复数 复数的减法及其几何意义 教案
《复数加减法的几何意义》 导学案
《复数加减法的几何意义》导学案一、学习目标1、理解复数加减法的几何意义。
2、掌握复数加减法的几何运算。
3、能够运用复数加减法的几何意义解决相关问题。
二、知识回顾1、复数的概念形如＼（a ＋bi\）（＼（a,b\in R\））的数叫做复数，其中＼（a\）叫做复数的实部，＼（b\）叫做复数的虚部。
当＼（b ＝ 0\）时，复数＼（a ＋ bi\）为实数；当＼（b ＼neq 0\）时，复数＼（a ＋ bi\）为虚数；当＼（a ＝ 0\）且＼（b ＼neq 0\）时，复数＼（a ＋ bi\）为纯虚数。
2、复数的几何表示在复平面内，复数＼（z ＝ a ＋ bi\）对应点的坐标为＼（（a,b)＼），其中＼（a\）为横坐标，＼（b\）为纵坐标。
三、新课导入我们已经学习了复数的概念和几何表示，那么复数的加减法在几何上又有怎样的意义呢？让我们一起来探究吧！四、复数加法的几何意义设复数＼（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\），在复平面内，它们对应的向量分别为\（＼overrightarrow{OZ_1}＼），＼（＼overrightarrow{OZ_2}＼）（其中＼（O\）为坐标原点）。
则＼（z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i\），对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ}＼），其中＼（Z\）点的坐标为＼（（a_1 ＋ a_2, b_1 ＋ b_2)＼）。
我们发现，＼（＼overrightarrow{OZ} ＝＼overrightarrow{OZ_1} ＋＼overrightarrow{OZ_2}＼），这表明两个复数的和对应的向量是以这两个复数对应的向量为邻边的平行四边形的对角线。
例如，复数＼（z_1 ＝ 1 ＋ 2i\）对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ_1} ＝（1,2)＼），复数＼（z_2 ＝ 3 ＋ i\）对应的向量为＼（＼overrightarrow{OZ_2} ＝（3,1)＼）。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。
2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。
2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。
3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。
4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。
5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。
四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。
2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。
3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。
4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。
5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。
4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。
六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。
2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。
3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。
321复数代数形式的加减运算及其几何意义教案
复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教课内容解析：本课是高中数学选修 1－ 2 第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生初次接触复数会合的运算。
学生的知识基础是已经学习的复数的看法和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解说和“形化”了复数的加减法，充分表现了复数的“数”和“形”的两重特色，揭露了复数的加减运算与平面向量的加减法拥有完整等价的法规。
在教课中，既要修业生掌握复数代数形式的加减运算法规，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义确定基础。
二、学情解析：高二（ 7）班属于一般文科班，女生比率较大，学生基础广泛比较单薄，学习习惯较差。
学生受文科思想的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对看法、定理、公义的实质属性缺少正确的认识，不重视思想训练，导致数学学习能力降落，心理压力增大，恶性循环。
所以培育学生优异的学习习惯与慎重的逻辑思想能力相当重要。
三、教课目标：1、知识与技术目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，认识复数加减法运算的几何意义。
2、过程与方法目标：在问题研究过程中，领会和学习类比，数形联合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
3、感情、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关看法( 复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部 ) 理解并掌握复数相等的有关看法；画图获得的结论，不可以取代论证，可是经过对图形的观察，常常能起到启迪解题思路的作用。
四、教课要点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，正确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
五、教课难点：复数加减法的几何意义及其应用六、教具准备：多媒体、实物投影仪。
七、教课过程：课前准备：学生自主阅读、理解教材，并解决问题（课前 1 天）阅读教材 57-59 页，解决以下问题：（一）、温故而知新：1、对于复数 z a bi a,b R，当且仅当，z 是实数，当，z 是虚数，当， z 为纯虚数，当且仅当， z 是实数0。
复数代数形式的加减运算及几何意义(教案)
§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（教学设计）教学目标：知识与技能：理解并掌握复数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
过程与方法：在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等思想方法，感悟运算形成的基本过程。
情感态度价值观：培养学生观察、理解、推理论证的能力。
教学重点：理解并掌握复数的加减运算及其运算定律，准确进行加减运算，初步运用复数加减法的几何意义解决简单问题。
教学难点：复数加减法的几何意义及其应用。
课型与课时：新授课、1课时教学手段：课件教学方法：阅读、理解、类比教学过程：一．知识回顾1、复数的代数形式是什么？z=a+bi(a,b ∈R )2、复数相等的充要条件是什么？3、复数几何意义z= a+bi (a,b ∈R ) 复平面内的点z(a,b) 复平面内的向量OZ =(a ，b )想一想：类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？二、认识新知探究一：复数的加法运算设12z a bi Z c di =+=+与(a ,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的和为12()()Z Z a c b d i +=+++。
说明：①复数的加法运算法则是一种规定。
当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致。
②两个复数的和仍然是一个复数，对于复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形。
探究一：复数的加法满足交换律、结合律吗？容易验证：对任意复数Z 1、Z 2、Z 3，有：Z 1+Z 2=Z 2+Z 1(Z 1+Z 2)+Z 3=Z 1+(Z 2+Z 3)即实数加法运算的交换律，结合律在复数集C 中仍然成立。
探究二：复数与复平面内的向量有一一对应的关系。
我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设1OZ 及2OZ 分别与复数α+bi 复数c ＋di 对应，则1OZ =（α,b ），2OZ =（c ，d ）OZ =1OZ +2OZ =（α,b ）+（c ，d ）=(α+c,b+d )向量OZ 是向量1OZ 与2OZ 的和，就是复数（a+c ）+(b+d)i 对应的向量。
复数的加、减运算及其几何意义教学设计
