7估计的优良性标准
7.2 估计量的优良性准则
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#
估计量的优良性准则
Dec-10
证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本 ， 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n −1)S = ∑( Xi − X) = ∑ Xi − nX 2
2 2 2 i =1 i =1
n 2 2
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是μ和σ2 的最小方差无偏估计 X
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3. 相合性 无偏性： 无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性： 有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题： 问题：在“偏差性”和“离散性”两者 偏差性” 离散性” 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.
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的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
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例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，有 ，
1 E( X) = E( ∑Xi ) = E( X) = µ n i=1 1 2 2 2 2 2 E( X ) = D( X) +[E( X)] = σ + µ ≠ µ n
2
θ2
ˆ ˆ . θ2比θ1更有效
2 ˆ) D(θ2 3n 而且 lim = = 0. 2 n→∞ D θ ) (n + 1) (n + 2) (ˆ 1
估计量优良性的若干判别准则
估计量优良性的若干判别准则作者 李晓辉 指导老师 胡学平摘要 未知参数的估计通常有很多种，一个好的估计量应该在多次观测中，其观测值围绕被估计参数的真值摆动.为正确评价估计量，要建立判别估计量好坏的标准.本文主要总结估计量优良性的若干判别准则，如无偏性、有效性、一致性等。
通过本文的研究，进一步了解了估计量优良性的一些判别准则，为今后学习打下了基础。
关键词 无偏性 一致性 有效性 一致最小方差无偏估计 均方误差1 引言对于估计量优良性的研究，国内外更多的是将其依托于一个具体的实验或具体的实际问题中去进行比较研究，如在1982年《数学杂志》中，刘学圃写了一篇名为《一类平稳时间序列谱密估计量的优良性质》文章，又如在《统计与信息论坛》中，写了一篇《系统样本差估计量的优良性》，所以说对其的研究更多的是依据于是研究中，通过其试验来体现一个估计量的优良性.当然，单纯对于优良性的研究国内有一篇很是经典的文章—王力宾的《对估计量优劣性评价标准的研究》，他在此文中比较详细地介绍了若干判别准则，大致上分为两类：一类是小样本估计量优良性的若干判别准则，另一类是大样本估计量优良性的判别准则。
他也同样在文中详细地叙述了两类之间的联系.其实，一直以来，我国的统计工作者，一直都是把无偏性，有效性，一致性看作是评价估计量优良性的三大标准，但对于其实用性并未进行过较为系统的研究.评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验的结果来衡量.这是因为估计量是样本的函数，是随机变量。
