数列的极限及运算法则
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
极限的概念和运算法则
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
x2 1 例 4 讨论函数 y f ( x ) 当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势. x 1 解 该函数的图像是直线 y x 1上除去点 （1， 以外的部分， 2）
如图可以看到， 此函数在 x ＝1 处虽然没有定义， 但是当 x 从 x ＝ x2 1 1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数 f ( x) 的值越 x 1 来越趋近于 2。
推论2
lim f ( x) lim f ( x) . 如果 lim f ( x)存在, n为正整数, 则 x x x x0 0 x x0
n
x x0
x x0
n
例7
x 1
求 lim(3x 2 2 x 1).
x 1
解 lim(3x 2 2 x 1) lim3x 2 lim 2 x lim1
x x0 x x0 0 x x0 0
1, x 0. 例6 求函数 f ( x) sgn x 0, x 0, 1, x 0
当x 0时的左右极限, 并讨论极限 lim f ( x)是否存在.
x 0
解
y
x 0, f (0 ) lim f ( x) lim ( 1) 1,
y
2 1
x2 1 y x 1
Ｏ
1
x
定义
设函数f ( x)在点x0的某一邻域内( x0可以除外)有定义.
如果当x无限接近于定值x0 ,即x x0 ( x不等于x0 )时,函数f ( x)
的值无限接近于一个确定的常数A, 则A叫作函数f ( x)当x x0
时的极限, 记做
x x0
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。
本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。
数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。
简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。
证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。
我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。
首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。
我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
接下来，我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。
同样地，假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限运算法则总结
极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。
2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。
3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。
4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。
5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。
6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。
7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。
8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。
9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。
10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。
数列与函数的极限公式概念
- 1~
1 x 1 x ~ x, (1 x) 1 ~ x ．
▪无穷大：函数无穷大 无界 x 时,若 fx 为无穷大,则 为无穷小；
x 时,若 fx 为无穷小,且在 的某去心邻域内 fx 注：分母极限为 0,不能用商的运算法则
, 则 为无穷大.
▪初等函数： 连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
间 a,b 内至少存在一点 ,使得 f = .
零点定理根的存在性定理：若函数 fx 在闭区间 a,b 上连续,且 fa 与 fb 异号 fa fb ,在开区
间 a,b 内至少存在一点 ,使得 f =0
求极限：洛必达法则： 1、0/0 型： 方法：将分子分母分解因式消去公因子
或者将分子有理化有理化,再求极限; 1、 方法：将分子分母同时除以自变量的最高次幂;
▪函数极限
=A 的充分必要条件是
=
=A
▪函数极限
=A 的充分必要条件是
=
=A
▪分段函数极限与该点有无定义无关,只与左右极限有关.
即
=
▪函数极限的性质：
1 极限的惟一性：若函数 fx 当 或 时有极限,则其极限惟一.
▪极限运算法则： 设 limfx=A,limgx=B,则
1limfx
=A B
2limfxgx=AB
▪在某个自变量变化过程中 limfx=A 的充要条件是 fx=A+ x. 其中 x 是该自变量变化过程中的 无穷小量.
