5.3麦克斯韦方程5.4边界条件
【精品】第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。
重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。
直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。
二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。
2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。
微分形式麦克斯韦方程组对应的四条边值关系
微分形式麦克斯韦方程组对应的四条边值关系
1、微分形式麦克斯韦方程组对应的四条一端空间边值关系是：（1）一端空间边界处有永远恒定的物质浓度。
例如在右边界处，物质
浓度为c0；
（2）一端空间边界处，物质浓度以其原位置处的微分方程中特定部分
的梯度为极限值。
例如在右边界处，物质浓度的梯度为lim(c/dx)|x=L；（3）一端空间边界处，物质浓度的微分方程的右端因子在边界处应该
等于零。
例如，在右边界处，f(x,c)（C是物质浓度）在右边界处，应
该取值为f(L,c)=0;
（4）一端空间边界处，物质浓度的偏微分方程在边界处应等于–k times c，其中K是物质相对移动的扩散系数。
例如，在右边界处，物
质浓度的偏微分方程应等于-kc。
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
maxwell的边界条件
maxwell的边界条件Maxwell的边界条件是电磁场理论中的重要概念，它描述了电磁波在两种介质之间传播时的行为。
这些边界条件起着关键作用，帮助我们理解和解决各种电磁问题。
本文将详细介绍Maxwell的边界条件，并讨论它们在实际应用中的意义和影响。
我们来了解一下Maxwell的边界条件是什么。
在电磁场理论中，Maxwell方程组描述了电场和磁场的演化和相互作用。
当电磁波在两种介质之间传播时，它们必须满足一定的条件，这些条件被称为Maxwell的边界条件。
这些条件是在介质界面上成立的，用于描述电磁场的连续性和边界行为。
我们来看一下Maxwell的第一边界条件，即电场的切向分量在界面上连续。
这意味着当电磁波从一种介质传播到另一种介质时，电场的方向和大小在界面上保持不变。
这个条件的物理意义是介质界面上没有电荷堆积或电流流失，从而保证了电场的连续性。
接下来，我们来讨论Maxwell的第二边界条件，即磁场的切向分量在界面上连续。
这意味着当电磁波从一种介质传播到另一种介质时，磁场的方向和大小在界面上保持不变。
这个条件的物理意义是介质界面上没有磁荷堆积或磁流失，从而保证了磁场的连续性。
除了以上两个边界条件，Maxwell的第三边界条件是电场和磁场的法向分量在界面上满足一定的关系。
具体来说，电场和磁场的法向分量的叉乘等于界面上的表面电流密度。
这个条件的物理意义是介质界面上的电荷和电流会影响电磁场的分布和传播。
我们来讨论Maxwell的第四边界条件，即介质界面上的法向分量的叉乘等于零。
这意味着在介质界面上没有自由电荷产生的电流。
这个条件的物理意义是介质界面上的电荷和电流的分布不会产生额外的电场和磁场。
Maxwell的边界条件在电磁场理论和应用中起着重要的作用。
它们帮助我们理解电磁波在不同介质中的传播和反射现象。
通过将Maxwell的边界条件应用到具体问题中，我们可以计算电磁场的分布和传播特性，解决各种电磁问题。
maxwell对称边界条件
maxwell对称边界条件
（最新版）
目录
1.麦克斯韦方程的边界条件
2.对称边界条件的概念
3.对称边界条件的应用
4.对称边界条件的意义
正文
一、麦克斯韦方程的边界条件
麦克斯韦方程是描述电磁场在空间中演化的基本方程，由四个方程组成，分别是电场高斯定律、电场高斯磁定律、磁场高斯定律和电磁场麦克斯韦方程。
在求解电磁场问题时，我们需要考虑边界条件，即电磁场在边界上的行为。
二、对称边界条件的概念
对称边界条件是指电磁场在边界上的行为具有某种对称性。
在电磁场问题中，我们通常考虑两种类型的边界条件：一种是 Dirichlet 边界条件，即给定边界上的电场和磁场；另一种是 Neumann 边界条件，即给定边界上的电场和磁场的导数。
而对称边界条件是一种更特殊的边界条件，它要求电磁场在边界上的行为具有某种对称性。