由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性.对于一个特定的应用，选择好的估计量与许多因素有关系，最基本的考虑因素就是选择一个好的数据模型，它的复杂性应该足以描述数据的基本特征，但是与此同时要简单的足以允许估计量是最佳的且易于实现.举个简单的例子，对于信号的处理问题，选择一个合适的估计量要从易于现实的最佳估计量开始.如果这种寻找没有效果，那么就应该考察准最佳估计量.对于同一参数，用不同的估计法得到的点估计量不一定相同，那么用哪一种估计法好呢？并且，人们总是希望估计量能代替真实参数．为正确评价估计量，要建立判别估计量好坏的标准.根据不同的要求，评价估计量可以有各种各样的标准．所以，对于一个估计量的优良性进行判别显得尤为重要.对于估计量优良性若干判别准则的研究，为了以后我们进一步的学习和工作都奠定了良好的基础.2 判别优良性的准则 2.1 估计量的无偏性 2.1.1无偏估计量的定义及定理定义 设()n,ξ,,ξξT θ 21ˆ=是未知参数θ的一个估计量，若 ()Θθθ, θE ∈∀=ˆ则称()n,ξ,,ξξT θ 21ˆ=为θ的无偏估计量. 在这里我们要接触一个新的名词：统计量，到底什么是统计量，下面我们来简单介绍一下统计量的定义.统计量 是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。
7.估计的优良性
估计的优良性同一个未知参数的估计量有很多种，即使是使用最大似然估计，样本量不一样。
估计量也不相同，什么样的估计量最好呢？这就涉及到估计量的优良性标准。
从直观上看，自然是估计量被估计的量越接近越好。
但“接近”二字含义不很简单，有深入研究的必要。
设X 的密度函数(,)f x θ，其中()12,,,,m θθθθ=∈ΘΘL 是R m 中的非空集合。
设()g θ是θ的函数，X 1,X 2,…，X n 是X的样本。
所谓()g θ的估计量，是指样本的函数()1,,n X X ϕL 。
ϕ的不同选择就得到不同的估计量。
直观上看，()()1,,n X X g ϕθ−L 越小，ϕ就越好，但是()1,,n X X ϕL 的值是依赖于样本的，它本身是随机变量，而()g θ是未知的，所以评价估计量的优劣不很简单，需要衡量优良性的标准，当然这种标准不是唯一的，从不同角度出发可提出不同的标准。
定义2.1 设()g θ的估计量()1,,n X X ϕL 满足：对一切估计量()1,,n X X ψL 有 ()()M M θθϕψ≤（一切θ）则称ϕ是()g θ的最小均方误差估计。
定义 2.2 设()1,,n X X ϕL 是()g θ的无偏估计，且对一切无偏估计()1,,n X X ψL 均有()()M M θθϕψ≤（一切θ），则称ϕ是()g θ的（一致）最小方差无偏估计。
“最小方差无偏估计”就是一种最优的估计量，可惜它有时并不存在。
有时无偏性标准显得不合理（参看后面的例子）。
还有别的优良性标准，如贝叶斯标准，minimax 标准等等，这里不介绍了（参看第七章）。
怎样得到（一致）最小方差无偏估计呢？这不是容易的事，需要具体问题具体分析，没有一个普遍适用的公式。
但在50年代形成的Blackwell-Lehmann-Scheffe 理论对于寻求最小方差无偏估计 有重要的指导作用。
这个理论的严密论述涉及到测试论等较深的数学工具，这里只从方法的角度作一粗浅介绍，为此称介绍有广泛重要意义的概念——充分统计量。
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
概率论教学课件第七章7.2估计量的优良性标准
D( 2 )
16 2 9 2 1 2 26 2 0.72 2 ,
36 36 36 36
D( 3 )
1 2
9
12
9
12
9
1 2
3
0.33 2.
D(3) D(1) D(2 ) ,因此 3 最为有效.
10
一般地,有如下基本结论：
例4. 设 X1, X2,, Xn 是来自任意总体 X 的一组样本，
7
定义2 设ˆ1,ˆ2都是未知参数的无偏估计量，如果 Dˆ1 Dˆ2
则称（ˆ1和ˆ2作为参数的估计量）ˆ1比ˆ2更有效。
例3 设为 X1, X 2 , X3 取自总体 X 的样本,EX= ,DX= 2 0 , 证明:下列三个统计量均为 的无偏估计量，并比较有效性.
1
2 10
X
1
3 10
)
EX
2 i
EX
2 i 1
2EX i1EX i
EX
2 i
( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 ) 2 2
n1
Eˆ 2 c E( X i1 X i )2 c 2(n 1) 2 2,
i 1
1
c
.
2(n 1)
6
二、有效性
例如，设总体X ,而X1, X 2, X3是来自总体X的样本，EX 未知，则
则称ˆ 为 的无偏估计量.否则称为有偏估计量.
2
Eˆ ，E(ˆ ) 0.