▪无穷小的比较：设 = x , = 都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若 lim =c c ,是常数,则称 与 是同阶无穷小. 2.若 lim =1,则称 与 是等价无穷小,记作 ~ . 3.若 lim =0,则称 与 是高阶无穷小,记作 =o
极限
数列极限 一、数列极限1定义：对于一个无穷数列：}{n a ，*∈N n ，如果当∞→n 时，a a n →（a 为常数），我们就说当∞→n 时，}{n a 以a 为极限；记作：lim n n a →∞，即lim n n a →∞=a 。
对定义的理解：① 无穷数列才谈极限； ② 存在极限的数列的极限为常数；③ lim n n a →∞=a ⇔当∞→n 时，当∞→n 时，0→-a a n2、性质定理：设}{n a 、}{n b 为两个无穷数列，且}{n a ⊆}{n b ，那么lim n n a →∞=a ⇔lim n n b →∞=a 3、常用基本数列极限： ①lim n C →∞=C , ②1lim0n n→∞= ③lim 0(1)n n q q →∞=<4、极限的四则运算：如果lim n →∞a n =A ，lim n →∞b n =B ，那么①lim n →∞(a n ±b n )=A ±B ②lim n →∞(a n ·b n )=A ·B ③limn →∞n n b a =BA(B ≠0) 理解：数列极限运算法则运用的前提: ① 参与运算的各个数列均有极限;② 运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用，而应该先化简（或计算） ③极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….④极限的四则运算还可以推广，如：n n n n a a ∞→∞→=lim lim A =5、题型、思维、方法、技能点拨：1∙数列极限的基本类型①“∞∞”型无穷数列的极限 如：1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322lim n n n n n→∞+++= 2、135(21)lim 2462n n n →∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________；21124......25lim 54n nn n n ++→∞++++-+=处理思路：转化，转化为可以直接利用“四则运算”及基本极限的情形12c c ∞⎧→⎪∞⎨⎪⎩目标：手段：手段：分子分母同时约去分母的"最高"无穷大②“∞-∞”如：（1） lim n →∞(1223-n n -122+n n ) （2）4)n n →∞处理思路：③“0⋅∞”如： lim n →∞[n (1+n -n )]处理思路：④其它：“00”、“1∞”、“0∞”等 2∙含参数的极限问题①已知a 、b 是互不相等的正数，则=+-∞→nnnn n b a b a lim②已知2231lim(4)n n cn n an bn→∞++-+=5，求常数a 、b 、c 的值6、课堂练习 1求下列极限(1)lim n →∞(3261n n --261n n +) (2)lim n →∞1+n -n )](3)lim n →∞(21n +24n +27n +…+223n n -) (4)lim n →∞)1()1()1()1(11n n n n a a a a a a -+--+--+(a ≠1)2、已知2231lim(5)n n cn n an bn→∞++-+=5，求常数a 、b 、c 的值。
数列极限的计算方法总结
数列极限的计算方法总结
计算数列极限的方法有以下几种：
1. 算术平均法：如果数列的前n项的平均值与极限L足够接近，则认为该数列的极限为L。
2. 递推法：通过递归的方式计算数列的每一项，当数列的前n
项与极限L足够接近时，认为该数列的极限为L。
3. 代数运算法：对数列进行一系列代数运算，如取对数、求导、化简等，将其转化为易于计算的形式，然后计算其极限。
4. 特殊数列的极限公式：对于一些特殊的数列，有固定的计算公式可以直接得出其极限。
例如，等差数列的极限公式为首项加末项再除以2；等比数列的极限公式为首项与公比的幂次幂
乘积等等。
5. 单调有界数列的极限定理：如果一个数列是单调递增（递减）且有上界（下界）的话，那么该数列就有极限。
此时极限即为数列的上界（下界）。
6. 夹逼定理：如果一个数列在无穷大或无穷小的部分夹在两个收敛数列之间，并且这两个收敛数列的极限相等，那么该数列也会收敛，并且极限也等于这两个收敛数列的极限。
总结来说，计算数列极限的方法主要包括直接求均值、递推推导、代数运算等方法，也可以利用数列的特性或数列的极限定
理快速计算。
不同的方法适用于不同的数列，需要具体分析问题来选择合适的方法。
数列极限
