河南省天一大联考高一上学期阶段性测试二数学试题
高中数学 2022-2023学年河南省天一大联考高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．∀x <0，-x 2+5x -6<0B ．∀x <0，-x 2+5x -6≤0C ．∃x 0<0，−x 02+5x 0−6≤0D ．∃x 0<0，−x 02+5x 0−6<01．（5分）命题“∀x <0，-x 2+5x -6>0”的否定为（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）“xy >0”是“x >0，y >0”的（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.33．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．（￢p ）∨qD ．p ∧（￢q ）4．（5分）设命题p ：函数f （x ）=2x 在R 上为单调递增函数；命题q ：函数f （x ）=cos 2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．15．（5分）用秦九韶算法计算函数f （x ）=x 4-2x 2+x -1，当x =1时的值，则v 3=（ ）A ．10B ．11C ．12D ．136．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（ ）A ．X A >XB ，S A >S BB ．X A <X B ，S A >S BC ．X A >X B ，S A <S BD ．X A <X B ，S A <S B7．（5分）如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为X A 、X B ，样本标准差分别为S A ，S B ，则（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.58．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如表，并由此计算得到回归直线方程̂y =0.85x −0.25，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c 丢失．天数x /天34567繁殖个数y /千个c 34 4.56则上表中丢失的实验数据c 的值为（ ）A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为1109．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A ．（x -1）2+（y -1） 2=4B ．（x -1） 2+（y -1） 2=5C ．（x -1） 2+（y -1） 2=6D ．（x -1） 2+（y -1） 2=810．（5分）在平面直角坐标系中，动圆C ：（x -1）2+（y -1）2=r 2与直线y +1=m （x -2）（m ∈R ）相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）A ．55B ．50C ．45D ．4011．（5分）中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π=3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）12．（5分）某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25501555二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是y =200+40[t 20]，其中[t 20]表示不超过t20的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为（ ）13．（5分）如图，程序的循环次数为 次．14．（5分）已知椭圆x 281+y 225=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上存在点P 使得|PF 1|=2|PF 2|，则|PF 1|= ．15．（5分）2021年夏天由于用电量增多，某市政府鼓励居民节约用电，为了解居民用电情况，在某小区随机抽查了20户家庭的日用电量，结果如表：日用电量（度）45689户数44732则关于这20户家庭的日用电量，下列说法：①中位数是6度；②平均数是6度；③众数是6度；④极差是4度；⑤方差是52．其中说法错误的序号是 ．16．（5分）已知直线y =ax 与圆C ：x 2+y 2-6y +6=0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为 ．17．（10分）根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．（1）焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；（2）焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6．18．（12分）已知函数f （x ）=x 2+4x +p2+2，正数p 在集合M 上随机取值．（1）设M ={x ∈Z |0<x ≤5}，求方程f （x ）=0有实数根的概率；（2）设M ={x ∈R |0<x ≤5}，求f （x ）≥-1恒成立的概率．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计100 1.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．20．（12分）2015年我国将加快阶梯水价的推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本是指保证至少80%的居民用户用水价格不变，为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如图（单位：吨）．（1）从郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区与城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变，试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．21．（12分）已知集合A是函数y=lg（20-8x-x2）的定义域，集合B是不等式x2-2x+1-a2≥0（a>0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．（12分）设圆C1：(x−3)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−5)2+(y+4)2=25，（1）判断圆C1与圆C2的位置关系；（2）点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．。
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A. a >b >c
B.c>a>b
C. a>c>b
D.c>b>a
4.
函数f ( x) x
cos x在x
处的切线方程为
2
A.2x 4 y
0B.2x y 0
C.
4x y 1 0
D.
4x 2 y
0
5.
朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，
他所著的 《四元玉鉴》 卷中“如像招数”五问有如
下表述今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人， 每人日
河南省天一大联考2020届高三数学上学期阶段性测试试题（二）文
考生注意：
1.答题前， 考生务必将自己的姓名、 考生号填写在试卷和答题卡上， 并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
g( x)
f ( x)
3x
2x2
2
，其中
a为常数且
a
0，若函数
g( x)
在区间[1，
a
x
2]上为单调增函数，求实数
a的取值范围
63
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
36
11.已知菱形ABCD的边长为4,ABC600，E是BC的中点，DF2 AF,则AEBF
A.24B.-7C.-10D.-12
12.
已知函数f ( x)
x
4, x > 0
,若方程f ( x)
2m
0恰有三个不同的实数根，则
河南省天一大联考2019-2020学年高一上学期第二次阶段性测试数学试题 Word版含解析
天一大联考2019—2020学年高一年级阶段性测试（二）数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3M x x =<，{}2N x y x ==-，则RMN =（ ）A. {}23x x ≤≤B. {}23x x <≤C. {}23x x << D. {}23x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 【详解】集合{}2N x y x ==-,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2RN x x =>由交集运算可知{}{}{}3223RM N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<故选:C【点睛】本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题.2.直线1l ：2(1)40x m y -++=与直线2l ：20mx y +-=垂直，则m 的值为（ ） A. －1 B. 1C. 1或－1D. －2或－1【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线1l ：1110A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=得到方程，解得即可.【详解】解：直线1l ：2(1)40x m y -++=与直线2l ：20mx y +-=，若12l l ⊥，需2(1)0m m -+=，解得1m =.故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题..3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A.B.C. 54πD. 81π【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，根据侧面展开图的弧长与底面周长相同，求得底面半径，再由勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式计算可得. 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，则由题意可得12262r ππ=⨯⨯.所以3r =，所以圆锥的高h ==所以该圆锥的体积2133V π=⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查圆锥的体积及侧面展开图的计算，属于基础题.. 4.设21log a e =，11eb e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ）A. b a c >>B. c b a >>C. b c a >>D.c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题. 5.下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A. ()|1|f x x =+ B. ()1f x x x=+C. ()f x =D. ()4f x x -=【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误; 对于B,函数()1f x x x=+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误;对于C,()f x =,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误;对于D,()441f x x x-==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D 故选:D【点睛】本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题. 6.下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数 且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.7.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）A .若//αγ，//βγ，则//αβ B. 若m α⊥，m β⊥，则//αβ C. 若//m α，//n α，则//m n D. 若m α⊥，n α⊥，则//m n【答案】C 【解析】 【分析】根据线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理即可得解. 【详解】解：若//αγ，//βγ，则//αβ，故A 正确； 若m α⊥，m β⊥，一定有//αβ，故B 正确；若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交或者异面，故C 错误； 若m α⊥，n α⊥，则一定有//m n ，故D 正确. 故选：C【点睛】本题考查空间线面关系的判定和性质，属于基础题. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 12B. 822+C. 8D. 842+【答案】D 【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体截得的四棱锥S ABCD -，画出直观图，结合图形计算可得.【详解】解：由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体截得的四棱锥S ABCD -.如图所示224ABCDS∴=⨯=，221222222BCS DCS S S ∆∆==⨯⨯+=，122BSADSA ABCD S S S ∆∆===所以它的表面积为22842ABCD BCS SS ∆+=+.故选：D【点睛】本题考查空间几何体的三视图以及锥体的表面积计算，属于基础题.9.设直线0x y a ++=与圆C ：222410x y x y +-++=相交于P ，Q 两点.