2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
2016年北大博雅计划数学试题及答案
K M
B D
由弦切角定理，得
∠DKM = ∠BAK = ∠KLM,
又 ∠KLA = ∠KM L，于是可得 ∠AKL = ∠BKL，因此由角平分线定理可得 AL : BL = AK : BK，从 而可得 BL = 25．
12.解 C． 分别令 x = 0, 1, −1，可得
2f (0) + f (−1) = 1,
B. 12
C. 13
D. 前三个答案都不对
11. 两个圆内切于 K，大圆的弦 AB 与小圆切于 L，已知 AK : BK = 2 : 5，AL = 10，则 BL 的长为 ( )
A. 24
B. 25
C. 26
D. 前三个答案都不对
(
)
Ä √ä
12. f (x) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2f (x) + f x2 − 1 = 1，则 f − 2 等于 ( )
22ff
(1) + f (0) = 1, (−1) + f (0) = 1,
解得
f (0)
=
f (1)
=
f (−1)
=
1 ．再令
x
=
−√2，可得
√ 2f (− 2)
+
f (1)
=
1，从而
√ f (− 2)
=
1．
3
3
13.解 A．
以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个，其中有一个是正三角形．因
的 x 的个数为 11，分别为
11213123415 ,,,,,,,,,,.
23344555566
5.解 A． 根据题意，有
北大博雅计划笔试真题
北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
北京大学自主招生数学2016
2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。
2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A -3B -2C -1D 前三个答案都不对2.已知三角形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题：为边长的三角形一定存在；⑵以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；⑶以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（ ）A 2B 3C 4D 前三个答案都不对3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（ ）AD 前三个答案都不对4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对5.若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A -13B -9C -5D 前三个答案都不对6.已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比是（ ） A12 B 13 C 14D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111πππ的值为（ ） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x=∑等于（ ） D 前三个答案都不对9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（ ）A 34650B 5940C 495D 前三个答案都不对10. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（ ）A 11B 12C 13D 前三个答案都不对11. 两个圆内切于点K ,大圆的弦AB 与小圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（ ）A 24B 25C 26D 前三个答案都不对12. ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ） A 0 B 12 C 13 D 前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A 30B 36C 42D 前三个答案都不对14. 已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A 101B 301C 401D 前三个答案都不对15. 三个不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A -1B 0C 1D 前三个答案都不对16.已知1a b c ++=的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）A [10,11)B [11,12)C [12,13)D 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，06,30BD ABD CBD =∠=∠=，则四边形ABCD 的面积等于（）A前三个答案都不对18. 1!2!3!2016!