4.控制系统的分析方法

判定系统的可控性。
>> A=[-2.2,-0.7,1.5,-1;0.2,-6.3,6,-1.5;0.6,-0.9,-2,-0.5;1.4,-0.1,-1,-3.5]; >> B=[6,9;4,6;4,4;8,4]; >> Tc=ctrb(A,B) %生成可控性判定矩阵 Tc = 6.0000 9.0000 -18.0000 -22.0000 54.0000 52.0000 -162.0000 -118.0000 4.0000 6.0000 -12.0000 -18.0000 36.0000 58.0000 -108.0000 -202.0000 4.0000 4.0000 -12.0000 -10.0000 36.0000 26.0000 -108.0000 -74.0000 8.0000 4.0000 -24.0000 -6.0000 72.0000 2.0000 -216.0000 34.0000 >> Tc1=[B,A*B,A^2*B,A^3*B]; %直接建立 >> rank(Tc) %判定系统可控性，秩为3，不可控 ans = 3
>> num=[4];den=[1 1 4]; >> impulse(num,den); [y,x,t]=impulse(num,den); trapz(t',y) %计算误差面积 ans= 0.9979
4.3 频域分析
频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一 种典型方法，其具有明确的物理意义，计算量小， 一般可采用作图的方法或实验的方法求出系统的频 率特性，这对于工程中很难有明确模型表示的系统 和元件，具有重要的实用价值。 频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应， 从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭 环稳定性等系统特征。频率特性是指系统在正弦信 号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。 频率特性函数与传递函数有直接的关系，用频率jw 取代复变量s，得到G(jw)。
例： 已知系统传递函数为
4 G(s ) = 2 s + 2s + 4
分别求阶跃响应和脉冲响应，并作性能分析
>> num=[4];den=[1 1 4]; step(num,den); [y,x,t]=step(num,den); tp=spline(y,t,max(y)) %spline为三次样条插 值函数 tp = 1.5738
q
给定线性系统模型，如何分析稳定性？
q 系统稳定性分析原理 由控制理论的一般规律可知，对线性系统而言： • 对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平 面左半平面，则系统是稳定的； • 对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于 Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。
状态方程系统的稳定性
连续线性状态方方程
•
线性系统的可控性判定
q 可控性判定矩阵 Tc = (B, AB, A 2 B,..., A n −1B) q 若矩阵Tc是满秩矩阵，则称系统为完全可控的。 如果该矩阵不是满秩矩阵，则它的秩为系统的 可控状态的个数。 q MATLAB的判定方法：rank(T)，即可求出矩阵T 的秩。再将得出的秩和系统状态变量的个数相 比较，就可以判定系统的可控性。 q 构造系统的可控性判定矩阵Tc，用MATLAB实现： 函数 Tc=ctrb(A,B)
q 脉冲激励响应函数 impulse()
绘制响应曲线 impulse(sys,iu,t) 不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据 [y,x,t]=impulse(sys,t) [y,x]=impulse(sys,t) y=impulse(num,den,t)
q 任意输入响应函数 lsim()
可观测性判定
⎛ C ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ CA ⎟ ⎜ CA 2 ⎟ T = q 可观测性判定矩阵 o ⎜ ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ CA n −1 ⎟ ⎝ ⎠
q 系统的可观测性问题和系统的可控性问题是 对偶关系，若想研究系统(A,C)的可观测性 问题，可以将其转换成研究(AT,CT)系统的可 控性问题。 q MATLAB实现：函数 To=obsv(A,C)
这样的判定方法同样适合于连续系统和 离散系统。也适用于多变量模型
4.1.3 线性系统的可观测分析
q 可观测性定义
• 假设系统由状态方程(A,B,C,D)给出，对任意的初 始时刻t0，如果状态空间中任一状态xi(t) 在任 意有限时刻tf的状态xi(tf)可以由输出信号在这 一时间区间内[t0,tf]的值精确地确定出来，则称 此状态是可观测的。若系统中所有的状态都是可 观的，则称该系统为完全可观测系统。 • 系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可 以由系统输出信号重建起来的性质，对于线性时 不变系统(LTI)来说，如果系统的某个状态可观测， 则可以由输入输出信号重建出来。