若CP PQ =，则实数a 的值为（ ） 616161C. 16+D. 1616【答案】D 【解析】 【分析】首先将圆的方程配成标准式，由CP PQ =则||2PQ =，即可求出圆心到直线的距离，再用点到线的距离公式计算可得.【详解】解：由222410x y x y +-++=，得22(1)(2)4x y -++=，所以圆心为(1,2)-，半径为2.因为CP PQ =所以||2PQ =，那么圆心(1,2)C -到直线0x y a ++=的距离为323⨯=， 即32d ==，所以16a =+或16-. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 10.如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SAC ，SAB ∆是边长为2的等边三角形，90ASC ∠=︒，23SC =，则直线BC 与平面SAC 所成角的正弦值为（ ）3 B.38C.14D.18【答案】A 【解析】 【分析】取SA 的中点为M ，连接MC ，MB ，由面面垂直的性质得到BM ⊥平面SAC ，即可得到BCM ∠就是直线BC 与平面SAC 所成的角，再由线面垂直的性质及判定定理可得SC ⊥平面SAB ，即可得到SC SB ⊥，最后由勾股定理及三角函数求得.【详解】解：取SA 的中点为M ，连接MC ，MB .因为SAB ∆是边长为2的等边三角形， 所以BM SA ⊥，且3BM =，BM ⊂平面SAB ， 又因平面SAB ⊥平面SAC ，平面SAB平面SAC SA =，所以BM ⊥平面SAC ，所以BCM ∠就是直线BC 与平面SAC 所成的角.又MC ⊂平面SAC ，可得BM MC ⊥.由BM ⊥平面SAC ，SC ⊂平面SAC 可得BM SC ⊥，又SC SA ⊥，SA ⊂平面SAB ，BM ⊂平面SAB ，BM SA M =所以SC ⊥平面SAB ， 因为SB ⊂平面SAB ， 所以SC SB ⊥.在Rt SBC ∆中，由23SC =，2SB =，可得224BC SC SB =+=. 在Rt MBC ∆中，3sin MB BCM BC ∠==.故选：A【点睛】本题考查直线与平面所成的角，线面垂直的判定及性质的应用，属于难题. 11.已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（ ）A. ()()21f b a f a >+-B. ()()21f b a f a <+-C. ()()21f b a f a =+-D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.【详解】因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||aa xb x b -=--所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞恒成立解得0b = 即()log ||a f x x =因为偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增所以由对数函数的图像与性质可知1a >而211a a +>-> 所以()()()21f a fa f a +>-=-故选:B【点睛】本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）A.823πB. 2πC. 43πD. 86π【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图画出直观图，将该四面体嵌入到一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球，再将其转化为长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，再根据球的体积公式计算可得.【详解】解：该几何体是一个四面体，画出其直观图，如图中的四面体ABCD .该四面体可以嵌入到一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球.该三棱柱的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，三棱柱的高为22的正方形，高为2的长方体中，从而求得其外接球半径为()()222122222r =++=，所以外接球体积348233V r π==.故选：A【点睛】本题考查三视图的还原和外接球问题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算：61log 022log 8lg 25lg 469.8+++=______.【答案】5 【解析】 【分析】根据指数的性质，对数的运算及对数的性质计算可得. 【详解】解：61log 022log8lg 25lg 469.8+++()3221log 2lg 25412=+⨯++ 3121522=+++=. 故答案为：5【点睛】本题考查指数、对数的运算，属于基础题.14.设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________. 【答案】0或2log 3 【解析】 【分析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 【详解】当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21xf x =-. 若()12f x =,即()41log 221x=-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心和垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线的交点）依次位于同一条直线上这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(1,2)B -，(3,4)C ，且AB AC =，则ABC ∆的欧拉线方程为______.【答案】250x y +-= 【解析】 【分析】依题意，在ABC ∆中，AB AC =，所以它的外心、重心和垂心都在BC 的中垂线上，则ABC ∆的欧拉线方程即为BC 的中垂线，首先求出BC 的中点，再求出BC k ，最后利用点斜式计算可得.【详解】解：由(1,2)B -，(3,4)C 可得BC 的中点坐标为(1,3)，再由4213(1)2BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为32(1)y x -=--，即250x y +-=.又因为ABC ∆中，AB AC =，所以它的外心、重心和垂心都在BC 的中垂线上，所以ABC ∆的欧拉线的方程为250x y +-=. 故答案为：250x y +-=【点睛】本题考查直线方程的求法及数学文化，属于基础题. 16.已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.【答案】(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==--- 当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C AB ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{}|10B x x A-<=≤；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 （Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得A B .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<.设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞,所以3(0,3]t ∈,所以{}|30}B y y =-<≤.所以{}|10B x x A -<=≤.（Ⅱ）由于()C AB ⊆, 若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩解得1223a ≤<. 综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题.18.已知函数()21log 1x x x f -=+. （Ⅰ）设()11x x x h -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数； （Ⅱ）若函数()()2x g x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<-【解析】【分析】（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x =-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,则()()212211h x h x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭ 122211x x =-++ ()()()2112211x x x x -=++. 因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12x x <,所以210x x ->,110x +>,210x +>,所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数.（Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞.由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增, 所以()()2x g x f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点, 所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-.【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.19.已知圆C 经过(2,1)A ，(0,3)B 两点，且圆心C 在直线2350x y -+=上.（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：3y x与圆C 相交于M ，N 两点，求CMN ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）22(2)(3)4-+-=x y （Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意得到方程组，解得即可.（Ⅱ）联立直线与圆的方程求出交点坐标，再根据面积公式计算可得.【详解】（Ⅰ）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.则圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由题意得520,930,350,2D E F E F E D ⎧⎪+++=⎪++=⎨⎪⎪-++=⎩解得4,6,9.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为224690x y x y +--+=，标准方程为22(2)(3)4-+-=x y . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆C 圆心为(2,3)C ，半径2r .联立223,(2)(3)4,y x x y =+⎧⎨-+-=⎩解得0,3x y =⎧⎨=⎩或2,5.x y =⎧⎨=⎩不妨设(0,3)M ，()2,5N .因为直线CM 的斜率为0，直线CN 的斜率不存在，所以CM CN ⊥. 所以211||||222CMN S CM CN r ∆===. 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点，点Q 是1CC 的中点.（Ⅰ）求证：平面1//QBD 平面PAC ；（Ⅱ）求点1B 到平面PAC 的距离.【答案】3【解析】【分析】（Ⅰ）首先证明1//QD 平面PAC ，再连接PQ ，可证//QB 平面PAC ，即可得证. （Ⅱ）连接1PB ，1CB ，由三角形的三边关系得到1PB PC ⊥，同理可证1PB PA ⊥，即可得到1PB ⊥平面PAC ，则点1B 到平面PAC 的距离即线段1PB 的长.【详解】解：（Ⅰ）由题意可得1//CQ PD ，且1CQ PD =，所以四边形1CQD P 是平行四边形. 所以1//QD CP ，又因为1QD ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC .所以1//QD 平面PAC .如图，连接PQ ，则//PQ AB ，且PQ AB =，所以四边形PQBA 是平行四边形， 所以//QB PA ，又因为QB ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC .所以//QB 平面PAC .而1QB QD Q =，且QB ⊂平面1QBD ，1QD ⊂平面1QBD ，所以平面1//QBD 平面PAC .（Ⅱ）如图，连接1PB ，1CB ，易得2PC =13PB =15BC =， 所以22211PC PB B C +=，所以1PB C ∆是直角三角形，且1PB PC ⊥.同理1PB PA ⊥.又PA PC P =，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以1PB ⊥平面PAC .所以点1B 到平面PAC 的距离即线段1PB 的长，所以点1B 到平面PAC 3.【点睛】本题考查空间平行关系的证明、点到平面距离的计算，属于中档题.21.某公司电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.（Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？【答案】（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式.（Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间.【详解】（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+；当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-.所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-,所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648. 当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+. 当10t =时,()g t 取得最大值1698. 