三、对称边界条件的应用
对称边界条件在电磁场问题中有广泛的应用。
例如，在求解无限长直导线周围的电磁场时，我们可以采用对称边界条件来简化问题。
在这种情况下，直导线可以看作是一个无限长、无限薄的线，其周围的电磁场具有轴对称性。
通过采用对称边界条件，我们可以将无限长直导线问题转化为一个有限长直导线问题，从而简化求解过程。
四、对称边界条件的意义
对称边界条件在电磁场问题中具有重要意义。
首先，对称边界条件可以简化问题，使得求解过程更加容易。
其次，对称边界条件可以帮助我们更好地理解电磁场的性质。
例如，在求解对称天线问题时，我们可以通过引入对称边界条件来研究天线的辐射特性。
此外，对称边界条件还可以用于设计电磁场器件，如滤波器、天线等。
麦克斯韦方程组边界条件
麦克斯韦方程组边界条件1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个有点儿“高大上”的话题——麦克斯韦方程组的边界条件。
听起来复杂，其实就像一碗简单的汤，只要你知道调料在哪，煮起来也不麻烦。
先别担心，咱们会把这些枯燥的公式讲得轻松有趣，像是在和朋友喝茶聊天一样。
准备好了吗？那咱们就开始吧！2. 麦克斯韦方程组概述2.1 什么是麦克斯韦方程组？首先，麦克斯韦方程组就像是电磁学的“圣经”，是由大名鼎鼎的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出的。
这些方程把电和磁结合在一起，像是一对密不可分的好基友，让我们明白光是怎么工作的。
想象一下，如果没有这些方程，咱们可能还在黑暗中摸索，手机也根本不能用，真是想想都让人发冷啊！2.2 边界条件的重要性那么，边界条件又是个啥呢？简单来说，边界条件就像是给这群方程加了一道安全锁，告诉它们在什么情况下该怎么“表现”。
就像你在家里有规矩，不能随便乱闯，电磁场在不同环境中也得遵守一定的规则。
没有边界条件，这些方程就像一盘散沙，根本无法发挥它们的威力，简直是浪费资源！3. 边界条件的类型3.1 电场和磁场的边界条件现在，我们来聊聊具体的边界条件吧。
电场和磁场就像是情侣，有些条件需要满足才能和谐相处。
比如，当电场遇到导体时，电场的强度在导体表面会突然变为零，这就像是女朋友给你个“面子”，不让你在外面丢脸。
而磁场在导体表面会有一个特定的关系，保证它不会随便干涉电场的工作。
总之，这种“边界”的设定，既有规矩又有温情。
3.2 自由空间和介质的边界条件再来说说自由空间和介质的边界条件。
想象一下，自由空间就像是一片广阔的海洋，而介质则是海洋中的小岛。
电磁波在海洋里自由自在，而一旦碰到小岛，就得开始遵守岛上的规则。
电场和磁场在不同介质中的传播速度和强度都有所不同，这就像是你在海上游泳和在岸上走路，感觉可是大相径庭！在这条“海”上，咱们得谨慎行驶，才能保证电磁波的顺利传播。
4. 总结好啦，今天的麦克斯韦方程组边界条件就聊到这里。
电磁场与电磁波习题讲解02
ax
109
5 4 4 107
sin(5z)
ax
1 sin(5z) 20
习题讲解四
例题 已知某无耗媒质中的电场强度瞬时值形式为
Ez,t ay 4 sin(109t) cos(5z), 且=0
，求相应的磁场强度的复数表达式
解：E z, t
ay
4
cos(109 t
EH
t
1 2
H
B
1 2
E
D
J
E
坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面S进入体积 V的电磁能量等于单位时间内体积V内所增加的电磁场能 量与损耗的能量之和
5.3 麦克斯韦方程及边界条件
坡印廷矢量
S EH
坡印廷矢量的物理意义：它表示单位时间内通过垂直于能 量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量 传输的方向
(3) E ax cos(t z) ay 2sin(t z)
解：E(
z,t)Βιβλιοθήκη axcos(t
z)
ay
2
cos(t
z
2
)
ax
Re[e
j(t z)
]
ay
2
Re[e
j (t
z 2
)
]
E(z) axe j z ay 2 je j z
ax
j2
e
j5z
ax
j2
e
j5z
r 0
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
麦克斯韦方程及其边界条件的物理含义