第1课时复数的加、减运算及其几何意义（一）教学内容复数的加法运算及其几何意义，复数的减法运算及其几何意义.（二）教学目标掌握复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，了解复数加、减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点重点：复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义.难点：复数减法的运算法则.（四）教学过程设计1.引入新课问题1：我们为了解决类似x2+1=0在实数范围无解的问题，引入了虚数单位i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.依据我们研究实数的经验，接下来我们要研究复数的哪些问题？答：接下来要研究讨论复数集中的运算问题.追问：还记的复数的概念吗？答：对于形如：z=a+bi（a，b∈R）的数叫做复数.其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.设计意图：通过复习回顾数集的扩展、复数概念为探究本节课的新知识作铺垫.2.课堂探究问题2：我们希望在扩充到复数集后加法、乘法运算与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且复数的加法和乘法都满足交换律和结合律，设z1=a+bi, z2=c+ di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？答：z1+z2=a+bi+c+di，由于期望加法结合律成立，故z1+z2=(a+c)+(bi+di);由于期望乘法对加法满足分配率，故z1+z2=(a+c)+(b+d)i，所以我们规定：设z1=a+ bi z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.追问1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答：两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加；追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？答：当b=0，d,=0时，复数的加法与实数加法法则一致；追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答：实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项..设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性.将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣.问题3：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？答：对任意的z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明：设z1=a+bi z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+a)+(d+b)i.因为a+c= c+a，b+d=d+b，所以z1+z2=z2+z1.证明:,设z1=a+bi z2=c+di z3=e+fi（a，b，c，d,e,f∈R），(z1+z2)+z3=(a+c)+(b+d)i+ e+fi=[(a+c)+e]+[(b+d)+f]i,z1+(z2+z3)=a+bi+(c+e)+(d+f)i =[(c+e)+a]+[(d+f)+b]i所以(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).问题4：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？答：类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是加法的逆运算即把满足(c+di) +(x+ yi)=a+bi的复数x+yi（x，y）∈R叫做复数a+bi（a，b）∈R减去复数c+ di（c，d）∈R的差，记作(a+bi)−(c+di) .根据复数相等的含义，c+x=a，d+y=b，因此x=a−c，y=b−d，所以x+yi=(a−c)+(b−d)i，即(a+bi)−(c+di)=(a−c)+ (b−d)i.追问1：两个复数的差是个什么数，它的值唯一确定吗？答：两个复数的差与和相同，仍然是个复数且是一个确定的复数.追问2：上述用什么方法来推导两个复数减法的运算法则的？答：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.追问3：复数的加法类似于两个多项式相加，复数的减法类似于实数的哪种运算方法呢？答：两个复数的差实质是实部与实部相减作为实部 ,虚部与虚部相减作为虚部类似于实数运算中的合并同类项.设计意图：加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,进行必要铺垫.问题5：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系。
复数的加减运算及其几何意义(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.（2）明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.（3）经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措.教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加法的几何意义．教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性．五、教学过程与设计 12OZ OZ +[问题3]向量的加减运算满足何种法则？[问题4] 设向量索交流，解决问题OZ2→分别与复数a＋b i，c＋d i对应，那么OZ1→＋OZ2→的坐标如何呢？[问题5]向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是什么？[问题6]按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？[问题7]类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？b＋d)．教师5：提出问题5．学生5：向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教师6：提出问题6．学生6：复数z1－z2的几何意义就是向量OZ1→－OZ2→对应的复数．教师7：小结一下：1. 加、减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.教师8：提出问题7．学生7：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．高学生分析问题、概括能力。
3.2. 1 复数代数形式的加减运算及其几何意义(优秀经典公开课比赛教案).
课题：3．2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学科：数学年级：高二班级：一、教材分析：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。
2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。
因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。
二、教学目标：1．知识与技能掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．2．过程与方法在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．3．情感、态度与价值观通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．三、教学重点重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．四、教学难点难点：复数加减法的几何意义及其应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电子白板六、教学方法：本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法．在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算．教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究．对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用．七、教学过程：1、自主导学：阅读课本56—57页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）【问题导思】已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.2．复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】满足．(1)运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a、b、c、d∈R)，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律：3.如图，→OZ1，→OZ2分别与复数a＋b i，c＋d i对应．（1）．试写出→OZ1，→OZ2及→OZ1＋→OZ2，→OZ1－→OZ2的坐标．【提示】→OZ1＝(a，b)，→OZ2＝(c，d)，→OZ1＋→OZ2＝(a＋c，b＋d)，→OZ1－→OZ2＝(a－c，b－d)．（2）．向量→OZ1＋→OZ2，→OZ1－→OZ2对应的复数分别是什么？【提示】→OZ1＋→OZ2对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，→OZ1－→OZ2对应的复数是a－c＋(b－d)i.2、合作探究（1）分组探究探究点1 复数的加法和探究点2 复数的加法满足交换律、结合律探究点3 复数与复平面内的向量有一一对应关系图3－2－11.复数加法的几何意义如图3－2－1：设复数z1，z2对应向量分别为→OZ1，→OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是→OZ.2.复数减法的几何意义图3－2－2如图3－2－2所示，设→OZ1，→OZ2分别与复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i对应，且→OZ1，→OZ2不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量→OZ1－→OZ2(即→Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z1－z2(即→OZ1－→OZ2)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应.3.计算下列各题：(1)(－i)＋(－＋23i)＋1；(2)(－2i－31)－(3i－21)＋i；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．【思路探究】解答本题可根据复数加减运算的法则进行．【自主解答】 (1)原式＝(－)＋(－＋23)i＋1＝1－23i.(2)原式＝(－31＋21)＋(－21－31＋1)i＝61＋61i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.（2）教师点拨1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．4.复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．3、巩固训练1.已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.【解】z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.2.