当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t =时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题.22.已知圆1C ：22(3)4x y -+=，圆2C ：223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）设直线2y x =被圆1C 所截得的弦的中点为P ，判断点P 与圆2C 的位置关系； （Ⅱ）设圆2C 被圆1C 截得的一段圆弧（在圆1C 内部，含端点）为Ω，若直线l ：(4)y k x =-与圆弧Ω只有一个公共点，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）点P 在圆2C 上.（Ⅱ）77k -<<或34k =±. 【解析】【分析】（Ⅰ）将直线方程代入圆的方程，消去y ，得到2312100x x -+=，则124x x +=，从而得到P 的横坐标为2，再代入直线方程求出P 的坐标，即可判断点与圆2C 的位置关系；（2）设1C 和2C 的交点为A ，B ，直线l 恒过的定点为(4,0)Q ，求出两圆的交点坐标， 分直线l 与圆2C 相切时，与直线l 与圆弧Ω相交两种情况计算可得.【详解】解：（1）将y x =代入圆1C 的方程可得2312100x x -+=. 设此方程的两实根分别为1x ，2x ，则124x x +=.所以点P 的横坐标为2，从而可得(P .因为2239224⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点P 在圆2C 上. （Ⅱ）如图，因为直线l ：(4)y k x =-，400x y -=⎧⎨=⎩解得40x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过的定点为(4,0). 设1C 和2C 的交点为A ，B ，直线l 恒过的定点为(4,0)Q . 由2222(3)4,39,24x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得53x =，3y =±.所以525,33A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，525,33B⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.（ⅰ）当直线l与圆2C相切时.由22(4),39,24y k xx y=-⎧⎪⎨⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎩可得()()2222138160k x k x k+-++=.令()()2222386410k k k∆=+-+=，则34k=±.此时解得12553x=>，切点在圆弧Ω上，符合题意.（ⅱ）当直线l与圆弧Ω相交时，由图可知，要使交点只有一个，则l在QA和QB之间. 因为25253543QAk==-5253543QBk-==-，所以52577k-<<.综上所述，k的取值范围是252577k-<<或34k=±.【点睛】本题考查圆的方程与性质、圆与直线圆与圆的位置关系，属于中档题.。
2023-2024学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{1，m }，B ＝{2m ﹣2，1}，若A ＝B ，则实数m ＝（ ） A ．0B ．1C ．1或2D ．22．函数f(x)=√x −2+1x 2−1的定义域是（ ） A ．{x |x ≥2} B ．{x |0＜x ＜1或x ≥2} C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≠±1}3．已知命题“∀x ∈R ，x 2+2a ﹣1＞0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．(−∞，12]C ．(−12，1)D ．(12，+∞)4．“a ＞1”是“函数f （x ）＝a x ﹣a （a ＞0且a ≠1）的图象经过第三象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数f(x)=1|x|−x 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数f （x ）在区间（0，5）上单调递减，且f （x +5）＝f （﹣x +5），则（ ） A ．f （8）＞f （3）＞f （4） B ．f （3）＞f （8）＞f （4） C ．f （3）＞f （4）＞f （8） D ．f （4）＞f （3）＞f （8）7．已知函数f(x)=x 2+ax−3x是奇函数，且在区间[m ﹣1，m ]上的最大值为2，则m ＝（ ） A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．3或﹣18．已知函数f （x ）是三次函数且幂函数，g(x)=f(x)+2|x|+12|x|，则g （﹣2023）+g （﹣2022）+g （﹣2021）+…+g （0）+…+g （2021）+g （2022）+g （2023）＝（ ）A ．4047B ．8092C ．8094D ．9086二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＞c ，a +b ﹣c ＝0，则（ ） A ．a +2b ＞c +bB ．ab ＜bcC ．a +b ＞a ﹣bD ．a ﹣2b ＞c ﹣b10．已知函数f （x ）＝（a ﹣1）a x 是指数函数，函数g(x)={f(x)，x ≤0，4x −4，x ＞0，则（ ）A ．f （x ）是增函数B ．g （x ）是增函数C ．g （g （﹣2））＝﹣3D ．满足不等式f （x ）＞g （x ）的最小整数是111．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f(xy)=y 3f(x)+x 3f(y)，f(12)=18，则（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f （﹣2）＝8 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）为增函数12．已知函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x −2|，x ＞0且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列说法正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减B ．直线y ＝a （a ≥1）与f （x ）的图象总有3个不同的公共点C ．x 1+x 2＝﹣2D ．x 3+x 4＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝b x ﹣1+3（b ＞0且b ≠1）的图象过的定点坐标为 ．14．已知幂函数f （x ）满足f(4)f(2)=3，则f(18)= ．15．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m 与其游动速度v （单位：m /s ）的关系式为m ＝k •9v （k ＞0且k 为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m /s 时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m /s ，则其耗氧量至少为 个单位．16．已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣2x +2＜0的解集为（a ，b ）（b ＞a ），则4a +b 的最小值为 ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）已知5m ＝2，5n ＝3，求53m−2n2的值；（2）化简：4a 23b−13÷(−23a−13b−23)×16a−13b−13．18．（12分）已知函数f(x)=x−2x(x∈R+)．（1）用函数单调性的定义证明f（x）是增函数；（2）求不等式f(2x−22x)≥−1的解集．19．（12分）已知关于x的不等式2x2+（m﹣2）x﹣m＜0．（1）当m＞﹣2时，求该不等式的解集A；（2）在（1）的条件下，若集合B＝（m2+2m，m+2），且A∩B＝B，求m的取值范围．20．（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第x（x∈N*）天每件的销售价格M（单位：元）满足M(x)={x+80，1≤x≤20，−x+120，20＜x≤30，第x天的日销售量N（单位：千件）满足N(x)=a+bx，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件．（1）求N（x）的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第x天的日销售利润f（x）（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小．21．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x2﹣x﹣1．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）设函数h（x）＝f（x）+2ag（x）+3a﹣1（a＞0），若对任意的x1∈[1，√2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝h（x2）成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的图象可由函数y＝a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f（2）＝16．（1）求a的值；（2）若函数g(x)=f(x)f(x)+2，证明：g（x）+g（1﹣x）＝1；（3）若函数y1＝|f（x）+m|与y2＝|f（﹣x）+m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围．2023-2024学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，m}，B＝{2m﹣2，1}，若A＝B，则实数m＝（）A．0B．1C．1或2D．2解：由题意可知m＝2m﹣2，解得m＝2．故选：D．2．函数f(x)=√x−2+1x2−1的定义域是（）A．{x|x≥2}B．{x|0＜x＜1或x≥2}C．{x|x＞1}D．{x|x≠±1}解：对于函数f(x)=√x−2+1x2−1，则有{x−2≥0x2−1≠0，解得x≥2，所以，函数f(x)=√x−2+1x2−1的定义域为{x|x≥2}．故选：A．3．已知命题“∀x∈R，x2+2a﹣1＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．(0，12]B．(−∞，12]C．(−12，1)D．(12，+∞)解：由题可知命题“∃x∈R，x2+2a﹣1≤0”为真命题，则得：∃x∈R，使得x2≤1﹣2a，因为：x2≥0，故1﹣2a≥0，得：a≤12．故B项正确．故选：B．4．“a＞1”是“函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1）的图象经过第三象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对于函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（0）＝1﹣a＜0，结合指数函数y＝a x（a＞1）的图象特征，可知f（x）的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；对于函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1），当0＜a＜1时，f（0）＝1﹣a＞0且f（x）单调递减，此时它不经过第三象限，当a＞1时，f（x）为增函数且f（0）＝1﹣a＜0，经过第三象限，故a＞1符合题意，必要性成立．综上所述，“a ＞1”是“函数f （x ）＝a x ﹣a （a ＞0且a ≠1）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C ． 5．函数f(x)=1|x|−x 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．解：当x ＞0时，f （x ）=1x−x ， 因为y =1x 和y ＝﹣x 在（0，+∞）上单调递减， 所以f （x ）=1x−x 在（0，+∞）上单调递减，排除选项A ，B ，D ，只有选项C 符合题意． 故选：C ．6．已知函数f （x ）在区间（0，5）上单调递减，且f （x +5）＝f （﹣x +5），则（ ） A ．f （8）＞f （3）＞f （4） B ．f （3）＞f （8）＞f （4） C ．f （3）＞f （4）＞f （8）D ．f （4）＞f （3）＞f （8）解：因为f （x +5）＝f （﹣x +5），所以f （8）＝f （3+5）＝f （﹣3+5）＝f （2）．因为f （x ）在区间（0，5）上单调递减，所以f （2）＞f （3）＞f （4），即f （8）＞f （3）＞f （4）． 故选：A ． 7．已知函数f(x)=x 2+ax−3x是奇函数，且在区间[m ﹣1，m ]上的最大值为2，则m ＝（ ） A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．3或﹣1解：由题可知f （﹣x ）＝﹣f （x ），即x 2−ax−3−x=−x 2+ax−3x，则2ax ＝0，a ＝0，所以f(x)=x −3x ．因为f （x ）在区间[m ﹣1，m ]上单调递增，所以f(m)=m −3m =2，解得m ＝3或﹣1． 故选：D ．8．已知函数f （x ）是三次函数且幂函数，g(x)=f(x)+2|x|+12|x|，则g （﹣2023）+g （﹣2022）+g （﹣2021）+…+g（0）+…+g（2021）+g（2022）+g（2023）＝（）A．4047B．8092C．8094D．9086解：因为f（x）是三次函数且是幂函数，所以f（x）＝x3，所以g(x)=x3+2|x|+12|x|=x32|x|+2．令ℎ(x)=g(x)−2=x32|x|，ℎ(−x)=g(−x)−2=(−x)32|−x|=−x32|x|=−ℎ(x)，则h（x）是奇函数，所以g（﹣2023）+g（﹣2022）+g（﹣2021）+⋯+g（0）+⋯+g（2021）+g（2022）+g（2023）＝h（﹣2023）+h（﹣2022）+h（﹣2021）+⋯+h（0）+⋯+h（2021）+h（2022）+h（2023）+4047×2＝[h（﹣2023）+h（2023）]+[h（﹣2022）+h（2022）]+[h（﹣2021）+h（2021）]+⋯+[h（﹣1）+h（1）]+h （0）+8094＝8094．