最新八年级数学《平行四边形、矩形、菱形》

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平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定

∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900, AB=BC=CD=DA.
驶向胜利的彼
岸
我思,我进步4
正方形的性质
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;
∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.
驶向胜利的彼岸
独立
作业
知识的升华
P99习题18.2 1,2,3题.
祝你成功！
独立
作业
P99习题18.2 2题.
2.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
D
A
O
C
B
独立
作业
P90习题18.2 3题.
已知:如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正
′ ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
MA
C D
C DN
定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴CO=AO,BO=DO.
PB
CQ
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.
驶向胜利的彼岸
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾思考平行四边形的判定
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD,AD=BC,
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
′
∴四边形ABCD是平行四边形.

2023年八年级数学平行四边形矩形菱形正方形知识点总结

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结平行四边形：性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分；鉴定：①定义：两组对边分别平行旳四边形②措施1：两组对角分别相等旳四边形③措施2：两组对边分别相等旳四边形④措施3：对角线互相平分旳四边形⑤措施4：一组平行且相等旳四边形矩形：性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；鉴定：①有一种角是直角旳平行四边形；②对角线相等旳平行四边形；③四个角都相等菱形：性质：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④面积：则S菱形=底×高=ah；或者S菱形=12ab（对角线乘积旳二分之一）．鉴定：①有一组邻边相等旳平行四边形；②对角线互相垂直旳平行四边形；③四条边都相等．正方形：性质：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边旳夹角为450；鉴定：①有一组邻边相等且有一种直角旳平行四边形②有一组邻边相等旳矩形；③对角线互相垂直旳矩形．④有一种角是直角旳菱形⑤对角线相等旳菱形；几种特殊四边形旳常用说理措施与解题思绪分析（1）识别矩形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳任意一种角为直角．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳对角线相等．③阐明四边形ABCD旳三个角是直角．（2）识别菱形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳任一组邻边相等．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明对角线互相垂直．③阐明四边形ABCD旳四条相等．（3）识别正方形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳一种角为直角且有一组邻边相等．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明对角线互相垂直且相等．③先阐明四边形ABCD为矩形，再阐明矩形旳一组邻边相等．④先阐明四边形ABCD为菱形，再阐明菱形ABCD旳一种角为直角．。

八下数学18.2特殊的平行四边形(矩形、菱形、四边形)

BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝ 120°.
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1___=_S2．
2.矩形的短边长为3cm,两对角线所成的角是60 °,则它
的周长是6__6___3__.
3. 已知矩形对角线长为4cm,一边长为 2 3 cm,则矩形
的面积是_4__3_c_m__2_.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
A
D
D 如果
B
C
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
边
B
C
ABCD
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分；
性质：角
平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；
平行四边形的判定定理
两组对边分别平行的四边形；
2
A
F E
∵∠BFC=900，BM=CM
B
M
C
∴ MF= 1 BC
2
∴ME=MF
练习：如图四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=900，E
是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F，
（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？
A
（2）试证明你的猜想。
E
B
F
D
C
课堂小结
一、矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
活动一：
边平行四
边形的性质：
对角线
平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
活动二：

人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》

第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。

的顺序依次排列。

点拨：1)在用“□”表示平行四边形时，应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。

平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。

人教版八年级数学下册《菱形》课件

•
20、任何人都不可以随随便便的成功，它来自完全的自我约束和坚韧不拔的毅力。永远别放弃自己，哪怕所有人都放弃了你。
Hale Waihona Puke •6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
•
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。
菱形
1.什么叫做平行四边形？ 2.什么叫矩形？ 3.平行四边形和矩形之间的关系是什么？
矩形
一 . 定义
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
感受
生活
三菱越野汽车欣赏
菱形就在我们身边
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即
边：菱形的对边平行且相等．角：菱形的对角相等．对角线：菱形的对角线互相平分．
求：（1）∠ABC的度数（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
D
C
O
A
B
E
回味无穷
这堂课你学到了什么？
作业
课本 60 页 5、11题
•
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
•
2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
O
B
D
C
课堂检测
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等．错解：（1）（√）（2）（×）正解：（2）（×）（2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复．例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

(精典整理)人教版数学八年级下册平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点复习总结(无答案)