++++除以100所得的余数为（ ）A 3B 13C 27D 前三个答案都不对19.方程组23234345,,x y z x y z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解的组数为（ ）A 5B 6C 7D 前三个答案都不对20.方程333()333x x x xx +++=的所有实根的平方和等于（ ）A 0B 2C 4D 前三个答案都不对2016年北京大学博雅计划数学试题答案ABCDA BDBDA BCABD CBBCC略解：1.由于/()x a x a e e ++-=-，于是切点横坐标为x a =-，从而有()2a a a e -+--+=-，解得3a =-.2.不妨假设0,a b c a b c <≤≤+> ⑴正确，因为有0a b c a b c +-≥+->； ⑵错误，2,3,4a b c ===即为反例； ⑶正确，因为有0222a b c a b c a ++++-=>； ⑷正确，因为有(1)(1)(1)()()0a b b c c a a b b c c a -++-+--+>-+---=3.如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⨯， 因此2262OE DE DO =-=4.满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为11，分别为11213123415,,,,,,,,,,23344555566。
2016年北京大学博雅计划试题
// la nq i
1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 , , , , , , , , , , . 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 a = −c − 10, b = 3c − 3, ) C. − 1 64
.o rg
)
D. 前三个答案都不对
)
D. 前三个答案都不对
根据题意，有
(x2 − 3x − 1)(x2 + 3x − c) = x4 + ax2 + bx + c,
2016 年北京大学博雅计划试题
兰琦 2017 年 1 月 4 日
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题⺫要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得
1. 直线 y = −x + 2 与曲线 y = −ex+a 相切，则 a 的值为 ( A. −3 解析 A． B. −2
C. −1
tp :
ht
解得 f (0) = f (1) = f (−1) =
13. 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 ( A. 30 解析 A． B. 36 C. 42
// la nq i
D B ∠DKM = ∠BAK = ∠KLM, 2f (0) + f (−1) = 1, 2f (1) + f (0) = 1, 2f (−1) + f (0) = 1, 3×9+ 1×9 = 30. 3
10. 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， D, E 是线段 BC 上的点， F 是 CB 延长线上的点，已知 BF = 4 ， BD = 2 ， BE = 5 ， ∠BAD = ∠ACD ， ∠BAF = ∠CAE ，则 BC 的长为 ( B. 12 A．如图． A C. 13 )
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
北京大学自主招生数学试题及答案1
南方球队总得分为 =189
北方球队总得分为 =21
南方球队内部比赛总得分 =105
北方球队内部比赛总得分 =15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165<189
所以南方球队中至少有一支得分超过11分．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为 =300
北京大学自主招生数学试题及答案
1 求证：边长为1的正五边形对角线长为
略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：
2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，
求证：△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半。
略解：如图得证
3 已知
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为
南方球队总得分为
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分
北方球队内部比赛总得分
解得：
因为 为整数
x=6或x=8
当x=6时
南方球队总得分为 =270
北方球队总得分分 =28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内 绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π，求C上未被照到的长度。