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a＞c，a+b﹣c＝0，则（）A．a+2b＞c+b B．ab＜bc C．a+b＞a﹣b D．a﹣2b＞c﹣b解：由a+2b＞c+b可知a+b﹣c＞0，与已知矛盾，所以A错误；由题可知b＝c﹣a＜0，则ab＜bc，所以B正确；a+b＞a﹣b等价于b＞0，与b＜0矛盾，所以C错误；a﹣2b＞c﹣b等价于a﹣c﹣b＞0，因为a＞c，所以a﹣c＞0，且﹣b＞0，所以a﹣c﹣b＞0，所以D正确．故选：BD．10．已知函数f（x）＝（a﹣1）a x是指数函数，函数g(x)={f(x)，x≤0，4x−4，x＞0，则（）A．f（x）是增函数B．g（x）是增函数C．g（g（﹣2））＝﹣3D．满足不等式f（x）＞g（x）的最小整数是1解：由题可知a﹣1＝1，解得a＝2，则f（x）是增函数，所以A正确；g(x)={2x，x≤0，4x−4，x＞0，当x＝0时，2x＝20＝1，4x﹣4＝﹣4，1＞﹣4，所以g（x）不是增函数，所以B错误；g(−2)=2−2=14，g(14)=4×14−4=−3，所以C 正确；由题易知只需考虑x ＞0的情况，将x ＝1代入可得不等式f （x ）＞g （x ）成立，所以最小整数是1，所以D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f(xy)=y 3f(x)+x 3f(y)，f(12)=18，则（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f （﹣2）＝8 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）为增函数解：根据题意，依次分析选项：对于A ，对于f （xy ）＝y 3f （x ）+x 3f （y ），令x ＝y ＝1可得：f （1）＝f （1）+f （1），即f （1）＝0， 函数f （x ）＝x 3不满足f （1）＝0，A 错误；对于B ，对于f （xy ）＝y 3f （x ）+x 3f （y ），令x ＝y ＝﹣1可得：f （1）＝f （﹣1）+f （﹣1）＝2f （﹣1）， 又由f （1）＝0，则f （﹣1）＝0，再令x ＝﹣2，y =12，有f （﹣1）=18f （﹣2）﹣8f （12），又由f （12）=18，变形可得f （﹣2）＝8，B 正确；对于C ，令y ＝﹣1，有f （﹣x ）＝﹣f （x ）+x 3f （﹣1），则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）为奇函数，C 正确；对于D ，由于f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）不是增函数，D 错误． 故选：BC ．12．已知函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x−2|，x ＞0且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列说法正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减B ．直线y ＝a （a ≥1）与f （x ）的图象总有3个不同的公共点C ．x 1+x 2＝﹣2D ．x 3+x 4＜2解：画出函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x−2|，x ＞0的大致图象，如图所示，A 选项，由图可知f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减，所以A 正确；B 选项，由图可知，当a ＝1时，直线y ＝a 与f （x ）的图象有3个不同的公共点， 当a ＞1时，直线y ＝a 与f （x ）的图象有2个不同的公共点，所以B 错误； CD 选项，令f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）＝b （0＜b ＜1），可得直线y ＝b 与f （x ）的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4， 由图可知x 1+x 2＝﹣2，2−2x 3=2x 4−2，由基本不等式得，2x 3+2x 4=4≥2√2x 3⋅2x 4=2√2x 3+x 4， 所以x 3+x 4≤2，因为x 3＜x 4，所以x 3+x 4＜2，所以C ，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝b x ﹣1+3（b ＞0且b ≠1）的图象过的定点坐标为 （1，4） ．解：当x ﹣1＝0时，即x ＝1，f （1）＝b 0+3＝4，故f （x ）的图像恒过点（1，4）． 故答案为：（1，4）． 14．已知幂函数f （x ）满足f(4)f(2)=3，则f(18)=127．解：设幂函数f （x ）＝x α，α∈R ， 则f(4)f(2)=4α2α=2α=3，所以f(18)=(18)α=1(2α)3=127． 故答案为：127．15．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m 与其游动速度v （单位：m /s ）的关系式为m ＝k •9v （k ＞0且k 为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m /s 时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m /s ，则其耗氧量至少为 2700 个单位．解：由题可知8100＝k •92，解得k ＝100，当v ≥1.5时，m ≥100•91.5＝2700． 故答案为：2700．16．已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣2x +2＜0的解集为（a ，b ）（b ＞a ），则4a +b 的最小值为 9 ． 解：由题可知a ，b 是关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +2＝0的实数根，且k ＞0， 则{a +b =2k ab =2k ，所以a +b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，所以1a +1b =1， 所以4a +b =(4a +b)(1a+1b)=1+4+b a+4a b ≥5+2√b a ⋅4a b=9， 当且仅当b ＝2a ，即a =32，b ＝3时取等号． 故答案为：9．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）已知5m＝2，5n＝3，求53m−2n2的值；（2）化简：4a 23b −13÷(−23a −13b −23)×16a −13b −13． 解：（1）因为5m ＝2，5n ＝3，所以53m−2n2=53m 2−n=(5m )325n=2323=√83=2√23；（2）4a 23b −13÷(−23a −13b −23)×16a −13b −13=4a 23b −13×(−32a 13b 23)×16a −13b −13=4×(−32)×16a 23+13−13b 23−13−13 =−a 23．18．（12分）已知函数f(x)=x −2x(x ∈R +)． （1）用函数单调性的定义证明f （x ）是增函数； （2）求不等式f(2x −22x )≥−1的解集． 证明：（1）设∀x 1，x 2∈R +且x 1＞x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−2x 1)−(x 2−2x 2)=x 1−x 2+2x 2−2x 1=(x 1−x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(1+2x 1x 2)， 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1﹣x 2＞0，1+2x 1x 2＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增； （2）由（1）知f （x ）是增函数，f （1）＝﹣1， 所以不等式f(2x −22x )≥−1=f(1)转化为2x−22x ≥1， 化简得（2x ）2﹣2x ﹣2≥0，即（2x ﹣2）（2x +1）≥0，解得x ≥1， 所以不等式的解集为[1，+∞）．19．（12分）已知关于x 的不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0． （1）当m ＞﹣2时，求该不等式的解集A ；（2）在（1）的条件下，若集合B ＝（m 2+2m ，m +2），且A ∩B ＝B ，求m 的取值范围． 解：（1）将不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0变形， 可得（x ﹣1）（2x +m ）＜0， 因为m ＞﹣2， 所以−m2＜1， 所以不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0的解集A =(−m2，1)； （2）由题可知B ⊆A ，所以{m 2+2m ＜m +2m 2+2m ≥−m 2m +2≤1，结合m ＞﹣2，解得m ∈∅，故m 的取值范围为∅（满足条件的m 不存在）．20．（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第x （x ∈N *）天每件的销售价格M （单位：元）满足M(x)={x +80，1≤x ≤20，−x +120，20＜x ≤30，第x 天的日销售量N （单位：千件）满足N(x)=a +bx，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件． （1）求N （x ）的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第x 天的日销售利润f （x ）（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小． 解：（1）由题可知{a +b2=13a +b 3=12，解得{a =10b =6．所以N(x)=10+6x (1≤x ≤30，x ∈N ∗)．（2）由题可得每件该产品的销售利润为P(x)={x +60，1≤x ≤20−x +100，20＜x ≤30， 所以第x 天的日销售利润f(x)=N(x)⋅P(x)={(10+6x )(x +60)，1≤x ≤20(10+6x )(−x +100)，20＜x ≤30， 即f(x)={10x +360x +606，1≤x ≤20−10x +600x +994，20＜x ≤30， 当1≤x ≤20时，f(x)=10x +360x +606≥2√10x ⋅360x +606=726，当且仅当10x =360x，即x ＝6时等号成立， 当20＜x ≤30时，f(x)=−10x +600x +994为减函数，所以f （x ）min ＝f （30）＝714＜726．故当x ＝30时，f （x ）取得最小值714，即开幕式后的第30天的日销售利润最小．21．（12分）已知函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x ﹣1．（1）求f （x ），g （x ）的解析式；（2）设函数h （x ）＝f （x ）+2ag （x ）+3a ﹣1（a ＞0），若对任意的x 1∈[1，√2]，总存在x 2∈[﹣1，1]，使得f （x 1）＝h （x 2）成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ），g （x ）分别是偶函数和奇函数，f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x ﹣1①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝x 2+x ﹣1，即f （x ）﹣g （x ）＝x 2+x ﹣1②，①﹣②可得2g （x ）＝﹣2x ，即g （x ）＝﹣x ，①+②可得2f （x ）＝2x 2﹣2，即f （x ）＝x 2﹣1．所以f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝﹣x ；（2）由（1）可知h （x ）＝x 2﹣2ax +3a ﹣2，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，又容易得f （x ）＝x 2﹣1在区间[1，√2]上的值域为[0，1]，由题可知，f （x ）的值域[0，1]是h （x ）在区间[﹣1，1]上值域的子集．当0＜a ＜1时，h （x ）在区间[﹣1，a ]上单调递减，在区间[a ，1]上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(a)=−a 2+3a −2，h （x ）max ＝h （﹣1）＝5a ﹣1．所以{−a 2+3a −2≤05a −1≥1，得25≤a ＜1．当a ≥1时，h （x ）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以h （x ）min ＝h （1）＝a ﹣1，h （x ）max ＝h （﹣1）＝5a ﹣1．所以{a −1≤05a −1≥1，得a ＝1， 所以实数a 的取值范围是[25，1]．22．（12分）已知函数f （x ）的图象可由函数y ＝a x ﹣1+2（a ＞0且a ≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f （2）＝16．（1）求a 的值；（2）若函数g(x)=f(x)f(x)+2，证明：g （x ）+g （1﹣x ）＝1； （3）若函数y 1＝|f （x ）+m |与y 2＝|f （﹣x ）+m |在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m 的取值范围．（1）解：函数y ＝a x ﹣1+2的图象向下平移2个单位长度后得到y ＝a x ﹣1的图象，再向左平移1个单位长度得到y ＝a x 的图象，所以f （x ）＝a x ，因为f （2）＝a 2＝16，所以a ＝4（负值舍去）．（2）证明：由（1）可知f （x ）＝4x ，所以g(x)=4x4x +2， 所以g(x)+g(1−x)=4x 4x +2+41−x 41−x +2=4x 4x +2+44x 44x +2=4x 4x +2+44+2×4x =4x +24x +2=1． （3）解：由（1）可知y 1=|4x +m|，y 2=|4−x +m|，若两函数在区间[1，2]上都是增函数，则{4x +m ≥0(14)x +m ≤0在区间[1，2]上恒成立， 所以{4+m ≥014+m ≤0，解得−4≤m ≤−14； 若两函数在区间[1，2]上都是减函数，则{4x +m ≤0(14)x +m ≥0在区间[1，2]上恒成立， 所以{16+m ≤0116+m ≥0，该不等式组无解， 综上，实数m 的取值范围是[−4，−14]．。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题