设→OZ1及→OZ2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出→OZ1＋→OZ2.【思路探究】利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出→OZ1＋→OZ2.【自主解答】∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i∵→OZ1＝(5,3)，→OZ2＝(4,1)，由复数的几何意义可知，→OZ1＋→OZ2与复数z1＋z2对应，∴→OZ1＋→OZ2＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．作出向量→OZ1＋→OZ2＝→OZ如图所示．故→OZ1－→OZ2即为图中→Z2Z1.3.已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．【思路探究】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题． 【自主解答】 法一 设w ＝z －3＋4i ， ∴z ＝w ＋3－4i ， ∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i. 又|z ＋1－i|＝1， ∴|w ＋4－5i|＝1.可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆． 如图(1)所示，∴|w |max ＝＋1，|w |min ＝－1.(1) (2)法二 由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆， 而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离， 在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示， 所以|z －3＋4i|max ＝＋1，|z －3＋4i|min ＝－1.4、拓展延伸在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设复数z ＝cos A ＋isin A ，且满足|z ＋1|＝1.(1)求复数z ；(2)求acos(60°＋C b －c的值．【思路探究】 本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识．把复数z ＋1的模转化为它对应的向量的模，从而求出A ，第(2)问利用正弦定理把边转化为角，再进行三角恒等变换即可求解．【自主解答】 (1)∵z ＝cos A ＋isin A ， ∴z ＋1＝1＋cos A ＋isin A .复数z ＋1对应的向量→OZ＝(1＋cos A ，sin A )， ∵|→OZ|＝＝， ∴|z ＋1|＝. ∴2＋2cos A ＝1，∴cos A ＝－21，∴A ＝120°. ∴sin A ＝23，复数z ＝－21＋23i.(2)由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，c ＝2R ·sin C (其中R 为△ABC 外接圆的半径)．∴原式＝sin A ·cos(60°＋C sin B －sin C. ∵B ＝180°－A －C ＝60°－C ， ∴原式＝sin 120°·cos(60°＋C sin(60°－C ＝3＝cos(60°＋C 3sin C＝cos(60°＋C 2cos(60°＋C ＝2.即acos(60°＋C b －c＝2.5、师生合作总结1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．八、课外作业1.复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|→BD|等于( )A ．5 B. C. D.【思路点拨】 首先由A 、C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．【规范解答】 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为(2，23)， 所以y ＋0＝3，x ＋1＝4，即y ＝3.x ＝3，所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以→BD＝→OD－→OB＝3＋3i －1＝2＋3i ， 所以|→BD |＝. 【答案】 B2．(2013·潍坊市高二检测)(2－2i)－(－3i ＋5)等于( ) A ．2－i B ．－3＋i C ．5i －7 D ．2＋3i【解析】 (2－2i)－(－3i ＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i ＝－3＋i. 【答案】 B3．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量→OB对应的复数为－1＋2i ，则向量→BA对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i【解析】 ∵→BA＝→OA－→OB，∴→BA对应的复数为(2＋3i)－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i ＝3＋i.故选B. 【答案】 B4．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________． 【解析】 ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， ∴x －y ＝0.x ＋y ＝2，解得y ＝1.x ＝1，∴xy ＝1.【答案】 15．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，求复数a＋b i.九、板书1.复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2.解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．十、教学反思：在探索复数加减法的几何意义的时候应先复习有关向量的加减法，高估了学生的能力；在时间的安排上可以恰当的调整，可以把更多的时间放在后面的几何意义上。
初中数学教案复数的基本运算与几何意义
初中数学教案复数的基本运算与几何意义初中数学教案：复数的基本运算与几何意义一、引言复数是数学中的一个重要概念，它在代数和几何中都有广泛的应用。
本教案将重点介绍复数的基本运算和几何意义，以帮助初中学生深入理解和掌握复数的相关知识。
二、复数的定义复数由实数部分和虚数部分组成，一般表示为a + bi，其中a和b都是实数，i表示虚数单位，它满足i² = -1。
实数部分a与虚数部分bi分别称为复数的实部和虚部。
三、复数的加减运算1. 加法：设有两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和记作z = z₁+ z₂，按照实部和虚部分别相加得到z的实部和虚部，即z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i。
2. 减法：设有两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的差记作z = z₁- z₂，按照实部和虚部分别相减得到z的实部和虚部，即z = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
四、复数的乘法与除法1. 乘法：设有两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积记作z = z₁ * z₂，按照分配律和i² = -1进行展开计算，得到z 的实部和虚部，即z = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i。
2. 除法：设有两个非零复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的商记作z = z₁ / z₂，在分子和分母同时乘以z₂的共轭复数z₂' = a₂ - b₂i，然后利用乘法的运算规则，得到z的实部和虚部，即z = [(a₁a₂ + b₁b₂) / (a₂² + b₂²)] + [(a₂b₁ - a₁b₂) / (a₂² + b₂²)]i。
五、复数的几何意义1. 复数平面：将复数z = a + bi看作是平面上的一个点P(x, y)，其中x = a，y = b。
2024~2025学年7.2 课时1 复数的加减运算及其几何意义 教案1
7.2 课时1 复数的加减运算及其几何意义 教案【教学目标】1.掌握复数代数形式的加、减运算法则，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【教学重难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.难点：加、减运算及其几何意义.【教学过程】一、教学导入师:在上一节,我们把实数集扩充到了复数集,引入新数集后,就要研究其中数之间的运算,同学们可以回忆一下在实数集中,四则运算法则是怎样的？以及实数的四则运算都满足什么运算律？【学生思考问题,复习讨论】师:同学们对于实数的运算形式和法则还是很熟悉的,本节课我们就要将这些运算法则和规律转移到复数身上,首先先来学习复数的加、减运算.【设计意图】以学生熟悉的实数运算法则引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识建立联系二、教学精讲探究1 复数的加法运算及其几何意义师:同学们,我们先来做一个计算题设32,23x a b y a b =+=-,则x y +怎样表示？生:5x y a b +=-师:正确,这是一道我们都很熟悉的代数运算题目,其中进行加法运算时,我们遵循了什么原则？ 生:合并同类项.师:正确.那现在我们引入复数,两个复数的加法运算法则可不可以这样进行呢？【要点知识】复数的加法法则设12i i(z a b z c d a b c d R =+=+∈，，，，)是任意两个复数,则它们的和:()()()()12i i i z z a b c d a c b d +=+++=+++.师:可以看出,两个复数的和仍然是一个确定的复数,并且两个复数相加,类似于两个多项式相加.师:了解了复数的加法运算法则之后,同学们试着用加法定义证明复数加法运算满足:①交换律,②结合律.请同学们分组讨论证明.【将学生分成两个小组分别推导复数的加法运算律,教师总结补充并展示】【要点知识】复数的加法运算律对任意123,,z z z ∈C ,有交换律:1221z z z z +=+,结合律:()()123123z z z z z z ++=++.师:由此可知,复数的加法运算同样满足交换律和结合律.接下来,我们练习几个复数的加法计算题. 例1 计算:(34i)(34i)++-+;(43i)(43i)++-;(34i)(34i)++--.【预设答案】8i 80；； 师:上述三个问题的答案依次为:8i 80；；.