课题6 数列极限一、基础知识1.极限：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a （即 a a n -无限地接近于零），那么就说数列{}n a 以a 为极限（或者说a 是数列{}n a 的极限），记作∞→n lim n a =a.2.常用的数列极限：(求数列极限的基本公式) (1) ∞→n lim C ＝C ；(2) ∞→n lim na ＝0 ()1<a ；(3) ∞→n limn1＝0. 3.数列按极限情况的分类：(1)数列有极限；(2)数列无极限：分为极限不存在(项数趋近于无穷，项也趋近于无穷)和不唯一两类.4．数列极限的运算法则：“四则运算的极限等于极限的四则运算” . ∞→n lim n a =a ，∞→n lim n b =b ，则∞→n lim (a n ±b n )＝a ±b ，∞→n lim (a n ·b n )＝a ·b ，∞→n limn n b a ＝ba(b ≠0). 适用条件：(1)都有极限；(2)个数有限；(3)分母不为零. 注：当运算的极限不适合上述条件时, 应适当变形使之符合条件后再应用（应搞清楚为什么变形和怎样变形）. 5．可求数列极限的类型1) 设)(n f 、)(n g 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别是p a 、q a ，且0)(≠n g ，即(1)当f(n)的次数大于g(n)的次数时，极限不存在. (2)当f(n)的次数小于g(n)的次数时，极限等于零.(3)当f(n)的次数等于g(n)的次数时，极限为最高项的系数比. 注：此类型极限不满足条件(1)即“都有极限”，变形的步骤是分子、分母同除n 的最高项，然后再利用基本极限求解.2) ∞→n lim )()(n n b g a f .方法：对a 、b 的大小和范围进行分析，若不满足极限的运算条件（常见的是“都有极限”和“分母不为零”），变形的方法是分子、分母同除较大数的n 次方，然后再利用基本极限⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→11|| 1 11|| 0l i m a a a a q n n 或不存在求解，若满足极限的运算条件则无需变形. 3) ∞→n lim (含根式). 方法：此类型极限一般是不满足“都有极限”和“分母不为零”，变形的方法是分子或分母或同时有理化，然后再利用基本极限求解.4) ∞→n lim (运算个数无限). 方法：此类型极限不满足“个数有限”，因此应先运算再极限.二、例题1. 分析下列数列的极限，有极限的求出来；没有极限的说明理由：1)101，2101，3101，…，n 101…. 2）21，32，43，…，1+n n ，…. 3）-1，21，31-，…，nn )1(-…. 4）-1，1，-1，1，…，（-1）n , ….⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→q p q p a a qp n g n f qpn 0)()(lim 不存在5)32,94,278,…，n )32(,…. 6) 23,49,827,…，n )23(,… 2．已知数列：211，221，231，…，21n …. 1）把这个数列的前5项在数轴上表示出来； 2）写出0-n a 的解析式； 3）指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n 的解析式. 3.1）若nn x )21(lim -∞→存在，则x 的取值范围是 .2) 若nn x )21(lim -∞→=1，则x 的取值范围是 .4.基本法则：1)若 ∞→n lim a n ＝5，∞→n lim b n ＝3，求∞→n lim (3a n -4b n )2)若∞→n lim (2a n +b n )＝1，∞→n lim (a n -2b n )＝1，求 ∞→n lim a n ·b n .3)若∞→n lim a n 存在，且121-=+n n a a ，求∞→n lim a n.5.求下列数列的极限：类型一：∞→n lim)()(n g n f ，其中f(n)与g(n)为一元多项式. 1) ∞→n limdcn ban ++＝2) ∞→n lim f en dn cbn an ++++22＝若2lim 22=++∞→c bn cn an n ，3lim =++∞→a cn c bn n ，则b an cn c bn an n ++++∞→22lim ＝3) 若2lim 22=++∞→c bn cn an n ，3lim =++∞→a cn c bn n ，则ban cn cbn an n ++++∞→22lim ＝4) ∞→n lim n n an ++2256＝2，求a 的值.5) ∞→n lim (n n n -++132)＝ 6）等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和为S n 和T n ，若132+=n nT S n n ，则∞→n lim nn b a ＝ 7）已知S n 是无穷等差数列1，3，5，…前n 项之和，则nnn S S 2lim∞→的值等于类型二：∞→n lim )()(n nb g a f ： 1) ∞→n lim 1)31()21(1+-n n＝ 2) ∞→n lim 1321+-n n＝3) ∞→n lim 11)2(3)2(3++-+-+n n nn ＝ 4) ∞→n lim nn n n a a a a --+-＝5) ∞→n lim 3133)2(31=-⋅+-⋅+n n n n a n x n n ，求x 的取值范围. 