(整理)多元函数的极值.

实验六 多元函数的极值【实验目的】1． 多元函数偏导数的求法。

2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

【实验内容】求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值【实验准备】1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数),(y x f z =步骤2.求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,22222yzC y x z B x z A ∂∂=∂∂∂=∂∂= 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0<A 为极大值;,如果02=-B AC ,判别法失效,需进一步判断; 如果02<-B AC ,则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。

求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。

3．函数求偏导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。

可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数>>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y)结果为ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即.48,843y x yz y x x z +-=∂∂-=∂∂再求解正规方程，求得各驻点的坐标。

一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。

求解正规方程的MATLAB 代码为：>>clear;>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：>>clear; syms x y;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2)结果为A=2*x^2 B =-8 C =4由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。

当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。

>>clear;>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')结果如图6.1图6.1 函数曲面图可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.>>contour(X,Y,Z, 600)>>xlabel('x'),ylabel('y')结果如图6.2图6.2 等值线图由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点-P和)2,4(Q.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指(-,4)2Q周围没有等高线环绕,不向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点)0,0(是极值点,是鞍点.练习２ 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极值..构造Lagrange 函数)1(),(-++=y x xy y x L λ求Lagrange 函数的自由极值.先求L 关于λ,,y x 的一阶偏导数>>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k)得,1,,-+=∂∂+=∂∂+=∂∂y x L x y L y x L λλλ再解正规方程 >>clear; syms x y k>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得,21,21,21-===λy x 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.练习3 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数222),,(z y x z y x f ++=在条件22y x z +=及1=++z y x 下的最大值和最小值问题.构造Lagrange 函数)1()(),,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλ求Lagrange 函数的自由极值.先求L 关于μλ,,,,z y x 的一阶偏导数>>clear; syms x y z u v>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v)得μλμλμλ+-=∂∂++=∂∂++=∂∂z zL y y y L x x x L 2,22,221,22-++=∂∂-+=∂∂z y x L z y x L μλ 再解正规方程>>clear;>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')得.32,231,33117,3353 =±-==±-=±-=z y x μλ 上面就是Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。

由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f 在有界闭集}1,:),,{(22=++=+z y x z y x z y x ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由359.)32,231,231(=±-±-f 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为359+，最短距离为359-。

练习4 求函数72422+--+=y x y x z 在上半圆0,1622≥≤+y y x 上的最大值和最小值。

首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB 程序代码为：>>clear;>>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y')结果如图6.3观测图6.3可看出，在区域D 内部有唯一的驻点，大约位于)1,2(在该点处汉书趣的最小值。

在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于)2,4(-。

下面通过计算加以验证。

求函数在区域D 内的驻点，计算相应的函数值。

求z 关于x,y 的偏导数>>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y)结果得,22,42-=∂∂-=∂∂y yz x x z 解正规方程 >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y')得驻点为(2,1),相应的函数值为2。

求函数在直线边界44,0≤≤-=x y 上的最大值和最小值。

将0=y 代入原函数，则二元函数变为一元函数.44,742≤≤-+-=x x x z首先观测此函数图形，相应的MATLAB 程序代码为：>>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y);>>xlabel('x'),ylabel('z')结果如图6.4所示由图6.4可看出，当4-=x 时函数取得最大值，2=x 时函数取得最小值。

下面用计算验证。

对函数求导>>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得42-=x dxdz，可知驻点为2=x ，而边界点为4±=x ，计算着三个点上的函数值可得当4-=x 时函数取得最大值39，2=x 时函数取得最小值3。

求函数在圆弧边界线上0,1622≥≤+y y x 的最大值和最小值。

此边界线可用参数方程π≤≤==t t y t x 0,sin 4,cos 4表示。