OA平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形一般性质1．边：且； 2．角：；； 3．对角线；1．边：且； 2．角：；； 3．对角线；1．边：且； 2．角：；； 3．对角线；1．边：且； 2．角：；； 3．对角线；面积二. 判断（识别）方法小结：(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠Y 一个） ②对角线相等的平行四边形是矩形；（ ⊕Y 对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形；（3t R ∠个）④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（ ⊕对角线互相平分对角线 =）(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ =⊕Y 一组邻边） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（ ⊕⊥Y 对角线） ③四边都相等的四边形是菱形；（4= 边）④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（ ⊕⊥对角线互相平分对角线） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面）抓本质：矩形+菱形①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕Y 一组邻边一个） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；（ ⊕⊕⊥=Y 对角线对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形；（ =⊕ 矩形一组邻边） ④对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ⊕⊥矩形对角线） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形；（ Rt ∠⊕菱形一个） ⑥对角线相等的菱形是正方形；（⊕=菱形对角线）⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

华师大版数学八年级下第3讲平行四边、形矩形、菱形、正方形

第3讲平行四边、形矩形、菱形、正方形模块一平行四边形的定义及性质【例1】 ⑴在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，如果115∠=︒A ，则∠BCE =______；⑵在平行四边形ABCD 中，若周长为54cm ，5AB BC -=cm ，则____AB =cm ；⑶在平行四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，则对角线AC 与BD 的位置关系为_________；⑷平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB △的周长比BOC △的周长多8cm ，则AB 的长度为cm ．【例2】 ⑴如下左图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A ．3B ．6C ．12D ．24 ⑵ 如下右图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 且与AB CD 、分别相交于点EF 、，则图中的全等三角形共有______对．⑶在平行四边形ABCD 中，若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S +=△△，则__________ABCD S =平行四边形．⑷平行四边形ABCD 中，P 是平行四边形内任意一点，ABP △、BCP △、CDP △和ADP △的面积分别为1S 、2S 、3S 和4S ，则一定成立的是（） A ．1234S S S S +>+ B ．1234S S S S +=+ C ．1234S S S S +<+D ．1324S S S S +=+【例3】如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A=45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE=DF ，连接EF 交BD 于O ．（1）求证：BO=DO ；（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG=1时，求AE 的长。

C B A OF E A D C B S 4S 3S2S 1P D CB ADC BA A BCDA BCDA BCDA BCDOOD C FBAE 模块二平行四边形的判定判定示例剖析① 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形}AD BCAB CD⇒∥∥四边形ABCD是平行四边形② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}AB CDAB CD⇒∥=四边形ABCD是平行四边形③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形}AB CDAD BC=⇒=四边形ABCD是平行四边形④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形}A CB D∠=∠⇒∠=∠四边形ABCD是平行四边形⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形1212OA OC AC OB OD BD ⎫==⎪⇒⎬⎪==⎭四边形ABCD 是平行四边形【例4】 ⑴ 已知AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，需要添加的条件（只需填一个你认为正确的即可）⑵A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥；②AB CD =；③BC AD =；④BC AD ∥，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种⑶已知三角形ABC ，若存在点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点D 有个．若已知ABC △的周长为3，则以所有D 点围成的多边形周长为．【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． ⑴ 求证：四边形AFCE 是平行四边形．⑵ 若去掉已知条件的“∠DAB =60°”，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【例6】如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD ，等边△ABE ．已知∠BAC =30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．求证：四边形ADFE 是平行四边形．模块三矩形的定义、性质及判定【例7】 ⑴ 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（）A ．2B ．4C ．D ．⑵ 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC △的周长比 AOB △的周长大10cm ，则边AD 的长是．⑶ 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______．⑷ 矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交BC 边于点E ，若点E 分BC 的长为3和4两部分，则矩形ABCD 的周长为_______．EODCBA【例8】如图，在ABC△中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF BD=，连接BF．⑴求证：BD CD=．⑵如果AB AC=，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．模块四菱形的定义、性质及判定FED CBA【例9】 ⑴ 如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．⑵ 如图1所示，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm⑶ 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥， AF CD ⊥，那么EAF ∠的度数为．⑷ 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为另一条对角线的长为．【例10】如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD CE AD ∠，∥交AB 于E ．⑴ 求证：四边形AECD 是菱形；⑵ 若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．模块三正方形的定义、性质及判定HO DCBAEDCBA图1DCBA⑵如图2，将一张边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，折痕为PQ ，则PQ 的长为（）A ．12B ． 13C ． 14D ．15【例12】如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE△是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 如图2，若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．O ED CBA图1E D C B AQP 图2E D C BA OEDCBA【例13】操作与探究：邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二操作；……依此类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形．如图1，ABCD 中，若1AB =，2BC =，则ABCD 为1阶准菱形．图1D CBA⑴判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形（填空）；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ．请证明四边形ABFE 是菱形．图2F EABCD⑵操作、探究与计算：①已知ABCD 的邻边长分别为1，()1a a >，且是3阶准菱形，请画出ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值；②已知ABCD 的邻边长分别为a ，()b a b >，满足6a b r =+，5b r =，则ABCD 是阶准菱形（填空）．一．选择题（共5小题）2．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y=（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为（） A ．﹣12 B ．﹣27 C ．﹣32 D ．﹣363．如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC 相交于点F ，连接BF ，下列结论：①S △ABF =S △ADF ；②S △CDF =4S △CEF ；③S △ADF =2S △CEF ；④S △ADF =2S △CDF ，其中正确的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．55．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm二．填空题（共4小题）6．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形的边长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2．点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是．8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G、F，AC=10，则EG+EF=．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（10，0）、C的坐标为（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为．三．解答题（共3小题）10．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．12．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．。