6)若θ∈[0, 2π]，∞→n lim θθθθn n n n cos cos sin cos -+＝7) ∞→n lim 13241-⋅⋅+n n n n ＝8）首项为1、公比为q(|q|＞1)的等比数列前n 项之和为S n ，求1lim+∞→n nn S S类型三： ∞→n lim (含根式).1) ∞→n lim (1+-n n )2) ∞→n lim ()1(321321-++++-++++n n3) ∞→n lim (n n n -+2)4) ∞→n limnn n n --+222215) ∞→n lime an d an c an b an ++++++6) ∞→n lime an d an c an b an +-++-+7) ∞→n limean d an c an b an +-++++类型四：运算个数无限，应先运算，后求极限 1) ∞→n lim (2222321n nn n n ++++ ) 2) 11)2(421)2(lim -+∞→-+⋯-+--n n n3) lim n nn nnnc c c →∞+++++20222221424）.)2221(lim 122321222-→++++++n nn n n n C C C ω 5) lim(n n nn →∞++++++236236236222 ） 6) ∞→n lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯+)1(14313212111n n 7) ⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++++⋯++++++∞→n n 321132112111lim 8）等差数列{}n a 的公差d>0，首项01>a ，，9）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 11411311211lim 10）∞→n lim ()()()11211311222--- n 6．1）已知数列}{n a 中，0>n a ，前n 项的和为n S ，且满足.)2(812+=n n a S 若数列}{n b 满足n a n T t t b ),1()1(42>-=+为数列}{n b 的前n 项的和，求n n T ∞→lim2) 设正数数列}{n a 为一等比数列，且，求3) 设数列}{n a 的首项为11=a ，前n 项和n S 满足关系式：（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比为f(t)，作数列}{n b使，求（3）对（2）中的数列}{n b 求和：三、作业 课题6 班级 姓名 学号 1．选择题1） 已知四个数列的通项公式分别是nn a )1(1-+=，nn b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=222，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42tan )1(ππn c n n ，nn d nn 1)1(+-=，当∞→n 时，这四个数列中极限为－1的是数列 ( ) (A){a n } (B){b n } (C){c n } (D){d n } 2）观察下面四个数列：1⋯-⋯---,1)1(,,41,31,21,1n n ；,,)1(1,,31,21,1,1⋯-+⋯+++dn a d a d a d a a （分母不为零）；⋯+⋯,1,,45,34,23,2n n ；，，，－，－⋯+-⋯,1)1(,,4534232nn n 其中存在极限的数列的个数是 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 ( ) 3）∞→n lim a n =A, ∞→n lim b n =B 是∞→n lim (a n +b n )=A+B 的 ( )(A)充分必要条件 (B)充分且不必要条件 (C)必要且不充分条件 (D)既不充分又不必要要件 4）若lim n →∞a n =A ，那么满足|a n -A |≥ε(ε为任意小正数)的数列{a n }的项数为 ( )(A)有限多项 (B)无限多项 (C)0 (D)不一定5）下列关于数列极限的说法中，正确的是 ( ) (A)摆动数列一定不存在极限 (B)递增数列一定不存在极限(C)一个数列的极限可能不止一个数值 (D)数列的极限反映数列中项的变化趋势 6）以下各式中，当∞→n 时，极限值为21的是 ( ) (A))1(22+-n n n (B)2312++n n (C)n n n )1(-+ (D) 22)23(741n n -+⋯+++ 7）已知f(n)＝1＋2＋…＋n ，(n ∈N)，则22)]([)(lim n f n f n ∞→的值是 ( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)21 8) 在等差数列{a n }中，a 1=1,S n =a 1+a 2+…+a n ，且1≠m n S S ,则∞→n lim)1(11+-+n na n S 的值是 ( ) （A ）21 （B ）21- （C ）0 （D ）不存在 2．填空题：1）若∞→n lim (3a n +4b n )=8, ∞→n lim (6a n －b n )=1，则∞→n lim (3a n +b n )=_____ __2) (1)在数列{a n }中，有lim n →∞()21n a n -＝1，且lim n n n a →∞⋅存在，则lim n n na →∞＝___ _(2)如果n n a ∞→lim 存在，且9423lim=+-∞→nn n a a ，则n n a ∞→lim ＝______ (3)r qn pn ban n +++→2lim ω存在的条件是_____ (4)x x x n n n =++→2121lim ω，则x 的取值范围是__ ____; (5)若3133lim 11=++++∞→n n n n n a a ，则a 的取值范围是________.3) (1)若1)342(lim 2=++-∞→an n n n ，则a 等于 ;(2)2)7(24)2(lim 22=++-∞→n n n k n ，则实数k= . 