A B ~.（iii ）传递性：若B A ~C B ~则C A ~相似矩阵具有以下性质：（1）P A P k P A P k P A k A k P 21211122111)(---+=+（其中1k ，2k 为任意常数）.（2）))(()(2111211P A PP A PP A A P---=.（3）若B A ~，则mm B A ~.（4）若B A ~，则)(~)(B f A f ，其中0111)(a x a xa x a x f n n nn ++++=-- ， I a A a A a A a A f n n n n 0111)(++++=-- ， I a B a Ba Ba B f n n n n 0111)(++++=-- .定理5.4 相似矩阵的特征值相同. 证：|||||||)(|||||111P A I PP A I PAP PI B I -=-=-=----λλλλ||A I -=λ定理的逆命题不成立，例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010B ， 对于任意的可逆矩阵P ，都有B AP P ≠=-01，故A 与B 不相似。
课堂练习1.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=311111002A 的特征值和特征向量. 2. P248. 3第二节 矩阵可相似对角化的条件一、可相似对角化的充要条件1定理5.5 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征值。
证：“⇒”设Λ≡=-),,,(211n diag AP Pλλλ即Λ=P AP .将P 按列分块，即令 ),,,(21n X X X P =， 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=312121),,,(),,,(λλn n X X X X X X A ， 即 ),,,,(),,,(221121n n n X X X AX AX AX λλλ = 于是i i iX AXλ=， （n i ,,2,1 =）.故n X X X ,,,21 是A 的分别对应于n λλλ,,,21 的特征向量。
由于P 可逆，所以n X X X ,,,21 是线性无关的。
“⇐”上述过程可逆，从而充分性成立。
注：若不计特征值的排列顺序，则对角阵Λ是唯一的，称之A 为相似标准形。
定理5.6 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证：利用数学归纳法容易证明。
推论 若n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则A 与对角阵相似。
注：上面推论的逆命题不成立，如上节中的⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010B 不能相似于对角阵。
二、可相似对角化的一个充分条件 刚讲过的推论：（i ）推论 若n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则A 与对角阵相似。
下节将要讲到的（ii ）实对称矩阵可相似对角化。
三、可相似对角化的充要条件2定理 5.9 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数（即A 的每个特征子空间iV λ的维数等于特征值i λ的重数）。
例题选讲例1 设实对称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=1111111111111111A . 问A 是否与对角阵相似？若与对角阵相似，求对角阵Λ及可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1。
再求k A （k 为正整数）。
解：A 的特征多项式为3)2)(2(1111111111111111)det(-+=----=-λλλλλλλA I .故A 的特征值为21-=λ，22=λ（三重特征值）。
当21-=λ时，由0)(1=-x A I λ，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----000031111311113111134321x x x x 得1λ对应的特征向量为}.0,)1,1,1,1(|{1111≠=k X X k T由0)(2=-x A I λ，即04321=+++x x x x得基础解系为T X )0,0,1,1(2-=，TX )0,1,0,1(3-=，T X )1,0,0,1(4-=.A 有4个线性无关的特征向量，故A 与对角阵相似。
取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==101010100111111),,,(4321X X X X P ， 则Λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-22221AP P . 由1-Λ=P P A ，可得⎩⎨⎧=Λ=Λ=---.,2,,2)(1411为奇数当为偶数当k A k I PP PP A k k k k k例2 设n n ij a A ⨯=)(是主对角元全为2的上三角矩阵，且存在0≠ij a )(j i <，问A 是否与对角阵相似？解 A 的特征多项式为nA I )2()det(-=-λλ,即2=λ是A 的n 重特征值，而1)2(≥-A I r ，所以0)2(=-x A I 的基础解系所含向量的个数1-≤n 个，即A 的线性无关的特征向量的个数为1-≤n 个，因此，A 不与对角阵相似。
例 3 （书上例4）设n 阶幂等矩阵A （即A A =2）的秩为r )0(n r ≤<. 证明：)0,,0,1,,1,1(~ di ag A ，其中1有r 个。