7估计的优良性标准

估计的优良性

同一个未知参数的估计量有很多种，即使是使用最大似然估计，样本量不一样。估计量也不相同，什么样的估计量最好呢？这就涉及到估计量的优良性标准。从直观上看，自然是估计量被估计的量越接近越好。但“接近”二字含义不很简单，有深入研究的必要。

设X 的密度函数(,)f x θ，其中()12,,,,m θθθθ=∈ΘΘL 是R m 中的非空集合。

设()g θ是θ的函数，X 1,X 2,…，X n 是X的样本。所谓()g θ的估计量，是指样本的

函数()1,,n X X ϕL 。ϕ的不同选择就得到不同的估计量。直观上看，

()()1,,n X X g ϕθ−L 越小，ϕ就越好，但是()1,,n X X ϕL 的值是依赖于样本的，它本身是随机变量，而()g θ是未知的，所以评价估计量的优劣不很简单，需要衡量优良性的标准，当然这种标准不是唯一的，从不同角度出发可提出不同的标准。

定义2.1 设()g θ的估计量()1,,n X X ϕL 满足：对一切估计量()1,,n X X ψL 有 ()()M M θθϕψ≤（一切θ）

则称ϕ是()g θ的最小均方误差估计。

定义 2.2 设()1,,n X X ϕL 是()g θ的无偏估计，且对一切无偏估计()1,,n X X ψL 均有()()M M θθϕψ≤（一切θ），则称ϕ是()g θ的（一致）最小方差无偏估计。

“最小方差无偏估计”就是一种最优的估计量，可惜它有时并不存在。有时无偏性标准显得不合理（参看后面的例子）。还有别的优良性标准，如贝叶斯标准，minimax 标准等等，这里不介绍了（参看第七章）。

怎样得到（一致）最小方差无偏估计呢？这不是容易的事，需要具体问题具体分析，没有一个普遍适用的公式。但在50年代形成的Blackwell-Lehmann-Scheffe 理论对于寻求最小方差无偏估计 有重要的指导作用。这个理论的严密论述涉及到测试论等较深的数学工具，这里只从方法的角度作一粗浅介绍，为此称介绍有广泛重要意义的概念——充分统计量。