无偏估计量的含义是：ˆ 作为样本的函数 是一个随机变量，它在 的真值附近波动，但其 平均值恰好是 的真值。
3
设 X1, , X n 为取自总体 X 的样本，
样本均值
X
1 n
n
第三节估计量的优良性
概率统计
例 2. 若总体 X 的均值为 , 方差 2 ，但均为未 知，现有两个 的无偏估计量 ：
求: 1 与 2 哪个作为 的无偏估计更有效？ n 1 1 2 ˆ 解: D ( 1 ) D ( X ) D ( X i ) n i1 n ˆ 2) D (X1) 2 D ( 且显然
ˆ 对任意的 有： E ( ) 则称 ˆ 是 的无偏估计量.
概率统计
注: 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 。 它是用数学期望衡量其靠近真值的程度。
在科学技术中称 E (ˆ ) 为以 ˆ 作为 的
估计的系统误差。则无偏估计即无系统误差。 例如： 用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一 次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在“0”的 周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生 系统偏差 。
E[
i1
(X n
i1
1
n
i
n
1
n
Xi 2X
2
i1
n
1
n
Xi
i1
n
1
n
(X ) ]
2
i1
概率统计
E[
1
n
n i1
1
n
Xi X ]
2 2
2 2
1 n
i1
E ( X i ) E ( X )
2 2 i1
n
n
1
E (Xi ) E (X )
概率统计
例1. 设总体 X 的均值 , 方差
， 均 未 知 .
2
2
0 都存在 ，若
n证明: ຫໍສະໝຸດ 的两个估计量2ˆ 12
7-2估计量的评选标准
所以 ˆ 2 是有偏的.
由于
1 n n 1 2 2 E (Xi X ) n n i 1
n 1 n 2 2 E (Xi X ) n 1 n i 1
所以 即
1 n 2 2 E ( X X ) i n 1 i 1
1 n 2 2 ( X X ) S 是 σ 无偏估计 i n 1 i 1
ˆ2 同理可证明(2) E
由此可知, 一个参数可以有不同的无偏估计量.
例2 若总体 X 的均值 , 方差 2 均为未知, 证明
n 1 ˆ 2 ( X i X ) 2 不是 2 的 无偏估计. 估计量 n i 1
往证
ˆ E
2
2
2
回顾
n
EX , DX
1 1 1 ( X 1 X 2 ) ( DX 1 DX 2 ) θ2 2 2 4
1 2 ˆ D 3 DX θ 3
1 4 5 ˆ D 4 DX 1 DX 2 θ2 9 9 9
因而， D ˆ3 D ˆ2 D ˆ4 D ˆ1
练习 X 1 , X 2 为总体 N ( ,1) 的样本，比较下列无偏估
练习
1. 证明 S 不是 的无偏估计量 .
提示 2 E S 2 DS ( ES ) 2 ( ES ) 2 ES
2.设总体 X 的均值 µ 与方差σ2均为未知参数， X1，X2为样本.
证明 (1)
1 ( X 1 X 2 ), 2 2 1 X 1 X 2 1.7 X 1 0.7 X 2 3 3
ˆ 与 ˆ 都是 的无偏估计量, 若有 定义 设 1 2 ˆ ) D( ˆ ), 则称 ˆ 较 ˆ 有效. D( 1 2 1 2
估计量的优良性准则.ppt
)
,
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Oct-19
即
4 3
max X i
1 i 3
和4min X
1 i 3
i
都是的无偏估计.
2) D(Y ) E(Y 2 ) E(Y )2 3 2,
80
D(Z ) E(Z 2 ) E(Z )2 3 2,
80
D(4 Y ) D(4Z ) 3
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Oct-19
注意：
M 2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2不是
2的无偏估计
M2
1 n
n
(Xi
i 1
X
)2
n n
1
S2
E(M2)
n n
1 2
已知E(
X
)
时，1
n
n
(Xi
i 1
)2是
2的无偏估计
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2. 有效性
估计量的优良性准则
E
(ˆn
)
]
0
则称 ˆn 为θ的渐进无偏估计量.
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Oct-19
若θ的实函数 g(θ) 的无偏估计量存在，称
g(θ)是可估计函数.