2016年北京大学自主招生数学试题
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则x的取值范围是（）
2．的个位数字是（）
A．1 B．3 C．5 D．前三个答案都不对
3．点P位于△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点P有（）
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记f(n)为最接近的整数，其中n∈N∗．若，则正整数m的值为（）
A．1015056 B．1017072 C．1019090 D．前三个答案都不对
5．实数x,y,z满足x+y+z=2016，，则
（）
A．0 B．1 C．−1 D．前三个答案都不对
6．方程组的非负整数解有（）
A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知，g(x)为整系数多项式，
则g(x)的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程
的正整数解有_______个．
12．空间中的一点P(x,y,z)满足∃n∈N∗，使得成立，则所有满足要求的点P所形成的空间几何体的体积为_______．。
2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
为 边 长 的三 角 形一 定
（ Ｄ ． 前 三个 答案 都 不对
）
Ｃ ． ４ ９ ５
（ ４ ） 以ｌ ａ—ｂ ｌ ＋１ ， Ｉ ｂ—Ｃ Ｉ ＋１ ， ｌ Ｃ —ａ Ｉ ＋１ 为边
长 的三 角形一 定存 在 Ａ ． ２ Ｂ ． ３ Ｃ — Ｄ ． 前 三个 答案都 不 对 ３ ． 设Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ是 ｏ０ 的两条 垂 直 直径 ， 弦Ｄ Ｆ交
（ ）
ｆ ， 若 为 有 理 数 詈 ， ｐ 与 ｑ 互 素 ，
【 ０ ， 若 为无理数 ，
（ ）
Ａ ． ２ ４ Ｂ ． ２ ５ Ｃ ． ２ ６ Ｄ ． 前 三个答 案都 不 对
１ ２ ） 是定 义 在 实 数集 Ｒ 上 的 函数 ， 满 足
２ ｆ （ ）＋ Ｌ 厂 （ 一１ ） ＝１ ， Ｖ ∈ Ｒ， 则 一 ）等 于
ｃ ＋ｄ 有可能等于
（
）
Ａ ． 丢Ｂ ． ÷ｃ ． １ Ｄ ． 前 三 个 答 案 都 不 对
７ ． ｃ ∞ 。 ｓ 吾 百 ｃ ∞ 。 ｓ ２ 百 ， ／ ｉ － … ｃ ∞ 。 ｓ 百阳 的 值 但 为 刀 （ ， ）
Ａ ． １ ０ １ Ｂ ． ３ ０ １ Ｃ ． ４ ０ １ Ｄ ． 前三个答案都不对 １ ５ ． 三个不同的实数 ， Ｙ ， ｚ 满足 一３ ｘ ：Ｙ 。一
Ｂ ．［ １ １ ， １ ２ ） Ｄ ． 前三个 答 案都不 对
Ａ ． １ ２ Ｂ ． １ ３ Ｃ ． １ ４ Ｄ ． 前三个 答 案都不 对
５ ． 若方程 一３ ｘ一１ ＝ ０ 的根也是方程 ｘ ＋ａ ｘ ＋ ＋ｃ ＝０的根 ， 则 ａ＋ｂ一２ ｃ 的值为 （ ）
Ａ ． 一ｌ ３ Ｂ ． 一９ Ｃ ． 一５ Ｄ ． 前 三个答 案 都不对 ６ ． 已知 ｋ≠ １ ， 则 等 比数 列 ａ＋ｌ ｏ ｇ ２ ｋ ， ａ＋ｌ ｏ ｇ ４ ｋ ， ａ ＋ｌ ｏ ｇ ｋ的公 比为 （ ）
2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
的值为
万方数据
（ ）
Ａ．
－
１ １６
Ｂ．
－
１ ３２
Ｃ．
－
１ ６４
Ｄ．前三个答案都不对
８．设 ａ，ｂ，ｃ 为实数，ａ，ｃ ≠ ０，方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝
∑ ０
的两个虚数根为
ｘ１ ，ｘ２
满足 ｘ２１ ｘ２
２０１５
为实数，则
ｋ＝０
æ ｘ１
ç
è ｘ２
ö
÷
ø
ｋ
等于
（ ）
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ． ３ ｉ Ｄ．前三个答案都不对
ＢＣ 的长为
（ ）
Ａ．１１ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．前三个答案都不对
１１．两个圆内切于 Ｋ， 大圆的弦 ＡＢ 与小圆切于
Ｌ，已知 ＡＫ ∶ ＢＫ ＝ ２ ∶ ５，ＡＬ ＝ １０，则 ＢＬ 的长为
（ ）
Ａ．２４ Ｂ．２５ Ｃ．２６ Ｄ．前三个答案都不对
１２．ｆ（ ｘ） 是 定 义 在 实 数 集 Ｒ 上 的 函 数， 满 足
理和勾股定理，可得
{２４·１８ ＝ ＡＥ·ＥＢ ＝ （ ｒ ＋ ＯＥ） （ ｒ － ＯＥ） ＝ ｒ２ － ＯＥ２ ， ２４２ ＝ ｒ２ ＋ ＯＥ２ ，
把它们相加后，可求得 ＯＥ ＝ ６ ２ ．
图 １ 图 ２
解法 ２ Ｃ．如图 ２ 所示，连结 ＣＦ，可得 △ＤＯＥ ∽ △ＤＦＣ，
所 以 ＤＯ ＤＦ
＝
ＤＥ， ＤＣ
ＤＯ ２４ ＋ １８
＝
２２Ｄ４Ｏ，ＤＯ２
＝
１２ · ４２，ＯＥ
＝
ＤＥ２ － ＯＤ２ ＝ ２４２ － １２·４２ ＝ ６ ２ ．
４．Ｄ．由 ｘ ∈ （０，１） 知，在 ｆ（ ｘ） 的解析式中可不妨设 ｐ，ｑ ∈ Ｎ∗ ，ｐ ＞ ｑ，（ ｐ，ｑ） ＝ １．
2016年北京大学博雅计划试题数学
(3)
以
������
+ 2
������ ,
������
+ 2
������
,
������
+ 2
������
为边长的三角形一定存在；
(4) 以 |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1 为边长的三角形一定存在．
= 0 的两个虚数根 ������1, ������2 满足
������21 ������2
为实数，则
2015
∑
������=0
(
������1 ������2
)������
等于
(A) 1
(B) 0
(C) √3i
(D) 前三个答案都不对
9. 将 12 个不同物体分成 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为
(A) 101
(B) 301
(C) 401
(D) 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数 ������, ������, ������ 满足 ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2，则 ������ + ������ + ������ 等于
(A) −13
(B) −9
(C) −5
(D) 前三个答案都不对
6. 已知 ������ > 0 且 ������ ≠ 1，则等比数列 ������ + log2������, ������ + log4������, ������ + log8������ 的公比是
2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
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2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
6月11日下午，北大进行了为期6个小时的博雅计划笔试考试。
文理科全部考5门，试题全部为客观题。
博雅计划笔试考试形式
笔试时间：6月11日下午1点到7点
笔试科目：
文科——语文、数学、英语、历史、政治
理科——语文、数学、英语、物理、化学
笔试形式：上半场语文数学英语三科，中间休息20分钟下半场两科，每科1小时。
据其介绍，语数外考了三个半小时，休息半个小时后，再考两个小时专业课，理科考生考物理化学，文科考生考历史政治。
试卷结构：全部客观题
科目分数：每科100分，共计500分
博雅计划笔试题目
文科语文的作文为命题作文“网络中的我”，字数500字。
一位北京的理科考生认为，作文题目与高考不太一样，用比较少的字数说明自己的观点，有些难度，但他表示物理题目最难，很多都不会。
另一位考生也称，物理题超过了高考大纲考试形式，难度很大。
考察方向
北大招办相关负责人介绍，在“博雅计划”的测试中，北大的考核主要通过笔试和面试两种方式，笔试侧重考查学生的基础学业能力和学习潜质，面试侧重于考查学生的个人志趣、逻辑思考与批判性思维、领导力、人文情怀等。
北大自招北京大学自主招生数学2016及解析
1-sin 2x12016年北京大学自主招生数学试题一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知sin x -cos x =2(0<x <2π)，则x 的取值范围是（）A．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πB．⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2C．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ D.以上三个答案都不对2．(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)的个位数字是（）A．1B．3C．5D．前三个答案都不对3．点P 位于∆ABC 所在的平面内，使得∆PAB ,∆PBC ,∆PCA 的面积相等，则满足题意的点P 有（）A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对4．记f (n )为最接近值为（）的整数，其中n ∈N *．若f (1)+1f (2)++1f (m )=2016，则正整数m 的A．1015056B．1017072C．1019090D．前三个答案都不对5.实数x ,y ,z 满足x +y +z =2016，，则()()()=---201620162016z y x （）5．A．0B．1C．−1D．前三个答案都不对⎧⎪a 3-b 3-c 3=3abc ,6．方程组⎨⎪⎩a2=2(b +c )的非负整数解有（）A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）A．2+2B．2+2C．2+2D．前三个答案都不对8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）1-cos 2xn 2361111=++zy xA．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对二、填空题．9．已知f (x )=3x 2-x +4，g (x )为整系数多项式，f (g (x ))=3x 4+18x 3+50x 2+69x +a ,则g (x )的各项系数之和为．