麦克斯韦方程及其边界条件的物理含义摘要：一、麦克斯韦方程概述1.麦克斯韦方程的来源2.麦克斯韦方程的组成二、麦克斯韦方程各式的物理含义1.高斯定律的电场表达式2.电场强度与电荷分布的关系3.电场线的性质三、边界条件的物理意义1.边界条件的作用2.边界条件与物理现象的联系四、麦克斯韦方程在实际应用中的体现1.电磁场问题的求解2.电磁波的传播与反射3.现代通信技术中的应用正文：一、麦克斯韦方程概述麦克斯韦方程是描述电磁场在时空中演化的四个基本方程，由英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪中叶提出。
这四个方程分别是高斯定律、高斯磁定律、安培环路定律和麦克斯韦添加项。
它们构成了电磁场理论的核心，为现代物理学和工程学的发展奠定了基础。
二、麦克斯韦方程各式的物理含义1.高斯定律的电场表达式：表示电场线的发散度与通过曲面的电荷量之间的关系。
在无电荷区域内，电场线的发散度为零，表示电场强度为零。
2.电场强度与电荷分布的关系：电场强度是电荷产生的电场在某一位置的物理量，反映了电场对单位正电荷的作用力。
电场线是表示电场强度方向的曲线，疏密程度反映了电场强度的相对大小。
3.电场线的性质：电场线从正电荷出发，终止于负电荷，或从高电势到低电势。
电场线不会相交，因为在相交处会出现两个方向的电场。
三、边界条件的物理意义1.边界条件的作用：在求解电磁场问题时，边界条件起到了限制和确定解的作用。
边界条件反映了物理现象在边界处的特性，如电荷分布、介质性质等。
2.边界条件与物理现象的联系：通过边界条件，我们可以得到电磁场在边界处的值，从而进一步分析物理现象的发生、传播和反射等过程。
四、麦克斯韦方程在实际应用中的体现1.电磁场问题的求解：利用麦克斯韦方程，我们可以求解电磁场在空间某一区域的分布规律，为电磁场问题的分析和解决提供理论依据。
2.电磁波的传播与反射：麦克斯韦方程描述了电磁波在介质中的传播特性，如速度、衰减等，并可用于分析电磁波在界面处的反射和折射现象。
maxwell方程组及边界条件
CQU
将电荷守恒定律 J c t
D 0 t
带入上式
D C
时变场中不考虑恒定量，令 C =0
D
磁通连续性原理
B ( B) ( E ) 0 t t
B 0
CQU
0 （静态场） 当 t
D H J t
B E t B 0 D
恒定场是时变电磁场的特殊形式
H J
E 0 B 0 D
s
高斯定律
s
D dS q
麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从 中推得，由第1方程推导高斯定律。
D H J c v 对第一方程 两边取散度 t D H J c t D 左边为零，右边整理后得 J c D t t
cqu53电磁场基本方程组分界面上的衔接条件531电磁场基本方程组1865年maxwell总结了电磁场基本方程组maxwell方程为全电流定律磁通连续性原理高斯定律全电流定律麦克斯韦第一方程表明传导电流和时变的电场都能产生磁场
5.3
5.3.1
电磁场基本பைடு நூலகம்程组 • 分界面上的衔接条件
CQU
电磁场基本方程组
积分形式
D 全电流定律 l H dl s J c dS s t dS s v dS B dS 电磁感应定律 l E dl S t 磁通连续性原理 B dS 0
en B2 B1 0
麦克斯韦方程边界条件
2020年1月13日星期一
电磁场与电磁波
7
第七章 时变电磁场
1. 位移电流
考虑如图所示平板电容器与时变电源 连接的电路，导线中的传导电流为时变电 流，极板之间的介质中传导电流为零。
图中对应相同的闭合曲线 C 有两个 不同的曲面 S1 和 S2 。
如果仅考虑传导电流，则有
rr
Ñ H dl
l
r
r
0(S2 )
Ñ H dl l
is (S1)
麦克斯韦假设了位移电流
于是：
rr
Ñ H dl l
is (S1)
rr
r D
Ñ H dl l
id
t (S2 )
2020年1月13日星期一
电磁场与电磁波
8
第七章 时变电磁场
麦克斯韦将
D t
称为位移电流密度，以
Jd表示，即Jd来自D trv
r
Ñ D
dsv
q
Ñ 电荷守恒定律（推论）：
J dS q
S
t
Ñ 恒定电流的电流连续性方程（推论）： J dS 0 S
2020年1月13日星期一
电磁场与电磁波
5
第七章 时变电磁场
1. 位移电流
rv
比奥--萨伐尔定律（实验规律）：
Ñ v
B
u0
4
I1dL R12
t