所以我们可以把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式,则复数的加法运算类似于多项式的加法运算,只需“合并同类项”.并且复数的运算满足交换律和结合律.师:我们知道,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.同学们还记得向量的加法运算法则是什么吗？ 生:符合平行四边形法则.师:我们讨论过向量加法的几何意义,把复数表示为向量时,能否按照向量加法运算的平行四边形法则进行？【要点知识】复数加法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则12(,),(,)OZ a b OZ c d ==.由平面向量的坐标运算法则,得 12(,)OZ OZ a c b d +=++.【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】【要点知识】复数加法的几何意义若复数1z ,2z 对应的向量12,OZ OZ 不共线,则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数,即复数的加法可以按照向量的加法来进行.这就是复数加法的几何意义.【以学论教】从学生的角度出发,以学生熟悉的平面向量计算方法引入,更能把复数的新概念形象地展示出来,有助于学生对新知识的理解和掌握探究2 复数的减法运算及其几何意义师:复数的运算可以和向量的相关知识进行联系,知道了复数的加法运算法则之后,复数的减法运算法则又是怎样的呢？我们知道,实数的减法是加法的逆运算,类比实数减法的意义,如何定义复数的减法？【要点知识】复数的减法法则复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)i c d x y a b +++=+的复数i(x y x +,)y ∈R 叫做复数i(,)a b a b +∈R 减去复数i(,)c d c d +∈R 的差,记作(i)(i)a b c d +-+.即(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.【情境学习】学生在已知平面向量的运算方法后,通过形象地图示,体会其与复数加法运算的联系,在具体情境中,学习相关概念,理解运算方法师:这就是复数的减法法则.由此可见,两个复数的差是一个确定的复数,并且两个复数相减,类似于两个多项式相减.现在复数的加法和减法,我们都已经学到了,请同学用一句话描述复数的加、减法运算规律.生:复数的加减运算就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.师:很好！实际上,复数的加减运算就可以简化成上述规律,分清楚实部和虚部.接下来,我们要继续研究复数减法的几何意义,结合向量的相关知识,思考复数减法的几何意义可以怎样描述？【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】【要点知识】复数减法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数1z ,2z 相对应,且12,OZ OZ 不共线,如图,则这两个复数的差12z z -与向量12OZ OZ -对应,这就是复数减法的几何意义.即复数12z z -是连接向量12,OZ OZ 的终点,并指向被减向量所对应的复数.师:这就是复数减法的几何意义,由此可知,复数加、减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则.下面请看例题.例2 计算(56i)(2i)(34i)-+---+生解:(56i)(2i)(34i)(523)(614)i 11i -+---+=--+---=-师:上题答案为 11i -,我们可以利用运算法则计算得出,也可在复平面内用向量表示.下面继续看例题. 例3 根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点()()111222,,,Z x y Z x y 之间的距离.师:由于复平面内的点()()111222,,,Z x y Z x y 对应的复数分别为11122i,z x y z x =+=+2i y ,由复数减法的几何意义知,复数21z z -对应的向量为12Z Z ,从而点1Z ,2Z 之间的距离为1221Z Z z z =-.所以同学们根据复数运算的几何意义,计算一下这两点之间的距离.生解:因为复平面内的点()()111222,,,Z x y Z x y 对应的复数分别为1112i,z x y z =+=22i x y +,所以点1Z ,2Z 之间的距离为()()()()12122122112121i i i Z Z Z Z z z x y x y x x y y ==-=+-+=-+-=. 师:好了,同学们,掌握了这些基本运算法则和知识后,我们进行一下巩固练习,来看下面这几道题.1.计算：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)；(2)(-3-4i)＋(2+i)-(1-5i)．解：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)＋（-6-1-4）i ＝-11i.(2)(-3-4i)＋(2+i)-(1-5i)＝(-3+2-1)＋[-4+1-(-5)]i ＝-2＋2i.2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B,C 对应的复数分别为1＋3i ，-i,2＋i.(1)求BC⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数；(2)求点D 对应的复数．解：(1)因为BC⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0C ⃑⃑⃑⃑ －OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以BC⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数为(2＋i)-(-i)，即2+2i. (2)复平面内A,B,C 对应的点坐标分别为（1,3），（0，-1），(2,1), 设D 点的坐标为(x,y ),因为BC⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴(x −1,y −3)=(2,2)∴x −1=2,y −3=2∴x =3,y =5故D(3，5)所以点D 对应的复数为3+5i.三、课堂小结师:同学们,我们现在要梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点.。
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》教学设计
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》教学设计教学内容：复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标：1.了解复数的基本概念与性质；2.掌握复数的加减运算规则；3.理解复数的加法与减法在平面几何中的几何意义；4.解决与复数加减有关的实际问题。
教学重点：1.复数的加法与减法规则的掌握；2.复数加法与减法在平面几何中的几何意义的理解。
教学难点：复数加法与减法在平面几何中的几何意义的理解。
教学准备：1.复数的概念、性质和加减运算规则的讲义；2.平面几何图形的几何工具。
教学过程：Step 1：复习与引入（5分钟）Step 2：复数的加法与减法规则（15分钟）1.复数的加法规则：对应实部与虚部相加；2.复数的减法规则：对应实部与虚部相减；3.通过一些例题进行操作演示和讲解，让学生理解加减规则的运用方法。
Step 3：复数加法与减法的几何意义（15分钟）1.复数的几何表示：平面上的复数点；2.复数的几何加法：向量叠加；3.复数的几何减法：向量相减；4.利用几何加法与减法解决一些有关复数的平面几何问题。
Step 4：练习与拓展（25分钟）1.同步练习：设计一些有关复数加减的计算题，并让学生进行练习；Step 5：实践应用（20分钟）设计一些实际问题，让学生应用复数的加减运算解决实际问题，如：有两个带电粒子在电场中的运动问题，通过复数加减运算求解带电粒子的位置。
Step 6：归纳总结（10分钟）让学生回顾所学内容，归纳总结复数的加减运算规则和几何意义。
Step 7：作业布置（5分钟）布置一些练习题，巩固和拓展学生的知识。
教学反思：在本节课中，通过引入实数的概念与运算规则，然后引入复数的概念与运算规则，让学生从字面上理解和接受了复数的加减运算规则。
接着，通过平面几何的几何意义让学生更好地理解复数的加减运算，并进行了一些相关的练习和应用。
整节课效果较好，学生在实际问题的应用过程中体验到了复数加减运算的便捷性和实用性。
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计全面版
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计教学流程一．知识回顾1、复数的概念形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
2、复数相等：规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。
3、复数的几何意义：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应关系，即设计意图：通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.二．新课讲解1、复数的加法法则我们规定，复数的加法法则如下：设bi a +=1z , di +=c z 2（a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 。
练习：1计算 （1）（1+3i ）+(-2+i) （2）（2+4i ）+(3-4i)+(-1+5i)说明:（1）两个复数的和仍然是一个确定的复数；（2）两个复数相加就是将实部相加为和的实部, 虚部相加为和的虚部；（3）复数的加法运算法则是一种规定，当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致；（4）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
设计意图：加深对复数加法法则的理解，通过练习的训练引出对复数加法法则的四条解读，是同学们进一步认识理解复数的加法法则。
练习：1计算（3）(-2+i)+（1+3i ）（4）(3-4i)+[（2+4i ）+(-1+5i)]设计意图：通过对比前后两个练习的异同点，类比实数加法满足的运算律猜想复数加法满足加法交换律和结合律，并引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
三、教学重点、难点：
1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.