注 当ˆ是的无偏估计量，g(ˆ)不一定是g( )
的无偏估计量.
反例
样本均值是总体均值E(X)的无偏估计量.
S2 是2 的无偏估计
(n
3n2 1)2 (n
优良估计量的标准
优良估计量的标准在统计学中，估计量是指用样本数据来估计总体参数的量。
而优良的估计量则是指能够准确、稳定地估计总体参数的估计量。
那么，什么样的估计量才能被称为优良估计量呢？本文将从无偏性、有效性、一致性三个方面来探讨优良估计量的标准。
首先，一个优良的估计量应该是无偏的。
无偏性是指在重复抽样的情况下，估计量的期望值等于总体参数的真值。
换句话说，无偏估计量不会偏离总体参数的真实值。
如果一个估计量是有偏的，那么它的期望值将不等于总体参数的真值，因此无法成为优良的估计量。
因此，无偏性是衡量估计量优良程度的重要标准之一。
其次，一个优良的估计量应该是有效的。
有效性是指估计量的方差越小越好。
换句话说，对于两个估计量来说，如果它们都是无偏的，但其中一个的方差更小，那么我们就说这个估计量比另一个更有效。
因为方差小意味着估计值更加稳定，更接近总体参数的真实值。
因此，一个优良的估计量应该具有较小的方差，以提高估计的准确性和稳定性。
最后，一个优良的估计量应该是一致的。
一致性是指当样本容量逐渐增大时，估计量趋向于总体参数的性质。
换句话说，无论样本容量大小如何，估计量都能够稳定地接近总体参数的真实值。
如果一个估计量不是一致的，那么在样本容量增大时，估计值可能会偏离总体参数的真实值，从而无法成为一个优良的估计量。
综上所述，一个优良的估计量应该具有无偏性、有效性和一致性三个标准。
只有同时满足这三个标准的估计量，才能被称为优良的估计量。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的估计量，以确保我们能够准确地估计总体参数。
希望本文能够帮助读者更好地理解优良估计量的标准，并在实践中运用这些标准进行统计推断。
第18讲 估计量的优良性准则(new)
解：根据无偏估计的概念，E(S )= =D(X),
2 2
即
1 1 E ( S ) D( X )= 2 = 4
2
例3：设X1,X2,…,Xn 为来自二项分布总体 2 B(n,p)的简单随机样本， 与 分别为样本均 S X 2 2 X + kS 为 np 值与样本方差. 若 的无偏估计， 则k=_______.
ˆ X, 1 n ˆ i X j. n 1 j 1
j i
我们看到: 显然两个估计都是 的无偏 估计。计算二者的方差： 2 ˆ ) Var( X ) Var( , n 2 2 n 1 ˆ i ) Var( . Var( X j )
1 1 n 1 n (1) E ( X ) E X i E ( X i ) n ； n n i 1 n i 1
1 n 2 2 (2)首先化简 S X nX ( P128习题6.3结论) i i 1 n 1
2
i 1
2、有效性 定义2
ˆ 与 ˆ 都是未知参数的无偏估计, 设 1 2
若对于任意的 , 有 ˆ ) D ( ˆ ), D ( 1 2 ˆ比 ˆ 有效. 则称
1 2
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例5
设X 1，X 2， ，X n是取自总体X 的样本，
2
ˆ1 X， ˆ2 X 2 且E ( X ) ，D( X ) ，则
2 ( X i X ) X 2( X i ) X nX 2 i 1 n 2 i i 1
n
n
n
X i2 nX 2 ,
i 1
注意到
E ( X ) Var( X ) [ E ( X )]2
估计量的优良性
即 nZ 也是参数 θ 的无偏估计量 .
续例6) 例7 (续例 试证 当 n > 1 时 θ 的无偏估计量 续例
X 较 Z = min( X 1 ,K , X n ) 有效 .