“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=的最大值为（）A.8B. C. D.2+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π9B.1750π9C.π3D.5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c c c>∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为10.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan32θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则的最大值为（）A.8B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)m n =+++≥，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，==≤的最大值为故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π9B.1750π9C.π3D.【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r ，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,ab c >∈R ，则22ac bc > B.若22,a b c c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a，214a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a ，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为2()43n ⨯，则121(34)()43n nn n aSS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P图形的面积21413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒33x -<<，由()0f x '>⇒3x <-或3x >.所以函数()f x 在,3⎛-∞-⎝⎭和,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即32033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯ =，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xa x+≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取(1,1,1)n =- .所以cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为5，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为5.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111k x k f x x x --'=+=--，当0k<时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y k t k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kty x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k kt ty k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340BT X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4BT X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。
天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)(老教材版)理科数学试题(含答案)
试卷类型：老教材版2024届高中毕业班第二次考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 35i z -=+，则z 的共轭复数z =（）A ．44i+B ．44i-C ．14i-+D ．14i--2．已知集合{}{}21log 3,25A x x B x x x *=∈≤<=<≥N 或，则()A B =R ð（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,53．已知向量()()()3,4,2,,2,1a b m c =-=-= ，若()a b c +⊥，则m =（）A ．2-B ．2C ．6-D ．64．设函数()21f x x =+，数列{}n a ，{}n b 满足()(),n n a f n f b n ==，则2a =（）A ．7b B ．9b C ．11b D ．13b 5．记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且12334S S S bc --=，则A =（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为()01p p <<，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为()01q q <<，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（）A ．()21p q-B ．()21p q -C ．()21p q -D ．()21p q -7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）A ．144B ．120C ．108D ．968．函数()21log xf x x-=的单调递增区间为（）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭c ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥SO 和圆柱1OO 组合而成，点,M N在圆锥SO 的底面圆周上，且SMN △74MSN ∠=，圆锥SO 的侧面积为，圆柱1OO 的母线长为3，则该几何体的体积为（）A ．403πB ．443πC ．523πD ．563π10．已知函数()sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上除顶点外的一点，123PF PF =，且1260F PF ∠>︒，则C 的离心率的取值范围是（）A ．7,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．)12．已知01a <<，若函数()ln e x f x a a x =-有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆2221(3)9x y m m+=>的离心率为12，则m =______．14．已知,x y 满足约束条件30,35030,x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______．15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==，平面α与棱1111,,,AA BB CC DD 分别交于点,,,M E N F ，其中,E F 分别是11,BB DD 的中点，且1AC ME ⊥，则1A M =______．16．已知0,,,222x y πππ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()tan tan 4sin2x y x y x ++-=，则cos cos x y 的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的22⨯列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400（Ⅰ）是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记X 为抽取的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0100k 2.7063.8416.63518．（12分）如图，矩形ABCF 与梯形FCDE 所在的平面垂直，,,1DE CF EF FC AF EF DE ⊥===∥，2,AB P =为AB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EPF ⊥平面DPC ；（Ⅱ）求二面角B CD P --的余弦值．19．（12分）在数列{}n a 中，已知()112242,4n n a a n n a -=-+≥=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}24n nn a ⋅-的前n 项和．20．（12分）已知()4,4M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 为C 的焦点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求MOF △的面积；（Ⅱ）若,A B 为C 上的两个动点，直线MA 与MB 的斜率之积恒等于2-，作,MN AB N ⊥为垂足，证明：存在定点Q ，使得NQ 为定值．21．（12分）已知函数()e x f x x =．（Ⅰ）若存在唯一的负整数0x ，使得()()001f x m x <-，求m 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，当()1,x ∈-+∞时，()()213ln 8a x af x ++≥，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，已知直线2cos ,:sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴交于点P ，与y轴正半轴交于点Q ，且OPQ △的面积为233．（Ⅰ）求α；（Ⅱ）若l 与曲线22:1C x y -=交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x x a x b =++-．（Ⅰ）当2,3a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集；（Ⅱ）设0,1a b >>，若()f x 的最小值为2，求111a b +-的最小值．理科数学（老教材版）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案D命题意图本题考查复数的基本概念和运算．解析35i14i 1iz +==-+-，故14i z =--．2．答案C命题意图本题考查集合的运算．解析因为{}{}[)*2R 1log 32,3,4,5,6,7,2,5A x x B =∈≤<==N ð，所以(){}R 2,3,4A B = ð．3．答案B命题意图本题考查平面向量的数量积．解析()1,4a b m +=- ，因为()a b c +⊥，所以240m +-=，得2m =．4．答案C命题意图本题考查数列的概念与性质．解析由题意知()121,12n n a n b n =+=-，可知2115a b ==．5．答案C命题意图本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．解析由题意得222123,,444S a S b S c ===，则2221234444S S S a b c bc --=--=，所以222a b c bc --=，故2221cos 22b c a A bc +-==-，又0A π<<，所以23A π=．6．答案A 命题意图本题考查概率的计算．解析未患病者的诊断结果为阴性的概率为1p -，患病者的诊断结果为阴性的概率为q ，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为()21p q -．7．答案A 命题意图本题考查排列与组合的应用．解析先排数字2，3，5，8，有44A 种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为()4433144A ⨯+=．命题意图本题考查函数的单调性．解析由10x x ->，得01x <<，所以()f x 的定义域为()0,1．设()2211log log 1x g x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，易得()g x 在()0,1上单调递减．当11x x ->，即102x <<时，()0g x >，此时()()f x g x =单调递减，当101x x -<<，即112x <<时，()0g x <，此时()()f x g x =-单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．9．答案B命题意图本题考查圆柱与圆锥的结构特征．解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则SMN △的面积为117sin 224SM SN MSN l l ⨯∠=⨯⨯=解得l =因为圆锥SO的侧面积为rl r π==，所以2,2r SO ===．故该几何体的体积为144434233V V V πππ=+=⨯+⨯⨯=圆柱圆锥．10．答案D命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析令()0f x =，得sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又222333x x πππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只能是()2233x x k k πππ⎛⎫⎛⎫++-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，得()4k x k π=∈Z ，在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有,0,44ππ-共3个零点．11．答案A 命题意图本题考查双曲线的性质．