对于时变电场，电场变化越快，产生的位移电流 密度也越大。
已知传导电流密度 Jc E，因此 在电导率较低的介质中 Jd Jc
在良导体中
Jd Jc
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述 安培环路定律变为
简要描述麦克斯韦方程组及其边界条件的物理含义
简要描述麦克斯韦方程组及其边界条件的物理含义摘要：一、麦克斯韦方程组的简介1.麦克斯韦方程组的来源2.麦克斯韦方程组的基本组成二、麦克斯韦方程组的物理含义1.高斯定律的微观解释2.电场强度与电势关系3.电荷分布与电场线的关系三、边界条件的物理含义1.边界条件的作用2.不同边界条件下的电场分布特点四、麦克斯韦方程组在实际应用中的例子1.电磁波的传播2.电磁感应现象正文：麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程组，由英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
它由四个方程组成，包括高斯定律、高斯定理、电场强度与电势关系以及电流密度与电荷密度之间的关系。
这四个方程描述了电场、磁场和电磁波在空间中的分布和变化规律。
麦克斯韦方程组的物理含义可以从以下几个方面进行理解：1.高斯定律的微观解释：高斯定律是麦克斯韦方程组中的一个方程，它描述了电场线与电荷分布的关系。
在微观层面上，这个方程说明了电场线是电荷粒子的轨迹，电场线越密集，表示电场强度越大。
2.电场强度与电势关系：麦克斯韦方程组中的另一个方程描述了电场强度与电势之间的关系。
电场强度是电势的负梯度，这意味着电场线是电势降低最快的方向。
这一关系有助于我们理解电磁场的传播和变化规律。
3.电荷分布与电场线的关系：在麦克斯韦方程组中，电荷分布与电场线的关系也得到了描述。
根据高斯定律，我们知道电场线总是从电荷密度高的地方指向电荷密度低的地方。
这有助于我们分析和预测电场的分布情况。
在实际应用中，麦克斯韦方程组起着重要作用。
例如，在电磁波的传播过程中，麦克斯韦方程组描述了电场和磁场的相互作用。
又如电磁感应现象，当磁场发生变化时，会在周围产生电场，从而产生电流。
这些现象都可以通过麦克斯韦方程组进行解释和预测。
边界条件在麦克斯韦方程组中也有着重要地位。
它描述了电磁场在物体表面上的分布情况。
不同的边界条件会导致电场分布的不同特点，这对于分析和解决实际问题具有重要意义。
电磁场与电磁波习题讲解
电磁场与电磁波习题讲解静电场的基本内容2.7 半径分别为a和b（a>b），球心距离为c（c<a-b）的两球面间均匀分布有体密度为ρV的电荷，如图所示。
求空间各区域的电通量密度。
解：由于两球面间的电荷不是球对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为b的小球面内看作同时具有体密度分别为±ρV的两种电荷分布，这样在半径为a的大球体内具有体密度为ρV的均匀电荷分布，而在半径为b的小球体内则具有体密度为－ρV的均匀电荷分布。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
以球体a的球心为原点建立球坐标系，设场点为P(r)，场点到球体b球心的距离矢量为r’。
分三种情形讨论。
如果场点位于大球体外的区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于大球体内的实心区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于小球体内的空腔区域，则大小球体产生的电场强度分别为恒定电场的基本内容2.17一个有两层介质(ε1, ε2)的平行板电容器，两种介质的电导率分别为σ1和σ2，电容器极板的面积为S，如图所示。
在外加电压为U时，求：(1)电容器的电场强度；(2)两种介质分界面上表面的自由电荷密度；(3)电容器的漏电导；(4)当满足参数σ1ε2=σ2ε1时，问G/C=?（C为电容器电容）。
恒定磁场的基本内容4.4如果在半径为a，电流为I的无限长圆柱导体内有一个不同轴的半径为b的圆柱空腔，两轴线间距离为c，且c+b<a。
求空腔内的磁通密度。
解：将空腔中视为同时存在J和-J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为a 的圆柱内，另一个电流密度为-J、均匀分布在半径为b的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