证 故有 而
D( X) = θ ,
2
1 1 θ D X = D( ∑Xi ) = 2 ∑D( Xi ) = n i=1 n i=1 n
的估计量. 若对于任意的θ ∈ Θ , 当n→ ∞时,
ˆ θ 依概率收敛于θ , 即 ∀ > 0, ε ˆ limP(θ −θ ) ≥ ε ) = 0
n→ ∞
ˆ 则称θ 是总体参数θ 的一致(或相合)估计量.
关于相合性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 由大数定律证明 阶矩的一致性估计量. ˆ 2. 设θ 是 θ 的无偏估计 ˆ 量, 且 lim D(θ ) = 0, 则 用切贝雪夫不 n→ ∞ 等式证明 ˆ 是θ 的一致估计量. θ 矩法和极大似然估计得到的估计量 一般为一致估计量.
有效性 定义 设参数θ 的无偏估计量 ˆ 和θ 满足 θ ˆ
ˆ ˆ D(θ1) < D(θ2 )
1
2
ˆ ˆ 则称 θ1比 θ2更有效,如果对θ 的一切无
ˆ 偏估计量θ * , 均有
ˆ ) < D(θ*) ˆ D(θ1
ˆ 则称 θ1 为θ 的最优估计量.
例5 设总体 X，且 E( X )=µ , D( X )=σ 2
2
估计量
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 (X1, X2,L, Xn ) (n > 1) . 证明
1 n S2 = (Xi − X)2是 D( X ) 的无偏估计量. (2) ∑ n −1 i=1
优良估计量的标准
优良估计量的标准在科学研究和数据分析中，我们经常需要对某些特征或者变量进行估计。
而估计量的好坏直接影响着我们对真实数值的准确度。
因此，确定优良估计量的标准对于科学研究和数据分析具有重要意义。
本文将从偏差、方差和效率三个方面来探讨优良估计量的标准。
首先，偏差是衡量估计量优劣的重要标准之一。
偏差是指估计量的期望值与被估计参数的真实值之间的差异。
一个好的估计量应当具有较小的偏差，即期望值应当接近于真实值。
当估计量的偏差较大时，就会导致估计结果的不准确性，甚至产生错误的结论。
因此，我们在选择估计量时，应当尽量选择偏差较小的估计量。
其次，方差也是衡量估计量优劣的重要标准之一。
方差是衡量估计量离散程度的指标，方差越小，说明估计量的离散程度越小，稳定性越好。
一个好的估计量应当具有较小的方差，即估计值之间的差异应当较小。
当估计量的方差较大时，就会导致估计结果的不稳定，容易受到外部因素的影响。
因此，我们在选择估计量时，应当尽量选择方差较小的估计量。
最后，效率是衡量估计量优劣的重要标准之一。
效率是指在给定偏差的情况下，方差越小的估计量越优秀。
换句话说，一个好的估计量应当在保持一定的准确度的情况下，尽量减小估计值之间的差异。
因此，我们在选择估计量时，应当综合考虑偏差和方差，选择效率较高的估计量。
综上所述，确定优良估计量的标准是一个综合考量偏差、方差和效率的过程。
我们应当在实际应用中，根据具体的情况，选择合适的估计量，以确保估计结果的准确性和稳定性。
希望本文的讨论能够对大家在科学研究和数据分析中选择优良估计量提供一定的帮助。
7.2 估计量的优良性准则解析
估计量的优良性准则
Oct-18
1. 无偏性
q
定义7.2.1 若参数θ的估计量 qˆ T ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 对一切 n 及θ∈Ω ，有
ˆ ) E[T ( X , X ,..., X )] q E (q n 1 2 n
ˆ 为θ的无偏估计量. 若 称q n ˆ ) q ] 0 lim b lim [ E (q
估计量的优良性准则
Oct-18
FY ( y ) P {Y y } P {max X i y }
P{ X 1 y , X 2 y , X 3 y } P{ X 1 y } P{ X 2 y } P{ X 3 y }
ˆ ) D(q ˆ ), q D(q 1 2
ˆ 比q ˆ 有效( 优效). 称q 1 2
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ˆ 是θ的无偏估计，如果对θ的任何一个 设q 0
无偏估计量 q ˆ 都有
ˆ ) D(q ˆ ), q D(q 0
ˆ 为θ的最小方差无偏估计量. 称q 0
估计量的优良性准则
Oct-18
§7.2 估计量的优良性准则
对于总体的参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一. 如 X~U(0,q ) , q 的矩法估计量为 2 X ， 极大似然估计量为 max{ X i }
1 i n
在众多的估计量中选哪一个更好？
选取的标准是什么？ 三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.