2.复数加、减运算的几何意义.
四、教学过程：
一、复习准备：
1. 复数的有关概念. 2. 复数的几何意义.
二、讲授新课：
问题1：化简：1.（2+）+(-1+) 2. (3+x)+(-3+2x)
计算：
问题2：若 ，根据复数相等的定义，求通过问题2让学生发现复数的减法法则
1.复数的减法法则：
类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算
例1：计算
练习：计算（1） （2）
4.复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加减法的几何意义，你能由此出发讨论复数加减法的几何意义吗？
向量 就是与复数 对应的向量
3.复数加减法的几何意
如何取舍的想法
新课程标准更多强调培养学生的核心素养，具体到数学学科就是要更加注重学生人文素养的培育和提升。针对本文的教学应更多地让学生通过反复练习，达到学习的最终目的，教师有意识的隐居幕后，让学生更多的主动参与教学活动。
教学应对
针对教育深受传统教学模式、教学观念影响的现状，数学教师更应主动改变满堂灌的教学方法，注重教学理念的更新，主动参与到教学改革的实践活动当中去，把培养知识和素养全面发展的人才作为教学的目的，在教学的同时数学学科应更多地参与到学生品德教育和人文思想培育的活动中，为培养全面发展的下一代做出应有的努力。
练习：复数对应点在第二象限，则对应点在（ B ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C） 第三象限 （D）第四象限
内容引入及概念定律...
五、板书设计：
复习内容...
复数加减运算教案
§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教学目标：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义二、教学重点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b－d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。
《复数的加、减运算及其几何意义》参考教学方案
《复数的加、减运算及其几何意义》教学设计复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一．复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材．对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过向量加法、减法法则来进行)，它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合．课时分配1课时．1．掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．2．培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．3．培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则．难点：复数加法、减法的几何意义．引入新课我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算．探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i.提出问题：问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答．活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．设计意图加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性．提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 活动设计：学生先独立思考，然后小组交流．活动成果：满足，对任意的z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1.结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．证明：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 2＋z 1＝(c ＋a )＋(d ＋b )i ， 显然，z 1＋z 2＝z 2＋z 1.同理可得(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．设计意图引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．下面我们根据复数的几何意义，探究一下复数加法的几何意义．提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决．设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，则OZ 1＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ 1＋OZ 2＝(a ＋c ，b ＋d )．这说明两个向量OZ 1→与OZ 2→的和就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义． 设计意图既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想．下面我们来研究复数的减法提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义．活动设计：学生独立完成，口述，教师板书．活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c ＋d i)＋(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋y i 叫做复数a ＋b i 减去复数c ＋d i 的差，记做(a ＋b i)－(c ＋d i)．2．复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的．设计意图考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力．提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a ＋b i)＋(－1)(c ＋d i)＝(a ＋b i)＋(－c －d i)＝(a －c )＋(b －d )i.活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c ＋x ＝a ，d ＋y ＝b ，因此x ＝a －c ，y ＝b －d ，即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.设计意图让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯． 理解新知提出问题：问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？问题2：复数的加(减)法实质是什么？问题3：多个复数相加减怎样运算？活动设计：学生独立完成，口述，教师完善．活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．设计意图加深对复数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础．运用新知例1计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出．解法一：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i.解法二：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2)＋(－6－1)i －(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝－11i.点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性．解法一是直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好．变式练习计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(99－100i)＋(－100＋101i)．思路分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加．解：原式＝(1－2＋3－4＋…＋99－100)＋(－2＋3－4＋5－…－100＋101)i ＝－50＋50i. 点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性．变练演编教师：我们知道，在复数减法的几何意义中，复数z 1－z 2与向量Z 2Z 1→一一对应，那么，z 1－z 2的模长呢？显然，|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|Z 1Z 2|，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．提出问题：设动点Z 与复数z ＝x ＋y i 对应，定点P 与复数p ＝a ＋b i 对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程．活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果．活动成果：解：设定点P 为圆心，r 为半径，如图，由圆的定义，得复平面内圆的方程|z －p |＝r .提出问题：1．复平面内满足__________的点Z 的集合表示的图形是以P 为圆心，r 为半径的不含边界的圆面部分．2．由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内点的轨迹方程．活动设计：学生分组完成，教师完善．活动成果：1.|z －p |<r2．(1)复数等式|z ＋i|＋|z －i|＝3在复平面上表示一个椭圆．(2)复数等式|z ＋i|－|z －i|＝1在复平面上表示双曲线的一支．(3)复数等式|z －z 1|＝|z －z 2|(z 1≠z 2)在复平面上表示线段的中垂线．(4)复数等式|z ＋i|＋|z －i|＝2在复平面上表示一条线段．(5)复数等式|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|在复平面上表示平行四边形对角线相等，即表示矩形． 设计意图设置本组题目，意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义，增加问题的多样性、趣味性，训练学生思维的发散性、深刻性．达标检测1．计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．2．复数6＋5i 与－3＋4i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量AB →，BA→对应的复数．3．求复数2＋i ，3－i 所对应的两点之间的距离．答案：1.(1)5；(2)－2＋2i.2.－9－i ；9＋i. 3. 5.(提示：两复数所对应的点分别是(2,1)，(3，－1)，求这两点距离即可．)课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．若干个复数相加(减)，可以将它们的实部与虚部分别相加(减)，复数的加(减)法则与多项式的加(减)法是类似的．2．复数加(减)法的几何意义可以按照向量的加(减)法来进行．3．两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．布置作业课本对应习题．补充练习基础练习1．如果复数a ＋b i 与c ＋d i 的和是一个纯虚数，则有( )A ．b ＋d ＝0且a ＋c ≠0B ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0C ．a ＋d ＝0且b ＋c ≠0D ．b ＋c ＝0且a ＋d ≠02．当－1<m <12时，复数m (2＋i)－(1－i)在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．4．在平行四边形OABC 中(其中O 为原点)，点A 、B 、C 所对应的复数分别是z 1＝4＋a i 、z 2＝6＋8i 、z 3＝a ＋b i(a ，b ∈R )，求复数z 1，z 3，并求出z 1－z 3的值．答案：1.B 2.B 3.4－2i.4.z 1＝4＋2i ；z 3＝2＋6i ；z 1－z 3＝2－4i.拓展练习5．在复平面内，求满足方程|z ＋i|＋|z －i|＝4的复数z 所对应的点的轨迹．6．复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.答案：5.提示：方程可以变形为|z －(－i)|＋|z －i|＝4，表示到两个定点(0，－1)和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆．6．提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线的长度为2，则所求的另一条对角线的长度也等于 2.法二：(向量法)设z 1，z 2所对应的向量分别是a ，b ，将|z 1＋z 2|＝2两边平方得a ·b ＝0，则(z 1－z 2)2＝2，所以|z 1－z 2|＝ 2.设计说明本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题入手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念．对于复数减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生．。