首先，面电流密度为其次，设场点为P(r)，场点到圆柱a轴心的距离矢量为ρ，到圆柱b轴心的距离矢量为ρ’。
麦克斯韦方程和边界条件
E
eyE 0
s in
d
z
c
o
s
t
kxx
求:(1)H; (2)导体表面的电流密度Js和面电荷密度
解：1）
H
由 E 0 t
ex ey ez
E E
H
ex
ez
0
x y z
z
x
t
0 Ey 0
1
H 0 E0[ex
cos( z)cos(t kxx)dtez
dd
kx sin( z)sin(t kxx)dt]
• 静态场是时变场的特殊形式
2
电荷守恒定律
J t
dq
S J
dS dt
习惯上把上述四个方程依次称为麦克 斯韦第一、 二、 三、 四方程。方程 式 表明：
1. 时变电场是有旋有散的，因此电力线可 以是闭合的， 也可以是不闭合的。
2. 而时变磁场则无散有旋，因此磁力线总 是闭合的。
3. 闭合的电力线和磁力线相交链，不闭合 的电力线从正电荷出发，终止于负电荷 。而闭合的磁力线要么与电流相交链， 要么与电力线相交链。
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即
J=0, ρ=0。
ex ey ez
H
E
x y z
t
Ex 0 0
9
ey E0 sint z 0 (exH x ey H y ezH z )
t
由上式可以写出：
H x 0, H z 0
（2）在理想介质(σ= 0 )内部的电磁场不为 零，分界面上 Js为零，ρs也为零。
13
例1 带电 Q 的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介质
电磁场与电磁波(卢智远)第5-9章章 (1)
E dl
l
B dS St
(5-16)
或
E B
(5-17)
t
式(5-16)和式(5-17)分别是法拉第电磁感应定律的积分形式和 微分形式。至此我们已经知道电场的源有两种: 静止电荷与时 变磁场。
第5章 时变电磁场
5.2 位移电流 法拉第电磁感应定律表明: 时变磁场能激发电场。那么， 时变电场能不能激发磁场呢？回答是肯定的。法拉第在1843年 用实验证实的电荷守恒定律在任何时刻都成立，电荷守恒定律 的数学描述就是电流连续性方程，即
第5章 时变电磁场
d dt
d dt
S
Bd
S
(5-1)
其中，E 为感应电动势，Φ为穿过曲面S与l铰链的磁通，磁通
Φ的正方向与感应电动势E的正方向成右手螺旋关系，如图5-1
所示。此外，当回路线圈不止一匝时，式(5-1)中的Φ是所谓
全磁通(亦称磁链ψ)。例如一个N匝线圈，可以把它看成是由N
个一匝线圈串联而成的，其感应电动势为
即
第5章 时变电磁场
AdV
V
A dS
S
将式(5-18)用体积分表示，对静止体积有
J dS
JdVSVFra bibliotekdV tV
dV Vt
上式对任意体积V均成立，故有
J
t
(5-19)
式(5-19)是电流连续性方程的微分形式。
静态场中的安培环路定律之积分形式和微分形式为
H dl J dS
l
S
(5-20a)
和
H J
E dl
L
d B dS
dt S
B dS
St
利用矢量斯托克斯定理，上式可写为
电磁场与电磁波(时变电磁场)
2 .麦克斯韦位移电流假说
在电流对电容器的充放电过 程中，电容器极板间的电场随着 极板上电量的变化而变化，而且 电场变化的方向与电流的方向一 致。 充电时电场增强, 由正 极指向负极，与传导电流方 D 向相同；放电时电场减弱，t 由 负极指向正极，与传导电流方向 也相同。
D t
将
B E t
此为法拉第电磁感应定律的微分形式. 法拉第电磁感应定律为：
B l E dl S t dS
B E t
例5.2.1 如图5.2.1所示，边长为0.60m的正方形线圈， 在磁感应强度 B a x 0.80T 的场中以 60 rad / s 的转 速绕y轴转动。求线圈在输出端口上的感应电压。 解：任意时刻线圈平面与轴 的夹角，线圈平面投射到平 面上的面积为：
1、 静电场和恒定磁场对源的依赖关系在时间上具有即 时性 ，即 ' ' 静电场： 1 (r )(r r )d '
E
4 0
恒定磁场：
0 B 4
' ' J (r ) (r r ) ' d ' 3 |r r | l
' 3 |r r |
麦克斯韦方程中没有写进电流连续性方程 , 可从 D H J 和 D 导出.