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Oct-18
令
Y maxX i ,
1 i 3
7.2点估计的优良性评判标准 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
X
，故
的矩估计量ˆ1
2X
.
(2)又由上一节例9得 θˆ 2 Xn .
一、无偏性
⑶
E
θˆ1
E2X 2E X 2 θ θ 2
;
由次序统计量的散布知当 y 0,θ 时, Xn 的概率密度
函数为
fn
y
n
y θ
n1
1 θ
ny n 1 θn
故
E θˆ2
3
一、无偏性
第7章 参数估计
4
定义1
θ 如果未知参数 的估计量 θˆ X1, X2, , Xn 满足 E θˆ X1, , Xn =θ
则称 θˆ X1, , Xn 为θ 的一个无偏估计量.
如果
lim
n+
E
θˆ
X1,
, X n θ
则称 θˆ X1, θ , Xn 为 的渐近无偏估计量.
2
n
E
n i 1
Xi
2
2
E
S2
E
2
n 1
n
1 S 2
2
2 n
n 1
1
2
可见这两个估计都是无偏的;
二、有效性
第7章 参数估计
16
解⑵ 又因为 因此
D
n i 1
Xi
2
2n
D
n
1
2
S
2
2
n
1
D ˆ 2
D
1 n
n i1
X
2 i
4 n2
D
n i 1
Xi
)
E(Sn2 )
n 1
n
2
优良估计量的标准
优良估计量的标准在统计学中，估计量是用来估计总体参数的统计量，它是对总体参数的一个猜测或估计。
而优良的估计量则是指能够准确、可靠地估计总体参数的统计量。
那么，什么样的估计量才能称得上是优良的呢？本文将从准确性、一致性、高效性三个方面来探讨优良估计量的标准。
首先，优良的估计量应当具备准确性。
准确性是指估计量的期望值等于被估计的总体参数。
换句话说，当我们使用这个估计量进行估计时，得到的估计值应该尽可能接近总体参数的真实值。
如果估计值与总体参数的真实值相差较大，那么这个估计量就无法称得上是优良的。
因此，我们通常会通过方差、均方误差等指标来评价估计量的准确性，以确保估计结果的可靠性。
其次，优良的估计量还应当具备一致性。
一致性是指当样本容量逐渐增大时，估计量逐渐接近总体参数的性质。
换句话说，无论样本容量大小如何，估计量都应该能够稳定地接近总体参数的真实值。
如果估计量在不同样本容量下产生了较大的变化，那么它就无法满足一致性的要求，也就无法称得上是优良的估计量。
因此，一致性是评价估计量优劣的重要标准之一。
最后，优良的估计量还应当具备高效性。
高效性是指在给定准确性和一致性的前提下，估计量的方差应当尽可能小。
换句话说，优良的估计量应当能够以最小的方差来估计总体参数，这样才能够提高估计结果的精确度。
因此，我们通常会通过克拉美洛下界等理论来评价估计量的高效性，以确保估计结果的精确度和稳定性。
综上所述，优良的估计量应当具备准确性、一致性和高效性这三个基本标准。
只有在这三个方面都能够得到满足的情况下，我们才能够称得上是得到了一个优良的估计量。
因此，在实际应用中，我们需要结合具体问题的特点和要求，选择合适的估计方法和估计量，以确保我们得到的估计结果是准确、可靠的。