解析设2112(0),3,PF m m PF m F PF θ=>=∠=，显然60180θ︒<<︒，则12F F ===，所以C 的离心率12122106cos 22F F c c e a a PF PF ====-．由于60180θ︒<<︒，所以1cos 1,2θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2的取值范围是,22⎛⎫⎪⎝⎭．命题意图本题考查函数的零点、导数的几何意义．解析()f x 有两个不同的零点，等价于曲线ln x y a a =与e y x =有两个不同的交点，当0x >时，ln 0,e 0x a a x <>，二者不可能有交点，只需考虑0x <时的情况．设()ln x g x a a =，若1ea =，则()1e xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知曲线1e xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与直线e y x =在点()1,e --处相切；若10e a <<，当0x <时，1,ln 1e xxa a ⎛⎫><- ⎪⎝⎭，所以1ln e xx xa a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以曲线()y g x =与直线e y x =没有交点；若11e a <<，则1e,ln 1a a <>-，所以()ln 11e a g a a-=>->-，曲线()y g x =与直线e y x =有两个交点．综上可得，满足条件的a 的取值范围是1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查椭圆的性质．解析因为3m >，所以912m m =，解得m =14．答案3-命题意图本题考查简单的线性规划问题．解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线20x y z +-=过点()3,0-时z 取得最小值，且min 303z =-+=-．15．答案3命题意图本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．解析因为平面α经过棱11,BB DD 的中点，所以四边形MENF 为菱形，且易证1A C EF ⊥．又因为1AC ME ⊥，所以1AC ⊥平面MENF ，所以1AC MN ⊥，且MN 经过1A C 的中点．在矩形11A ACC 中利用三角形相似可计算得13A M =．16．答案12命题意图本题考查三角恒等变换的应用．解析由题意知()()()()()()()()()()sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-+-++=+-+-()()sin 24sin 2cos cos xx x y x y ==+-，由题意知sin20x ≠，因此()()1cos cos 4x y x y +-=．所以()()11cos cos cos cos 22x y x y x y =++-≥=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()()1cos cos 2x y x y +=-=，即,03x y π==时等号成立．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．解析（Ⅰ）因为22400(1604080120)2003.17524016028012063K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.175 3.841<，所以没有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（Ⅱ）选出的男性人数为16052400⨯=，选出的女性人数为24053400⨯=，由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21122233222555C 1C C 3C 30,1,2C 10C 5C 10P X P X P X =========，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．18．命题意图本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．解析（Ⅰ）因为EF FC ⊥，平面EFCD ⊥平面ABCF ，所以EF⊥平面ABCF ，又因为PC ⊂平面ABCF ，所以EF PC ⊥．在矩形ABCF 中，1,2,AF AB P ==为AB 的中点，所以2FP CP FC ===，根据勾股定理可得FP PC ⊥．因为EF FP F = ，所以PC ⊥平面EPF ，所以平面EPF⊥平面DPC ．（Ⅱ）以F 为坐标原点，,,FA FC FE 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,0D C B P ．所以()()()0,1,1,1,0,1,1,1,1DC DP DB =-=-=-．设平面DPC 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y z x z -=⎧⎨-=⎩令1y =，则()1,1,1n =．同理可得平面BCD 的一个法向量为()0,1,1m =．设二面角B CD P --的平面角为θ，故cos 3m n m nθ⋅=== ，即二面角B CD P --的余弦值为3．19．命题意图本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．解析（Ⅰ）因为()12242n n a a n n -=-+≥，所以()()122212n n a n a n n --=--≥⎡⎤⎣⎦．所以{}2n a n -是首项为2，公比为2的等比数列．所以22nn a n -=，即22nn a n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1242n n n n a n +⋅-=⋅．设前n 项和为n T ，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，345221222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减可得()223412221222222212n n n n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-()222242124n n n n n +++=--⨯=--，所以()2124n n T n +=-+．20．命题意图本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）由题可得168p =，解得2p =，所以()110,1,14222MOF M F S OF y ==⨯⨯=△．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C 的方程为24y x =．由题意可知直线AB 不与x 轴平行，设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my b A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则124y y ≠±．联立方程得2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩整理可得2440y my b --=，则2Δ16160m b =+>，且124y y m +=①，124y y b =-②．121144444MA y k y y -==+-，同理可得244MB k y =+．由题意得1244244MA MB k k y y ⨯=⨯=-++，即()12124240y y y y +++=，将①②代入可得164240m b -+=，即46b m =+．故直线AB 的方程可化为46x my m =++，即()64x m y -=+，直线AB 过定点()6,4D -．因为MN AB ⊥于点N ，所以点N 在以MD 为直径的圆上，故存在MD 的中点Q ，即()5,0Q ，使得2MD NQ ==，为定值．21．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ）()()1e x f x x +'=，可得()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．令()()1h x m x =-，作出()f x 与()h x 的大致图象如图所示，因为存在唯一的负整数0x ，使得()()00f x h x <，则01x =-，故()()()()11,22,f h f h ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩即2213e2e m ≤<，故m 的取值范围为221,3e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）根据题意，()()213ln 8a x af x ++≥对()1,x ∈-+∞恒成立，等价于()e ln 12ln 3ln23x ax x a -+≥--对()1,x ∈-+∞恒成立．令()()e ln 1,1x F x ax x x =-+>-，则有()()1e e 1x x F x a x x =+-+'，令()()()1e e ,11x x G x F x a x x x =-+'=+>-，则()()212e 0(1)x G x a x x =++>+'，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增，又1x →-时，(),F x x →-∞'→+∞时，()F x '→+∞，从而存在唯一的()01,x ∈-+∞，使得()00F x '=，即()00001e e 01x x a x x +-=+，可得()()000201,ln 2ln 11e x a a x x x ==-+-+，当()01,x x ∈-时，()()0,F x F x '<在()01,x -上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,F x F x '>在()0,x +∞上单调递增，故()()()0000e ln 1x F x F x ax x ≥=-+，故原不等式恒成立只需()()()00000020e ln 122ln 13ln231e x x x x x x x ⋅-+≥-+---⎡⎤⎣⎦+，即()()000203ln 123ln2301x x x x +++++≥+．构造函数()()23ln 123ln23,1(1)x H x x x x x =+++++>-+，可得()2331335422(1)1(1)x x x H x x x x -++=++=+'+++，当1x >-时，令()2354u x x x =++，因为Δ2548230=-=-<，从而可得()0H x '>在()1,x ∈-+∞时恒成立，又102H ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()0H x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．又因为()00ln 2ln 1a x x =-+-，令()()2ln 1v x x x =-+-，易得()v x 在定义域内单调递减，所以111ln 2ln 1ln4222a ⎛⎫≤--++=+ ⎪⎝⎭，所以1ln42e a ≤=故a的取值范围为(．22．命题意图本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．解析（Ⅰ）由l 的参数方程可知()2,0P -，由题意知11232223OPQ S OP OQ OQ ==⨯=△，所以233OQ =，即230,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以l 的斜率为()23033023-=--，所以6πα=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2,2:12x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221x y -=，得到260t -+=．设,A B 对应的参数分别为12,t t，则121260t t t t +==>，故121211233t t PA PB t t ++==．23．命题意图本题考查绝对值不等式的解法及性质．解析（Ⅰ）将2,3a b ==代入()6f x ≥，得236x x ++-≥，等价于2,126,x x ≤-⎧⎨-≥⎩或23,56,x -<<⎧⎨≥⎩或3,216,x x ≥⎧⎨-≥⎩得52x ≤-或无解或72x ≥．所以不等式()6f x ≥的解集为57,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．（Ⅱ）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+，因为()f x 的最小值为2，且0,1a b >>，所以2a b +=．()1111111a b a b a b ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭12241b a a b -=++≥+=-，当且仅当11b a a b -=-，即1a b =-，也即13,22a b ==时取等号，所以111a b +-的最小值为4．。
2023届河南省天一大联考数学高一上期末监测试题含解析
（3）令 ，转化为存在 使得 成立，结合函数 的单调性，求得函数 最小值，即可求解.
【详解】（1）令 ，因为 ，则 ，
函数 化为 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取到最小值为 ，当 时， 取到最大值为5，
【详解】 ，令A＝{x|－2≤x≤10}；
令B＝ ，
p是q的必要不充分条件，
∴BA，
①B＝ 时，1－a＞1＋a，即a＜0；
②B≠ 时， 且1－a＝－2和1＋a＝10不同时成立，解得0≤a≤3；
综上，a≤3﹒
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．“ ”是“ ”的条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
2．若一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. B.0
C. D.2
解得 ， ，
所以 的单调增区间为 ，
【小问2详解】
选择条件①：
令 ，
因为 ，
所以
所以
所以 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值
所以当 时， 取得最大值
选择条件②：
令 ，
因为 ，
所以
所以当 时，即 时， 取得最大值
22、(－∞，3]
【解析】求解不等式 ，令A＝{x| }；令B＝{x| }；由题可知BA，根据集合的包含关系求解即可.
