第10章电感设计

n 3.确定绕组匝数
n LImax 104 Bmax Ac
电力电子技术基础
第10章电感器的设计
4.确定导线尺寸
AW
KuWA n
(cm2 )
线径的选择应该满足以上不等式
作为选择的校对，绕组电阻的计算也是十分重要
的，即：
n(MLYT )
R
()
Aw
10.3 多绕组磁性器件设计
K g法还可扩展至多绕组磁性器件的设计，比如 变压器和耦合电感等 在以下场合适用本法：
n1
n2
nk
磁芯
窗口面积WA
每匝磁芯平均 长度( MLT)
导线电导率 ρ
填充因子 Kμ
磁芯结构
均方根 电流 I1
n1:n2
均方根 电流 I2
……
均方根 电流 Ik
:nk
多绕组变压器模型
问题：如何在绕组之间进 行窗口面积WA 的分配？
绕组嵌放关系
{ 绕组1分配 α1WA
{ 绕组2分配 α2WA
总窗口 面积WA
有磁路方程可得：
ni BAc Rg
令 I Imax , B Bmax，则有：
nI max
Bmax Ac Rg
Bmax
lg
0
这是第一个设计约束条件。此时，绕组匝数 n，磁芯
截面积 Ac 和气隙长度 lg 均未知。
限制条件2：电感值
由于电感值是给定的，可以将电感值表示为：
L n2 0 Acn2
B2 max
•
R
•
Ku
K g是一个铁芯几何常数，描述了磁芯的有效电气尺寸，在以下的指定
物理量中应用：
铜损；
最大电流
电感器的技术指标是如何影响磁芯的尺寸的：
可以通过增加一下物理量得到小的磁芯尺寸：
Bmax 使用具有更高饱和磁密的磁芯材料 R 增大铜耗
磁芯的几何尺寸是如何影响磁芯的容量的： 可以通过增加一下物理量得到大的铁芯几何常数 K g ：
Ac 使电感器的容量增大 WA 更大的窗口和增大铜耗
14.2.设计步骤
设计变量 导线电导率
设计流程中各量的符号和单位
符号 单位
设计变量
符号
• cm 铁芯最大工作磁密 Bmax
电流幅值
I max
A
电感量
LH
绕线电阻
R
绕组填充系数 Ku
气隙长度 磁芯截面积 磁芯窗口面积 每匝平均长度
lg Ac WA MLT
Bmax Ac Rg
Bmax
lg
0
获得指定的磁化电感
通过一般的方法，我们就可以得到初级 绕组侧的磁化电感 LM ：
LM
n12 Rgຫໍສະໝຸດ n120 Aclg
铜耗
按照10.3.1节中的方法分配窗口面积，总铜损可以 通过以下公式获得：
Pcu ,k
(
MLT
)n12
I
2 tot
WA Ku
式中：
Itot
k nj n j1 1
1
1
1
1 D
D
2
3
1 2
1
1
D
1
D
窗口面积的一部分分配 给初级绕组
窗口面积的一部分分配 给每一个次级绕组
例子
假设我们在最坏的情况（D 0.75）优化变压器的设计， 那么我们得到：
1 0.396 2 0.302 3 0.302
通过下式计算出总铜损：
(MLT ) 3
2
Pcu,tot
对初级绕组有：
n1
LM IM ,max Bmax Ac
104
4.确定次级绕组匝数
对其他绕组，使用所需的匝数比：
n2
I
j
A
峰值绕组电流
IM ,max
A
所需的匝数比
n2 / n1 n3 / n2
磁化电感
LM
H
允许总铜损
Pcu
W
最大磁通密度 磁芯横截面积 磁芯窗口面积 每匝平均长度
符号
Ku Bmax Ac WA MLT
单位
T cm2 cm2 cm
1.确定磁芯尺寸
Kg
L2
I
2 max
B2 max
RKu
108 (cm5 )
Ku 的典型值为：
对于低压电感，Ku 0.5 对于隔离变压器，Ku 0.25 ~ 0.3 对于电压为几千伏的高压变压器，Ku 0.05 ~ 0.2 对于低压铜箔变压器和电感器，Ku 0.65
限制条件4：绕组电阻
绕组电阻为： R lb
Aw
式中，为导体材料的电阻率，lb 为导体总长度，Aw 为裸导体
Ij
消去未知量并求出 Kg
消去未知量 lg 和 n1 ：
Pcu ,k
(MLT
)
L2M
I2 tot
I
2 M
,max
B2 max
Ac2WA
Ku
按照和磁芯几何尺寸有关的参数放在左侧，其它给
定参数放在右侧的原则，重新整理上式可得：
Ac2WA (MLT )
L I I 2 2 2 M tot M ,max
