一类积分算子的有界性质

专 ＜＋
（ ２ ）
利用 Ｈ ｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式 易知若 １ ｓ ７ ｌ
２＜＋∞ 时 ， 则有 Ｌ （ Ｒ ×Ｒ ）＝ △ ｃ△ ． Ａ ， △１ ．
设 函数 （ ｓ ， ｔ ） 是 一个 非 负 的定 义在 （ ０ ， ａ 。 ）×（ ０ ， ∞）上 的连 续 函数 ， 且 满足 如下 性质 ： （ Ｉ ） （ ｓ ， Ｃ ）且 、 ｌ ｒ （ Ｃ， ｔ ）是分 别关 于 ｓ ， ｔ 单调 递增 的 ；
（ Ⅱ ） （ ２ ｔ ） Ｃ （ ） ， Ｖ ｔ＞０ ； ㈣ （ ￡ ）≥ Ｃ ． （ １ ）
Ｄ ｉ ｎ ｇ Ｙ 来自百度文库 ｎ ｇ ， Ｘ ｕ ｅ Ｑ ｉ ｎ ｇ － ｙ ｉ ｎ ｇ和 Ｋ ６ ｚ ６ Ｙ ａ ｂ ｕ ｔ ａ在 ［ １ ］ 中研究 了 当算子 积分 核为 ｂ （ Ｉ Ｉ （ ｓ ） ） （ Ｉ 中ｌ （ ｓ ） ）
＂
－
定 的尺 寸条件 下建立起 了算子 中图分类号 ： ０ １ ７ ７ ． ６
在 乘积域 上的 △ （
１ ）有界性 ．
关键词 ： 积分核 ；尺寸条件 ； △ 有界性
文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４— ８ ３ ３ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ０ １— ０ ２
３ ４ １ ０ ０ ０ ） （ 赣南师范学 院 数学 与计算机科学学 院 ， 江西 赣州
摘
一
要： 主 要 研 究 一 类 特 殊 积 分 算 子
．
．
３积 分核 ６ （ １ ｌ （ ｓ ） ， ｌ Ｉ （ ￡ ） ） （ Ｉ 中｝ （ ｓ ） ， Ｉ 中ｌ （ ） ）满 足
△ ： ＝｛ ６ （ ￡ ） ：Ｉ ｌ ｂ
利用 Ｈ ｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式易 知若 １
Ｐ （
’ ６ （ ￡ ） ｌ ｄ ） 专 ＜＋∞｝ ・
△１ ．
ｌ ｓ ２＜＋。 。时 ， 则有 ￡ （ Ｒ ） Ａ ｃ△ ｙ Ａ
设 函数 （ ｔ ）是一个 非 负 、 单 调定 义在 （ ０， ∞ ）上 的连续 函数 ， 且满 足如 下性 质 ： （ Ｉ ） （ ） 是 单 调递增 的 ；
１ 引言
设是 Ｒ （ Ⅳ ＝ｍ 或
２ ）是 Ⅳ 一维 欧 氏空 间 ， Ｓ Ⅳ ． 为 中赋 予 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 测度 ｄ ｏ ＂＝ｄ ｏ ＂ （ ・ ）的单 位球
．对 ≥ １ ， 令 △ 表 示如 下定 义在 ［ ０ ，＋∞ ） 上 可测 函数 类 ：
面． 对非 零 点 ∈ Ｒ ， 记 ＝
（ Ⅱ ） （ ２ ｓ ， Ｃ ） Ｃ （ ｓ ， Ｃ ）且 （ Ｃ ， ２ ｔ ） Ｃ １ Ｉ ， （ Ｃ， ） ， Ｖ ｓ ， ｔ＞０ ； （ ３ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ６—１ ５
