上三角矩阵环中的一些斜McCoy子环

（）存 一 非 元Ｓ ｌ ｙ 满 （）＝，么ｆｘ ｌ ０ （） ＝ ， （） Ｒ 中 在 个 零 ＝Ｉ ２ Ｊ 足ＦｘＳ ０ ０， ｌ 那 （） ＝ ， ｘ ２ ０ ｘ ｆ 且ｆ
＝ ０， ｓ ≠ ０ 所以 ｙ 、２ 而 ， ｌｙ 和 中至少 有一 个不为 零 ， Ｒ是右 斜 Ｍｃ ｏ 故 Ｃ ｙ环 ．
０
（ ）
卢（ ３ ）
．
ｇ （ ｑ（ ２ ） ２ｘ） ｇ（ １ ）
如果 厂 （ ＝０ 那么有 Ｆ（ Ｅ ４＝０ 如果 ＿ （ ＝０ 那么有 Ｆ（ ） ４ ｌｚ） ， ｘ） １ ； 厂 ｚ） ， ２ ｚ Ｅ３
：０ 下 丽设 ＾（ ≠ ０ ． ） 且 （ ≠ ０ ） ． 如果 ｇ （ ≠ ０ 那 么有 ｆ （ ｇ （ １ ｚ） ， ｌ ） １ｚ）＝ ０ 因为 Ｒ是 右斜 一 Ｃ ｙ环，所 以在 Ｒ中存在 一 个非零 ， Ｍｃ ｏ 元 ｒ， １满足 ｆ （ ｒ １ ） ｌ＝０ 从 而 Ｆ（ ＦＥ ＝ ０ 如果 ｇ （ ≠ ０ 那 么有 ， （ ｇ （ ， ｚ） １ ； ２ ） ， ２ ） ２ｚ）：０ 因为 Ｒ是右 ，
第 ３ 总第 ８ ２卷 ２期
２ ０１１ 年 ６ 月
西 北 民 族 大 学 学 报（ 自然科 学 版 ）
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ２ １３ ， ．
Ｊｕｎｌ ｆ ｏｔｗｓＵ ｉ ｒ ｔ ｆ ａｏａｔｓＮａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏｒａ ｏ Ｎ ｒ ｅ ｎ ｅ ｉ ｒ ｔｎｌｉ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｈ ｔ ｖ ｓｙ ｏ Ｎ ｉ ｉ ｅ ｅ
口２
（ Ｒ）＝
口２ Ｃ２
∈
日１
右斜 一
环・
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证 “” （） ； 中 （） 明 设 Ｒ［ 的Ｆ ＝∑二Ａ ０ （） Ｂ ０ 足Ｆ ） （） ］ 。 ≠ ， ｚ ＝∑ 。 ≠ ， Ｇ ｊ 满 （ Ｇ
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０ 且 （ ＝ ０ 因为 Ｆ（ ≠ ０那么 ｐ（ ） ０ 所以 户 ｚ） １ｚ ） ． ｘ） ， ｘ ≠ ， （ ｇ （ ）＝０ 又因为 Ｒ是左斜 一 Ｃ ｙ环， 以在 ， Ｍｃｏ 所 Ｒ中存在一个非零元 ｒ ， ３满足 ｒｇ （ ３ １ｚ）＝ ０从而 ｒＥ１ ｘ ， ３ ３ ）＝０ Ｏ（ ． 从 以上可得 Ｕ３Ｒ） （ 是左斜 一Ｍｃ ｏ 环 ． Ｃｙ
“ ” ［； ｅ ｆ ） 设Ｒｚ ］ ￣ （ ＝∑三ａ ｖ ，（ ＝ ０ ｅ，足 ） ： ， （ ＝ ｐ ｘ ｏ ｓ ｇ ） ∑ ６ ｏ ｚ （） ０ ｚ ｉ ｏ ｊ ｖ 满 ｇ 令Ｆ ）
， ）３Ｇ（ （ ｆ， ｘ）： ｇ ｘ Ｉ， （ ）３那么 Ｆ（ ） ｘ ｘ Ｖ（ ）＝ ０因为 Ｕ （ 是左斜 一 Ｃｙ 所以在 ｕ３Ｒ） ， ３Ｒ） Ｍｃｏ 环， （ 中存 在一
ｃ ０
ｆｌ ０ 口ｉ
１
ｆｌ ０ ｂ ｊ
１
ｂＪ Ｊ
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＝，中 ｌ 口 Ｂ 【 ｂ 令 （ ＝ 三ａ ＝ ６ ０ Ａ＝ 其 【 ｚ Ｊｊ ｌ ２ １ ｚ ∑ ０Ｘ ）∑ 。 ０，＝ Ｉ ｊ ． ） ０ ｕ， ｌ （ ，
１ 一