B2 max
R
举例：ＣＣＭ降压变换器
I
0
设定滤波电感的形状
Φ i(t) v(t) n 匝
磁芯截面积AC 气隙 lg
Rc
lc
c Ac
Rg
lg
0 Ac
忽略气隙边缘效应，则有： ni (Rc Rg )
通常Rc Rg，则有：
ni Rg
限制条件1：最大磁通密度
给定峰值绕组电流 Imax，设计要求电感工作在磁芯最大磁 密 Bmax，Bmax应小于磁芯材料的饱和磁通密度
的截面积。铜在室温时的电阻率为 1.724 106 • cm 一个n匝绕组的导体总长度为
lb n • (MLT ) 式中，MLT为绕组的每匝平均长度，其值与磁芯的几何形状 有关。为了简化计算，可将ＭＬＴ近似计算，最后得到：
R n(MLT )
Aw
磁芯几何常数 Kg的设计
四个限制条件： nImax Bmax Ac Rg
消去n,lg , Aw 可得：
Ac2 Aw MLT
L2
I2 max
B2 max
R
Ku
不等式右边的各量是已知的或者给定的；
不等式左边的各量只与磁芯的几何尺寸有关
因此，必须找到一个磁芯的几何形状满足上式
磁芯几何常数被定义为：
Kg
Ac2WA (MLT )
讨论
Kg
Ac2 Aw MLT
•
L2
•
I2 max
气隙长度的单位为m
上式的值是近似的，并且忽略了磁通的边缘效应 和其他非理想量
AL
生产厂家在销售时，提供的是等效气隙长度 AL ，而不
是指定的气隙长度。
具有1000匝绕组的电感器的等效电感值定义为 AL。
AL
10
B2 max
Ac2
LI
2 max
(mH
/ 1000匝)
L ALn2 109 (H )
单位： Ac cm2 L Henries Bmax Tesla
第10章 电感设计
10.1 滤波电感 10.2 设计步骤 10.3 多绕组磁性器件设计 10.4 应用举例
10.1 滤波电感
项目：
得到一个给定电感值 L 的电感器，当流过电感器的
峰值电流达到最大电流Imax 时，电感器不能饱和，并
且具有一个直流电阻，可以等价的表示出其最坏情况
的铜耗
Pcu
I2 rms
选择的磁芯尺寸应该足够大，以满足以上不等式的要 求
并注意所选铁芯的 Ac、WA和MLT值
2.确定气隙长度
lg
0
LI
2 max
B2 max
Ac
104 (m)
Ac 的单位为 cm2 ， 0 4 107 H / m
气隙长度的单位为m
上式的值是近似的，并且忽略了磁通的边缘效应 和其他非理想量
3.确定初级绕组匝数
也叫填充系数
Ku 表示铁芯窗口用来填充铜导体的部分的大小 现实条件导致 Ku 必须小于1：
圆导体不能紧密地放在一起，这使得 Ku降低到 0.7 ~ 0.75
具体大小还取决于绕线工艺
导体有绝缘层，导体面积与导体总面积之比为 0.65 ~ 0.95
具体大小还取决于导体尺寸和绝缘类型 骨架也要占用一些窗口面积 在绕组间或者绕组层间可能要加绝缘
f (1,2 ,,k , ) 0 2
M
f (1,2 ,,k , ) 0 k
f (1,2 ,,k , ) 0
解为：
(MLT )
WA Ku
k j1
n2j I
j
2 j
Pcu,tot
m
nm Im
njI j
n1
另一种表示为：
m
Vm Im
VjI j
n1
对解的分析
m
Vm Im
VjI j
0
t I
0.5I
0.5I
0
t PWM全桥变换器电流波形
绕组电流有效值的表达式
0
0
I1
1 2TS
2T 0
i12
(t
)dt
n2 n1
I
D
I
I2 I3
1 2TS
2T 0
i22
(t
)dt
1 2
I
1 D
0.5I
0.5I
0
I
0.5I
0.5I
0 t
窗口面积的分配
m
Vm Im
VjI j
n1
将电流有效值的表达式带入，得到：
铜损占全部损耗的主导地位（即可忽略磁芯损耗）
最大磁通密度是给定的，而不是数值上的优化 为了做到上诉这些，必须：
为每部分绕组分配合适的窗口面积
选择适当的磁芯大小、绕组匝数、线径等
10.3.1 窗口面积配置
给定：具有已知的均方根电流
和所需匝数比的K绕组的应用
v1(t) v2 (t) vk (t)
单位
T m cm2 cm2 cm
1.确定磁芯尺寸
Kg
L2
I
2 max
B2 max