《复数的加、减法运算及其几何意义》教案、导学案、课后作业
《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》教案【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】 课程目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 数学学科素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.【教学重点和难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义． 难点：加、减运算及其几何意义. 【教学过程】 一、情景导入提问：1、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
2、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。
3、向量的加减运算满足何种法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本75-76页，思考并完成以下问题14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----121472z i Z i =+=-与12OZ OZ +1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义图321如图321所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？提示 |z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离． 四、典例分析、举一反三 题型一 复数的加减运算 例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)； (3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a ＋(4－2b )i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i ＝－10i.(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i ＝(a ＋2a )＋(b －3b ＋4)i ＝3a ＋(4－2b )i. 解题技巧（复数加减运算技巧）(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．跟踪训练一1．计算：(1)2i －[3＋2i ＋3(－1＋3i)]； (2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)． 【答案】(1)－9i. (2)－2a ＋(6b －5)i.【解析】(1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i. (2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i. 题型二 复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)间的距离.【答案】|Z 1Z 2|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．【解析】 因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i .所以Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|Z 1−Z 2|=|(x 1−x 2)+(y 1−y 2)| =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2解题技巧： (运用复数加、减法运算几何意义注意事项)向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是z B－z A(终点对应的复数减去起点对应的复数)．跟踪训练二1、已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应于复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．【答案】D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13. 【解析】如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C2＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ， 所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ， 所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13. 题型三 复数加、减运算几何意义的应用例3 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值． 【答案】 |z |max ＝6，|z |min ＝4.【解析】由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z|max＝6，|z|min＝4.解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）(1)|z－z0|表示复数z，z的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．跟踪训练三1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝ 2.【解析】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝ 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》导学案【学习目标】知识目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.核心素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.【学习重点】：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．【学习点】：加、减运算及其几何意义.【学习过程】一、预习导入阅读课本75-76页，填写。
复数加减运算及其几何意义教案
复数加减运算及其几何意义教案复数加减运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解复数的定义和表示方法；2. 掌握复数的加法和减法运算规则；3. 理解复数加减运算的几何意义。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板、彩色粉笔或白板笔；2. 学生准备笔和纸。
教学步骤：1. 引入复数的概念：-教师简要介绍复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。
-教师解释复数的表示方法：直角坐标系（a+bi）、极坐标系（r(cosθ+ isinθ)）。
2. 复数的加法运算：-教师讲解复数的加法规则：实部相加，虚部相加。
-教师通过例题演示复数的加法运算步骤，并鼓励学生跟随计算。
3. 复数的减法运算：-教师讲解复数的减法规则：实部相减，虚部相减。
-教师通过例题演示复数的减法运算步骤，并鼓励学生跟随计算。
4. 复数加减运算的几何意义：-教师解释复数加减运算在复平面上的几何意义：复数a+bi 可以表示为复平面上的一个点，实部a 对应横轴坐标，虚部b 对应纵轴坐标。
-教师通过绘制复数加减运算的几何图形，让学生观察并总结规律。
5. 练习与巩固：-学生进行练习题，巩固复数加减运算的知识和技能；-学生通过绘制复数加减运算的几何图形，加深对几何意义的理解。
6. 总结和拓展：-教师与学生一起总结复数的加减运算规则和几何意义；-教师提供拓展问题，让学生思考和探索更多关于复数的性质和运算。
教学提示：1. 在讲解复数加减运算的几何意义时，可以使用彩色笔或白板笔，让学生参与绘制图形，增加互动性和趣味性。
2. 鼓励学生多进行练习，加深对复数加减运算的理解和掌握程度。
3. 教师可以根据教学进度和学生掌握情况，适当调整教学步骤和时间分配。
《复数代数形式的加减运算及其几何意义》教案完美版
《复数代数形式的加减运算及其⼏何意义》教案完美版《复数代数形式的加减运算及其⼏何意义》教案预备知识复数的⼏种表⽰形式重点复数四则运算的法则复数加法的⼏何⽅法难点复数运算的除法运算不同运算时采⽤复数不同表⽰形式的选择学习要求掌握复数加减乘除运算法则理解复数乘除运算的棣莫弗法则⼀、新课讲授：1、复数的加法与减法复数的加法规定按照以下的法则进⾏：设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的和是：（a+bi ）+（c+di ）=（a+c ）+（b+d ）i .显然，两个复数的和仍然是⼀个复数.可以验证，复数的加法满⾜交换率、结合率，即对于任何z 1，z 2，z 3 ∈C ，有 1221123123z +z z +z (z +z )z z (z +z ).=+=+，复数的减法规定是加法的逆运算，即把满⾜（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi，叫做复数a+bi减去c+di的差，记作（a+bi）-（c+di）.根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，由此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=（a-c）+（b-d）i，即（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i .这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差仍然是⼀个唯⼀确定的复数.从上⾯可以看出，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i .例1、计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）.