4) (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+∞→135323152lim 232n n n n n n n =________________; (2)1111510105lim -+-+∞→--n n n n n ＝____________ (3))1(lim 2n n n n +-+∞→= (4) .__________________)2221(lim 122321222=++++++-→n nn n n n C C C ω (5)11)2(421)2(lim -+∞→-+⋯-+--n n n ＝________ (6) ∞→n lim [)23)(23(1971741411+-++⋅+⋅+⋅n n ]=_____ (7)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n ＝_____ (8)∞→n lim [n n 31)1(27191311⋅-+-+-- ]=_______ (9)∞→n lim nn n21)1(21211212121122∙-+-+-++++＝______ (10) 若a ＞b ＞0,∞→n lim 1221+--++++n n n n n ab b a b a a = (11)若α∈(0，π4)，lim n →∞=sin cos sin cos n n n n αααα+-663=______,(12)若log b π＜log a π＜0,则∞→n lim n n nn b a b a +-=__ ____5）记132333212121256112816413211618141211-----+⋯+--+--+--=n n n n S ，则=∞→n n S lim ________6) (1)若{a n }是等比数列,a 1+a 2+a 3=18,a 2+a 3+a 4= -9,S n =a 1+a 2+…+a n ,则∞→n lim S n 的值是 ; (2)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项和为S n ，若S S 1023132=，则lim n →∞S n 等于 .(3)已知等比数列{an}的公比q ＞1，a 1＝b(b ≠0)，则n876n321n a a a a a a a a lim++++++++∞→ ＝_______.7) 已知数列{a n }满足⎪⎭⎫⎝⎛++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111411311211n a n ，则n a n n ∞→lim 的值等于 3．解答题：设A n 为数列}{n a 前n 项的和，A n ＝))(1(23N n a n ∈-，数列}{n b 的通项公式为 )(34N n n b n ∈+=.设数列}{n d 中的第n 项是数列}{n b 中的第r 项， B r 为数列}{n b 前r 项的和， D n 为数列}{n d 前n 项的和，T n =B r －D n ，求4limnnn a T ∞→.。
数列极限地运算法则
3 5
n
n
1 9
0
方法小结：
lim
n
kpn tpn
cqn dqn
1、如果 p q ,那么分子、分母同除以pn; 2、如果 p q ,那么分子、分母同除以qn;
再利用lim rn ,求极限值. n
例3：计算下列数列的极限：
(1) lim(1 2 3 2010) 0
n n n n
lim1 lim 1
n
n n n
(2) lim 2n 1
2 1 lim n
n 3n 2 n 3 2
lim(2
n
1) n
2
lim(3 2) 3
(3) lim 2n 1 n n2 3n
n
lim
2 n
1 n2
n 1 3
n
lim( n
2 n
nn12
)
lim(1 3)
0
n
n
n
(4) lim n2 2n 3 n 2n2 3n 7
(7) 1 6
a 1 (8) b 1
(9)
2 5
,
4 5
(10) 0,4
(11) 1 3
例7、计算下列数列的极限：
(1) lim n
n 1 n2
n
lim
n n
1 1 1 n
1 2 1 n
lim ( n 1 n)( n 1 n) n ( n 2 n)( n 1 n)
lim
1
练习：
书 P-42 练习 7.7（3） 书 P-44 练习 7.7（4）
作业：
一课一练： P-28 练习 7.7（3） 一课一练： P-30 练习 7.7（4）
作业：
1.3.1数列极限的运算法则
（1）若n
N,xn1
xn
0,则xn 0, 则xn
;
（2）若n
N,xn1 xn
11,, 则则xxnn
;
（3）若xn1
f
(xn ),
f
(x) 0,则当当xx11
x2 ,xn x2 , xn
;
这是因为：若x1≤x2,由f(x)的单调递增性有 x2=f(x1)≤f(x2,)=x3,所以 x1≤x2≤x3,以此类推, 即可得到 {xn}是单调递增。
事实上， 0,按上确界定义 , aN an,使得a aN . 又由an的递增性,当n N时有a aN an.
而a是an的一个上界 ,故an ,都有an a a .
所以当n N时有 a an a .
即
lim
n
an
a.
同理可证有下界的递减 数列必有极限.