∴ ，
解得，k＝﹣1，m＝﹣1，
故m+k＝﹣2，
故选：C
2023-2024学年河南省商丘市天一大联考高一(上)段考数学试卷(一)+答案解析(附后)
2023-2024学年河南省商丘市天一大联考高一（上）段考数学试卷（一）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知集合，若，则满足条件的集合B的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.4.下列命题是真命题的是( )A. B. ，C. ，D. ，5.已知p：，q：关于x的不等式的解集为R，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件6.若，则的最小值为( )A. 2B.C.D.7.已知集合，若，则实数a的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )A.B.C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为9.已知集合，则下列关系正确的是( )A. B. C. D.10.已知，，则下列关系正确的是( )A. B. C. D.11.下列说法正确的是( )A. 命题p：，使得，则p的否定：，B. 命题p：，，则p的否定：，C. 命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题D. 命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题12.已知关于x的方程，则下列结论正确的是( )A. 方程有一正一负两个实数根的充要条件是B. 方程有两个不相等的正实数根的充要条件是C. 方程无实数根的一个充分条件是D. 当时，方程的两实数根之和为113.不等式的解集为______ .14.已知集合，，且，则实数a的最大值为______ .15.若命题“，”是假命题，则实数m的最小值是______ .16.已知a，b为正实数，且满足，若存在a，b使不等式成立，则实数k的取值范围是______ .17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断否定的真假.对任意，；存在，18.已知命题p：“，”，命题q：“，”，若p是真命题，q是假命题，求实数m的取值范围.19.已知集合，若，求；若中有且仅有一个元素，求实数m的值.20.已知集合，若，求a的取值范围；若是的充分不必要条件，求a的取值范围.21.某人投资180万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本.该海水养殖场从第几年起开始盈利总利润为正？该海水养殖场总利润达到最大时是第几年？请求出总利润的最大值.该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年？请求出年平均利润的最大值注：总利润=销售总收入-经营成本-投资费用22.已知关于x的方程其中m，p，q均为实数有两个不等实根，若，求m的取值范围；若，为两个整数根，p为整数，且，求，；若，满足，且，求p的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，则故选：根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．本题考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由，得，所以，又，则集合B可以为，或，故有3个．故选：求得集合，根据真子集的概念即可得出集合B的个数．本题考查真子集的概念，属基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，，所以，又因为，所以故选：根据补集的概念与交集的运算，求解即可．本题考查了补集的概念与交集的运算问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，，当时，，该命题为假命题；对于B，因为，所以是无理数，该命题为假命题；对于C，是非负整数，也即自然数，所以该命题是真命题；对于D，因为，所以方程没有实数解，该命题为假命题．故选：结合绝对值的代数意义检验选项A；结合数的分类检验选项BC；结合二次方程根的存在条件检验选项本题考查量词及命题的真假关系的判断，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：p：，即p：，因为关于x的不等式的解集为R，所以，即，解得，因为可以推出，而推不出，所以p是q的充分不必要条件．故选：先求出p，q中m的取值范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断．本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为故选：化，利用基本不等式求最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意得，即，解得，因为，所以，而，故故选：由已知结合集合相等条件即可求解．本题考查集合相等以及集合中元素的特性．8.【答案】C【解析】解：由已知可得，3是关于x的一元二次方程的两根，且，由根与系数的关系可得，所以，，故A错误；因为，所以，故B错误；因为，所以不等式可化为，而，所以，故C正确；不等式可化为，即，解得或，故D错误．故选：由题意可得，3是关于x的一元二次方程的两根，且，再利用韦达定理，以及一元二次不等式的解法求解即可．本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．9.【答案】ABC【解析】解：集合A中有两个元素：0和，则A，B正确，D错误；是任何非空集合的真子集，故C正确．故选：根据元素与集合，集合与集合的关系逐一检验选项即可．本题考查元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A，不妨设，，满足，，但，故A错误；由，得，故B正确；，因为，，，，所以，故C正确；，因为，，，，所以，故D正确．故选：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题考查不等式的基本性质，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：对于A，“，使得”的否定为“，”，故A 正确；对于B，命题p：，，故p的否定为“，”，故B错误；对于C，原命题的否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不在同一个圆上”，为真命题，故C错误；对于D，对于两个等底等高的三角形，它们面积相等但不全等，故原命题为真命题，其否定为假命题，故D 正确．故选：根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由题意得，解得，故A正确．对于B，由题意得，解得，故B正确．对于C，若方程无实数根，则，解得，故该条件的一个充分条件可以是，故C正确；对于D，当时，，方程无实数根，故D错误．故选：由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，得出结论．本题考查解一元二次方程和充要条件，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由可得，解得故答案为：利用移项通分化简可求．本题考查解分式不等式的求解，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意得因为，所以，解得，故a的最大值为故答案为：求出集合A的补集，根据已知包含关系列不等式，可得实数a的最大值．本题考查集合间的关系及集合的运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为命题，是假命题，所以命题，是真命题，当时，，所以，即m的最小值是故答案为：题意得，是真命题，然后结合含有量词的命题的真假关系与最值关系的转化即可求解．本题考查量词和命题的真假判断．16.【答案】或【解析】解：因为a，b为正实数，且满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立．因为存在a，b使成立，故只需，即，解得或故答案为：或利用基本不等式求的最小值，再解一元二次不等式，从而求得k的取值范围．此题考查了基本不等式求最值问题，考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：对任意，为全称量词命题．其否定为：存在，，由方程可得，所以对任意，为假命题，故否定为真命题．存在，为存在量词命题．其否定为：对任意，，因为，所以对任意，，故否定为真命题．【解析】根据全称命题和命题否定的定义，并判断真假，即可求解；根据特称命题和命题否定的定义，并判断真假，即可求解；本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．18.【答案】解：根据题意，命题p：“，”，命题q：“，”，若p为真命题，即恒成立，又由，则有，故要使恒成立，则须若q是假命题，所以q的否定为真命题，即命题“，使得”为真命题，故有实根，所以，解得或综上，实数m的取值范围为【解析】根据题意，分析命题p是真命题，q是假命题时m的取值范围，综合可得答案．本题考查命题的真假判断，涉及存在量词命题和全称量词命题的定义，属于基础题．19.【答案】解：已知集合，当时，，联立消去y得，解得或当时，；当时，故联立，得，因为中有且仅有一个元素，所以方程有唯一解．可以分两种情况考虑：①当时，方程只有一个根，符合题意；②当时，方程有两个相等的实数根，即，从而可得，解得，故实数或【解析】联立求解即可；联立，得，因为中有且仅有一个元素，所以方程有唯一解，然后求解即可．本题考查集合的运算，重点考查了解方程，属中档题．20.【答案】解：，，，或，当时，，集得，当时，，且或，解得或，实数a的取值范围是或；由是的充分不必要条件，得，即，由知，又，，解得，故实数a的取值范围为【解析】先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；由题意可知，即，列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于中档题．21.【答案】解：设第x年时，该海水养殖场的总利润为y万元，由题意可得，令，得，解得因为，所以该海水养殖场从第3年起开始盈利；，所以当，y取得最大值320，即第10年时，总利润达到最大，最大值为320万元；设年平均利润为W万元，则，当且仅当，即时等号成立，所以第6年时，年平均利润达到最大，最大值为40万元．【解析】设第x年时，该海水养殖场的总利润为y万元，由题意可得，解出x的范围即可；利用二次函数的性质求解；利用基本不等式求解．本题主要考查了函数的实际应用，考查了一元二次不等式和基本不等式的应用，属于中档题．第11页，共11页22.【答案】解：当，原方程为，由于该方程有两个不等实根，故有，解得，故实数m 的取值范围为将代入方程，可得，再根据，且，解得或因为，为两个整数根，p 为整数，所以为整数，所以或把代入方程，可得，解得，把代入方程，得，解得，综上，当时，，；当时，，因为，所以又方程有两个不等实根，，所以，整理得由根与系数的关系得由足整理可得，整理得，所以，解得则，解得，即p 的取值范围为【解析】由题意，利用判别式大于零，求得m 的取值范围．先利用判别式大于零，求出p 的范围，再利用韦达定理从而判断或1，再分别代入方程，求出，先利用判别式大于零，整理得，再利用由根与系数的关系，求得p 的取值范围．本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理，属于中档题．。
天一大联考·皖豫名校联盟2022-2023学年(上)高一年级阶段性测试(二)数学试卷及答案
小学四年级上册数学学霸答案一、直接写出得数。
+= y+y= 56×78×0= 25×14-25×10= ÷5÷4=÷= 90×70= n×n= 37十68×0= -65-35=二、填空题1. 一个小数由2个十，5个十分之一，9个百分之一共同组成，这个小数就是( )。
2. 5.46是由( )个1、( )个0.1、和( )0.01组成。
3. 用字母则表示长方形的面积公式s=( )4. 一本书a元，买40本这样的书需要( )元。
5. 一个工厂旧有煤x吨，火烧了t天，每天火烧a吨，还剩下( )吨。
6. 三个连续自然数的平均数是n,另外两个数分别是( )和( )。
7. 一个直角三角形中的一个锐角就是40度，另一个锐角就是( )度。
8. 最小的三位数与最大的两位数的乘积( )。
9. 钟面上9时整，时针和分针所夹的角是( )度。
从1点至2点，分针转动的角度就是( )度。
10. 甲数是乙数的7倍，甲数比乙数多，乙数是( )。
11. 用字母则表示乘法分配律就是( )。
12. 一周角=( )直角 =( )平角13. 25×49×4=(25×4)×49这一运算过程运用了( )律。
14. 用3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度最短是( )厘米。
15. 不必排序，在○填上上<、>或=(40+4)×25○11×(4×25) -○-+216. 大红用一根17厘米短的铁丝围起了一个三角形，它的边长可能将就是( )、( )、( )。
三、判断(在括号里对的打“√”，错的打“×”)1. a的平方一定大于2a ( )2. 一个三角形至少有两个角是锐角。
( )3. 小的三角形比大的三角形内角和度数小。
河南省天一大联考2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