解：（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）=（5-2-3）+（-6-1-4）I=-11i .2、复数的乘法与除法复数的乘法规定按照以下的法则进⾏：设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积是：（a+bi ）（c+di ）=ac+bci+adi+bd=（ac-bd ）+（bc+ad ）i.显然，两个复数的和仍然是⼀个复数.从上⾯可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并. 两个复数的积仍然是⼀个复数.容易验证，复数的乘法满⾜交换率、结合率以及分配率，即对于任何z1，z2， z3 ∈C ，有复数的除法规定是乘法的逆运算，即把满⾜（c+di ）（x+yi ）=a+bi （ c+di ≠0）的复数x+yi ，叫做复数a+bi除以c+di 的商，记作（a+bi ）÷（c+di ）或a+bi .c+di12211231231231213z z z z (z z )z z (z z )z (z +z )z z z z .===+，，因为（x+yi)(c+di ）=（cx-dy ）+（dx+cy ）i ，所以（cx-dy ）+（dx+cy ）i=a+bi ，由此可得2222,,..ac bd x cx dy a c d dx cy b bc ad y c d +?=?-=??+??+=-??=?+?解得，于是有例2、计算（1）(1-2i)(3+4i)(-2+i);（2）(1+2i) ÷(3-4i).解：(1)原式=（11-2i)(-2+i ）=-20+15i(2)原式⼆、课堂练习计算：2222()()(0).ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++2212(12)(34)34(34)(34)38645103425 1255i i i i i i i i i i+++==--+-++-+==+=-+（1）(-0.2+0.3i)(0.5-0.4i)；（2）(1-2i)(2+i)(3-4i)；（3）（4）[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i]；（5）(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)；（6三、课堂⼩结（⼀）、数学知识：(1)复数的加法与减法；(2)复数的乘法与除法；（⼆）、数学思想：(1)转化思想；(2)类⽐思想.四、课后作业课后习题3、5、6、()](i +-++++).-。
复数·复数的减法及其几何意义
复数·复数的减法及其几何意义第一篇：复数·复数的减法及其几何意义复数·复数的减法及其几何意义·教案教学目标1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．教学重点和难点重点：复数减法法则．难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程设计（一）引入新课师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书）1．复数减法法则（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）．如何推导这个法则呢？生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（学生口述，教师板书）（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i．师：说一下这样推导的想法和依据是什么？生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题．生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．（学生口述，教师板书）推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i．师：这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？生：仍是复数．师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？生：不会．师：这说明什么？生：两个复数的差是唯一确定的复数．师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．（三）复数减法几何意义师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？（板书：2．复数减法几何意义）生：用向量表示两个做减法的复数．（学生口述，教师板书）设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别师：我们应该如何认识这个方程？（学生困惑，教师引导）师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．师：有什么几何意义吗？生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．（学生活跃起来，纷纷举手回答）生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；（学生议论后，举手回答）生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．师：这个动点轨迹是什么曲线呢？（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）生：是椭圆吧．师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．（学生在教师的提示下一起回答）生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（学生议论后，举手回答）生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．师：说的再准确些．生：是双曲线右支．师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求（1）复平面内圆的方程；（学生口述，教师板书）解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．课堂教学设计说明1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解． 2．对复数减法几何意义应分三个层次．例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．例3和例4是在例2公式基础上将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线、不等式等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性．第二篇：复数·复数的乘法及其几何意义复数·复数的乘法及其几何意义·教案教学目标1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2．掌握复数乘法的几何意义．3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．（利用投影仪出示）1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i （r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和．师：利用这个结论，请同学们计算：这就是复数的三角形式乘法运算公式．三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？（同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍（r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变），所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．师：解此题复数是否一定化成三角形式？生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．师：说得好，请同学们写一下解题过程．（找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）师：为什么？生丙：乘数sin30°+icos 30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos 60°＋isin 60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．同学们开始讨论解决：生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系．师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i．师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值．师：你分析得很好，请你计算一下：师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换角度上考虑问题．现在布置作业：第三篇：复数1)单数名词加2)以s、x、sh、ch结尾的名词加3)以辅音字母加y 结尾的名词，变y为i加4)以f或fe结尾的名词，多数变f为v加es: wives, knives.但有些词只加s: roofs, proof s, 5)以o结尾的名词，有些加es: Negroes, heroes, tomatoes, potatoes.其它加s: radio s, zoos，6)不规则名词：foot→feet, goose→geese, tooth→teeth, child→children, man→me n, woman→women, sheep→sheep, deer→dee r, mouse→mice.7)某些外来词变复数：datum→data, medium→media, bacterium→bacteria, curriculum→curricula, criterion→criteria, phenomenon→phenomena.8)复合名词变复数：以不可数名词结尾的复合名词无复数形式，如：以man或woman为前缀的复合名词变复数，前后两个名词都变复数，如：manservant→menservants, 其它复合名词变复数：9)复合形容词做定语时，其中的名词保持单数：book名词复数：）~~英语中名词可分为可数名词和不可数名词。
复数的加、减运算及其几何意义教案-高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
