第九章 气体、固体和液体的基本性质

9-10 容器内盛有 1.50 mol 氮气，其分子热运动动能的总和为 9.63×103 J，求容器内氮气的温度。 解：设系统内气体的温度为 T，分子热运动动能的总和，就是 3 个平动、2 个转动和 1 个振动自由度上平 均动能之和，即： Ek = ν
i 6 RT = 1.5 × × 8.31× T 2 2
主要差异：1.忽略分子的体积，将分子看成质点；2.分子间的相互作用以及分子与容器器壁分子之间 的相互作用力简化为：弹性碰撞，并且除碰撞外不存在相互作用。
9-2 在一个容器内盛有理想气体，而容器的两侧分别与沸水和冰相接触(热接触)。显然，当沸水和冰的温 度都保持不变时，容器内理想气体的状态也不随时间变化。问这时容器内理想气体的状态是否是平衡态？ 为什么？
而实验表明在室温下氢分子的振动自由度不被激发，所以内能应为：
U=
1 ( 3 + 2) RT = 6.23 ×103 J . 2
5
氦气分子是单原子分子， i = t = 3 , r = 0 , s = 0 , 代入内能表达式，得： U =
3 RT = 3.74 ×103 J . 2
9-13 将 10 g 氧气(看作理想气体)从 20℃加热到 50℃，内能增大多少？
p3V2 M RT
1
一瓶氧气可用 n 天： n =
p1VM p2 VM − m1 − m2 RT = V ( p1 − p2 ) = 32 × (130 −10 ) = 9.6 ( 天 ) = RT p3V2 M ∆m p3V2 1× 400 RT
3
9-4 在一个容积为 10 dm 的容器中贮有氢气，当温度为 7℃时，压强为 50 atm。由于容器漏气，当温度 升至 17℃时，压强仍为 50 atm，求漏掉氢气的质量。
6
(2)
Nf ( v ) dv = dN 表示在 dv 范围内的分子数；
v2
(3)
∫ ∫ ∫ ∫
v1
f ( v ) dv 表示在 v1 ∼ v2 2 速率间隔内的分子数占分子总数 N 的比率； Nf ( v ) dv 表示在 v1 ∼ v2 速率间隔内的分子数； vf ( v ) dv 表示在 v1 ∼ v2 速率间隔内的分子对平均速率的贡献； v 2 f ( v ) dv 表示在 v1 ∼ v2 速率间隔内分子对速率平方平均值的贡献。
解：氧气分子是双原子分子，t = 3, r = 2, s = 1, 内能的增加为：
∆U =
1 m 7 10 × 10−3 × 8.31 × ( 50 − 20 ) = 2.7 ×10 2 J ( i + s ) R∆ T = × 2 M 2 32 × 10−3
9-14 某种三原子分子气体被看作理想气体，试写出分子平均平动动能、平均转动动能和平均振动动能的 表达式。
解：当压强为： p1 = 130 atm 、体积为： V = 32 dm 时，瓶内氧气的质量 m1 为： m1 =
3
p1VM RT
当压强降至 p2 = 10 atm 、体积仍为 V = 32 dm 3 时，瓶内氧气的质量 m2 2 为： m 2 =
p2VM RT
病房每天用压强为 p2 = 1 atm 、体积为 V = 400 dm 3 的氧气质量∆ m 为： ∆m =
−1
(2)分子间的平均距离 r ：
r =n
3
= ( 2.4 × 1025 )
−1
3
= 3.5× 10− 9 m .