河南省天一大联考2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，且图象经过点(1,0)-和(3,5)，则当[3,1]x ∈--时，函数()y f x =的值域是( ) A ．[0,5]B ．[1,5]-C ．[1,3]D ．[3,5]2．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π= C ．3V a h =，3Vr hπ=，1a r π=D ．3V a h =，3Vr h π=，a rπ= 3．一个三角形的三边长成等比数列，公比为x ，则函数25y x x =-的值域为（ ） A ．（54-，+∞） B ．[ 54-，+∞） C ．（54-，－1） D ．[54-，－1） 4． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．5．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③6．过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1 D ．3-7．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( ) A ．39B ．20C ．19.5D ．338．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若ABC 的面积为2224b c a +-，则角A =（ ）A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π610．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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天一大联考2017-2018学年高一年级阶段性测试（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知底面半径为2 的圆锥的体积为8π ，则圆锥的高为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．82.若221{211}a a a -∈--+，， ，则a = （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．0 或13.若直线1l ：210x y -+= 和直线2l ：20x y t -+= ，则t = （ ） A ．3- 或3 B ．1- 或1 C ．3- 或1 D ． 1- 或34.函数211()521xf x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭一定存在零点的区间是（ ） A ．(1 2)， B ．(0 1)， C.(23 )--， D ．121⎛⎫- ⎪⎝-⎭， 5.已知集合14416x A x⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤ ，21log 534B x x ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭≤ ，则()R C A B = （ ）A ．33120⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．33220⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.33120⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．∅6.如图画出的某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．80+20πB ．9616π+ C.9620π+ D ．9624π+ 7.已知幂函数2()(21)a g x a x +=- 的图像过函数2()x b f x +=的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．2-B ．1 C.2 D ．48.函数31()2(31)x x f x x +=--的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．9.已知过点(20)， 且与直线40x y ++= 平行的直线l 与圆C ：22450x y y ++-= 交于A ，B 两点，则OAB △ （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．1 BC.．10.已知在四棱锥S ABCD - 中，SD ⊥ 平面ABCD ，AB CD ∥ ，AB AD ⊥ ，SB BC ⊥ .若22SA AD == ，2CD AB = ，则AB = （ ） A ．1 B2 D11.已知圆1C ：22(2)(3)4x y -+-= 与2C ：22()(4)16x a y -+-= 相离，过原点O 分别作两个圆的切线1l ，2l ，若1l ，2l 的斜率之积为1- ，则实数a 的值为（ ）A ．83B ．83- C.6- D ．612.已知函数11(01],()221(10]xx x f x x +⎧⎛⎫∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈-⎩，，，， 若方程2()0f x x m --= 有且仅有一个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11m -<<B ．112m -<-≤ 或1m = C.112m -<-≤D ．112m -<<-或1m = 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知Rt ABC △ 的顶点(01)C -， ，斜边AB 所在直线的方程为3210x y -+= ，则AB 边上的高所在直线的方程为 ．14.若函数2212322x x f x x x⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ （0x ≠ ），则(2)f = ． 15.在四面体ABCD 中，ABD △ 是边长为2 的正三角形，BCD △ 为直角三角形，且AC BC CD ==ABCD 的外接球的体积为 ．16已知函数()x f x a = （0a > ，1a ≠ ）在[21]-，上的值域为[4]m ， ，且函数31()m g x x-= 在(0+)∞， 上是减函数，则m a += . ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()f x =的定义域为A ，集合{|12}B x x =-<< （1）若12a =，求A B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()f x ，当a b R ∈， 时，恒有2()33a b a b f a f f -+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）若(1)2f =- ，求(2)f ，(3)f 的值； （2）判断函数()f x 的奇偶性.19. 如图，在四棱锥P ABCD - 中，PA ⊥ 平面ABCD ，AD BC ∥ ，AD DC ⊥ ，E 为PD 的中点，222BC CD PA AD ====.（1）求证：AE ⊥ 平面PCD ； （2）求三棱锥C BDE - 的体积.20. 已知函数()lg(1)f x ax =- （0a > ）（1）当2a =时，求不等式0()lg(1)1f x x <-+< 的解集；（2）设()()log 10f x a g x = ，若函数()g x 在区间312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上为增函数，且()g x 的最小值为1 ，求实数a 的值.21. 如图，在直三棱柱111ABC A B C - 中，1AA AB BC == ， AB BC ⊥，P ，Q 分别为AC ， 11B C 的中点.（1）求证：PQ∥平面11AA B B；（2）求异面直线1AB与CQ所成角的余弦值.22.已知圆O：229x y+=上的点P关于点112⎛⎫-⎪⎝⎭，的对称点为Q，记Q的轨迹为C .（1）求C的轨迹方程；（2）设过点(10)-，的直线l与C交于A，B两点，试问：是否存在直线l，使以AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.天一大联考2017-2018学年高一年级阶段性测试（二）数学·答案一、选择题1-5:CBDCA 6-10:BAABA 11、12：CD二、填空题13.2330x y ++= 14.51216.1 三、解答题17.解：由010a x x a -⎧⎨-+⎩≥≥ 得1a x a -≤≤ ，则{|1}A x a x a =-≤≤（1）若12a =，则1122A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤≤1122AB x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤≤（2）由A B A =，得A B ⊆ 由112a a ->-⎧⎨<⎩得02a <<∴实数a 的取值范围是(02)， 18.解：（1）在2()33a b a b f a f f -+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，令3a b x -= ,23a b y += ,则x y a += ，∴()()()f x y f x f y +=+∵(1)2f =- ∴(2)(11)(1)(1)4f f f f =+=+=- ，(3)(21)(2)(1)6f f f f =+=+=- （2）由（1）知()()()f x y f x f y +=+令0x y == ，得(00)(0)(0)f f f +=+ ，∴(0)0f =令y x =- ，得()()()f x x f x f x -=+- ，即(0)()()0f f x f x =+-= ∴()()f x f x -=- ，故()f x 为奇函数.19.解：（1）∵PA AD = ，E 为PD 的中点，∴AE PD ⊥ ∵PA ⊥ 平面ABCD ，∴PA DC ⊥ 又∵AE ⊂ 平面PAD ，∴CD AE ⊥又∵PD ，CD 为平面PCD 内两条相交直线，∴AE ⊥ 平面PCD .（2）∵C BDE E BCD V V --= ，E 为PD 的中点，∴12C BDE E BCD P BCD V V V ---==∵PA ⊥ 平面ABCD ，∴1111222132323P BCD V DC BC PA -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故1123C BDE P BCD V V --==20.解：（1）0()lg(1)1f x x <-+< 等价于0lg(12)lg(1)1x x <--+< 由12010x x ->⎧⎨+>⎩ 得112x -<< ①由120lg(12)lg(1)lg1x x x x -<--+=+ ，得121101xx -<<+ 由10x +> ，得1121010x x x +<-<+ ，解得304x -<< ②由①②得原不等式的解集为304x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）lg(1)()log 10log (1)ax a a g x ax -==-令1t ax =- ，则log a y t = ，∵0a > ，∴函数1t ax =- 为减函数.又∵()g x 在区间312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上为增函数，∴log a y t = 为减函数，∴01a <<∴312x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 时()t x 的最大值为1a - ，最小值为3102a -> ，由3102a -> ，得23a < ，此时()g x 的最小值为log (1)a a - .又()g x 的最小值为1 ，∴log (1)1a a -= ，∴12a = 21.如图，取AB 的中点R ，连接PR ，1B R∵P ，Q 分别为AC ，11B C 的中点，∴12PR BC ∥∴，则1PQB B 为平行四边形，∴1PQ B R ∥又∵PQ ⊄ 平面11AA B B ，1B R ⊂ 平面11AA B B ，∴PQ ∥平面11AA B B （2）如图，取BC 的中点M ，连接1B M ，AM ，则1B M CQ ∥ ∴1AB M ∠ 或其补角为异面直线1AB 与CQ 所成的角. 设1AA AB BC a ===，则AM =，1AB =，1B M = ， 在等腰三角形1A BM中，11112cos AB AB M B M ∠==故异面直线1AB CQ22.解：（1）设Q 的坐标为()x y ， ，P 的坐标为00()x y ， 则由中点坐标公式，得0012212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩ ∴0012x x y y =-⎧⎨=--⎩ 将0012x x y y=-⎧⎨=--⎩代入22009x y +=，得22(1)(2)9x y -++= 即C 的轨迹方程为22(1)(2)9x y -++= . （2）设11()A x y ，，22()B x y ，由题意，知OA OB ⊥ ,显然OA ，OB 的斜率均存在，∴1OA OB k k ⋅=- ∴12121y y x x ⋅=-，即12120x x y y += ① 当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，则(1)A -，(12)B -，，满足12120x x y y +=， ∴直线l ：1x =- ，满足条件.② 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+ ，代入22(1)(2)9x y -++= 得2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-= ，则21222421k k x x k +-+=-+ ，2122441k k x x k+-=+ 由12120x x y y +=，得21212(1)(1)0x x k x x +++= ，即2221212(1)()0k x x k x x k ++++= ，∴22222244242(1)011k k k k k k k k +-+-+-⋅=++ ，解得1k = ，∴直线l 的方程为1y x =+ . 综上可知，存在满足条件的直线l ：1x =- 和l ：1y x =+ .。