2019届安徽省“江淮十校”高三上学期第一次联考数学试卷(文科) Word版含解析

2019届安徽省“江淮十校”高三上学期第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题满分60分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}C．{1，2} D．{2，3，4}2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．623．sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=（）A．B．C．D．4．直线l过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x+2y﹣5=05.1，则这三个数的大小关系是（）5．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.9A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．.若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β9．将函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位，所得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=sin2x10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．πB．2+C．2+πD．2+π11．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．412．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域是．14．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC= ．15．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n= ．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.52，1）…[4，4，5）分成九组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民月均用水量不低于3吨的人数并说明理由；（III）若该市政府希望85%的居民每月用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由．18．如图，在△ABC 中，∠B=，AB=8，点D 在边BC 上，且CD=2，cos ∠ADC=．（1）求sin ∠BAD ；（2）求BD ，AC 的长．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n+1）a n ，n ∈N *．（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =，数列{b n }的前n 和为T n ，试着比较T n 与的大小．20．如图所示，凸五面体ABCED 中，DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，AC=AD=AB=1，BC=，F 为BE 的中点．（I ）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC ；②平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）若动点E 使得凸多面体ABCED 体积为，求线段CE 的长度．21．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线l 1：x ﹣y ﹣2=0相切．（I）过点G（1，3）作直线与圆C相交，相交弦长为2，求此直线的方程；垂直的直线l不过点R（1，﹣1），且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求（II）若与直线l1直线l的纵截距的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣1|．（I）若a=1，求函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点；（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．2019届安徽省“江淮十校”高三上学期第一次联考数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题满分60分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}C．{1，2} D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B中的绝对值不等式的解集，找出解集中的自然数解，确定出集合B中的元素，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合B中的不等式|x|≤2，解得：﹣2≤x≤2，又x∈N，所以集合B={0，1，2}，而集合A={1，2，3，4}，则A∩B={1，2}．故选C2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．62【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，把甲、乙运动员的得分按从小到大的顺序排列，求出中位数，再求它们的和．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分从小到大的顺序是8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，42，51，∴它的中位数是=27；乙运动员得分从小到大的顺序是12，15，24，25，31，36，36，37，39，44，49，50，∴它的中位数是=36；∴27+36=63．故选：C．3．sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．【解答】解：sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=﹣sin20°cos10°﹣cos20°sin10°=﹣（sin20°cos10°+cos20°sin10°）=﹣sin30°=﹣．故选：D．4．直线l过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x+2y﹣5=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（3，1）代入，解得即可．【解答】解：设过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（3，1）代入，得6﹣1+c=0，解得c=﹣5．∴所求直线方程为：2x﹣y﹣5=0．故选：A．5．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．【分析】可从三个数的范围上比较大小【解答】解：设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0∴p＜m＜n故选C6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【考点】扇形面积公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．.若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】不正确的命题列举反例，正确的命题进行证明，即可得出结论．【解答】解：由题意，A中α，β可能相交，不正确；B 中，m ，n 可能相交或异面，不正确；C 中，m ⊥α，α∥β，则m ⊥β，因为n ∥β，所以m ⊥n ，正确；D 中，α，β可能相交，不正确；故选：C ．9．将函数y=1+sin （2x+）的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位，所得到的函数解析式是（ ）A ．y=sin （2x+）B ．y=sin （2x+）C ．y=cos2xD ．y=sin2x【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=1+sin （2x+）的图象向下平移1个单位，可得函数y=sin （2x+）的图象．再向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x ﹣）+]=sin2x 的图象； 故选：D ．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．πB ．2+C ．2+πD ．2+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图可知该几何体是底面为半圆，半径是1，高为2的半圆锥体，其表面积四整圆锥体的一半+一个三角形．【解答】解：由由已知三视图可知该几何体是底面为半圆，半径是1，高为2的半圆锥体，其表面积是整圆锥体的一半+一个三角形．根据S 圆锥=πr （r+l ）=，S 三角形=1×2=2所以该几何体的表面积为：．故选B ．11．若变量x ，y 满足约束条件，则z=的最小值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义：平面区域内的一点与原点连线的斜率求最小值．【解答】解：作出可行域如图所示的阴影部分，由于z=的几何意义是平面区域内的一点与原点连线的斜率的2倍，结合图形可知，直线OC的斜率最小由可得C（2，1），此时z==1．故选：C．12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的值，根据f（x）的函数图象判断根的个数．【解答】解：∵f2（x）﹣5（f（x）+4=0，∴f（x）=4或f（x）=1．做出f（x）的函数图象如下：由图象可知方程f（x）=4有3个根，方程f（x）=4有4个根，∴方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根共有7个．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数函数y=logx的定义域为（0，+∞）与分式有意义的条件是分母不为零可列不等式组解之．a【解答】解；函数y=有意义需满足x+1＞0且x≠0，∴函数y=的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．14．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC= 1 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解AC的值．