数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定

1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。

⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。

八年级数学平行四边形基础知识精讲--矩形、菱形

且点 G 在矩行 ABCD 内部．小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为 GF=DF ，你同意吗？说明理由．
（ 2）问题解决：保持（（ 3）类比探求：保持（
1）中的条件不变，若 DC=2DF ，求 AD 的值； AB
1）中条件不变，若 DC=nDF ，求 AD 的值． AB
E
A
D
F
G
B
C
例 5．如图，点 P 是边长为 4 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点， BAD =60°，点 M 是 AB
【同步练习】
A组
1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成
3 和 5 两部分，则该矩形的周长是
.
2.如图，正方形 ABCD 的面积为 1 ， M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积为
.
3. 若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是（
）
A. 矩形
B. 菱形
C. 对角线互相垂直的四边形
（ 3） S 1 ab （ a, b 表示两条对角线长）； 2
（ 4）既是中心对称图形，又是轴对称图形。 3、菱形的判别条件：（ 1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2）四条边都相等的四边形是菱形；（ 3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、【例题精讲】
例 1．(1) 如图①，矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O，过点 B 作 BP∥ OC，且 BP=OC ，连接
边上的中点，求 MP BP 的最小值是 ________.
D
P
A
C
M B
变式训练：
1.已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、 N 分别是边 BC、 CD 的中点， P 是对角线 BD

八年级数学特殊的平行四边形矩形和菱形

C
O
A
E
B
分析：由矩形的特征及条件不难发现△ OAD是等边三角形，
△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征
就可以使问题得以解决．
解∵矩形ABCD∴AC?BD AD?OD ? ADC?90?
∵DE平分? ADC ? BDE?15?
∵? ADO?? ADE?? BDE?45??15??60?
与之相关的Rt? ABC三角形中有斜边上高和中线，Rt? ADC
中有中线和角平分线，这样不论从哪个Rt? 入手，利用基本
图形中提供的。
C
12
A
E FH
B
[例4] 在矩形ABCD中，AB?6，BC?4，E是AB上一点，
CE? 5，DF ⊥CE于F ．求DF ．
D
C
F
A
E
B
分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、CF可以看作
A
∵AD//BC ∴? B ? ? BAD ? 180?
即1（180? ? x) ? (2 x ? 60?) ? 180? B
2
M
解得x? 20?
C
∴? BAD?2x?60??100?
D N
[例3] 已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点， AB? AE，∠EAD? 2∠BAE．求证：BE? AF．
AEFD为Y
由于AG是? ABC的高，DF? BC，故AE//DF，只得再寻找
一个条件。
A
E
D
B
GFC
[例5] 已知：如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边△ABE、等边△CBD和等边△ACF，连结DE、 DF．问：当△ ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形、菱形．