≤ ２ 那 么有 ，
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０
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ｆ （７Ｊ ｌ３） １
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【
０
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【
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ｇ（ ２ ）
０ １ ．
ｇ（ Ｊ ｌ ）
如果 ｆ （ １Ｘ）＝ ０那 么有 Ｆ（ Ｅｌ ０如 果 ， （ ， ｘ） ３＝ ； ２ ）＝０ 那 么有 Ｆ（ Ｅ２ ＝ ０ 下 面设 ｆ （ ≠ ０ ， ） ２ ． ｌＸ）
（ 表 示环 Ｒ上的 Ｙ × 阶矩 阵环， ｎ Ｒ）表示 环 Ｒ上 的 × 阶上三 角矩 阵 环， 表示 矩 阵 Ｒ） ｔ ｒ（
环
（ Ｒ）中的 单位矩 阵 ．Ｅ １ ｉ ｛ ≤ ， ≤ 咒｝ Ｍ Ｒ）中的 矩 阵单 位 ． Ｒ是 一个 环 ， 环 Ｒ的一 是 （ 设 是
＝ （ Ｃ ）那 么 是 Ｍ Ｒ）的一 个 同态 ． （ｔ ， ） （
，ｖ ） ｇ（ ＝∑ 。 ，（） ｘ ６ 户 ＝∑ ０ ，（ ＝∑ 。 ， ｃ ｑ ｉ ） 其中１ “ ≤ ，
［ 收稿 日期 】 ０ １ ５ ０ ２ １ —０ —２ ［ 作者简介 ］王文康 （９ ４ ）女 （ １ ６ 一 ， 藏族 ） 甘肃天祝人， ， 教授 ， 主要从 事代数 学研究 ．
且 （ ）≠ ０ ．
如果 ｇ （ ） ０ 那么有 ｆ （ ） １Ｘ ＝０ 因为 ．是右斜 一 Ｃ ｙ ｌｚ ≠ ， ｌｘ ｇ （ ） ， Ｒ Ｍｃ ｏ 环， 所以在 Ｒ中存在一个非零 元 ｒ， １满足 ｌ ） １ ０ 从而 Ｆ（ ｒＥ１ ０ 如 果 ｇ ≠ ０ 那 么有 ， （ ｇ （ ｒ＝ ， Ｘ） １ ３＝ ； ２ｘ） ， ２ｚ） ２ｘ）＝０ 因为 Ｒ是右 ，
从 以上 可得 【３ Ｒ） 厂（ 是右 斜 一 Ｃ ｙ环 ． Ｍｃ ｏ
“ ” ［； 中 （） ｅ 设Ｒｘ ］ 的， ＝∑三ａ Ｏ ≠０ （） ｉ ， ＝∑二 ≠０ 足， ）（） ０ － ｇ 。 ， （ ｇ ＝ ， 满 ４
Ｆ（ ｚ）： ｆ ｘ）３ Ｇ（ （ ， Ｘ）： ｇ（ ３那 么 Ｆ（ Ｇ（ Ｘ） ， ｘ） ）＝ ０ 因为 ｕ３Ｒ）是右 斜 一Ｍｃ ｏ ，所以在 ， （ Ｃ ｙ环
定理 １２ 一 个环 Ｒ是左 斜 一 Ｃ ｙ环 当且 仅当 环 Ｕ３ Ｒ）＝ ． Ｍｃ ｏ （
ｒ，，●
Ｌ
ｆ ０ ｚ １
‘， ●【
ｃ∈ Ｒ 左
斜 一 ｃ ｏ Ｍ Ｃ ｙ环 ．
０
证 “” ３ ） ； 中 （ ＝∑三Ａ ０ （） 明 设Ｕ Ｒ［ 的Ｆ ） （ ｚ］ ｏ ≠ ， ｚ ＝∑ 马 Ｇ ０ ≠０ 足ＦｚＧ ， （ （ 满 ） ）
＾（ ） Ｐ （ ｚ １ ） ０ ０ 口（ ４ ） ａ（ ３ ）
，
１≤ ， ｌ愚 ≤ ２ ３≤ ｅ ｈ ≤ ４ ，， ， ， 。那 么 有 Ｆ （ ） ＝
，（ ２ ）
（） Ｐ（） ｚ ２ｚ （） ｚ
Ｇ（ ）＝ ｇ（ ｌｘ） Fra bibliotek （ ） ｌｘ
ｇ（ ｚｚ）
０
口 ２ｉ
Ｓ４ Ｓ３
，
ｂｌ ｄ ｌ ｊ ｊ ｂ２ ｊ
Ｂ ＝
０
０
ｔｆ ４
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，
Ａ ＝
Ｃ２１