RKu
108 (cm5 )
选择一个磁芯应该足够大，以满足以上不等式
参数 Ac、WA和MLT 磁芯选好后就确定了。
2.确定气隙长度
lg
0
LI
2 max
B2 max
Ac
104 (m)
Ac 的单位为 cm2 ， 0 4 107 H / m
nj
Rj
n2j (MLT )
WAKu j
第 j 导线横截面积
Pcu, j
n2j i
2 j
(MLT
)
WAKu j
总铜损
先前所有K套绕组总铜损的表达式为：
Pcu,tot
Pcu,1 Pcu,2
Pcu,k
(MLT ) WA Ku
k j1
n2j I
j
2 j
适当选择 j 的值使总铜损最小
铜损与 1 的关系
k j1
n
2 j
I
j
2 j
1 2 k 1
构造函数：
f (1,2 ,,k , ) Pcu,tot (1,2,,k ) g(1,2,,k )
式中：
k
g(1,2 ,,k ) 1 j
j 1
该式限制条件必须等于零， 是拉格朗日系数
拉格朗日乘子
最佳点就是方程组的解：
f (1,2 ,,k , ) 0 1
……
令 j 表示第 j套绕组占窗口面积的系数， 即：
0j 1
1 1 L k 1
第 j 套绕组上的低频铜损
低频铜损（不考虑接近损耗）是：
Pcu, j
I
2 j
R
j
第 j 套绕组中的电阻值是：
Rj
lj AW , j
式中： l j nj (MLT )
第 j 套绕组的长度
因此：
AW , j
WAKu j
WA Ku
njIj
j1
(MLT )n22I 2 1 2D 2 D(1 D) WA Ku
10.3.2 耦合电感设计
现在考虑一个具有K匝绕组的耦合电感的设计。需要得到 一个有确定值的磁化电感，其具有指定匝数和铜损
LM
磁路模型：
含磁化电感的多绕组变压器
磁化电流和绕组电流的关系
LM
用电路模型的解决方案，或者安
培定律：
iM
(t
)
i1 (t )
n2 n1
i2
(t)
L
nk n1
ik
(t)
磁路模型的解决方案：获得所需的最大磁通密度
假设气隙磁阻比磁芯磁阻大得多： n1iM (t) B(t) AcRg
设计时，使最大磁通密度Bmax等于指定值（即小于饱和磁 通密度 Bsat ）：Bmax 与最大励磁电流相关：
n1IM ,max
显然，第
j
n1
套绕组的功率为：
VjI j
式中：
V j 为施加电压有效值或者峰值 I j 为电流有效值
窗口面积应根据绕组的视在功率分配
例：带中心抽头的PWM全桥变压器
{ {
{ n1 匝
I n2 匝
n2 匝
需要注意的是原边和副边 电流的波形（有效值）是 不同的
可看作三套绕组的变压器
0
0
I
0.5I
0.5I
Rg
lg
这是第二个设计约束条件。此时，绕组匝数n ，铁芯 截面积 Ac 和气隙长度 lg 均未知。
限制条件3：绕组截面积
电感器的绕组要穿过铁芯窗口（图示铁芯窗口中）：
铜导体的总面积：
磁芯
nAw
导线面积AW
……
绕组导体的总截面积：
KuWA
所以第三个约束条件为：
KuWA nAw
磁芯窗口 面积 WA
磁芯窗口利用系数 Ku
当1 0 时：第1套绕组分
铜损
配的面积为零，总铜损趋于
无穷大；
当1 1 时：其他绕组分配
的面积为零，总铜损趋于无 穷大
因此，需要选择 1 的值，
0
1 使总铜损最小。
用拉格朗日多项式优化以降低总铜损
最小化函数： Pcu,tot Pcu,1 Pcu,2 约束条件：
Pcu,k
(MLT ) WA Ku
Ku
Pcu
左侧和 Kg 的单绕组设计方法一致，必须选择一个
磁芯，满足：
Kg
L I I 2 2 2 M tot M ,max
B2 max
Ku
Pcu
10.3.3 设计步骤
设计步骤中各量的符号和单位
设计变量
符号 单位
设计变量
导线电导率
• cm 绕组填充系数
初级绕组总电流
Itot
k j1
nj n1
Bmax
lg
0
L n2 0 Acn2
Rg
lg
KuWA nAW 这些方程式中包括如下物理量：
R
n(MLT ) Aw
Ac、WA 和 MLT与铁芯的几何形状有关，
Imax , Bmax , 0 , L, Ku和 是给定值或者已知量
n,lg和AW 是未知量
消去这些未知量，获得只包括已知量的简单方程式