八年级下册整理与复习：平行四边形、矩形、菱形、正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形复习一、平行四边形：（一）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（二）平行四边形的性质：1、边：对边平行且相等；2、角：邻角互补，对角相等；3、对角线：对角线互相平分。

（三）平行四边形的判定：1、边：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

二、矩形：（一）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。

（二）矩形的性质：1、边：对边平行且相等；2、角：四个角都是直角；3、对角线：对角线相等且互相平分。

（三）矩形的判定：1、定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、角：三个角是直角的四边形是矩形。

3、对角线：对角线相等的平行四边形是矩形。

三、菱形：（一）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：1、边：对边平行，四边相等；2、角：邻角互补，对角相等；3、对角线：对角线互相平分，互相垂直，每条对角线平分一组对角。

（三）菱形的判定：1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、边：四边都相等的四边形是菱形。

3、对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四、正方形（一）正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（二）正方形的性质：1、边：对边平行，四边相等；2、角：四个角都是直角。

3、对角线：对角线相等，互相平分，互相垂直，每条对角线平分一组对角。

（三）正方形的判定：1、定义法：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2、矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形。

对角线对比记忆：平行四边形：①互相平分；矩形：①相等②互相平分；菱形：①互相平分②互相垂直③每条对角线平分一组对角；正方形：①相等②互相平分③互相垂直④每条对角线平分一组对角。

(完整版)平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结3.docx

八年级下册平行四边形、矩形、菱形、正方形复习1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形1．对边1．对边1．对边1．对边且四且；且；且四条边条边都；2．对角；2．对角都； 2 ．对角且四邻角；且四个角都是2．对个角都是；3．对角线；角；3．对角线性质；3．对角线3．对角线且每条对4、对称性；角线；4、对称性且每条对角线4、对称性；4、对称性面积平行线之间的距离及特征平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。

平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。

2.判断方法小结：平行四边形矩形1 ．两组对边分别平行的四边形是平行四边1．有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（定义）形。

（定义）2 ．两组对边分别相等的四边形是平行四边2．三个角是直角的四边形是矩形。

形。

3．对角线相等的平行四边形是矩形。

3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边其它：对角线相等且互相平分的四边形。

形。

4 ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5．对角线互相平分的四边形是平行四边形。

菱形正方形1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（定1．有一个角是直角，有一组邻边相等的义）平行四边形是正方形。

（定义）2．四边相等的四边形是菱形。

2．一组邻边相等的矩形是正方形。

3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3．有一个角是直角的菱形是正方形。

其它：1 对角线垂直且互相平分的四边形是菱其它：对角线互相平分相等且垂直的四形。

边形是正方形。

2．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

填空：（1）两条对角线的四边形是平行四边形；（2）两条对角线的四边形是矩形；（3）两条对角线的四边形是菱形；（4）两条对角线的四边形是正方形；（5）两条对角线的平行四边形是矩形；（6）两条对角线的平行四边形是菱形；（7）两条对角线的平行四边形是正方形；（8）两条对角线的矩形是正方形；（9）两条对角线的菱形是正方形。

人教版八下18平行四边形(矩形、菱形、正方形)

3．在▱ ABCD 中，分别以 AD，BC 为边向内作等边△ ADE 和等边△ BCF，连接 BE，DF．求证:四边形 BEDF 是平行四边形．
—好未来，选得才—
-7-
得天下英才而教育之 4．如图所示，AB，CD 交于点 O，AC∥DB，AO=BO，E，F 分别为 OC，OD 的中点，连接 AF，BE，求证 AF∥BE．
讲义编号：学员姓名：
授课类型
教学目的
得才教育个性化教学辅导讲义
得天下英才而教育之
年级：辅导科目：
八数学
课时数：学科教师：
3 孟雨菲
同步知识
专题训练
1．利用基本图形结构使本章内容系统化。
能力提升
2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法。
3．总结常用添加辅助线的方法。
4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力。
为 E，若 DE=2，CD=2 5 ，则 BE 的长为
．
6．如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB
—好未来，选得才—
-4-
得天下英才而教育之
于点 F，∠AED=2∠CED，点 G 是 DF 的中点，若 BE=1，AG=4，则 AB 的长为
．
2．菱形
1．已知菱形的周长为 40cm，两条对角线的长度之比为 3∶4，那么对角线的长分别为( )
为 120°时，千斤顶升高了多少?( 2 ≈1．414，错误!未找到引用源。≈1．732，
结果保留整数)
—好未来，选得才—
-9-
得天下英才而教育之
1．如图，如果□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，那么图中的全等三角形共有（）