10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第张．11．用高斯函数[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]12001200212001200222+=+n n 的正整数解有12．空间中的一点P (x ,y ,z )满足∃n ∈N *，使得183≤++n n n z y x 成立，则所有满足要求的P 所形成的空间几何体的体积为．北京大学2016年自主招生数学参考答案与解析1．B．根据题意，有sin x>0，cos x<0，于是x是第二象限的角．2．C．因为22+1=5，且对于任意正整数k，都有2k+1为奇数，所以(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)≡5(mod10).3．D．考虑到平面内使△PAB和△PBC的面积相等的点的轨迹为直线BM以及过点B且与AC平行的直线，其中M为边AC的中点，因此满足题意的点P有4个：△ABC的重心，或者由P,A,B,C四点所构成的平行四边形的顶点．4．B．若f(n)=k，则k2-k+1≤n≤k2+k,所以f(1)=f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=,f(6)=2,,进而有2016=1+1++1=2⋅1+4⋅1+6⋅1++2016⋅1, f(1)f(2)f(m)231008故m=2+4+6++2016=1017072．5．A．由于(x-m)(y-m)(z-m)=xyz-m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)-m3⎡1⎛111⎫⎤2,=mxyz⎢m- x+y+z⎪⎪⎥+m[(x+y+z)-m]于是所求代数式的值为0⎣⎝⎭⎦6⎢⎪666．B．根据题意，有a 3-b 3-c 3-3abc =a 3-(b +c )3+3bc (b +c -a )=a 3-1a 6+3bc ⎛1a 2-a⎫8=⎛1⎝2⎫⎡2⎛1⎪⎭,12⎫⎤a 1-a ⎪a 2 1+a +a 24⎪-3bc ⎥⎝⎭⎣⎝⎭⎦=0当a =0时，(b ,c )=(0,0)；当a =2时，(b ,c )=(0,2),(1,1),(2,0)．当a ≠0,2时，有2⎛112⎫142a 1+a +a -3bc >a -3bc =(b +c )-3bc ≥0,⎝24⎭4于是题中方程组的非负整数解共有4组．7．C．棱长为a 的正四面体的内切球半径为a ．设4个半径为1的球的球心分别为O ，O ,O ,O ,121234则正四面体O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为．设这4个球的外切正四面体为12346ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为1+8．D．6，故正四面体ABCD 的棱长为2+2．6假设这样的分法存在，设三组数的和分别为102x ,203y ,304z ，x ,y ,z ∈N *，则102x +203y +304z =5050,即101(x +2y +3z )+(x +y +z )=101⨯50,于是101|x +y +z ,因此x +y +z ≥101．而此时102x +203y +304z >102(x +y +z )>5050,矛盾．故不存在满足题意的分法．20012+120012+19．8．易知g (x )为二次多项式，设g (x )=px 2+qx +r ，则f (g (x ))=3g 2(x )-g (x )+4=3p 2x 4+6pqx 3+(3q 2+6pr -p )x 2+(6qr -q )x +3r 2-r +4,对比系数，依次解得p =1，q =3，r =4，a =48．故g (x )的各项系数之和为8．10．44．每一轮剩下的牌依次是11．4002．因为2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,12,28,44,12,44,44.2002⋅2001<2002<2002⋅2001+1,所以[200220012+1]=2002⋅2001．于是原方程等价于[n20012+1]=2001n ,即2001n ≤n <2001n +1,解得n <1+2001，所以原方程的正整数解有4002组．12．．3考虑第一卦限，只需要3x ,8y ,z ∈(0,1)即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为一个长方体，体积为1⋅1⋅1⋅8=1.38320012+1。
北大清华北清自主招生博雅领军强基计划笔试真题数学试题分类-导数与微积分初步
清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。
清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。
北大博雅数学2016