第七章 复数7.1 复数的概念7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义一、教学目标1、熟悉并掌握复数代数形式的加、减运算及法则；2、正确认知复数加、减运算的几何意义；二、教学重点、难点重点：复数的加、减运算及其几何意义.难点：熟练掌握复数的加、减运算及其几何意义.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数(complex number)a --复数z 的实部(real part)b --复数z 的虚部(imaginary part) 复数相等1,z a bi =+2zc di =+ 12z z a c =⇔=且bd =【问题】我们已经将数扩充到复数集，是否可以像实数集一样，讨论发现复数的相关运算？（二）阅读精要，研讨新知【发现】复数加、减法的运算和法则 已知复数12(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，12()()z z a c b d i +=+++1221z z z z +=+123123()()z z z z z z ++=++【复数加减运算的几何意义】复数12(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，分别对应于 向量12,OZ OZ ，且12(,),(,)OZ a b OZ c d ==，则12(,)OZ OZ a c b d +=++复数的加、减运算几何意义1212()()(,)z z a c b d i OZ OZ a c b d +=+++←−−−→+=++一一对应1212()()(,)z z a c b d i OZ OZ a c b d -=-+-←−−−→-=--一一对应【例题研讨】阅读领悟课本76P 例1、例2（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.） 例1 计算(56)(2)(34)i i i -+---+.解：(56)(2)(34)11i i i i -+---+=例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点111222(,),(,)Z x y Z x y 之间的距离. 解：由已知，111222(,),(,)Z x y Z x y 对应于复数111222,z x y i z x y i =+=+所以点111222(,),(,)Z x y Z x y 之间的距离为121221||||||Z Z Z Z z z ==-2211|()()|x y i x y i =+-+2121|()()|x x y y i =-+-222121()()x x y y =-+-【小组互动】完成课本77P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知||3z =，且3z i +是纯虚数，则z 的共轭复数为( )A. 3-B. 3C. 3i -D. 3i解：设(,)z x yi x y R =+∈，则3(3)z i x y i +=++是纯虚数，所以030x y =⎧⎨+≠⎩，又22||3z x y =+=，解得0,3x y ==，所以3z i = 所以z 的共轭复数为3i -，故选C2. ABCD 中，点,,A B C 分别对应复数4,34,35i i i ++-，则点D 对应的复数z 是( )A ．23i -B ．48i +C ．48i -D ．14i +解：由已知，AB 对应的复数为(34)(4)13i i i +-+=-+，DC 对应的复数为(35)i z --，因为AB DC =，所以13(35)i i z -+=--，所以(35)(13)48z i i i =---+=-，故选C3.设复数z 满足|34||34|z i z i -+=+-，则复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A.圆B.半圆C.直线D.射线解：由已知得，|(34)||(34)|z i z i --=--+，设z 在复平面上对应于P 点，134z i =-对应于点(3,4)A -， 234z i =-+对应于点(3,4)B -，则|(34)|||z i AP --=，|(34)|||z i BP --+=，所以||||AP BP =， P 点的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故选C4. 复数(,)z x yi x y R =+∈，满足|4||2|z i z -=+，则24x y +的最小值为( )A ．2B ．4C ．42D ．2解：由已知，|4||2|x yi i x yi +-=++，即|(4)||2|x y i x yi +-=++所以2222(4)(2)x y x y +-=++，化简得，23x y =-+所以2382424428424x y y y y y -++=+=+≥=844y y =时取等号 所以24x y +的最小值为42C（四）归纳小结，回顾重点 复数加、减法的运算和法则已知复数12(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，12()()z z a c b d i +=+++1221z z z z +=+123123()()z z z z z z ++=++复数的加、减运算几何意义1212()()(,)z z a c b d i OZ OZ a c b d +=+++←−−−→+=++一一对应1212()()(,)z z a c b d i OZ OZ a c b d -=-+-←−−−→-=--一一对应（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本80P 习题7.2 1、2、52.预习课本 7.2.2 复数的乘除运算五、教学反思：（课后补充，教学相长）人教A版高中数学必修第二册教学设计。
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复数·复数的减法及其几何意义·教案
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
教学过程设计
（一）引入新课
师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书）
1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）．
如何推导这个法则呢？
生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．
（学生口述，教师板书）
（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i．
师：说一下这样推导的想法和依据是什么？
生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．
师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题．
生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．
（学生口述，教师板书）
推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得
故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i．
师：这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？
生：仍是复数．
师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？
生：不会．
师：这说明什么？
生：两个复数的差是唯一确定的复数．
师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．
（三）复数减法几何意义
师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
（板书：2．复数减法几何意义）
生：用向量表示两个做减法的复数．
（学生口述，教师板书）
设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别
师：怎样用向量表示z-z1的差．
（学生困惑，教师启发）
师：还记得刚才推导复数减法法则时我们是如何转化的？
（学生活跃起来，议论纷纷）
生：由于复数减法是加法的逆运算，设z=（a-c）+（b-d）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意
义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（a-c）+（b-d）i对应（如图8-2）．
师：很好．在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量只有向量2．吗？
生：还有．
师：为什么？
生：因为OZ2 Z1Z，所以向量，也与z-z1差对应．
师：向量起点，终点分别是什么？
生：向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．
师：点Z1，Z对应复数分别是什么？
生：点Z1对应的复数是减数z1，Z对应的复数是被减数z．
师：谁能概括一下复数减法几何意义是什么？
（学生议论片刻）
生：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
（教师板书此段话并配图示）
（四）应用举例
（学生口述，教师板书）
生：在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x 轴对称点Z2（3，-2），向
图8-3）．
但一定要注意箭头指向被减数对应点Z1，否则，方向不同将表示不同的向量，对应复数也就不同．
应复数是z1=-2+5i．
（如图8-4）．
例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．
（学生思考片刻口述，教师板书）
解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2
即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．
师：很好．这就是复平面内两点的距离公式．这个公式与我们学过的两点间距离公式是否一致？
生：我认为一致．
设z1=x1+y1i，z2=x2+y2i．则
|z2-z1|
=|（x2+y2i）-（x1+y1i）|
师：这就是说关于距离问题可以用复数表示．
例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
师：我们应该如何认识这个方程？
（学生困惑，教师引导）
师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？
生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．
师：有什么几何意义吗？
生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．
（学生活跃起来，纷纷举手回答）
生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
（学生议论后，举手回答）
生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．师：这个动点轨迹是什么曲线呢？
（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）
生：是椭圆吧．
师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．
（学生在教师的提示下一起回答）
生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．
师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？
生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
（学生议论后，举手回答）
生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．
师：说的再准确些．
生：是双曲线右支．
师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求
（1）复平面内圆的方程；
（学生口述，教师板书）
解：设定点P为圆心，r为半径，（如图5）
由圆的定义，得
复平面内圆的方程|z-p|=r．
师：这个圆的方程与我们以前所学实数表示的圆的方程是否一致．
生：一致．由于|z-p|=|（x+yi）-（a+bi）|=|（x-a）+（y-b）i|=
师：如果P在原点，复平面内圆的方程是什么？
生：|z|=r．
（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？
（学生口述，教师板书）
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．
课堂教学设计说明
1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解．2．对复数减法几何意义应分三个层次．
例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．
例3和例4是在例2公式基础上将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线、不等式等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性．。