重点高中自招必备八年级专题19 平行四边形、矩形、菱形

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.1B. 2C. 3D.4(全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由；（2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.能力训练 A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题ABDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，ADAF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（）A.38abB.34ab C. 23ab D. 12ab第8题ABE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题FB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（）A. 30B. 24C.16D.12第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13D.12第9题BA 11P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBAB CB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题③正确.例3 （1）△BEF 为正三角形提示：由△ABD 和△BCD 为正三角形，可证明△BDE ≌△BCF ，得：BE=BF ，∠DBE =∠CBF .∵∠DBC=∠CBF +∠DBF =∠DBE +∠DBF =60°，即∠EBF=60°，故△BEF 为等边三角形.(2)设BE BF EF x ===，则可得：2S x =，当BE ⊥AD 时，x∴2min S ==当BE 与AB 重合时，x 有最大值为2，∴()2max 24S =⨯=. S ≤≤. 例4 提示：PC=EF=PD ，4545CPB PFC EPG GPA BPD ︒︒∠=+∠=+∠=∠=∠，可证明△CPB ≌△DPB .例5 （1）略（2）45° （3）60°如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连DH ，则 △AHD 是等边三角形.∵AH=AD=DF ，∴BH=GF ，又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF ，∴△DBH ≌△DGF ，∠BDH=∠GDF ，∴()1206060BDG ADC ADB GDF ADC ADB BDH ︒︒︒∠=∠-∠-∠=∠-∠+∠=-=例6 如图过M 作ME AN ，连NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，ME ⊥BC .∵ME=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC .∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE .∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°.∵AM ∥NE ，∴∠BPM=∠BNE=45°.A 级1. 2. 2α3. 26° 提示：作FG 边上中线，连接EC ，则EF=EC=AC .4. 20° 提示：连接AC ，则△AFC ≌△AEB ，△AEF 为等边三角形.5.C6.B7.D8. A 提示：E 、F 分别为AB 、BC 中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD 是平行四边形的有以下9种情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.10. 提示：（2）当D 为BC 中点时，满足题意.11. 提示：连AM ，证明△AMF ≌△BME ，可证△MEF 为等腰直角三角形.12. 6 提示：由△ABC ≌△DBF ，△ABC ≌△EFC 得：AC=DF=AE ，AB=EF=AD .故四边形AEFD 为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE =360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F 到AD 的距离为2，故326AEFD S =⨯=.B 级1. 92cm2. 提示：可以证明2222PA PC PB PD +=+.3.152cm 4. 10 提示：可先证：AF=CF .设AF CF x ==，则8BF x =-，∴()22284x x =-+. ∴5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆==⨯⨯=. 5. 6013提示：过A 作AG ⊥BD 于G 可证PE+PF=AG ，由AG BD AB AD =可得：512601313AG ⨯==.6. 提示：A ，C 关于BD 对称，连AE 交BD 于P .∴PE+PC=AE.又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴AE .7. B8. B提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.9. C10.(1)=；图略（2）1；图略（3）3；图略（4）以AB 为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．又∠APM＝120°＝∠MCN．∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．故△AMN为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得□ABCM、□CDEP、□EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．AM NPB DABC D EPNMF。

人教版八年级数学下册《菱形》平行四边形PPT精品课件

E
C
思考前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来
计算菱形ABCD的面积呢?
合作探究
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出
A
菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC

O
B

＝ AC·BO＋ AC·DO＝ AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
C
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
D
典例精析
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD．
A
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
12
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
（3）两条对角线长度乘积的一半．
随堂练习
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，
当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ C ）
A．32
B．24
C．16
D．18
D
E
A
周长＝4DC＝16
DC＝2OE＝4
C
O
B
随堂练习
2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形
H
∴EF，FG，GH，EH分别是△AOB， △BOC，
△COD， △AOD的中位线，
∴
A

EF＝ AB，FG＝ BC，GH＝ CD，EH＝ AD，

∴EF＝FG＝GH＝EH，