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1. 直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D.前三个答案都不对2. 已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.前三个答案都不对3. 设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对4. 函数()1,,,,,()0q x p q p q N p p f x x Q *⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩==1，，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对5. 若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A. 13-B. 9-C. 5-D. 前三个答案都不对6. 已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对7. 210cos cos cos111111πππ的值为（ ） A. 116- B. 132- C.164- D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） A. 1 B. 0 D. 前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（ ）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D. 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）A.0B.12 C.13 D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A.1-B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c ++=（ ）A.[10,11)B. [11,12)C.[12,13)D. 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对 18.1!2!2016!+++除以100所得的余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解组数为（ ）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x x x +++=的所有实根的平方和等于（ ）A.0B. 2C.4D.前三个答案都不对。
北京大学博雅计划综合评价强基计划数学2016
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1.直线2y x 与曲线x a y e 相切，则a 的值为（）A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a为边长的三角形一定存在；（4）以||1,||1,||1a b b c c a 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（）A.2B.3C.4D.前三个答案都不对3.设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE ,18EF ,则OE 等于（）A.B. C. D.前三个答案都不对4.函数 1,,,,,()0q x p q p q Np p f x x Q==1，，则满足(0,1)x 且1()7f x 的x 的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对5.若方程2310x x 的根也是方程420x ax bx c 的根，则2a b c 的值为（）A.13B.9C.5D.前三个答案都不对6.已知1k ，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k 的公比为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对7.210coscos cos111111的值为（）A.116B.132C.164D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ，方程20ax bx c 的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则201512(k k x x等于（）A.1B.0C. D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ,BAD ACD ,BAF CAE ,则BC 的长为（）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK ,10AL ,则BL 的长为（）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x，则(f 等于（）A.0B.12C.13D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd ，则a b c d 有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z ，则x y z 等于（）A.1B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c（）A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD ，30ABD CBD ,则四边形ABCD 的面积等于（）A.B.C. D.