【解答】解：在△ABC中，∵AB=，BC=3，∠C=120°，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，即：（）2=AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4=0，解得：AC=1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n= 4 ．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：416．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为a≤．【考点】函数恒成立问题；对勾函数．【分析】分离参数，再求右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，a＜．令t=e x+3（t＞3），则=t+﹣3，∵t＞3，∴t+＞3+，∴t+﹣3＞，∴a≤．故答案为：a≤．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.52，1）…[4，4，5）分成九组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民月均用水量不低于3吨的人数并说明理由；（III）若该市政府希望85%的居民每月用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由．【考点】频率分布直方图．【分析】（I）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（II）根据频率分布直方图，求出月均用水量不低于3吨人数所占百分比，计算对应的人数；（III）求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有85%的居民每月用水量不超过标准的值．【解答】解：（I）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=×组距，∴0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，解得a=0.3；（II）由图知，市居民月均用水量不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，∴全市月均用水量不低于3吨的人数为30×12%=3.6（万）；（III ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x ＜3假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．18．如图，在△ABC 中，∠B=，AB=8，点D 在边BC 上，且CD=2，cos ∠ADC=． （1）求sin ∠BAD ；（2）求BD ，AC 的长．【考点】余弦定理的应用．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC=，∴sin ∠ADC====，则sin ∠BAD=sin （∠ADC ﹣∠B ）=sin ∠ADC•cosB﹣cos ∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD 中，由正弦定理得BD==，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+CB 2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49， 即AC=7．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n+1）a n ，n ∈N *．（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =，数列{b n }的前n 和为T n ，试着比较T n 与的大小．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）由2S n =（n+1）a n ，n ∈N *，n ≥2时，2S n ﹣1=na n ﹣1，可得=（n ≥2），利用==…=即可得出．（II ）由（I ）可得：b n ===，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（I ）∵2S n =（n+1）a n ，n ∈N *，∴n ≥2时，2S n ﹣1=na n ﹣1，可得2a n =（n+1）a n ﹣na n ﹣1．∴=（n ≥2），又a 1=1，∴==…==1，∴a n =n ．（II ）由（I ）可得：b n ===，∴数列{b n }的前n 和为T n =+++…+==﹣＜．∴T n ＜．20．如图所示，凸五面体ABCED 中，DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，AC=AD=AB=1，BC=，F 为BE 的中点．（I ）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC ；②平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）若动点E 使得凸多面体ABCED 体积为，求线段CE 的长度．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I ）①取BC 的中点G ，连接GF ，GA ，通过证明四边形AGFD 是平行四边形得出DF ∥AG ，故DF ∥平面ABC ；②证明AG ⊥平面BCE ，得出DF ⊥平面BCE ，故有平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）先证明AB ⊥平面ACED ，再代入棱锥的体积公式计算CE ．【解答】证明：（I ）①取BC 的中点G ，连接GF ，GA ，∵G ，F 分别是BC ，BE 的中点，∴GF ∥CE ，GF=CE=1，∵DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，∴DA ∥CE ，又DA=1，∴AD ∥GF ，AD=GF ，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴DF ∥AG ，又AG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC ．②∵AB=AC ，G 是BC 的中点，∴AG ⊥BC ，∵CE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴AG ⊥CE ，又BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，BC∩CE=C，∴AG ⊥平面BCE ．∵AG ∥DF ，∴DF ⊥平面BCE ，又DF ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCE ．（II ）∵AB=AC=1，BC=，∴AB ⊥AC ，∵AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥AD ，又AD ⊂平面ACED ，AC ⊂平面ACED ，AD∩AC=A，∴AB ⊥平面ACED ．∴V ABCED =V B ﹣ACED =S 梯形ACED •AB=（1+CE ）×1×1=．∴CE=1．21．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线l 1：x ﹣y ﹣2=0相切．（I ）过点G （1，3）作直线与圆C 相交，相交弦长为2，求此直线的方程；（II ）若与直线l 1垂直的直线l 不过点R （1，﹣1），且与圆C 交于不同的两点P ，Q ，若∠PRQ 为钝角，求直线l 的纵截距的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意求出圆心（0，0）到直线l 1：x ﹣y ﹣2=0的距离，可得圆的半径长，得到圆的方程，分类讨论，利用弦长，即可得出结论；（2）直线l 1的斜率为1，且l ⊥l 1，可得直线l 的斜率为﹣1，设直线l 的方程为y=﹣x+b ，联立圆的方程与直线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P ，Q 两点横坐标的和与积，结合∠POQ为钝角，得＜0，即x 1x 2+y 1y 2＜0，从而可得直线l 的纵截距的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，圆心（0，0）到直线l 1：x ﹣y ﹣2=0的距离为圆的半径长r ，即r==2∴圆C的标准方程为x2+y2=4．①直线斜率不存在时，x=1满足题意；②斜率存在时，设直线方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0∵相交弦长为2，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线方程为x=1或4x﹣3y+5=0；（2）∵直线l1的斜率为1，且l⊥l1，∴直线l的斜率为﹣1，设直线l的方程为y=﹣x+b，则与圆C的方程x2+y2=4 联立，化简得2x2﹣2bx+b2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程2x2﹣2bx+b2﹣4=0的两个不同的根，故x1+x2=b，x1+x2=③，由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得﹣2＜b＜2．∵∠POQ为钝角，∴＜0，即x1x2+y1y2＜0，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b，∴x1x2+y1y2=2x1x2﹣b（x1+x2）+b2＜＜0 ④，由③④得b2＜4，即﹣2＜b＜2，满足△＞0．当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不符合题意，故直线l的纵截距的取值范围是﹣2＜b＜2，且b≠0．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣1|．（I）若a=1，求函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点；（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）函数的零点就是方程的解，解方程即可；（Ⅱ）G（x）=，分别根据函数的单调性，分类讨论即可求出G（x）max．【解答】解：（Ⅰ）令y=0，得|x﹣1|（|x+1|﹣1）=0，解得x=﹣2或x=0，或x=1．∴函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点为﹣2，0，1；（Ⅱ）由题意得G（x）=f（x）+g（x）=，此时在[0，1）上G（x）单调递增，故而G（x）＜G（1）=0，在区间[1，2）上，G（x）max=max{G（1），G（2）}，若﹣≤，即﹣3≤a＜0，∴G（1）≤G（2），∴G（x）max=G（2）=a+3≥0，若﹣＞，即a＜﹣3，∴G（1）＞G（2），∴G（x）max=G（1）=0，综上所述G（x）max=。