(3)容器中氧气的密度ρ
ρ=
Mp 1.01×105 × 32 ×10 −3 = = 1.3 kg ⋅ m−3 RT 8.31× 300
(4)分子的平均平动动能 ε k
3 3 ε k = kT = × 1.38× 10 −23 × 300 = 6.2 × 10 −21 J 2 2
4
所以： T =
2Ek 2 × 9.63 ×103 = = 258k ν iR 1.50 × 6 × 8.31
9-11 在一个容积为 10.0 dm3 的密封容器内盛有 50.0 g 氩气，温度为 180℃，容器以 200 m⋅s−1 的速率作 匀速直线运动， 如果容器突然停止， 分子定向运动的动能全部转化为热运动动能。 问当系统达到平衡态时， 容器内氩气的温度和压强各增大多少？
(3)
由上式可以解得： α =
RT1 Vm 12
或： α =
p12 RT1
(2)根据式(3)可以得到： αV2 2 = RT2
取 V2 = 2Vm 1 ，代入上式，得： 4α Vm1 2 = RT2
(4)
将式(4)与式(3)联立，可以求得： T2 =
4αVm1 2 4RT1 = = 4T1 = 800k R R
9-7 在推导理想气体压强公式的过程中，用到哪些统计概念？
答：（1）理想气体各向同性的假设（分子混沌假设）基础。（2）假设每一分子均以平均速率运动，这里 用到了统计平均的概念。
9-8 证明式(9-9)。
3
证： v 的平均值 v 2
2
定义为： v 2 =
2 v12 + v2 + ⋯ + v2 N N
T1 = ( 273 +17 ) k = 290k , 于是 m2 可以表示为： m2 =
p1V1M RT2
所以漏掉氢气的质量为： ∆m = m1 − m2 =
p1VM p1VM − = 1.5 ×10 −3 kg RT1 RT2
计算中用到了氢气的摩尔质量： M = 2.0 × 10−3 kg ⋅ mol −1 。
在以下的证明中用到此的关系。
下面的关系显然是成立的： v12 = v12x + v12y + v12z
2 2 2 2 ⋯⋯ v2 = v2 x + v2 y + v2 z
2 2 2 v2 N = v Nx + v Ny + v Nz
将以上 N 个式子相加并除以粒子总数 N，得：
v2 =
2 2 2 2 v 2 + v 2 + ⋯ + vNy v12 + v2 + ⋯+ v2 v 2 + v 2 + ⋯ + vNx v 2 + v 2 + ⋯ + vNz N = 1x 2 x + 1y 2y + 1z 2z N N N N
第九章 气体、固体和液体的基本性质
9-1 试阐明真实气体的分子状况和理想气体模型的要点，并指出这两者的主要差异。
答：真实气体的分子状况：1.分子具有一定的质量和体积；2.分子处于永不停息的热运动之中；3.分子之 间以及分子与器壁之间进行着频繁碰撞；4.分子之间存在分子力作用。
理想气体模型的要点是：1.构成理想气体系统的分子是具有一定质量的单个质点或多个质点的某种组 合。2.视为质点的气体分子的运动遵从牛顿运动定律。3.气体分子之间和分子与容器器壁分子之间，除以 碰撞的形式发生相互作用外，不存在分子力的作用。4.气体分子之间以及气体分子与容器器壁分子之间的 碰撞都是完全弹性碰撞，因而碰撞前、后不但动量守恒，而且动能也保持不变。
3
答：在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为： f ( v ) dv =
dN ⎛ m ⎞ 2 − mv2 2 kT 2 = 4π ⎜ v dv ⎟ e N ⎝ 2π kT ⎠
它表示：在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间： v ∼ v + dv 内的分 子的比率为：
dN ⎛ m ⎞ 2 −mv2 2 kT 2 = 4π ⎜ v dv ⎟ e N ⎝ 2π kT ⎠
9-12 分别计算在 300 K 时 1.00 mol 氢气和 1.00 mol 氦气的内能。
解： 1.00 mol 气体的内能可以表示为： U =
1 ( t + r + 2 s ) RT 2
氢气是双原子分子气体，理论上有 6 个自由度(t = 3, r =2, s = 1)，内能为：
U=
1 ( 3 + 2 + 2) RT = 8.73 ×103 J 2

解：漏气前氢气的质量为 m1 ,压强为： p1 = 50 atm , 体积为： V = 10 dm3 , 温度为：
T1 = ( 273 + 7 ) k = 280 k ，于是 m1 可以表示为： m1 =
p1V1M RT1
3
漏气后氢气的质量为 m2 , 压强为 p1 = 50 atm , 体积为 V = 10 dm , 温度为：
3
9-16 说明以下各式的物理意义： f ( v ) dv ； Nf ( v ) dv ；
∫
v2
v1
f ( v ) dv ； ∫ Nf ( v ) dv ； ∫ vf ( v ) dv ；
v1 v1
v2
v2
∫
v2
v1
v 2 f ( v ) dv 。
解 (1)
f (v ) dv 表示在 dv 范围内的分子数占分子总数 N 的比率；
9-5 气缸中盛有可视为理想气体的某种气体，当温度为 T1 = 200 k 时，压强和摩尔体积分别为 p1 和 Vm 1 。 如果将气缸加热，使系统中气体的压强和体积同时增大，在此过程中，气体的压强 p 和摩尔体积 Vm 满足关 系 p = αVm ，其中α为常量。
(1)求常量 α ；
(2)当摩尔体积增大到 2Vm 1 时，求系统的温度。
2 即得： v 2 = vx + v2 + v2 y z
证毕
9-9 容器内贮有氧气，如果压强为 1.0 atm，温度为 27℃，求：
(1)单位体积内的分子数 n ；
(2)分子间的平均距离 r ；
(3)容器中氧气的密度ρ；