基 金项目： 国家 自然科学基金 （ １ １ ３ ６ １ ０ ０ ４） ； 江西省 自然科学基金 （ ２ ０ １ ２ Ｂ Ａ Ｂ ２ ０ １ ０ １ ４） ； 江西省科技计划项 目（ Ｇ Ｊ Ｊ １ ３ ６ ５ ９ ） 作者简介 ： 马丽 （ １ ９ ８ ３ 一） ， 女， 福建 明溪人 ， 赣南师范学院数学与计算 机科学学 院讲师 ， 主要从事泛函分析研究 ； 谢显华 （ １ ９ ７ ８ 一） ， 男， 江 西兴 国人 ， 赣南师范学 院数学与计算机科学学院副教授 ， 主要从 事泛函分析研究．
的△ （ １ ）的有 界性 ， 即
定 理 Ａ［ ¨ 设非 负 、 单 调 且连续 函数 满足条 件 （ １ ． １ ） ， 定义 （ ）＝
（ １ ） ， 那么 ｂ （ Ｉ Ｉ （ ｓ ） ） （ １ ｌ （ ｓ ） ） ∈Ａ ， 即
为一 有界 函数 ， 若 ６∈ △
２
㈣ １ ｌ ， （ ｓ ， ｔ ）
一
赣南 师范 学院 学报
Ｃ ｓ ｔ ， Ｖ ｓ ， ｔ＞ ０ ．
●
２ ０ １ ３正
＿ 卜ｌ
一 Ｒ
一 ２
一 Ｒ
个 重要 的例 子是 函数 （ ｓ ， ￡ ）＝ｌ ０ （ ａ＋ｓ ） ｌ ｏ （ ｂ＋ｔ ） ， 其 中 ， ：＞０且 ０ ， ｂ ２ ． 定义 （ ｓ ， ｔ ）＝ 中 ， ● Ｉ ＿ ● 一 Ｊ Ｏ ２ ～ 尺
为此 ， 我们 先来 介绍 一些 相关 的概 念和 记 号． 对 ７≥ １ ， 令 △ 表示 如下 定义 在 Ｒ＋ ×Ｒ＋ ＝｛ （ ｓ ， ｔ ）∈ Ｒ ｘ Ｒ， ｓ ， ＞０ ｝ 上 可测 函数类 ：
＝
／ ｂ （ ｓ ， ｔ 川
（ ＝ ｓ ｕ ｐ 。
Ｉ ｂ （ ｓ ， ｔ
２ ０１ ３正
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ｏ． ６
Ｄｅ ｌ ３ ． ２ ０１ ３
第六 期
一
类 积 分 算 子 的有 界 性 质
马 丽， 谢 显 华
， ＪＩ＿●Ｊ
Ｏ
，
于是 我们 得到 如下结 论 ：
呸， Ｊ ＿ ● Ｊ Ｊ Ｏ
定 理 １ 设 （ ｓ ） ， （ ｓ ， ｔ ）如 （ １ ） 、 （ ３ ）所 述 ， 其 中 （ ｓ ， ｔ ） ， （ ｓ ） ， （ ｓ ， ｔ ）分 别 为 一 有 界 函数 ， 当 ｂ∈ Ａ （ ｙ １ ）时 ， 有ｂ （ Ｉ Ｉ Ｉ １ （ ｓ ） ， Ｉ ｌ Ｉ １ （ ｔ ） ） （ Ｉ ｌ （ ｓ ） ， ｌ Ｉ － １ （ ｔ ） ）∈Ａ （ Ｙ １ ） ， 即
亩 上 Ｉ ６ （ １ Ｉ － １ ｓ ） ） （ １ ｌ － １ ｓ ） ） ｌ ｄ ｓ ｃ （ １ ｌ ｌ ＋ 】 ｌ ｆ ｌ ） Ｃ ．
相 关 的结论 请参 阅文献 ［ ２—１ ３ ］ ．
一
个 自然 的 问题 是 ： 将定 理 Ａ中积 分核 推 广 至 乘积 域 上 结论 是 否 仍 然成 立 ？本 文 主 要解 决 这 一 问题 ．