例1 证明数列{(1 1 )n}单调增加,{(1 1)n1}单调减少,
n
n
且收敛于同一极限.
证：
记
xn
(1
1 )n , n
yn
(1
1 )n1 n
利用平均值不等式
xn
(1
1 )n n
1
n(1 1) n
n 1
n1
1
xn1
xn
1 yn
(
n
n
)n1 1
1
(n
1) n
n
n
2
1
1
n2
1 yn1
yn
又由于 2 x1 xn yn y1 4
同理若x1 x2,由f(x)的单调递增性有 x2=f(x1)f(x2,)=x3,所以 x1x2x3，以此类推， 即可得到 {xn}是单调递减。
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B, 则有法则 1:lim(A n+B n)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An • Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| <e都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明：•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)法则2的证明：lim(A n-B n)=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)( 法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0./• lim(A n • Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £引理5:若limAn存M,使得对所有正整数n,有|An| wM.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|A n*B-B n*A|/|B*B n|=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)(M+K)/((M+K+1)< £法则5的证明：lim(An 的k次方)=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。
极限的四则运算
一、数列的极限：1.极限的概念和运算法则数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限.数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则 ① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .② ()0,0lim ≠≠=∞→B b B A b a n n n n .（注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()n n n b a ∞→lim 存在，n n a ∞→lim ，nn b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。
）2.基本数列极限①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01lim N n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n 而对于n n q lim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→n n q ；当1||>q 或1-=q 时，n n q lim ∞→极限不存在。
3.无穷等比数列各项和当公比1||0<<q 时,无穷等比数列ΛΛn a a a a ,,,321的各项和为:）；1||0(11lim <<-==∞→q q a S S n n（可以让学生解释各项和怎么由前n 项和公式演变而来，注意适用范围及两者区别）4.常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b a b n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限: ⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn当1||>q或1-=q时,上述极限不存在（注意：求极限时，把常数项提到极限记号外面可以使运算变得很简洁。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列的极限及其运算法则学习要求：1．理解数列极限的概念。
正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）lim 0nn a →∞= (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1nn a →∞=；当1a =-或1a >时，lim nn a →∞不存在。
3. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞→∞==g g推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim二、基本题目1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）3452,,,,234--…，1(1)n n n+-，…； （3）1010100(10)1(10)n n a n n⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 2.（1）若1lim()02nn a a→∞-=，则a 的取值范围是 。
（2）数列}{n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a =-，求lim n n a →∞的值。
3． 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→解：因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，所以 lim(34)lim3lim43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞-=-=-=-=4． 求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n 解：（1）44lim(5)lim5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；（2）22211lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=5． 求下列极限：(1))21(lim 2n n n +∞→. (2)nn n 23lim -∞→. (3)232lim 22++∞→n n n n . (4)24323lim n n n n n -+∞→. 解：(1)0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n .(2) (方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n .(方法二)∵n →∞，∴0n ≠.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim23lim==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是232n +，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.(3)3203022lim 3lim 1lim2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n n n n .规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.(4)分子、分母同除n 的最高次幂即4n ，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n n n n n n n n n .规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0. 6．求下列极限.(1))13(lim 2n n n n -+-∞→. (2)21323lim -++-∞→n n n . (3)1513lim ++-∞→n n n .解：(1)11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n n . (2)30103211323lim21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→nnn nn n n n .(3)001001lim1lim 5lim13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n n n n n .说明：当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在7． 求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n K ；（2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n K K 解：先求和再求极限 （1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n K 222222[3(21)]1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++L（2）11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123n n nnn n n n n n n n n --→∞→∞→∞→∞-++++--====++++---K K 8． 公比绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列ΛΛ,,,,,112111-n qa q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11)1(<q （1） 求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和.解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q =所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-（2）将无限循环小数。
92.0化为分数.解：0.290.290.00290.000029=+++&&L ＝224621111291029()29110101099110+++==-L 练习：如图，在边长为l 的等边ABC ∆中，圆1O 为ABC ∆的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与,AB BC 相切，…，圆1n O +与圆n O 外切，且与,AB BC 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为*()n a n N ∈.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列；（Ⅱ）求12lim()n n a a a →∞+++L 的值.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。