解析解
稳定性：A 矩阵的特征根均有负实部解析解
稳定性判定：所有特征根均在单位圆内
MATLAB判别稳定性的方法
q 直接判定：eig(G)函数 MATLAB控制系统工具箱中，求取一个连续线性定常 系统特征根只需用 eig(G)函数即可，不论系统的 模型G是传递函数、状态方程还是零极点模型，且 不论系统是连续还是离散的。 q 图解判定法：pzmap(G)函数
例：假设离散系统的受控对象传递函数为
0.00147635 z 2 + 3.4040929 z + 0.71390672 G (z ) = (z − 1)(z − 0.535261429)(z − 0.951229425)
(
)
且已知控制器模型为Gc(z)=1.5(z-0.5)/(z+0.8)， 试分析单位负反馈下闭环系统的稳定性。
4.2 时域分析
时域分析是经典控制理论中的常用方法，它主 要利用控制系统对阶跃信号的响应曲线来了解系统 的动态特性。 q 给线性系统一个激励信号，输出是什么? 阶跃信号的响应 q 有两大类方法： § 解析解方法 求解微分方程、差分方程解析解 § 数值解方法
4.2.1 时域分析基本原理 一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应 来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函 数作用下对象的响应，控制系统常用的是输入函数为 单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。 q 典型控制系统阶跃响应指标
例：给定系统状态方程模型
⎛ − 2.2 ⎜ ⎜ 0.2 x[(k + 1)T ] = ⎜ 0.6 ⎜ ⎜ 1.4 ⎝ − 0.7 1.5 − 1 ⎞ ⎛ 6 ⎟ ⎜ − 6.3 6 − 1.5 ⎟ ⎜ 4 x(kT ) + ⎜ ⎟ − 0.9 − 2 − 0.5 4 ⎟ ⎜ ⎜ 8 − 0.1 − 1 − 3.5 ⎟ ⎠ ⎝ 9 ⎞ ⎟ 6 ⎟ u (kT ) ⎟ 4 ⎟ 4 ⎟ ⎠
第四章 控制系统的分析方法
控制系统的分析和设计是进行控制系统 设计仿真的主要内容，也是工程实际当中解 决问题的主要方法。控制系统的分析包括系 统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根 轨迹分析。
主要内容 4.1 控制系统定性分析 4.2 时域分析 4.3 频域分析 4.4 根轨迹分析
4.1 线性系统定性分析
4.2.2 MATLAB时域分析方法
q 阶跃响应函数 step()
绘制响应曲线 step(num,den,t) step(A,B,C,D,iu,t) step(Z,P,K,t) step(sys,iu,t) 其中，sys为用tf、ss、zpk描述的 LTI 模型。iu、t可选。 t 为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步 长地产生出来。iu用来在多输入输出时指明输入变量的序 号。不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据 [y,x,t]=step(sys,t) [y,x]=step(sys,t) y=step(num,den,t) 其中，y为各个仿真时间的输出向量，x为自动选择的状态 向量的时间响应 数据，t 为时间向量。
例：假设已知带有时间延迟的连续系统模型为
8(s + 1)(s + 2)(s + 3) G(s ) = e −2 s (s + 3.5)(s + 4)(s + 5)(s + 1 + j )(s + 1 − j )
绘制阶跃响应曲线
>> G=zpk([-1;-2;-3],[-1+1i;-1-1i;-3.5;-4;-5], 8,'ioDelay',2); >> step(G,10); % 绘制阶跃响应曲线,终止时 间为１０
在系统特性研究中，系统的稳定性是最重要的指标， 如果系统稳定，则可以进一步分析系统的其他性能，如 果系统不稳定，系统则不能直接应用。本节首先介绍系 统稳定性的判定方法，然后介绍系统的可控性和可观测 性等系统性质的分析。
• • •
线性系统稳定性分析 线性系统可控性分析 线性系统可观测性分析
4.1.1 线性系统稳定性分析
(1) 最大偏差A：受控变量第一个波峰值与设定值之差。 表示偏离设定值的程度。偏差愈大，时间愈长，离生 产状态愈远。实际系统中不希望出现。 (2) 余差C：过渡过程终了时的残余偏差。 反映控制准确性的重要指标，生产中一般希望愈小愈 好(不超过某一个预定范围)。
(3) 超调量 B：第一个波峰与稳态值 之差。 反映过程稳定性的一个指标(同A)。 (4) 衰减比N：第一个波峰与第二个波峰之比。 反映过程稳定性的一个指标，N>1，衰减震荡；N=1， 等幅震荡；N<1，发散震荡。N>>1，非周期。 (5) 过渡时间(恢复时间)Ts：从系统受扰后至受控变 量又重新建立新的平衡的最短时间。 反映过程快慢、长短标志(快速性指标)。在 N一定的 情况下，Ts愈短，过程愈快，适应性愈强，质量愈好。 (6) 震荡周期 T：从第一个波峰到第二个波峰的时间。 周期的倒数为震荡频率 f。 在N 一定的情况下，周期短，频率高，反映过程快慢 的标志。