D 把 H J t
t
两边同时取散度得
D ( H ) J t
由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得
B d 可转化为 l E dl S t dS l E dl dt SB dS
B 由斯托克斯定律可得 E dl E dS dS t l S S
麦克斯韦方程及其边界条件的物理含义
麦克斯韦方程及其边界条件的物理含义
麦克斯韦方程是描述电磁学中电场和磁场的演化规律的一组方程。
它们由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，并成为电磁学的基石。
麦克斯韦方程和边界条件的物理含义如下：
1. 麦克斯韦第一方程（高斯定律）：它表明电荷的电场发散率与电荷密度成正比，描述了电场如何与电荷分布相互作用。
2. 麦克斯韦第二方程（法拉第电磁感应定律）：它表明变化的磁场会产生感应电场，描述了磁场如何随时间变化而影响电场。
3. 麦克斯韦第三方程（安培环路定律）：它表明磁场的环流率与电流和变化的电场成正比，描述了电场如何随电流和电荷的变化而影响磁场。
4. 麦克斯韦第四方程（法拉第电磁感应定律的积分形式）：它表明闭合曲面内的磁通量的变化率等于该曲面内包围的电流。
边界条件是麦克斯韦方程在介质交界面上的成立条件，它们包括：
1. 界面上的法向电场连续性：它要求电场在介质交界面上连续，即电场的分量在界面上相等。
2. 界面上的切向电场连续性：它要求电场的切向分量在介质交界面上连续，即电场的切向分量在界面上没有跳跃。
3. 界面上的法向磁场连续性：它要求磁场在介质交界面上连续，即磁场的分量在界面上相等。
4. 界面上的切向磁场连续性：它要求磁场的切向分量在介质交界面上连续，即磁场的切向分量在界面上没有跳跃。
这些边界条件描述了电磁场如何在介质交界面上传播和反射，是分析和求解麦克斯韦方程的重要工具。
麦克斯韦方程组推导边界条件
麦克斯韦方程组推导边界条件
我就想啊，这麦克斯韦方程组，就像一个神秘的迷宫，那四个方程在那摆着，看着就像四个怪家伙。
你看那电场和磁场，就像两个调皮的小鬼，在不同的空间里跑来跑去，还互相影响。
我开始推导边界条件的时候，就感觉自己像个迷失在森林里的人，到处找路。
我先从电场的切向分量入手，我就跟自己嘟囔：“这个电场啊，你在边界上到底咋个表现呢？”我拿起笔在纸上乱画，写了又擦，擦了又写。
我想着电场的切向分量在边界两侧应该连续啊，就像一个人从一个房间走到另一个房间，不能突然就断了啊。
我就在那比划着，想象着电场线像一根根小绳子，在边界这儿得平滑地过渡。
然后再看磁场的情况，磁场更麻烦。
我感觉我的脑袋都要大两圈了。
我挠挠头，头皮都快被我挠破了。
磁场的法向分量在边界上也有它的规矩。
我就想象自己是个磁场的小卫士，在边界这儿守着，看磁场怎么进进出出。
我又想起来之前学电磁学的时候，那些个实验。
那些实验仪器，那些电线啊，磁铁啊，就像一个个小士兵，在给我讲述电磁的故事。
现在我要从这些方程里把边界条件抠出来，就像是从石头缝里找宝贝一样。
我一会儿对着书皱眉，一会儿又兴奋地在纸上写个不停。
那推导过程就像一场战斗，我和那些公式斗智斗勇。
有时候我觉得我抓住了一点头绪，高兴得想跳起来，可接着又发现好像走进了死胡同，又垂头丧气的。
但我就不服气啊，我就跟自己说：“我还能被你们几个公式难住不成？”就这么着，在那小书桌前，在那堆乱书中间，一点点地去推导麦克斯韦方程组的边界条件。
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1 a
2 d
l
1
与恒定磁场相比较
H1 b
H d l J dS
c S
H2 H 2t
2
c
当h 0 该积分为零 因此，时变场中H 的边界条件与恒定磁场时的形式相同，即
n H1 H 2 = J s
H1t H 2t = Js
H1t H 2t (J s 0)
H1t H2t 0
或
E1t E2t 0
B1n B2n 0
D1n D2n 0