前三个答案都不对18.1!2!2016! 除以100所得的余数为（）A.3B.13C.27D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z的实数解组数为（）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x xx 的所有实根的平方和等于（）A.0B.2C.4D.前三个答案都不对2016年北京大学博雅计划测试数学答案1.【解答】A由于 x a x a e e ，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e 解得a =-3.【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
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２
１１ １１ １１ １１ １１
( ) ＝ －
π ２π ４π ８π １６π ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ
２
１１ １１ １１ １１ １１
＝
－
æ ç
２５
ｓｉｎ
ç ç
π １１
ｃｏｓ
π １１
ｃｏｓ
２π １１
ｃｏｓ
４π １１
ｃｏｓ
２５ｓｉｎ π
８１π１ ｃｏｓ
１６π ö １１ ÷
÷ ÷
２
è
１１
ø
＝－
æ ç
所 以 ＤＯ ＤＦ
＝
ＤＥ， ＤＣ
ＤＯ ２４ ＋ １８
＝
２２Ｄ４Ｏ，ＤＯ２
＝
１２ · ４２，ＯＥ
＝
ＤＥ２ － ＯＤ２ ＝ ２４２ － １２·４２ ＝ ６ ２ ．
４．Ｄ．由 ｘ ∈ （０，１） 知，在 ｆ（ ｘ） 的解析式中可不妨设 ｐ，ｑ ∈ Ｎ∗ ，ｐ ＞ ｑ，（ ｐ，ｑ） ＝ １．
由 ｆ（ｘ）
＞
１ ７
面四个结论中正确的个数为
（ ）
（１） 以 ａ ， ｂ ， ｃ 为边长的三角形一定存在 （２） 以 ａ２，ｂ２，ｃ２ 为边长的三角形一定存在 （３） 以ａ ＋ ｂ，ｂ ＋ ｃ，ｃ ＋ ａ 为边长的三角形一定
２２２ 存在
（４） 以 ａ － ｂ ＋ １， ｂ － ｃ ＋ １， ｃ － ａ ＋ １ 为边 长的三角形一定存在
ｓｉｎ
３２π １１
ö ÷
２
ç ç ２５ ｓｉｎ
π
÷ ÷
＝－ １ １０２４
è １１ ø
８．Ｂ．因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭
复数，所 以 可 设 ｘ１ ＝ ｒ（ ｃｏｓθ ＋ ｉｓｉｎθ） ，ｘ２ ＝ ｒ［ ｃｏｓ（ － θ） ＋
ｉｓｉｎ（ － θ）］（ｒ ＞ ０）．
得 ｘ２１ ＝ ｒ（ ｃｏｓ３θ ＋ ｉｓｉｎ３θ） ， ｘ２
２０．
方程
æ
ç
ｘ
３
è
＋ ３
ｘö ÷ ø
３
＋
ｘ３
＋ ３
ｘ
＝
３ｘ
的所有实根的平
方和等于
（ ）
Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．前三个答案都不对
参考答案
１．Ａ．由切点在切线 ｙ ＝ － ｘ ＋ ２ 上，可设切点坐标为（ ｘ０ ，２ － ｘ０ ） ．又切点（ ｘ０ ，２ － ｘ０ ） 在曲线 ｙ ＝ － ｅｘ＋ａ 上，可得 ２ － ｘ０ ＝ － ｅｘ０＋ａ．
得方程 ｘ２ － ３ｘ － １ ＝ ０ 的两个根３ ＋ １３ ，３ － １３ 均是方
２
２
程（３ａ ＋ ｂ ＋ ３３） ｘ ＋ ａ ＋ ｃ ＋ １０ ＝ ０ 的根，所以 ３ａ ＋ ｂ ＋ ３３ ＝
ａ ＋ ｃ ＋ １０ ＝ ０．得 ａ ＋ ｂ － ２ｃ ＝ （３ａ ＋ ｂ ＋ ３３） － ２（ ａ ＋ ｃ ＋ １０）
有一项符合题目要求， 请把 正确选 项 的 代 号 填 在 表
格中，选对得 ５ 分，选错扣 １ 分，不选得 ０ 分． １．直线 ｙ ＝ － ｘ ＋ ２ 与曲线 ｙ ＝ － ｅｘ＋ａ 相切，则 ａ 的
值为
（ ）
Ａ． － ３ Ｂ． － ２ Ｃ． － １ Ｄ．前三个答案都不对
２．已知三角形 ＡＢＣ 的三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，则下
再由 ｙ ＝ － ｅｘ＋ａ ，得 ｙ′ ＝ － ｅｘ＋ａ ，可得曲线 ｙ ＝ － ｅｘ＋ａ 在切 点（ ｘ０ ，２ － ｘ０ ） 处切线的斜率为 － ｅｘ０＋ａ ．又切线 ｙ ＝ － ｘ ＋ ２ 的 斜率为 － １，所以 － ｅｘ０＋ａ ＝ － １．进而可得 ２ － ｘ０ ＝ － ｅｘ０＋ａ ＝ － １，ｘ０ ＝ ３，ａ ＝ － ３．
－ １３ ＝ － １３．
解法 ２ Ｄ．由题设，可得（ ｘ２ － ３ｘ － １） （ ｘ４ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋
ｃ） ．又注意到 ｘ４ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 不含 ｘ３ 项，所以 ｘ４ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋
ｃ ＝ （ ｘ２ － ３ｘ － １） （ ｘ２ ＋ ３ｘ － ｃ） ，ｘ４ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ｘ４ － （ ｃ
５π， １１
可得
３２ｘｙ
＝