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ｂ １ ｊ
令 （ ）＝ ∑ ｉ ）＝ ｚ ｍ口 ， （ ｇ
口 １
∑ ６ ， （） 。 ａ ＝∑三Ｓ ｚ ） 。ａ， （ ＝∑ｉ Ｃ （） ， （） ｘ 户 ｌ ＝ ， ｚ ＝∑ 。 ｚ ＝∑ ， 中 ｏ 。 其
ｐ ） （ ＝∑三Ｃ ｑ ） ｏ ，（ ＝∑ ， 中１ ， ， 么 ｉ ０ 其 ≤“ ≤２ 有 那
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ｆ（ Ｊ ｌｚ）
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【
０
口ｚ １ （ ）
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Ｉ
，（ ２ ）
０ Ｉ （） １ ， Ｘ ＝ Ｇ
斜 — Ｃ ｙ 所 以在 Ｒ中存在一个非零 元 ｒ， Ｍｃｏ 环， ２满足 ，（ ｒ ＝０从而 Ｆ（ ｒＥ ＝０ 下面设 ｇ ＝０ ２ ）２ ， ｘ）２ ． ｌｘ） 且 ｇ（ ２ ）＝０ 因为 Ｇ（ ） ０那么 ｑｘ） ０所以 ，（ ｑ ）＝０又因为 Ｒ是右斜 一 Ｃｙ ， 以在 ． ｚ ≠ ， （ ≠ ， １ ） （ ， Ｍｃｏ 环 所 Ｒ中存 在 一个非 零 元 ｒ， ３满足 １ｘ） ３＝ ０ 从而 Ｆ（ ｒＥ１ ０ ｒ ， Ｘ） ３ ３＝ ．
０ 如 果在 Ｒ中存在 一个 非 零元 Ｓ 使 得 ，（ Ｓ＝０ 那 么称 环 Ｒ是 右斜 盯一 Ｃ ｙ环 ； ， ， ｚ） ， Ｍｃ ｏ 如果 在 Ｒ中存 在一
个非零 元 ｒ 使得 ｒ Ｘ）＝ ０ 那 么 称环 Ｒ是左 斜 — Ｃ ｙ环 ； ， ｇ（ ， Ｍｃｏ 如果 一个 环既是右 斜 一 Ｃ ｙ环 又是 Ｍｃ ｏ 左斜 — Ｃ ｙ环 ， 么称 环 Ｒ是斜 一 Ｃ ｙ环 ． Ｍｃ ｏ 那 Ｍｃ ｏ
一
２
一
个非零元 ｓ ：
所以 １ ２ 、 和 中至少有一个不为零， Ｒ是左斜 — Ｃｙ ． 故 Ｍｃｏ 环
口１ Ｃ１
ｆ ｉ ｓ： ，ｇ。ｃ，。 ］ 。 ｇ。 ：≠ ，Ｇ ， ｃ，＝ｇ。 ， 满ｃ那 ｚ ， 而 足 么 ＝ｃ且 ｓ ｚ
０ Ｓ４ ０ Ｓ３
Ｊ ｎ，０ １ ｕ ｅ２ １
上三 角矩 阵环 中的一些斜 Ｍｃ ｏ Ｃ ｙ子环
王 文 康
（ 西北 民族 大 学 数 学与计 算机 科 学学院 ， 甘肃 兰 州 ７ ０ ２ ） ３ １ ４
【 摘
要］ 设 是 环 Ｒ的 一 个 同 态， 由 扩 张 的 Ｍ Ｒ） 一 个 同 态 ． 本 文 中， 到 了上 三 角 矩 阵 环 中的 一 个 三 是 （ 的 在 找
个 同态 ， 义 （ ｎ 定 （ １ 主要 结果
主，｝ Ｒ １ ａ ｌ ｃ Ｅ
证明 ” （） ； 中 （） “ 设 Ｒ［ 的Ｆ ＝ＥｍＡＸ≠０Ｇ ＝∑ 』 ≠０ 足Ｆ ）（） ］ ＝ ｉ ，（） ０ ０ ， ｊ Ｉ 满 （ Ｇ
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ｇ（ Ｊ １ｚ）
如果 ｇ（ １ ）＝０ ，那么有 Ｅ１Ｇ（ ３ ）＝ ０ 如果 ｇ （ ）＝ ０ 那 么有 Ｅ２Ｇ（ ； ２ｚ ， ２ ）＝ ０ 下 面设 ｇ （ ≠ ０ ． ｌＸ） 且
ｇ （ ≠ ０ ２ Ｘ） ．
如 果 ｆ （ ≠ ０ 那 么有 ， （ ｇ ＝０ 因为 Ｒ是左 斜 一 Ｃ ｙ环 ， 以在 Ｒ中存 在一 个 非零 元 ｌ ｘ） ， ｚ） ｌｘ） ， Ｍｃ ｏ 所