◇ 介质1和理想导体2的分界面 （ E2 0, D2 0, B2 0, H2 0）
n H1 = J s
H1t J s
n E1 0 n B1 0
n D1 s
d
B H 0 t t E y x
o
⊙E
得
x
e x
E y z
ez
0
H t
故
H 1
0
1
( e x
E y z
ez
E y x
)dt
E0 e x cos z cos t k x x d t e z k x sin z sin t k x x d t 0 d d d k ex E0 cos z sin t k x x e z x E0 sin z cos t k x x 0 d 0 d d
【例2】设区域I（z<0）的媒质参数 r1 1, r1 1,1 0；区域II（z>0）的媒质 参数 r 2 10, r 2 2, 2 0 。区域I中的电场强度为 E1 ex [60cos(15108 t 5z) 20cos(15 108 t 5z)] （v/m），区域II中的电场强度为E2 ex A cos(15108 t 5z) （v/m）。试求：(1)常数
0
J
J
0 t
D t
即
（电流连续性方程）
麦克斯韦方程组的限定形式
为了完整地描述时变电磁场的特性，特引入表征电磁媒质与场矢
量之间关系的本构关系（特性方程或辅助方程），即：
D 0 E P
B 0 ( H M )
J E
各向同性线性媒质
D E 0 r E
故
H1
1
1
E1 dt
ey [0.1592 cos(15 108 t 5 z ) 0.0531cos(15 108 t 5 z )]( A / m)
④ 由麦克斯韦第四方程可知：时变电场为有源场。 ⑤ 由麦克斯韦第一、三方程可知：时变磁场是有旋无散场。 ⑥ 由麦克斯韦第二、四方程可知：时变电场是有旋有散场。 ⑦ 时变电磁场是有旋有散场。
几点说明：
⑧ 电荷及电流均不存在无源区中，此时的时变电磁场是有旋无散的。 ⑨ 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。 ⑩ 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
E B H 0 t t
得
ex x Ex
ey y 0
ez E ey x ey E0 sin(t z ) z z 0
H y H z H H x ex ey ez t t t t
S
B 0
D
B dS 0 D dS q
S
静态场中的高斯定理及磁通连续性原 理对于时变电磁场仍然成立。
微分形式
第一方程 第二方程 第三方程 第四方程
D t B E t H J
积分形式
c
H dl (J
S
D ) dS t
【例2】 在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁波，已知 其电场强度为 E e y E0 sin z cos t k x x
d
式中kx为常数。试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密 度Js。 解： （1）取如图所示的坐标。由 z
E
① 真空中， 0
② 理想介质σ=0，理想导体σ→∞。 ③ 若媒质参数与场强大小无关，称线性媒质，否则称非线性媒质。
④ 若媒质参数与场强方向无关，称各向同性媒质，否则称各向异性媒质。
⑤ 若媒质参数与位置无关，称均匀媒质，否则称非均匀媒质。 ⑥ 若媒质参数与场强频率无关，称非色散媒质，否则称色散媒质。
H1t H 2t J s H1t H 2t ,( J s 0)
五、两种特殊情况
◇ 两种无耗媒质的分界面 （ J s 0, s 0）
n E E 0 nB B 0 n D D 0
1 2 1 2 1 2
n H1 H 2 = 0
由边界条件可知： 得
E1t E2t
A 80
（2）由麦克斯韦方程得：
E1 B1 H1 1 t t
得
H1 1 1 E1 E1 ey t 1 0 z e y 1
0