数理统计04估计量的优良性准则
的有偏估计。
二、均方误差准则
假设用T ( x )作为参数q( )的估计量，评价估
计优劣的一个自然准则可定义如下：
MSE (T ) R( , T ) E (T ( x ) q( ))2
称上式为均方误差， 简记为MSE。
(Mean Squared Error)
体方差 的有偏估计， 且 n 1 2 2 E ( . ˆn ) n
2
n 1 2 2 E ( , ˆ ) lim 这样有 lim n n n 2 2 故 ˆ n 是总体方差 的渐近无偏估计。
2 n
定义
设q( )是可估参数， 如果存在无偏估
(q( ))2 lim e(q ˆ ( X )) lim Var (q ˆ ( X )) 1 n n I ( )
定义 如果无偏估计T ( x)，S ( x) U q，并且
Var (T ) Var ( S )， 则称T ( x)比S ( x)有效。
例3.9
同为无偏估， 方差越小 越有效！
四、一致最小方差无偏估计
设统计模型为{ P , }，q( )是可估 参数， U q是q( )的无偏估计类，
§2 估计量的优良性准则
一、无偏准则
二、均方误差的准则 三、有效性准则 四、一致最小方差无偏估计 五、无偏估计的C-R下界 六、相合(一致）准则
一、无偏准则
定义2.1 设统计模型为{ P , }，q( )未知
参数，X 1 , X 2 ,, X n是来自总体的样本，T
是一个统计量，如果对所有的 有
例4.1 求正态总体N ( , 2 )均值和方差 2的
MLE的均方误差。
估计量的优良性准则
证明 因为x服从b( n,θ ),所以 n k n k nk Eθ ( g ( x )) = ∑ g θ (1 θ ) k =0 n k
无偏估计量(Unbiased Estimate). 无偏估计量 .
例4.2 设总体 X 服从正态分布 N ( , σ 2 ),
其均值 和方差 σ 的 MLE 估计为
2
1 X = ∑Xi , n i=1
n
1n 2 2 σ = ∑( Xi X) . n i=1
试讨论它们的无偏性. 试讨论它们的无偏性. 是无偏的. 容易验证 X 是无偏的. 2 nσ 2 因为 ～ χ ( n 1) 2 解
U 0 = {T0 ( x ) : Eθ (T0 ( x )) = 0,Varθ (T0 ( x )) < ∞ , all θ ∈ Θ}
是可估的, 定理4.1(存在性) 定理 (存在性) 设参数 q(θ ) 是可估的,则
T ( x ) ∈ U q是 q(θ ) 一致最小方差无偏估计的充分
必要条件是对任意的T0 ( x ) ∈ U 0,等式
Varθ (T ( x )) ≤ Varθ ( S ( x ))
都成立, 对所有的 θ ∈ Θ都成立, 则称 T ( x )为q(θ )的
一致最小方差无偏估计, 简称为UMVUE. 一致最小方差无偏估计, 简称为 .
(Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimate)
Eθ (T0 ( x )T ( x )) = 0
都成立. 对所有的 θ ∈ Θ 都成立.