２π ４π ６π ８π １０π ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
１１ １１ １１ １１ １１
＝
ｓｉｎ
２π ４π ｓｉｎ ｓｉｎ
５π ３π ｓｉｎ ｓｉｎ
π
１１ １１ １１ １１ １１
＝ ｙ（ｘ ≠ ０），
ｘ
＝
ｃｏｓ
π １１
ｃｏｓ
２π １１
ｃｏｓ
３１π１ ｃｏｓ
４１π１ ｃｏｓ
２ｆ（ｘ） ＋ ｆ（ｘ２ － １） ＝ １，∀ｘ ∈ Ｒ，则 ｆ（ － ２ ） 等于
（ ）
Ａ．０
Ｂ．
１ ２
Ｃ．
１ ３
Ｄ．前三个答案都不对
１３．从一个正 ９ 边形的 ９ 个顶点中选 ３ 个使得它
们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是 （ ）
Ａ．３０ Ｂ．３６ Ｃ．４２ Ｄ．前三个答案都不对
正确：因为可得ａ
＋ ２
ｂ
≤
ｃ
＋ ２
ａ
≤
ｂ
＋ ２
ｃ，ａ
＋ ２
ｂ
＋
ｃ
＋ ２
ａ
＞
ｂ
＋ ２
ｃ．
结论（４） 正确：因为 ｜ ａ － ｂ ｜ ＋ １ ＝ ｂ － ａ ＋ １，
｜ ｂ － ｃ ｜ ＋ １ ＝ ｃ － ｂ ＋ １， ｜ ｃ － ａ ｜ ＋ １ ＝ ｃ － ａ ＋ １，
{｜ ａ － ｂ ｜ ＋ １ ≤｜ ｃ － ａ ｜ ＋ １，
１４．已知正整数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ 满足 ａｂ ＝ ｃｄ，则 ａ ＋ ｂ ＋
ｃ ＋ ｄ 有可能等于
（ ）
Ａ．１０１ Ｂ．３０１ Ｃ．４０１ Ｄ．前三个答案都不对
１５．三个不同的实数 ｘ，ｙ，ｚ 满足 ｘ３ － ３ｘ２ ＝ ｙ３ －
３ｙ２ ＝ ｚ３ － ３ｚ２，则 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ 等于
（ ）
ＢＣ 的长为
（ ）
Ａ．１１ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．前三个答案都不对
１１．两个圆内切于 Ｋ， 大圆的弦 ＡＢ 与小圆切于
Ｌ，已知 ＡＫ ∶ ＢＫ ＝ ２ ∶ ５，ＡＬ ＝ １０，则 ＢＬ 的长为
（ ）
Ａ．２４ Ｂ．２５ Ｃ．２６ Ｄ．前三个答案都不对
１２．ｆ（ ｘ） 是 定 义 在 实 数 集 Ｒ 上 的 函 数， 满 足
中学数学杂志 ２０１６ 年第 １１ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
２０１６ 年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
北京丰台二中 １０００７１ 甘志国（ 特级教师）
选择题共 ２０ 小题． 在每小题的四个选项中，只
ａ ＋ ｌｏｇ４ｋ ａ ＋ ｌｏｇ２ｋ
＝
－
１ ４
ｌｏｇ２ ｋ
＋
１ ２ ｌｏｇ２ｋ
－
１ ４
ｌｏｇ２ ｋ
＋
ｌｏｇ２ ｋ
＝
１ ３．
７．解法 １ Ｄ．设
ｘ
＝
ｃｏｓ
π １１
ｃｏｓ
２π １１
ｃｏｓ
３１π１ ｃｏｓ
４１π１ ｃｏｓ
５π １１
，
ｙ
＝
ｓｉｎ
π ｓｉｎ ２πｓｉｎ １１ １１
３πｓｉｎ ４πｓｉｎ １１ １１
９．将 １２ 个不同物体分成 ３ 堆，每堆 ４ 个，则不同
的分法种类为
（ ）
Ａ．３４６５０ Ｂ．５９４０
Ｃ．４９５ Ｄ．前三个答案都不对
１０．设 Ａ 是以 ＢＣ 为直径的圆上的一点，Ｄ，Ｅ 是线
段 ＢＣ 上的点，Ｆ 是 ＣＢ 延长线上的点，已知 ＢＦ ＝ ４，
ＢＤ ＝ ２，ＢＥ ＝ ５，∠ＢＡＤ ＝ ∠ＡＣＤ，∠ＢＡＦ ＝ ∠ＣＡＥ，则
的值为
万方数据
（ ）
Ａ．
－
１ １６
Ｂ．
－
１ ３２
Ｃ．
－
１ ６４
Ｄ．前三个答案都不对
８．设 ａ，ｂ，ｃ 为实数，ａ，ｃ ≠ ０，方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝
∑ ０
的两个虚数根为
ｘ１ ，ｘ２
满足 ｘ２１ ｘ２
２０１５
为实数，则
ｋ＝０
æ ｘ１
ç
è ｘ２
ö
÷
ø
ｋ
等于
（ ）
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ． ３ ｉ Ｄ．前三个答案都不对
１８．１！ ＋ ２！ ＋ … ＋ ２０１６！ 除以 １００ 所得的余数
为
（ ）
Ａ．３ Ｂ． １３ Ｃ．２７ Ｄ．前三个答案都不对
１９．
方程组
ìíïïｘｘ２
＋ ｙ２ ＋ ｙ３
＝ ｚ３， ＝ ｚ４，的实数解组数为
îïïｘ３ ＋ ｙ４ ＝ ｚ５ ，
（ ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．前三个答案都不对
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．前三个答案都不对 ３．设 ＡＢ，ＣＤ 是 ☉Ｏ 的两条垂直直径，弦 ＤＦ 交 ＡＢ 于点 Ｅ，ＤＥ ＝ ２４，ＥＦ ＝ １８，则 ＯＥ 等于 （ ）
Ａ．４ ６ Ｂ．５ ３
Ｃ．６ ２ Ｄ．前三个答案都不对
４．函数
ｆ（ ｘ）
＝
５π １１
＝
１ ３２
，
所以
ｃｏｓ
π ｃｏｓ １１
２π…ｃｏｓ １１
１０π １１
( ) ＝ －
π ２π ３π ４π ５π ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ
２
１１ １１ １１ １１ １１
＝
－
１ １０２４．
解法 ２ Ｄ．
ｃｏｓ π ｃｏｓ ２π…ｃｏｓ １０π
１１ １１