[300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z )]
二、E 的边界条件 同样的分析可得时变场中E的边界条件与
静电场时的形式相同，即
n
c
E dl
B dS S t
E1t
与静电场相比较
1 a
t
S
l
1
E1
b
B
dS
c
E dl 0
B B S b(l h) t t
2 d
当h 0该积分为零
分界面上存在面电荷时，电位移 矢量D的法向分量不连续，当不存 在面电荷时， D的法向分量连续， 但电场强度E的法向分量不连续。
时变电磁场
电位移矢量
D1n D2n s D1n D2n ,( s 0)
E1t E2t
磁感应强度
B1n B2 n
电场强度
磁场强度
tg1 1 1 1 tg 2 2 2 2
第五章 时变电磁场
5.3 麦克斯韦方程组 5.4 时变电磁场的边界条件
主要内容
麦克斯韦方程组（非限定形式、限定形式） 真空中时变电磁场的边界条件 理想介质时变电磁场的边界条件 理想导体时变电磁场的边界条件
学习目的
深刻理解麦克斯韦方程组的物理意义 掌握利用麦克斯韦方程组求解时变电磁场 灵活利用边界条件求解时变场
E2t
E2
2
c
因此，时变场中E 的边界条件与恒定电场时的形式相同，即 D1t D2 t n E1 E2 0 E1t = E2t
分界面上电场强度E的切向分量连续,但电位移矢量D的切向不连续。
1
2
三、B 的边界条件
四、D 的边界条件
S
B dS 0
S
D dS q
( E )
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的基本规律。 对于不随时间变化的静态场，则
E D H B 0 t t t t
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，
电场与磁场不再相关，彼此独立。
媒质的分类
对于媒质的分类描述如下：
, 0 , 0
洛仑兹力
当空间同时存在电场和磁场时，以速度v运动的点电荷所受力为静电 力和洛仑兹力之和。即
F qE q v B q E v B
[例1] 已知在无源的自由空间中，E ex E0 cos(t z)其中 E0 , 为常数， 求磁场强度H。 （例5-6） 解：由麦克斯韦第二方程即
（2）导体可看做理想导体，表面的电流存在于两导体相向的面
z 0时， n ez
Js
z 0
z d时， n ez
Js
z d
n H ez H ey
z 0
n H e z H ey
z d
0 d
E0 sin t k x x
E sin t k x x 0 d 0
5.3 麦克斯韦方程组
对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为四个方程，其积分形式和微分 形式分别如下： 微分形式 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律 积分形式
D H J t B E t
D H dl ( J ) dS c S t B E dl dS c S t
与恒定磁场相同
B1n B2 n
与静电场相同
D1n D2 n s
s 0
D1n = D2n
1H1n 2 H 2n
表示为矢量形式
n B1 B2 0
1E1n 2 E2n
表示为矢量形式
n D1 D2 s
分界面上磁感应强度B的 法向分量连续，但磁场强度 H的法向分量不连续。
c
E dl
B dS S t
B 0
D
S
B dS 0
D dS q
麦克斯韦方程组的物理意义：
S
① 由麦克斯韦第一方程可知：不仅传导电流可产生磁场，位移电流（变 化的电场）也可产生磁场。故时变电流（真实电流）和时变电场（位移 电流）都为时变磁场的旋涡源。 ② 由麦克斯韦第二方程可知：变化的磁场可以产生电场，即变化的磁场 为时变电场的旋涡源。 ③ 由麦克斯韦第三方程可知：磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。但此 时的磁场由传导电流和时变电场产生。