推论 设T1 ( x ) 和T2 ( x ) 分别是可估函数q1 (θ ) 和
q2 (θ ) 的一致最小方差无偏估计, 则对任意常 的一致最小方差无偏估计,
良好估计量的标准(一)
良好估计量的标准(一)良好估计量的标准在创作领域，估计量是指预测和确定完成一项任务或项目所需的时间、资源和成本等因素。
一个良好的估计量是保证项目顺利进行的重要因素之一。
下面是一些良好估计量的标准：准确性•估计量应该尽可能准确，即在给定的时间内完成任务所需的时间和资源预测应该与实际所需相匹配。
•为了提高准确性，可以参考过去类似项目的估计量和实际情况，结合个人和团队的经验，进行综合评估。
适当性•估计量应该是适当的，即要根据项目的规模、复杂度、风险等因素来确定。
过高或过低的估计量都会对项目进展产生负面影响。
•对于较为复杂的项目，可以将估计量进行分阶段，按阶段来确定时间和资源的需求，从而更加准确和适应项目的实际情况。
可行性•估计量应该是可行的，即所需的时间和资源应该在项目的限定条件下可供使用。
过于悲观或过于乐观的估计量都会影响项目的计划和进展。
•在确定估计量时，应该充分考虑到项目的约束因素，如人力、技术、预算等。
同时也要对潜在的风险因素进行评估，以避免预估的不可行性。
可追踪性•估计量应该是可追踪的，即在项目进行过程中，可以随时跟踪和调整估计量。
这样可以及时应对项目中的变化和不确定性。
•在项目进行过程中，应该根据实际情况和进展，对估计量进行评估和修正。
这不仅能够提高项目的可控性，也能够减少因为估计量偏差而导致的延误和问题。
透明度•估计量应该是透明的，即要能够清晰地向相关的利益相关方（如团队成员、客户、投资者等）展示和解释估计量的依据和逻辑。
•可以通过文字、图表或其他可视化手段来表达估计量，并且要与相关人员进行沟通和讨论，以确保大家对估计量的理解和认可。
以上是关于良好估计量的一些标准和规则。
一个良好的估计量可以提高项目的规划和管理效果，减少风险和问题的发生，同时也可以提升团队成员的信心和合作。
因此，在进行估计量时，需要充分考虑到这些标准，并根据实际情况进行合理的调整和优化。
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估计的优良性
同一个未知参数的估计量有很多种，即使是使用最大似然估计，样本量不一样。
估计量也不相同，什么样的估计量最好呢？这就涉及到估计量的优良性标准。
从直观上看，自然是估计量被估计的量越接近越好。
但“接近”二字含义不很简单，有深入研究的必要。
设X 的密度函数(,)f x θ，其中()12,,,,m θθθθ=∈ΘΘL 是R m 中的非空集合。
设()g θ是θ的函数，X 1,X 2,…，X n 是X的样本。
所谓()g θ的估计量，是指样本的
函数()1,,n X X ϕL 。
ϕ的不同选择就得到不同的估计量。
直观上看，
()()1,,n X X g ϕθ−L 越小，ϕ就越好，但是()1,,n X X ϕL 的值是依赖于样本的，它本身是随机变量，而()g θ是未知的，所以评价估计量的优劣不很简单，需要衡量优良性的标准，当然这种标准不是唯一的，从不同角度出发可提出不同的标准。
定义2.1 设()g θ的估计量()1,,n X X ϕL 满足：对一切估计量()1,,n X X ψL 有 ()()M M θθϕψ≤（一切θ）
则称ϕ是()g θ的最小均方误差估计。
定义 2.2 设()1,,n X X ϕL 是()g θ的无偏估计，且对一切无偏估计()1,,n X X ψL 均有()()M M θθϕψ≤（一切θ），则称ϕ是()g θ的（一致）最小方差无偏估计。
“最小方差无偏估计”就是一种最优的估计量，可惜它有时并不存在。
有时无偏性标准显得不合理（参看后面的例子）。
还有别的优良性标准，如贝叶斯标准，minimax 标准等等，这里不介绍了（参看第七章）。
怎样得到（一致）最小方差无偏估计呢？这不是容易的事，需要具体问题具体分析，没有一个普遍适用的公式。
但在50年代形成的Blackwell-Lehmann-Scheffe 理论对于寻求最小方差无偏估计 有重要的指导作用。
这个理论的严密论述涉及到测试论等较深的数学工具，这里只从方法的角度作一粗浅介绍，为此称介绍有广泛重要意义的概念——充分统计量。